CUANTIFICADORES

Ejemplos: Los siguientes enunciados, son proposiciones?

1. Los rboles X dan buenos frutos.

2. El nmero 3 divide a y .

3. Todas las expresiones de la forma 5x son mltiplos de 5.

4. a

b

Los enunciados anteriores no son proposiciones porque desconocemos a qu conjunto pertenecen X,

x, y, a, b; adems desconocemos de la cantidad de valores que cumplen con dichos enunciados.

Observacin: A los enunciados anteriores se les conoce como enunciados abiertos.

Definicin

En lgica matemtica, teora de conjuntos y matemtica en general, los cuantificadores son

smbolos usados para indicar cuntos y qu tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con

cierta propiedad. Existen varios tipos de cuantificadores, los ms utilizados son:

Cuantificador universal: ; , ; , ; . . .x x y x y

Cuantificador existencial: ; , ; , ; . . .x x y x y

Ejemplos:

1. ; 2x x Proposicin V

2. ; 2 3x x Proposicin F, la inecuacin no cumple para x = 1

3. , ; 1x y x y Proposicin F, la ecuacin no cumple para x = 0

4. 2; 0x x Proposicin V, cumple para x = 0

INFERENCIA LGICA

Ejemplo:

Si aumenta el precio del petrleo, entonces subir el precio de los pasajes.

Qu podemos concluir, si no sube el precio de los pasajes?

Definicin

Una Inferencia Lgica es una estructura de proposiciones llamadas premisas, en base a las cuales

inferimos otra proposicin llamada conclusin.

Premisa 1

Premisa 2

Conclusin

Ejemplo:

Cada vez que me esfuerzo ms, obtengo mejores resultados. Cuando obtengo mejores resultados,

mis padres se alegran. Por lo tanto, cada vez que me esfuerzo ms, mis padres me sonren.

Simblicamente

Premisa 1 Cada vez que me esfuerzo ms, obtengo mejores resultados. p q

Premisa 2 Cuando obtengo mejores resultados, mis padres se alegran. q r

Conclusin Cada vez que me esfuerzo ms, mis padres me sonren. p r

Reglas de inferencia

Son argumentos vlidos, tautolgicos, es decir, ya no se necesita la demostracin de su validez.

A continuacin presentamos las ms importantes.

MODUS PONENS (MP)

Estructura:

1

2

P :Premisas

P :

Conclusin y

x y

x

Ejemplo:

Enunciado

Si los rboles dan buenos frutos, entonces progresar econmicamente.

Sucede que los rboles dan buenos frutos. Luego, progresar

econmicamente.

Proposiciones simples p: los rboles dan buenos frutos

q: progresar econmicamente

Premisas

P1: Si los rboles dan buenos frutos, entonces

progresar econmicamente.

P2: Sucede que los rboles dan buenos frutos.

1

2

P :

P :

p q

p

q

Conclusin Progresar econmicamente

Ejercicio:

Enunciado

Si la contaminacin no disminuye, entonces los rboles no darn buenos

frutos. Sucede que la contaminacin no disminuye. Luego, los rboles no

darn buenos frutos.

Proposiciones simples

Premisas

Conclusin

SILOGISMO DISYUNTIVO (SD)

Estructura:

1

2

P :Premisas

P :

Conclusin y

x y

x

o tambin

1

2

P :Premisas

P :

Conclusin

x y

y

x

Ejemplo:

Enunciado Siembro hortalizas o siembro legumbres. No siembro hortalizas. Por lo

tanto, siembro legumbres.

Proposiciones simples p: Siembro hortalizas

q: siembro legumbres

Premisas P1: Siembro hortalizas o siembro legumbres.

P2: No siembro hortalizas. 1

2

P :

P :

p q

p

q

Conclusin Siembro legumbres.

Ejercicio:

Enunciado

Suben el sueldo mnimo vital o las personas trabajan horas extras para

suplir sus necesidades. Las personas no trabajan horas extras para suplir

sus necesidades. Es as que, suben el sueldo mnimo vital.

Proposiciones simples

Premisas

Conclusin

MODUS TOLLENS (MT)

Estructura:

1

2

P :Premisas

P :

Conclusin

x y

y

x

Ejemplo:

Enunciado

Si se desforestan los bosques amaznicos, los animales de la zona se

quedan sin hogar. Los animales de la zona no se quedan sin hogar. Luego,

no se desforestan los bosques amaznicos.

Proposiciones simples p: se desforestan los bosques amaznicos

q: los animales de la zona se quedan sin hogar

Premisas

P1: Si se desforestan los bosques amaznicos, los

animales de la zona se quedan sin hogar.

P2: Los animales de la zona no se quedan sin hogar.

1

2

P :

P :

p q

q

p

Conclusin No se desforestan los bosques amaznicos.

Ejercicio:

Enunciado

Las anchovetas pueblan las costas peruanas porque hay abundancia de

plancton. Las anchovetas no pueblan las costas peruanas. Por lo tanto, no

hay abundancia de plancton.

Proposiciones simples

Premisas

Conclusin

SILOGISMO HIPOTTICO PURO (SHP)

Estructura:

1

2

P :Premisas

P :

Conclusin

x y

y z

x z

Ejemplo:

Enunciado

Los leoncillos estn bien alimentados, debido a que las leonas tienen

leche. Los leoncillos estn bien alimentados, entonces los leoncillos

llegarn a la edad adulta. Por lo tanto, si las leonas tienen leche, los

leoncillos llegarn a la edad adulta.

Proposiciones simples

p: los leoncillos estn bien alimentados

q: las leonas tienen leche

r: los leoncillos llegarn a la edad adulta

Premisas

P1: Los leoncillos estn bien alimentados, debido a

que las leonas tienen leche.

P2: Los leoncillos estn bien alimentados, entonces

llegarn a la edad adulta.

1

2

P :

P :

q p

p r

q r

Conclusin Si las leonas tienen leche, los leoncillos llegarn a la

edad adulta.

Ejercicio:

Enunciado

Sube el precio del pan porque sube el precio de la harina. Si sube el

precio del pan, tendr que hacer dieta. De modo que, tendr que hacer

dieta, puesto que sube el precio de la harina.

Proposiciones simples

Premisas

Conclusin

Ejercicios: Da la conclusin de cada una de las siguientes premisas e indica la regla de inferencia

que ests empleando.

1) ( )p q t

p

2) ( )p q t

p

3) ( )p q t

q t

4) ( )

( )

p q t

q t r

5) ( ) ( )

( )

t p q t

t p

6) ( )

( )

p q t

q t

7)

( )

p

q t p

8) p h

t p