ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL

PROYECTO DE CALCULO DIFERENCIAL

TEMA:OPTMIZACION (MAXIMOS Y MINIMOS)

INTEGRANTES:MA. LORENA GALLO AVILAADRIANA ESTEFANIA SORIA BARRERA

PARALELO:1

ANO:2014 2015

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERALComplementar el conocimiento terico adquirido mediante la realizacin de un proyecto en el que se pueda demostrar experimentalmente y analticamente el tema de mximos y mnimos.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

1) Resolver el ejercicio para determinar el modelo general de resolucin para este tipo de problema.

2) Resolver el problema con los valores numricos y encontrar nuestras incgnitas.

3) Mostrar mediante una maqueta que realmente el punto hallado es donde se minimiza la longitud de la cuerda.

Marco Terico: Mximos y Mnimos

Definicin.Supngase que S, el dominio de f, contiene el punto c. Decimos que:i. f(c) es el valor mximo de f en S, si f(c) f(x) para toda x en Sii. f(c) es el valor mnimo de f en S, si f(c) f(x) para toda x en Siii. f(c) es un valor extremo de f en S, si es un valor mximo o valor mnimo;iv. la funcin que queremos maximizar o minimizar es la funcin objetivo.Una seccin interesante de la derivada son los Mximos y Mnimos. Se refiere a la forma de obtener los puntos mximos y mnimos de una funcin, lo cual tiene aplicaciones muy importantes como se ver ms adelante.Losmximosymnimosde unafuncin, conocidos colectivamente comoextremos de una funcin, son los valores ms grandes o ms pequeos, que toma una funcin en un punto situado ya sea dentro de una regin en particular de la curva (extremo local) o en eldominiode la funcin en su totalidad (extremo global o absoluto).De manera ms general, los mximos y mnimos de unconjunto(como se define enteora de conjuntos son loselementos mayores y menores en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo bsico de laoptimizacinmatemtica.Supngase que la grfica de cualquier funcin es la curva mostrada en la y = f(x) figura 1.1 En ella, los puntos A y E se llaman mximos; los puntos C y G se llaman mnimos; y los puntos B, D, F y H se llaman puntos de inflexin.

Figura 1.1No se puede definir un mximo como el punto ms alto de la curva, pues obsrvese en la figura 1.1 que el punto H est ms alto que los puntos mximos A y E. Por la misma razn, no se puede definir un mnimo como el punto ms bajo de la curva, pues vase que el punto F est ms abajo que el punto mnimo C.Es aqu donde aparece la teora de absolutos y relativos: Para mximo absoluto:Sea f una funcin de valores reales definida en un conjunto S de nmeros reales. Se dice que la funcin f tiene un mximo absoluto en el conjunto S si existe por lo menos un punto c en S tal quef(x)f(c) para todo x en SEl nmero f(c) se llama mximo absoluto de f en S.

Para mximo relativo:Una funcin f, definida en un conjunto S, tiene un mximo relativo en un punto c de S si existe un cierto intervalo abierto I que contiene c tal quef(x)f(x) para todo x situado en IS.

Para mnimo absoluto se tiene:Para una funcin con las mismas caractersticas que la definida en el mximo absoluto, se dice que f tiene un mnimo absoluto en S si existe un punto d en S tal quef(x)f(d) para todo x en S.

Para mnimo relativo:

Una funcin f, definida en un conjunto S, tiene un mximo relativo en un punto c de S si existe un cierto intervalo abierto I que contiene c tal quef(x)f(x) para todo x situado en IS.La diferencia entre cada concepto es que un mximo relativo en c es un mximo absoluto en un cierto entorno de c, si bien no es necesariamente un mximo absoluto en todo el conjunto S. Naturalmente, cualquier mximo relativo es, en partcula, un mximo absoluto.Un punto de inflexin es aquel en donde cambia el sentido de la curvatura.Una caracterstica importantsima de los puntos mximos y mnimos es que all la tangente es horizontal, es decir, pendiente cero. Entonces para localizar dichos puntos debe seguirse el siguiente procedimiento:

PROBLEMA

Se est realizando una maqueta de un telefrico que va de una montaa de 39.1 cm a un mirador de 21.4 cm de alto. Se desea conocer a qu distancia entre las dos torres se debe colocar la estacin, la mima que tiene 5.1 cm de altura; si se sabe que distancia entre la montaa y el mirador es de 55 cm.

1) Resolver el ejercicio para determinar el modelo general de resolucin para este tipo de problema.ABL1L2XYK

ABL1L2XYK

ABL1L2XYK

Se sabe que L1 + L2 es la longitud total de la cuerda, entonces: (en funcin de X)= = = =

Funcin respecto a XL= +

Primera derivada respecto a X= +

Puntos crticos L= 0= + = 0

=

Ahora procedemos a calcular la segunda derivada, para determinar si lo anteriormente hallado es mximo o mnimo:

= + = + = + = +

< 0 Mximo > 0 Mnimo

Se sabe que L1 + L2 es la longitud total de la cuerda, entonces: (en funcin de Y)= = = =

Funcin respecto a YL= +

Primera derivada respecto a Y.= +

Encontramos puntos crticos L =0= = 0

= ( =

Ahora procedemos a calcular la segunda derivada, para determinar si lo anteriormente hallado es mximo o mnimo

=

= +

< 0 Mximo > 0 Mnimo

2) Encontrar el valor de X, Y en el cual la longitud L sea menor3416.3L1L2xy55

Se debe tener en cuenta la altura de la estacin A= 39.1- 5.1 = 34 cm B= 21.4 - 5.1 = 16.3 cm

K = X + Y x = 55 - y y = 55 - x

Se sabe que L1 + L2 es la longitud total de la cuerda, entonces: ( en funcin de x)= = = =

Nuestra funcin a utilizar para encontrar X

L= L1 + L2L= + L= +

La primera derivada en funcin de X= +

Encontramos puntos crticos L=0

X1= -50.64 X2= 17.82

Se sabe que L1 + L2 es la longitud total de la cuerda, entonces: ( en funcin de Y )= = = =

Nuestra funcin a utilizar para encontrar Y

L= L1 + L2L= + L= +

La primera derivada en funcin de Y= +

Encontramos puntos crticos L=0

y1= 105.64 y2= 37.18

Comprobamosk= x + yk = 37.18 + 17.82 = 55

Evaluamos nuestros puntos encontrados en la segunda derivada para saber si son mximos o mnimos

= +

= +

= 0.028 > 0 Mnimo

3) Mostrar mediante una maqueta que realmente el punto hallado es donde se minimiza la longitud de la cuerda.

Una vez encontrados los valores de las distancias X y Y, procedemos a calcular la longitud de la cuerda en ese punto

= = = = = = 24.15= 50.38

L= L= 74.53

L= 50.38 + 24.15

Ahora probaremos con dos puntos diferentes para darnos cuenta, que el punto hallado si es donde se minimiza la cuerda.X= (17.82+2.7)= = = = = = 26.20= 48.42

L= L= 74.62

L= 48.42 + 26.20

X= (17.82-2.7)= = = = = = 22.57= 52.40

L= L= 74.97

L= 52.40 + 22.57

Funcin Graficada

CONCLUSIONES

Por medio de este proyecto se logr observar los mximos y mnimos de la funcin planteada, complementando el conocimiento terico adquirido.

Se pudo determinar el modelo general de resolucin para este tipo de ejercicios.

Se alcanz a determinar las variables del problema, las cuales permitieron seguir con la resolucin.

Por medio de la maqueta se muestra la minimizacin de la cuerda, en el punto hallado.

BIBLIOGRAFA

Purcell, Varberg, Rigdon. Clculo. Octava edicin. Prentice Hall

http://es.wikipedia.org/wiki/Extremos_de_una_funci%C3%B3n

http://www.fic.umich.mx/~lcastro/11%20maximos%20y%20minimos.pdf