CUCEI Universidad de Guadalajara “Análisis de la respuesta transitoria” Jorge Rivera Dominguez.

CUCEIUniversidad de

Guadalajara

“Análisis de la respuesta transitoria”

Jorge Rivera Dominguez

INTRODUCCIÓN

Contando con el modelo matemático de un sistema de control, es conveniente el análisis del desempeño del sistema (Respuesta transitoria y Respuesta en estado estable).

INTRODUCCIÓN

En el análisis y diseño de sistemas de control, debemos tener una base de comparación del desempeño de diversos sistemas de control. Esta base se configura especificando las señales de entrada y comparando las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada.

INTRODUCCIÓN

Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Si el sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, una función escalón sería la adecuada; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor.

INTRODUCCIÓN

Función impulso unitario

(en el tiempo)

f(t) = (t)

(en la frecuencia)

F(s) = 1

INTRODUCCIÓN

Función escalón unitario

(en el tiempo)

f(t) = (t)

(en la frecuencia)

F(s) = 1/s

INTRODUCCIÓN

Función rampa unitaria

(en el tiempo)

f(t) = t

(en la frecuencia)

F(s) = 1/s^2

INTRODUCCIÓN

La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado final. Por respuesta en estado estable, nos referimos a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito.

INTRODUCCIÓN

Y(t) = YT(t) + YEE(t)

Ejemplo:

Y(t) = - exp(-2t) + 1

INTRODUCCIÓN

Si la salida de un sistema de control en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error de estado estable. Este error indica la precisión del sistema. Al analizar un sistema de control, debemos examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estable.

INTRODUCCIÓN

Se define el orden de un sistema cuya función de transferencia es

F(s)=b(s)/a(s)

como el grado del polinomio del denominador a(s).

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Considerando el sistema de la figura. La relación entrada-salida es la siguiente:

Vo/Vi = 1/(Ts+1)

donde T es la constante de tiempo definida como T=RC


La figura muestra el diagrama a bloques del sistema de primer orden. A continuación alimentaremos este bloque con algunas de las funciones previamente vistas y analizaremos su salida.


Para la entrada impulso unitario Vi(s)=1, se obtiene a la salida del sistema

Vo(s)=1/(Ts+1)

vo(t)=(1/T)exp(-t/T)


En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza el 86.5% del valor final. En t=3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95, 98.2 y 99.3%, respectivamente del valor final. Para t4T, la respuesta permanece dentro del valor final.


De la ecuación vo(t)=(1/T)exp(-t/T), se observa que el estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación del tiempo de respuesta para alcanzar el valor final es de cuatro o cinco constantes de tiempo.

t


Para la entrada escalón unitario Vi(s)=1/s, se obtiene a la salida del sistema

Vo(s)=1/(Ts+1)s

vo(t)=1-exp(-t/T)


Para la entrada rampa unitaria Vi(s)=1/s^2, se obtiene a la salida del sistema

Vo(s)=1/(Ts+1)s^2

vo(t)=t-T+Texp(-t/T)


Observamos que la salida del sistema excitado con la rampa presenta un error de estado estable.

e(t)=vi(t)-vo(t)

e(t)=T(1-exp(-t/T))

Conforme t la señal de error tiende a T. Y mientras T sea mas pequeño, también lo será el error.


En el análisis anterior, se demostró que para la entrada rampa unitaria, la salida es

vo(t) = t - T + Texp(-t/T)

Para la entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida es

vo(t) = 1 - exp(-t/T)


Por último, para la entrada impulso unitario, que es la derivada de la entrada escalón unitario, la salida es

vo(t)=(1/T)exp(-t/T)

Claramente podemos deducir que la respuesta a la derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta del sistema para la señal original.


Esta es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Los sistemas lineales y variantes con el tiempo y los no lineales no poseen esta propiedad.

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Función de trasferencia

Frecuencia de resonancia

LCs

LR

s

LCsVisVo

1/1

)()(

2

LCn

1


Frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento exponencial

Frecuencia resonante natural

Factor de amortiguamiento

LR

2

22 nd

n


Sustituyendo

Igualando el denominador a cero, obtenemos sus raíces

22

2

2)()(

nn

n

sssVisVo

1

1

22

21

nn

nn

s

s


Expresando las raíces en la F de T

11)()(

22

2

nnnn

n

sssVisVo

222

22

nndn

nd

dn

nd

nd

j

j

1

1

1

2

2

2

dndn

n

jsjssVisVo

2

)()(


1.- Subamortiguado

Respuesta transitoria oscilatoria

2.- Amortiguamiento

critico

Respuesta empieza a oscilar

3.- Sobreamortiguado

Respuesta nunca oscila

4.- No amortiguado Respuesta oscilatoria o críticamente estable

10

1

1

0


Respuesta del sistema al escalón unitario

1.- Subamortiguado , raíces complejas

10

22

2

2)(

nn

n

ssssVo

2222 221

2)(

nnnn sss

sssCBs

sA

sVo

2222 221

)(nnnn ssss

ss

sVo

)(

1)cos(1)(

2tsintetVo dd

tn


La señal de error se define como

Esta señal de error presenta una oscilación senoidal amortiguada, y en estado estable no existe error.

)(

1)cos()()()(

2tsintetVotVite dd

tn


Si el factor de amortiguamiento es cero, la respuesta se vuelve no amortiguada y las oscilaciones continúan indefinidamente.

4.- No amortiguado , raíces imaginarias 0

)cos(1)( ttVo d

)cos()()()( ttVotVite d


2.- Amortiguamiento critico , raíces reales e iguales, en donde

Este resultado se obtiene suponiendo que se aproxima a la unidad en la ecuación del caso (1), y usando el límite siguiente

1

0d

tn

t nn teetVo 1)(

ttsinlimtsinlim

nnd

2

2

2 1

)1(11

)(1


3.- Sobreamortiguado , raíces reales negativas y diferentes

1

11)(

22

2

nnnn

n

ssssVo

212

21

121)(

se

se

tVotsts

n


Especificaciones de la respuesta transitoria

Tiempo de retardo (Td).- Es el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar por primera vez la mitad del valor final.

Tiempo de crecimiento (Tr).- Es el tiempo requerido para que la respuesta crezca del 0 al 100% de su valor final o del 10 al 90%.


Tiempo de pico (Tp).- Es el tiempo en el cual la respuesta del sistema alcanza el primer pico del sobreimpulso.

Máximo sobreimpulso (Mp).- Es el valor pico máximo de la respuesta medido desde la unidad.


Máximo sobreimpulso porcentual.-

Tiempo de establecimiento (Ts).- Es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango alrededor del valor final

especificando en porcentaje absoluto del valor final. Se usa generalmente el 5% o 2%

%100)(

)()(

C

CTpc


Para un criterio del

2%

Para un criterio del

5%

21

1;

eMp

Tp

tanTr

d

n

d

dn

Ts

4

n

Ts

3

CUCEI Universidad de Guadalajara “Análisis de la respuesta transitoria” Jorge Rivera Dominguez.

Documents

Transcript of CUCEI Universidad de Guadalajara “Análisis de la respuesta transitoria” Jorge Rivera Dominguez.