Curso de de física general I

Curso de física general I

Compilación y armado: Sergio Pellizza dto. Apoyatura Académica I.S.E.S.

Lecc 1ª Método y Ciencia Lecc 2ª ¿Qué es la Física? Lecc 3 ª Notación Científica Lecc 4 ª Notación Científica: Suma Lecc 5ª Notación Científica: Resta Lecc 6ª Notación Científica: Multiplicación y División Lecc 7ª Exponenciación Lecc 8ª Radicación Lecc 9ª Conversión de Unidades y Magnitudes Físicas Fundamentales Lecc 10ª Unidades Fundamentales de Longitud Lecc 11ª Unidades Fundamentales de Masa y Tiempo Lecc 12 ª Factores de Conversión para Área y Volumen Lecc 13 ª Conversión de Grados a Minutos y Segundos Lecc 14 ª Conversión de Radianes a Grados y Grados a Radianes Lecc 15 ª Teorema de Pitágoras Lecc 16 ª Ejemplo Teorema de Pitágoras Lecc 17ª Funciones Trigonométricas Lecc 18 ª Ejercicios Funciones Trigonométricas Lecc 19 ª Ejercicios Funciones Trigonométricas Lecc 20 ª Resolución de Triángulos Rectángulos Lecc 21ª Cinemática de Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U) Lecc 22ª Problemas de Aplicación M.R.U Lecc 23 ª Problemas de Aplicación M.R.U Lecc 24 ª Movimiento Uniformemente Acelerado (M.U.A) Lecc 25ª Problemas de Aplicación M.U.A Lecc 26ª Problemas de Aplicación M.U.A Lecc 27 ª Problemas de Aplicación M.U.A Lecc 28 ª Caida Libre de Los Cuerpos (C.L.C) Lecc 29 ª Problemas de Aplicación C.L.C Lecc 30 ª Problemas de Aplicación C.L.C Lecc 31 ª Problemas de Aplicación C.L.C

Lecc 32 ª Problemas de Aplicación C.L.C Lecc 33 ª Guía de Ejercicios No. 1 Lecc 34 ª Guía de Ejercicios No. 2 Lecc 35 ª Guía de Ejercicios No. 3

MÉTODO Y CIENCIA

CIENCIA

La Ciencia es un conjunto exacto de conocimientos relacionados ya sea a

un objeto, persona o suceso específico.

El trabajo que realiza un científico se conoce como Investigación Científica

que se da por medio de un Método Científico, siendo éste una secuencia

de pasos y/o procedimientos a ejecutarse.

MÉTODO

Un método es un camino a seguir para llevar una actividad X a un fin, de

forma que pueda ser comprobado.

Lo que diferencia a un Método Científico de los demás métodos es su

Finalidad.

Los aspectos a tomarse en cuenta dentro de un Método Científico son los

siguientes:

1. Establecer un orden en aquellas actividades que realizará el científico.

2. Orientar la Investigación Científica a un fin.

La relación entre ciencia y método está íntimamente relacionada, ya que

sin método no existiría la ciencia.

Podemos considerar 4 pasos importantes del Método que de acuerdo a

nuestro objeto de estudio, nos ayudarán a realizar una Investigación

Científica:

• Observación. • Formulación de Hipótesis. • Comprobación. • Formulación de una Ley. • Existencia de una Lógica Aplicada.

PASOS DEL MÉTODO CIENTÍFICO

Como mencionábamos anteriormente, existen 4 fases o pasos para la

realización del Método Científico y cada una se explica a continuación:

1. Observación del Fenómeno (Persona, Objeto o Situación determinada):

Consiste en un estudio a profundizar basado en la experiencia, de manera

que pueda manifestarse como un problema, obstáculo o una determinada

situación que no pueda explicarse.

2. Formulación de Hipótesis:

Teniendo ya identificado el problema con exactitud, recurrimos a formular

hipótesis “tentativas” basadas en los fenómenos observados. Es aquí

donde los factores involucrados tienden a identificarse con más precisión.

3. Comprobación:

En ésta fase se aprueban las hipótesis formuladas, desarrollando un diseño

o guía para la solución del problema.

4. Formular una Ley:

Teniendo en cuenta lo anterior, los resultados identificados pasan a ser

objeto de mayor análisis y prueba para su estudio.

5. Lógica Aplicable:

El último paso sería las conclusiones sobre datos y pruebas que integran y

fundamentan el conocimiento existente.

¿QUÉ ES LA FÍSICA?

* La FÍSICA se define como la Ciencia que estudia las propiedades de la materia y las

leyes que tienden a modificar su estado o movimiento sin cambiar su naturaleza.

Ahora nos preguntáremos:

¿En qué difiere la Física con la Ciencia?

A decir verdad, la Física parte de una Ciencia, por ejemplo, las ciencias pueden

clasificarse en varias ramas: Ciencias Biológicas, Químicas, Económicas, etc. La

Física no, es específica y se basa en métodos científicos para la realización de

sus estudios en función.

¿Qué función juegan las Matemáticas en la Física?

La respuesta es sencilla, las Matemáticas es una herramienta esencial para la Física,

pues como se verá más adelante los procesos matemáticos sirven de base para la

resolución y explicación de problemas físicos. En base a ello, ocuparemos fórmulas

que nos ayudarán a simplificar las respuestas requeridas en determinado problema.

Ahora bien, ya teniendo los conceptos claros de Ciencia y Física, podemos empezar a

resolver problemas, partiendo de los más sencillos a los más complejos. Pero no hay

de que preocuparse, se recomienda a todo aquel principiante de Física, siempre

apoyarse en Bibliografía y/o apuntes de estudio para hacer más fácil el aprendizaje.

PODEMOS EMPEZAR!

* Definición Obtenida de “Física, Conceptos y Aplicaciones”, Segunda Edición. Autor: Paúl E. Tippens.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La Notación Científica nos ayuda a poder expresar de forma más sencilla

aquellas cantidades numéricas que son demasiado grandes o por el

contrario, demasiado pequeñas.

Se conoce también como Notación Exponencial y puede definirse como el

Producto de un número que se encuentra en el intervalo comprendido del

1 al 10, multiplicándose por la potencia de 10.

Por ejemplo, tenemos la siguiente cantidad:

139000000000 cm.

Ahora lo llevamos a la mínima expresión y tenemos como respuesta:

¿Cómo lo llevamos a la mínima expresión?

1. Primero, empezaremos a contar los espacios que separan a cada número de derecha a izquierda, hasta llegar al último número entero.

2. Antes de llegar a dicho número, separamos la cantidad con un punto dejando como compañía dos decimales más, (en éste caso 3 y 9).

3. Por último, multiplicamos la cantidad (1.39) por 10 (que es la base) y lo elevamos a la potencia 11 (Ya que son 11 espacios que separan a cada número).

Veamos otro ejemplo, tenemos 0.000096784 cm.

En éste caso, el procedimiento será de la siguiente manera:

1. Partiremos desplazando el punto de derecha a izquierda, hasta llegar al primer número diferente de cero (en éste caso 9).

2. Separamos el número seguido por dos decimales (6 y 7) multiplicado por 10 como base constante.

3. La potencia, a diferencia del primer ejemplo, será negativa ya que contamos de izquierda a derecha, tomando en cuenta únicamente los números enteros.

Es decir, que tenemos como resultado:

O bien:

Aproximado, en donde la respuesta también sigue siendo válida.

Cabe mencionar, que se seleccionaron únicamente los números enteros,

debido a que en términos matemáticos los ceros a la izquierda no cuentan

y no deben ser incluidos.

La Notación Científica puede utilizarse en las Operaciones Algebraicas

Básicas que conocemos: Suma, Resta, Multiplicación y División.

Hagamos un ejemplo con cada una de las operaciones.

1. SUMA

Tenemos 450000 + 1270 + 530000 Tomando en cuenta los procedimientos anteriores, tenemos como resultado:

1) 4500000 =

2) 1270 =

3) 530000 =

4) Ahora bien, para sumar tenemos que llevar las cantidades a una misma

potencia,en éste caso nos difiere , para poder llevarlo a la potencia de 5, corremos el punto dos cifras más, siempre de derecha a izquierda,

obteniendo (Se agregaron las cantidades que hacían falta, siendo siempre 0.) 5) Teniendo las cantidades a una misma potencia, procedemos a sumar:

6) Obteniendo como Respuesta En otro ejemplo tenemos, 0.0536 + 0.0456 + 0.0043 Llevándolo a la mínima expresión tenemos: 1) 0.0536 =

2) 0.0456 =

3) 0.0043 =

4) Llevamos a la misma potencia todas las cantidades,

así que va a ser igual a , en éste caso corrimos de derecha a izquierda una cifra y se restaron las potencias ( -3 + 1 ) quedando de potencia -2 ya que el número es mayor predominando el signo. 5) Ahora procedemos a sumar:

6) Se tiene de Respuesta o también se puede expresar como

(Se desplaza el punto de derecha a izquierda, restando potencias)

2. RESTA

Se tiene 0.535 – 0.021 1) Expresamos las cantidades en Notación Científica 0.535 =

0.021 =

2) Ahora, tenemos que llevar las expresiones a la misma potencia, en éste caso será la potencia de -2 a -1.

( Se desplazó el punto de derecha a izquierda).

3) Teniendo potencias iguales, restamos:

4) Obtenemos como Respuesta En el siguiente ejemplo, combinaremos Suma con Resta, así:

Empezaremos realizando las operaciones por separado:

1)

¿Por qué está respuesta? Acordémonos que las cantidades se tienen que igualar a la misma potencia y por eso, hicimos llegar 2.35 x 10 -1 a la potencia de 1 agregando dos ceros de derecha a izquierda para hacerlo positivo. Recordemos la Gráfica de Escalas que se detalla a continuación:

2) Seguimos trabajando las siguientes cantidades:

, cómo en el caso anterior, hicimos llegar la potencia -1 a 1. 3) Por último procedemos a restar las dos respuestas: 3) Por último procedemos a restar las dos respuestas:

4) Teniendo como Respuesta

3. MULTIPLICACIÓN

Multiplicar 0.215 mts. x 250000 mts. 1) Desplazamos el punto al primer número entero, quedándonos potencia negativa, así: 0.215 = 2) De igual forma, el punto se desplaza de derecha a izquierda hasta llegar al primer número entero: 250000 =

3) En el caso de la multiplicación, vamos a multiplicar las bases, con la diferencia que las potencias se sumarán. OJO! Únicamente en la Multiplicación, así: Multiplicamos las bases: 2.15 x 2.5 = 5.375 4) Ahora sumamos las potencias – 1+5, obteniendo como resultado potencia de 4.

4) La respuesta sería de

Multiplicar 1) En éste ejemplo es un poco más sencillo, ya que las expresiones están dadas ya en Notación Científica, empezamos a multiplicar bases: 9.2 x 6.2 = 57.04

2) Ahora sumamos potencias 12 + 15 = 27 3) Quedando en Notación Científica la expresión

. 4) Pero la idea de aplicar Notación Científica, es llevarla las cantidades a la mínima expresión tenemos que:

5) Obteniendo como respuesta 4. DIVISIÓN

Dividir

1)

2)

3) En la división, las potencias las vamos a restar (lo contrario de la multiplicación), y dividimos las bases como cualquier división. Dividimos: 5.32 ÷ 2.37 = 2.244

Ahora restamos las potencias 0 – 5, obteniendo como resultado potencia de -5.

4) Obtenemos como respuesta

En otro ejemplo, dividamos

1) Dividimos bases : - 9.4 ÷ - 3.4 = 2.76, nos da cantidad positiva, ya que en la

multiplicación de signos, los iguales dan signo positivo.

2) Ahora restamos potencias -20 – (+15)= - 20 – 15= - 35. Aquí lo que hicimos

fue multiplicar signos quedando signos iguales y por ende se sumaron.

3) Quedándonos:

4) Obtenemos como respuesta

EXPONENCIACIÓN

Así como en la Notación Científica, la Exponenciación funciona de igual forma y más

sencilla, la única diferencia es que las potencias se multiplican.

Ejemplo:

Tenemos la siguiente cantidad,

El Procedimiento a seguir será de la siguiente forma:

1) Llevamos la cantidad a Notación Científica, es decir:

2) Ahora aplicamos la Exponenciación , lo hacemos de igual forma para base y potencia, así:

Base: (1.21 x 1.21) ó también = 1.46

Ahora multiplicamos las Potencias ( 5 x 2) = 10

3) Obteniendo como resultado En la mayoría de las Operaciones realizadas, se aplican los mismos procedimientos, lo único que cambia es la función que tiene la potencia en cada una de ellas. Veamos otro tipo de ejemplo de Exponenciación:

Tenemos

1) La cantidad ya está expresada en Notación Científica, así que empezaremos por

elevar la base a la potencia indicada, así:

2) Ahora multiplicamos potencias de la cantidad inicial:

(4 x 12) = 48

3) En éste caso, vamos a sumar los exponentes de las bases, debido a que cuando aplicamos potenciación en las bases, nos quedó como resultado Notación Científica, pero ya que nos quedaron dos bases, lo que nos queda es sumar exponentes, cómo se detalla a continuación:

4) Y la respuesta final sería:

Desarrollar 1) Pasamos a Notación Científica

2) Pasamos a multiplicar potencias:

3) Obteniendo como respuesta:

En estos casos, el signo negativo siempre se mantiene con la base, sin perjudicar el

procedimiento de Exponentes.

RADICACIÓN

En la Radicación, trabajaremos siempre con bases y potencias, pero utilizaremos la

función Radical para las cantidades que se nos presentan.

Para entenderlo mejor lo veremos en el siguiente ejemplo:

1) Aplicando Notación Científica nos quedaría

2) En éste caso, porque es raíz cuadrada, pasaremos el 6.4 a número

entero, desplazando el punto de izquierda a derecha y procedemos a restar potencias:

5 – 1 = 4, quedándonos así:

3) Obtenemos raíz cuadrada de 64 que sería 8 y de la Potencia 4 que sería 2.

4) Teniendo como respuesta

Veamos otro ejemplo combinando operaciones:

Tenemos

1) Trabajamos por separado cada una de las cantidades:

, desplazamos el punto y restamos

potencia, obteniendo raíz cúbica quedaría =

= de igual forma, desplazamos

el punto y restamos potencia, quedando =

2) En el segundo caso la potencia -2 se mantiene ya que no se puede obtener

raíz cúbica de una cantidad par y negativa.

3) Ahora multiplicamos

4) Obteniendo como resultado:

CONVERSIÓN DE UNIDADES

En la mayoría de situaciones y por causa de diversas cantidades con unidades diferentes,

se requiere convertir la medición de una unidad en otra, por lo que mencionamos algunos

pasos que nos facilitarán el proceso de conversión.

1. Primero, debemos escribir la cantidad que deseamos convertir, lo podemos

representar para mayor entendimiento por medio de un Diagrama. (Más adelante se ejemplifica). 2. Se tienen que definir las unidades a convertir en las unidades requeridas.

3. Los factores de conversión tienen que ser recíprocos, uno del otro, por lo

que siempre existirán dos factores.

4. Se multiplicarán las cantidades a convertir por los otros factores (Tanto Numeradores

como Denominadores).

5. Se dividen los resultados dados en el paso anterior.

6. Y por último, se eliminan las unidades, quedando solamente las deseadas.

En Mecánica, siendo una de las áreas principales de la Física, se utilizan ciertas

Magnitudes Fundamentales que son indispensables para la mayor parte de las aplicaciones. Empezaremos a estudiar cada una de éstas magnitudes, con sus ejemplos para mayor comprensión. MAGNITUDES FÍSICAS FUNDAMENTALES

Desde las Sociedades Primitivas el hombre siempre tuvo la necesidad de medir,

por lo que utilizaban partes del cuerpo humano como la pulgada, palmada, pie, brazada; pero a

medida que se daba el intercambio económico entre los pueblos, se presentaba

el problema de no coincidir con los mismos patrones de medición, viéndose afectados

y obligados a la necesidad de crear un Sistema Internacional de Unidades.

El Sistema Internacional de Unidades conocido por sus Siglas (SI)

parte de las siguientes Magnitudes Fundamentales:

1. La Longitud.

2. La Masa.

3. El Tiempo.

4. La Carga Eléctrica.

También detallamos un Sistema de Unidades para cada una de las Magnitudes: 1) Sistema M.K.S = Metro, Kilogramo, Segundo.

2) Sistema C.G.S = Centímetros, Gramos y Segundo.

3) Sistema Inglés = Pie, Libras, Masa, Segundo.

4) Sistema Técnico = Metro, UTM (Unidad Técnica de Masa), Segundo.

Ahora estudiaremos cada uno de las magnitudes con sus respectivos sistemas,

aplicando ejercicios de conversión.

UNIDADES FUNDAMENTALES DE LONGITUD

La Longitud como Magnitud Física se puede expresar por medio de ciertas unidades,

las cuáles poseen sus respectivas

equivalencias, describiremos algunas que nos facilitarán a la realización

de los ejercicios de conversión.

Ejemplos:

a) Convertir 2593 Pies a Yardas.

1. Antes de empezar, es necesario aclarar que algunas equivalencias no se encuentran en las unidades que se requieren, por lo que es

necesario hacer dos o más conversiones para llegar a las unidades deseadas. Ahora bien, para simplificarlo, lo trabajaremos como regla de tres representándolo de la siguiente manera:

2. ¿Cómo llegamos a ésta respuesta? Bueno, como se mencionó en el primer paso, empezamos a simplificar por medio de regla de tres, nos damos cuenta que la primera conversión realizada no se encuentra en las unidades requeridas, por lo que ha sido necesario primero convertir las unidades de pies a metros y por último de metros a yardas, las cuales son las unidades que deseamos. 3. Por medio del Diagrama se van tachando las unidades que no necesitamos hasta llegar las requeridas. 4. Como último paso, se multiplican las cantidades, es decir, los 2593 por la equivalencia 1.094 yardas

ambas funcionando como Numeradores; luego multiplicamos 3.281 Pies x 1 Metro, funcionando como Denominadores. 5. Por último dividimos los resultados, el Numerador con el Denominador, es decir el resultado de multiplicar 2593 x 1.094 que es igual a 2836.74 entre el resultado de multiplicar 3.281 Pies x 1 Metro que es 3.281; obteniendo como resultado los 864.59 Yardas.

OJO! En el Diagrama únicamente eliminamos Unidades (pies, metros) no Cantidades, las cantidades se multiplican o se dividen según sea el caso.

Veamos otro ejemplo:

b) Convertir 27,356 Metros a Millas 1. Realizándolo por medio del Diagrama y Regla de Tres nos quedaría así:

2. Aplicamos el mismo procedimiento, eliminando unidades hasta llegar a las unidades requeridas. 3. Luego multiplicamos las cantidades (27,356 x 1) como Numeradores y (1000 x 1.61) como Denominadores. 4. Procedemos a dividir 27,356 ÷ 1,610, obteniendo como respuesta 16.99 Millas.

UNIDADES FUNDAMENTALES DE MASA

Al igual que las unidades de Longitud, también existen unidades de Masa.

Ejemplo:

a) Convertir 386 Kilogramos a Libras.

1. Cómo en las Conversiones de Longitud, realizamos el mismo procedimiento. Vamos eliminando las unidades, 1 Kilogramo equivale a 1000 Gramos, 1 Libra equivale a 453.6 gramos. 2. Luego multiplicamos Numeradores (386 x 1000) = 386,000 y (1 x 453.6) = 453.6. 3. Por último dividimos los 386,000 ÷ 453.6, dándonos un resultado de 850.97 Libras.

UNIDADES FUNDAMENTALES DE TIEMPO

Ahora tenemos algunas Unidades de Tiempo:

Ejemplo:

a) Convertir 2,352 Segundos a Año.

En éste caso, las conversiones son más largas, ya que se tienen

que convertir los segundos a minutos, minutos a horas, horas a días y días a

años que son las unidades que necesitamos.

1. Detallamos las Unidades con sus respectivas Equivalencias.

2. Ahora multiplicamos los Numeradores (2,352 x 1 x 1 x 1 x 1) = 2,352.

3. Luego los Denominadores (60 x 60 x 24 x 365.2) = 31, 553,280

4. Ahora dividimos 2, 352 ÷ 48,833,80

5. Obteniendo como resultado

La respuesta es un poco diferente, pero aún así siempre

se puede hacer uso de la Notación Científica.

FACTORES DE CONVERSIÓN PARA ÁREA

Cómo en las demás magnitudes, también tenemos unidades para Área,

para mejor conocimiento las detallamos a continuación:

Ejemplo:

a) Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo. 1. Empezamos dibujando el Diagrama para guiarnos mejor

2. Si nos damos cuenta las Unidades están dividas, es decir (Millas /Horas) por lo que tenemos que eliminar Unidades tanto en Nominadores como en Denominadores. 3. Siguiendo el mismo procedimiento realizamos las conversiones necesarias hasta llegar a las que deseamos. 4. Multiplicamos las cantidades de los Numeradores, nos da un resultado de 1771, y en los Denominadores 3600. 5. Ahora dividimos los resultados 1771 ÷ 3600, dándonos como respuesta 0.49 Metros / Segundo.

FACTORES DE CONVERSIÓN PARA VOLUMEN

Describimos algunas Unidades de Conversión para Magnitud Volumen.

Ejemplo:

a) Un motor de un automóvil tiene un desplazamiento del émbolo de 1595 cm3 y un diámetro del cilindro de 83 Mm. Expresar éstas medidas en

Pulgadas Cúbicas y en Pulgadas. 1. Éste problema es diferente, pero siempre empezamos dibujando el Diagrama como guía.

2. En éste caso primero convertimos los 1595 en Pulgadas Cúbicas.

3. Eliminamos las unidades y hacemos las respectivas conversiones para empezar a multiplicar. Dividimos respuestas (86,405,616 ÷ 1000,000).

4. Nos da una respuesta de 86.40

5. Ahora pasamos los 83 mm. a pulgadas.

CONVERSIÓN DE GRADOS A MINUTOS Y SEGUNDOS

Para la Conversión de Grados a Minutos, Segundos y Radianes es necesario definir lo que

es la Trigonometría.

* TRIGONOMETRÍA: Es la rama de la Matemática que estudia las propiedades y medidas

de ángulos y triángulos.

Para ello, es necesario apoyarnos con el Instrumento de la Calculadora y saber algunas

unidades de conversión, por ejemplo:

1° = 60 Minutos ( 60 ')

1 ' = 60 Segundos ( 60 '')

¶ Radianes = 180° ( El símbolo de ¶ Pi, utilizado en Matemática, tiene un valor numérico

de 3.1415927 aproximadamente de 3.1416

En una Calculadora Científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudarán a la

conversión de las Funciones Trigonométricas, como por ejemplo:

Grados: (D) (DEG)

Radianes: (R) (RAD)

Gradianes: (G) (GRAD)

Ahora veamos un ejemplo.

a) Convertir 18.4567 ° a Grados, Minutos y Segundos.

1. Como primer paso, tenemos que el número entero es de 18, éste nos equivale a 18°. 2. Luego los decimales después del punto es necesario que los pasemos a minutos, así:

OJO! Eliminamos unidades iguales y dejamos únicamente la que nos interesa, es decir, los minutos. 3. Ahora, tomamos los decimales 402 y los pasamos a Segundos. 0.402 ' x 60 '' (Segundos) = 24.12'' 4. Ahora unimos todas las respuestas quedándonos 18 ° 27' 24'', que se lee: 18 Grados, 27 Minutos y 24 Segundos NOTA: Si nos damos cuenta en cada conversión trabajamos sólo con los decimales, manteniéndose únicamente el primer número entero que corresponde a los Grados.

Veamos otro ejemplo a la inversa.

b) Convertir 18° 27' 24'' a Grados

1. En éste caso ya no son de Grados a Radianes, sino lo contrario, lo haremos llegar de Segundos, Minutos a Grados. Convertimos los Segundos a Minutos:

2. Ahora los 27 Minutos le adicionamos éstos 0.4 minutos y lo convertimos en Grados.

3. Sumamos las Unidades Equivalentes, es decir, los 0.456 ° +

la cantidad entera 18° quedándonos como respuesta 18.456 ° Grados.

* Definición Obtenida de “Física, Conceptos y Aplicaciones”, Segunda Edición. Autor: Paúl E. Tippens.

CONVERSIONES DE RADIANES A GRADOS

Cómo vimos anteriormente en la conversión de Grados a Minutos y Segundos, en la conversión de

Radianes a Grados se aplica el mismo procedimiento.

Veamos un ejemplo:

1. Lo describimos de la siguiente manera:

Lo que se hizo en éste primer paso, fue convertir los radianes a grados, multiplicando los ( 5 ¶ x 180 = 2827.4334) recordemos que se multiplica la función ¶ en la calculadora o ya que sabemos que es equivalente a 3.1415927. Luego multiplicamos los (22 x ¶ = 69.115038). Ahora dividimos los resultados: 2827.4334 ÷ 69.115038, teniendo como respuesta 40.909091. No olvidar las unidades equivalentes. Aquí contamos con los 40 ° Grados. 2. Luego utilizando los 40.909091 empezamos a convertirlos en Grados, Minutos y Segundos. Así:

Seleccionamos la parte decimal .909091 ° x 60 ' = 54.54 ' Tenemos 54 ' Minutos 3. Teniendo los 54.54 ', nuevamente seleccionamos la parte decimal para pasarlos a segundos. 0.54 ' x 60 '' = 32.4 '' quedando 32 '' Segundos 4. Cómo respuesta tenemos R/ 40° 54' 32 ''

CONVERSIONES DE GRADOS A RADIANES

Ahora trabajaremos otro ejemplo diferente:

a) Convertir 38 ° 15' 16 '' a Radianes.

1. Primero, pasaremos las cantidades a Grados, contando ya con los 38°.

2. Pasamos los 16'' a Minutos,

Ahora sumamos los 0.2666 minutos con los 15 minutos que ya se tienen,

Obteniendo 15.2666 minutos. 3. Ahora trabajamos con los 15.2666 seleccionando los decimales para convertirlos en segundos.

Sumamos los 38 ° + 0.2544 °, quedando 38.2544 °.

4. Ya teniendo las cantidades en Grados, procedemos a pasar los 38.2544 ° a Radianes.

La respuesta es 0.6676 Radianes, pero tenemos que pasarlo en función de ¶ Radianes, así que los 0.6676 Radianes lo dividimos por el valor de ¶. 5. Nuestra Respuesta final es R/ 0.2125 ¶.

TEOREMA DE PITÁGORAS

Ahora bien, para empezar a estudiar las Funciones Trigonométricas, es necesario

dominar lo que en Matemáticas se conoce como el Teorema de Pitágoras, para ello,

nos familiarizaremos con algunos de sus términos descritos a

continuación:

* “En un Triángulo Rectángulo el Cuadrado de la Hipotenusa es igual a la suma

de los Cuadrados de sus Catetos”.

Simbólicamente se describe así:

Los lados Adyacentes en un Triángulo Rectángulo se denominan Catetos, y el

Lado Opuesto al Ángulo recto se llama Hipotenusa.

El Teorema de Pitágoras en sí, lo utilizamos para encontrar variables desconocidas, y

éstas pueden ser los Lados Adyacentes o bien, la Hipotenusa. Empecemos a trabajar con un ejemplo sencillo: 1. Se tienen los lados de un Triángulo Rectángulo a = 6 cm. y b = 6.7 cm, lado c = 9 cm.

Cómo nos damos cuenta, tenemos una incógnita que debemos encontrar el valor, ésta será nuestra variable X. Aplicando el Teorema de Pitágoras, procedemos a utilizar la Fórmula:

1. Empezamos por sustituir las cantidades numéricas en las variables correspondientes

2. Realizamos las operaciones:

3. Procedemos a despejar la Ecuación, a modo de dejar sola la variable que queremos encontrar:

4. Para dejar la Variable sola, pasamos el exponente al otro lado, convirtiéndolo en Radical.

Obtenemos Raíz Cuadrada de 45 dándonos como respuesta 6.70 = X = b

* Definición Obtenida de “Aritmética, Teoría Práctica”, Autor Aurelio Baldor, Edición 1978.

Trabajemos con otro ejemplo:

1. Se tienen los lados de un Triángulo Rectángulo a = X cm. y

Aplicamos la Fórmula:

1. Sustituimos los valores dados:

2. Resolvemos las fracciones mixtas:

3. Despejamos la Ecuación y resolvemos los cuadrados:

4. Pasamos el cuadrado al otro lado, convirtiéndolo en raíz cuadrada:

5. Obteniendo como respuesta 2.14 = X = a

NOTA: La Hipotenusa siempre debe ser mayor que los catetos. Si cualquiera de los catetos es mayor no es Equivalente, también no lo es si la Hipotenusa es igual a los catetos.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para las Funciones Trigonométricas, como se mencionó anteriormente,

haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones

de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas, además de apoyarnos

siempre con la Calculadora.

Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras,

las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los

Ángulos del Triángulo.

Empezaremos a ver cada una de las Funciones:

1. Función Seno ( Sen): La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

2. Función Coseno ( Cos):

La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre

Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

3. Función Tangente ( Tan):

Ésta Función nos representa la relación entre Lado Adyacente sobre

Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores: 4. Función Cotangente ( Cot): Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:

5. Función Secante ( Sec): Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:

6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:

Ahora empecemos a trabajar ejercicios en donde involucre todas las funciones.

Dado el siguiente Triángulo, encontrar todas las Funciones Trigonométricas en

cada caso que se requiera, o las que hacen falta.

1. Primero encontraremos el valor de la ecuación que nos hace falta, en éste caso, ya que sabemos que la función de Coseno relaciona Lado Adyacente sobre Hipotenusa, ya conocemos dichos valores, nos faltaría encontrar Lado

Opuesto:

2. Ahora conociendo el valor que nos hacía falta (b), empezaremos a encontrar cada una de las funciones que hacen falta:

3. Teniendo todas la Funciones procedemos a graficar:

1. Resolvamos primero la Fracción Mixta

Multiplicamos 2 x 3 y el resultado lo sumamos con el 1 dándonos como resultado 7/2. 2. Ahora encontramos el valor que hace falta:

Sustituimos valores:

3. Ahora conociendo b, encontramos las funciones correspondientes:

4. Seguidamente graficamos:

c) Tan A = 2

1. En éste caso, se puede decir que

Podemos para convertirlo en fracción, podemos adicionarle 1 como denominador y no afectar los valores, es decir, que al sustituir en la ecuación encontraríamos

siempre una incógnita. 2. Para encontrar el valor que hace falta:

Sustituimos valores:

3. Ahora conociendo c, el valor de la Hipotenusa, detallamos las funciones requeridas:

4. Graficamos:

1. Empecemos por simplificar fracciones y radicales:

3. Conociendo c, pasamos a detallar las funciones requeridas:

4. Graficamos:

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Para resolver un triángulo rectángulo es necesario encontrar los lados y

los ángulos que se desconocen a través de los ya conocidos.

Recordemos que un Triángulo Rectángulo es aquel que

está constituido por dos lados (Opuesto y Adyacente),

Hipotenusa y forma un ángulo de 90 grados (90°)

En el Diagrama se simbología asignada para cada variable:

El Lado c es opuesto al ángulo α (Alfa) El Lado b es opuesto al ángulo β (Beta) El Lado a es opuesto al ángulo γ (Sigma) Veamos un Ejemplo, nos proporcionan la siguiente información:

Revisemos la información que tenemos: Tenemos un ángulo β equivalente a 25° 12 ' 42'', por lo que tenemos que pasarlo a Grados; aparte conocemos el lado c = 7 cm. Nos piden encontrar un ángulo y dos lados, que son los que desconocemos.

1. Comenzaremos a pasar los 25° 12 ' 42'' a Grados

2. Conociendo β, podemos conocer γ, ya que α = 90°, así:

3. Ahora, empezaremos a encontrar los lados que nos hacen falta,

ya que conocemos γ, podemos encontrar el lado por medio de las funciones

trigonométricas:

Despejemos la Variable:

c Sen 64.79 ° =

Aplicamos por medio de la Calculadora La Función Seno de 64.79, que es : 0.9047527, luego dividimos 7 ÷ 0.9047527 = 7.73 = c.

4. Ahora conociendo el valor de c, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

5. Quedando finalmente la gráfica así:

CINEMÁTICA DE MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U)

La clase más simple que tiene un cuerpo es el Movimiento Rectilíneo

Uniforme.

Y se conoce por sus Siglas M.R.U.

Para empezar a ver ésta parte de la Física, es necesario conocer ciertos

términos para empezar a familiarizarnos con los problemas que

aplicaremos seguidamente.

LA MECÁNICA: Es una subdivisión de la Física que estudia el

movimiento de cualquier cuerpo físico.

La Mecánica se divide en Cinemática, Dinámica y Estática.

CINEMÁTICA: Es aquella ciencia que estudia el movimiento en sí

mismo, es decir, no atiende la causa que lo produce.

DINÁMICA: Se encarga de estudiar las causas que produce el

movimiento.

ESTÁTICA: Estudia las condiciones para el estado de equilibrio o reposo

de los cuerpos.

El Sistema de Referencia es aquel que define el movimiento de un cuerpo

con relación a un punto fijo.

¿ Qué es el Desplazamiento?

El Desplazamiento consiste en el cambio de posición de un cuerpo a otra

posición.

¿ Qué es la Velocidad ?

Es el tipo de movimiento más simple que un cuerpo puede experimentar,

es decir, un movimiento uniforme en línea recta.

Si un objeto cubre la misma distancia en un mismo lapso de tiempo,

significa que se mueve con Rapidez o Velocidad Constante.

La Rapidez Promedio de un Objeto en movimiento se define así:

Dónde:

Una persona camina 80 mts. con velocidad constante

de 1.6 corre otros 80 mts con velocidad también

constante de 3.2 Encontrar: a. ¿Cuál es el Promedio de la Velocidad? b. ¿Cuánto tiempo hubiera necesitado para recorrer la distancia total con la segunda velocidad? c. ¿Qué distancia habría recorrido con la Primera velocidad durante 2 minutos?

Primero, detallamos los datos que tenemos:

a) Promedio de la Velocidad 1. Para encontrar la Velocidad Promedio, tenemos que encontrar el Tiempo de cada una de las velocidades recorridas, por lo que despejamos la Fórmula así:

Ésta fórmula, la podemos utilizar para encontrar Velocidades, Tiempos y Desplazamientos normales, no Promedios.

3. Teniendo ya el Tiempo Promedio, procedemos a utilizar la fórmula:

b) ¿Cuánto tiempo para recorrer la Distancia Total con la Segunda Velocidad? 1. Detallamos las variables que tenemos:

2. Despejamos siempre fórmula:

c) ¿Qué distancia habría recorrido con la primera velocidad durante 2 minutos? 1. Detallamos las variables que tenemos:

2. Despejamos siempre fórmula:

Encontramos d

Veamos otro ejemplo:

Calcular:

a) Distancia Total recorrida en Kms.

Empezaremos con la resolución de cada literal:

a) Distancia Total recorrida en Kms. 1. Detallamos los datos que tenemos:

2. Ahora, hacemos las conversiones con cada uno de los tiempos para las unidades requeridas:

Teniendo el Tiempo, procedemos a encontrar d, ocupando la Fórmula:

d = V x t

3. Seguimos con:

Encontramos:

4. Pasamos a encontrar la última distancia:

Encontrando:

5. Procedemos a encontrar la Velocidad Promedio:

1. Obtenemos la Velocidad Promedio con el tiempo dado:

MOVIMIENTO UNIFORMENTE ACELERADO

En la mayoría de los casos, la Velocidad de un objeto cambia a medida

que el movimiento evoluciona. A éste tipo de Movimiento se le denomina

Movimiento Uniformemente Acelerado.

ACELERACIÓN: La Aceleración es el cambio de velocidad al tiempo

transcurrido en un punto A a B. Su abreviatura es a.

VELOCIDAD INICIAL (Vo) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al

iniciar su movimiento en un período de tiempo.

VELOCIDAD FINAL (Vf) : Es la Velocidad que tiene un cuerpo al

finalizar su movimiento en un período de tiempo.

La Fórmula de la aceleración está dada por la siguiente fórmula:

De la última formula se pueden despejar todas las variables, para aplicarlas

según sean los casos que puedan presentarse. A partir de ello, se dice que

tenemos las siguientes Fórmulas de Aceleración:

Dependiendo el problema a resolver y las variables a conocer, se irán

deduciendo otras fórmulas para la solución de problemas. Siendo éstas, las principales para cualquier situación que se dé.

a) Un camión de Mudanza viajó 640 millas en un recorrido de Atlanta a

Nueva York. El Viaje total duró 14 horas, pero el conductor hizo dos escalas de 30 minutos para su alimentación. Cuál fue la Aceleración Promedio durante el viaje?

1. Para empezar a resolver cualquier problema siempre es importante para mayor resolución, detallar los datos que conocemos: d = 640 Millas t = 14 Horas a = ?

También mencionar que cuando un objeto está en reposo, la Vo equivale a 0, y si la Velocidad es constante la Aceleración es igual a 0. (Tener en cuenta éstos dos puntos).

Al principio del problema se nos describe que el conductor hizo dos escalas, cada una de 30 minutos por lo que suman 1 hora, entonces, restamos las 14 horas – 1 hora = 13 horas. Éste tiempo lo convertimos en Segundos para tener las mismas unidades.

4. Ahora procedemos a sustituir valores en la fórmula:

Empezamos a detallar los datos que tenemos:

1.

2. Tenemos todos los datos necesarios para ocupar la fórmula:

En éste caso, ¿por qué encontramos Aceleración Promedio y no una Aceleración Normal? Bueno en el problema se nos detalla que la posición inicial de la Flecha es de martillado, por lo que se asume que está en reposo, es decir, que la Velocidad Inicial es de “0”. Por lo que la fórmula nos quedaría así:

Los datos que tenemos son los siguientes: 1.

2. Despejando la Fórmula nos quedaría así:

3. Ahora, la Velocidad Inicial tenemos que convertirla a las unidades requeridas:

4. Ahora sustituimos valores en la Fórmula despejada:

Detallamos las Variables que tenemos: 1.

2. Utilizamos la Fórmula y sustituimos valores, cómo en el caso anterior:

3. Conociendo ya la Velocidad Final, procedemos a encontrar la d, por medio de la Fórmula:

Datos asignados y a conocer: 1.

Por qué la Velocidad Final es 0? Bueno el Tren va con una velocidad inicial, pero al frenar se encuentra en reposo, es decir, cambia de movimiento a estático, por lo que su velocidad final es 0.

2. Utilizamos la Fórmula:

Sustituimos Valores:

¿ Por qué la Aceleración es Negativa? Debido a que el Tren va frenando, su aceleración es contrario al movimiento de la máquina, ya que está realizando una fuerza negativa que hace que ésta sea también negativa. 3. Procedemos a encontrar la Distancia:

¿Qué Velocidad adquiere un cuerpo al momento de llegar al suelo cuando se ha dejado caer

libremente desde una altura de 35 mts. y cuánto tiempo tarda en su caida? 1. Detallamos los datos proporcionados y los que encontraremos: h = 35 mts.

g = 9.8 Vo = 0

= ? t = ?

Antes de comenzar, nos preguntaremos por qué la Vo es cero, debido a que el cuerpo lo dejamos caer

libremente, parte del reposo, es por ello, que su velocidad siempre será de Cero.

2. Ahora bien, empezamos a econtrar los datos que nos hacen falta, en éste caso, comenzaremos con

la . Ocuparemos la siguiente fórmula:

Sustituimos los Datos que tenemos en la fórmula:

3. Para dejar la despejamos el cuadrado siempre pasando al otro lado como Raíz Cuadrada. Así:

Teniendo como :

4. Ahora procedemos a encontrar el t, utilizando la siguiente fórmula:

5. Sustituimos datos en fórmula:

6. Teniendo como Tiempo

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