Universidad técnica estatal de QuevedoUnidad de admisión y nivelación

Facultad de ciencias empresariales

Programa analíticoMatemáticas

Números realesEn matemáticas, los números reales incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, aquellos que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como:

. Números reales, son aquellos que poseen una expresión decimal.El conjunto de números realesClasificación de los números reales.- un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica

Propiedades de los números reales.-Si a, b y c son números reales entonces:

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

ConmutativaSuma

Multiplicación

A+b = b+a

Ab = ba

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

2+8 = 8+2

5(-3) = ( -3)5

AsociativaSuma

Multiplicación

A+(b+c)=(a+b)+c

A(bc) = (ab)c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

7+(6+1)=(7+6)+1

-2(4x7)= (-2x4)7

Identidad

Suma

Multiplicación

A + 0 = a

A x 1= a

Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva.Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

-11 + 0 = -11

17 x 1 = 17

InversosSuma

Multiplicación

A + ( -a) = 0 La suma de opuestos es cero.El producto de recíprocos es 1.

15+ (-15) = 0

Distributiva Suma respecto aMultiplicación

A(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando.

2(x+8) =2(x) + 2(8)

Representación de los reales en la recta numéricaEs posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera. Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4,. (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero.Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue.

Valor absoluto.- En matemática, el valor absoluto o módulo[1] de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos.Números primos.-En matemáticas, un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1.euclides demostró alrededor del año 300 a. C. Que existen infinitos números primos. Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de él mismo y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.Los números primos del conjunto de los naturales menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.[1]

La propiedad de ser primo se denomina primalidad, y el término primo se puede emplear como adjetivo. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el

conjunto de todos los números primos por .Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.-En matemáticas el máximo común divisor (abreviado mcd o m.c.d.) de dos o más números enteros es el mayor número que los

divide sin dejar resto. Por ejemplo, el mcd de 42 y 56 es 14. En efecto, , y 3 y 4 son primos entre sí (no existe ningún natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4).El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales ni números negativos.Notación científica.- Los números reales miden cantidades continuas que se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se su representan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.Leyes de los signos.- Suma (resultado con el signo del número mayor)(+)+ (+)= + (suma)(+)+ (-) = - (resta)(-)+ (+) = - (resta)(-)+ (-) = + (suma)

Resta(+)-(+)= - (resta)(+)-(-) =+ (suma)(-)-(+) =+ (suma)(-)-(-) = - (resta)

Multiplicación y división

Exponentes y radicalesNotación exponencialEs una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.Se escribe an, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente

Exponente cero y negativo

Cualquier número elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1. Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

Leyes de los exponentes

Multiplicación de potencias de igual baseEl producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

Ejemplos:

División de potencias de igual baseLa división de dos potencias de igual base a es igual a la base a y elevada a la resta de los exponentes respectivos.

Ejemplo:

Potencia de un productoLa potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

Potencia de una potenciaLa potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Propiedad distributivaLa potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

Pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.Potencia de base 10En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones hacia la izquierda o hacia la derecha como indica el exponente. Con un exponente positivo se desplaza hacia la izquierda y con un exponente negativo se desplaza hacia la derecha.

Simplificación de expresiones con exponentesSimplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa cambiarla a otra en que cada número real aparece solo una vez y todos los exponentes son positivos. Teniendo presente que los denominadores representan números reales diferentes de cero.Teorema sobre exponente negativo

Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

Radicales: definición – propiedadesEn las ciencias matemáticas, se llama raíz cuadrada (√) de un número a aquel otro que siendo mayor o igual que cero, elevado al cuadrado, es igual al primero.

La raíz cuadrada de x se expresa: Leyes de los radicalesLeyes de las radicales=================

ⁿ√(xª) = xª/ⁿ

ⁿ√ab = ⁿ√a ⁿ√b

…………ⁿ√aⁿ√a/b = -------…………ⁿ√b

ª√ⁿ√b = ªⁿ√b

la radicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta

√(a² + b²) ≠ √a² + √b²

la radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división

√(a² * b²) = √a² * √b²

Racionalización – notación exponencialSimplificación de potenciassimplificación de expresiones con exponentes negativos.Simplifica:

Los decimalesLos números decimales tales como 0.6495, tienen cuatro dígitos después del punto decimal. Cada dígito tiene un valor posicional diferente. El primer dígito después del punto decimal se llama décimo. Hay seis décimos en el número 0.6495. El segundo dígito indica cuantos centésimos hay en el número. El número 0.6495 tiene cuatro centésimos. El tercer dígito es el lugar del milésimo. El cuarto dígito es el lugar de los diezmilésimos, que en el ejemplo es cinco. Por lo tanto, hay seis décimos, cuatro centésimos, nueve milésimo, y cinco diezmilésimos en el número 0.6495.

Decimales periódicos. Operaciones

Números decimales en los que una o varias cifras de la parte decimal se repiten indefinidamente. Los números decimales periódicos pueden ser de dos tipos: decimales periódicos puros y decimales periódicos mixtosPorcentajeEs una forma de expresar un número como una fracción de 100 (por ciento, que significa “de cada 100”). Es a menudo denotado utilizando el signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación.[1] por ejemplo: "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32% y significa 'treinta y dos de cada cien'.El porcentaje es un tanto por ciento (cien unidades), por lo que se concluye que es una cantidad que corresponde proporcionalmente a una parte de cien.Análisis combinatorioEs la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos. Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va ha servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades

CombinacionesEs cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar el orden en su ubicaciónEl número de combinaciones de "n" elementos diferentes tomados de "k" en "k" , con k£ n ,está dada por:

PermutacionesEs un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.Permutación circularSon agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con "n" objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto. El número de permutaciones circulares será:

Ejemplo1:¿de cuántas formas diferentes puede sentarse alrededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos?Solución:

Se trata de una permutación circular: VariacionesVariaciones ordinariasSe llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:No entran todos los elementos.Sí importa el orden. No se repiten los elementos.

También podemos calcular las variaciones mediante factoriales:

Las variaciones se denotan por Ejemplos1. Calcular las variaciones de 6 elementos tomados de tres en tres.

Variaciones con repeticiónSe llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:No entran todos los elementos si m > n. Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ nSí importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Ejemplos1. ¿cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 ?M = 5 n = 3 No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3. Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

Sí se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

ProbabilidadSe llama espacio muestra (e) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.Al lanzar una moneda, el espacio muestra es e = {sale cara, sale sello} ó e = {c, s}.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es e = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} ó e = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

al lanzar dos monedas, el espacio muestral es e = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es e = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}OperacionesEn matemática una operación o ley de composición es la acción de un operador sobre una selección de elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición.El conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y escalares que conforman un espacio vectorial).Expresiones algebraicasUna expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.Definiciones básicas y ejemplos

Expresión Realizar operaciones con expresiones algebraicas, consiste básicamente en aplicar las propiedades de las operaciones definidas en el conjunto de los números reales (asociatividad, conmutatividad, distributividad, etc.) Así como las propiedades de las potencias y de los radicales. Con el fin de lograr una mejor comprensión del tema, por parte del estudiante, primero nos abocaremos a realizar operaciones con monomios, para posteriormente efectuar operaciones con expresiones algebraicas en general. Expresiones algebraicas enteras DefiniciónSe llaman expresiones algebraicas enteras a aquellas que no contienen denominadores algebraicos. Ninguna letra está en el denominador ni afectada por una raíz o por un exponente negativo.Por ejemplo, son expresiones algebraicas 8x-78z , (3x-1)/(9x-2), 3 naranjas + 4 papas.Son expresiones algebraicas, pero no enteras (3x-1)/(9x-2) y 8x/9yNo son expresiones algebraicas log(2x+1) ni cos (9x-5).Clasificación expresiones algebraicas enterasLas expresiones algebraicas enteras las clasificamos en monomios y polinomiosMonomio: expresión algebraica constituída por un sólo término. Todo monomio consta, de dos partes:Coeficiente: el número del monomio.Parte literal : las letras con sus exponentesEn un monomio, las letras solamente están afectadas por operaciones de producto y de potencia de exponente natural.Ejemplo-3 a3 b2 c- es el signo 3 es el "coeficiente" a3 b2 c es la "parte literal” monomios semejantes:Son los que tienen igual parte literal (las mismas letras elevadas a los mismos exponentes)Ejemplo:2 a3 b2 c es semejante a 5 a3 b2 c

PolinomioDefinición es una expresión algebraica entera compuesta por la suma o resta de monomios Ejemplo3ax3 + 2bx2 - 5x + 8

Llamamos Binomio: a la suma o resta de 2 monomiosTrinomio: a la suma o resta de 3 monomiosCuadrinomio: a la suma o resta de 4 monomios. El resto de los polinomios se los denomina según el número de monomios que tengan de la siguiente manera, por ejemplo si el polinomio tuviera 6 monomios, lo llamaríamos polinomio de seis términos.EjemplosBinomio 3 a3 b2 c - 3 x2 y3

Trinomio 3 a3 b2 c - 3 x2 y3 + 4 a x5

Cuatrinomio 3ax3 + 2bx2 - 5x + 8Polinomio de cinco términos 2bx - 5 ax - 4bx2 + 3 x2 y3 + 4 a x5

Polinomio homogéneo: todos sus términos son del mismo grado.3x2b3 + 3ax4 + 3 b3cz todos los términos son de 5º gradoPolinomio ordenado: un polinomio está ordenado con respecto a las potencias crecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente mayor o igual que en el anterior y está ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una de sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponente menor o igual que en el anterior. Ejemplo: 3 - 2ab5 + 3a2b - 5a7 ordenado en forma creciente respecto de la letra a4ab3 - b2 – 4 ordenado en forma decreciente respecto de la letra bla letra con respecto a la cual el polinomio está ordenado se denomina ordenatriz. Polinomio completo: un polinomio es completo cuando figuran en él todas las potencias de la letra respectoDe la cual está ordenado, a partir de la potencia de mayor grado.Ejemplo:Ab3 - 5b2 - 4bz + 7 polinomio completo con respecto a su letra "b" y en este caso, además está ordenado.

Grado de una expresión algebraica enteraGrado de un monomio:Es la suma de los exponentes de su parte literal3 a3 b2 c es un monomio de 6º grado (3+2+1)-2 es un monomio de grado ceroGrado de un polinomioEs el grado del término de mayor grado.3 a3 b2 c - 3 x2 y3 + 4a x5

(6º grado) (5º grado) (6º grado) polinomio de sexto grado

Valor numérico de una expresión algebraica:Es el que resulta de reemplazar cada letra por un valor particular asignado y efectuar luego las operaciones indicadas.Ejemplo:El valor numérico de a3 b2 c si a= 2, b = 1 y c= 3 será::

23 x 12 x 3 = 8 x 1 x 3 = 24Reglas y propiedades, ejemplos

Regla de adición algebraicaEstablece que si dos eventos a y b son mutuamente excluyentes la probabilidad de que uno u otro evento ocurra es igual a la suma de sus probabilidades. De lo anterior se puede deducir que la probabilidad de que ocurra a más la probabilidad de que no ocurra a debe sumar 1. A esto se le llama la regla del complemento. Esta regla establece que para determinar la probabilidad de que ocurra un evento se puede restar de 1 la probabilidad de que no ocurra. La regla de la adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos a y b es igual a: p(a o b) = p(a) u p(b) = p(a) + p(b) si a y b son mutuamente excluyente p(a o b) = p(a) + p(b) - p(a y b) si a y b son no excluyentes siendo: p(a) = probabilidad de ocurrencia del evento a p(b) = probabilidad de ocurrencia del evento b p(a y b) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos a y b Ejemplo: si a y b son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces p(a o b) se calcula con la siguiente fórmula: p(a o b) = p(a) + p(b) - p(a y b) el diagrama de venn ilustra esta regla Ejemplo: en una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron tener una tv y 100 dijeron tener ambos si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sólo un estéreo, sólo una tv y uno de cada uno? P(s) = 320 /500 = .64. P(t) = 175 /500 = .35. P(s y t) = 100 /500 = .20. si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una tv en su habitación? P(s o t) = p(s) + p(t) - p(s y t) = .64 +.35 - .20 = .79.

El álgebra de conjuntos define las operaciones, reglas y propiedades que podemos aplicar con los conjuntos.Conjuntos

Conjunto : conjunto cualesquiera la nombraremos con una letra mayúscula:

conjunto universal: que contiene a todos los conjuntos de los que estemos tratando, lo nombraremos con la letra u mayúscula:

conjunto vacío: que es el conjunto que no tiene ningún elemento, lo nombraremos con:

elemento de un conjunto : que es un objeto individual que forma parte de ese conjunto. Operaciones

intersección de conjuntos : la intersección de 2 conjuntos a y b es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a a como a b.

unión de conjuntos : la unión de 2 conjuntos a y b es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a a, a b o a ambos.

Diferencia de conjuntoso complemento relativo : la diferencia de a y b, es el conjunto de todos los elementos de a que no pertenecen a su vez a b.

complemento de un conjunto : es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a a.PropiedadesIdempotencia o igual potencia:

Asociativa:

Conmutativa:

Distributiva:

Identidad:

Complementariedad:

Involutiva:

Ley de de morgan:

Para cualquier conjunto a y b

Regla de la sustracción algebraicaSustraccion es una operacion de comparacion, en la que se establece la diferencia entre dos polinomios, o bien lo que le falta a un polinomio para llegar a ser igual al otro.Caracteristicas del minuendoEl minuendo es el polinomio que va a disminuir.Caracteristicas del sustraendoEl sustraendo es el polinomio que representa cuanto va a disminuir el minuendo.Caracteristica de la sustraccion o diferencia finalEn una resta algebraica, la operación se dice finalizada o completa si todos los términos semejantes entre minuendo y sustraendo, han sido simplificados totalmente.Algunos pueden considerar un requisito la ordenación de los términos finales en forma alfabética, o por las potencias descendentes de una letra llamada letra principal. Esta será lógicamente la escritura final preferida por los algebristas mas hábiles, pero no es un requisito en las etapas de aprendizaje inicial.Propiedades de la resta algebraica

Propiedad de cerradura: la resta o diferencia de dos polinomios dará como resultado otro polinomio.No hay propiedad conmutativa: el orden de minuendo y sustraendo si altera el resultado de la resta.Sean a y b dos polinomios, entonces se cumple que a-b¹b-aNo hay propiedad asociativa: la resta solo puede hacerse entre dos polinomios.Consecuencias de la propiedad de cerradura en la resta algebraicaSean tres polinomios m (minuendo), s (sustraendo) y d (la resta o diferencia), es posible verificar las siguientes situaciones: m-s = d, la diferencia es el resultado de restar el sustraendo al minuendo. m = d+s, el minuendo será el resultado de sumar la diferencia con el sustraendo, o bien que el sustraendo es lo que le falta a la diferencia para ser igual al minuendo. s = m - d, el sustraendo será el resultado de restar la diferencia al minuendo, o bien que la diferencia es lo que le falta al sustraendo para ser igual al minuendo. Algoritmo de la resta algebraicaLos libros de texto usualmente expresan la resta planteándola de varias formas, suponiendo que m y s son dos polinomios:Restar la expresión s a la expresión m.A la expresión m restarle la expresión s.Hallar la diferencia entre m y s.Sea cualquiera la forma de plantear un problema de resta, el algoritmo usual lleva los siguientes pasos:Escribir el minuendo.Cambiar signo a los terminos del sustraendo y colocar éstos debajo de los terminos del minuendo, respetando el orden de los términos semejantes.Efectuar la operación siguiendo las reglas usuales y aplicables para la suma algebraica corriente.El siguiente ejemplo establece los pasos usuales para efectuar la resta: restar 2x2-3xy+5y2 al polinomio 10x2-2xy-3y2

10x2-2xy-3y2 es el minuendo. 2x2-3xy+5y2 es el sustraendo. esta operación puede plantearse de la siguiente manera intermedia, usando signos de agrupación y signo de resta, para separar el sustraendo: luego se procederá a escribir el minuendo y debajo de éste al sustraendo, con signos cambiados, lo cual es resultado de cancelar el signo de agrupación que tiene un signo negativo o de resta delante:

la realización de la operación final sigue las mismas reglas aplicadas en el algoritmo de la suma, al simplificar los términos semejantes de los polinomios: la respuesta final, diferencia, resta o sustraccion será: 8x2+1xy-8y2

Reglas para eliminar signo de agrupamiento: paréntesis ordinario, corchetes, llaves, vínculo o barra.

Supresión de signos de agrupación

regla general1) para suprimir signos de agrupación precedidos de + se deja el mismo signo que tenga cada cantidad dentro de él.

2) para quitar signos de agrupación precedidos de - se cambia el signo a cada cantidad dentro de él.

ejemplos1) cómo suprimir los signos de agrupación en la expresión a + (b - c ) + 2a - (a + b ) que equivale a + a (+ b - c ) + 2a - (+ a + b )

como el primer paréntesis va precedido del signo +, lo suprimimos dejando las cantidades que contiene con su propio signo, y como el segundo paréntesis va precedido del signo -, lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro, con lo que tendremos:a + (b - c) + 2a - (a + b) = a + b - c + 2a - a - b = 2a – c

2) cómo suprimir los signos de agrupación en 5x + (- x - y ) - [- y + 4x ] + {x - 6}suprimimos el paréntesis y las llaves precedidas del signo +, dejando las cantidades que están dentro con su propio signo, y como el corchete va precedido de -, lo suprimimos cambiando el signo a las cantidades que se hallan dentro, con lo que tendremos:

5x + (- x - y) - [- y + 4x ] + {x - 6} = 5x - x - y + y - 4x + x - 6 = x – 6

3) cómo simplificar la expresión 3a + {- 5x - [- a + (9x - a + x )]}

en este ejemplo unos signos de agrupación están incluidos dentro de otros, por lo que se suprime uno en cada paso, empezando por el más interior. en este caso primero suprimimos el vínculo, con lo que tendremos:

al suprimir el paréntesis tenemos: 3a + {- 5x - [- a + 9x - a - x ]}

al suprimir el corchete tenemos: 3a + {- 5x + a - 9x + a + x }

al suprimir las llaves tenemos: 3a - 5x + a - 9x + a + x

al reducir los términos semejantes queda: 5a - 13x

Propuestas de problemasLos términos de una operación los debemos separar en las operaciones suma y resta.Veamos el siguiente ejemplo:

4 + 3 x 5 – 6 : 2 =

en este ejemplo, los términos son:

43 x 56 : 2

si resolvemos cada término la operación sería:

4 + 15 – 3 = 16

si bien este es un caso muy simple puedo asociar para obtener el resultado.Recordemos que la propiedad asociativa decía: “a la suma de los positivos le resto la suma de los negativos”. Aplicando esta propiedad, la operación sería:

(4 + 15) – 3 =

19 – 3 = 16

vamos a un ejemplo un poquito más complicado:

-8 + 6 x 4 – 18 : 2 + 20 : 2 – 5 =

tenemos los siguientes términos:

-86 x 418 : 220 : 25

la operación quedaría:

-8 + 24 – 9 + 10 – 5 =

asociamos:

(24 + 10) – (8 + 9 + 5) =

34 – 22 = 12

hagamos otro ejemplo.

8 + 6 x –5 – 4 x –3 =

separamos los términos

86 x –54 x –3

tendríamos

8 + - 30 - - 12 =

en este caso vemos que se nos “junta” el signo de la operación con el signo de los números, para separarlos se utilizan paréntesis.Quedaría así:

8 + (- 30) – (- 12) =

para resolver la operación anterior tenemos que suprimir parentesis. Para suprimir paréntesis tenemos que fijarnos en el signo que antecede al paréntesis a suprimir, si es un signo positivo (+) los signos que están dentro del paréntesis no cambian, si el signo que antecede al paréntesis es negativo (-) los signos que están dentro del paréntesis cambian, vamos a nuestro caso:

8 + (- 30) – (- 12) =

como el (- 30) está antecedido por un signo (+) queda como – 30, es decir;

8 - 30 – (- 12) =

ahora veamos el (- 12), como está antecedido por un signo (-) el 12 pasa a ser + 12, entonces tendríamos

8 - 30 +12 =asocio:

(8 + 12) - 30 =

20 - 30 = -10

ahora vamos a hacer un ejercicio de supresión de paréntesis un poco mas largo, tengamos en cuenta que la forma en que lo vamos a realizar no es la única pero, a pesar de que sea mas larga y mas tediosa que otras, es la manera de realizar esta operación con menos riesgo de equivocarnos.Otra cosa a tener en cuenta es que, generalmente, cuando tenemos mas de un par de paréntesis y para poder diferenciarlos, se colocan corchetes y, si hace falta, llaves, nosotros solo vamos a colocar paréntesis solo por una cuestión grafica.Vamos al ejercicio.

6 + 8 – ( - 6 + 8 + 6 – ( - 8 + 6 + 8 – ( - 6 + 8 ) – 6 ) + 8 ) =

primero suprimo los paréntesis más chicos, me fijo en el signo que los antecede, como es (-) los signos interiores cambian, entonces:

6 + 8 – ( - 6 + 8 + 6 – ( - 8 + 6 + 8 + 6 - 8 – 6 ) + 8 ) =

seguimos suprimiendo, nuevamente el signo que antecede a los paréntesis a suprimir es (-):

6 + 8 – ( - 6 + 8 + 6 + 8 - 6 - 8 - 6 + 8 + 6 + 8 ) =

última supresión, nuevamente signo (-):

6 + 8 + 6 - 8 - 6 - 8 + 6 + 8 + 6 - 8 - 6 - 8 =

como vemos, nos quedó una sucesión de sumas y restas, en el siguiente paso vamos a aplicar propiedad cancelativa, es decir, vamos a buscar números con el mismo valor absoluto pero con signos distintos y los “cancelamos” de la operación, esto se puede hacer porque la suma o resta de estos daría como resultado cero, es decir, no variaría el resultado final, lo vamos a ir haciendo paso a paso y voy a pintar de rojo los números que voy a ir cancelando, veamos:

6 + 8 + 6 - 8 - 6 - 8 + 6 + 8 + 6 - 8 - 6 - 8 =

quedaría:

8 + 6 - 8 - 8 + 6 + 8 + 6 - 8 - 6 - 8 =

quedaría:

6 - 8 + 6 + 8 + 6 - 8 - 6 - 8 =

quedaría:

- 8 + 6 + 8 + 6 - 8 - 8 =

quedaría:

6 + 6 - 8 - 8 =

finalmente asocio:

(6 + 6) – (8 + 8) =

12 – 16 = - 4

esta forma de resolver los ejercicios es mas larga y, tal vez, mas tediosa pero, como dijimos antes, es la manera en la que menos posibilidad de error vamos a tener, bien, ahora vamos a resolver algunos ejercicios, para la resolución de los mismos tomemos como consigna resolverlos de la manera anterior.

A) – 7 + 5 x -6 – 7 x 4 =b) 9 – 28 : - 2 + 4 x – 3 =c) 5 + 3 – ( - 4 – 5 + 6 + 3 – 4) + 10 =d) 3 – 4 – ( - 3 – 4 + 3 – ( - 4 + 3 + 4) – 3 ) =e) 7 – ( - 6 – 4 x -6 – 5 – 6) =

MultiplicaciónLa multiplicación es una operación nada de composición que consiste en sumar reiteradamente un mismo calor la cantidad de veces indicada por un segundo calor. Así, 4·3 (léase «cuatro multiplicado por tres» o, simplemente, «cuatro por tres») es igual a sumar tres veces el valor 7 por sí mismo (5+4+4). La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.El resultado de la multiplicación de varios números se llama producto. Los números que se multiplican se llaman factores o coeficientes, e individualmente: multiplicando (número a sumar) y multiplicador (veces que se suma el multiplicando). Aunque esta diferenciación en algunos contextos puede ser superflua cuando en el conjunto donde esté definido el producto se tiene la propiedad conmutativa de la multiplicación (por ejemplo, en los conjuntos numéricos). Véase [1] para una discusión sobre el tema.

FactorEn matemáticas, un factor o divisor propio de un número enteron, es un número también entero menor que n que lo divide exactamente, es decir, que el resto de la división de n por su factor propio es exactamente 0. Por ejemplo, 7 es factor propio de 42 porque 42/7 = 6. También decimos que 42 es divisible por 7. Los factores propios pueden ser positivos o negativos, aunque habitualmente nos referimos solo a los positivos. Los factores propios positivos de 42 son {1, 2, 3, 6, 7, 14 y 21}.Casos especiales: 1 y -1 son factores propios de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.Reglas para factores propios pequeñosHay algunas reglas que permiten reconocer factores propios pequeños de un número un partir de sus dígitos decimales:Un número es divisible por 2 si y solo si su último dígito es divisible por 2Un número es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3Un número es divisible por 4 si y solo si el número compuesto por sus dos últimos dígitos es divisible por 4Un número es divisible por 5 si y solo si su último dígito es 0 o 5Un número es divisible por 6 si y solo si es divisible por 2 y por 3Un número es divisible por 7 si y solo si se separa el último dígito de la derecha, se multiplica por 2; se le resta el número que queda; y éste es múltiplo de 7. Si aún no se reconoce; se vuelve a aplicar.Un número es divisible por 8 si y solo si el número compuesto por los tres últimos dígitos es divisible por 8Un número es divisible por 9 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 9Un número es divisible por 10 si y solo si su último dígito es 0Un número es divisible por 11 si y solo si la suma alternada (uno positivo y otro negativo) de sus dígitos es divisible por 11 (p.ej. 182919 es divisible por 11 porque 1-8+2-9+1-9 = -22 es divisible por 11)

Numero primoEn matemáticas, un número primo es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1.

euclides demostró alrededor del año 300 a. C. Que existen infinitos números primos. Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de él mismo y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.Los números primos del conjunto de los naturales menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.[1]

La propiedad de ser primo se denomina primalidad, y el término primo se puede emplear como adjetivo. A veces se habla de número primo impar para referirse a cualquier número primo mayor que 2, ya que éste es el único número primo par. A veces se denota el

conjunto de todos los números primos por .El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, la rama de las matemáticas que comprende el estudio de los números naturales. Los números primos están presentes en algunas conjeturas centenarias tales como la hipótesis de riemann y la conjetura de goldbach. La distribución de los números primos es un tema recurrente de investigación en la teoría de números: si se consideran números individuales, los primos parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la distribución «global» de los números primos sigue leyes bien definidas.

Propiedad conmutativaUtilizando esta definición, es fácil demostrar algunas propiedades interesantes de la multiplicación. Como indican los dos primeros ejemplos, el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, lo que se conoce como propiedad conmutativa, y se cumple en general para dos números cualesquiera x e y:X·y = y·xPropiedad asociativaLa multiplicación también cumple la propiedad asociativa, que consiste en que, para tres números cualesquiera x, y, z, se cumple:(x·y)z = x(y·z)En la notación algebraica, los paréntesis indican que las operaciones dentro de los mismos deben ser realizadas con preferencia a cualquier otra operación.Por ejemplo:(8·3)·2 = 8·(3·2)24·2 = 8·648 = 48

Ley de los signos, potencia numérica, base y exponente.

Suma y resta de números con un mismo y con diferente signo.Cuando dos números positivos se suman el resultado es positivo.Cuando dos números negativos se suman el resultado es negativo.Cuando se suma un numero positivo y un numero negativo se toma el signo del número de mayor valor absoluto.Ejemplo:3+4 = 5 -3+(-5) = -8 -6 + 20 = 145+7= 12 -9+(-3) = -6 5 + (-20) = -15Ley de los exponentes.El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64En palabras: 82 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"

Productos

MonomioU n m o n o m i o e s u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a e n l a q u e l a s ú n i c a s o p e r a c i o n e s q u e a p a r e c e n e n t r e l a s v a r i a b l e s s o n e l p r o d u c t o y l a p o t e n c i a d e e x p o n e n t e n a t u r a l .Dos binomiosEl producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.

1) (x + 2)(x + 7 ) = x2 + (2 + 7) x + (2)(7

Cuadrado de un binomioEl cuadrado de un binomio es igual a un trinomio cuadrado perfecto:

1.- El cuadrado del primer termino: a²

2.- ± El doble del primero por el segundo termino: 2ab

3.- El cuadrado del segundo termino: b²

( a + b ) ² = a² + 2ab + b²Multinomios

Ejemplos y propuestas de problemas

DivisiónAl igual que en el producto, no es necesario que dos monomios sean semejantes para poder realizar la división.El cociente de dos monomios es otro monomio que tiene: Por coeficiente, el cociente de los coeficientes.Por parte literal, el cociente de las partes literales.

Imagen:

División de monomios

La división de monomios puede dar como resultado: Un monomio de coeficiente fraccionario o entero.Un número.Una fracción con letras en el denominador (fracción algebraica).

Dividendo, divisor y cociente

Ley de signos

En la de la suma(+) + (+) = +(-) + (-) = -(+) + (-) = según sea el valor del mayor (-) + (+) = lo mismo que arriba

En la de la resta es = solo cambias el signo que esta entre medio de los paréntesis.

(-) - (-) = +(+) - (+) = +(-) - (+) = según sea el valor del mayor(+) - (+) = según sea el valor del mayorÓsea que si es un -3+1=-2

La multiplicación de expresiones con signos iguales dan como resultado un valor positivo y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan como resultado un valor negativo.

Multiplicación y División(+) por (+) da (+) (+) entre (+) da (+)(+) por (-) da (-) (+) entre (-) da (-)(-) por (+) da (-) (-) entre (+) da (-)(-) por (-) da (+) (-) entre (-) da (+)

Ley de los exponentesLas leyes de exponentes nos permiten evaluar y simplificar expresiones matem�ticas.� La tabla siguiente nos ilustran cu�les son

Descripci�n Expresi�n Ilustraci�n de la ley

1)� Producto de dos factores con igual base

2)�� Producto de dos factores elevado a un exponente

3)�� El cociente elevado a un exponente

4)�� Expresi�n exponencial elevado a su vez a un exponente

5)�� El cociente de dos expresiones exponenciales

6)�� Cero comoexponente donde

7)��Exponentesenteros negativos

Multinomio y monomioMultinomiosLos multinomios son expresiones algebraicas formadas por tres o más términos algebraicos.Ejemplo y propuestas de problemas

Operaciones donde se utiliza el ceroMultiplicaciónDivisiónEjemplos y propuestas de problemas

FactorizaciónEn álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).Factores comunesEs la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si. .Diferencia de cuadradospara esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza asi:

TrinomioUn  trinomio  es un  polinomio  que consta de  tres monomios .P(x) = 2x 2  + 3x + 5

Binomioen álgebra, un binomio es una expresión algebraica con dos términos. Estrictamente hablando se refiere a un polinomio formado por la suma de dos monomios, aunque se usa de forma más fácil para indicar cualquier expresión que consta de una suma o resta de dos términos.Bajo la definición estricta, son binomios las expresiones:

mientras que no lo son expresiones tales como:

puesto que alguno de sus términos no es un monomio, aunque en un contexto más informal podría llamarse binomio a cualquier expresión que involucre una suma o resta de dos expresiones. Así, es posible encontrar en un libro de álgebra un ejercicio en la sección de "binomios al cuadrado" que diga «Calcula el resultado de (cos(x)+sen(x))2».

Agrupación

FraccionesEs el cociente de dividir dos números enteros (a+b) donde b es diferente a 0

Definiciones (numerador, denominador, miembros)Numerador.- representa las partes que tomamos del entero y se encuentra arriba de la barra de fracciónDenominador.-representa las partes en el que está dividido el entero y se encuentra debajo de la barra de fraccionPrincipio fundamentalSimplificaciónSimplificar  una  fracción  es transformarla en una  fracción equivalente  más simple.Para  simplificar  una  fracción dividimos numerador y denominador  por un  mismo número .Empezaremos a  simplificar  probando por los primeros  números primos : 2, 3, 5, 7, . . . Es decir, probamos a  dividir  numerador y denominador  entre  2 mientras se pueda, después pasamos al  3 y así sucesivamente.Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.

Si los términos de la  fracción  terminan en  ceros , empezaremos quitando los  ceros comunes  finales del numerador y denominador .

Si el número por el que dividimos es el  máximo común denominador  del numerador y denominador   l legamos a una  fracción irreducible .

m.c.d.(8, 36) =  4

Multiplicación y divisiónRacionalizaciónCuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores. Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

Adición y sustracciónMcmEl mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales ninúmeros negativos.McdEn matemáticas el máximo común divisor (abreviado mcd o m.c.d.) de dos o más números enteros es el mayor número

que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el mcd de 42 y 56 es 14. En efecto,     y   y   son primos entre sí (no existe ningún número natural aparte de 1 que divida a la vez al 3 y al 4).

Fracciones complejasEs la que está formada por numeradores racionales sobre numeradores racionalesEjemplos y propuestas de problemasEcuaciones e inecuacionesl inicio del semestre se señaló que el valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│.  Usamos este argumento para resolverecuaciones con valor absoluto.  Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3.  Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3  es  -3  y  3. Sistema de ecuación de primer gradoUna ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es:

Donde   representa la pendiente y el valor de   determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).Las ecuaciones en las que aparece el término   (llamado rectangular) no son consideradas lineales.Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

Ecuaciones simultaneas o consistente

Ecuaciones equivalentes o dependientes

Son los que tienen la  misma solución , aunque tengan distinto número de ecuaciones.Obtenemos sistemas equivalentes por  eliminación de ecuaciones dependientes. Si:Todos los coeficientes son ceros.Dos filas son iguales.Una fila es proporcional a otra.Una fila es combinación lineal de otras.

Ecuaciones incompatibles o inconsistentesIncompatible significa que no tiene solución (claro!)

Determinado significa que la solución es únicaIndeterminado significa que la solución no es única

Mejor con ejemplos :

-------------------------2x + y =6x+y=5

tiene por solucion x=1 e y=4 es compatible determinado

Graficamente son dos rectas que se cortan.--------------------------2x + y= 64x +2y=12

tiene infinitas soluciones (1,4) (0,6) (3,0) etces compatible indeterminado

Observá que la segunda ecuación es un multiplo de la primera, en realidad estoy dando una sola recta y la solución es cualquier punto de esa recta.--------------------------------------…

2x + y= 64x +2y=7

No tiene solución , si la de arriba da 6, la de abajo da 12 seguro.Es incompatible.

Gráficamente son dos rectas paralelas.

Sistema de dos ecuaciones simultaneas de 1er grado con 2 incógnitasMétodo por eliminaciónEn El Metodo por Eliminación (Suma y Resta), como su nombre lo dice, debemos eliminar una de las incognitas, sean estas, por ejemplo: x, y, z; esto se logra multiplicando a una de las ecuaciones por un numero cualquiera, positivo o negativo (todos los componentes de la ecuacion deberan ser afectados por este numero), y ya realizando la suma con la otra ecuacion sobrante la incognita elegida debera ser eliminada (=0)Método por sustitución1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.3 Se resuelve la ecuación.4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1 Despejamos  una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos  en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3 Resolvemos la ecuación  obtenida:

4 Sustituimos el valor  obtenido en la variable despejada.

5 Solución

Método por igualación

Método graficoCada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.En este último paso hay tres posibilidades:Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 6002x - y = 0Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

y = -x + 600y = 2xVamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y = -x + 600 y = 2x

x y x y

200 400 100 200

600 0 200 400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos.

Sistemas de ecuaciones de la forma ax+ by=c

Sistema de tres ecuaciones lineales, con tres incógnitas

Se despaja una varible de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.

Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema, agrupamos términos y obtenemos un suistema de dos ecuaciones con do incógnitas:

Lo resolvemos por igualación. Depsjamos la z de ambas ecuaciones:

Sustituimos los dos valores obtenidos en 

Método de eliminación por suma y restaMultiplica por MENOS " (-2) todo lo de arriba:

(-2) 2X+4Y= 6 equivale a: -4X -8Y= -12

el sistema queda entonces:

-4X - 8Y= -124X -2Y= -8

Suma entonces las EQUIS CON LAS EQUIS y las YES CON LAS YES:

-4X - 8Y= -124X -2Y= -8_______________

-10Y= -20 (este es el resultado de sumar X con X y Y con Y

despejas a Y pasando el -10 dividiendo al -20

Y= -20/-10; Y= 2 (positivo porque "menos" entre "menos" resulta "mas)

Ahora ese Y igual a dos (Y=2) lo sustiuyes en cualquiera de las ecuaciones del sistema, por ejemplo en la segunda: 4x-2y=-8

es decir, donde está la Y colocas 2:

4x-2(2)=-8

multiplicas:

4x-4= -8 , pasas el -4 SUMANDO al -8 (SUMANDO porque antes estaba restando)

4x = -8 + 44x = -4 (negativo porque el numero mayor que es el 8 tiene un negativo)

el 4 que está multiplicandola X lo pasas DIVIDIENDO al del otro lado de la igualdad y de esta manera se despeja la X:

X = -4/4, X = -1Problemas de aplicación en sistema de ecuaciones simultaneas

desigualdad e inecuaciónDesigualdadEn matemáticas una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y, que nos indica que tienen diferente valor. Es decir, lo contrario a lo que ocurre en una igualdad.[1]

En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < 19 Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera. Ejs: 4^x-2 (4 equivale a x-2) /esto nos llevaria ya a un prefijo ecuacional puro, eliminando las incomodidades de la escritura dialectal/

Propiedades de la desigualdades

1.-Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no varia.

Asi dada la desigualdad a > b podemos escribir:

a + c > b + c y a – c > b – c

Consecuencia Un termino cualquiera de una desigualdad se puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.

2.- si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva , el sino de la desigualdad no varia.

Así dada la desigualdad a > b siendo c una cantidad positiva, podemos escribir:

Ac > bc y a / c > b / c

Consecuencia

Se pueden suprimir denominadores en una desigualdad sin que varíe el signo de la desigualdad

3.- si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la desigualdad varia.

Asi en la desigualdad a > b multiplicamos ambos miembros por – c, tendremos:

- ac < -bc

Y dividiéndolos por – c, o sea multiplicando por – 1 / c, tendremos – a / c < -b / c

Consecuencia

Si se cambia el signo a todos los términos o sea a los dos miembros de una desigualdad, el signo de la desigualdad varia porque equivale a multiplicar los dos miembros de la desigualdad por – 1.

4.- si cambia el nombre de los miembros, la desigualdad cambia de signo

Ejemplo

a > b es evidente que b es < a.

5.- Se invierten los miembros de la desigualdad cambia de signo.

Ejemplo:

.a > b se tiene que 1 / a < 1 / b

6.- si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no cambia

Ejemplo:

5 > 3. elevando al cuadrado: 5 al cuadrado es > 3 al cuadrado, porque 25 > 9

7.- si los dos miembros o uno de ellos es negativo y se elevan a una potencia impar positiva, el signo de la desigualdad no cambia.

Ejemplo:

-3 > -5. elevando al cubo: ( -3 ) al cubo > (-5 ) al cubo porque -27 > -125

2 > - 2...Reglas de transposiciónEn los métodos de razonamiento deductivo en lógica clásica, "transposición es regla de la inferencia que los permisos uno de deducir de la verdad de “A implican B” la verdad de “Not-B implica el not-A”, e inversamente”.[1] Su expresión simbólica es:(→ Q DE P) ↔ (~P DEL → DEL ~Q)[2] El “→” es el símbolo para implicación material y doubleheaded la flecha “↔” indica a bicondicional relación. El símbolo “~” indica negación. “P” y “Q” son componentes que representan las declaraciones que forman a verdad funcional compuesto asunto, donde en un asunto hipotético estará la primera declaración antecedente y la declaración pasada será consiguiente. La expresión “función de la verdad“tiene usos distintivos adentro lógica filosófica y lógica matemática. Este artículo se refiere a su uso filosófico. (Véase también Transposición (matemáticas))

InecuacionesUna inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como Intervalo.En matemáticas, una inecuación es una expresión referida a lo que se quieren referir al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase entidad).Si por el contrario, el signo comparativo es el mismo y que sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o cambia para otros valores, será una inecuación "condicional".El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número real, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si a ambos miembros se les multiplica o divide por un número negativo.La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.

Intervalos

En análisis, se denomina intervalo a la máxima división sectorial sumisa es decir a el subconjunto de la doble implicación latente en matemáticas subconjunto conexo de la recta real. Más precisamente, son las únicas partes I de R que verifican la siguiente propiedad:

si x e y pertenecen a I, x ≤ y, entonces para todo z tal que x ≤ z ≤ y, z pertenece a I.

Operaciones con intervalos

Resolución de inecuaciones

El proceso inicial es el mismo que para las ecuaciones de primer grado, habiendo diferencias sólo a partir del apartado **

Reducimos todos los términos a común denominador

Eliminamos los denominadores al multiplicar todos los términos por 20

Imaginamos que cada línea de fracción es un paréntesis que envuelve al polinomio o monomio y quitamos paréntesis teniendo cuidado con el signo de delante

Sumamos o restamos los monomios semejantes

Pasamos 45x al lado izquierdo de la ecuación (en realidad restamos 45x a ambos miembros de la inecuación)

Pasamos el 20 al lado derecho de la inecuación

Sumamos y restamos monomios**

Pasamos el "-13" al otro lado dividiendo (en realidad dividimos ambos miembros de la inecuación entre –13), pero cambiamos el sentido de la inecuación al ser negativo el número que pasa dividiendo. (fíjate que el ≤ a cambiado por ≥). Este símbolo no cambiaría si el número que hemos pasado dividiendo fuera positivo y sucedría lo mismo si el número pasara multiplicando.

Simplificamos la fracción (en este caso dividimos)

ÉSTA ES LA SIMPLIFICACIÓN FINAL DE LA INECUACIÓN. De aquí se deduce el intervalo de valores de x que cumplen esta inecuación.En este caso la solución serán todos los infinitos números que son mayores o iguales que 3, lo que se expresa como [3 , ∞) o mejor:

Inecuación poli nómicaSon aquellas equivalentes a una inecuación cuyo primer termino es un polinomio y el segundo es cero

Inecuación fraccionariat i e n e n l a i n c o g n i t a e n e l d e n o m i n a d o r s e r e s u e l v e n d e u n m o d o s i m i l a r a l a s d e s e g u n d o g r a d o , p e r o h a y q u e t e n e r p r e s e n t e q u e e l d e n o m i n a d o r n o p u e d e s e r c e r o .

Inecuación de doble desigualdadTenes que resolver por seoarado los dos modulos 1<|3x-2| 1<3x-2 ó 3x-2<-13<3x ó 3x<1 1<x ó x<1/3

S1(-inf;1/3)U(1;inf)

Luego|3x-2|<=43x-2<=4 y 3x-2>=-4x<=2 y x>=-2/3

S2 |-2/3;2|

Y la solución al problema es la intersección de S1 con S2

S|-2/3;1/3)U(1;2|

En el ejercicio 2 tenes que analizar todas las posibilidades de que la división sea mayor que cero usando la regla de los signos.(+.+)/(+.+)>o(+.+)/(-.-)>0(-.-)/(-.-)>0(-.-)/(+.+)>0Problemas de inecuacionesResuelve la siguiente inecuación: 10x - 3x + 2 < 2x + 7Solución: Pasamos a la izquierda todos los términos con x y a la derecha los términos sin x.10x - 3x -2x < 7 - 2Sumamos y nos queda 5x < 5Despejamos x y nos queda x < 1

R e s o l v e r l a s s i g u i e n t e s i n e c u a c i o n e s

1

2

3

Matrices y determinantesConceptos básicosDefiniciónSe llaman matrices de orden mxn a todo conjunto rectangular de elementos a .dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:Notación matricialFila y comuna de una matrizDimensión u orden de una matrizTipos de matrices

Matriz cuadrada

Matriz cuadrada

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su

orden m×n ,

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es de orden n.Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

Diagonal principal :

Diagonal secundaria :

Matriz simétrica

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At , aij = aji

Matriz diagonal

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

Matriz identidad

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambien se denomina matriz unidad.

Matriz transpuesta

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por At ó AT

Operaciones con matricesAdición y sustracción de matricesLa suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij)

Es una ley de composición interna con las siguientesPROPIEDADES :· Asociativa : A+(B+C) = (A+B)+C· Conmutativa : A+B = B+A

· Elem. neutro : ( matriz cero 0m×n ) , 0+A = A+0 = A· Elem. simétrico : ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0Al conjunto de las matrices de dimensión m×n cuyos elementos son números reales lo vamos a representar por Mm×n y como hemos visto, por cumplir las propiedades anteriores, ( M, + ) es un grupo abeliano.

Multiplicación de matrices

D o s m a t r i c e s A y B s o n m u l t i p l i c a b l e s s i e l n ú m e r o d e c o l u m n a s d e A c o i n c i d e c o n e l n ú m e r o d e f i l a s d e B .M m x n x M n x p = M m x p

E l e l e m e n t o c i j d e l a m a t r i z p r o d u c t o s e o b t i e n e m u l t i p l i c a n d o c a d a e l e m e n t o d e l a f i l a i d e l a m a t r i z A p o r c a d a e l e m e n t o d e l a c o l u m n a j d e l a m a t r i z B y s u m á n d o l o s .

Multiplicación de una matriz fila y una matriz columna

Multiplicación de dos matrices

Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:

y la multiplicación de A por B, que se denota A·B, A×B o simplemente AB, está definida como:

donde cada elemento ci,j está definido por:

Gráficamente, si y

entonces

DeterminantesEn matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas lineales de ecuaciones.Notación de la determinante

Calculo de una determinanteConsiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1. Seguiremos los siguientes pasos: 1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2.En caso negativo:1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).

2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

= 2(-58)

Método generalizado para calcular la determinante de una matriz1.- Regla de SarrusPara aplicar este método se deben aumentar dos filas o dos columnas a continuación del determinante.Se multiplican los elementos de las diagonales principales y los de las diagonales secundarias pero el resultado de estos va con el signo cambiado, se suman los resultados de las multiplicaciones y ese es el valor del determinante.A = =6+20+0-72-0-20= -661 2 45 3 061 21 2 45 3 061 21 2 4 5 3 0En este método es muy parecido a Sarrus, pero aquí no se aumenta ni filas ni columnas.Directamente pasamos a multiplicar manteniendo el criterio de seguir las diagonales para lo cual se debe observar el camino que estas siguen.

|A|= =6+0+20-72-0-20= -662.- Método de Estrella1 2 45 3 061 2Desarrollo por Menores y Cofactores

Para este método debemos escoger una fila o una columna, preferentemente la fila o columna que mayor cantidad de ceros tenga.Cofactor.- son los elementos que pertenecen a la fila o columna que escogimos el signo de este se define por su posición (ij) si i+j es par será positivo y si i+j es impar seránegativo.Menor.- vamos a llamar menor al determinante que se forma de los elementos que no se encuentran ni en la fila o columna del cofactor.Entonces se prosigue a la multiplicación de los cofactores por su respectivo menor y se suman los resultados para llegar al valor del determinante.Ejemplo de resoluciónA= 1 2 45 3 061 23126 125 3402= 4(5-18)+0+2(3-10) = -52-14=66

Propiedades de una determinante1 . | A t | = | A | E l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z A y e l d e s u t r a s p u e s t a A t s o n i g u a l e s .

2 . | A | = 0 S i : P o s e e d o s l í n e a s i g u a l e s

T o d o s l o s e l e m e n t o s d e u n a l í n e a s o n n u l o s .

L o s e l e m e n t o s d e u n a l í n e a s o n c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l a s o t r a s .

F 3 = F 1 + F 2

3 . U n d e t e r m i n a n t e t r i a n g u l a r e s i g u a l a l p r o d u c t o d e l o s e l e m e n t o s d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l . .

4 . S i e n u n d e t e r m i n a n t e s e c a m b i a n e n t r e s í d o s l í n e a s p a r a l e l a s s u d e t e r m i n a n t e c a m b i a d e s i g n o .

5 . S i a l o s e l e m e n t o s d e u n a l í n e a s e l e s u m a n l o s e l e m e n t o s d e o t r a p a r a l e l a m u l t i p l i c a d o s p r e v i a m e n t e p o r u n n º r e a l e l v a l o r d e l d e t e r m i n a n t e n o v a r í a .

6 . S i s e m u l t i p l i c a u n d e t e r m i n a n t e p o r u n n ú m e r o r e a l , q u e d a m u l t i p l i c a d o p o r d i c h o n ú m e r o c u a l q u i e r l í n e a , p e r o s ó l o u n a .

7 . S i t o d o s l o s e l e m e n t o s d e u n a f i l a o c o l u m n a e s t á n f o r m a d o s p o r d o s s u m a n d o s , d i c h o d e t e r m i n a n t e s e d e s c o m p o n e e n l a s u m a d e d o s d e t e r m i n a n t e s .

8 . | A · B | = | A | · | B | E l d e t e r m i n a n t e d e u n p r o d u c t o e s i g u a l a l p r o d u c t o d e l o s d e t e r m i n a n t e s .

Inversa de una matrizLa matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1 y que verifica:

Resolución de sistemas de ecuaciones aplicando matrices y determinantes.