Cuerda Barra
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Problema cuerda y barra circular
Luis Daniel Mesa Alvarez
(a) Una cuerda tensa esta en contacto con una barra circular de radio rsobre un arco, subteniendo un pequeno angulo ∆θ. Demostrar que la fuerzacon la que la cuerda presiona radialmente hacia la parte interior de la polea(y por tanto la fuerza ∆N con la que la polea empuja sobre la cuerda) esigual a ∆T∆θ.(b) Como consecuencia de demostrar que la fuerza normal, por unidad delongitud es igual a T
r. Esto es una especie de presion, la cual, para un valor
dado de T , se hace mayor cuando r decrece. (Esto ayuda a explicar por que,cuando una cuerda esta apretada alrededor de un paquete, penetra en estemas profundamente cuando pasa por las esquinas, en donde r es menor).(c) Si el contacto no es perfectamente liso, los valores de la tension en losdos extremos del arco pueden diferir en una cierta cantidad ∆T antes deque ocurra el deslizamiento. El valor de ∆T es igual a µ∆N , donde µ esel coeficiente de rozamiento entre la cuerda y la barra. Deducir de ellos larelacion exponencial
T (θ) = T0eµθ
Donde T0 es la tension aplicada en uno de los extremos de un arco arbitrario(θ) de la cuerda y T (θ) es la tension en el otro extremo.(d) El resultado anterior expresa la posibilidad de mantener una gran tensionT en una soga, enrrollandola alrededor de un cilindro; un fenomeno que hasido explotado por los marineros desde tiempo inmemorial. Suponga, porejemplo, que el valor de µ entre el contacto de la soga y un bolardo en unmuelle es de 0,2. Para T0 = 100 libras, calcular los valores de T correspon-dientes a una, dos, tres y cuatro vueltas completas de la soga alrededor delbolardo. (Es interesante notar que T es directamente proporcional a T0. Estopermite a los marineros producir un tiron mas o menos fuerte, a voluntad,haciendo pasar una soga alrededor de un tambor de un motor continuamenteen rotacion. El dispositivo puede describirse como un amplificador de fuerza).
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Figure 1: Cuerda sobre barra cilındrica
Solucion:Los triangulos ∆AOC y ∆BOC son congruentes.
(a) La tension es tangencial a la circunferencia que describe la seccion transver-sal del cilindro, como se muestra en la figura. Por resultados geometricos,el vector tension, es perpendicular al radio del cilindro. Recordemos que latension senala a ambos lados de la circunferencia. Si escogemos un angulomuy, muy pequeno, y lo bisecamos para formar un triangulo rectangulo, setiene las siguientes sumas de fuerza:
ΣFr = ∆N − 2∆Tsen(∆θ
2) = 0
2
ΣFθ = ∆Tcos(∆θ
2)−∆Tcos(
∆θ
2) = 0
Estos resultados se basan, bajo la suposicion de que el coeficiente de roza-miento es muy pequeno. Ahora bien, si hacemos una proximacion, mediantelos polinomios de Taylor, se tiene que sen(∆θ
2) ' ∆θ
2reemplazando en la
ecuacion de sumatoria de fuerzas en r se tiene:
ΣFr = ∆N − 2∆T∆θ
2= 0
Operando algebraicamente se tiene:
∆N = ∆θ∆T
Como se querıa demostrar.
(b) Partimos del hecho anterior ∆N = ∆θ∆T dividamos ambos lados dela igualdad por ∆θr y se obtiene que:
∆N
∆θr=
∆T
r
Como la fuerza de rozamiento es casi nula, se tiene que :
∆N
∆θr=T
r
Llamese ∆l = ∆θr entonces se tiene
∆N
∆l=T
r
Ahora, hagamos paso al lımite:
lim∆l→0
∆N
∆l= lim
∆l→0
T
r
Esto, nos da como resultado la derivada de la norma con respecto a l, portanto:
dN
dl=T
rQue era, lo que se querıa demostrar.
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(c) Con la fuerza de rozamiento se tiene que:
ΣFr = ∆N − (T + ∆T )sen(∆θ
2)− Tsen(
∆θ
2) = 0
Y por la parte angular se tiene:
ΣFθ = (T + ∆T )cos(∆θ
2)− Tcos(∆θ
2)−∆fr = 0
Por tanto se tiene que:
∆Tcos(∆θ
2) = ∆fr
Si hacemos una aproximacion al rededor de cero para las funciones seno ycoseno se tiene que:
ΣFr = ∆N −∆T∆θ
2− 2T
∆θ
2= 0
∆T = ∆fr
Se sabe que la fuerza de rozamiento es igual a ∆fr = ∆Nµ depejando ∆Nse tiene ∆N = ∆T
µreemplazando se tiene:
ΣFr =∆T
µ−∆T
∆θ
2− 2T
∆θ
2= 0
Reorganizando los terminos se tiene:
∆T
µ=
∆θ
2(∆T + 2T )
Dividimos por ∆θ y multiplicamos por µ ambos lados de la igualdad y nosqueda:
∆T
∆θ=µ
2(∆T + 2T )
Ahora, hagase paso al lımite:
lim∆θ→0
∆T
∆θ= lim
∆θ→0
µ
2(∆T + 2T )
Cuando ∆θ tiende a cero, entonces ∆T tambien tiende a cero, por ley deaccion y reaccion, por tanto:
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dT
dθ= Tµ
Ahora, reorganizando los terminos, he integrando con respecto a θ se tienelo siguiente: ∫ θ0
0
dT
dθ
1
Tdθ =
∫ θ0
0µdθ
Esto, nos da como resultado:
ln(T (θ0))− ln(T0) =θ0
µ
Usuando propiedades de los logritmos se tiene que:
T (θ0)
T0
= eθ0µ
Entonces la tension sera igual a:
T (θ0) = T0eθ0µ
Que era, lo que se querıa demostrar.
(d) Por la ecuacion anterior, se sabe que:
T (θ0) = 100lb eθ00.2
Entonces se tienen los siguientes resultados:
T (2π) = 351.4lb
T (4π) = 1234.5lb
T (6π) = 4337.6lb
T (8π) = 15240.6lb
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