Cuerpos Atados-Ac13meow.Docx 15

UNIBE

PRIMERA PARTE

UNIBE

2013Versión 1.1

ProfesorJ. A. Castillo2013

1

J. A. Castillo / Cuerpos Atados

2

1.1 Aplicaciones Segunda ley de Newton1.2 Planos: Horizontales – InclinadosTensiones, Fricción

La Presentación de estas notas de cátedra universitaria en las cuales aparecen algunos problemas resueltos y otros propuestos, tiene como finalidad proporcionarles a los estudiantes un material de apoyo y de entrenamiento.

Si algún académico, mejora, amplia o sugiere otros ejercicios para hacer más efectivo este material, entonces ayudaremos más a nuestros estudiantes a adquirir las destrezas para avanzar.

Estas notas no pretenden de ninguna manera sustituir libro alguno, surgieron como una solicitud de algunos de mis estudiantes, de la necesidad que tenían de adquirir mayor destreza en los tipos de problemas similares a los que les presento/

Por último, agradezco el empeño y cuidado que ha tenido el joven Anthony Torres, aventajado estudiante de la carrera de Ing. TIC, en la realización de dibujos que acompañan este trabajo.

Muy cordial y deferentementeJ. A. Castillo

3


La segunda ley de Newton se expresa de la forma siguiente: Fnet=Ma ; donde Fnet= Fuerza Neta que actúa sobre un cuerpo de masa M. Si la fuerza neta o resultante no es nula el cuerpo adquiere una aceleración a.

Plano Horizontal.Supongamos un cuerpo de masa M colocado sobre una superficie horizontal como se muestra en la figura A. denominemos con la letra N a la fuerza normal que no es mas que la fuerza de reacción de la superficie sobre el cuerpo que descansa sobre ella.

La tercera ley o principio de acción y reacción nos lleva a la igualdad:

N=W=Mg

Plano inclinado.Si el plano sobre el que descansa el cuerpo esta inclinado, ya la normal no

4

Fig. B

Fig. A

será igual al peso. En este caso la normal:

N=W y=Mg cosθ.

En el plano inclinado hemos escrito para la fuerza normal N , W y=Mgcosθ

Veamos la razón de esta última expresión.

Sean dos ángulos de lados perpendiculares: uno de los ángulos es agudo y el otro es obtuso. Los lados 2 y 4 del ángulo α son perpendiculares a los lados 1 y 3 respectivamente del ángulo obtuso β.

Decimos aquí que por simple inspección los ángulos α y β son diferentes. (Ver figura a) demostración formal de esta observación.

Ahora tenemos dos ángulos agudos de lados perpendiculares. Veamos que pasa. (Fig. b)

La suma de los ángulos internos de los dos triángulos formados tanto en la figura b como en la c, es 180o, esto es, en la figura c no se puede notar que:

5

Fig. (b)

Fig. (a)Ángulos agudo y obtuso de lados

perpendiculares

: β+φ+90o=180o

: α+φ+90o=180o


Si igualamos estas dos expresiones resulta que α=β para el caso de ángulos agudos de lados perpendiculares.

Fuerza de Fricción

La fuerza de cohesión o adhesión entre los átomos de los cuerpos, da lugar a que entre los mismos exista una fuerza de fricción que depende de la condición y naturaleza de las superficies, así entre madera y papel de lija (papel abrasivo) el coeficiente de fricción depende del tipo de madera, su condición de desgaste, lo pulida que pueda estar, y lo mismo para el papel abrasivo. Todavía hay más consideraciones sobre la fuerza de fricción, tales como, la velocidad relativa de los cuerpos en contacto.

Es importante señalar que la fuerza de fricción se opone al movimiento.

W = Peso del cuerpo = Mg

F = Fuerza aplicada al cuerpo

N = fuerza normal (reacción de la superficie)

f = fuerza de fricción

Escribimos ahora las relaciones siguientes:

f ∝ a la fuerza normal, es decir, la fuerza de fricción f , es proporcional a la fuerza normal, por lo que,

f k=μk N=¿ fuerza de fricción cinética, donde μk es una constante de proporción.

μk = coeficiente de fricción cinética. Cuerpo en movimiento, puede estar acelerado

6

Fig. (c)

f s=μsN=¿ Fuerza de fricción estática

Experimentalmente se comprueba que: μs>μk

Es decir, el coeficiente de fricción estático μs es mayor que el coeficiente de fricción cinético μk.Si el cuerpo de la figura anterior se acelera hacia la derecha, como se indica en la figura, es porque evidentemente

|F|>|f k|

Compare algunos valores de la siguiente tabla.

μs = Coeficiente de fricción estática.

μk = Coeficiente de fricción cinética.

Materiales μs μkacero sobre acero (duro)1 0.78 0.42acero sobre acero (blando)1 0.58 0.25plomo sobre acero 0.95 0.95cobre sobre acero 0.53 0.36madera sobre metal 0.40 0.20madera sobre madera 0.35 0.30vidrio sobre vidrio 0.95 0.80llanta de goma sobre concreto seco 0.95 0.71Llanta de goma sobre concreto mojado 0.72 0.52

De la tabla anterior y como una advertencia interesante compare μk para llanta mojada y el vidrio sobre el vidrio.

1 Algunos experimentos difieren bastante.

7


Coeficiente de fricción estáticoμs

Coloquemos un cuerpo de masa M sobre un

plano inclinado un ángulo θ, con respecto a la horizontal. Asumamos que el cuerpo se deslizará hacia abajo, pero de tal forma que θ tiene un

valor para el cual hay aceleración, sino que W x solo vence la fuerza de fricción, en estas condiciones las fuerzas f s y W x se anulan, pues si la aceleración a lo largo del eje paralelo al plano es nula, es porque dichas fuerzas se

cancelan.

Asumamos aquí que el cuerpo se deslizara hacia abajo, pero de tal forma que el ángulo θ tiene un valor para el cual no hay aceleración, sino que W x solo vence la fuerza de fricción.

X } f s=μsN=W x=Mgsin θ(1)

Y }N=W y=Mgcosθ (2)

Si ahora dividimos la expresión 1 entre la 2 obtenemos:

μsN

N=Mg sin θMg cosθ

=tan θ

8

Esto es:

μs=tan θ

a) Diríjase a la tabla anterior de valores μk y μs y tome el caso madera―madera y obtenga el ángulo para el cual se verificará la expresión anterior.

b) Haga lo mismo para madera sobre metal.

c) Compare sus resultados y de una interpretación física con su respuesta.

Ejemplo:

Una masa de 10kg se encuentra sobre un plano inclinado 30o, con respecto a la

horizontal. Si el coeficiente de fricción cinético estre el bloque y el plano es μk=0.20 obtenga: a) aceleración del cuerpo, b) el tiempo en que la masa recorre 4m sobre el plano inclinado.

A B=4m

Sol.: a) W=Mg=98.1Nt

W x=Mgsin 30o=49Nt

9


W y=mg cos30o=85Nt=N (normal), esto es, la fuerza normal y la componente del peso

W y tienen igual magnitud

f k=μk N=17Nt

Aceleración= FnetM

=W x−f kM

=49Nt−17Nt10Kg

a=3.2m /seg2

b) AB=4m, con lo cual, si queremos obtener el tiempo en que la masa recorre 4m empleamos la ecuación siguiente:

X=V 0 t+12a t 2 ; sustituyendo valores: v0=0

mseg

4m=12

(3.2m /seg2 )t 2 ; ahora despejando el tiempo t

De donde t=√ 2 (4m)3.2m /seg2

=1.58 seg

Completar la solución del problema siguiente:

Usted lanza un cuerpo sobre un plano inclinado para que ascienda desde A hasta B. La inclinación θ=30o, M=2.00Kg y la velocidad

inicial es de 3m /seg. El coeficiente de fricción

cinético es μk=0.35 obtenga:

a) La fuerza de rozamiento

f k=μk N=μkMg cos30o

f k=0.35×2.00Kg×9.8m /seg2×0.87=Nt

A la componente del peso en X: W x=Mgsin 30o se le denomina a veces componente

tangencial, que en nuestro caso, se suma a la fuerza de fricción pues ambas van dirigidas hacia A, y son las que van a detener el cuerpo en algún punto del plano, V f=0m / seg y escribimos para la aceleración:

10

a=FnetM

=W x+f k2.00Kg

=m / seg2

Para obtener el tiempo en que la masa recorre la distancia d sobre el plano recurrimos a la expresión:

t=V f−V 0

a=0m/ seg−3m /seg

a

Sustituya usted en esta última expresión, la aceleración calculada anteriormente.

11


Aplicación de una Fuerza Extra

a) Objeto de masa M que se mueve sobre un plano inclinado con fricción al que aplicamos una fuerza F. Movimiento hacia arriba.

F = Fuerza que hace que el cuerpo se mueva hacia arriba con velocidad constante. Si la aceleración es nula es porque:

F−(W x+f k )=MaF−Mgsin 30o−μk N=Ma

La fuerza normal N=W y=Mg cos30o con

lo cual la expresión para la fuerza es:

F=M [a+g (0.50+0.87μk ) ]

Casos particulares:

ii) Si el movimiento es uniforme a=0 ; si en cambio la aceleración es

a=0.10m /seg2 compruebe que F=5.96Newton

iii) Si la celeracion es nula comprueba que F=6.00Newton

b) Movimiento hacia abajo.

Ahora la fuerza de fricción estará dirigida hacia arriba pues se opone al movimiento.Tenemos por Segunda ley de Newton:

F = fuerza que aplicamos nosotros con lo cual:

F+Mgsin 30o−f k=Ma

12

Si el movimiento es uniforme a=0 y se obtiene:

F=0.80 [−9.8m / seg2 (0.50−0.30×0.87 ) ]=1.88Nt

Si el cuerpo se desliza hacia abajo con acel=0.10m /seg2 entonces: F=−1.80Nt

¿Qué interpretación le merece el símbolo negativo de esta fuerza?

Supongamos que el cuerpo se desliza hacia abajo, sin aplicarle fuerza alguna, solo la componente de su peso a lo lardo del eje X lo hará moverse. Obtengamos el valor de la aceleración.

Verificar las igualdades

W x−f k=Ma

Mgsin 30o−μk N=Ma y N=Mgcos30 °

g sin 30o−μk gcos30o=a

a=4.9m / seg2−0.11m /seg2

a=4.78m / seg2

Se asume que usted observa dos elementos muy importantes de esta respuesta.

1ro En caso de no tener valor numérico de masa no le será necesario para la obtención de la aceleración.

2do Que este valor de aceleración responde lo del signo negativo del problema anterior.

13


La segunda ley es clara, en el hecho de que las fuerzas aplicadas son sobre un mismo objeto o sistema específico. Puede ser que las fuerzas se anulen y puede ser que no, en cuyo caso el objeto alcanzara una aceleración a en la dirección de la resultante.

La tercera ley nos habla de una fuerza nula, pues siempre F⃗12=−F⃗21

El hombre empuja (acción) con el remo la ribera y recibe una reacción y sale hacia el rio. Esto no contradice la segunda ley pues en este caso se trata de objetos distintos, a saber: ribera/bote.

Fuerzas que actúan sobre la masa M:

Fuerza (F) Fricción (f k) Normal (N) Componentes

La fuerza F que se presenta en la figura anexa

tiene dos componentes: F x y F y

Para la fuerza resultante:

FRy=∑ F iy=N−Mg−F y=M ay=0

Esto es: N=Mg+F y

N>Mg

2

F y=F cos θ

14

FRy=∑ F iy=N−Mg+F y=M a y=0

N=Mg−F y

N<M g

3) Otro caso:

Asumamos que el cuerpo de masa M simplemente descansa sobre el plano inclinado ¿En cuales condiciones sucede esto?

¿Cree usted que para esto se debe verificar si

f s> f k?

N=W y , justamente iguales?

N>W y?¿Qué dice usted?

Recuerde que:

N=W y=Mg cosθ

FRy=∑ F iy=N−Mgcosθ=M ay=0

N=Mg cosθ

Tome usted la misma figura y las expresiones de FRy=0 para contestar la siguiente pregunta.

¿En cuáles condiciones escribimos?

15


FRy=M ay>0

FRy=M ay<0?

Ascensor.

Una estudiante de masa 50kg entra a un ascensor sin

movimiento, en esta situación su peso es:

W=Mg=490Newton.

Si el ascensor desciende a una aceleración de

−2.00m /seg2 el peso o báscula sobre la que ella

descansa registrará menos peso. Sobre la estudiante se registran las fuerzas siguientes:

N= normal ejercida por el peso del elevador (hacia

arriba)

W=Mg=490Nt peso de la estudiante (hacia abajo)

Fnet=W – N=Mg – N=Ma y

Como a y=−2.00m /seg2 se obtiene para la normal N=m(g+a y)=390Nt, por lo que

nuestra joven siente que esta más “liviana” mientras desciende.

16


El objeto de la figura tiene masa de 1000kg y se desplaza desde A hasta B guiado por control remoto si el movimiento es uniforme. ¿Cuál es la fuerza sobre el objeto?

Hagamos un diagrama que muestre las fuerzas y los componentes de fuerzas que actúe sobre el objeto.

W=Mg=¿ Peso del objeto

W x=Mgsinθ

W y=Mgcosθ

N=¿ Fuerza normal

Como V = constante, la aceleración es nula y por tanto: la fuerza neta en X (FnX) es nula

FnX=M a

O=M a

Fnet=(F−W x)=0 (No hay aceleración)

F=Mgsin θ

En el eje Y tenemos lo siguiente: (FnY = fuerza neta en Y) no hay movimiento en Y, por lo cual:

FnY=0 }N –Mgsin θ=0

N=Mg cosθ=¿ Fuerza normal

18

b) Halle la fuerza neta, para el caso de que el cuerpo adquiera una aceleración a.

El cuerpo mostrado en la figura anexa tiene una masa M=7.0kg y se coloca sobre

un plano pulido con un ángulo θ=20o con respecto a la horizontal. a) Determina la aceleración del cuerpo con los lados, bajando el plano. b) Si el cuerpo parte del reposo 9.0m arriba del plano desde su base ¿Cuál será la velocidad del cuerpo cuando alcance el punto B? Ignore la fricción.

AB = 9 m

19

Resp.: a) a=3.4m / seg2

b) v=7.8m /seg


Cuerpos conectados.

La fuerza F es la tensión T con la

cuerda como consecuencia de que un auto remolca el objeto de masa

M=90 kg desde A hacia B. Si la

fuerza ejercida sobre el objeto es de 300Nt y la fricción de este con el pavimento

es de 120Nt, la aceleración se obtiene con la fuerza neta Fnet=F – f y la masa del cuerpo que es arrastrado.

a=F−fM

=2m /seg2

Considere que se parte del reposo y una vez alcanzada determinada velocidad esta se mantiene constante. En estas condiciones:

1) ¿Debe considerarse el coeficiente de fricción invariable a lo largo del recorrido por la única razón de que el pavimento es “perfectamente homogéneo”?

2) ¿Cuándo una nave espacial entra a la atmósfera desde el espacio exterior, la fricción será función de la velocidad variable de la nave? Una nave entra a la atmosfera desde el espacio exterior ¿es la fricción función de la velocidad variable de la nave?

La fuerza F que el remolcador ejerce al cuerpo de masa M la realiza a través de cuerda que lo ata. Esta fuerza se manifiesta como una tensión T, distribuida a través de la cuerda, por lo que F=T

20

Aplicación

A) Complete el diagrama de fuerzas en cada cuerpo y señale el ángulo, la tensión, la fuerza de fricción, a) Asuma primero que el sistema se desplaza hacia la derecha, es decir, que M 2 arrastra a M 1, b) Asuma lo contrario, esto es, que M 1 arrastra

a M 2 hacia la izquierda.

B) Con los valores M 1=5.0kg , M 2=8.5kg ,μk 1=0.3 , μk 2=0.18. asuma que el sistema se desplaza hacia la derecha y obtenga la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda supuesta sin masa e inextensible.

C) Repita el cuestionamiento hecho en B suponiendo un movimiento opuesto.

21


Máquina de Atwood.

Supongamos una cuerda inextensible que pasa por una polea de masa ligera y fricción despreciable. Obtenga la aceleración a y tensión T en la cuerda.

Supongamos un giro anti horario, esto es, M 1 baja

y sube. Cuando M 1 toque la superficie habrá

descendido 4 pies.

Solución: Hagamos un diagrama de cuerpo aislado. Cuerpo de masa M 1:

2da Ley: Fnet=M 1 g– T=M 1a (1 )

Reescribiendo la expresión anterior: M 1 (g−a )=T (2)

22

Máquina de Atwood

Esta es una ecuación con dos incógnitas M 1 y T . Para resolverla buscamos otra expresión que contenga esta dos incógnitas, para lo cual aislamos el cuerpo de masa M 2 :

2da ley: T−M 2g=M 2a (3)

M 2(a+g)=T (4)

Cuando sumamos la ecuación 1 y 3 obtenemos las expresiones:

a=(M 1−M 2

M 1+M 2)g

Cuestiones

Para el caso particular M 1=M 2 la expresión de la aceleración dice que el sistema esta en equilibrio.

¿Qué sucede si en ambas expresiones se anula una de las masas, digamos M 2=0?

b) Partiendo del reposo, ¿Cuál será la velocidad del cuerpo de masa M 1 al tocar suelo?

c) ¿En qué tiempo tocará suelo?

23


24

Ejemplo:

Dos bloques de masas M 1 y M 2 se mueven con aceleración constante debido a

que están atados a otro cuerpo de masa M que cae verticalmente. El hilo o cuerda tiene masa despreciable y longitud invariable.

Sean T y T 1 las tensiones en las cuerdas. Para la masa que cae verticalmente, tenemos:

Mg−T=Ma (I )

Esta misma tensión T es la que se ejerce sobre la masa M 2 que está sobre el plano horizontal, esto es:

T−T 1=M 2a (II)

Para el cuerpo de masa M 1 tenemos que:

T 1=M 1a (III )

A partir de las ecuaciones I, II y III. Muestre que:

T=a (M 1+M 2) y que a=g−[M 1+M 2

m]a

¿Qué sucede si m≫M1 ;m≫M 2?

25


Tres cuerpos cuyas masas son 5kg ,20kg y 10kg están atados como se muestra en la figura anexa: despreciando la fricción entre los bloques que están en la parte superior y la superficie sobre la cual se desplazan, obtenga:

a) La aceleración del sistema.

b) Las tensiones T 1 y T2

Diagramas de cuerpos aislados:

Cuerpo A:

W 1=M1 g=5kg∗9.8m

se g2=49Nt=Normal=N1

T 1=M 1a=5a(I )

Cuerpo B:

En el cuerpo de la derecha N2 es la normal.

W 2=M2 g=10kg∗9.8m

se g2=98Nt=N 2

26

T 2=M 2a=10a(II )

Cuerpo C:

W 3=M 3g=20kg∗9.8m

se g2=196Nt

W 3−(T1+T 2 )=M 3a(III )

Combine I , II , y III para obtener,

a=5m /se g2;T 1=28Nt ;T2=56Nt

Tres cuerpos con igual masa de 150kg están atados con cuerdas se encuentran sobre una superficie en la que se

deslizan y que ejerce una fuerza de fricción de 100 Newton sobre dichos cuerpos. Obtenga la aceleración las tensiones que se muestran en la figura. A la masa se le aplica una fuerza de 4800Nt .

Como el sistema de masas conectadas se mueve hacia la izquierda las fuerzas de fricción f=f 1=f 2=f 3=100Nt dirigida a la derecha. Hagamos además un diagrama de cuerpo aislado, es decir por separado.

Tenemos pues las ecuaciones siguientes:

27


Masa M 1: F−f−T 1=M 1a (1)

Para M 2: T 1−T2−f=M 2a (2)

M 3: T 2−f=M 3a(3)

Sumando los miembros de izquierda y derecha de 1, 2, 3 se obtiene:

F−3 f=(M 1+M 2+M 3 )a

Con lo cual la aceleración a será:

a=4800Nt−300Nt450kg

=10m /se g2

Para obtener las tensiones T 1 y T 2 en las cuerdas, sustituimos de nuevo en el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3), este valor de aceleración obtenido

Muestre usted que:

T 1=3200Nt

T 2=1600Nt

Cuestiones

Suponga usted que M 1=150kg pero M 2=2M 1 y M 3=3M 1. Manteniendo la

misma fuerza aplicada a M 1 de 4800Nt e igual fricción que la dada en el problema anterior, calcule la aceleración de ambos problemas.

28

Problemas propuestos

1. En el dispositivo ideal sin fricción que se muestra en la figura que sigue M 1=2.0kg calcule M 2 si ambas masas están en reposo ¿y si ambas masas se mueven con velocidad constante?

2. En el dispositivo ideal de la Figura: M 1=3.0kg y M 2=2.5kg

a) ¿Qué aceleración tienen las masas?b) ¿Qué tensión hay en el cordel o hilo que une a M1 y M2

Resp.:

a) 1.2m /seg2 (M 1hacia arriba)

b) 21Newton

29


3. El coeficiente de rozamiento estático entre un cuerpo y el plano inclinado sobre el que se apoya es μs=0.45, y la masa del cuerpo es M=12kg. El ángulo que forma el plano inclinado con la horizontal es α=30o. ¿Qué fuerza mínima habría que aplicar para evitar el descenso del cuerpo?

Resp.: F=13N t

4. Dos bloques están en contacto sobre una tabla nivelada y sin fricción. La masa del bloque izquierdo es de 5.00kg y la masa del bloque derecho 10.0kg ambos aceleran hacia la izquierda a 1.50m /seg2 una persona a la izquierda ejerce una fuerza F1 de 75.0N hacia la derecha otra persona ejerce una fuerza desconocida F2 hacia la izquierda.

a) Determine la fuerza F2.b) Calcule la fuerza de contacto N entre los dos bloques (esto es, la

fuerza normal en sus superficies verticales en contacto)

5. En el dispositivo de la Figura M 1=2.0kg y los coeficientes de fricción estática y cinética entre M 1 y el plano inclinado son 0.30 y 0.20 respectivamente

a) ¿Qué valor tiene M 2 si ambas masas están en reposo?b) ¿Y si se mueven con velocidad constante?

30


6. Dos bloques de masas M 1=4kg y M 2=2kg se atan con una cuerda inextensible de masa despreciable y se le aplica una fuerza F de 36Nt hacia la derecha. Obtenga la aceleración y la tensión en la cuerda que ata los dos bloques. Las fuerzas normales sobre ambos cuerpos se muestran en la Fig. 5.

Fig. 5

Diagrama del cuerpo aislado: cuerpo de masa M 1 aplicando la segunda ley obtenemos:

Fnet=M 1a

Eje X} F−T=4 a(1)

La aceleración se puede obtener así a=Fnet

M 1+M 2

la F=36Nt es la única fuerza

que actúa sobre el sistema de masas.

32

Como son aditivas en este caso: M tot=M 1+M 2=6kg , con lo cual obtenemos:

a=36kgm /seg2

6 kg=6m /seg2

Se puede obtener la tensión en la ecuación 1 con el cuerpo de masa M 2

T=M 2a=2kg×6m /seg2=12Nt

33


7. Determinar la aceleración con la cual se mueven los cuerpos de la Fig.2; b) Las tensiones en las cuerdas. Suponer que los cuerpos se deslizan si fricción. Resolver el problema algebraicamente y luego aplicar los valores:

Respuestas:

a) a=g (M 1sinα−M 2)

M 1+M 2

;T=M 2(a+g)

Resp . :−206m /seg2;1.39 x105dinas

b) a=g (M 1sinα−M 2 sin β)

M 1+M 2

;T=M 2(a+g sin β )

Resp . :−144 cm /seg2;1.50 x 105dinas

34

Fig. 2

8. Los bloques A y B están sobre dos planos inclinados unidos mediante una cuerda que pasa a través de una polea como se muestra en la figura 3. El coeficiente de rozamiento estático del bloque A con el plano de la izquierda es despreciable y el bloque B con el plano de la derecha es μs=0.20. La masa del bloque B es de 2.0ks. Determine el rango de masas del bloque A para el cual el sistema se encuentra en equilibrio estático.

Resp.: Masa M A=3.1kg Este es el valor máximo que puede tener.

9. Dos bloques de 100kg están unidos mediante cuerdas de 1.00kg. La fricción entre los bloques y el suelo puede considerarse nula. Se tira del conjunto con una fuerza de 202N, tal como lo indica la figura.

a) ¿Cuál es la aceleración del conjunto?b) Calcular las fuerzas ejercidas por las cuerdas en los puntos B, C y D

Si se quiere expresar una fuerza en el sistema CGS, recuerde que:

1NT=105Dinas=100,000Dinas.

10.Calcular la aceleración de los cuerpos en la Fig. 5 y la tensión en la cuerda. Resuelva el problema algebraicamente y luego encuentre la solución numérica cuando M 1=50 g ,M 2=80g y F=105dinas .

35

Fig. 3 (b)

Fig. 3 (a)


Resp.:

a) a=(F−Mg )(M 1+M 2 )

;T=M 2 (a+g )

166cm / seg2 ;917 x104dinas

b) a=[F+(M 1−M 2 ) g]

(M 1+M 2 );T=M 2(a+g)

543cm /seg2 ;1.22x 105dinas

11.Una máquina de Atwood (Fig. 6) se usa para determinar a g. La posición de la masa M 1=0.80kg se mide usando una regla vertical de 2 metros. Se suelta

36

Fig. 5

el sistema en reposo cuando M 2 está hasta arriba de la regla, y se pone a

trabajar el cronómetro cuando M 1 pasa la marca de 0.20m, el cronómetro se para, se hace el experimento varias veces, y la lectura promedio del cronómetro es de 1.43 s. ¿Cuál es el valor de M 2?

Resp.: 0.705kg

12.Inicialmente la masa de 4 kg. Se mueve hacia arriba a 2.75m /seg. como muestra la fig.7. Después de algún tiempo para por su posición inicial moviéndose hacia abajo con velocidad de 1.45m /seg. Calcule el coeficiente de fricción cinética entre la masa de 2.50 kg y el plano. ¿Cuál es la tensión en la cuerda mientras la masa de 4.00 kg se mueve hacia arriba y cuando lo hace

hacia abajo?

37

Fig. 6

Fig. 7

Resp.:

µk=0.717

T=13.3Nt (Hacia arriba)T=32.0Nt (Hacia abajo)


13.¿Cuál es la masa de M 2 en la Fig. 8, si la tensión en la cuerda es de 3.50N? ¿En qué dirección estará dirigida la aceleración? No hay fricción entre los bloques y los planos inclinados.

14.Un bloque de masa M se sostiene sobre un plano sin fricción que forma un

ángulo de 37ocon la horizontal. Esta masa está sujeta por una cuerda sin

masa a una segunda masa de 4.50 kg, como se muestra en la Fig. 9. Al principio, el sistema está en reposo con la masa de 4.50 kg golpea el piso 1.50 seg después. Determine la masa desconocida M y la tensión en la cuerda durante el tiempo en el cual la masa de 4.50 kg está en movimiento.

38

Fig. 8

Fig. 9

15.Dadas M 1=4.00kg y M 2=6kg que se muestran en la fig.10 y cuando t=0, el sistema está en reposo. Determinar la aceleración de las masas y la tensión en la cuerda. (Ver Fig. 10)

16.Cuando t=0, M 1 se mueve hacia la izquierda con una velocidad de

3.00m /seg. Cuando se ha movido 4.60m de su lugar original

instantáneamente queda en reposo. Calcule la relación M 2/M 1. (Ver Fig. 10a)

17.El sistema es libre de moverse. La tensión de la cuerda es 21.0N y M 2

es de 5.40kg. Encontrar M 1 y su aceleración. (Ver Fig. 10)

39

Fig. 10

Fig. 10a

Resp.

a=5.88m /seg2

T=23.5Nt

Resp.:

3.55kg

5.91m /seg2


18.Determine la relación M 2/M 1 para que la aceleración de las masas sea

g4. (Ver Fig. 10)

19.Un bloque cuya masa M 1 descansa sobre un plano inclinado se ata por

medio de una cuerda de masa despreciable a otro cuya masa es M 2. Si la cuerda pasa a través de la polea, ver Fig. 11, determine:

a) Una fórmula para la aceleración del sistema en términos de M 1 ,M 2 ,θ y g b) ¿Qué condiciones aplican para que el sistema se deslice en una dirección opuesta?

20.A lo largo de un plano inclinado 45o sobre la horizontal se lanza hacia arriba un cuerpo de masa M=4kg, con una velocidad de 6.5m /seg. El coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo y el plano es µk=0.25. Calcula:

a) La aceleración del cuerpo.b) El tiempo que tarda en detenerse.

40

Fig. 11

Resp.:

a) a=(m2−m1

m1+m2)sin θ

b)

Para M 1 abajo, M 2<M 1sinθPara M 1 arriba, M 2>M 1sinθ

Resp.:

a) a=8.7m / seg2

b) t=0.75 s

21.Un cuerpo de 10kg está apoyado sobre una superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie del plano es 0.25 Obtener el valor de una fuerza paralela al plano para que:

a) El cuerpo se mueva con velocidad constante.b) El cuerpo se mueva con aceleración constante de 1.6m /seg2.

22.Un camión de 25 toneladas (1 Ton = 1,000kg) marcha

por una carretera horizontal a una velocidad de 72km /h, y al frenar se detiene en 50m.

a) ¿Cuál es la fuerza de frenado?b) ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento?

Resp.:

a) f=100kN

b) μk=0.41

¿Debe tener la fuerza de frenado un signo negativo? Explique.

23.Un bloque de 75kg se apoya sobre una superficie horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético son 0.35 y 0.28 respectivamente. Determina:

a) Si el bloque permanece en reposo, o se mueve, cuando se le aplica una fuerza horizontal de 240N .

b) La fuerza mínima para la cual se inicia el movimiento.c) La fuerza necesaria para que el bloque se mueva con una aceleración

constante de 1.2m /s2

41

Resp.:

a) F=24.5N

b) F=40.5N

Resp.:

a) Reposo

b) F=257Nc) F=296N


24.Se quiere desplazar un bloque de masa M=75kg que descansa sobre un piso horizontal. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el suelo es µs=0.45 Decir la naturaleza de la fuerza que es necesario aplicar en los siguientes. Obtener la magnitud de la fuerza que se debe aplicar para mover el cuerpo en las condiciones siguientes:

a) Si la fuerza es horizontal.b) Si fuerza aplicada forma un ángulo de 15o con la horizontal.

Resp.: a¿F=331Nb)F=306N

25.Por una superficie horizontal se lanza un cuerpo con velocidad de 6m / seg. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el suelo y el cuerpo es 0.30, calcula la distancia que recorre hasta detenerse.

Resp.: d=6.2m

26.Se desea subir un cuerpo de masa M=2.5kg por un plano inclinado 10o sobre la horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento cinético entre el plano y el cuerpo µ=0.55. ¿Qué fuerza horizontal mínima se debe aplicar para que el cuerpo suba con velocidad constante? (Ver Fig.12)

42

Fig. 12

Resp.: F=19.7N

27.Un bloque de masa 5kg se desplaza sobre una mesa horizontal por la acción de una masa de 4 kg, según se indica en la Fig.13 El coeficiente de rozamiento cinético es μk=0.34 ¿Cuál es la aceleración del conjunto y la tensión en la cuerda?

28.En la Fig.14 las masas de A y B son M A=10kg y MB=5kg. El coeficiente de rozamiento estático entre A y la mesa es 0.2 ¿Cuál es la masa mínima que debe tener C para impedir el movimiento del sistema?

43

Fig. 13

Fig. 14

Resp.:a=2.5m /seg2

T=29.2N

Resp.:

MC=15kg


29.Si la tensión T es de 15Nt y la magnitud de la aceleración de 3.0m /se g2 obtenga la masa si se considera que no hay fricción.

30.En la figura “x”, si M 1=4.0Kg y T=8.0Nt . ¿Cuál es la masa de M 2 para que el sistema permanezca en reposo? Asuma que no hay fricción.

31.Se sueltan desde el reposo a los dos bloques que están atados. Si el coeficiente de μk=0.26 para ambos lados obtenga la aceleración del sistema.

44

Fig. 15

a)3.1Kgb)2.5Kgc)2.8Kgd)2.2Kge)3.7Kg

a)1.0Kgb)1.2Kgc)1.4Kgd)1.6Kge)6.2Kg

a)1.6m /se g2

b)1.4m / se g2

c)1.2m /se g2

d)1.8m /se g2

e)2.4m / se g2

32.En la figura 16, el coeficiente de fricción cinética μkentre el cuerpo y la

superficie es de 0.40, ¿Cual es la magnitud de la aceleración del bloque suspendido? Descarte la fricción en la polea.

33.Dos bloques están en contacto y se les aplican las fuerzas mostradas en la figura 17. El coeficiente de fricción entre las superficies y los bloques es de 0.30, determine la magnitud de la fuerza que el bloque de 2.0Kg ejerce sobre el de 3.0Kg.

34.Si el coeficiente entre la superficie y los tres bloques es de 0.20 halle la magnitud de la fuerza ejercida sobre el bloque de 3.0Kg por el de 5.0Kg.

45

Fig. 17

Fig. 16

a)3.4m / se g2

b)3.7m /se g2

c)4.2m / se g2

d)3.9m /se g2

e)5.4m / se g2

a)15Ntb)25Ntc)11Ntd)22Nte)33Nt

a)20Ntb)30Ntc)10Ntd)15Nte)25Nt


35.Tres bloques que se muestran en la figura 18, se liberan del reposo y se observa que tienen una aceleración de magnitud 1.5m /se g2. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción sobre el bloque horizontal?. Descarte la fricción en las poleas. M=2.0Kg

36.Este sistema de dos masas atadas que se muestra en la figura 19, se desliza sobre una superficie sin fricción. Si M=1.0Kg y F=4.0Nt . Halle la tensión en la cuerda que une a los dos bloques.

37.Entre la superficie y el bloque mayor μk=0.25, pero entre la superficie y el

bloque menor μk=0.30, si F=22Nt y M=1.0Kg, halle la magnitud de la aceleración del sistema.

46

Fig. 18

Fig. 19

a)6.0Ntb)5.1Ntc)5.5Ntd)4.6Nte)3.7Nt


a)1.8m /se g2

b)2.6m /se g2

c)1.4m / se g2

d)2.2m /se g2

e)3.7m /se g2

38.En la superficie horizontal sobre la cual el objeto se desliza, la fricción en nula. Si M=1.0Kg y la fuerza que ejerce el bloque pequeño sobre el más grande es de 5.2Nt . Determine la fuerza F.

39.En la figura 20, la superficie horizontal sobre la cual el cuerpo se desliza no tiene fricción. Si F=6.0Nt y M=1.0Kg ¿Cuál es la fuerza ejercida por el bloque pequeño sobre el más grande?

40.Obtenga la magnitud de la fuerza F que se aplica a dos cuerpos atados

cuya aceleración es 2.0m /se g2. El coeficiente de fricción entre los bloques y

la superficie es μk=0.25

47



a)25Ntb)18Ntc)11Ntd)14Nte)7.0Nt


41.La fuerza de fricción entre los dos bloques impide que haya deslizamiento relativo entre ellos. Si F=1.2Nt y M=1.0Kg. Halle la componente de la fuerza horizontal de fricción entre los dos bloques que tienen igual aceleración.

42.Si μk=0.20 coeficiente de fricción entre el bloque grande y la superficie y

μk=0.30 entre el bloque pequeño y la superficie y además F=14Nt y

M=1.0Kg. Halle la aceleración del sistema. Suponga que la cuerda es inextensible.

48

a)0.48Nt a laderecha b)0.72Nt a laderechac)0.72Nt a laizquierdad)0.48Nt a laizquierdae)0.65Nt a laizquierda

a)2.0m /se g2

b)1.3m /se g2

c)1.5m /se g2

d)1.8m /se g2

e)3.5m /se g2

Cuerpos Atados-Ac13meow.Docx 15

Documents

Transcript of Cuerpos Atados-Ac13meow.Docx 15