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Curso de Perfeccionamento Docente

Geometrıa Plana II

Wilson Dıaz C.

Febrero 2015

Semejanza de triangulos

DefinicionDos triangulos son semejantes si, y solamente se, poseen los tres angulosordenadamente congruentes y los lados homologos proporcionales.Notacion. ∼

∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇔∠A ∼= ∠A′

∠B ∼= ∠B′ y aa′ = b

b′ = cc′

∠C ∼= ∠C′

Dos lados homologos (homo = mismo, logos = lugar) son tales que cada unode ellos esta en un triangulo y ambos son opuestos a angulos congruentes.

Propiedades De la definicion de triangulos semejantes se tienen lassiguientes propiedades

1. Reflexiva

2. Simetrica

3. Transitiva

Teorema 1 (Teorema fundamental de la proporcionalidad)Si una recta es paralela a uno de los lados de un triangulo e intercepta a losotros dos en puntos distintos, entonces el triangulo que ella determina essemejante al primero.

Casos o criterios de semejanza

Teorema 2 (Primer caso)Si dos triangulos poseen dos angulos ordenadamente congruentes, entoncesellos son semejantes.

Teorema 3 (Segundo caso)Si dos lados de un triangulo son proporcionales a los homologos de otrotriangulo y los angulos comprendidos son congruentes, entonces lostriangulos son semejantes.

Teorema 4 (Tercer caso)Si dos triangulos tienen los lados homologos proporcionales, entonces sonsemejantes.

Rectas y puntos notables en un triangulo

DefinicionSe llama ceviana de un triangulo aquel segmento que une un vertice deltriangulo con un punto cualquiera de su lado opuesto o de la prolongacionde este lado. Se denomina ceviana exterior si el punto esta en laprolongacion del lado opuesto y ceviana interior si el punto esta en ellado opuesto del triangulo.

Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.

1.8. Clasificación de los triángulos

Según las medidas de los ángulos interiores

1. Acutángulos. Cuando los ángulos interiores tienen medida menores a 90◦.

2. Rectángulos. Un ángulo interior mide 90◦.

3. Obtusángulos. La medida de un ángulo interior es mayor de 90◦.

Según la longitud de sus lados

1. Escaleno. Es aquel triángulo cuyos lados son de diferentes longitudes.

2. Isósceles. Dos lados del triángulo tienen la misma longitud. Al lado desigual se denomina

base del triángulo.

3. Equilátero. Los tres lados del triángulo son iguales.

1.9. Líneas notables en un triángulo

1. Ceviana. Es aquel segmento de recta que une un vértice del triángulo con un punto

cualquiera de su lado opuesto o de la prolongación de este lado. Se denomina ceviana

exterior si el punto está en la prolongación y ceviana interior si el punto está en el lado

(opuesto) del triángulo.

A

B

CE F

Figura 1.11: Cevianas: BE interior y BF exterior

2. Mediana. Es aquel segmento de recta que une un vértice del triángulo con el punto medio

del lado opuesto.

En todo triángulo se pueden trazar tres medianas, una relativa a cada lado. Las tres me-

dianas se intersectan en un punto denominado Baricentro.

14

Figura: Cevianas: BE interior y BF exterior

DefinicionUna mediana de un triangulo es aquel segmento que une un vertice deltriangulo con el punto medio del lado opuesto.

En todo triangulo se pueden trazar tres medianas, una relativa a cada lado.

Teorema 5Las tres medianas de un triangulo se intersectan en un punto llamadobaricentro.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.

A

B

C

m

m

M

Figura 1.12: Mediana AM en ∆ABC

3. Mediatriz. Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, que pasa por el punto medio

del lado y está contenido en el plano del triángulo.

En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, una relativa a cada lado. El centro de

la circunferencia circunscrita al triángulo se llama circuncentro, y su radio circunradio. El

circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices.

A

B

CM

L

Figura 1.13: Mediatriz L relativa al AC en ∆ABC

4. Altura. Es aquel segmento perpendicular a la recta que contiene a un lado del triángulo,

trazado desde el vértice opuesto a dicho lado, el otro extremo (de la altura) está en la recta.

En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, una relativa a cada lado. Las tres alturas

se intersectan en un punto denominado Ortocentro.

5. Bisectriz interior. Es una ceviana interior que forma con cada uno de los lados adyacentes

a ella ángulos de igual medida.

15

Figura: Mediana AM en ∆ABC

DefinicionUna mediatriz de un triangulo es la recta perpendicular a un lado deltriangulo, que pasa por el punto medio del lado y esta contenido en el planodel triangulo.


A

B

C

m

m

M

Figura 1.12: Mediana AM en ∆ABC

3. Mediatriz. Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, que pasa por el punto medio

del lado y está contenido en el plano del triángulo.

En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, una relativa a cada lado. El centro de

la circunferencia circunscrita al triángulo se llama circuncentro, y su radio circunradio. El

circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices.

A

B

CM

L

Figura 1.13: Mediatriz L relativa al AC en ∆ABC

4. Altura. Es aquel segmento perpendicular a la recta que contiene a un lado del triángulo,

trazado desde el vértice opuesto a dicho lado, el otro extremo (de la altura) está en la recta.

En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, una relativa a cada lado. Las tres alturas

se intersectan en un punto denominado Ortocentro.

5. Bisectriz interior. Es una ceviana interior que forma con cada uno de los lados adyacentes

a ella ángulos de igual medida.

15

Mediatriz L relativa al AC en ∆ABC

En todo triangulo se pueden trazar tres mediatrices, una relativa a cadalado.

Teorema 6Las tres mediatrices de un triangulo se intersectan en un punto llamadocircuncentro. El circuncentro equidista de los tres vertices del triangulo.

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triangulo ysu radio se denomina circunradio.

DefinicionUna altura de un triangulo es aquel segmento perpendicular a la recta quecontiene a un lado del triangulo, trazado desde el vertice opuesto a dicholado, el otro extremo (de la altura) esta en la recta.

1.3 Triángulos 25

1.3 TRIÁNGULOS

En esta sección empezamos el estudio de las figuras geométricas planas creadas de segmentos de rectas.

Cuando la figura está formada por tres segmentos de recta y unidos por sus puntos extremo, esta figurase llama triángulo.

Los triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de sus lados y a la medida de sus ángulos para facilitarsu estudio.

1.3.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN

Empezamos con las definiciones básicas.

Definición 1

TRIÁNGULO

Figura geométrica plana cerrada, limitada por tres segmentos de recta unidos por sus ex-tremos.Los puntos donde se intersectan dos segmentos se llaman vértices del triángulo y los seg-mentos lados.

La siguiente figura muestra un triángulo:

Lado

Lado

Lado

Vértice

Vértice Vértice

La base del triángulo es el lado sobre el cual descansa.

Otro elemento importante del triángulo es su altura.

Definición 2

ALTURA DE UN TRIÁNGULO

La altura de un triángulo es el segmento de recta que es perpendicular a la base y que pasapor el vértice opuesto a la base.

En la siguiente figura se muestra un triángulo con su altura denotada por h:

h

Base

Efraín Soto A. www.aprendematematicas.org.mx


A

B

CE

H

Figura 1.14: Altura H relativa al AC en ∆ABC

En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices interiores, una relativa a cada ángulo

interior. Las tres bisectrices interiores se intersectan en un punto denominado incentro. El

incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres

lados, siendo tangente a dichos lados.

6. Bisectriz exterior. Es aquella ceviana exterior que biseca un ángulo exterior del triángulo.

Teorema 1.13. La medida del ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior

es igual a la medida del tercer ángulo entre dos.

A

B

C

t

uu v v

x

P

Figura 1.15: Teorema de una bisectriz interior y una exterior

Prueba. Sea ∆ABC, figura 1.15. Por demostrar x = t2 .

∆APC : v = u + x

∆ABC : 2v = 2u + t

16

Altura interna Altura H relativa al AC en ∆ABC

En todo triangulo se pueden trazar tres alturas, una relativa a cada lado.

Teorema 7Las tres alturas de un triangulo se intersectan en un punto denominadoortocentro.

DefinicionBisectriz interior. Es una ceviana interior que forma con cada uno de loslados adyacentes a ella angulos de igual medida.

En todo triangulo se pueden trazar tres bisectrices interiores, una relativa acada angulo interior.

Teorema 8Las tres bisectrices interiores de un triangulo se intersectan en un puntodenominado incentro. El incentro equidista de los tres lados del triangulo.

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triangulo y siendotangente a dichos lados.

DefinicionBisectriz exterior. Es aquella ceviana exterior que biseca un anguloexterior del triangulo.

Teorema 9La medida del angulo formado por una bisectriz interior y una bisectrizexterior es igual a la medida del tercer angulo entre dos.


A

B

CE

H

Figura 1.14: Altura H relativa al AC en ∆ABC

En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices interiores, una relativa a cada ángulo

interior. Las tres bisectrices interiores se intersectan en un punto denominado incentro. El

incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres

lados, siendo tangente a dichos lados.

6. Bisectriz exterior. Es aquella ceviana exterior que biseca un ángulo exterior del triángulo.

Teorema 1.13. La medida del ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior

es igual a la medida del tercer ángulo entre dos.

A

B

C

t

uu v v

x

P

Figura 1.15: Teorema de una bisectriz interior y una exterior

Prueba. Sea ∆ABC, figura 1.15. Por demostrar x = t2 .

∆APC : v = u + x

∆ABC : 2v = 2u + t

16

Teorema de una bisectriz interior y una exterior

Demostracion. Sea ∆ABC, figura 9. Por demostrar x = t2.

∆APC : v = u + x

∆ABC : 2v = 2u + t

Sustituyendo la segunda en la primera ecuacion se obtiene el resultadox = t/2.

Relaciones metricas en un triangulo rectangulo

En el triangulo rectangulo ABC recto en B, figura 3, se dan importantesresultados.


Sustituyendo la segunda en la primera ecuación se obtiene el resultado x = t/2.

1.10. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

En el triángulo rectángulo ABC recto en B, figura 1.16, se dan importantes resultados.

A

B

C

a

b

c

m n

h

v

v

H

Figura 1.16: Relaciones métricas en un triángulo rectángulo

Teorema 1.14. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto es igual

al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyección ortogonal de dicho cateto respecto

a la hipotenusa. En el triángulo rectángulo ABC, c2 = bm, a2 = bn.

Prueba. Por semejanza de los triángulos ∆ABC ∼ ∆AHB

c

b=

m

c⇒ c2 = bm,

a

b=

n

a⇒ a2 = bn

Teorema 1.15 (Teorema de Pitágoras). En el triángulo rectángulo ABC, b2 = a2 + c2.

Prueba. Del teorema 1.14,

c2 = bm, a2 = bn ⇒ a2 + c2 = b(m + n) = b2

Teorema 1.16. En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa

es igual al producto de las longitudes de las proyecciones ortogonales de los catetos respecto de

dicha hipotenusa. En el triángulo rectángulo ABC, figura 1.16, h2 = mn.

Prueba. Por semejanza de los triángulos ∆AHB ∼ ∆BHC

h

n=

m

h⇒ h2 = mn

Teorema 1.17. En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus catetos es

igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa. En el

triángulo rectángulo ABC, figura 1.16, ca = bh.

17

Figura: Relaciones metricas en un triangulo rectangulo

Teorema 10En todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la longitud de un cateto esigual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyeccion ortogonalde dicho cateto respecto a la hipotenusa. En el triangulo recta ngulo ABC,c2 = bm, a2 = bn.

Teorema 11 (Teorema de Pitagoras)En el triangulo rectangulo (3) ABC, b2 = a2 + c2.

Teorema 12En todo triangulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a lahipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyeccionesortogonales de los catetos respecto de dicha hipotenusa. En el triangulorectangulo ABC, figura 3, h2 = mn.Demostracion. Por semejanza de los triangulos ∆AHB ∼ ∆BHC

h

n=

m

h⇒ h2 = mn.

Teorema 13En todo triangulo rectangulo, el producto de las longitudes de sus catetos esigual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa adicha hipotenusa. En el triangulo rectangulo ABC, figura 3, ca = bh.

Teorema 14En todo triangulo rectangulo, la inversa del cuadrado de la longitud de laaltura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de loscuadrados de las longitudes de sus catetos. En el triangulo rectangulo ABC,figura 3,

1

h2=

1

c2+

1

a2

Relaciones metricas en un triangulo oblicuangulo

Un triangulo oblicuangulo es aquel donde ninguno de sus angulos mide 90◦.Obviamente no se puede usar el teorema de Pitagoras. Los problemas en untriangulo oblicuangulo se resuelven por leyes de senos y de cosenos.

Teorema 15 (Teorema de las proyecciones)En todo triangulo, la diferencia de los cuadrados de las longitudes de doslados es igual a la diferencia de los cuadrados de las longitudes de susrespectivas proyecciones ortogonales respecto al tercer lado. En la figura 4,el teorema afirma que a2 − c2 = m2 − n2.


Prueba. Por semejanza de los triángulos ∆ABC ∼ ∆AHB

a

h=

b

c⇒ ca = hb

Teorema 1.18. En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la longitud de la altura

relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de las longitudes de

sus catetos. En el triángulo rectángulo ABC, figura 1.16,

1

h2=

1

c2+

1

a2

Prueba. De los teoremas precedentes: b2 = a2 + c2 y de

ca = hb ⇒ c2a2 = b2h2

Entonces

c2a2 = (a2 + c2)h2 ⇒ 1

h2=

1

c2+

1

a2

1.11. Relaciones métricas en un triángulo oblicuángulo

Un triángulo oblicuángulo es aquel donde ninguno de sus ángulos mide 90◦. Obviamente no se

puede usar el teorema de Pitágoras. Los problemas en un triángulo oblicuángulo se resuelven por

leyes de senos y de cosenos.

Teorema 1.19 (Teorema de las proyecciones). En todo triángulo, la diferencia de los cua-

drados de las longitudes de dos lados es igual a la diferencia de los cuadrados de las longitudes

de sus respectivas proyecciones ortogonales respecto al tercer lado. En la figura 1.17, el teorema

afirma que a2 − c2 = m2 − n2.

bA

B

C

c ah

n mu vH

Figura 1.17: a2 − c2 = m2 − n2

18

Figura: a2 − c2 = m2 − n2

Demostracion. Solo en el caso de un triangulo acutangulo,u < 90◦, v < 90◦, figura 4.Sobre el lado AC proyectamos los lados AB y BC, con AH y HC, delongitudes n y m, respectivamente.

∆BHC : a2 = m2 + h2

∆ABH : c2 = n2 + h2

Restando las ecuaciones a2 − c2 = m2 − n2.

Teorema 16 (Teorema de Euclides)En todo triangulo, el cuadrado de la longitud de un lado que se opone a lamedida de un angulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de laslongitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de laslongitudes de uno de ellos y la proyeccion ortogonal del otro sobre aquel.

Demostracion. En el triangulo ABC de la figura 5, u < 90◦. Si AH es lapryeccion de AB sobre el lado AC. El teorema afirma quea2 = b2 + c2 − 2bm


Prueba. Solo en el caso de un triángulo acutángulo, u < 90◦, v < 90◦, figura 1.17.

Sobre el lado AC proyectamos los lados AB y BC, con AH y HC, de longitudes n y m, respec-

tivamente.

∆BHC : a2 = m2 + h2

∆ABH : c2 = n2 + h2

Restando las ecuaciones a2 − c2 = m2 − n2.

Teorema 1.20 (Teorema de Euclides). En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un

lado que se opone a la medida de un ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de las

longitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de las longitudes de uno de ellos y

la proyección ortogonal del otro sobre aquel.

Prueba. En el triángulo ABC de la figura 1.18, u < 90◦. Si AH es la pryección de AB sobre el

lado AC. El teorema afirma que a2 = b2 + c2 − 2bm

bA

B

C

c ah

m b-mu vH

Figura 1.18: Teorema de Euclides

En el triángulo ABC, por el teorema de las proyecciones a2−c2 = (CH)2−m2. Como CH = b−m

entonces

a2 − c2 = (b − m)2 − m2 = b2 − 2bm ⇒ a2 = b2 + c2 − 2bm

Teorema 1.21 (Teorema del Coseno). En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un

lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble

del producto de las longitudes de dichos lados y el coseno de la medida del ángulo determinado

por ellos.

Prueba. En la figura 1.18, por el teorema de Euclides, en el triángulo ABC : a2 = b2 +c2 −2bm.

En el ∆ABH : m = c cos u. Reemplazando

a2 = b2 + c2 − 2bc cos u.

19

Figura: Teorema de Euclides

En el triangulo ABC, por el teorema de las proyeccionesa2 − c2 = (CH)2 −m2. Como CH = b−m entonces

a2 − c2 = (b−m)2 −m2 = b2 − 2bm⇒ a2 = b2 + c2 − 2bm

Teorema 17 (Teorema del Coseno)En todo triangulo, el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble delproducto de las longitudes de dichos lados y el coseno de la medida delangulo determinado por ellos.

Demostracion. En la figura 5, por el teorema de Euclides, en el trianguloABC : a2 = b2 + c2 − 2bm. En el ∆ABH : m = c cosu. Reemplazando

a2 = b2 + c2 − 2bc cosu.

Teorema 18 (Teorema de Stewart)En todo triangulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los ladosadyacentes a una ceviana interior multiplicados con las longitudes de lossegmentos parciales opuestos a dichos lados determinados por la ceviana ensu lado relativo es igual al producto del cuadrado de la longitud de dichaceviana con la longitud de su lado relativo mas el producto de las longitudesde dicho lado y el de los segmentos parciales. En la figuraa2m + c2n = x2b + bmn.


Teorema 1.22 (Teorema de Stewart). En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las

longitudes de los lados adyacentes a una ceviana interior multiplicados con las longitudes de los

segmentos parciales opuestos a dichos lados determinados por la ceviana en su lado relativo es

igual al producto del cuadrado de la longitud de dicha ceviana con la longitud de su lado relativo

más el producto de las longitudes de dicho lado y el de los segmentos parciales. En la figura

a2m + c2n = x2b + bmn.

bA

B

C

c ax

m nD

t 180-t

Figura 1.19: Teorema de Stewart

Teorema 1.23 (Teorema del cálculo de la mediana). En todo triángulo, la suma de los

cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa

al tercer lado más la mitad del cuadrado de la longitud de dicho tercer lado.En la figura 1.20,

conociendo la langitud de los lados del triángulo ABC, se puede determinar la longitud de la

mediana, c2 + a2 = 2m2 + b2

2 .

bA

B

C

c am

b/2D

b/2

Figura 1.20: Teorema de la mediana

20

Figura: Teorema de Stewart

Teorema 19 (Teorema del calculo de la mediana)En todo triangulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de dos ladoses igual al doble del cuadrado de la mediana relativa al tercer lado mas lamitad del cuadrado de la longitud de dicho tercer lado.En la figura 7,conociendo la langitud de los lados del triangulo ABC, se puede determinar

la longitud de la mediana, c2 + a2 = 2m2 + b2

2.


Teorema 1.22 (Teorema de Stewart). En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las

longitudes de los lados adyacentes a una ceviana interior multiplicados con las longitudes de los

segmentos parciales opuestos a dichos lados determinados por la ceviana en su lado relativo es

igual al producto del cuadrado de la longitud de dicha ceviana con la longitud de su lado relativo

más el producto de las longitudes de dicho lado y el de los segmentos parciales. En la figura

a2m + c2n = x2b + bmn.

bA

B

C

c ax

m nD

t 180-t

Figura 1.19: Teorema de Stewart

Teorema 1.23 (Teorema del cálculo de la mediana). En todo triángulo, la suma de los

cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa

al tercer lado más la mitad del cuadrado de la longitud de dicho tercer lado.En la figura 1.20,

conociendo la langitud de los lados del triángulo ABC, se puede determinar la longitud de la

mediana, c2 + a2 = 2m2 + b2

2 .

bA

B

C

c am

b/2D

b/2

Figura 1.20: Teorema de la mediana

20

Figura: Teorema de la mediana

Teorema 20 (Teorema del calculo de la bisectriz interior)En todo triangulo, el cuadrado de la longitud de la bisectriz interior es iguala la diferencia de los productos de las longitudes de los lados adyacentes adicha bisectriz y los segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado alcual es relativo, x2 = ca−mn.


Teorema 1.24 (Teorema del cálculo de la bisectriz interior). En todo triángulo, el cuadra-

do de la longitud de la bisectriz interior es igual a la diferencia de los productos de las longitudes

de los lados adyacentes a dicha bisectriz y los segmentos determinados por dicha bisectriz en el

lado al cual es relativo, x2 = ca − mn.

bA

B

C

c a

x

u

D

u

m n

Figura 1.21: Teorema de la bisectriz interior

Prueba. Sea C la circunferencia circunscrita al triángulo △ABC.

bA

B

C

c a

x

u

D

u

m n

y


Por el teorema de isogonales en el triángulo △ABC, ca = x(x + y) = x2 + xy.

Por el teorema de la cuerdas en C, xy = mn. Reemplazando x2 = ca − mn.

Observación 1.25. Respecto al teorema anterior.

21

Figura: Teorema de la bisectriz interior

Demostracion. Sea C la circunferencia circunscrita al triangulo 4ABC.


Teorema 1.24 (Teorema del cálculo de la bisectriz interior). En todo triángulo, el cuadra-

do de la longitud de la bisectriz interior es igual a la diferencia de los productos de las longitudes

de los lados adyacentes a dicha bisectriz y los segmentos determinados por dicha bisectriz en el

lado al cual es relativo, x2 = ca − mn.

bA

B

C

c a

x

u

D

u

m n


Prueba. Sea C la circunferencia circunscrita al triángulo △ABC.

bA

B

C

c a

x

u

D

u

m n

y


Por el teorema de isogonales en el triángulo △ABC, ca = x(x + y) = x2 + xy.

Por el teorema de la cuerdas en C, xy = mn. Reemplazando x2 = ca − mn.

Observación 1.25. Respecto al teorema anterior.

21

Figura: Teorema de la bisectriz interior

Por el teorema de isogonales en el triangulo 4ABC,ca = x(x + y) = x2 + xy.Por el teorema de la cuerdas en C, xy = mn. Reemplazando x2 = ca−mn.

Observaciones 1Respecto al teorema anterior.

1. Rayos isogonales. Dos Rayos son isogonales con respecto a los ladosde un angulo con origen en el vertice del angulo, cuando estandoambos en el interior o en el exterior, forman angulos congruentes conlos lados del angulo.

2. Teorema de las isogonales. En todo triangulo se cumple que elproducto de dos lados es igual al producto de sus isogonales, dondeuna de ellas esta limitada por el tercer lado y la otra por lacircunferencia circunscrita al triangulo.

Teorema 21 (Teorema del calculo de la altura)En todo triangulo, la longitud de una altura es igual al doble de la inversade la longitud del lado al cual es relativa multiplicada contre elsemiperımetro de la region limitada por dicho triangulo y la diferencia dedicho semiperımetro con la longitud de cada uno de los lados.

Prueba.

h =2

b

√p(p− a)(p− b)(p− c)

Propiedad. La mediatriz de un lado de un triangulo y las bisectrices delangulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita altriangulo.

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