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EL CUBO DE RUBIK Y OTROS PASATIEMPOS

MATEMATICOS

Pedro Alegra (pedro.alegria@ehu.es)

INDICE

1. Introduccion.

2. Grupos de permutaciones.

3. Puzzles de permutaciones.

4. Elementos de teora de grupos.

5. Grafos de Cayley.

6. Estructura del grupo del cubo de Rubik.

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1. INTRODUCCION.

El cubo magico, con su desconcertante habilidad para sembrar la confusion de forma instantaneanos proporciona un ejemplo excelente de accion de un grupo sobre un conjunto. Probablementeya habra visto ud. el rompecabezas incluso es posible que tenga uno propio. Pero, en casonegativo, ha aqu una breve descripcion. Se trata de un cubo dividido en 27 cubos pequenosdispuestos de 3 por cada arista. Dentro hay un mecanismo ingenioso que mantiene unidos a loscubitos de tal manera que se pueda girar cada una de las caras del cubo magico alrededor de sucentro.

Las caras visibles de los cubitos estan coloreadas; en su disposicion primitiva cada cara del cubomagico, formada por nueve cuadraditos, es monocroma y las seis caras tienen colores diferentes.Si se gira una cara y luego otra y otra, despues de cuatro o cinco movimientos los coloresaparecen completamente revueltos. Invariablemente surgen dos preguntas. La primera es comofunciona?

Dejamos al lector el trabajo de descubrirlo por su cuenta. Necesitara la imaginacion desbordantedel inventor del cubo, el Profesor Erno Rubik de Budapest, si quiere encontrar una respuestapor la va del pensamiento. La segunda es como se puede resolver?, o sea, que reglas sencillasy facilmente memorizables, sirven para devolver al cubo a su disposicion original partiendo decualquier configuracion?. Aunque en la actualidad existen muchos algoritmos validos distintosno deseamos desilusionarle dandole detalles. Estas paginas intentan indicar el papel que juega lateora de grupos en el estudio del cubo magico. En ellas se maneja el cubo como una ilustracionexcelente de la teora de acciones de grupos sobre conjuntos.

Segun escribio el propio Erno Rubik:

Para m este objeto es un ejemplo admirable de la belleza rigurosa, de la gran riquezade las leyes naturales; es un ejemplo sorprendente de las posibilidades admirables delespritu humano para probar su rigor cientfico y para dominar esas leyes... Es elejemplo de la unidad de lo verdadero y de lo bello, lo que para m significan la mismacosa. Todo esto podra parecer exagerado a proposito de un simple juguete, pero confoen que quienes, aprovechando sus posibilidades, intenten penetrar en este mundocientfico y asimilarlo, haran descubrimientos y seran de mi opinion. Mi conviccionntima es que jugando con el, reflexionando sobre el, podemos alcanzar algo de lalogica pura del Universo, de su esencia sin lmites, de su movimiento perpetuo en elespacio y en el tiempo.

Ah estan las palabras de ese hombre que nacio en Budapest (Hungra) en 1.944, hijo de ingenieromecanico y mujer de letras (poetisa y artista), que estudio Bellas Artes, obtuvo el diploma deIngeniero, diploma de designer (Artes Decorativas) y se dedico a la ensenanza en la EscuelaSuperior... De como surgio su idea de crear el juego, y como se ha desarrollado en nuestros dasdan fe las numerosas paginas de Internet dedicadas al Cubo. Solo mencionare como dato curiosoque las posiciones aproximadas y posibles en uno de ellos que tenga 3 3 eran de unas:

43,252,003,274,489,856,000.

Aunque recomponerlo es, con la ayuda de un libro, bastante facil.

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2. GRUPOS DE PERMUTACIONES.

Una afirmacion no exagerada dice que los grupos miden la simetra. El estudio de las simetrasde figuras geometricas ilustran esta afirmacion. El cubo de Rubik y otros puzzles similares ponende manifiesto esta simetra a traves de manipulaciones mecanicas.

Una buena excusa para estudiar los grupos de permutaciones y, por extension, los grupos finitos,puede ser el construir un modelo teorico para resolver puzzles del tipo del cubo de Rubik. Comodijo Hilbert, el arte de hacer matematicas es escoger un buen ejemplo del cual aprender. As queen nuestro caso, el ejemplo es el famoso (aunque ya no tanto) cubo de Rubik.

A lo largo de este libro se ha puesto de manifiesto, y todava insistiremos mas en ello, que lateora de grupos subyace en una sorprendente variedad de situaciones aparentemente alejadasentre s. Basicamente, siempre que observemos algun tipo de simetra, no debemos sorprendernosque en esencia tengamos un grupo que sirva de modelo. No solo el cubo de Rubik tiene muchassimetras, la cristalografa, la fsica de las partculas, incluso la distribucion de las plantas en unasiembra, son algunos ejemplos donde se presentan simetras. Ya Einstein se preguntaba comolas matematicas, siendo al fin y al cabo un producto del pensamiento humano independiente dela experiencia, estan tan admirablemente adaptadas a los objetos reales.

Observemos algunos detalles basicos sobre el cubo de Rubik y otros puzzles que hacen adecuadoel estudio de los grupos de permutaciones para obtener un contexto unificado de planteamientoy resolucion de los mismos.

Los pasatiempos que citaremos tienen en comun lo siguiente: se trata de puzzles que consistenen varias piezas moviles conectadas a un mecanismo que controla sus posibles movimientos, yque tienen las cinco caractersticas siguientes:

1. Las piezas moviles pueden enumerarse de forma que cada movimiento del puzzle corres-ponde a una unica permutacion de los numeros {1, 2, . . . , n} que utilizamos para distinguircada pieza.

2. Si una permutacion del conjunto anterior corresponde a mas de un movimiento del puzzle,entonces las dos posiciones alcanzadas por los dos movimientos deben ser indistinguibles.

3. Cada movimiento tiene un inverso, es decir existe otro movimiento que recompone el puzzlea la posicion de la que se haba partido.

4. Si dos movimientos corresponden a dos permutaciones cualesquiera, la secuencia de los dosmovimientos consecutivos corresponde a la composicion de las permutaciones.

5. Cada puzzle debe tener una posicion final (o solucion) que quien lo realiza puede, enprincipio, alcanzar.

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3. PUZZLES DE PERMUTACIONES.

3.1. Puzzle del quince de Sam Loyd.

Se trata de un cuadrado 4 4 con los quince primeros numeros naturales (se elimina el numero16).

Cada cuadrado numerado representa un bloque deslizante que solo puede moverse al cuadradoen blanco. Cada movimiento consiste en deslizar un cuadrado numerado sobre el cuadrado enblanco. Si representamos el cuadrado en blanco con el numero 16, un movimiento sera unadeterminada permutacion del conjunto {1, 2, . . . , 16}.Debemos observar que no toda posicion inicial tiene solucion (entendiendo por solucion conseguirque cada cuadrado alcance una posicion determinada). Por ejemplo, las posiciones de las figurassiguientes no pueden alcanzarse desde una hasta la otra.

Vamos a detenernos un momento en la entretenida historia que afecta a este juego.

A finales de la decada de 1870, el puzzle hizo furor en los Estados Unidos y la fiebre se exten-dio rapidamente, como una plaga. Tambien en Europa hubo muchos aficionados a este juego, y encualquier lugar se vea a gente completamente absorta en el juego. Rapidamente se organizaronconcursos y desafos en relacion a este puzzle.

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En 1880 la fiebre alcanzo su punto culminante, pero pronto se enfrio al entrar en escena lasarmas de la Matematica. La teora matematica que subyace en el puzzle probo que solo la mitadde los problemas que podan plantearse tena solucion, independientemente de la estrategiautilizada. Se vio claro entonces por que los organizadores de los concursos ofrecan esas enormesrecompensas a quienes resolvieran ciertos problemas.

El inventor del puzzle fue Sam Loyd, un conocido autor de numerosos problemas de ingenio ymultitud de puzzles. Curiosamente, no pudo patentar su invento pues la regulacion existentepeda que se enviara un modelo sobre el que se pudiera fabricar a partir de el un prototi-po. Cuando se le pregunto en la Oficina de Patentes si se poda resolver, el contesto que eramatematicamente imposible. Se le conteso que, al no ser un modelo que funcionara, no podapatentarse, lo que satisfizo a Loyd.

La explicacion a esto es que Loyd construyo su modelo con las quince piezas en orden salvolas dos ultimas, la 14 y la 15, que las coloco intercambiadas. El problema que planteaba eraconseguir que todas las piezas estuvieran en orden, solo deslizando las piezas en el cuadro.

Los 1000 dolares ofrecidos a quien primero diera la solucion no se entregaron nunca; sin embargo,el interes de la gente dio pie a numerosas anecdotas al respecto.

Veamos cuales son los posibles movimientos en este puzzle. En figura suponemos que u, d, l, r, re-presentan los numeros de arriba, abajo, izquierda y derecha del cuadrado libre, respectivamente,y representa cualquier otro numero.

Hay cuatro movimientos basicos:

U = colocar la pieza u en el lugar de 16, (u, 16).

D = colocar la pieza d en el lugar de 16, (d, 16).

L = colocar la pieza l en el lugar de 16, (l, 16).

R = colocar la pieza r en el lugar de 16, (r, 16).

Es facil verificar que las cinco propiedades que definen un puzzle de permutacion se verifican eneste ejemplo.

Como todos los movimientos son reversibles y cualquier sucesion de ellos puede dar como resul-tado la posicion I (todas las piezas en orden creciente) o la posicion II (todas las piezas en orden

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salvo la 14 y la 15 que estan intercambiadas), toda la variedad de distribuciones de los numerosse puede dividir solamente en dos clases disjuntas.

Ahora bien, para saber si una posicion inicial pertenece a una clase o a la otra, basta contar elnumero de inversiones entre las piezas (alteraciones en su orden natural, sumando el numero dela fila del cuadro vaco). Si dicho numero es par, pertenece al modelo resoluble I, y si es impar,al irresoluble II.

En general, si el tablero del juego tiene n filas y m columnas, el grafo del puzzle es siemprebipartito, es decir tiene dos componentes conexas, una de ellas formada por permutacionespares y otra formada por permutaciones impares.

3.2. Anillos hungaros.

Este puzzle consiste en dos o mas crculos que se entrecruzan, cada uno de los cuales tiene piezasnumeradas (o coloreadas), algunas de las cuales pueden pertenecer a mas de un crculo. Unmovimiento del puzzle consiste en girar un crculo y, por tanto, todas las piezas contenidas enel. Las piezas estan igualmente espaciadas y las que estan en mas de un crculo pueden moversea lo largo de cualquiera de dichos crculos. El objetivo del juego es, como usualmente, colocarlas piezas en su posicion original.

Por simplicidad, consideraremos el puzzle que consiste en solo dos crculos, con seis piezascontenidas en cada uno de ellos, como se indica en la figura.

Las piezas con los numeros 5 y 10 pueden moverse a lo largo de cualquier crculo. Observemosque cada movimiento corresponde a una unica permutacion de los numeros {1, 2, . . . , 10}. Porejemplo, girar el crculo de la izquierda en sentido antihorario corresponde a la permutacion

i = (1, 2, 3, 4, 5, 10)

y graficamente a la figura siguiente:

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Sin embargo, al girar el de la derecha en el mismo sentido, la permutacion es

d = (5, 6, 7, 8, 9, 10)

lo que corresponde a la figura:

El producto de ambas permutaciones no es conmutativo, pues

id = (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10)di = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

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Se puede probar que una combinacion de estas dos permutaciones da un 3-ciclo, lo que, segunla teora de estos grupos, permite deducir que el puzzle tiene solucion para cualquier posicioninicial.

3.3. Equator.

Este puzzle consiste en tres bandas circulares situadas en una misma esfera, cada una de lascuales tiene 12 piezas cuadradas y cada banda intersecta a las demas segun un angulo de 90grados. Cada par de crculos se intersecta en dos puntos o nodos y en cada tal nodo existe unapieza del puzzle compartida por las dos bandas circulares. Hay pues un total de 6 nodos y elnumero total de piezas moviles es pues 3 12 6 = 30.Sobre la esfera se pinta un mapa de la tierra. La banda longitudinal recorre el ecuador, una bandavertical pasa a traves de Norteamerica y la otra a traves de Europa y Africa. Un movimientodel puzzle consiste en girar una de las bandas en cualquier direccion. Sucesivos movimientospueden cambiar la orientacion de una pieza. Cuando las 30 piezas estan colocadas de modo queel puzzle es un mapa correcto de la Tierra, decimos que el puzzle esta resuelto.

Para mayor facilidad en el dibujo, utilizaremos la proyeccion de Mercator para representar el glo-

bo terrestre. El puzzle tiene entonces las siguientes piezas, en la posicion resuelta:

123

11314

11211

12221

4 23 24 15 25 26 10 27 28 20 29 30567

16177

987

19187

El numero 1 corresponde as al polo norte y el 7 al polo sur.

Veamos como un movimiento afecta a la posicion de una pieza. Por ejemplo, un movimientodel ecuador corresponde a una unica permutacion del conjunto {1, 2, 3, . . . , 30}. Ahora bien, unapieza, aun estando en su lugar, puede tener cualquier orientacion. Para asignar una orientacion,que es simplemente una indicacion sobre el angulo en que la pieza esta girada, daremos unentero 0, 1, 2 o 3. En primer lugar, si una pieza no esta en su posicion correcta, le daremos unaorientacion de 0. Si esta en su posicion correcta, la orientacion sera 0, 1, 2 o 3 dependiendo delangulo que forma con la orientacion correcta, segun el esquema siguiente:

Por ejemplo, a una pieza que se encuentra girada 90 grados en sentido contrario a las agujas delreloj de su orientacion correcta, le asignaremos como orientacion un 3.

En general, las piezas del puzzle se pueden representar mediante el producto cartesiano delconjunto de posiciones {1, 2, . . . , 30} y el del conjunto de orientaciones {0, 1, 2, 3}:

S = {(m,n) : 1 m 30, 0 n 3}.

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Cada movimiento corresponde a una unica permutacion del conjunto S, lo que equivale tambiena una permutacion del conjunto T = {1, 2, . . . , 120}.Una ultima observacion: si una pieza esta correctamente orientada, la pieza de sus antpodastambien esta correctamente orientada.

Esquema de la estrategia de solucion:

En primer lugar, ignora la orientacion de las piezas. Trata de colocar las piezas en su posicioncorrecta. Una interesante propiedad de este puzzle es que un programa de ordenador utilizadoen teora de grupos, el GAP, es muy eficiente para resolver esta parte de la solucion (sobre todoporque no es tan eficiente para resolver el correspondiente problema del cubo de Rubik).

A continuacion, debemos conseguir la orientacion correcta mediante una lista de movimientos delos nodos (puntos donde los crculos se intersectan) disenados para este proposito. No incluiremosaqu dicha lista pues no es nuestro objetivo en este libro divulgativo.

3.4. Materball.

Se trata de una esfera con 32 piezas de 8 colores distintos. Supondremos que la esfera esta en unaposicion fija en el espacio, centrado en el origen. Un camino geodesico del polo norte al polo surse llamara lnea longitudinal y un camino geodesico cerrado paralelo al ecuador se llamara lnealatitudinal. Hay 8 lneas longitudinales y 3 latitudinales. En coordenadas esfericas, las lneaslongitudinales forman angulos que son multiplos de pi/4, es decir, = npi/4, n = 1, . . . , 8, y laslneas latitudinales estan a angulos = npi/4, n = 1, 2, 3.

3.5. Cubo de Rubik 2 2.

El cubo de Rubik de bolsillo tiene seis caras, cada una de las cuales tiene 2 2 = 4 facetas, quehacen un total de 24.

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Fijemos una orientacion del cubo de Rubik en el espacio. De este modo, podemos etiquetar cadauna de las seis caras como f (front), b (back), l (left), r (right), u (up), d (down), como en eldibujo. Tiene 8 cubos moviles. Cada cara del cubo esta asociada a un corte de 4 subcubos quecomparten una faceta con la cara. Cada cara, junto con los cuatro cubos que forman su corte,puede girarse 90 grados en el sentido de las agujas del reloj. Denotaremos este movimientopor la letra mayuscula correspondiente a la letra que indica la cara. Por ejemplo, F indica elmovimiento que gira la cara de enfrente 90 grados en el sentido de las agujas del reloj.

Las 24 facetas del cubo las nombraremos como indica la figura:

Cada una de ellas puede representarse por tres letras, xyz, donde x es la cara en la que seencuentra, e y, z indican las dos caras adyacentes a ella. De este modo, tenemos:

Cara de enfrente: 9 = flu, 10 = fru, 11 = fld, 12 = frd;

Cara de atras: 17 = bru, 18 = blu, 19 = brd, 20 = bld;

Cara derecha: 13 = rfu, 14 = rbu, 15 = rfd, 16 = rbd;

Cara izquierda: 5 = lbu, 6 = lfu, 7 = lbd, 8 = lfd;

Cara superior: 1 = ulb, 2 = urb, 3 = ulf, 4 = urf;

Cara inferior: 21 = dlf, 22 = drf, 23 = dlb, 24 = drb.

3.6. Cubo de Rubik 3 3.

Mucho se ha escrito sobre el cubo de Rubik. Aqu unicamente introduciremos alguna notacionbasica para hacer patente que el cubo es de hecho un puzzle de permutacion.

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El cubo de Rubik tiene seis caras, cada una de las cuales tiene 3 3 = 9 facetas, para un totalde 54 facetas. Denotaremos cada una de ellas como 1, 2, 3, . . . , 54 como sigue:

Entonces, los generadores correspondientes a las seis caras del cubo pueden escribirse en notacioncclica disjunta como:

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F = (17, 19, 24, 22)(18, 21, 23, 20)(6, 25, 43, 16)(7, 28, 42, 13)(8, 30, 41, 11);B = (33, 35, 40, 38)(34, 37, 39, 36)(3, 9, 46, 32)(2, 12, 47, 29)(1, 14, 48, 27);L = (9, 11, 16, 14)(10, 13, 15, 12)(1, 17, 41, 40)(4, 20, 44, 37)(6, 22, 46, 35);R = (25, 27, 32, 30)(26, 29, 31, 28)(3, 38, 43, 19)(5, 36, 45, 21)(8, 33, 48, 24);U = (1, 3, 8, 6)(2, 5, 7, 4)(9, 33, 25, 17)(10, 34, 26, 18)(11, 35, 27, 19);D = (41, 43, 48, 46)(42, 45, 47, 44)(14, 22, 30, 38)(15, 23, 31, 39)(16, 24, 32, 40).

El tamano del grupo generado por estas permutaciones es

227 314 53 72 11 = 43,252,003,274,489,856,000.

La notacion para las facetas sera similar a la usada para el cubo de Rubik 2 2. Las facetas delas esquinas tendran la misma notacion y las de los ejes se denotaran por xy, donde x es la caraen que se encuentra la faceta e y es la cara de la que la faceta es borde. Tomando como orden elsentido de las agujas del reloj y empezando con la esquina superior derecha de cada cara:

Delante: 19 = fru, 21 = fr, 24 = frd, 23 = fd, 22 = fld, 20 = fl, 17 = flu, 18 = fu;Detras: 35 = blu, 37 = bl, 40 = bld, 39 = bd, 38 = brd, 36 = br, 33 = bru, 34 = bu;

Derecha: 27 = rbu, 29 = rb, 32 = rbd, 31 = rd, 30 = rfd, 28 = rf, 25 = rfu, 26 = ru;Izquierda: 11 = lfu, 13 = lf, 16 = lfd, 15 = ld, 14 = lbd, 12 = lb, 9 = lbu, 10 = lu;

Encima: 3 = urb, 5 = ur, 8 = urf, 7 = uf, 6 = ufl, 4 = ul, 1 = ulb, 2 = ub;Debajo: 43 = drf, 45 = dr, 48 = drb, 47 = db, 46 = dlb, 44 = dl, 41 = dlf, 42 = df.

El cubo central (invisible) y cada uno de los seis cubos en el centro de cada cara permaneceninvariables con cada movimiento del puzzle; por lo tanto estos proporcionan el sistema de ejesfijos de la figura. Ademas todo movimiento permuta vertices en vertices y ejes en ejes.

Algunas variantes del cubo de Rubik como la de la ilustracion tienen la dificultad adicional deque las caras estan orientadas.

3.7. Pyraminx.

El pyraminx es un puzzle con forma de tetraedro (solido platonico de cuatro caras). Cada unade las cuatro caras esta dividida en nueve facetas triangulares.

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Hay pues un total de 4 9 = 36 facetas en el pyraminx. Las denotaremos como sigue:

Fijemos una orientacion del pyraminx en el espacio, de modo que podamos hablar de delante,izquierda, derecha y abajo. El propio tetraedro esta subdividido en sub-tetraedros como sigue:por cada cara x (que puede ser f, l, r, d) hay un vertice opuesto Vx del solido. Llamaremosprimer corte X1 al contenido entre la cara x y el primer plano paralelo a la cara que contiene ax; segundo corte X2 al comprendido entre este primer plano y el siguiente paralelo al anterior ytercer corte X3 al tetraedro pequeno que contiene solo al vertice Vx.

Por cada cara x podemos realizar una rotacion en sentido de las agujas del reloj de 120 gradossobre X1, rotacion que tambien llamaremos X1. Del mismo modo, es posible realizar una rotacionde 120 grados en el sentido de las agujas del reloj al segundo corte X2, que tambien llamaremosX2. Por ultimo, X3 representara tambien el giro de 120 grados en el sentido de las agujas delreloj sobre el tercer corte X3. Estos movimientos permutan los nombres de las 36 facetas por loque pueden verse como una permutacion del conjunto 1, 2, . . . , 36.

Por ejemplo, la notacion cclica disjunta para este movimiento es

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F3 = (23, 22, 36).

Los movimientos basicos son los siguientes:

F1 = (2, 32, 27)(8, 31, 26)(7, 30, 12)(19, 29, 11)(18, 28, 3)(1, 17, 13)(6, 15, 4)(5, 16, 14)F2 = (9, 35, 25)(21, 34, 24)(20, 33, 10)F3 = (23, 22, 36)R1 = (3, 36, 17)(11, 34, 16)(10, 35, 6)(24, 31, 5)(23, 32, 1)(2, 22, 18)(9, 20, 7)(8, 21, 19)R2 = (12, 33, 15)(26, 29, 14)(25, 30, 4)R3 = (27, 28, 13)L1 = (1, 28, 22)(5, 29, 21)(4, 33, 9)(14, 34, 8)(13, 36, 2)(3, 27, 23)(11, 26, 24)(12, 25, 10)L2 = (6, 30, 20)(16, 31, 19)(15, 35, 7)L3 = (17, 32, 18)D1 = (13, 18, 23)(14, 19, 24)(15, 20, 25)(16, 21, 26)(17, 22, 27)

(28, 32, 36)(29, 31, 34)(30, 35, 33)D2 = (4, 7, 10)(5, 8, 11)(6, 9, 12)D3 = (1, 2, 3)

El resto de movimientos puede hacerse combinando secuencialmente los anteriores.

4. ELEMENTOS DE TEORIA DE GRUPOS.

En 1910 el matematico O. Veblen y el fsico J. Jeans discutan sobre la reforma de los planes de estudio en

la Universidad de Princeton. Jeans propona sacar de los programas la teora de grupos razonando que era

un tema que nunca sera util a la fsica. Sabemos que la teora de grupos continuo ensenandose. Por ironas

del destino la teora de grupos se convirtio en uno de los temas centrales de la fsica y todava domina el

pensamiento de todos los que estamos empenados en entender las partculas fundamentales de la naturaleza.

Freeman J. Dyson, 1964.

Sea X un conjunto finito y SX el conjunto de todas las permutaciones de X en s mismo. Esteconjunto SX se llama el grupo simetrico de X con la operacion de composicion, usualmentedenotado por Sn si suponemos que X = {1, 2, . . . , n}.Por ejemplo, si X = {1, 2, 3}, S3 = {I, s1 = (12), s2 = (23), s3 = (132), s4 = (123), s5 = (13)},cuya tabla de multiplicar es la siguiente:

I s1 s2 s3 s4 s5Is1s2s3s4s5

I s1 s2 s3 s4 s5s1 I s3 s2 s5 s4s2 s4 I s5 s1 s3s3 s5 s1 s4 I s2s4 s2 s5 I s3 s1s5 s3 s4 s1 s2 I

Queremos en estas lneas introducir la terminologa y tecnicas que nos permitan analizar ma-tematicamente los puzzles de permutacion. Para ello definimos los siguientes conceptos.

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Sea X un grupo finito y g1, g2, . . . , gn elementos de SX . Llamamos G al conjunto de todos losposibles productos de la forma

g = x1x2 . . . xm, m > 0,

donde cada xi es un elemento de g1, g11 , g2, g12 , . . . , gn, g

1n . El grupo que origina el conjunto G

es un grupo de permutaciones con generadores g1, g2, . . . , gn.

Se llama orden de un grupo al numero de elementos que tiene, y para cualquier elemento g deun grupo, se llama orden de g al menor entero positivo m tal que gm = 1, caso de que exista(si no existe, se dice que g es de orden infinito). Si G es un grupo de permutaciones con un sologenerador, se dice que G es cclico.

Se llama conmutador de dos elementos g y h de un grupo G al elemento

[g, h] = g h g1 h1.

En particular, si g y h conmutan, su conmutador es la identidad del grupo.

Si volvemos al cubo de Rubik e interpretamos los movimientos como elementos del grupo de per-mutacion del cubo, el orden del movimiento [R,U ] es seis, es decir se necesitan seis composicionesdel mismo movimiento para obtener la posicion inicial.

En el cubo de Rubik generado por las permutaciones R, L, U, D, F, B en S54 llamaremosconmutador Y al elemento

[F,R1] = F R1 F1 R.Del mismo modo, el conmutador Z es

[F,R] = F R F1 R1.

En un grupo cualquiera G llamamos subgrupo conmutador G al generado por todos losconmutadores [g, h] de G. En el caso del grupo generado por todos los movimientos basicos delcubo de Rubik, el subgrupo conmutador es relativamente grande, es decir, la mayora de losmovimientos del cubo de Rubik puede generarse a partir de conmutadores como Y y Z.

Llamamos conjugacion de dos elementos g y h al elemento

g h = g h g1.

En el cubo de Rubik se puede comprobar que el orden del movimiento RU es cuatro. Decimosque dos elementos g1, g2 de un grupo G son conjugados si existe un elemento h en G tal queg2 = g1 h. Fijado un elemento g de un grupo G, el conjunto

C(g) = {h g h1 : h G}

se llama clase de conjugacion de g. Del mismo modo, si H es un subgrupo de G y g es unelemento fijo de G, el conjunto

H g = {g h g1 : h H}

es el llamado subgrupo conjugado de H.

Estudiaremos ahora el concepto de accion de grupos sobre conjuntos. Decimos que un grupo Gactua sobre un conjunto X si:

a) cada elemento g G define una funcion g : X X;b) la identidad del grupo define la funcion identidad en X;

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c) el producto de dos elementos da lugar a la funcion compuesta.

Si G actua sobre X, decimos que la accion es transitiva si para cada par x, y X existe ung G tal que y = g(x). La accion es libre si la unica g G que deja fijo algun elemento de Xes la identidad.

Un ejemplo de grupo que actua sobre un conjunto es precisamente el grupo simetrico de unconjunto X. Ademas es libre y transitiva.

Si X es el conjunto de las 54 facetas del cubo de Rubik y G el grupo de permutacion generadopor las permutaciones R,L,U,D, F,B, entonces G actua sobre X.

Si G es un grupo que actua sobre un conjunto X, se llama orbita de un elemento x X alconjunto Gx = {g(x) : g G}.Como aplicacion de esta nocion, si llamamos G al grupo de movimientos del cubo de Rubik, Xal conjunto de vertices del cubo y H al subgrupo de G generado por U R, intentar calcular elorden de U R as como la orbita del vertice ufr en X bajo H.Definimos tambien el estabilizador de un elemento x X en G, siendo G un grupo que actuasobre el conjunto X, como el conjunto

stabG(x) = Gx = {g G : g(x) = x}.

Por ejemplo, si X = G y G actua sobre X por la conjugacion g : X X definida por g(x) =g x g1, entonces stabG(x) = {g G : g x = x g} es precisamente el centralizador de xen G.

Si X es el conjunto de las 48 facetas del cubo de Rubik (quitando las fijas), Xc el conjunto defacetas que corresponden a alguna esquina del cubo y Xe el conjunto de facetas de cualquiera delos ejes del cubo, entonces el grupo G del cubo actua sobre X, Xc y Xe. La accion de G sobreX induce la siguiente relacion de equivalencia:

f1 f2 m G : m(f1) = f2.Hay exactamente dos clases de equivalencia u orbitas de G en X: Xc y Xe. En particular laaccion de G, tanto sobre Xc como sobre Xe, es transitiva.

Sea ahora F el subgrupo de G que preserva los ejes y las esquinas (no mueve un subcubo deuna esquina a otra esquina pero s puede rotarlo y puede intercambiar los colores de un eje perono moverlo a otro eje). Tambien la relacion de equivalencia inducida por la accion de F sobreX tiene como clases de equivalencia Xc y Xe y sobre ambas la accion es transitiva. Un hechointeresante es que F es el producto directo (producto cartesiano con la operacion inducida porla composicion de G) de Fc y Fe, donde Fc es la interseccion de F con el grupo simetrico de Xcy Fe la interseccion de F con el grupo simetrico de Xe.

Definiremos a continuacion la nocion de coclase. Si G es un grupo y H un subgrupo de G, unacoclase a la izquierda de H en G es el conjunto g H, para cualquier g G; del mismomodo, una coclase a la derecha de H en G es el conjunto H g, , para cualquier g G. Elconjunto de todas las coclases a la izquierda se denota por G/H y el de coclases a la derechapor H\G.Un resultado importante lo constituye el teorema de Lagrange.

Teorema. Si G es un grupo finito y H un subgrupo de G, entonces card (G/H) = card G/card H.

Como consecuencia, el orden de cualquier subgrupo de un grupo finito es divisor del orden delgrupo.

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5. GRAFOS DE CAYLEY.

Una interpretacion grafica de los grupos de permutacion, en particular los grupos de puzzles depermutacion, viene dada por los grafos de Cayley. Recordemos que un grafo es una coleccion depares (V,A) formados por vertices o nodos V y aristas o lados A que unen pares de vertices, esdecir A es un subconjunto de {(v1, v2) : v1, v2 V }.Si v, w V , un camino de v a w es una sucesion finita de aristas que empiezan en v y terminan enw. Decimos que un grafo es conexo si cualquier par de vertices esta conectado por algun camino.El numero de aristas que confluyen en un vertice v se llama valencia de v. Si dos verticesestan conectados, se define la distancia entre ellos como el numero de aristas que contiene elcamino de menor tamano uniendo dichos vertices (por convenio, la distancia es infinita si losvertices no estan conectados). El diametro de un grafo es el maximo entre las distancias de dosvertices.

Dado un grupo de permutaciones G = {g1, . . . , gn} SX se define el grafo de Cayley de Gaquel cuyos vertices son los elementos de G y las aristas verifican la condicion siguiente:

x, y G, (x, y) A i {, . . . , n} : y = gi x o x = gi y.

Por ejemplo, si G = {R,L,U,D, F,B} S54 es el grupo del cubo de Rubik, cada posicion delcubo corresponde a un vertice del grafo de Cayley. Cada vertice de este grafo tiene valencia 12.Ademas, una solucion del cubo de Rubik es un camino desde el vertice asociado a la posicionactual hasta el vertice correspondiente al elemento identidad y la distancia entre estos verticeses el numero de mnimo de movimientos necesarios para resolver el cubo. El diametro del grafode Cayley es el menor numero de movimientos necesario para resolver el cubo en el peor de loscasos.

Para la mayora de los puzzles de permutacion, el diametro del grafo de Cayley asociado no esconocido.

6. ESTRUCTURA DEL GRUPO DEL CUBO DE RUBIK.

Resumiremos por ultimo algunos resultados sobre la estructura del grupo del cubo de Rubik(similar discusion se puede hacer con los grupos correspondientes a los demas puzzles de per-mutacion). Denotaremos como usualmente G,V,E y F al grupo generado por los movimientosbasicos, al conjunto de vertices, ejes y facetas de las piezas moviles, respectivamente.

1) G actua sobre cada uno de los conjuntos V,E, F .

Por ello, cualquier movimiento de G puede verse como elemento del grupo simetrico SVo SE o SF . Como estos grupos son diferentes, podemos distinguir tres formas de ver unelemento g G: gV SV , gE SE o gF SF .

2) La aplicacion fV E : G SV SE dada por fV E(g) = (gV , gE) es un homomorfismo. Ademasla imagen de fV E es isomorfa al conjunto {(x, y) SV SE : x, y son ambas permutacionespares o ambas impares}.Esto significa que no existe ningun movimiento del cubo de Rubik que intercambie los doselementos de un eje pero deje invariantes a todas las demas piezas pues, de ser posible, laimagen de fV E contendra un elemento (x, y) con x = 1 (los ejes quedan invariantes) e yun 2-ciclo. De este modo, x es impar e y par.

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3) El nucleo de fV E , que llamaremos K, es un subgrupo normal de G.

Este conjunto corresponde a los movimientos que pueden reorientar (intercambiar o rotar)cualquier subcubo pero no cambia un subcubo con otro. Por ejemplo, el movimiento

((D2) R (U2) B)2,

que gira la esquina ufr en el sentido horario y la esquina bld en sentido antihorario,pertenece a K (recordemos que x y = y1 x y).

4) G es el producto semidirecto de K con la imagen de fV E .

Decimos que G es producto semidirecto de H1 y H2 si G = H1 H2, la identidad es elunico elemento en comun de H1 y H2 y H1 es subgrupo normal de G.

5) G esta generado por los movimientos

U B L U L1 U1 B1 y R2 F L D1 R1.

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REFERENCIAS.

Como jugar y divertirse con el Cubo magico de Rubik de Andre Warustel, traducido al espanolpor Mario Merlino de Altadena Editores en 1.981.

Groups and Geometry de Peter M. Neumann, Gabrielle A. Stoy y E.C. Thompson, Vol.II,Cap.19. The Mathematical Institute, Oxford. Abril 1.980.

Groups and Symmetry de David Farmer, Mathematical World, 5, AMS, 1.996.

Notas sobre el cubo de Rubik de David Singmaster, Altabena. 1.981.

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INTRODUCCIN.GRUPOS DE PERMUTACIONES.PUZZLES DE PERMUTACIONES.Puzzle del quince de Sam Loyd.Anillos hngaros. Equator.Materball.Cubo de Rubik 2 2.Cubo de Rubik 3 3. Pyraminx.

ELEMENTOS DE TEORA DE GRUPOS.GRAFOS DE CAYLEY.ESTRUCTURA DEL GRUPO DEL CUBO DE RUBIK.