Curso 2002-2003

Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Superior de IngenierosIngeniería de Telecomunicación

Campos Electromagnéticos

Campos Electromagn eticos. Bolet´ ın 1. Octubre de 2002

Problemas basicos

1.1. Expresense los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas:

A= r B=− y

x2 + y2ux +

x

x2 + y2uy

C=2ρzuρ − (ρ2 − z2)uz D= r tg θ uθ

1.2. Descrıbanse las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares

a) φ = A · r b) φ = r2 c) φ = A · r + r2 d) φ = r2/A · rdonde A es un vector constante y r es el vector de posicion.

1.3. Si φ = φ(u), con u = u(x, y, z), demuestrese que

∇φ =dφ

du∇u

Encuentrese ∇φ si a) φ = ln |r|, b) φ = rn, c) φ = 1/|r − r0|.1.4. Demuestrese que el volumen limitado por una superficie cerrada ∂τ viene dado por

τ =13

∮∂τr · dS

con r el vector de posicion respecto a un origen arbitrario.

1.5. Hallese el valor de la integral ∮AdS con A = cotg θur − uθ

y la superficie de integracion una esfera de radio R centrada en el origen.

1.6. Demuestrese que si φ es una funcion que depende de x, y y z a traves de una cierta funcion u,entonces

∇2φ =d2φ

du2(∇u)2 +

dφ

du∇2u

A partir de aquı, calculese el laplaciano de una funcion φ(r), que depende solo de la distancia alorigen. Pruebese que este puede tambien escribirse de las siguientes formas

∇2φ(r) =1r

d2(rφ)dr2

∇2φ(r) =1r2

d

dr

(r2 dφ

dr

)

1.7. Demuestrese que si r es el vector de posicion y B un campo vectorial arbitrario

(B · ∇)r = B (B ∧∇) · r = 0 (B ∧∇) ∧ r = −2B

Igualmente, para el caso particular en que B represente un vector constante, demuestrese que

∇(B · r) = B ∇ · (B ∧ r) = 0 ∇∧ (B ∧ r) = 2B

Departamento de Fısica Aplicada IIICampos Electromagneticos 1.2

1.8. Sean φ y A un campo escalar y uno vectorial, respectivamente, que dependen de la posicion atraves de la combinacion r − r′, esto es

φ = φ(r − r′) A = A(r − r′)

Demuestrese que se cumplen las identidades siguientes

∇φ = −∇′φ ∇2φ = ∇′2φ

∇ ·A = −∇′ · A ∇∧ A = −∇′ ∧ A

donde el operador ∇′ representa la derivacion respecto a las componentes de r′.

1.9. Se define la funcion delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribucion que verifica

δ(r) = 0 (r = 0)∫

δ(r) dτ = 1

con la ultima integral extendida a todo el espacio. Pruebese que:

(a)

∇ ·(

rr3

)= 4πδ(r)

(b)

∇2(

1|r− r0|

)= −4πδ(r − r0)

1.10. Hallese el laplaciano del campo vectorial

A = rnr

1.11. Calculese el gradiente y el laplaciano de la funcion

φ = 2z2 − x2 − y2

en coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas. Compruebese que los resultados son indepen-dientes del sistema de coordenadas elegido.

Problemas de nivel medio

1.12. Hallese el flujo del campo A = r a traves de la superficie del triangulo limitado por los vertices(1, 0, 0), (0, 1, 0, (0, 0, 1). (Sugerencia: aplıquese el resultado del problema 1.4).

1.13. El campo de velocidades de un solido puede escribirse como

v(r) = v0 + ω ∧ r

con v0 y ω constantes. Determınense las fuentes escalares y vectoriales de este campo.

1.14. Determınese la divergencia y el rotacional del campo vectorial

A = ρ2 cos ϕuρ + ρ2 sen ϕuϕ

empleando coordenadas cartesianas, cilındricas y esfericas.


1.15. De las siguientes expresiones

a) ∇(∇ · φ) b) ∇∧ (∇φ) c) ∇ · (∇ · φ) d) ∇∧ (∇∧ φ)e) ∇ · (∇ ∧A) f) ∇∧ (∇ ·A) g) ∇∧ (∇ ∧A) h) ∇ · (∇ ·A)i) ∇ · (∇φ) j) ∇(∇ · A) k) (∇ · ∇)A l) (A · ∇)φm) (φ∇) · A n) (A · ∇) ∧A o) (A · ∇)A p) (A ∧∇) ∧ A

(donde φ es un cierto campo escalar y A uno vectorial) indıquense cuales no tienen sentido. De lasque tienen sentido, senalense las que son identicamente nulas. De las que no son nulas, calculesesu valor para los campos

φ = xyz A = x2ux + xzuy − xyuz

1.16. Hallese el angulo solido subtendido desde el origen de coordenadas por un disco horizontal deradio R situado a una altura h sobre el origen:

(a) Utilizando coordenadas cilındricas

(b) Usando coordenadas esfericas (Sugerencia: En lugar del disco empleese otra superficie quesubtienda el mismo angulo solido).

Problema propuesto

1.17. De los siguientes campos, indıquese cuales son solenoidales, cuales son irrotacionales y cualesarmonicos

(a) A = yzux + xzuy + xyuz

(b) B = ρuϕ

(c) C = rur − ρuρ

(d) D = 2r2 − 3ρ2

(e) E = z/ cos θ

(f) F = r sen θuϕ + yux − ρ cos ϕuy



Campos Electromagn eticos. Bolet´ ın 2. Octubre de 2002

Problemas basicos

2.1. Un electroscopio mide la carga por la desviacion angular de dos esferas identicas conductoras,suspendidas por cuerdas aislantes de masas despreciables y longitud l. Cada esfera tiene una masam y esta sometida a la gravedad g. Las cargas pueden considerarse como puntuales e iguales entresı. Hallese la ecuacion que liga el semiangulo θ con el valor de la carga total Q depositada en lasesferas.

Supongase que la masa de cada esfera es m = 10−4 kg y la longitud del cable del que pendenes 20 cm. Admıtase asimismo que los angulos de desviacion puede medirse como mucho conuna precision de 1. ¿Cual es la carga mınima que puede medirse con este aparato? ¿Y la cargamaxima?

2.2. El tubo de rayos catodicos de un osciloscopio consiste en un haz de electrones que son emitidos porun catodo con velocidad horizontal v0 = v0ux. Estos electrones pasan entre dos placas paralelas,separadas una distancia b, entre las cuales existe la tension que se pretende medir, de forma queel campo electrico entre ellas tiene el valor −V/buz. Estas placas tienen una longitud w. A unadistancia L del fin de las placas se encuentra una pantalla, sobre la cual inciden los electrones.Calculese la altura del punto de impacto en funcion de la tension aplicada y los restantes parametrosdel sistema.

¿Como se consigue que el haz de electrones barra la pantalla y no se mueva solo verticalmente?

2.3. Sean dos cargas puntuales q1 y q2, situadas la primera en el origen de coordenadas y la segundaen auz. Demuestrese que existe un punto en que el campo electrico se anula. Hallese la posicionde tal punto, teniendo en cuenta las diferentes posibilidades en cuanto a signos y magnitudes de lasdos cargas. ¿Existe algun caso en que no haya punto de campo nulo?

2.4. Se disponen siete cargas iguales en los vertices de un octogono regular situado en el plano xy, concentro el origen, quedando vacıo el octavo vertice, situado en r = aux. ¿Cuanto vale el campoelectrico en el centro del octogono? ¿Y en los demas puntos del eje z?

2.5. Dos lıneas infinitas con densidad de carga λ y −λ se colocan paralelamente a una distancia 2a unade la otra. Hallese:

(a) El campo electrico en todos los puntos del espacio.

(b) Considerese el lımite en que a → 0, λ → ∞ con λa → b = cte. ¿A que tiende el campoelectrico en este lımite?

w

L

v0

Vx

y

z

a

Problema 2.2 Problemas 2.5 y 2.11


2.6. Se consideran dos planos paralelos, separados una distancia a. Uno de ellos, situado en x = −a/2posee una distribucion de carga uniforme σ0, mientras que la del otro es −σ0. Hallese el campoelectrico en todos los puntos del espacio.

Asimismo, determınese el campo para el caso de tres planos paralelos entre sı y equiespaciados unadistancia a. El central posee una densidad de carga superficial 2σ0, mientras que los otros dos latienen de −σ0 cada uno.

2.7. Hallese el campo electrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay unadensidad de carga uniforme λ.

A partir de este resultado, calculese el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2

(R1 < R2), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ0, en los puntos de su eje.

¿A que se reduce si R1 → 0? ¿Y si R2 → ∞? Considerese en particular el comportamiento en lasproximidades de z = 0.

2.8. Se tienen dos esferas del mismo radio, cargadas uniformemente, una de ellas con densidad decarga +ρ y la otra con densidad de carga −ρ. Dichas esferas se colocan de forma que sus centrosdistan una cantidad a, menor que el radio de las esferas, por lo cual intersecan como se ve en lafigura.

(a) Calculese el campo electrico en la zona de interseccion.

(b) Hallese la expresion del campo electrico en puntos exteriores a las dos esferas y alejados delas mismas.

(c) En el lımite ρ → ∞, a → 0, con ρa → b = cte calculese la densidad de carga superficial queaparece en la esfera resultante.

2.9. Se tienen dos cargas puntuales de valor q situadas en los puntos ±(a/2)uy . Hallese el flujo delcampo electrico a traves de un triangulo con vertices en los puntos aux, auy y auz.

2.10. Hallese el potencial creado por dos cargas q1, −q2 situadas a una distancia a una de la otra. De-muestrese que la superficie equipotencial V = 0 es una esfera.

2.11. Dos lıneas infinitas con densidades de carga +λ y −λ estan situadas verticalmente sobre los puntosx = ±a, y = 0.

Hallese el potencial electrico tomando el origen de coordenadas como referencia. Demuestreseque las superficies equipotenciales son cilindros rectos y hallese el centro y el radio en funcion delpotencial V .

2.12. Se tiene una esfera con una densidad de carga uniforme ρ0, de radio R y centro el origen, en laque se ha horadado una cavidad, tambien esferica, de radio R/2 y centro un punto situado a unadistancia R/2 del centro de la esfera de radio R. Hallese el trabajo necesario para traer una cargadesde el infinito hasta el origen de coordenadas (centro de la esfera de carga).

R1

R2

a

x

y

z

q

q

q

Problema 2.7 Problema 2.8 Problema 2.9


2.13. Hallese los momentos monopolar (carga) y dipolar de las siguientes distribuciones de cargas. Des-crıbase el campo y el potencial electrico a gran distancia de las mismas:

(a) Dos cargas de valor +q en los puntos ±auz

(b) Tres cargas positivas +q en los puntos aux, auy, auz y tres negativas −q en −aux, −auy,−auz.

(c) Una varilla vertical de longitud L, centrada en el origen, con densidad de carga uniforme λ.

(d) La misma varilla con una distribucion de carga λ = kz.

(e) Una superficie esferica sobre la cual hay una distribucion de carga σs = σ0 cos θ.

(f) La misma superficie con distribuciones σs = σ0 cos2 θ, σs = σ0 sen θ y σs = σ0 sen θ cos φ

(g) Una esfera con densidad de carga ρ = ρ0 cos θ.

2.14. El campo electrico en las proximidades de un televisor encendido es de aproximadamente 600 kV/m.Este campo es debido a la acumulacion de electrones en la pantalla.

(a) Hallese la carga total acumulada en un televisor de 21 pulgadas de formato 4:3, tanto enculombios como en numero de electrones.

(b) Calculese, en primera aproximacion, el campo electrico a 2.5m de la pantalla.

(c) Es conocido que los televisores atraen el polvo. Supongase que una partıcula de polvo demasa m = 10−19 kg con carga la de un proton se encuentra a 10 cm de la pantalla. ¿Con quevelocidad impacta en esta? ¿Con que energıa cinetica llega?


2.15. En el modelo atomico de Bohr, el estado fundamental del atomo de hidrogeno consiste en unproton en el centro del atomo, y un electron describiendo orbitas circulares de radio a0 en torno alnucleo.

(a) Hallese la fuerza que el proton ejerce sobre el electron y la aceleracion de este.

(b) Calculese la velocidad orbital del electron. Comparese esta velocidad con la de la luz.

(c) Determınese el periodo orbital del electron y la velocidad angular.

(d) Comparese la fuerza electrica con la fuerza gravitatoria proton-electron.

Datos: Carga del proton y del electron: ±e = ±1.60 × 10−19C; masa del proton: mp = 1.67 ×10−27 kg; masa del electron: me = 9.11 × 10−31 kg; radio de Bohr: a0 = 5.29 × 10−11 m; ke =1/(4πε0) = 8.98 × 109Nm2/C2; velocidad de la luz c = 3.00 × 108m/s; constante de gravitacionuniversal: G = 6.67 × 10−11 Nm2/kg2.

R

Q

q

q

x

y

z

'R



2.16. Se dispone de tres cargas, una de valor Q y las otras dos de valor q. Estas cargas se ensartan en unanillo circular de radio R sobre el cual pueden deslizar libremente. Determınese la ecuacion paralos angulos del triangulo que forman las tres cargas. ¿Cual es la solucion para los casos Q q,Q = q y Q q?

2.17. Hallese el campo creado por un segmento rectilıneo de longitud L dotado de una densidad decarga λ.

A partir del resultado anterior, calculese el campo electrico en cualquier punto del eje que pasa porel centro de un polıgono regular de N lados de apotema R y densidad de carga λ.

¿A que tiende el resultado cuando N → ∞?

2.18. Un anillo de radio R posee una carga Q distribuida uniformemente. Este anillo se encuentra en unplano horizontal, a una distancia a del un plano conductor puesto a tierra.

(a) Hallese el campo electrico y el potencial en todos los puntos del eje del anillo.

(b) Hallese la densidad de carga superficial en el punto del plano situado justo en el eje del anillo.

(c) ¿Cuanto vale aproximadamente el potencial en puntos alejados del anillo, no necesariamenteen su eje?

2.19. Dos planos se encuentran cargados uniformemente con densidades de carga +σ0 y −σ0 y se cortanformando un angulo recto. Encuentrese el campo electrico y las lıneas de campo en todos los puntosdel espacio.

2.20. Se tiene una distribucion de carga uniforme ρ0, que ocupa un volumen cilındrico de radio R ylongitud infinita. En este cilindro se ha horadado un hueco esferico, tambien de radio R. Se tomacomo eje z el del cilindro y origen de coordenadas el centro del hueco.

(a) Hallese el campo electrico en el interior del hueco.

(b) Calculese el potencial electrico en el hueco, tomando como origen de potencial el centro delhueco.

(c) Calculese el trabajo para mover una carga q desde el punto Ruz al punto Rux, a lo largo deun arco de circunferencia sobre la superficie del hueco.

2.21. Se tienen dos cargas puntuales de valor q que solo pueden moverse a lo largo del eje z. En elplano xy y con centro el origen se encuentra un anillo de radio R sobre el cual hay distribuidauniformemente una carga −Q.

Suponiendo que las cargas estan situadas simetricamente respecto al anillo, hallese la posicion deequilibrio del sistema, ası como el valor mınimo de Q para que exista esta posicion.

2.22. Se tienen cuatro posibles campos electricos. En la region r < R, vienen dados por las expresiones

E1 = E0

(8 − 6

r

R

)cos θur + E0

(9

r

R− 8

)sen θuθ E2 = −E0 cos θur + E0 sen θuθ

E3 = 2E0 cos θur − 2E0 sen θuθ E4 = E0

(6

r

R− 4

)cos θur + E0

(4 − 3

r

R

)sen θuθ

mientras que en la region r > R todos vienen dados por la misma expresion

E = 2E0R

3

r3cos θur +

E0R3

r3sen θuθ

(a) Indıquese cuales pueden ser campos electrostaticos.

(b) Para los casos posibles, calculense las densidades de carga que producen los campos.

2.23. Se tienen dos discos plasticos de radio 1 cm y espesor despreciable, sobre los cuales se distribu-yen de manera uniforme cargas de +1µC y −1µC respectivamente. Estos discos se disponenparalelamente en z = ±a/2. Determınese


(a) El valor aproximado de la diferencia de potencial entre los centros cuando la distancia a =1 mm

(b) El valor aproximado del voltaje si a = 1 m. (Para ello deben tenerse en cuenta tanto elpotencial que un disco crea en su propio centro como el que un disco crea en el otro).

(c) Determınese exactamente la diferencia de potencial entre los centros para cualquier valor dea. Comparese el resultado con los dos anteriores. ¿Cuanto es, aproximadamente, el errorcometido en el primer apartado? ¿Y en el segundo?

2.24. Se tiene un dipolo puntual p1 = puz sobre el cual situamos el origen de coordenadas. Se colocaun segundo dipolo de la misma magnitud, pero diferente orientacion, en el punto auz.

(a) Hallese la fuerza y el par que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este esta orientadocomo p2 = puz.

(b) Calculese el valor numerico de esta fuerza si los dos dipolos son moleculas de agua (p =6.14 × 10−30C · m) situadas a una distancia de 1 nm.

(c) Repıtase el calculo si p2 = pux.

(d) Generalıcense los resultados anteriores hallando la expresion vectorial para la fuerza y el parque un dipolo ejerce sobre otro, suponiendo que uno de ellos se encuentra en el origen decoordenadas y el otro en un punto r.

Problemas de ampliacion

2.25. Descrıbase el movimiento de una carga puntual q, de masa m, situada en cada uno de los camposelectricos siguientes:

(a) Un campo uniforme E0

(b) Un campo oscilante de baja frecuencia E = E0 cos(ωt).(c) El campo de otra carga puntual, Q situada en el origen. Distınganse los casos segun el signo

de Q.

(d) El campo producido por una nube de carga esferica, de radio R y densidad ρ, suponiendoque la carga q permanece en todo momento en el interior de la nube.

2.26. Sean dos cargas, ±q situadas en posiciones ∓auz, sobre el eje z. Para una lınea de campo arbitra-ria, hallese la relacion entre el angulo que forma con el eje, en su punto de partida y la distancia aeste mismo eje cuando pasa por el plano z = 0. (Sugerencia: Empleese la ley de Gauss, aplicadaa un tubo de campo.)

2.27. Se tiene una superficie esferica hueca, de radio R, sobre la cual hay una distribucion de carga σs,no uniforme. No hay mas carga en el sistema.

(a) Pruebese que el potencial en el centro de la esfera es

V =1

4πε0

Q

R

siendo Q la carga total de la distribucion.(b) Pruebese que el campo electrico en el centro de la esfera es

E = − 14πε0

pR3

siendo p el momento dipolar de la distribucion.

Problemas propuestos

Los problemas propuestos son el 3.10, 3.17 y 3.21 del libro Engineering Electromagnetics de N. Ida.



Campos Electromagn eticos. Bolet´ ın 3. Noviembre de 2002

Problemas basicos

3.1. Se tiene un cubo hueco de paredes conductoras, cinco de las cuales se encuentran puestas a tierra,mientras la sexta esta a un potencial V . ¿Cuanto vale el potencial en el centro del cubo? ¿Por que?

¿Cuanto valdrıa si cada cara estuviera a un potencial distinto? ¿Y si en vez de un cubo se tratarade un tetraedro? ¿Como se extiende el resultado al caso de una esfera con una cierta distribucionde potencial sobre su superficie?

3.2. En un sistema de tres conductores se conocen los coeficientes de capacidad Cij . Si dos de losconductores se unen mediante un hilo conductor ideal, ¿cuanto vale la matriz del nuevo sistema dedos conductores en funcion de los coeficientes de capacidad antiguos?

3.3. En una esfera metalica de radio R se han hecho dos cavidades, tambien esfericas, de radio R/2.Concentricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metalicas de radio R/4. No haymas conductores en el sistema. Supongase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada,mientras que las interiores se encuentran a tension V0 y 0, respectivamente. ¿Cual es la carga encada conductor? ¿Y el potencial?

3.4. Hallese la capacidad por unidad de longitud de un cable coaxial formado por dos conductorescilındricos concentricos de radios a y b (b > a).

Supongase que se construye un condensador coaxial formado por un nucleo interior cilındrico deradio a, rodeado de una corteza cilındrica concentrica de radio b (que se puede colocar a unatension V ), envuelta a su vez por un blindaje exterior, tambien cilındrico y concentrico de radio c,tambien puesto a tierra. ¿Cual es la capacidad por unidad de longitud de este sistema?

3.5. Sea un sistema de tres esferas alineadas y equiespaciadas. En este sistema, ¿que coeficientes depotencial son iguales entre sı? ¿Cuales diferentes?

Admıtase que p11 = p22, y que inicialmente en la esfera central hay una carga Q, estando las otrasdos descargadas. Suponiendo que la esfera central se conecta alternativamente a la esfera 1 y a la3. ¿Como quedan las cargas despues de la primera conexion 1-2? ¿y despues de la conexion 2-3?¿como quedara despues de infinitas conexiones?

1=1'

2

3

2'

V0



3.6. Cuando se aplica un campo electrico uniforme E0 = E0uz a una esfera conductora de radio a,se produce una separacion entre cargas positivas y negativas. De esta forma, el campo total en elexterior (incluyendo el debido a la propia esfera) equivale a la suma del campo aplicado mas elcampo de un dipolo puntual, situado en el centro de la esfera.

(a) Hallese el valor del momento dipolar equivalente a las cargas de la esfera.

(b) Calculese la densidad de carga sobre la superficie esferica.

(c) Determınese el valor de la presion electrostatica sobre el conductor. Si la esfera fuera de unmaterial fluido (agua, por ejemplo), ¿como tenderıa a deformarse?


3.7. Considerese el sistema de conductores de la figura. Esta formado por cuatro conductores, de loscuales el 1 y el 2 son simetricos con el 4 y el 3, respectivamente.

En este sistema, ¿que coeficientes de capacidad e induccion son nulos? ¿Cuales positivos? ¿Cualesnegativos? ¿Cuales iguales entre sı?

Supongase que mediante finos hilos conductores se conecta el conductor 1 con el 3, y el 2 con el4. ¿Como queda la nueva matriz de capacidades a partir de la matriz del sistema original?

3.8. Pruebese que, dado un sistema de conductores, siempre se verifica

Cii > 0 Cij ≤ 0 (i = j)

pij > 0 ∀ i, j pii ≥ pij ∀j

¿En que caso se cumple pii = pij con j = i?

3.9. Considerese la disposicion de la figura, constituida por cuatro placas cuadradas formando angulosrectos. El lado de las placas es b y la distancia al centro es a. Despreciando efectos de borde (esto,es, admitiendo que las lıneas de campo son arcos de circunferencia), determınense la matriz decapacidades del sistema. ¿Es posible hallar los coeficientes de potencial?

3.10. Se tiene un sistema formado por tres conductores cubicos de arista b, tal como indica la figura.La distancia entre dos cubos consecutivos es a b, la misma que los separa de un conductorexterior que rodea completamente a los tres conductores. Este conductor exterior se encuentrapermanentemente a tierra.

(a) Hallese la carga y el potencial de cada conductor cuando los cubos laterales se encuentran auna tension V0, y el cubo central almacena una carga Q0.

abc

1 2 3 1

2 3

4



(b) Supongase que, partiendo de la situacion anterior, se desconectan los cubos laterales, sindescargarlos, y se conecta el central a uno de los laterales, ¿cuanto valen entonces las cargasy los potenciales en cada conductor?

Despreciense los efectos de borde.

3.11. Un condensador real puede estar formado por dos finas tiras metalicas de ancho w = 0.5 cm ylongitud l = 2m. Entre las dos tiras se intercala tiras de papel dielectrico (cuya permitividad es 2veces la del vacıo) de espesor a = 0.1mm. El conjunto se enrolla formando una espiral, si bien, ala hora de hallar la capacidad, puede despreciarse el efecto de la curvatura y considerar el sistemacomo compuesto de planos paralelos.

Hallese aproximadamente el valor de la capacidad del condensador indicado (recuerdese que laslaminas metalicas tienen dos caras). La capacidad de un condensador relleno de dielectrico esanaloga a la del vacıo, sustituyendo ε0 por la permitividad del material.

La lamina de dielectrico solo puede soportar campos electricos inferiores a un cierto umbral. Porencima de este campo maximo salta una chispa y se perfora el condensador, destruyendose. Si elcampo de ruptura para el papel es de 6MV/m, hallese el voltaje maximo que puede soportar elcondensador, ası como la carga maxima que puede almacenar.

3.12. La ruptura dielectrica se produce cuando el campo electrico entre dos conductores supera un valorcrıtico, saltando una chispa en el vacıo, o quemando el dielectrico que pueda haber en medio.

Una situacion en la que puede producirse la ruptura es la siguiente. Suponganse dos placasmetalicas planas de seccion S0 situadas paralelamente a una distancia a una de la otra. La placainferior se encuentra a tierra y la superior a un potencial V0.

(a) Sobre la placa inferior se encuentra depositada una chapa (que podemos suponer plana y deespesor despreciable) de seccion S. Hallese la carga que se deposita en la chapa.

(b) Supongase que esta chapa se separa de la placa inferior, quedandose aislada, y se acerca a lasuperior (manteniendose siempre paralela a ambas). Cuando se halla a una distancia x de laplaca inferior, ¿cual es su tension? ¿Cuanto vale el campo electrico entre la chapa y la placasuperior?

(c) Si el campo para que se produzca la chispa es E0, ¿cual es la posicion x en la cual se producela chispa?

(d) Cuando se produce la chispa, la tension de la chapa pasa a ser V0, ¿cuanto varıa en eseproceso la carga almacenada en la chapa? ¿Y la carga almacenada en la placa superior?


ba

a a

b

Problema 3.9 Problema 3.10


3.13. La figura representa una esfera metalica descargada de radio a en la cual se han horadado doscavidades esfericas de radios b y c. En el centro de la segunda se encuentra otra esfera metalica, deradio c/2 concentrica con el hueco.

(a) Supongase que en el centro del hueco de radio b se coloca una carga puntual q y en la esferainterior se deposita una carga Q. Determınese el potencial electrico en todos los puntos delespacio.

(b) Repıtase el calculo admitiendo que en la esfera interior, en lugar de una carga Q se fija elpotencial a V .

(c) Si en la situacion del primer apartado se conecta la esfera interior a la esfera exterior, ¿comocambian los resultados?

3.14. Se tienen tres superficies cilındricas metalicas concentricas. de radios R, 2R y 6R. La longitud delas tres superficies, h, es mucho mayor que su radio, por lo que pueden despreciarse los efectos deborde.

Inicialmente, el cilindro exterior se encuentra puesto a tierra. El intermedio esta aislado, peroalmacena una carga Q2. El interior, tambien aislado, almacena una carga total Q1. Hallese elpotencial electrico en todos los puntos con r < 6R, z < h.

Supongase que, sin tocar los otros dos cilindros, el cilindro interior se conecta a un generador quefija su tension en V0, ¿que carga se acumula en este cilindro? ¿A que potencial se pone el cilindrointermedio?

3.15. Supongase el sistema de la figura, formado por una esfera metalica de radio R, inicialmente des-cargada; una corteza de radio 2R (concentrica con la anterior) sobre la cual hay depositada unacarga Q, distribuida uniformemente; y una corteza metalica, tambien concentrica, de radio 4R, queinicialmente se halla sin carga. De la esfera interior sale un cable que puede dejarse desconectado,conectarse a la cascara exterior o conectarse a tierra (potencial cero).

(a) Determınese el potencial al que se encuentra cada una de las esferas en el momento inicial.(b) Admıtase que el interruptor se pasa a la posicion A, conectando los dos conductores. Hallese

la nueva distribucion de cargas y potenciales.(c) Si ahora el interruptor se pasa de la posicion A a la B, de forma abrupta, ¿cuanto valen los

nuevas cargas y potenciales?(d) Repıtanse los apartados (b) y (c), suponiendo que el interruptor se hubiera pasado en primer

lugar a la posicion B y de ahı a la A.

El posible campo electrico creado por los hilos puede considerarse despreciable.

x

S0

V0

S

a

a

b

c

A

B

Q



3.16. Se tiene el sistema de la figura, formada por una corteza esferica (conductor “1”) de radio interiorb y exterior c. En su interior hay dos conductores practicamente semiesfericos (“2” y “3”), de radioa y separados una pequena distancia w. Despreciando los efectos de borde,

(a) Hallense los coeficientes de capacidad e induccion del sistema.(b) Determınense los potenciales a que se ponen estos conductores cuando almacenan cargas Q1,

Q2 y Q3, respectivamente. ¿En que caso es nulo el potencial de la corteza exterior?

3.17. Supongase una superficie esferica conductora elastica. Inicialmente, esta superficie posee radio R0

y almacena una cierta cantidad de aire, a una presion igual a la exterior (que es la atmosferica). Sise deposita una cierta cantidad de carga sobre la superficie, la repulsion entre cargas provoca unapresion que dilata la esfera, disminuyendo la presion interior (de acuerdo con la ley de los gasesideales).

(a) Hallese la ecuacion que liga el radio de la esfera con la carga almacenada.(b) Supongase que la carga es pequena, de forma que R = R0 + ∆R (∆R R0). Hallese, en

primera aproximacion, el valor de ∆R.(c) Calculese el valor de ∆R para el caso de Q = 1µC y R0 = 1cm

Dato: p0 = 1atm = 101325Pa.

Problema de ampliacion

3.18. Como generalizacion del problema 3.2, supongase que se tiene un conjunto de N conductoresaislados, con cargas Qi. En un momento dado se conectan dos de ellos por un hilo ideal, pro-duciendose una redistribucion de cargas. Los conductores se vuelven a desconectar. Las nuevascargas en cada conductor son proporcionales a las antiguas en la forma

Q′ = M · QHallese la relacion entre la matriz M y la de coeficientes de capacidad, C, que relaciona las cargascon los potenciales


Los problemas propuestos son el 4.27 y 4.28, del libro Engineering Electromagnetics de N. Ida, asıcomo el 2.38 de Introduction to electrodynamics, 3aed de D.J. Griffiths (este problema es el 2.39 en lasegunda edicion).

a

b

c

w

1

2 3

Problema 3.16



Campos Electromagn eticos. Bolet´ ın 4. Diciembre de 2002

Problemas basicos

4.1. Se tiene una carga puntual de valor q situada a una distancia a de un plano conductor puesto atierra. Por detras del plano no hay nada.

(a) Calculese la fuerza que el plano ejerce sobre la carga puntual.(b) Hallese la energıa necesaria para traer la carga desde el infinito hasta el punto que ocupa.(c) ¿como cambian los resultados si al otro lado del plano hay una carga q1 situada a una distancia

b del mismo? Supongase que las dos cargas no estan en la misma perpendicular al plano.

4.2. Supongase que tenemos una carga puntual q situada frente a una esquina formada por dos semi-planos conductores puestos a tierra. Hallese

(a) El potencial en todos los puntos del espacio.(b) La fuerza sobre la carga q.

4.3. Se coloca una carga puntual de valor q a una distancia r0 del centro de una esfera metalica conduc-tora de radio R. La esfera esta conectada a un generador que fija su potencial en V . Determınesela distribucion de potenciales y campos en el sistema.

¿Como se comporta el sistema a grandes distancias del mismo?

Hallese la fuerza que la esfera ejerce sobre la carga puntual en funcion de la distancia entre esta yel centro de la esfera.

¿Cual es la energıa necesaria para traer la carga q desde el infinito hasta una distancia r0 del centrode la esfera?

Repıtase el problema para el caso en que la esfera, en lugar de estar a potencial constante, seencuentre aislada y almacene una carga Q. Considerese, en particular, el caso Q = 4πε0RV .

4.4. Si en lugar de una esfera, disponemos de un hueco metalico esferico, puesto a potencial V , en elinterior del cual se ubica una carga q a una distancia r0 del centro, ¿cual es el campo electrico en elinterior del hueco? ¿Cuanto vale la fuerza sobre la carga q?

a

q

a

q

b

q

R

r0

V

Problemas 4.1 y 4.12 Problema 4.2 Problema 4.3



4.5. Supongase que, como en el problema 4.2, tenemos una carga puntual q situada entre dos semipla-nos conductores puestos a tierra, pero que, en lugar de cortarse ortogonalmente, forman un anguloα. ¿Para que valores de α existe solucion sencilla por el metodo de las imagenes?

4.6. Hallese el potencial en todos los puntos del espacio cuando frente a un plano conductor puesto atierra se halla un dipolo puntual de valor p.

4.7. Se tienen dos lıneas infinitas paralelas, situadas paralelamente al eje z y sobre los puntos x = ±a,y = 0. Ambas lıneas poseen una densidad de carga uniforme +λ

(a) Hallese la fuerza que se ejerce sobre un segmento de longitud L de una de las lıneas.

(b) Supongase que en x = 0 se coloca un plano infinito conductor puesto a tierra. ¿Cual esentonces el valor de la fuerza?

(c) ¿Como queda el apartado anterior si el plano se coloca sobre la recta x = y?

4.8. Un anillo de radio R posee una carga Q distribuida uniformemente. Este anillo se encuentra en unplano horizontal, a una distancia a del un plano conductor puesto a tierra.

(a) Hallese el campo electrico y el potencial en todos los puntos del eje del anillo.

(b) Hallese la densidad de carga superficial en el punto del plano situado justo en el eje del anillo.

(c) ¿Cuanto vale aproximadamente el potencial en puntos alejados del anillo, no necesariamenteen su eje?

4.9. Supongase una superficie esferica metalica, de radio R, aislada y descargada. En el exterior de laesfera se tiene una carga q2 a una distancia r2 del centro. En el hueco interior hay una carga q1

a una distancia r1 (r1 < R < r2) y sobre la recta que une el centro con q2. Hallese el potencialen todos los puntos del espacio. ¿Cuanto vale la fuerza sobre cada una de las cargas? ¿Y sobre lasuperficie esferica?

4.10. Se dispone de una esfera metalica, de radio a, conectada a tierra. Rodeando a esta esfera, seencuentra una delgada corteza esferica, tambien metalica, de radio b. Esta corteza esta aislada ydescargada. En el exterior existe una carga puntual q, situada a una distancia c del centro de lasesferas.

Determınese el potencial electrico en todos los puntos del espacio y la fuerza que actua sobre lacarga puntual.

r1

r2

q1

q2

q

c

a

b



4.11. Se tiene una superficie esferica metalica hueca, de radio R, conectada a tierra. Frente a esta esferase encuentra una carga q situada en el punto 3Ruz (tomando como origen de coordenadas elcentro de la esfera).

(a) Hallese la expresion aproximada para el potencial electrico en un punto r muy alejado de laesfera. Calculese el potencial hasta el segundo orden de aproximacion.

(b) Supongase que, en la situacion anterior, se desconecta la superficie esferica de tierra. Tras ladesconexion la carga q se situa en el hueco interior, en la posicion R/2uz, ¿cual es el nuevopotencial en puntos alejados de la esfera?

(c) ¿Cual es la fuerza sobre la carga q para cada una de las dos situaciones anteriores?.


4.12. El metodo de las imagenes para una carga frente a un plano conductor suele presentarse apelandoal teorema de unicidad. Sin embargo, puede demostrarse constructivamente. Para ello, sıgase elsiguiente esquema

(a) Enunciense las ecuaciones y condiciones de contorno para este problema. Supongase el planoconductor en z = 0 y la carga puntual en auz

(b) ¿Cuanto vale el campo en el semiespacio z < 0?

(c) Este campo es la suma del de la carga puntual mas el de la carga superficial aparecida en elplano. Segun esto, ¿cuanto vale el campo de esta carga superficial en z < 0?

(d) ¿Cuanto vale el campo debido a la carga superficial en z > 0? ¿A que equivale este campo?

(e) Hallese la densidad de carga superficial a partir de la discontinuidad en la componente normaldel campo electrico. ¿Cuanto vale la carga total inducida sobre el plano?

4.13. Se tienen dos cilindros metalicos infinitamente largos, del mismo radio a, situados paralelamente,estando sus ejes a una distancia 2b (b > a). Los cilindros estan a potencial ±V0, respectivamente.

(a) Hallese el campo y el potencial en el espacio exterior a los cilindros

(b) Calculese la fuerza por unidad de longitud que cada cilindro ejerce sobre el otro.

(c) ¿Como cambia el problema si en lugar de dos cilindros tenemos un cable cilındrico situadoparalelamente frente a un plano de tierra.

qz

x

y

3R

q

R/2

Problema 4.11



Campos Electromagn eticos. Bolet´ ın 5. Diciembre de 2002

Problemas basicos

5.1. Un modelo muy simplificado de atomo es aquel que considera al nucleo como una carga pun-tual +q y a los electrones como una distribucion esferica uniforme de radio a en torno al mismo.Supongase que un atomo de este tipo se coloca en presencia de un campo externo uniforme E0.¿Cual es el momento dipolar inducido en el atomo por la separacion de los centros de carga?Supongase que la separacion entre centros de carga es pequena. ¿Cual es la separacion entre loscentros de carga? Comparese esta cantidad con el radio del propio atomo.

Supongase que tenemos un gas monoatomico (un gas noble) con una densidad de N atomos porunidad de volumen. ¿Cuales seran la susceptibilidad y la permitividad de este gas?

Estımense sus valores para el helio, que posee carga q ∼ 3×10−19 C, y radio a ∼ 10−10 m, con unadensidad de N ∼ 3 × 1025 m−3. El valor de la permitividad del vacıo es ε0 ∼ 10−9/36π F/m.

5.2. Se tiene una esfera dielectrica de radio R polarizada uniformemente con P = P0 =cte. Hallese,por integracion directa el potencial en todos los puntos del espacio. ¿Cuales son los valores de E,D y P dentro y fuera de la esfera?

Sugerencia: Explotese la similitud con el problema del campo debido a una esfera cargada uni-formemente en volumen.

5.3. Se tiene una esfera de radio R, centrada en el origen, compuesta de un material con una polariza-cion dada por la expresion, en coordenadas cilındricas,

P = A (ρuρ − zuz)

Hallese la distribucion de cargas equivalente y el potencial electrico en el centro de la esfera.

5.4. Entre dos placas metalicas conductoras planas y paralelas a una distancia d = a + b se colocan dosdielectricos de permitividades ε1 y ε2 y espesores a y b respectivamente, tal como muestra la figura.Hallese la capacidad de este condensador y construyase el circuito equivalente.

5.5. Repıtase el problema anterior suponiendo que la interfaz que separa los dielectricos es perpendicu-lar a las placas.

¿Se podrıa resolver un problema similar pero con cuatro dielectricos, tal como muestra la figura?¿Cual serıa el circuito equivalente?

a

V0

ba

V0

a

V0

b



5.6. El campo electrico en el exterior de un dielectrico tiene por modulo 100 V/m y forma un anguloπ/6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un angulo π/3 con lanormal. Hallese:

(a) La permitividad relativa del medio.(b) El modulo del campo en el interior del material.(c) La densidad de carga de polarizacion en la frontera.(d) El salto en la componente tangencial de D.


5.7. Un electron (carga e = −1.6 × 10−19 C, masa me = 9.1 × 10−31 kg) se coloca a 3 nm de un atomode polarizabilidad α = 10−40 F · m2. Hallese el momento dipolar inducido en el atomo y la fuerzaresultante sobre el electron. ¿Que aceleracion adquiere el electron? ¿En que direccion?

5.8. Muchos materiales dielectricos presentan lo que se conoce como saturacion, lo que quiere decirque la polarizacion alcanza un maximo. En un material de este tipo el comportamiento se puedeaproximar mediante la grafica de la figura. La polarizacion crece linealmente con el campo electricohasta un valor maximo P0 = ε0χE0.

Supongamos que en el centro de una esfera de radio a de material ası se coloca una carga puntualq. ¿Cual es la distribucion de los campos E, D y P en todo el espacio? ¿Cuanto vale la densidadde carga de polarizacion? ¿Y la carga total de polarizacion? ¿Cual serıa el valor de la carga depolarizacion si el dielectrico no se saturase, esto es, si P = ε0χE siempre?

5.9. Supongase que el espacio entre dos placas metalicas planas y paralelas de seccion S y separadasuna distancia a se llena de un material cuya polarizacion presenta saturacion, como la del problemaanterior. Determınese la relacion Q–V para este dispositivo. ¿Es esto un condensador?

5.10. Se tienen dos placas metalicas de superficie S situadas paralelamente y separadas una distancia d.Entre ellas se coloca un dielectrico con una permitividad variable que va como

ε(z) = ε1 + (ε2 − ε1)z

d

donde z es la coordenada perpendicular a las placas. Hallense los campos D, E y P en todos lospuntos entre las placas cuando entre estas hay establecido un voltaje V0. ¿Cual es la densidad decarga de polarizacion (tanto superficial como de volumen)?


E=100 V/m

EE0

P

P0

0E

Problema 5.6 Problemas 5.8 y 5.9


5.11. Se construye un recipiente cilındrico, con bases perfectamente conductoras de seccion S, separadasuna distancia a, y paredes perfectamente dielectricas, de espesor despreciable. El interior se llenahasta la mitad con un lıquido dielectrico y permitividad ε. El resto se deja vacıo.

El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posicion,se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0. Acto seguido se abre el circuitoy, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90 alrededor de un eje horizontal. ¿Cual es lanueva diferencia de potencial entre las placas?

Despreciense los efectos de borde y la influencia de las paredes.

5.12. Se tienen dos superficies cilındricas conductoras concentricas entre las cuales se colocan dielectricostal como muestran las figuras. ¿Cuales son las capacidades y cuales los circuitos equivalentes?

Repıtase el problema para el caso de que la figura represente esferas concentricas.

5.13. Supongase que se tiene una esfera de radio R un material dielectrico (de permitividad ε) alrededorde la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo electrico uniformeE0. Hallese el potencial electrico y los campos electricos en el interior y el exterior de la esfera.

Sugerencia: El campo electrico dentro de la esfera es uniforme. Sabiendo esto, aplıquese elresultado del problema 5.2.


5.14. Repıtase el calculo del problema 5.9 para el caso de que tuvieramos dos esferas, o dos cilindros,de radios a y b (a < b), cuyo espacio intermedio se llenara de un material que presente saturacion.

ab

c

a

c

Problema 5.12


5.15. El metodo de las imagenes puede extenderse a algunos problemas de dielectricos. Considerese queel semiespacio z < 0 se encuentra lleno de un material de permitividad ε, mientras que en z > 0tenemos el vacıo. Supongase que a una altura z = a se encuentra una carga puntual q. Se trata dehallar el potencial en todos los puntos del espacio. Para ello, sıgase el procedimiento siguiente.

(a) Divıdase el espacio en dos regiones, z > 0 y z < 0

(b) Para cada uno de los emiespacios, supongase que el potencial puede escribirse como el de lacarga q, mas el de una carga ficticia. Esta carga estara en el otro semiespacio, a una distanciaa.

(c) A partir de las condiciones de salto en la interfaz, hallense los valores de estas cargas ficticias.

(d) ¿Cuanto vale la carga de polarizacion en la interfaz?

(e) ¿Cual es el valor de la fuerza sobre la carga real? ¿Es atraıda o repelida por el dielectrico?


Los problemas propuestos son el 4.35 y el 4.41 de Engineering Electromagnetics de N. Ida.

q

a

Problema 5.15



Campos Electromagn eticos. Bolet´ ın 6. Enero de 2003

Problemas basicos

6.1. Supongase que se situa una carga puntual q en la posicion aux y una carga q2 en auy. ¿Que valordebe tener q2 para que, al traer una carga q3 desde el infinito al punto −aux no se realice trabajo?

Suponiendo que se da el caso anterior, ¿cual debe ser el valor de q3 para que al traer una cargaq4 = q desde el infinito al punto −auy tampoco se realice trabajo?

Supuesto que se ha construido la configuracion anterior, ¿que trabajo se debe realizar para inter-cambiar las posiciones de las cargas q3 y q4?

6.2. Calculese la energıa libre electrostatica de:

(a) Una carga Q distribuida uniformemente sobre la superficie de una esfera de radio R.

(b) Una carga Q distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio R

¿Cual de las dos configuraciones posee una menor energıa almacenada? ¿Como se interpreta esteresultado si se usa la integral de la densidad de energıa ε0E

2/2?

6.3. Un cable coaxial esta formado por un nucleo metalico cilındrico, de radio a, rodeado de una capade dielectrico, de permitividad ε1, con radio exterior b y una corteza exterior metalica de pequenoespesor. Rodeando a esta corteza hay otra capa de dielectrico de permitividad ε2, de radio exteriorc. La permeabilidad de todos los materiales es igual a la del vacıo.

La corteza metalica exterior se encuentra permanentemente a tierra, mientras que el nucleo se hallaa una tension V .

Hallese la energıa almacenada en un segmento de cable de longitud h a partir del campo electrico.A partir de esta energıa, calculese la capacidad por unidad de longitud del cable coaxial, suponien-do que no se conoce la capacidad de un condensador cilındrico.

6.4. En una esfera metalica de radio R se han hecho dos cavidades, tambien esfericas, de radio R/2.Concentricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas metalicas de radio R/4. No haymas conductores en el sistema. Supongase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada,mientras que las interiores se encuentran a tension V0 y 0, respectivamente. Hallese la energıaalmacenada en el sistema.

b c

a

V0

Problema 6.3 Problemas 6.4


6.5. Las figuras representan dos configuraciones. En ambas tenemos dos placas metalicas planas cua-dradas, de lado L. Se hallan dispuestas horizontalmente y separadas una distancia a. El volu-men entre las placas esta repartido mitad y mitad entre dos dielectricos de permitividades ε1 y ε2.Supongase que sobre las placas metalicas hay cargas ±Q. ¿Cual es la energıa de cada configura-cion? ¿Cual es mayor?

Supongase que los dielectricos son lıquidos de igual densidad de masa que pueden fluir y distri-buirse por el volumen. ¿A cual de las dos configuraciones tendera el sistema?


6.6. El llamado radio clasico del electron se obtiene describiendo esta partıcula como una pequenaesfera de radio a, cargada uniformemente en su superficie. Suponiendo que la energıa electrostaticaalmacenada en el sistema equivale a la masa del electron de acuerdo con la ley E = mc2, halleseel valor numerico del radio que debe tener el electron.

Repıtase ahora el calculo para el caso de un proton. ¿Es logico el resultado que se obtiene?

6.7. Hallese la energıa electrostatica almacenada en el sistema de tres conductores ilustrado en la figura,cuando los potenciales de las semiesferas interiores son ±V respectivamente y el exterior esta atierra.

6.8. Calculese la energıa electrostatica almacenada en un sistema formado por dos placas metalicasplanas y paralelas, de seccion S, separadas una distancia b, entre las cuales hay un dielectrico nohomogeneo que presenta una permitividad variable como

ε(z) =εa

a + z

cuando entre sus placas se establece una tension V0

+Q

-Q

2

1

+Q

-Q

2

1

w

a

b

c


Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Superior de Ingenieros

Camino de los Descubrimientos s/n41092 Sevilla

Campos Electromagn eticos. Bolet´ ın 7. Febrero de 2003

Problemas basicos

7.1. Se tiene un cable de cobre de 1mm2 de seccion, por el cual circula una corriente de 1 A. De-termınese la velocidad media de los electrones en esta corriente, ası como el numero de electronesque atraviesan una seccion del cable en la unidad de tiempo.

Datos: Densidad de masa del cobre ρm = 8.96 g/cm3. Peso atomico P = 63.546 g/mol. Numerode Avogadro N

A= 6.023 × 1023 atomos/mol.

7.2. Un cable de alta tension esta formado por un nucleo de acero (σ = 1.11 × 106 S · m−1) de radioa = 0.5 cm, rodeado de un recubrimiento de aluminio (σ1 = 3.82 × 107 S · m−1) de radio exteriorb = 1.5 cm. Supongase que por el cable circula una corriente de 1000 A.

(a) Hallese la cantidad de corriente que va por cada metal.(b) Calculese la diferencia de potencial entre dos postes separados 300 m.

7.3. Hallese la resistencia entre los extremos de un bloque de conductor ohmico en forma de arcosemicircular de seccion cuadrada, El radio medio es b y el lado de la seccion es a. ¿A que se reduceel resultado si b a?

7.4. Se tienen tres resistencias de 1 Ω, 2 Ω y 4 Ω. Calculense todos los posibles valores de resistenciasque se pueden conseguir con ellas (no es indispensable conectar las tres).

7.5. Una soldadura en un cable produce una acumulacion de oxido, que incrementa la resistividaddel material. Supongase que se tiene un cable de aluminio, que podemos considerar de longitudinfinita, de seccion circular de radio a = 1mm y conductividad σ1 = 3 × 107 S/m. Debido a uncorte y una posterior soldadura, un segmento de longitud l = 3mm pasa a tener una conductividadσ2 = 3.2 × 103 S/m.

(a) Si se hace pasar una corriente I por el cable, ¿donde es mayor la potencia disipada porunidad de volumen, en el cable o en la soldadura? ¿Donde es mayor el campo electrico? ¿Yla densidad de corriente?

(b) Supongase que, para evitar el peligro de fusion, la potencia disipada por unidad de volumenno puede superar el valor p = 3500W/m3 . ¿Cual era la corriente maxima que podıa pasarpor el cable antes del corte? ¿Cual es la corriente maxima que puede pasar una vez hecha lasoldadura?

(c) ¿Cual es el incremento en la resistencia del cable al hacer la soldadura?

a

b

V0



7.6. Supongase se sumergen dos conductores perfectos en un material de permitividad ε y conductivi-dad σ y se aplica entre ellos una diferencia de potencial constante V0 la corriente que llega a unode ellos vale I0. ¿Cual sera la corriente si el voltaje varıa como V0 cos ωt?

7.7. Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de seccion S, y separadas unadistancia a se encuentra un medio resistivo, de permitividad ε y conductividad σ. Entre las placashay establecida una tension V0.

(a) Hallese la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, ası comola energıa almacenada en el sistema.

(b) En t = 0 se desconecta el generador. Determınese la evolucion de la carga en las placas apartir de ese momento.

(c) Hallese la energıa disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador.

(d) Descrıbase el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.


7.8. La resistividad del aire en la atmosfera decrece exponencialmente con la altura como

σ−1 = r = r1e−α1z + r2e

−α2z + r3e−α3z

dondei ri (1012 Ω · m) αi(km−1)1 46.9 4.5272 22.2 0.3753 5.9 0.121

El campo electrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale E0 = −100 V/m. Estecampo es practicamente constante y va siempre en la direccion vertical.

A partir de estos datos hallese

(a) El valor del campo electrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera(z = 100 km).

(b) La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera.

(c) La distribucion de cargas en la atmosfera.

(d) La corriente total que llega a la superficie de la Tierra.

(e) La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria

(f) Estımese el tiempo que tardarıa la atmosfera en descargarse si no existiera un mecanismogenerador

7.9. Entre dos placas metalicas planas y paralelas, de seccion S y separadas una distancia a, se encuen-tra un medio ohmico no homogeneo, cuya resistividad (inversa de la conductividad) varıa con laposicion como

r = r1 +r2 − r1

az


siendo r1 y r2 constantes, y z la coordenada perpendicular a las placas (situadas en z = 0 y z = a).La permitividad del material es homogenea y vale ε.

Entre las placas hay establecida una tension constante V0. Para este sistema, determınese

(a) Los campos J, E y D entre las placas.(b) Las densidades de carga libre en el sistema.(c) La resistencia del elemento.(d) La energıa almacenada y la potencia disipada en el sistema.


7.10. Entre dos placas metalicas planas y paralelas, de seccion S y separadas una distancia a, se encuen-tran cuatro medios dielectricos con perdidas, como indica la figura. Cada medio llena un volumencon la mitad de espesor y de seccion que el sistema completo.

Entre las placas hay establecida una diferencia de potencial estacionaria, V0.

(a) Calculese, a partir de los campos en las diferentes regiones, la potencia disipada en los mediosohmicos.

(b) Hallese la energıa almacenada en este dispositivo.(c) ¿Cuanto valen las densidades de carga libre en el sistema?

7.11. Considerese el sistema de la figura, formado por dos semiesferas metalicas de radio a y que distanuna cantidad w. Rodeando a los dos casquetes se encuentra una corteza esferica, tambien metalica,de radio interior b y exterior c. Supongase que el espacio entre los conductores esta relleno de unmaterial de permitividad ε y conductividad σ, mientras que el exterior de la corteza esta vacıo.

(a) Calculese la matriz de conductancias del sistema, ¿como se relaciona con los coeficientes decapacidad?

(b) Determınense las corrientes que circulan en el sistema y las cargas almacenadas en los conduc-tores cuando un casquete esta a potencial V , el otro esta a tierra, y la corteza no se encuentraconectada a ningun generador.

(c) Para la situacion anterior, calculense la energıa almacenada en el sistema y la potencia disipa-da en el mismo.

7.12. Una varilla de hierro (σ = 1.0 × 107 S/m) de radio a = 2mm y longitud h = 10 cm atraviesa dosarandelas de aluminio (σ = 3.8 × 107 S/m) de radio interior a y exterior b = 1cm, con espesorc = 1mm. Las arandelas se colocan a h/4 de los extremos. El conjunto es introducido dentro deun tubo de cobre (σ = 5.7 × 107 S/m), de radio b y espesor e = 1mm. La longitud del tubo estambien h. El sistema queda como en la figura.

V0

a

S/2

a/2

w

a

b

c



(a) Supongase que se mide la resistencia entre los extremos del tubo de cobre, ¿cual sera elresultado?

(b) ¿Cuanto vale la resistencia medida entre los extremos de la varilla de hierro?

(c) ¿Como cambian los resultados si las arandelas se alejan entre sı, acercandose a los extremos?

Sugerencia: Calculese previamente la resistencia de una corona circular suponiendo potencialesdistintos en sus radios interior y exterior.

7.13. La caıda de un rayo puede modelarse como un pulso de corriente de intensidad I0 que, duranteun tiempo muy corto incide sobre el suelo.

(a) Admitiendo que la corriente se distribuye por el suelo en todas direcciones por igual comoJ = J(r)ur y no se produce acumulacion de carga en ningun punto, hallese la densidad decorriente en funcion de I0 y la distancia al punto de impacto.

(b) Si la conductividad del suelo es σ, hallese el campo electrico y el potencial electrico en el suelo.Supongase que en el infinito el potencial se anula.

(c) Un animal, como una vaca, puede modelarse como una resistencia R en paralelo con el suelocon los puntos de contacto a una distancia a y a + b del punto de impacto. A partir delresultado anterior, hallese la diferencia de potencial entre las patas de la vaca, la corriente quecircula por ella y la potencia disipada.

(d) Calculese el valor numerico para el caso en que I0 = 50kA, σ = 10−2 S/m, a = 10m, b = 2my R = 50Ω.

(e) Considerense las dos situaciones siguientes: Un hombre andando (con b = 1m, la distanciaentre los pies) y un hombre parado (b = 20 cm, la longitud del pie). ¿En cual de los dos casossera mayor la descarga electrica?

7.14. Los primeros sistemas de distribucion de corriente para iluminacion eran en serie (esquema a), contodas las bombillas conectadas en serie y la fuente puesta al voltaje necesario. Los sistemas actualesson casi siempre en paralelo (esquema b).

Supongase que se desea calcular que sistema es el mas economico en terminos de la disipacion deenergıa en el cable. Una calle mide L = 1km y las farolas estan separadas una distancia a = 50m,funcionando cada una a V0 = 240V y con una potencia P0 = 500W.

La resistencia del hilo de cobre es mucho menor que la de las bombillas, de forma que a la hora dehallar las corrientes en cada rama no es necesario considerarla (a la hora de hallar las perdidas sı).

Supongase que el sistema trabaja con corriente continua.

(a) ¿Cual es la seccion mınima necesaria para el cable en cada montaje si la densidad de corrienteno puede superar los Jm = 106 A/m2 y debe tener la misma anchura en todos sus puntos(σ = 5.7 × 107 S/m para el cobre).

a

e

c

h

h/4

b

I0

J

a b

R



(b) Se usa el hilo calculado en (a). Hallese:

(1). El peso total de cobre usado en el sistema en serie y en paralelo (la densidad del cobre esaproximadamente ρm = 9000 kg/m3)

(2). La potencia disipada en el cobre en cada caso.(3). ¿Que sistema es mas economico en terminos de la cantidad de cobre y en terminos de la

potencia disipada?

(c) A la vista de lo anterior, ¿por que se usan montajes en paralelo en lugar de en serie?

Dato: Puede ser necesario saber que

n2 + (n − 1)2 + (n − 2)2 + · · · + 1 =n(n + 1)(2n + 1)

6∼ n3

3(n grande)

7.15. (2.5 puntos) Se tiene un sistema formado por dos superficies metalicas esfericas concentricas, deradio a y 2a, respectivamente. De cada esfera sale un cable al exterior, de resistencia R y capacidaddespreciable. No hay mas conductores en el sistema. Los cables estan conectados como indica lafigura.

(a) Inicialmente los dos interruptores estan abiertos y la esfera interior almacena una carga Q0,mientras que la exterior esta descargada. ¿Cuanto vale la energıa almacenada en el sistema?

(b) Las dos resistencias son puestas en contacto (cerrando el interruptor A), de forma que las dosesferas quedan conectadas. Cuando se alcanza de nuevo el equilibrio electrostatico, ¿cual esla nueva energıa almacenada? ¿Cuanto ha variado respecto al estado anterior? ¿Donde haido a parar la diferencia?

(c) Si, tras la conexion anterior, se conecta un generador de tension continua V0 al punto decontacto (cerrando B) y se restablece el equilibrio, ¿cual es la nueva energıa almacenada? ¿yel trabajo realizado por el generador? ¿Y la energıa disipada en la resistencia?

(d) Supongase que se vuelve al estado inicial y se cierra el interruptor B dejando el A abierto.¿Cuanto vale en este caso la variacion de la energıa almacenada, el trabajo del generador y laenergıa disipada?

(e) Si tras la conexion anterior, se cierra el interruptor A, ¿cuanto valen las mismas cantidades?.Comparando los dos procesos, ¿es igual la variacion total en la energıa almacenada? ¿Y eltrabajo total del generador? ¿Y la energıa disipada?

(a)

(b)

A

R

R V0

B

2a a



7.16. Una esfera metalica perfectamente conductora, de radio a, se encuentra rodeada de una cortezamaterial de ohmico, de permitividad ε0 y conductividad σ. La corteza tiene radio interior a yexterior b.

Inicialmente la esfera y la corteza estan descargadas. En t = 0 la esfera interior se conecta, a travesde un cable, con un generador que fija su potencial en V0.

(a) Determınese la evolucion en el tiempo de la carga almacenada sobre la esfera y en la su-perficie exterior. Admıtase que la densidad de carga es siempre uniforme en cada superficie(Sugerencia: Construyase un circuito equivalente).

(b) Calculese la energıa total disipada en el medio ohmico. ¿Cual es la energıa total proporcionadapor el generador? ¿en que caso esta es nula?

(c) Supongase que en lugar de una senal escalon, se aplica una tension alterna V0 cos(ωt) a laesfera interior. ¿Cual es la corriente I(t) que llega a esta esfera? ¿Cuanto vale la energıapromedio (sobre un periodo) almacenada en el sistema? ¿Y la energıa disipada? ¿Y la energıaaportada por el generador?

7.17. Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesora de un medio de permitividad ε1 y conductividad σ2. El resto del espacio lo ocupa una capa deespesor b de un material de permitividad ε2 y conductividad σ2.

En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0.

(a) ¿Cuanto valen E, D y J inmediatamente despues de conectar el potencial?

(b) ¿Cuanto valen un tiempo largo despues de que se haya establecido?

(c) ¿Cuanto valen en cualquier instante?

(d) Supongase que en lugar de un voltaje escalon se aplica un voltaje que varıa como V =V0 cos ωt. ¿Cuanto valen los campos? ¿Cual es el circuito equivalente?

V1

a

b

V0

a

b




7.18. Entre dos placas de un condensador plano, de seccion S y separadas una distancia d, se estableceuna diferencia de potencial V . Sobre una de las placas se deposita una pequena partıcula de polvo.Esta se puede modelar suponiendo que es un pequeno disco de radio R y espesor despreciable, demasa m y perfectamente conductor.

(a) ¿Que le ocurre a la partıcula al entrar en contacto con la placa?

(b) ¿Cual es el efecto del campo electrico del condensador sobre la partıcula? (despreciese elcampo creado por la propia partıcula).

(c) Calculese el tiempo que tarda en llegar hasta la otra placa. ¿Que le ocurre entonces? ¿Comoes el movimiento subsiguiente de la partıcula?

(d) Hallese un valor aproximado para la corriente electrica que, debido a la partıcula, atraviesa elcondensador. ¿Verifica esta corriente la ley de Ohm?

7.19. Una valvula de vacıo se basa en el llamado efecto termoionico, segun el cual, cuando se tiene unelectrodo caliente, la energıa termica de los electrones es suficiente para que puedan abandonarel material. La valvula se construye enfrentando un electrodo caliente puesto a tierra frente a otrofrıo (del cual los electrones no pueden salir) puesto a una tension V0. Se desprecian los efectos deborde.

(a) Si V0 < 0, ¿habra corriente en el sistema?

(b) A partir de la ley de conservacion de la energıa mecanica, ¿cual es la velocidad, v, de unelectron en un punto en el que φ = φ(z)? Admıtase que los electrones son emitidos convelocidad nula.

(c) Escrıbase la ecuacion de Poisson para el potencial.

(d) En el estado estacionario, ¿a que se reduce la ley de conservacion de la carga? ¿Como serelaciona J con ρ y v? Sustituyase el resultado en la ecuacion de Poisson.

(e) Resuelvase esta ecuacion, suponiendo una solucion de la forma φ = azp.

(f) Hallese la corriente que atraviesa el elemento y la caracterıstica I − V .

(g) ¿Que utilidad practica tiene este elemento?


Los probelmas propuestos son el 7.13 y 7.20 del libro Engineering electromagnetics de N. Ida.



Campos Electromagn eticos. Bolet´ ın 8. Marzo de 2003

Problemas basicos

8.1. Una lınea de alta tension esta formada por dos cables, que podemos suponer como hilos rectilıneosinfinitos y paralelos situados a una distancia d = 6m entre sı y a una altura h = 10m. Por estoscables circulan corrientes ±I, con I = 2kA.

(a) Hallese el campo magnetico al nivel del suelo.

(b) Calculese la fuerza magnetica que los hilos se ejercen entre sı.

8.2. Una partıcula de masa m y carga q se mueve en el interior de un campo magnetico uniformeB = B0uz. Si la partıcula se halla inicialmente en el origen y moviendose con velocidad v = v0.¿Cual es la trayectoria posterior? ¿Cual es la posicion en un instante de tiempo t?

8.3. Una espira plana de forma irregular se coloca de forma que parte de ella se encuentra en un campomagnetico uniforme B (en la figura el campo ocupa la region sombreada y apunta perpendicular-mente al plano de la espira). Por la espira circula una corriente I. Pruebese que la fuerza magneticaneta sobre la espira es F = IBs, donde s es la cuerda subtendida.

Generalıcese este resultado para el caso de que la forma de la region ocupada por el campomagnetico sea tambien irregular. ¿En que direccion apunta la fuerza?

8.4. Se tiene una varilla de longitud l y seccion despreciable, por la cual circula una corriente I (estosolo tiene sentido si consideramos la varilla como parte de un sistema mayor). Hallese el campomagnetico creado por dicha varilla.

A partir de este resultado, dada una espira en forma de medio hexagono regular, como indica lafigura, por la cual circula una corriente I, hallese el campo magnetico en el punto A, coplanariocon la espira

Hallese igualmente el campo en el punto C, situado en un vertice del hexagono, no pertenecientea la espira.

d

I

-Is

I

B

60º

a

A

C

I



8.5. Un solenoide de radio a, altura h y n espiras por unidad de longitud, puede aproximarse por unadistribucion de corriente superficial sobre un cilindro.

(a) Hallese el valor K equivalente a que por las espiras circule una corriente I.

(b) Empleando la ley de Ampere, calculese el campo producido por el solenoide, si h → ∞.

(c) Mediante integracion directa, hallese el campo magnetico en los puntos del eje del cilindro sih es finito. Estudiese el lımite h a

8.6. Sobre un cilindro de radio a y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniformeK. Hallese el campo magnetico en todos los puntos del espacio.

8.7. Sobre la superficie de una esfera de radio R se traza una espira por la cual circula una corriente I.Demuestrese que el campo magnetico en el centro de la esfera es

B =µ0m2πR3

siendo m el momento magnetico de la espira. Demuestrese igualmente que el potencial vector enel mismo punto es nulo.

¿Como se extiende este resultado al caso de una densidad de corriente superficial, K sobre lamisma esfera? ¿Cuanto vale, segun esto, el campo en el centro de una cascara esferica cargadauniformemente que se encuentre en rotacion?

8.8. Para la espira en forma de cuadrilatero del problema 8.4, hallese el campo magnetico y el potencialvector en puntos alejados de ella.


8.9. Se desea construir una balanza que en lugar de un resorte funcione por fuerzas magneticas. Paraello, se produce un campo magnetico uniforme B = B0uz en una region rectangular. En el interiorde este campo se coloca una espira, por la cual se hace circular una corriente continua, I.

(a) Supongase que se usa como espira un triangulo rectangulo de hipotenusa a, masa m0, re-sistencia electrica R y autoinduccion despreciable. En el vertice inferior se coloca una agujaindicadora. Aplicando el resultado del problema anterior, calculese a que distancia del bordeinferior estara la aguja cuando no hay colgado ningun peso.

(b) ¿Cual sera la posicion de la aguja cuando se cuelga una masa m de la balanza? ¿Cual es elpeso maximo que puede medir esta balanza?

(c) ¿Funcionarıa la balanza con una espira cuadrada? ¿Y con una espira triangular invertida?(Sugerencia: piensese en lo que ocurre si la balanza se aleja ligeramente de su posicion deequilibrio)

IR

B

I

mg

x

y

z

a



8.10. Se tienen dos cilindros infinitamente largos y paralelos. Por los cilindros circulan densidades decorriente uniformes +J y −J, respectivamente.

Los ejes de los cilindros distan una distancia a < 2R, por lo que intersecan, tal como muestra lafigura.

(a) Demuestrese que el campo magnetico en la zona de interseccion es constante. Hallese suvalor.

(b) Calculese el campo magnetico lejos de los dos cilindros.

(c) Considerese el lımite a → 0, J → ∞ con aJ → K0 =cte. Hallese la densidad de corrientesuperficial resultante.

8.11. Se tiene una espira plana que puede expresarse mediante las ecuaciones

ρ =p(1 + e)

1 + e cos ϕz = 0

esto es, se trata de una conica: circunferencia (e = 0), elipse (e < 1) parabola (e = 1) o hiperbola(e > 1). Por esta espira circula una corriente I. Determınese el campo magnetico en el origen decoordenadas.

8.12. Se tiene un solenoide cilındrico de gran longitud formado por un hilo, arrollado formando unahelice, de radio R y paso de rosca (distancia entre dos espiras consecutivas) b. Por el cable circulauna corriente I.

Hallese el campo magnetico en todos los puntos del espacio, teniendo en cuenta la inclinacion delas espiras. (Sugerencia: Combınense los resultados de los problemas 8.5 y 8.6.)

8.13. Se dispone de una espira de radio R en el plano xy, con centro el origen por la cual circula unacorriente I. A una distancia d sobre ella se coloca una espira identica, por la cual circula la mismacorriente.

(a) ¿Cuanto vale el campo en el eje que pasa por los centros de las espiras?

(b) ¿Cuanto debe valer d si se desea que el campo en el eje sea practicamente constante? A estadisposicion se la conoce como bobina de Helmholtz.

8.14. Una espira rectangular de lados a y b, recorrida por una corriente I1, es coplanaria con un conductorrectilıneo, por el que circula una corriente I2. La distancia del centro de la espira al hilo es d. Hallesela fuerza que aparece entre el hilo y la espira.

+J J

a

R

p

I

bI

R



8.15. Hallese la expresion del momento dipolar magnetico correspondiente a una cierta distribucion decarga que gira en torno a un eje con velocidad angular ω.

Aplıquese a las siguientes distribuciones:

(a) Un anillo de radio R sobre el cual hay distribuida uniformemente una carga total Q.

(b) Un disco de radio R sobre el cual hay distribuida la misma carga Q.

(c) Una superficie esferica de radio R.

(d) Una esfera maciza de radio R.

En todos los casos la rotacion se produce en torno al eje de revolucion.

Supongase que en cada punto de estas distribuciones, la densidad de masa es proporcional ala de carga (porque corresponde a una distribucion de partıculas todas del mismo tipo), esto es,ρq = γρm. Cual es en este caso la relacion entre el momento dipolar magnetico y el momentoangular de la distribucion?

8.16. Por un cable vertical muy largo, se hace circular una corriente I0. Un pequeno iman (equivalentea un dipolo magnetico m), de peso Mg, se suspende de un hilo ideal, de longitud l, cuyo puntode sujecion se encuentra a una distancia a del cable. El iman esta sujeto por su punto central, deforma que puede orientarse libremente. ¿En que direccion apuntara el iman? Calculese la fuerzamagnetica sobre el iman, cuando se encuentra a una distancia x del cable. Hallese la ecuacion parael angulo que el hilo forma con la vertical.

8.17. Sobre una mesa horizontal se colocan dos brujulas (equivalentes a dipolos magneticos) iguales,de forma que sus centros distan una cantidad a. Las dos brujulas pueden girar en el plano hori-zontal. Considerando que la interaccion brujula-brujula es mucho mayor que la accion del campomagnetico terrestre, ordenense las cuatro configuraciones de la figura de menor a mayor energıa.¿Como se orientaran las brujulas?

d

I

R

I2

I1

d

a

b I

a

l

m



Problema de ampliacion

8.18. En la region alrededor del origen existe un campo magnetico de la forma

B(ρ, z) = C(ρuρ − 2z uz)

Supongase que en este campo se encuentra un anillo de masa m y radio a con una carga total quniformemente distribuida. Este anillo se encuentra inicialmente en reposo en el plano z = 0 concentro el origen. En t = 0 se le comunica una velocidad vertical inicial v0 = v0uz.

(a) Razonese que, como consecuencia de su movimiento, el anillo comienza a girar en su plano.¿Hacia donde? Calculese el par total ejercido sobre el anillo cuando se encuentra a una alturaz y se mueve con una velocidad v; hallese una ecuacion para la variacion de la velocidadangular.Nota:

τ =dLdt

=∫

r ∧ dF L = ma2ω

(b) Justifıquese que, debido a la rotacion, aparece una fuerza vertical sobre el anillo. Calculese suvalor cuando el anillo se encuentra a una altura z y gira con velocidad angular ω; hallese unaecuacion para la variacion de la velocidad vertical.

(c) Demuestrese que la cantidad12mv2 +

12ma2ω2

permanece constante en el tiempo. ¿Que representa esta cantidad? ¿Cual es el papel delcampo magnetico desde el punto de vista energetico?

(d) Resuelvase el sistema de ecuaciones para v y ω. Descrıbase el movimiento resultante.

8.19. ¿Como cambian los resultados del problema 8.17 si ademas se considera el efecto del campomagnetico terrestre? Suponganse dos casos:

(a) Que el campo de la Tierra es paralelo a la lınea que une los centros de las brujulas.

(b) Que es perpendicular a esta direccion.


Los problemas propuestos son el 5.39 y el 5.41 del texto de J.D. Griffiths Introduction to electrodyna-mics, 3a ed.



Campos Electromagn eticos. Bolet´ ın 9. Abril de 2003

Problemas basicos

9.1. El momento dipolar magnetico de un atomo de hierro es aproximadamente

m 2.22eh

2me

¿Cual es el valor maximo que puede tener la magnetizacion de un trozo de hierro?

Supongase que se tiene un iman cilındrico de gran longitud, magnetizado a lo largo de su eje.Sabiendo que el campo en el extremo de la barra es aproximadamente B µ0M/2, calculese elcampo que producira este iman. Estımese el valor de las corrientes de magnetizacion equivalentesa esta imanacion.

Datos: Carga del electron e = 1.6 × 10−19 C; masa del electron me = 9.1 × 10−31 kg; constantede Planck h = 1.054 × 10−34J·s; peso atomico del hierro pm = 55.8 dalton; densidad de masa delhierro ρm = 7.87g/cm3; permeabilidad del vacıo µ0 = 4π × 10−7T·m/A.

9.2. Supongase que se tienen un conjunto de cunas de hierro y se magnetizan las mismas de forma quela punta es el polo sur y la base el polo norte. Acto seguido se construye una esfera con estas cunas,de forma que todos los polos sur apunten al centro de la misma y los polos norte queden en la caraexterior de la esfera. ¿Se apreciara campo magnetico en el exterior de la misma? ¿Y en el interior?

9.3. Se tiene un cilindro de longitud L y radio R, magnetizado segun la ley

M = Ayux

estando situado el origen de coordenadas en el centro del cilindro y siendo el eje z coincidente conel del iman.

Hallense las fuentes vectoriales equivalentes a esta magnetizacion. Calculese tambien la distribucionde fuentes escalares equivalente.

NN

N

N

N

NN

N

N

N

N

N

S

S

S

S

Problema 9.2


9.4. El campo magnetico en el exterior de un material magnetico cuya superficie es plana tiene pormodulo 0.5T y forma un angulo de π/6 con la normal. El campo en el interior del medio formaun angulo de π/3 con la normal. Por la superficie no circulan corrientes libres.

Hallese la permeabilidad relativa del medio, el modulo del campo en el interior del material y lascorrientes y cargas de magnetizacion en la superficie.


9.5. Se dispone de una esfera de radio R con una imanacion permanente M = M0uz.

(a) ¿Cual es la expresion integral para el potencial vector?

(b) Hallense las corrientes de magnetizacion equivalentes y las ecuaciones y condiciones de con-torno para B

(c) Expresese el problema de ecuaciones y condiciones de contorno para H.

(d) Calculense las cargas de magnetizacion.

(e) Descrıbase cualitativamente la forma de B, H y M

(f) Resuelvase el problema exactamente por alguna de las formas anteriores.

9.6. Se construye un iman cilındrico de radio R = 1 cm y longitud L, con una magnetizacion uniformey paralela a su eje M0 = 105A/m.

(a) Determınese aproximadamente los campos H y B cuando L = 1 mm, en el centro del iman yen un punto ligeramente por encima de su base superior.

• A partir de las corrientes de magnetizacion.• A partir de las cargas magneticas.

(b) Estımense H y B cuando L = 1m en los mismos puntos y con los mismos metodos

(c) Determınense exactamente H y B en todos los puntos del eje del iman, tanto dentro comofuera de el. Comparese con los resultados anteriores

9.7. Se tiene una esfera de radio R magnetizada permanentemente con una magnetizacion dada, enesfericas, por M = Ar sen θuϕ.

(a) Hallense las ecuaciones y condiciones de contorno para H. Obtengase este campo en todo elespacio.

(b) A partir del resultado anterior calculese el campo B ¿Como son las lıneas de campo magneti-co?

(c) Determınense las corrientes de magnetizacion. ¿Como son las lıneas de corriente?

B=0.5 T

L

R

M0



9.8. El campo magnetico de la Tierra corresponde aproximadamente al creado por un dipolo magneticosituado en su centro. Sabiendo que el valor absoluto del campo magnetico en Sevilla (latitud 37.4)es de (5 ± 2) × 10−5 T y que el radio de la tierra es de 6370 ± 10 km, calculese:

(a) El momento magnetico de la Tierra.(b) El angulo que, en Sevilla, formara con la horizontal una aguja suspendida libremente.(c) El campo magnetico en el Polo Norte y en un punto del ecuador. ¿Que angulo formara con

la horizontal en esos puntos?

Admıtase que el Polo Norte Magnetico coincide con el Polo Norte Geografico.

9.9. Supongase que se tiene una esfera de radio R un material magnetico lineal (de permeabilidad µ)alrededor de la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo magneticouniforme B0.

(a) Sabiendo que la magnetizacion que aparece en la esfera es uniforme, hallese el valor de dichamagnetizacion, del momento dipolar inducido en la esfera, y del campo magnetico en todoslos puntos del espacio.

(b) ¿En que se diferencia el resultado para un material diamagnetico (µ < µ0) de uno para-magnetico? ¿A que se reducen los resultados en los casos de un paramagnetico ideal (µ → ∞)y un superconductor (µ = 0)?

(c) Hallense las corrientes de magnetizacion que aparecen en la esfera.(d) Calculense los valores numericos para los apartados anteriores con un campo externo B0 =

10mT aplicado sobre una esfera para los siguientes materiales:i. Oro, χm = −3.0 × 10−5

ii. Aluminio χm = 2.1 × 10−5

iii. Hierro χm = 150iv. Superconductor χm = −1


9.10. El descubrimiento del paramagnetismo y el diamagnetismo se realizo midiendo la fuerza que uncampo no uniforme ejerce sobre estos materiales.

Supongase que se dispone una bobina de longitud h = 16 cm y radio R = 13mm, con N = 300espiras, por la que circula una corriente I = 1A. En el extremo superior de la bobina, sobre el eje,se coloca una pequena muestra, aproximadamente esferica, de radio a = 1mm, de un materialmagnetico de susceptibilidad χm.

Hallese la expresion para el momento magnetico inducido en la muestra, y para la fuerza que labobina ejerce sobre ella. ¿En que se diferencia el comportamiento de un material diamagnetico deuno paramagnetico? Calculese el valor de la fuerza para una muestra de grafito (χm = −4.4×10−5)y para una de platino (χm = 2.9 × 10−4).

9.11. Sea un medio semiinfinito de permitividad µ, situado en x < 0. El resto del espacio esta vacıo.Paralelamente a su superficie y a una distancia a de la misma se coloca un hilo, por el cual circulauna corriente I. Introduciendo las corrientes imagen adecuadas (analogamente al caso electrico),hallese el campo magnetico en todo el espacio. ¿Cuanto valen las corrientes de magnetizacion?Considerense unicamente los lımites µ = 0 (superconductor) y µ → ∞ (material perfectamenteparamagnetico).

Problema propuesto

El problema propuesto es el 6.8 del manual Introduction to electrodynamics, 3a de J. D. Griffiths (esteproblema es tambien el 6.8 en la segunda edicion).



Campos Electromagn eticos. Bolet´ ın 10. Abril de 2003

Problemas basicos

10.1. Se tiene un solenoide largo de seccion S, por el cual circula una corriente variable en el tiempoK0(t). Dos voltımetros miden el voltaje entre dos puntos A y B, diametralmente opuestos, de uncircuito formado por dos resistencias R1 y R2, tal como se ve en la figura. Hallense las lecturas delos voltımetros. ¿Coincidiran estas? ¿Por que?

10.2. Supongase que se posee una casa en el campo, sobre la cual pasa una lınea de alta tension por lacual circula una corriente I0 cos(ωt), y se decide aprovechar esta molesta situacion.

Para ello, se dispone de una cierta cantidad de hilo de cobre de diametro D. Con este hilo seconstruye un rectangulo de lados a y b, que se dispone paralelamente al cable de alta tension. Pormotivos de seguridad, la distancia mınima al hilo es c. A este hilo se conecta una resistencia R, quepuede ser la de una bombilla.

Hallese la fuerza electromotriz inducida en el circuito por la intensidad que circula por el cable dealta tension, la energıa W consumida en la resistencia R en un periodo y la potencia promedioW/T . ¿Para que valor de R es maxima esta potencia?

Calculese el valor numerico de esta potencia si I0 = 4kA, ω = 100π s−1, a = 6m, b = 50,m,c = 1m. La conductividad del cobre es σ = 5.9 × 107S/m y el diametro del hilo es 1mm. ¿Podraencenderse una bombilla?

10.3. Se tienen dos anillos metalicos. Ambos anillos estan centrados en el origen de coordenadas. Unode ellos posee radio b y esta situado en el plano xy. El otro es de radio a esta inclinado, de formaque su normal forma un angulo θ con el eje z. El radio b es mucho mayor que a.

(a) Determınese el coeficiente de induccion mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campodel anillo exterior a traves del anillo interior (tengase en cuenta que este es muy pequeno),cuando por el anillo exterior circula una corriente I1.

(b) Hallese el coeficiente de induccion mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (quees practicamente un dipolo) a traves del anillo exterior cuando por el anillo interior circula unacorriente I2. ¿Son iguales los dos coeficientes?

V1 V

2

R1

R2

K0( )t

A

B

c

a

bR

I t0cos

n

uz

b

a



10.4. Supongase la misma configuracion geometrica del problema 10.3. Por el anillo exterior se hacecircular una corriente constante I0. El anillo interior se hace girar en torno al diametro comun, deforma que el angulo θ varıa con velocidad constante ω. Despreciando los efectos de la autoinduc-cion, hallese la corriente que circula por el anillo interior.

Calculese la energıa disipada en este anillo durante un periodo de revolucion. ¿De donde procedeesta energıa?

10.5. Tres solenoides cilındricos muy largos se disponen concentricamente. Dichos solenoides poseen lamisma longitud L y el mismo numero de espiras, las cuales estan arrolladas en el mismo sentido.Los radios de las bobinas son, respectivamente, a, b y c (a < b < c).

(a) Determınese la matriz de inducciones mutuas del sistema.

(b) Supongase que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superiorde la exterior. ¿Como queda entonces la matriz de inducciones mutuas del nuevo sistema dedos conductores?

10.6. Dos pequenas espiras circulares, de radio a, se encuentran situadas en los puntos

r1 = 3bux r2 = 4buy

Las superficies de las espiras estan orientadas de forma que las normales a estas espiras tienen ladireccion

n1 = −13ux − 2

3uy +

23uz n2 =

35ux +

45uy

(a) Hallese el coeficiente de induccion mutua entre ambas espiras.

(b) Calculese la energıa de interaccion entre las dos espiras cuando por ellas circulan corrientes I1

e I2.

(c) En la misma situacion, calculese el par de fuerzas, τ = m∧B, que cada espira ejerce sobre laotra.

10.7. Se tiene un cable coaxial formado por un nucleo conductor macizo de radio a y una cascarametalica concentrica de radio b (a < b). Por el cilindro interior circula una corriente total +Idistribuida homogeneamente por el volumen, mientras que por el exterior circula una corriente−I. Hallese el coeficiente de autoinduccion por unidad de longitud del cable coaxial, a partir de laenergıa acumulada por unidad de longitud.

ac bab

h

a

l

B

A

a

l/2

B

A

(a)

(b)

a

l/2

B

A

l/2

a

B

A

(c)

(d)




10.8. Dos cables paralelos, de longitud l, seccion s y conductividad σ, que distan una cantidad a, estanunidos por uno de sus extremos por un hilo sin resistencia. En la region rectangular de lados l y aexiste un campo magnetico uniforme en el espacio y variable en el tiempo B0(t). Si el circuito secierra con un amperımetro de resistencia interna despreciable, ¿cual sera la corriente que indicaraeste si el amperımetro esta en la posicion (a)? ¿Y si esta en la (b)? ¿Y si esta en la (c)? ¿Y en la (d)?

Si colocamos simultaneamente tres amperımetros en las posiciones (b), (c) y (d), ¿que indicara cadauno?

10.9. En una region rectangular existe un campo magnetico constante y uniforme B = B0uz. Sumergidaen este campo se encuentra una espira rectangular, formada por cables perfectamente conductores.En uno de los lados se encuentra un amperımetro ideal y en el opuesto un voltımetro, tambien ideal.Entre estos dos lados se encuentra una barra, que posee una resistencia R. Esta barra se muevecon velocidad v = vux. ¿Cuales son las lecturas del amperımetro y del voltımetro?

Supongase que se intercambian las posiciones de la barra y el voltımetro, siendo este el que semueve, ¿Cuales son entonces las lecturas?

10.10. Se tiene un solenoide muy largo, de radio b = 1cm y longitud h = 15 cm, hecho de un hilo circularde cobre de 1mm de radio. Las espiras del solenoide estan densamente arrolladas, de forma queno hay espacio entre ellas. Los extremos del solenoide estan cortocircuitados por el mismo cable.

En el interior del solenoide se encuentra una espira cuadrada, de lado a = 1cm. Esta espira giraen torno a un eje perpendicular al del solenoide, con velocidad angular constante ω = 100πrad/s.Por la espira se hace pasar una corriente constante I0 = 1A.

Hallese la corriente que circula por el solenoide.

Sugerencia: Aplıquense las propiedades de los coeficientes de induccion mutua.

10.11. Se disponen dos solenoides ideales (sin resistencia) como en la figura. La autoinduccion de lasbobinas es L1 = 40mH y L2 = 20mH, respectivamente, y la induccion mutua en la orientacionindicada vale M = 15mH.

Los terminales A, B, C, D, E y F pueden ser unidos por cables ideales, o dejarse abiertos. Hallenselos 9 valores posibles de autoinduccion equivalente que pueden obtenerse en este sistema.

x

y

z

B

v AVR

B

vAVR

( )a ( )b ab

I0



10.12. La figura representa un carril metalico superconductor por el cual puede deslizarse una varilla hori-zontal, tambien superconductora. Esta varilla esta inmersa en un campo uniforme B0 y cae por laaccion de la gravedad.

Inicialmente se encuentra en reposo y no circula intensidad por el circuito. En este momento sesuelta. Determınese la ecuacion de movimiento y la posicion de la varilla en funcion del tiempo siel circuito esta cerrado por:

(a) Una resistencia R (b) Un condensador C (c) Una autoinduccion L.

Estudiese en cada caso el balance energetico del sistema.

10.13. Se tienen dos solenoides cilındricos concentricos de longitud h, muy grande. Los solenoides tienenradios a y 2a, respectivamente, y estan construidos con N espiras de un material superconductor,arrolladas en el mismo sentido.

Supongase que los extremos del cilindro interior estan cortocircuitados por un hilo tambien super-conductor y que, inicialmente, no circula corriente por este solenoide. Los extremos de la bobinaexterior estan inicialmente unidos a un generador de intensidad que produce una corriente I0. Ent = 0, esta bobina se desconecta del generador y se cierra el circuito a traves de una resistencia R.

(a) Calculense las corrientes que circulan por cada solenoide en cualquier instante posterior.

(b) Hallese la energıa almacenada inicialmente, la energıa final y la potencia disipada en la resis-tencia a lo largo del tiempo.


10.14. Una esfera conductora que se encuentra imanada axialmente gira con velocidad angular constante,ω0, en torno al eje de la imanacion. Un voltımetro se conecta, mediante contactos deslizantes, alecuador y al polo norte de la esfera. ¿Habra lectura en el voltımetro? ¿Cual es la causa de estaf.e.m.?

Calculese cuanto senalara el voltımetro para una magnetizacion de 105 A/m en una esfera de 2 cmde radio que gira con un periodo de 1 s.

L2

L1

M

· ·

·A

·B ·C

·D

·E

·FB

Z

g

v

x

y

z a2a

h

I0

R



10.15. Para construir un solenoide, se hace un devanado de N espiras de un material muy buen conductor(podemos suponerlo perfecto) de radio a y longitud h. Las espiras se arrollan sobre una cortezacilındrica de radio a y espesor δ (δ a). La corteza posee una cierta conductividad σ. El hilo dela bobina esta esmaltado para evitar el contacto electrico entre dos vueltas consecutivas o con elcilindro soporte.

Hallese la impedancia del elemento de circuito teniendo en cuenta la resistencia del cilindro soporte(pero despreciando su autoinduccion) y construyase un circuito equivalente.

10.16. Una de las consecuencias de las corrientes inducidas por un campo magnetico variable es el efectopelicular o skin.

Supongase que tenemos un medio ohmico de conductividad σ y permeabilidad µ que se extiendepara x > 0. En x < 0 hay vacıo.

Debido a una fuente externa, en x = 0 hay establecido un campo magnetico oscilante tangente ala superficie, B = B0 cos(ωt)uz .

(a) Hallense las ecuaciones vectoriales para el campo magnetico en el medio ohmico.

(b) Resuelvanse estas ecuaciones, admitiendo que, en todos los puntos del material

B = Re(B(x)eiωtuz

)

impongase que en x → ∞ el campo debe tender a cero.

(c) ¿Como decae el campo al penetrar en el material? ¿Que distancia hay que recorrer paraque la amplitud se reduzca en un factor 1/e? Hallese este espesor para un bloque de cobre(σ = 5.9 × 107 S/m) y un campo oscilante de frecuencia f = 2.45GHz

(d) ¿Como varıa la fase de oscilacion del campo al profundizar en el material?


Los problemas propuestos son el 10.6 y el 10.12 del libro Engineering electromagnetics de N. Ida.

M0

V

0

VA

a

δ




Campos Electromagn eticos. Bolet´ ın 11. Mayo de 200311.1. Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separa-

das una distancia a (a b); entre ellas hay vacıo. Entre los centros de las placas se establece unatension V0 cos ωt.

(a) Hallese, en primera aproximacion, el campo electrico que se establece entre las placas.

(b) Determınese el campo magnetico inducido entre las mismas, segun la ley de Ampere-Maxwell,para una distancia r del eje que une los centros de los discos.

(c) Calculese, la primera correccion en el campo electrico obtenido en (a), de acuerdo con laley de Faraday. ¿Para que valor del radio empieza a ser importante esta correccion (esto es,comparable al campo estatico)?

(d) Indıquese como serıan las siguientes correcciones, tanto en E como en B.

11.2. El campo magnetico debido a un segmento rectilıneo por el cual circula una corriente estacionariaI viene dado por

B =µ0I

4πρ(sen α2 − sen α1)uϕ

tal como se establece en el problema 8.4

(a) ¿Verifica este campo la ley de Ampere para corrientes estacionarias?

(b) Para que se cumpla la ley de conservacion de la carga, debe existir una densidad de cargavariable en este sistema. ¿Donde estarıa y que tipo de densidad serıa? ¿Como varıan estascargas en el tiempo?

(c) Hallese el campo electrico debido a esta densidad de carga.

(d) Calculese la densidad de corriente de desplazamiento en todos los puntos del espacio.

(e) ¿Se verifica la ley de Ampere-Maxwell?

11.3. El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuen-tra lleno de un material ohmico, de permitividad ε, conductividad σ, y permeabilidad magneticaµ0. El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a b). La placa superior estapermanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tension V (t).

(a) Despreciando los efectos de borde y la induccion electromagnetica, hallese el campo electricoentre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.

(b) Calculese el campo magnetico entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje B = 0.

(c) Hallese el vector de Poynting en el espacio entre las placas, ası como su flujo a traves de unasuperficie cilındrica de radio b y altura a, concentrica con el sistema.

(d) ¿A que equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En que caso es nulo? ¿Que representa estecaso?


11.4. Supongase un cable coaxial como el descrito en el problema 6.3, formado por un nucleo metalicocilındrico, de radio a, rodeado de una capa de dielectrico, de permitividad ε1, con radio exteriorb y una corteza exterior metalica de pequeno espesor. Rodeando a esta corteza hay otra capa dedielectrico de permitividad ε2, de radio exterior c. La permeabilidad de todos los materiales es iguala la del vacıo. La corteza metalica exterior se encuentra permanentemente a tierra, mientras que elnucleo se halla a una tension V .

Supongase que el cable se alinea con el eje z y que se aplica un campo magnetico uniforme enla direccion del eje x. Hallese la densidad de flujo de energıa electromagnetica en cada punto delespacio y la cantidad de energıa que fluye a traves de una seccion transversal del cable coaxial.

11.5. En la region en torno al origen de coordenadas, existe un campo electromagnetico que deriva delos potenciales (en esfericas)

A = −kvrt2

2ur V =

k(2r3 + 3c2vt3)6

(k y v son constantes). Calculense los campos E y B en esta region. Repıtanse los calculos para lospotenciales

A = 0 V = −kr2

6(3vt − 2r)

y para el caso

A = −krt

2(vt − 2r)ur V = 0

¿Cuanto valen las fuentes de los campos electromagneticos en cada caso?

11.6. En una region del espacio vacıo existe un campo electromagnetico dado por

E = Axytux B =At2x

2uz

(a) Demuestrese que este campo es solucion de las ecuaciones de Maxwell.(b) Calculense las fuentes del campo y compruebese que se cumple la ley de conservacion de la

carga.(c) Hallese la densidad de energıa electromagnetica, el vector de Poynting y la potencia desarro-

llada por el campo electromagnetico sobre las fuentes. Verifıquese que se satisface el teoremade Poynting en forma diferencial.

a

b

V t( ) b c

a

B



11.7. En un plasma, la densidad de corriente se relaciona con el campo electrico en la forma

∂J∂t

= ε0ω2pE

Demuestrese que el teorema de Poynting en forma diferencial puede, para este medio, escribirsecomo

∇ · P +∂w

∂t= 0

¿que representa la cantidad w?

11.8. En una region del vacıo libre de cargas y de corrientes, el campo electrico vale

E = E0 cos(ωt) cos(kz)ux

A partir de este campo, hallese

(a) El campo magnetico

(b) La relacion entre ω y k.

(c) La densidad de energıa electrica

(d) La densidad de energıa magnetica.

(e) La densidad de energıa total.

(f) El promedio temporal de las cantidades anteriores, definiendo el promedio de una cantidadcomo

〈A〉 =1T

∫ T

0A(t)dt

(T =

2πω

)

(g) El vector de Poynting y su promedio.

¿A que corresponde este campo electrico?

11.9. En una region del espacio, se tiene el campo electromagnetico

E = E0 cos(ωt − kx)(ux + uy) B =E0

ccos(ωt − kx)uz

(con c la velocidad de la luz)

(a) Compruebese que este campo es solucion de las ecuaciones de Maxwell si ω = ck.

(b) Hallense las densidades de carga y de corriente que originan este campo.

(c) Calculese la energıa electrica y magnetica almacenadas por unidad de volumen, el vector dePoynting y la potencia consumida por unidad de volumen. Compruebese que se verifica elteorema de Poynting.



Primer Parcial, Febrero de 2003

Optica

O.1. (1.25 puntos) Deduzcase la expresion en optica paraxial de la matriz de refraccion correspondientea un dioptrio esferico.

O.2. (1.25 puntos) Un haz de rayos paralelos procedente de un objeto lejano incide en el espejo grandede la figura (|r| = R = 5m) y se refleja en un espejo pequeno que esta a D = 2m del grande. Esteespejo pequeno es realmente esferico (no plano como se indica en la figura). La luz se enfoca en elvertice del espejo grande, como muestra la figura.

(a) ¿Cual es el radio de curvatura del espejo pequeno?

(b) El espejo pequeno ¿es concavo o convexo? Dibuja el sistema real en una figura.

Teorıa

(2.5 puntos) Coeficientes de capacidad e induccion. ¿Como se definen? ¿Que representa el coeficienteCij? ¿Cuales son sus principales propiedades (simetrıas, anulacion, signos,. . . )?Aplicacion:

Se tiene un sistema formado por cuatro conductores esfericos de radio a, cuyos centros estan situadosen los vertices de un tetraedro regular de arista b.

Supongase que, en este sistema C11 = 4C, C12 = −C.1. ¿Cuanto valen los demas coeficientes de capacidad e induccion en este sistema?2. Supongase que inicialmente uno de los conductores almacena una carga Q, mientras que los otrostres estan descargados. ¿Cuanto vale el potencial de cada conductor? ¿Y la energıa almacenada?3. Si en el sistema anterior los cuatro conductores se conectan todos entre sı, ¿cuanto valen la carga, elpotencial y la energıa electrostatica?

D

R

Optica Aplicacion



Primer Parcial, Febrero de 2003

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Un modelo de atomo es el constituido por una carga puntual positiva q, situada en elcentro de una nube esferica de radio a y con densidad de carga uniforme ρ0.

(a) Si el atomo es neutro, ¿cuanto debe valer ρ0?

(b) Para este valor, hallese el campo y el potencial electrico en todos los puntos del espacio(supongase el origen de coordenadas en el centro del atomo).

(c) Supongase que se coloca una carga puntual q1 en el interior de la nube, en el punto r1 =(a/2)uz . ¿Cual es el trabajo para mover esta carga desde este punto al r2 = −(a/2)uz a lolargo de una semicircunferencia?¿Cual serıa el trabajo si en lugar de una carga puntual tenemos un dipolo que movemos alo largo de la misma curva, siendo su orientacion en todo momento p = puz? ¿Y si suorientacion es en todo momento p = pux?

P.2. (2.5 puntos)Sobre una placa metalica plana, de seccion S (que supondremos en z = 0), se colocauna capa de dielectrico de permitividad ε1 con espesor a. Sobre esta capa se situa una laminametalica, de seccion S0 < S, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone unasegunda capa de dielectrico de permitividad ε2 y espesor b. Por ultimo, el sistema se cierra con unasegunda lamina metalica de seccion S.

(a) Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales V1, V2

y V3, ¿Cuanto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Despreciense totalmentelos efectos de borde (suponiendo E = Euz) y los posibles campos exteriores al sistema.

(b) Supongase que la placa inferior se situa a tierra, mientras que la superior se deja aislada ydescargada. Si la placa intermedia se encuentra a una tension V , ¿que carga aparece en laplaca inferior? ¿Y en la intermedia?

(c) Si, en la situacion anterior se desconectan los generadores y se conecta la placa inferior a lasuperior, ¿como se redistribuyen las cargas?

0

q x

y

z

a

S0

S

b

P.1 P.2



Segundo Parcial, Junio de 2003

Optica

O.1. (1.25 puntos) ¿En que se diferencia un emisor luminoso isotropo de uno perfecto (o lambertiano)?Deduzca razonadamente la ley de Lambert. En la figura, se tienen dos elementos de superficie,dA1 y dA2, que podemos considerar lambertianos, tanto emisores como difusores. En funcion delos angulos y distancias del dibujo, ¿cual es la iluminacion que recibe dA1 procedente de dA2? ¿Yla que dA2 recibe de dA1?

O.2. (1.25 puntos) Un foco luminoso S, de pequenas dimensiones que emite luz visible de frecuenciaν, esta sumergido en un lago a una profundidad h. A gran distancia de este foco, un receptor estasumergido en el mismo lago a una profundidad variable y. Cuando el receptor se desplaza sobresu vertical, a una distancia fija D de la fuente S, registra periodicamente maximos y mınimos deintensidad luminosa.

(a) Explique el fenomeno.(b) Calcule la distancia vertical entre dos posiciones consecutivas del receptor correspondientes a

dos maximos. El ındice de refraccion del agua puede tomarse igual a 4/3.

Nota: Supongase D h y D y.

Teorıa

(2.5 puntos) ¿Que establece fısicamente la ley de conservacion de la carga? Establezcase dicha ley enforma integral y, a partir de esta forma, enunciese en forma diferencial.

¿Se deduce esta ley de las ecuaciones de Maxwell o constituye un hecho fısico independiente? Si sededuce, ¿como?

Para un condensador relleno de un medio ohmico se tiene la relacion

I =dQ

dt+

∫J · dS

¿Como se interpreta esta ecuacion? ¿Como se deduce de la ley de conservacion de la carga?Aplicacion: Una nube esferica de carga (compuesta de una distribucion de cargas puntuales flotandoen el vacıo) se encuentra en expansion, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La cargatotal de la nube, Q0, se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de laesfera.

A partir de la ley de conservacion de la carga, calculese la densidad de corriente de conduccion en lanube. Puede suponerse que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera.

Calculese el campo electrico en los puntos de la nube y, a partir de este, la corriente de desplazamien-to. ¿Cuanto vale la densidad de corriente total?

¿Habra campo magnetico en el sistema?Nota: La nube de carga se encuentra en el vacıo y no puede considerarse un material ohmico.

1

1

1

22

2

r

dA dA

N

NS

Rh

D

y

O.1 O.2



Segundo Parcial, Junio de 2003Problemas

Nota: En los dos problemas, los valores numericos deben sustituirse al final de cada calculo, no antes.

P.1. (2.5 puntos) La conductividad del cobre varıa con la temperatura como

σ =σ0

1 + α(T − T0)

donde σ0 = 5.9×107 S/m, α = 0.0039(C)−1, T es la temperatura ambiente y T0 una temperaturade referencia (normalmente T0 = 20C) a la cual se ha medido σ0.

Se hace pasar un cable de cobre de radio a = 0.5mm a traves de la pared de una habitacion, deespesor b = 30 cm. El cable va y vuelve del interior de la habitacion a la calle. Las longitudesdel pequeno arco exterior y del cierre interior son despreciables. La temperatura interior de lahabitacion puede suponerse constante e igual a Tint = 22C, mientras que la exterior varıa desdeText = 5C en invierno a Text = 40C en verano. La temperatura a lo largo de la pared varıalinealmente como funcion de x desde la temperatura interior (en x = 0) a la exterior (en x = b).

(a) ¿Cuanto vale la resistencia del cable como funcion de la temperatura exterior? ¿Cual es suvalor en verano? ¿Y en invierno?

(b) Teniendo en cuenta el efecto Joule, ¿podrıa usarse este dispositivo como termometro, co-nectandolo a una fuente de tension de, por ejemplo 1V, y midiendo la corriente resultante?¿Por que? ¿Y si se emplea una tension de 0.1mV?

(c) En este ultimo caso, si la precision del amperımetro es de 1mA, ¿cual es el mınimo intervalode temperaturas medible?

P.2. Se construye un solenoide cilındrico de radio b = 2cm y longitud h = 20 cm con un hilo de cobre(σ = 5.9 × 107 S/m) de diametro d = 1mm. El hilo se arrolla de forma densa, sin espacios entrevueltas. En el interior del solenoide se coloca una barra, tambien cilındrica, de radio a = 1cm, deun material superconductor (σ → ∞, µ = 0). A los extremos del solenoide se conecta una fuentede continua de tension V0 = 10mV. El circuito se cierra por un interruptor que se conecta en t = 0.

(a) Descrıbase cualitativamente el comportamiento del sistema tras la conexion del circuito. ¿Queocurre en el nucleo superconductor?

(b) Hallese la autoinduccion y la resistencia del sistema.(c) Determınese la corriente que circula por el solenoide como funcion del tiempo, tras el cierre

del interruptor.(d) ¿Habra campo electrico en el interior del nucleo superconductor? ¿Y en el espacio intermedio

entre el nucleo y el solenoide? ¿Y en el exterior de este? De existir este campo, ¿cual serıa suvalor?

Text

Tint

A

xx=0 x b=

ab

hV

0

P.1 P.2



Examen Final, Julio de 2003• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios O.1,

O.2 y T.1

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejerciciosO.3, O.4 y T.2

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios O.1, O.4y T.2

No se corregiran respuestas a problemas diferentes de los indicados

Optica

O.1. [1P-T] (1.25 puntos) Escriba la ecuacion diferencial de un rayo luminoso. A partir de esta ecua-cion, demuestre:

(a) La propagacion rectilınea de la luz en un medio homogeneo.

(b) La existencia de espejismos durante el verano en carreteras y terrenos con intensa insolacion.

O.2. [1P] (1.25 puntos) Se tiene un sistema formado por una lente convergente de focal f1, una lentedivergente de focal f2 y un espejo de radio r, tal como muestra la figura. Se coloca un objeto dealtura h a una distancia a delante de la lente convergente. Calcule el tamano final de la imagenproducida por el espejo.

Datos: |f1| = 30 cm, |f2| = 15 cm, |r| = 24 cm, distancia entre lentes d1 = 10 cm, distancia de lasegunda lente al espejo d2 = 110 cm, h = 5cm, a = 30 cm.

Objeto rh

a d1

d2

Problema O.2




O.2 y T.1




Optica

O.3. [2P] (1.25 puntos) ¿Como se construye la curva de sensibilidad espectral del ojo? ¿A que se llamaeficiencia luminosa relativa o factor de visibilidad, Vλ. ¿Cual es el flujo luminoso correspondientea un flujo radiante Fe = 20W de luz verde monocromatica de λ1 = 520nm? Si emitimos con luzroja de λ2 = 680nm y queremos obtener el mismo flujo luminoso, ¿que flujo radiante se precisa?

Datos:

Vλ1 = 0.7100 para λ1 = 520nm; Vλ2 = 0.0170 para λ2 = 680nm; Km = 683 lm/W.

O.4. [2P-T] (1.25 puntos) En la figura se muestran dos ondas planas, cuyos vectores E son paralelos ytienen la direccion del eje OX, y que se propagan en las direcciones k1 y k2. La frecuencia angularde ambas ondas es de ω = 3.5× 1015 rad/s y la amplitud de una de ellas es 10 veces menor que lade la otra.

(a) Escriba la expresion de los campos electricos asociados a cada onda.

(b) Calcule la distribucion de la intensidad en el plano y = 0.

(c) Si se coloca una pelıcula fotografica de alta resolucion (2800 lıneas/mm) determine si, expo-niendo adecuadamente, se podra registrar el diagrama interferencial.

x

y

z

k1

k2

20º

30º

Problema O.4




O.2 y T.1




Teorıa

T.1. [1P] (2.5 puntos) ¿Cuanto vale el trabajo para introducir una carga en un campo externo cons-tante? Razonese la respuesta.

A partir de aquı, ¿cuanto trabajo se necesita para reunir una distribucion de cargas puntuales?¿Adonde va a parar este trabajo? ¿Como se expresa el resultado de forma simetrica en terminos decargas y potenciales?

Si se tiene una configuracion dada de cargas puntuales, y la distancia entre todas ellas se reduce enun factor λ < 1 (de ser dij pasa a ser λdij), ¿cuanto varıa la energıa almacenada?

Aplicacion

Cuatro cargas puntuales se situan en los vertices de un cuadrado de lado a. Dos de ellas, situadasen vertices adyacentes, son de valor +q, mientras que las otras dos valen −q.

Calculese el trabajo para reunir esta distribucion de cargas.

Supongase que una de las cargas positivas se intercambia con la negativa situada en el verticeopuesto, ¿que trabajo hay que realizar para esta operacion?

Si la carga positiva se permuta con la negativa situada en el vertice vecino, ¿cual sera en este caso,el trabajo realizado?

T.2. [2P-T] (2.5 puntos) Enunciese la ley de Faraday en forma integral. ¿Como se aplica esta leya una espira movil en un campo magnetico constante? Demuestrese que en este caso la ley deFaraday puede demostrarse a partir de la ley de fuerza de Lorentz.

¿Como se aplica al caso de un circuito fijo en un campo magnetico variable? ¿Que consecuenciastiene esto para el campo electrico?

Aplicacion

Por un hilo de longitud infinita circula una corriente continua I0. Cerca de este hilo se encuentraun pequeno anillo metalico, de radio a, coplanario con el hilo, y cuyo centro se encuentra a unadistancia b de este (b a). El anillo posee resistencia R y autoinduccion despreciable.

Si la corriente que circula por el hilo se reduce pasando de valer I0 en t = 0 hasta ser nula en t = T ,hallese la carga que pasa por un punto del anillo durante el intervalo T .

Supongase ahora que el anillo tuviera autoinduccion L y resistencia nula, ¿que ocurrirıa en el anillo,si se cortara la corriente del hilo en la misma forma que en la situacion anterior?



Examen Final, Julio de 2003• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios P.1

y P.2

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejerciciosP.3 y P.4

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios P.2 y P.3


Problemas

P.1. [1P] (2.5 puntos) Una corteza esferica de radio interior a y exterior b esta hecha de dielectricopolarizado segun la ley

P =k

rur

No hay mas cargas en el sistema

(a) Calculense las densidades de carga de polarizacion en el sistema. ¿Cuanto vale la carga totalde polarizacion?

(b) Hallense los campos D y E en todo el espacio.(c) Determınese el valor del potencial electrico en todo el espacio.

P.2. [1P-T] (2.5 puntos) Se tiene un condensador esferico, formado por dos superficies metalicas deradios a y b. Para mantenerla en su posicion, la esfera central esta sujeta por dos cunas dielectricassolidas, de permitividad ε1. Las cunas tienen forma de sectores esfericos, valiendo el semianguloθ0 = π/3 para las dos cunas. El resto del espacio entre las esferas queda vacıo.

(a) Hallese la capacidad de este condensador.(b) El hueco entre las cunas y las esferas se llena hasta la mitad con un aceite dielectrico de

permitividad ε2. La capacidad del sistema, ¿aumenta o disminuye? ¿Cuanto?(c) Supongase que el sistema, antes de llenarse de aceite, se cargo poniendo la esfera exterior a

tierra y la interior a tension V0. Acto seguido se desconecto la esfera interior. Despues se llenode aceite, ¿cuanto vale el nuevo potencial de la esfera interior?

1

0

0= /3

ab

Problema P.2



Examen Final, Julio de 2003• Aquellos que tengan pendiente solo el Primer Parcial, deberan responder a los ejercicios P.1

y P.2

• Aquellos que tengan pendiente solo el Segundo Parcial, deberan responder a los ejerciciosP.3 y P.4

• Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deberan responder los ejercicios P.2 y P.3


Problemas

P.3. [2P-T] (2.5 puntos) Se tiene un anillo grueso, de seccion cuadrada. El radio medio vale b y ellado de la seccion a. El anillo no esta cerrado, sino que tiene un pequeno corte, de anchura e(e a). Las dos caras del corte se pueden suponer paralelas.

El anillo no es homogeneo, sino que esta formado por dos materiales de diferente conductividad,σ1 y σ2. La permitividad de ambos materiales es ε. El material 1 ocupa un angulo α y el 2 el restode la circunferencia.

En los dos extremos del anillo se colocan dos placas metalicas muy finas, cuyas tensiones se fijanen 0 y V0.

(a) Calculese la corriente que fluye de una placa a la otra.

(b) Hallese la carga almacenada en cada placa metalica. ¿Es nula la carga total almacenada enlas dos placas? ¿Por que?

(c) ¿Cual serıa el circuito equivalente a este sistema?

P.4. [2P] (2.5 puntos) En el plano z = 0 se encuentran dos anillos coplanarios concentricos, de radiosa y b (b > a). Por el anillo interior circula una corriente I0.

(a) Hallese la corriente I1 que debe circular por el anillo exterior para que el campo magnetico enel centro de los anillos se anule.

(b) Calculese el campo magnetico en todos los puntos del eje del sistema.

(c) Hallese el campo en todos los puntos del espacio alejados de los anillos.

(d) Supongase que b = 2a y que nos situamos a una altura z = 10a. ¿Cual es el error relativocometido al aproximar el valor exacto del campo por la aproximacion dipolar?

1

2

a

a

b

V0

Problema P.3



Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2003

Optica

O.1. (1.25 puntos) Explıquese en que consiste el fenomeno de la reflexion total y por que permite latransmision de informacion a lo largo de un fibra optica.

Determınese el ındice de refraccion mınimo que ha de poseer una fibra optica para que un rayoque incida con un angulo cualquiera θ sobre un extremo quede confinado dentro de la fibra hastaque salga por el extremo opuesto.

O.2. (1.25 puntos) Dos rendijas de Young situadas en una pantalla opaca E y separadas una distanciaa estan iluminadas por la luz que proviene de una fuente puntual de radiacion monocromatica(λ = 500nm) situada en el foco de una lente convergente L (ver figura)

(a) Descrıbase el diagrama interferencial producido en una pantalla Q situada a una distanciaD a. Calculese el orden de interferencia en el centro de la pantalla coincidente con el ejeoptico.

(b) Si la fuente puntual se separa verticalmente del eje optico una distancia b, ¿cambia el ordeninterferencial en el centro de la pantalla? Si es ası, calculese su valor. ¿Y el valor de lainterfranja?

Teorıa

(2.5 puntos) Explıquese en que consisten las dos descripciones alternativas en terminos de fuentes vec-toriales o escalares, equivalentes a la magnetizacion de un material.

Deduzcase como quedan las ecuaciones de la magnetostatica cuando se emplean cada una de estasdescripciones alternativas.

¿Que ventajas e inconvenientes pueden presentar estas descripciones?

Aplicacion:

Una esfera de un material magnetico se caracteriza por una imanacion dada por

M =

Aρuρ r < R0 r > R

siendo ρ la coordenada cilındrica radial.Hallense las distribuciones de fuentes escalares y vectoriales equivalentes a esta magnetizacion.¿Cuanto vale el campo magnetico B en el centro de la esfera? ¿Y el campo H?

f

a

D

L E Q

x

Fuente

puntual

O.1 O.2



Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2003Problemas

P.1. (2.5 puntos) El campo electrico creado por una banda de espesor b cargada uniformemente poruna densidad ρ0, es

E =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

ρ0b

2ε0uz z >

b

2ρ0z

ε0uz − b

2< z <

b

2

−ρ0b

2ε0uz z < − b

2

suponiendo el plano z = 0 como el central de la banda.

Admıtase que el comportamiento electrico de una nube atmosferica puede describirse como unacapa como la anterior, cuyo extremo interior se encuentra a una altura h del plano de tierra.

(a) Hallese el campo electrico en todos los puntos del espacio.

(b) Calculese la diferencia de potencial entre el suelo y el extremo superior de la nube.

(c) Una partıcula de granizo puede modelarse como una pequena esfera de radio a, que atraviesala nube y cae al suelo. Al pasar por la nube, se lleva toda la carga que encuentra por el camino.Si suponemos que la partıcula parte del punto mas alto de la nube, hallese la fuerza electricasobre ella cuando se encuentra a una altura c (c < h)

P.2. (2.5 puntos) Un cable coaxial ideal esta formado por un cilindro interior, de radio a, perfectamenteconductor, y una superficie cilındrica exterior, de radio b, tambien perfectamente conductora. Loscilindros se extienden indefinidamente a lo largo de su eje.

El cilindro interior se encuentra a una tension V0, mientras que la superficie exterior se encuentraa tierra. Simultaneamente, por la superficie del nucleo fluye una corriente I0 en la direccion deleje, distribuida uniformemente. Esta corriente retorna por la superficie exterior, con lo que haydistribuida uniformemente una corriente −I0.

(a) Hallense los campos electrico y magnetico en todos los puntos del espacio.

(b) Calculense las densidades de energıa electrica y magnetica por unidad de volumen, ası comolas energıa total almacenada en una porcion de longitud L del cable coaxial.

(c) Determınese el vector de Poynting en el espacio entre los cilindros. ¿En que direccion fluye laenergıa? Hallese el flujo de energıa a traves de una seccion del cable coaxial.

h

b

c

V0

I0

P.1 P.2



Convocatoria extraordinaria, Febrero de 2003

Optica

O.1. (1.25 puntos) Un rayo de luz incide sobre la cara exterior de un vidrio con ındice de refraccionn1 = 1.655. Sobre la cara superior se condensa un lıquido desconocido. La reflexion internatotal sobre la interfaz vidrio-lıquido se produce cuando el angulo de incidencia en dicha interfaz esα ≥ 53.7.

(a) ¿Cuanto vale el ındice de refraccion, n2, del lıquido?

(b) Si se eliminara el lıquido, ¿cual serıa el angulo de incidencia para la reflexion interna total?

(c) Si suponemos de nuevo la pelıcula de lıquido, para el angulo de incidencia hallado en elapartado (b), ¿cuanto vale el angulo de refraccion del rayo dentro de la pelıcula de lıquido?¿Emergera un rayo a traves de la pelıcula de lıquido hacia el aire que esta encima?

O.2. (1.25 puntos) El filamento de una lampara electrica de 103 cd de intensidad luminosa se encuentraen el interior de un globo esferico de vidrio deslustrado de 20 cm de diametro. Hallese

(a) El flujo luminoso que emite este foco luminoso.

(b) Emitancia luminosa y su luminancia.

(c) La iluminancia, la emitancia luminosa y la luminancia de una pantalla sobre la que incide el10% del flujo luminoso emitido por el filamento. El coeficiente de reflexion (reflectancia) de laluz en la superficie de la pantalla es R = 0.8. El area de la pantalla es S = 0.25m2. Supongaseque la superficie de esta pantalla difunde la luz de acuerdo con la ley de Lambert.

Teorıa

(2.5 puntos) Clasificacion de los materiales magneticos. ¿Cuales son los principales tipos? ¿Que propie-dades caracterizan a cada uno?

Aplicacion:

Supongase que se tiene una esfera de radio R un material magnetico (de permeabilidad µ) alrededorde la cual hay vacıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo magnetico uniforme B0.Hallense los campos B y H en el interior y el exterior de la esfera. ¿Son los campos interiores mas grandeso mas pequenos que el campo impuesto?

Sugerencia: La magnetizacion que adquiere la esfera dentro de la esfera es uniforme. Una magne-tizacion uniforme produce en el interior de la propia esfera un campo B = 2(µ0/3)M



Convocatoria extraordinaria, Febrero de 2003

Problemas

P.1. (2.5 puntos) Dos cargas puntuales de la misma magnitud q y signo opuesto se encuentran situadasa una distancia 4R.

(a) ¿Cual es la fuerza sobre cada una de ellas?

(b) Entre las cargas se introduce una esfera metalica, aislada y descargada, de radio R, con sucentro en el punto medio entre las cargas. La fuerza sobre cada carga, ¿aumenta o disminuye?¿cual es su nuevo valor? ¿cuanto vale la fuerza sobre la esfera?

(c) ¿Como cambian los resultados si en vez de dos cargas opuestas tenemos inicialmente doscargas iguales y del mismo signo?

P.2. (2.5 puntos) Un dipolo magnetico m = muz se encuentra situado sobre el origen de coordenadas.A una cierta altura z sobre el, se encuentra situada horizontalmente una pequena espira circular, deradio a. Se trata de analizar la ley de movimiento de esta espira por la accion del campo magneticodel dipolo.

(a) Hallese el flujo del campo magnetico del dipolo a traves de la espira. Puede suponerse que elcampo es practicamente uniforme en los distintos puntos de la espira.

(b) Si la espira posee una resistencia R y autoinduccion despreciable y se mueve segun una leyz(t), ¿cuanto vale la corriente inducida en la espira?¿Cual es la corriente si la espira posee autoinduccion L y resistencia despreciable?

(c) ¿Cuanto vale, segun esto, el momento magnetico inducido en la espira?

(d) Conocido el momento magnetico, calculese la fuerza que el dipolo ejerce sobre la espira. Apartir de la segunda ley de Newton, hallese la ecuacion para la aceleracion de la espira.

Curso 2002-2003

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