Curso de Perfeccionamento Docente Geometr a Plana I

Curso de Perfeccionamento Docente

Geometrıa Plana I

Wilson Dıaz C.

Febrero 2015

Introduccion

Iniciamos el estudio de la geometrıa. No podremos demostrar todas lasproposiciones ni definir todos los conceptos porque de alguna partedebemos empezar.

Los conceptos que no es posible definir, porque no tenemos conceptosprevios que nos permitan hacerlo se llaman conceptos primitivos.Analogamente, las primeras proposiciones relativas al uso de los conceptosse llaman postulados, las deberemos aceptar por convenio y seranindemostrables.

Tomaremos al PUNTO, la RECTA y el PLANO como conceptosprimitivos. Por toda informacion diremos que la recta y el plano sonconjuntos de puntos.

Las ideas punto, recta y plano estan sugeridas por objetos reales: unamarca con la punta de un lapiz en una hoja de papel es una buenarepresentacion de un punto, cuando empleamos la palabra recta tenemos enla mente la idea de un hilo extendido pero las rectas se extiendeindefinidamente en ambos sentidos, y el tablero de una meza es una buenaimagen de un plano no obstante los planos se extienden indefinidamente.

DefinicionSe llama espacio al conjunto de todos los puntos.

Distancia e interposicion

Postulado 1Dados dos puntos distintos existe una sola recta a la que dichos puntospertenecen.

Observaciones 1

1. Si un punto pertenece a una recta, se dice que la recta pasa por dichopunto.

2. Cuando una recta R para por los puntos P y Q, se escribe RPQ o←→PQ.

3. El postulado 1 puede abreviarse diciendo: “dos puntos distintosdeterminan una recta”.

Postulado 2 (de la distancia)A cada par de puntos diferentes le corresponde un numero real no negativounico.

El postulado anterior se conoce como el postulado de la distancia.

DefinicionEl numero real al que se refiere el postulado 2 se llama distancia entre lospuntos dados.

La distancia entre los puntos P y Q se representa d (P,Q).

Admitimos la posibilidad de que P = Q, en este caso, d (P,Q) = 0. Ladistancia se define simplemente con relacion a un par de puntos y nodepende del orden en que se consideren los puntos. En consecuencia,siempre tenemos que d (P,Q) = d (Q,P ).

Postulado 3 (de la regla)Podemos establecer una correspondencia entre los puntos de una recta y losnumeros reales de manera que:

1. a cada punto de la recta corresponde exactamente un punto real,

2. a cada numero real corresponde exactamente un punto de la recta, y

3. la distancia entre dos puntos cualesquiera es el valor absoluto de ladiferencia de los numeros correspondientes.

Observacion 1Con el postulado 3 aseguramos que en una recta hay muchısimos puntos,desde que existen infinitos numeros reales.

DefinicionSi P es un punto de una recta, al numero real correspondiente se le llamacoordenada de P y se le representa cP .

De la definicion anterior y el postulado 3 resulta que

d (P,Q) = |cP − cQ| .

Postulado 4 (de la colocacion de la regla)Dados dos puntos P y Q de una recta, se puede escoger el sistema decoordenadas de manera que la coordenada de P sea cero y la coordenada deQ sea positiva.

DefinicionUn punto Q esta entre los puntos P y R si

1. P , Q y R son puntos distintos de una misma recta, y

2. d (P,R) = d (P,Q) + d (Q,R).

DefinicionSean P y Q dos puntos distintos de una recta. Se llama segmento deextremos P y Q al conjunto formado por el punto P , por el punto Q y portodos los puntos que estan entre P y Q.

El segmento de extremos P y Q se representa PQ.

Observaciones 2

1. PQ es el conjunto formado por los puntos de←→PQ cuyas coordenadas

mayores o iguales que cP y menores o iguales que cQ.

2. PQ (←→PQ.

DefinicionSe llama longitud (o medida) del segmento PQ a la distancia entre P y Q.

La longitud del segmento PQ se representa µ(PQ

), entonces

µ(PQ

)= d (P,Q) = |cP − cQ| .

Observacion 2Como la longitud de un segmento es una distancia, resulta que µ

(PQ

)nunca es negativa. Ademas, tampoco puede ser cero pues P 6= Q.

Ejemplo 1P,Q y R son tres puntos distintos de una recta. Si µ

(PQ

)es igual al triple

de µ(QR

)y d (P,R) = 32 u, determine las medidas de los segmentos PQ y

QR.

Solucion. Tenemos dos posibilidades,La primera es que Q esta entre P y R, y la segunda que R esta entre P y Q.

3x+ x = 32⇒ x = 8 3x = 32 + x⇒ x = 16

µ(PQ

)= 24 µ

(QR

)= 8 µ

(PQ

)= 48 µ

(QR

)= 16

Respuesta:

µ(PQ

)= 24cm µ

(QR

)= 8cm oµ

(PQ

)= 48cm µ

(QR

)= 16cm

DefinicionSe dice que dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.

DefinicionSe dice que un punto M es punto medio de un segmento PQ si Mesta entre P y Q, y los segmentos PM y MQ son congruentes.

P Q

Dado un segmento PQ, su punto medio M es aquel cuya coordenada es lasemisuma de las coordenadas de los extremos, es decir

cM =cP + cQ

2.

Ejemplo 2Sea AB un segmento de recta y M su punto medio. Consideremos un puntoP entre los puntos M y B. Demuestre que PM es dado por lasemidiferencia positiva entre PA y PB.

Solucion. Graficando, sea µ(AB

)= 2a y µ

(PM

)= x,

µ(PA

)= a+ x

µ(PB

)= a− x

}⇒ µ

(PA

)− µ

(PB

)= 2x⇒ x =

µ(PA

)− µ

(PB

)2

µ(PM

)=µ(PA

)− µ

(PB

)2

Rectas y planos en el espacio

DefinicionSe dice que varios puntos estan alineados (o son colineales) si todos ellospertenecen a una misma recta. Se dice que varios puntos son coplanares sitodos ellos estan en un mismo plano.

Postulado 5Todo plano contiene al menos tres puntos que no estan alineados Elespacio contiene al menos cuatro puntos no coplanares.

Postulado 6Si dos puntos de una recta estan en un plano, entonces la recta esta en elmismo plano.

Postulado 7Si dos planos diferentes se intersecan, su interseccion es una recta.

Separacion

Postulado 8 (separacion de la recta)Sea P un punto en la recta R. Los puntos de la recta distintos de P formandos conjuntos SR y S′R no vacıos sin punto alguno en comun tales que siun punto A esta en SR y otro punto B esta en S′R, el punto P esta entre Ay B.

DefinicionCon las notaciones del postulado 8, los conjuntos SR y S′R se llaman

semirrectas de origen P y se representan por−→PA y

−−→PB, respectivamente.

Observacion 3

1. Se dice que las semirrectas−→PA y

−−→PB son semirrectas opuestas.

2. El origen P no es un punto de ninguna de las dos semirrectas−→PA y−−→

PB.

DefinicionSe llama rayo a la union de una semirrecta con el origen de la semirrecta.

DefinicionUna figura se llama convexa si para cada dos puntos distintos de la figura,los segmentos determnados estan contenidos en la figura.

Postulado 9 (de separacion del plano)Se da una recta L y un plano E que la contiene. Los puntos del plano queno estan en la recta forman dos conjuntos tales que

1. cada uno de los conjuntos es convexo, y

2. si P esta en uno de los conjuntos y Q en el otro, entonces el segmentoPQ interseca a la recta.

DefinicionDada una recta L y un plano E que la contiene, los dos conjuntosdeterminados por el postulado 9 se llaman semiplanos o lados de L, y Lse llama arista o borde de cada uno de ellos. Si P esta en uno de lossemiplanos y Q esta en el otro, entonces decimos que P y Q estan a ladosopuestos de L.

Observaciones 3El postulado 9 dice dos cosas acerca del modo en que una recta separa alplano en dos semiplanos.

1. Si dos puntos estan en el mismo semiplano, entonces el segmento quelos une esta en el mismo semiplano y, por tanto, nunca interseca a larecta.

2. Si dos puntos estan en semiplanos opuestos, entonces el segmento queune los dos puntos siempre interseca a la recta.

Postulado 10 (de separacion del espacio)Los puntos del espacio que no estan en un plano dado forman dos conjuntostales que:

1. cada uno de los conjuntos es convexo, y

2. si P esta en uno de los conjuntos y Q en el otro, entonces el segmentoPQ interseca al plano.

Angulos y triangulos

DefinicionSe llama angulo a la figura geometrica formada por un par de rayos quetienen el mismo origen y que no estan en lınea recta.

Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.

13. De la adición de ángulos. Si D está en el interior del ∠BAC, entonces

m∠BAC = m∠BAD + m∠DAC.

14. Del suplemeneto. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.

15. Congruencia LAL. Toda correspondencia LAL es una congruencia.

16. Congruencia ALA. Toda correspondencia ALA es una congruencia.

17. Congruencia LLL. Toda correspondencia LLL es una congruencia.

18. De las paralelas. Por un punto externo dado hay solamente una recta paralela a una recta

dada.

1.5. Definiciones básicas

Cuando distinguimos entre el lado inicial y el lado terminal de un ángulo decimos que son

ángulos orientados. Este tipo de ángulos se estudian en la trigonometría. En ella se permite usar

ángulos orientados, ángulo cero y ángulos llanos. En geometría elemental no se necesitan ángulos

orientados. Los ángulos de un triángulo jamás son ángulos cero ni ángulos llanos y no hay modo

razonable alguno de decidir qué orientación deben tener.

Definición 1.1 (Ángulo). Es la figura geométrica formada por un par de rayos que tienen el

mismo origen y que no están en línea recta.

O

A

Bt

Figura 1.1: Ángulo ∠AOB

Los ángulos se miden con un transportador. Una unidad de medida es el grado sexagesimal.

Podemos clasisficarlos en águdo, recto y obtuso.

7

∠AOB =−→OA ∪

−−→OB

En el angulo ∠AOB, el punto O es el vertice del angulo y los rayos−→OA y−−→

OB son los lados del angulo.

Los angulos se miden con un transportador. Una unidad de medida es elgrado sexagesimal. Podemos clasificarlos en agudo, recto y obtuso.

Es indiferente que lado se nombre primero. Mas aun, no importa que puntose nombra en cada uno de los dos lados. Para abreviar, podemos escribirsencillamente ∠O, si conocemos los lados a que nos referimos.

DefinicionSe llama interior del angulo ∠AOB a la interseccion de dos semiplanos,

los cuales son: α1 con origen en la recta←→OA y que contiene el punto B y β1

con origen en←→OB y que contiene el punto A.

Interior de ∠AOB = α1 ∩ β1.

Observaciones 4

1. El interior de un angulo es convexo.

2. A los puntos del interior de un angulo se les llama puntos internos delangulo.

3. La reunion de un angulo con su interior es un sector angular o angulocompleto y tambien es conocido como angulo convexo.

DefinicionSe llama exterior del angulo ∠AOB al conjunto de los puntos que nopertenecen ni al angulo ∠AOB ni a su interior.

Postulado 11 (Del transporte de angulos)Dados un angulo ∠AOB y un rayo

−−−→O′A′ de un plano, existe sobre este

plano, y en uno de los semiplanos que separa−−−→O′A′ un unico rayo

−−−→O′B′ que

forma con−−−→O′A′ un angulo ∠A′O′B′ congruente al angulo ∠AOB.

DefinicionSean

−→OA y

−−→OA′ dos rayos opuestos y

−−→OB un rayo arbitrario, entonces los

angulos AOB y BOA′ forman un par lineal.


Postulado de la medida de los ángulos. A cada ángulo le corresponde un número real entre

0 y 180.

Ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, aquellos que miden lo

mismo.

Definición 1.2 (Ángulos suplementarios). Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180,

entonces decimos que los ángulos son suplementarios, y que cada uno es el suplemento del otro.

Definición 1.3 (Par lineal). Sean−→OA y

−−→OA′ dos rayos opuestos y

−−→OB un rayo arbitrario,

entonces los ángulos AOB y BOA′ forman un par lineal.

O A

B

A'

Figura 1.2: Par lineal

Postulado del par lineal. Si dos ángulos forman un par lineal, entonces la suma de sus medidas

es 180◦.

Ángulos complementarios. Dos ángulos son complementarios, si la suma de sus medidas es

90◦.

Definición 1.4 (Congruencia). Dos conjuntos de puntos A y B se dicen que son congruentes,

si existe una isometría que permita que un conjunto coincida con el otro.

La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir). Existen

tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.

Las isometrías son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimen-

siones ni el área de las mismas.

Definición 1.5 (Par angular). Es la figura formada por un par de segmentos cuyo extremo

es común y que no están en línea recta. Los lados y el vértice constituyen los elementos del par

angular.

8

Figura: Par lineal

Observacion 4En la definicion de par lineal, se dice que cada angulo es suplementoangular del otro.

Postulado 12 (De la adicion de angulos)Si D esta en el interior del ∠BAC, entonces

m∠BAC = m∠BAD +m∠DAC.

DefinicionSe llama par angular a la figura formada por un par de segmentos cuyoextremo es comun y que no estan en lınea recta. Los lados y el verticeconstituyen los elementos del par angular.


O A

B

a

b

Figura 1.3: Par angular AOB de lados a y b

Definición 1.6 (Triángulo). Es aquella figura geométrica que resulta de la reunión de tres

segmentos de recta unidos por sus extremos a quienes se les denomina vértices y a los segmentos

se le denomina lados del triángulo.

A

B

C

t

u

v

a

b

c

Figura 1.4: Elementos del ∆ABC

Notación. Un triángulo de vértices A,B y C se denotará mediante ∆ABC. Los lados se deno-

taran como AB, BC y AC; la longitud de los lados como a, b y c, respectivamente. Los ángulos

interiores como ∠BAC, ∠ABC y ∠BCA y sus medidas como t, u y v, respectivamente.

Todo triángulo divide al plano que lo contiene en tres conjuntos de puntos: la región interior,

la región exterior y el triángulo en sí. A la reunión de un triángulo y la región interior se le

denomina región triangular.

Ángulo interior. Es aquel ángulo determinado por dos lados consecutivos del triángulo.

Ángulo exterior formado por un lado y la prolongación del lado contiguo. En un triángulo se

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Figura: Par angular AOB de lados−→OA y

−−→OB

DefinicionSe llama bisectriz de un angulo ∠AOC a un rayo

−−→OB interno del angulo

∠AOC si y solamente si ∠AOB ∼= ∠BOC.

A B

A

BB CC

Postulado 13 (De la medida de los angulos)A cada angulo le corresponde un numero real entre 0 y 180.

DefinicionSe llama angulo recto a todo angulo congruente a su suplementoadyacente.se llama angulo agudo a un angulo menor que un angulo recto.se llama angulo obtuso es un angulo mayor que un angulo recto.

Postulado 14Sea−→AB un rayo de la recta borde del semiplano H. Para cada numero r

entre 0 y 180, hay exactamente un rayo−→AP , con P en H, tal que

m∠PAB = r.

Observacion 5Si el angulo mide 0◦ se dira que es nulo y si mide 180◦ se llamara angulollano.

DefinicionSe llaman angulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud,es decir, aquellos que miden lo mismo.

DefinicionDos angulos se llaman angulos suplementarios a aquellos cuya suma desus medidas es 180, entonces decimos que los angulos son suplementarios, yque cada uno es el suplemento del otro.

DefinicionDos angulos se llaman angulos complementarios, si la suma de susmedidas es 90◦.

Postulado 15 (Del suplemento)Si dos angulos forman un par lineal, entonces son suplementarios.

Ejemplo 3Demuestre que los angulos opuestos por el vertice tienen la misma medida.Solucion.

1.2 Ángulos en el plano 11

αβ

γ

δ

De la figura es evidente que: α+δ= 180◦, y también que: β +δ= 180◦.Esto nos permite igualar:

α+δ=β +δ

Restando δ de ambos lados de la igualdad obtenemos: α=β .En palabras, los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida.

Otros pares de ángulos que se definen en geometría por su frecuente aparición en la resolución de prob-lemas son los que a continuación se mencionan.

Definición 5

ÁNGULOS COMPLEMETARIOS

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es igual a la medida de un án-gulo recto.En otras palabras, si la suma de dos ángulos es igual a 90◦, entonces los ángulos son comple-mentarios.

En la siguiente figura, los ángulos α y β son complementarios.

α

β

No se requiere que los ángulos sean adyancentes para que sean complementarios. Basta con que la sumade sus medidas sea 90◦.

Entonces decimos que el ángulo α es el complemento del ángulo β y también que el ángulo β es el com-plemento del ángulo α.

Definición 6

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es igual a la medida de un ángulollano.En otras palabras, si la suma de dos ángulos es igual a 180◦, entonces los ángulos son com-plementarios.

En la siguiente figura, los ángulos α y β son suplementarios.

αβ

De manera semejante a los ángulos complementarios, no se requiere que los ángulos sean adyancentespara que sean suplementarios. Basta con que la suma de sus medidas sea 180◦.

Efraín Soto A. www.aprendematematicas.org.mx

De la figura tenemos que: γ + β = 180, y tambien que: α+ γ = 180. Estonos permite igualar: γ + β = α+ γ, entonces α = β.Por otro lado tenemos que: δ + β = 180, y tambien que: α+ γ = 180. Estonos permite igualar: δ + β = α+ γ, como α = β entonces γ = δ.Ası los angulos opuestos por el vertice tienen la misma medida.

El triangulo

DefinicionSe llama triangulo a aquella figura geometrica que resulta de la reunionde tres segmentos de recta unidos por sus extremos a quienes se lesdenomina vertices y a los segmentos se le denomina lados del triangulo.


O A

B

a

b

Figura 1.3: Par angular AOB de lados a y b

Definición 1.6 (Triángulo). Es aquella figura geométrica que resulta de la reunión de tres

segmentos de recta unidos por sus extremos a quienes se les denomina vértices y a los segmentos

se le denomina lados del triángulo.

A

B

C

t

u

v

a

b

c

Figura 1.4: Elementos del ∆ABC

Notación. Un triángulo de vértices A,B y C se denotará mediante ∆ABC. Los lados se deno-

taran como AB, BC y AC; la longitud de los lados como a, b y c, respectivamente. Los ángulos

interiores como ∠BAC, ∠ABC y ∠BCA y sus medidas como t, u y v, respectivamente.

Todo triángulo divide al plano que lo contiene en tres conjuntos de puntos: la región interior,

la región exterior y el triángulo en sí. A la reunión de un triángulo y la región interior se le

denomina región triangular.

Ángulo interior. Es aquel ángulo determinado por dos lados consecutivos del triángulo.

Ángulo exterior formado por un lado y la prolongación del lado contiguo. En un triángulo se

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Figura: Elementos del ∆ABC

Notacion. Un triangulo de vertices A,B y C se denotara mediante∆ABC. Los lados se denotaran como AB, BC y AC; la longitud de loslados como a, b y c, respectivamente. Los angulos interiores como ∠BAC,∠ABC y ∠BCA y sus medidas como t, u y v, respectivamente.

Se notara que cuando dibujamos un triangulo, no necesariamente hemosdibujado sus angulos. Si queremos dibujar los angulos, debemos prolongarlos lados y utilizar flechas. Generalmente, no hay necesidad de hacer esto,porque sabemos claramente cuales deben ser los angulos.Todo triangulo divide al plano que lo contiene en tres conjuntos depuntos: la region interior, la region exterior y el triangulo en sı. A la reunionde un triangulo y la region interior se le denomina region triangular.Angulo interior. Es aquel angulo determinado por dos lados consecutivosdel triangulo.

Angulo exterior formado por un lado y la prolongacion del lado contiguo.

En un triangulo se pueden trazar tres angulos interiores y seis angulos

exteriores.

Clasificacion de los triangulos

Segun las medidas de los angulos interiores

1. Acutangulos. Cuando los angulos interiores tienen medida menores a90◦.

2. Rectangulos. Un angulo interior mide 90◦.

3. Obtusangulos. La medida de un angulo interior es mayor de 90◦.

Observacion 6El lado opuesto del angulo recto de un triangulo recto es la hipotenusa y losotros dos lados son los catetos del triangulo.

Segun la longitud de sus lados

1. Escaleno. Es aquel triangulo cuyos lados son de diferentes longitudes.

2. Isosceles. Dos lados del triangulo tienen la misma longitud. Al ladodesigual se denomina base del triangulo.

3. Equilatero. Los tres lados del triangulo son iguales.

Observacion 7Notemos que todo triangulo equilatero es isosceles

Congruencia de triangulos

Un triangulo es congruente (sımbolo ∼=) a otro si, y solamente si, es posibleestablecer una correspondencia entre sus vertices de modo que:sus lados son ordenadamente congruentes a los lados del otro y sus angulosson ordenadamente congruentes a los angulos del otro.

La congruencia entre triangulos es reflexiva, simetrica y transitiva. Casosde congruencia.Existen condiciones mınimas para que dos triangulos sean congruentes. Sonlos llamados casos o criterios de congruencia.

Postulado 16 (Congruencia LAL)Si dos triangulos tienen respectivamente un par angular congruente,entonces dichos triangulos son congruentes.

Postulado 17 (Congruencia ALA)Dos triangulos son congruentes si tienen dos medidas angularesrespectivamente iguales y el lado comprendido entre ellos son congruentes.

Postulado 18 (Congruencia LLL)Dos triangulos son congruentes si sus tres lados son respectivamentecongruentes.

Teorema 5 (El teorema del triangulo isosceles)Si dos lados de un triangulo son congruentes, entonces los angulos opuestosa estos lados son congruentes,O de otro modo: Se da el ∆ABC. Si AB ∼= AC, entonces ∠B ∼= ∠C.

///

Corolario 6Todo triangulo equilatero es equiangulo.

Teorema 7Si dos angulos de un triangulo son congruentes, entonces los lados opuestosa estos angulos son congruentesO de otro modo: Se da el ∆ABC. Si ∠B ∼= ∠C, entonces AB ∼= AC.

///

Corolario 8Todo triangulo equiangulo es equilatero.

Definicion (El angulo externo.)Dado un ∆ABC y siendo

−−→CX el rayo opuesto al rayo

−−→CB, el angulo

e = ∠ACX es el angulo externo del ∆ABC adyacente a ∠C y no adyacentea los angulos ∠A y ∠B.El angulo e es el suplementar adyacente de ∠C.

Xe

Teorema 9 (El teorema del angulo externo)

Un angulo externo de un triangulo es mayor que cualquier angulo interiorno adyacente.

Demostracion.

X

Sea M el punto medio de AC y P perteneciente al rayo−−→BM tal que:

BM = MP

Por el caso LAL, ∆BAM ∼= ∆PMC y de ahı se tiene ∠BAM ∼= ∠PCM .Como P es interno de ∠e = ∠ACX, se tiene ∠e > ∠PCM , con eso seconcluye que ∠e > ∠A.Analogamente, tomando el punto medio de BC y usando angulos por elvertice, concluimos que ∠e > ∠B.

Desigualdades en los triangulos

Teorema 10 (Al mayor lado se le opone el mayorangulo)

Si dos lados de un triangulo no son congruentes, entonces los angulosapuestos a ellos no son congruentes y el mayor de ellos esta opuesto almayor lado.Es decir: Si a > b entonces ∠A > ∠B.

Demostracion.Consideremos D en BC tal que CD ∼= CA.BC > AC ⇒ D es interno a ∠CAB ⇒ ∠CAB > ∠CAD.Como el ∆CAD es isosceles de base AD ⇒ ∠CAD ∼= ∠CDA, se tiene∠CAB > ∠CDA (1)Por otro lado ∠CDA es angulo externo en∆ABD ⇒ ∠CDA > ∠ABD = ∠ABC (2)De (1) y (2), se tiene ∠CAB > ∠ABC es decir ∠A > ∠B.

Teorema 11 (Al mayor angulo se le opone el mayorlado)

. Si dos angulos de un triangulo no son congruentes, entonces los ladosapuestos a ellos no son congruentes y el mayor de ellos esta opuesto almayor lado.Es decir: Si ∠A > ∠B entonces a > b.

Demostracion.Hay tres posibilidades para BC y AC :

i. BC < AC o ii. BC ∼= AC o iii. BC > AC

La primera [i.] Si BC < AC, entonces, por el teorema anterior, ∠A < ∠B loque es una contradiccion a la hipotesis.La segunda [ii.] Si BC ∼= AC, entonces, por el teorema del trianguloisosceles, ∠A ∼= ∠B, lo que tambien es una contradiccion.Por lo tanto se tiene BC > AC.

Teorema 12 ( La desigualdad triangular.)

En todo triangulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos.Es decir: a, b y c lados de un triangulo, entonces a < b+ c.

a

b c

c

Demostracion.Consideramos un punto D en la semi-recta opuesta a la semi- recta

−→AC, tal

que AD ∼= AB (1).DC = AC +AD por (1) tenemos DC = AC +AB (2)(1) implica que el ∆ABD es isosceles de base BD, entonces∠ADB ∼= ∠ABDPor otro lado A es interno al angulo ∠CBD, entonces ∠CBD > ∠ABD.Luego ∠CBD > ∠ADB ∼= ∠CDB (3)En el triangulo BCD con (3) y por el teorema anterior, vemos BC < DC ypor (2) tenemos a < b+ c.

Observacion 8

1. La desigualdad triangular tambien tambien puede ser enunciada de lasiguiente manera: En todo triangulo, cada lado es mayor que ladiferencia de los otros dos.

2. Si a, b y c son las medidas de los lados de un triangulo, debemos tenerlas tres condiciones:a < b+ c, b < a+ c y c < a+ bEstas relaciones pueden resumirse ası: |b− c| < a < b+ c

Paralelismo - Conceptos y propriedades

DefinicionSe llaman rectas paralelas si, y solamente si, ellas son coincidentes(iguales) o son coplanares y no tiene ningun punto comun.Notacion: ‖ y graficamente

LL

R

L

L L

L

L

R

R R RP

P

P

Postulado 19 (De las paralelas)Por un punto externo dado hay solamente una recta paralela a una rectadada.

Observacion 9Recta transversal Sean L y R dos rectas distintas, paralelas o no, y t unarecta concurrente con L y R :

1. S es una transversal de L y R; se tienen las siguientes figuras

L

LR

R

SS

2. de los ocho angulos determinados por esas rectas indicadas en lasfiguras de arriba, se llaman angulosalternos: ∠1 y∠7, ∠2 y∠8, ∠3 y∠5, ∠4 y∠6.correspondientes: ∠1 y∠5, ∠2 y∠6, ∠3 y∠7, ∠4 y∠8.colaterales: ∠1 y∠8, ∠2 y∠7, ∠3 y∠6, ∠4 y∠5.

Observacion 10

1. Con mas precision podemos clasificarlos:alternos internos: ∠3 y 5, ∠4 y 6.alternos externos: ∠1 y 7, ∠2 y 8.colaterales internos: ∠3 y 6, ∠4 y 5colaterales externos: ∠1 y 8, ∠2 y 7.

2. La congruencia de los angulos alternos de uno de los pares (por

ejemplo, ∠1 ∼= ∠7) equivale

2.1 La congruencia de los angulos de todos los pares de angulosalternos (∠2 ∼= ∠8, ∠3 ∼= ∠5, ∠4 ∼= ∠6);

2.2 La congruencia de los angulos de todos los pares de anguloscorrespondientes (∠1 ∼= ∠5, ∠2 ∼= ∠6, ∠3 ∼= ∠7, ∠4 ∼= ∠8);

2.3 La suplementaridad de los angulos de todos los pares decolaterales(∠1 + ∠8 = ∠2 + ∠7 = ∠3 + ∠6 = ∠4 + ∠5 = 180◦).

Existencia de la paralela

Teorema 13Si dos rectas coplanares distintas en y una transversal determinam angulosalternos (o angulos correspondientes) congruentes; entonces esas dos rectasson paralelas.

L

L

R

R

T

Demostracion.Si L y b no fuesen paralelas, tendrıan un punto P en comun y L∩R = {P}.Siendo

L ∩ T = {A} y R ∩ T = {B},tendrıamos el triangulo ABP.

T

L L

R RT

Por el teorema del angulo externo aplicado al ∆ABP, tendrıamos:

α > β o β > α

lo que es absurdo, de acuerdo con la hipotesis.Luego, las retas L y R son paralelas, esto es, L ‖ R.

Teorema 14 (Teorema de los angulos alternos ocorrespondientes)Si dos rectas paralelas distintas interceptan a una transversal, entonces losangulos alternos (o los angulos correspondientes) son congruentes.

RR

LL R

LT

Demostracion.Si α y β no fuesen congruentes, por el postulado del transporte de angulosexistirıa una recta x, distinta de R, pasando por P, {P} = R ∩ T, tal que:∠xT = β′ alterno de α y β′ ∼= α y por el teorema de la existencia de laparalela α ∼= β′ ⇒ x ‖ A

L

RT

Por P tendrıamos dos rectas distintas x y R, ambas paralelas a la recta L,lo que es un absurdo( contradice al postulado de las paralelas.)Luego, α es congruente a β.

Observacion 11Con los dos teoremas anteriores podemos concluir en la figura:

Si y solo si L

LL R RR

T

Teorema 15 (Angulos de lados paralelos)Dos angulos de lados respectivamente paralelos son congruentes osuplementares.Es decir en la figura

se cumple α ∼= β, α′ ∼= β′, α+ β′ = 180◦, y α′ + β = 180◦.

Demostracion.Consideremos los angulos de medidas α y α′ adyacentes suplementares y βy β′ adyacentes suplementares.

Por el paralelismo, considerando el angulo auxiliar λ, tenemos:

α ∼= λβ ∼= λ

}⇒ α ∼= β

Por otro lado, por ser suplementarios

β′ + β = 180◦

α′ + α = 180◦

}⇒ β′ + α = 180◦

α′ + β = 180◦∧ α′ ∼= β′

Teorema 16En todo triangulo la suma de las medidas de los angulos interiores es 180◦.


pueden trazar tres ángulos interiores y seis ángulos exteriores.

1.6. Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño.

1. Congruencia LAL. Si dos triángulos tienen respectivamente un par angular congruente,

entonces dichos triángulos son congruentes.

2. Congruencia ALA. Dos triángulos son congruentes si tienen dos medidas angulares res-

pectivamente iguales y el lado comprendido entre ellos son congruentes.

3. Congruencia LLL. Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente

congruentes.

1.7. Teoremas fundamentales en un triángulo

Teorema 1.7. En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180◦.

A

B

C

t

u

v

x yL

Figura 1.5: t + u + v = 180◦ en el ∆ABC

Prueba. Sea el ∆ABC, figura 1.5. Trazando una recta L paralela al lado AC que pase por el

vértice B. En el vértice B: x + u + y = 180◦.

Por alternos internos

x = t

y = v

Reemplazando se obtiene t + u + v = 180◦.

10

Figura: t + u + v = 180◦ en el ∆ABC

Prueba. Sea el ∆ABC, figura 4. Trazando una recta L paralela al lado ACque pase por el vertice B. En el vertice B: x+ u+ y = 180◦.Por alternos internos

x = t

y = v

Reemplazando se obtiene t+ u+ v = 180◦.

Teorema 17La medida de un angulo exterior de un triangulo es igual a la suma de lasmedidas de sus angulos interiores no adyacentes al angulo exterior.Prueba. Por demostrar en el triangulo ABC, figura 5, que el angulox = u+ v.


Sumando se tiene

t + u + v + e1 + e2 + e3 = 540◦

Como t + u + v = 180◦ entonces e1 + e2 + e3 = 360◦.

Teorema 1.10. La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las

medidas de sus ángulos interiores no adyacentes al ángulo exterior.

Prueba. Por demostrar en el triángulo ABC, figura 1.8, que el ángulo x = u + v. En el vértice

A

B

Ct

u

vx

Figura 1.8: Ángulo exterior en un triángulo

A : t + x = 180◦. Por teorema 1.7, t + u + v = 180◦. Comparando x = u + v.

Teorema 1.11 (Teorema de la correspondencia en un triángulo). En todo triángulo a

mayor ángulo se opone mayor longitud de sus lados.

Prueba. En el triángulo ∆ABC trazamos el segmento AP con P ∈ AB tal que AB = BP ,

figura 1.9. El triángulo ABP es isósceles. Sea s la medida de los ángulos congruentes en ∆ABP .

A

B

Ct

u

v

a

b

cs

sw

Figura 1.9: Correspondencia en un triángulo

En el vértice A : t = w + s.

12

Figura: Angulo exterior en un triangulo

En el vertice A : t+ x = 180◦. Por teorema 16, t+ u+ v = 180◦.Comparando x = u+ v.

Teorema 18La suma de las medidas de los angulos exteriores del triangulo, trazados unoen cada vertice es 360◦.


Teorema 1.8 (Existencia de un triángulo). En todo triángulo la longitud de un lado es

menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados, pero mayor que la diferencia de las

longitudes de estas. Si b ≥ a ≥ c entonces b − c < a < b + c.

A

B

Ct

u

v

a

b

c

Figura 1.6: Existencia de un triángulo

Prueba. En el triángulo ABC, figura 1.6, se cumple: b < a + c ⇒ b − c < a. Además, a < b + c.

En consecuencia, b − c < a < b + c.

Teorema 1.9. La suma de las medidas de los ángulos exteriores del triángulo, trazados uno en

cada vértice es 360◦.

A

B

Ct

u

ve1

e2

e3

Figura 1.7: Suma de los ángulos externos de un triángulo

Prueba. En el triángulo ∆ABC trazamos tres ángulos exteriores e1, e2, e3, figura 1.7, uno en

cada vértice.

Del teorema 1.7, t + u + v = 180◦. En cada uno de los vértices del ∆ABC:

t + e1 = 180◦, u + e2 = 180◦, v + e3 = 180◦

11

Figura: Suma de los angulos externos de un triangulo

Prueba. En el triangulo ∆ABC trazamos tres angulos exteriores e1, e2, e3,figura 6, uno en cada vertice.Del teorema 16, t+ u+ v = 180◦. En cada uno de los vertices del ∆ABC:

t+ e1 = 180◦, u+ e2 = 180◦, v + e3 = 180◦

Sumando se tienet+ u+ v + e1 + e2 + e3 = 540◦

Como t+ u+ v = 180◦ entonces e1 + e2 + e3 = 360◦.

Perpendicularidad

Ejemplo 4Demuestre que en todo triangulo equilatero cada angulo mide 60◦.

DefinicionSe llaman rectas perpendiculares, a aquellas que son concurrentes yforman angulos adyacentes suplementares congruentes.

Notacion. ⊥, L ⊥ R⇔ (L ∩R = {P} y∠L1PR1 = ∠L1PR2)

LL

L

RRR

donde L1 es uno de los rayos de L de origen P y R1 y R2 son rayosopuestos con origen en P.Dos rayos son perpendiculares si y solamente si, estan contenidao en rectasperpendiculares y tienen un punto en comun.

Dos segmentos de recta son perpendiculares si y solamente si, estancontenidos en rectas perpendiculares y tienen un punto en comun.Un angulo ∠L1PR1 es recto si el rayo L1 es perpendicular al rayo R1.

DefinicionSe llaman rectas oblicuas a aquellas que son concurrentes y no sonperpendiculares.

Consideremos una recta r y un punto O de ella. Tomemos dos puntos P yQ en semiplanos opuestos en relacion a r tales que

∠L1OP ∼= ∠L1OQ (1) y OP ∼= OQ (2)

donde L1, es una de l0s rayos de L de origem O. El segmento PQintercepta a L en un ponto X. Tenemos los tres casos siguientes:

=L L L LL L

Caso 2. Cuando X = O, tenemos ∠PXL1∼= QXL1 y L ⊥⇔ PQ y

∠PXL1 es recto.Caso 1 y 3. En este caso tenemos: ∆POX ∼= ∆QOX por el caso LAL((2),(1) y OX comun)Entonces: ∆POX ∼= ∆QOX ⇒ ∠PXO ∼= ∠QXO ⇒ L ⊥⇔ PQ⇒ ∠PXOes recto.

Postulado 20 (Primer postulado de la existencia y unicidadde la perpendicular)En un plano por un punto dado de una recta dad pasa una unicaperpendicular a esta recta.

Postulado 21 (Segundo postulado de la existencia yunicidad de la perpendicular)Por un punto dado fuera de una recta dada existe una y solamente unarecta perpendicular a la recta dada.

Teorema de Tales

DefinicionSe llama haz de rectas paralelas a un conjunto de rectas coplanaresparalelas entre si.

DefinicionSe llama transversal del haz de rectas paralelas a una recta del planoque recorre todas las rectas de un haz de rectas paralelas.

DefinicionSe llama puntos correspondientes de dos transversales a los puntos deestas transversales que estan en una misma recta del haz.

Definicion (Segmentos correspondientes de lastransversales)

Son segmentos cuyos extremos son los respectivos puntos correspondientes.

A y A′, B y B′, C y C′, D y D′ son puntos correspondientes.

AB y A′B′, CD y C′D′ son segmentos correspondientes.

Teorema 19 (Propiedades)Si dos rectas son transversales de un haz de rectas paralelas distintas y unsegmento de una de ellas es dividido en p partes congruentes entre si y porlos puntos de division son conducidas rectas del haz, entonces el segmentocorrespondiente da otra transversal:

1. tambien es dividido en p partes

2. y esas partes tambien son congruentes entre si.

Teorema 20Teorema de Tales. Si dos rectas son transversales de un haz de rectasparalelas, entonces a razon entre dos segmentos cualesquiera de una de ellases igual a la razon entre los respectivos segmentos correspondientes a la otra.O de otra forma:AB y CD son dos segmentos de una transversal, y A′B′ y C′D′ son los

respectivos de la otra. Entonces AB

CD= A′B′

C′D′

Curso de Perfeccionamento Docente Geometr a Plana I

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