cuantifiadores

8/12/2019 cuantifiadores

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CAPITULO 1

Logica

En logica se analiza, entre otros muchos temas, si un razonamiento dado es correcto o no.

Si bien sus aplicaciones practicas son muy diversas, mencionaremos apenas dos: en las

demostraciones (en matematicas), y en la elaboracion de programas (en computacion).

1.1. Proposiciones

1.1.1. Proposicion

Definicion 1.Unaproposicion es una oracion declarativa que es verdadera o falsa, pero noambas cosas a la vez. Notacion: para las proposiciones se emplean letras y, por convenio,

se empieza con p,q,r, s, ..., tambien usaremosP,Q,R,S, ...

1.1.2. Valor de verdad

Definicion 2. El Valor de Verdad (VV) de una proposicion dada, o bien es verdaderosi la misma es verdadera, o bien es falsa en caso contrario. Notacion: en el primer caso

simbolizaremos conTy conFen el segundo caso.

Observacion 1. Denotaremos verdadero, ya sea conT, como en estas notas, o tambienconV,como en el texto de referencia o en las practicas. Un motivo de la primera eleccion

es para aminorar confusiones con el smbolo .

Observacion 2. Evitaremos simbolizar falso y verdadero con 0 y 1, respectivamente, lacual es una notacion muy difundida, e.g. en tecnicas digitales, o en la Sec. 2.7 del texto

de referencia (2), etc.

1.1.3. Proposicion compuesta

Definicion 3. Unaproposicion compuestaes un proposicion obtenida por la combinacionde una o mas proposiciones dadas mediante el uso de operadores (o conectivos) logicos.

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1.1. PROPOSICIONES CAP ITULO 1. LOGICA

1.1.4. Tabla de verdad

Definicion 4.La Tabla de Verdad (TV) muestra en forma sistematica los valores de verdadde una proposicion compuesta en funcion de lostodas las combinaciones posiblesde los

valores de verdad de las proposiciones que la componen.

1.1.5. Operadores o conectivos logicos

Comentario 1. Consideraremos 6 operadores (o conectivos) logicos:

1) Negacion (not)2) Conjuncion (and)3) Disyuncion (inclusiva) (or)4) Disyuncion exclusiva (xor)

5) Implicacion (material implication)6) Doble implicacion o bicondicional (eqv)

en donde, en negrita, se destacan los conectivos logicos de uso tan frecuente que han si-

do incorporados en pseudolenguajes, tecnicas digitales, y en lenguajes de programacion.

En el libro de texto de referencia (2) se emplean casi indistintamente las frases opera-

dor logico y conectivo logico excepto para la negacion, en donde prefiere la primera

(porque solo hay una proposicion p).

Comentario 2. Ocasionalmente intercalaremos programas demos en algunos temas. Losmismos seran escritos en el lenguaje Python (1) y, para su seguimiento, sera suficiente un

conocimiento rudimentario del mismo. Con respecto a Python:

1) Es gratis, con mas precision, posee una licencia de codigo abierto denominada Python

Software Foundation License, y que es compatible con la Licencia Publica General

de GNU a partir de la version 2.1.1, e incompatible en ciertas versiones anteriores;

2) Esta disponible para las principales plataformas (Linux, MS-Windows, Mac OS y

otras), y las nuevas versiones son lanzadas simultaneamente;

3) Tiene diversos entornos integrados para el desarrollo, de cuales mencionamos el idle;4) La distribucion oficial incluye una amplia variedad de extensiones (denominadas

modulos);5) No obstante, hay bastante incompatibilidad entre las versiones 2.x y las 3.x. Todos

los demos en el curso asumen versiones de Python 3.x.

La catedra dispone de demos completos autocontenidos para aquellos interesados en ex-

perimentar en la computadora.

1.1.6. Negacion

Definicion 5. Sea puna proposicion. El enunciado no se cumple p es otra proposicion

llamada la negacion de p.Notacion: la negacion de p se denota con py se lee no p.LaTVde la negacion es la dada en la Tabla1.1.

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CAP ITULO 1. L OGICA 1.1. PROPOSICIONES

p p

F T

T F

Tabla 1.1: Negacion (not).

1.1.7. Conjuncion

Definicion 6. Sean p yq proposiciones. La proposicion compuesta p yq es la propo-sicion que es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y es falsa en los demas

casos.Notacion: la conjuncion de py q se denota con p qy se lee py q. LaTVde la

conjuncion es la dada en la Tabla1.2.

p q p qF F F

F T F

T F F

T T T

Tabla 1.2: Conjuncion (and).

1.1.8. Disyuncion (o disyuncion inclusiva)

Definicion 7. Sean py q proposiciones. La proposicion p oq es la proposicion que esfalsa cuando tanto p como q son falsas y es verdadera en los demas casos. LaTVde la

disyuncion inclusiva es la Tabla1.3.Notacion: la disyuncion de py qse denota con p q

y se lee p oq.

Observacion 3. En ciencias jurdicas, para evitar ambiguedades, se suele preferir decirpy/oq, lo cual justifica el calificativo disyuncion inclusiva, esto es, p qes verdadera

cuando, o bien pes verdadera yqes falsa, o bienpes falsa yqes verdadera, o bien ambas

py q son verdaderas.

p q p q

F F F

F T T

T F T

T T T

Tabla 1.3: Disyuncion (o disyuncion inclusiva,or).

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1.1. PROPOSICIONES CAP ITULO 1. LOGICA

1.1.9. Disyuncion exclusiva

Definicion 8. Sean pyqproposiciones. La proposicion o bien po bienq es aquella quees verdadera cuando exactamente solo una de la proposiciones es verdadera, y es falsa en

los demas casos.Notacion: la disyuncion exclusiva de p yqse denota con pqy se puede

leer como o bien p o bien q. LaTVde la disyuncion exclusiva es la dada en la Tabla

1.4.

p q p q

F F F

F T T

T F T

T T F

Tabla 1.4: Disyuncion exclusiva (xor).

Observacion 4. LasTVde la disyuncion exclusiva p qy de (p q) (p q) son lasmismas, como se muestra en la Tabla1.5.

p q p q (p q) (p q)

F F F F

F T T T

T F T TT T F F

Tabla 1.5: LasTVde la disyuncion exclusivap qy de (p q) (p q) son las mismas.

Tarea 1. Mostrar que lasTVde la disyuncion exclusiva p qy de (p q) (p q) sonlas mismas.

Observacion 5. Una implementacion de la disyuncion exclusiva p q, teniendo en cuen-ta la Observ.4, es la mostrada en la funcion logical xor(p,q). Tener presente que las

lneas 6-12 fueron agregadas para definir un demo autocontenido pero en los subsecuentesejemplos las omitiremos. Por otra parte, en Python se acostumbra a: (i) no poner un espa-

cio entre el nombre de las funciones y el parentesis de comienzo de la lista de argumentos;

(ii) dejar una lnea en blanco antes de que empiece una funcion nueva.

Observacion 6. Lneas de codigo auxiliares, tales como 6-12 en la siguiente funcion,deben omitirse en las evaluaciones.

1 # I n i d l e 3 op en t h i s f i l e an d h i t F5 ( r un modul e ) .

2 d e f l o g i c a l x o r ( p , q ) :

3 z = ( p an d n o t q ) or (n o t p and q )

4 r e t u r n z

5

6 # Te st

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CAP ITULO 1. L OGICA 1.2. PROPOSICIONES CONDICIONALES

7 i f n a m e == m a i n :

8 t e s t d a t a = [ [ F al s e , F a l s e ] , [ F al s e , T ru e ] ,

9 [ T r u e , F a l s e ] , [ T r u e , T r u e ] ]

10 f o r ( p , q ) i n t e s t d a t a :

11 p r i n t ( p , q , l o g i c a l x o r ( p , q ) )

12 # e nd

1.1.10. Tablas de verdad con mas de dos proposiciones

Con dos proposiciones pyq, se observa que lasTVtienen 4 filas,e.g. las correspon-

dientes a los conectivos logicos (excepto la negacion);

En general, laTVde una proposicion obtenida por la combinacion denproposicio-

nes, tendra 2n filas. Este resultado se demuestra en conteo (y suele preguntarse en el

parcial 2, globalizador y finales!);Si bien no es importante el orden dado a las filas en unaTV, sin embargo, puede ser

conveniente adquirir un criterio sistematico, para no omitir alguna fila combinatoria

y/o no repetir alguna (un error algo frecuente en evaluaciones).

Ejemplo 1.

Si una proposicion compuesta esta formada por 2, 3, 4, y 5 proposiciones, entonces

hay 4, 8, 16, y 32 filas en suTV, respectivamente, lo cual no parece tan extenso de

hacer;

Pero con 200, 300, 400, y 500 proposiciones habran, aproximadamente, 1 106,

2 1090, 2 10120, y 3 10150 filas en suTV, respectivamente, lo cual es muy caro,

aun computacionalmente. Adelantamos que leyes de crecimiento como 2n son muy

malas noticias en computacion.

1.2. Proposiciones condicionales

1.2.1. Implicacion

Definicion 9.Seanp y q proposiciones. La implicacion sip entonces q es la proposicionque es falsa unicamente cuando pes verdadera yq es falsa, y es verdadera en los demas

casos.Notacion: la implicacion si p entonces q, se denota con p q.Nomenclatura:

en la implicacion p q, la p es el antecedente (o premisa o hipotesis), y la q es el

consecuente(o conclusiono tesis). LaTVde la implicacion es la dada en la Tabla1.6.

Observacion 7.

La definicion de la implicacionp q es mas general que en el lenguaje corriente,i.e.

a diferencia del sentido comun, no hay una relacion causa-efecto entre la premisapy la conclusionq, lo cual es sorprendente para el neofito (verlo en la Gua de Trabajos

Practicos (GTP));

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1.2. PROPOSICIONES CONDICIONALES CAP ITULO 1. LOGICA

p q p q

F F T

F T T

T F F

T T T

Tabla 1.6: Implicacion.

Una forma util de entender el VVde la implicacion es pensarla como un contrato

legal.Tarea: leer el ejemplo alusivo en el libro de texto (2);

Observacion 8. Hay muchas maneras de expresar la implicacion p q (todas se pre-guntan en las evaluaciones!). Mencionamos 12:

1) Si p, entoncesq.2) Si p,q.3) pes suficiente paraq.4) qsi p.5) qcuando p.6) Una condicion necesaria para pesq.7) pimplicaq.8) psolo siq.9) Una condicion suficiente paraq es p.

10) qsiempre que p.11) qes necesaria para p.12) qse deduce de p.

Observacion 9. En los cursos de logica se analiza con mas cuidado el siguiente detalleen el fraseo de la implicacion si pentoncesq:

Normalmente la palabrasi introduce al antecedente. O sea, lo que viene a continua-cion de la palabrasi es la premisa p;

La excepcion es cuando aparece la frase solo si, en donde se invierten los terminos.

O sea,lo que sigue despues delsolo sies la conclusion q.

Ejemplo 2. [por Eli Haye]. Sea p: ser santafesino, yq: ser argentino. Se tiene:

1) Si (es santafesino), entonces (es argentino).

2) Si (es santafesino), (es argentino).

3) (Ser santafesino) es suficiente para (ser argentino).

4) (Es argentino) si (es santafesino).

5) (Es argentino) cuando (es santafesino).

6) Una condicion necesaria para (ser santafesino) es (ser argentino).

7) (Ser santafesino) implica (ser argentino).8) (Es santafesino) solo si (es argentino).

9) Una condicion suficiente para (ser argentino) es (ser santafesino).

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10) (Es argentino) siempre que (sea santafesino).

11) (Ser argentino) es necesario para (ser santafesino).

12) (Ser argentino) se deduce de (ser santafesino).

Observacion 10. Una implementacion de la implicacion p q es la mostrada en lafuncion implicacion(p,q).

1 d e f i m p l i c a c i o n ( p , q ) : # d on d e p y q s o n v a l o r e s b o o le an o s

2 i f ( p == F a l s e ) :

3 z = T r u e

4 e l s e :

5 z = q

6 r e t u r n z

1.2.2. Recproca, contrapositiva (o contra-recproca) e inversa

Definicion 10. A partir de la implicacion p q se definen:

La proposicionq pes larecprocade p q;

La proposicion q pes lacontrapositiva(o contra-recproca) de p q;

La proposicion p qes lainversade p q.

Observacion 11. LasTVde la implicacion p qy de su contrapositiva q psonlas mismas, ver la Tabla1.7.

Tarea 2. Mostrar que lasTVde la recproca y de la inversa son las mismas.

p q p q q p

F F T T

F T T T

T F F F

T T T T

Tabla 1.7:Las TV de la implicacion p q y de su contrapositiva q p son las

mismas.

1.2.3. Doble implicacion (o bicondicional)

Definicion 11. Sean pyqproposiciones. La doble implicacion (o bicondicional) de pyqes la proposicion compuesta que es verdadera cuando py q tienen los mismos valores de

verdad y es falsa en los demas casos.Notacion: la doble implicacion de p y q se denota

con p q. LaTVde la doble implicacion es la dada en la Tabla1.8.

Observacion 12. Hay varias maneras de expresar la doble implicacion p q (y sepreguntan en las evaluaciones!). Mencionamos 4:

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p q p q

F F T

F T F

T F F

T T T

Tabla 1.8: Doble implicacion (o bicondicional,eqv).

1) psi y solo siq.2) pes necesario y suficiente para q.3) Si pentoncesq y recprocamente.4) pssi p.

Observacion 13. LaTVde la doble implicacion (o bicondicional) p q y de (p

q) (q p) son las mismas, ver la Tabla1.9.Esto es util en las demostraciones.

p q p q (p q) (q p)

F F T T

F T F F

T F F F

T T T T

Tabla 1.9: LasTVde la doble implicacion p qy de (p q) (q p) son las mismas.

Observacion 14. , LasTVde la doble implicacion (o bicondicional) p q y de (p q) (p q) son las mismas, como se muestra en la Tabla 1.10.

p q p q (p q) (p q)

F F T T

F T F F

T F F F

T T T TTabla 1.10: LasTVde la disyuncion exclusivapqy de (pq)(pq) son las mismas.

Observacion 15. La Observ.14es util en programacion, pues una implementacion de ladoble implicacion p qes la mostrada en la funcionlogical eqv v1(p,q).

1 d e f l o g i c a l e q v v 1 ( p , q ) : # d o nde p y q s on v a l o r e s b o ol e an o s

2 z = ( p and q ) or (n o t p an d n o t q )

3 r e t u r n z

Observacion 16. Tambien se puede programar la doble implicacion p q como semuestra en la funcion logical eq v2(p,q), con menos operaciones booleanas a la

vista, una binaria y una unaria.

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prioridad de operador nombre

precedencia logico

1 negacion

2 conjuncion (and)

3 disyuncion (or)

4 implicacion

5 doble implicacion

Tabla 1.11: Reglas de precedencia de los operadores logicos.

1 d e f l o g i c a l x o r ( p , q ) : # d on d e p y b s o n v a l o r e s b o o le an o s

2 z = ( p a nd n o t q ) or (n ot p and q )

3 r e t u r n z

4

5 d e f l o g i c a l e q v v 2 ( p , q ) :6 z = n ot l o g i c a l x o r ( p , q )

7 r e t u r n z

1.2.4. Reglas de precedencia de los operadores logicos

La proposicion compuesta (p q) (r) es la conjuncion de p qy de r;

Para reducir el numero de parentesis se conviene que la negacion se aplica antes que

los demas operadores,e.g. la proposicion (p) q, se reduce a p q, pero (p) q

no es lo mismo que (p q);En general se acostumbra, si no hay ambiguedades, utilizar las reglas de precedencia

(RP) dadas en la Tabla1.11. Empero, si hay dudas, entonces emplear los parentesis;

Ejemplo: la notacion p q r quiere significar (p q) r. De ningun modo

equivale, por ejemplo, a p (q r), una (fatal) errata vista en examen;

LasRPse usan libremente tanto en los libros como en laGTPy en las evaluaciones.

1.2.5. Tautologa, contradiccion y contingencia

Definicion 12. Una proposicion compuesta que siempre es verdadera, no importando losVVde sus proposiciones componentes, se denomina tautologa.

Definicion 13. Una proposicion compuesta que siempre es falsa, no importando los VVde sus proposiciones componenentes, se denominacontradiccion.

Definicion 14. Una proposicion compuesta que no es una tautologa ni una contradiccionse denominacontingencia.

Ejemplo 3. En la Tabla1.12se muestra un ejemplo de una tautologa y de una contradic-cion.

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p p p p p p

F T T F

T F T F

Tabla 1.12:Un ejemplo de una tautologa (la columna p p siempre es T), y de unacontradiccion (la columna p psiempre esF).

Equivalencia Logica (EL) Ley

p F p 1

p T p identidad

p T T dominacion 2

p F F

p p p idempotencia 3

p p p

(p) p doble negacion 4

p q q p conmutativas 5

p p q p

Tabla 1.13: Tabla deEL de usomuy frecuente (continua en la Tabla1.14).

1.2.6. Equivalencia logica

Definicion 15. Se dice que las proposiciones p y q son logicamente equivalentes (LE), o que p y q definen una equivalencia logica, siempre que p q es una tautologa.Notacion: cuando py q sonLE se denota con pq.

Observacion 17. El smbolo no es un operador (o conectivo) logico, puesto que p qno es una proposicion compuesta, sino que quiere indicar que p q es una tautologa.

Ejemplo 4. En las Tablas1.13-1.14se listan las equivalencias logicas de uso muyfre-cuente en las evaluaciones.

Ejemplo 5. En las Tablas1.15-1.16se incluye listados deEL relacionadas con condicio-

nales y bicondicionales, respectivamente.

Tarea 3. Verificar cada una de las leyes listadas en las Tablas1.13-1.16, e.g. como sehace en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6. Leyes de De Morgan para dos proposiciones. En las Tablas1.17-1.18sedemuestra, por medio de unaTVque:

(p q) p q, que puede enunciarse como: no (po q)

es equivalente a (nop) y (noq);

(p q) p q, que puede enunciarse como: no (py q)es equivalente a (nop) o (noq).

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EL Ley

(p q) r p (q r) asociativas 6

(p q) r p (q r)

p (q r) (p q) (p r) distributivas 7

p (q r) (p q) (p r)

(p q) p q De Morgan 8

(p q) p q

p (p q) p absorcion 9

p (p q) p

p p T negacion 10

p p F

Tabla 1.14: Tabla deEL de usomuy frecuente (continuacion de la Tabla1.13).

p q q p (c1)

p q p q (c2)

(p q) p q (c3)

p q p q (c4)

p q (p q) (c5)

(p q) (p r) p (q r) (c6)

(p r) (q r) (p q) r) (c7)

(p q) (p r) p (q r) (c8)(p r) (q r) (p q) r) (c9)

Tabla 1.15: AlgunasEL relacionadas con condicionales.

Ejemplo 7. Consigna: justificar, con y sin el uso deTV, si ((p q) (q r)) (pr),es una tautologa, contradiccion o contingencia. Solucion:

ConTV: para el hogar!

SinTV: considerar los pasos detallados en la Ec (1.1);Comentario: la tecnica es eliminar las implicaciones, luego las negaciones, luego

asociar o distribuir para obtener alguna ley conocida (e.g. identidad, dominacion,

absorcion, negacion, etc. Hay muchos caminos... el mejor es el de intentar, e intentar,

e intentar, ...

p q (p q) (q p) (b1)

p q p q (b2)

p q (p q) (p q) (b3)

(p q) p q (b4)

Tabla 1.16: OtrasEL relacionadas con bicondicionales.

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CAP ITULO 1. L OGICA 1.3. CUANTIFICADORES

Sea P(x) un enunciado que incluye a la variable x D. Se denomina Funcion

Proposicional (FP), o predicado, al enunciado P si, para cada valor x D, se tie-

ne queP(x) es una proposicion;

Se denomina Dominio de Discurso (DD) al conjuntoD del enunciado P.

Caso con mas de una variable: un enunciado de la forma P(x1,x2, ...,xn) es elVVdelaFP Pen lan-tupla (x1,x2, ...,xn);

Observacion 18. Algunos conjuntos de uso frecuente:

Enteros: Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...} (notar que el 0 no-tiene signo);

Enteros positivos: Z+ = {1, 2, 3, ...};

Enteros negativos: Z = {..., 3, 2, 1};

Enterosno-negativos: Z+0 = {0, 1, 2, 3, ...};

Numeros reales R.

Observacion 19. En general, elVVde unaFP puede ser, o bienT, o bienF, segunsea el valor de x, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 8.

Sea el enunciado P (x): x es mayor a 4, con x R. Entonces,P(7) esT,y P(2) es

F.

Sea el enunciado Q (x,y): x =y +3, con x R. Entonces, Q(1, 2) esF, y Q(3, 0)

esT.

1.3.2. Cuantificador existencial

Definicion 17. La cuantificacion existencial de la funcion proposicional P conDD D,es la proposicion: P(x) es verdadera para al menos un valor x en el DD. Notacion. Sedenota con x, P(x), donde es elcuantificador existencial.Nomenclatura. La notacionx, P(x) se puede leer indistintamente como sigue:

HayUN xtal que P(x);HayAL MENOS UN xtal que P(x);ParaALGUNx,P(x);EXISTExtal queP(x).

Observacion 20. Cuando todos los elementos delDD se pueden enumerar, o sea x1, x2,... xn(tal como en un demo de algun lenguaje de programacion), se tiene que

x, P(x) P(x1) P(x2) ... P(xn) (1.2)

puesto que la disyuncion es verdadera ssi al menos uno de P(x1), P(x2), ..., P(xn) esverdadero. Esta alternativa la usaremos en un programa demo en la Sec. 1.3.5.

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1.3. CUANTIFICADORES CAP ITULO 1. LOGICA

1.3.3. Cuantificador universal

Definicion 18. Lacuantificacion universalde la funcion proposicional Pcon DD D, esla proposicion:P(x) es verdadera paratodoslos valores xen elDD. Notacion. Se denotacon x, P(x), donde es elcuantificador universal.Nomenclatura. La notacion x, P(x)se puede leer indistintamente como sigue:

ParaTODO xse cumple P(x);ParaCUALQUIER xse cumple P(x);ParaCADA xse cumple P(x).

Observacion 21. Cuando todos los elementos delDD se pueden enumerar, o sea x1,x2, ... xn se tiene que

x, P(x) P(x1) P(x2) ... P(xn) (1.3)

puesto que la conjuncion es verdadera ssi P(x1), P(x2), ..., P(xn) son todas verdaderas.Esta alternativa la usaremos en un programa demo en la Sec.1.3.5.

Observacion 22. En la Tabla1.19se resume cuando una sentencia cuantificada esToF.

Observacion 23. Enfatizamos la importancia que tiene elDD en los ejercicios: para unamisma sentencia cuantificada, el resultado puede ser verdadero o falso dependiendo de

como se haya definido elDD, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 9. Evaluar elVVde x(x2 x) cuando: (i) x R(tema 1); y (ii) x Z(tema2). Solucion: sea x2 x. Restando xmiembro a miembro, se tiene que x2 x x x, y

sacando factor comunxen el lazo izquierdo de esta ultima desigualdad quedax(x1) 0,cuyas soluciones son x 0 o x1. En cuanto al intervalo 0 < x


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sentencia cuando esT cuando esF

cuantificada

x, P(x) P(x) esTparaAL MENOS UN x P(x) esFparaTODO x

x, P(x) P(x) esTparaTODO x Al menos unxtal queP(x) esF

Tabla 1.19: Casos cuando una sentencia cuantificada esToF.

x D. Por la definicion del cuantificador universal, cuando P(x) esTparatodo x D, la proposicionx, P(x) esT. Entonces, cuando(x, P(x)) esT, la proposicion

x, P(x) tambien esT;

Suponga que (x, P(x)) esF. Eso significa que x, P(x) esT. Por la definicion del

cuantificador existencial, la proposicion x, P(x) esTcuando P(x) esTpara algunx D. Pero si P(x) es T para algun x D, eso significa que P(x) es F para

todo x

D. Por la definicion del cuantificador universal, cuando

P(x) esFparatodo x D, la proposicion x, P(x) esF. Entonces, cuando (x, P(x)) esF, laproposicion x, P(x) tambien esF.

1.3.5. Algoritmos para cuantificadores

Ejemplo 10. Algunos lenguajes de programacion preven instrucciones para los cuantifi-cadores xy xen el caso en que todos los elementos delDD se pueden enumerar (o sea

x1, x2, ... xn).Unode tales lenguajes es el Python (1).

Consigna: dados una funcion proposicional P y un dominio de discurso X, escriba fun-ciones en lenguaje Python que simulen el comportamiento de los cuantificadores existen-

ciales y universales.

Solucion: se pueden pensar implementaciones basicas, intermedias (para entusiastas), y

mas avanzadas (para entusiastas), como se hacen a continuacion, en donde las instruccio-

nesany y all son nativas de este lenguaje.

1 # C u a n t i f i c a d o r e s e x i s t e n c i a l e s y u n i v e r s a l e s .

2 # C aso A: i m p l e m en t a c i on e s b a s i c a s .

3 d e f E x i s te X (P , X ) :

4 f o r x i n X :5 i f P ( x ) :

6 r e t u r n T r u e

7 r e t u r n F a l s e

8

9 d e f ParaTod oX ( P ,X) :

10 f o r x i n X :

11 i f n ot P ( x ) :



14

15 # Caso B : i m p le m en t ac i on e s i n t e r m e d i a s ( p a ra e n t u s i a s t a s ) .

16 d e f E x i s te X (P , X ) :

17 i f any ( P ( x ) f o r x i n X) :



15


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20 d e f ParaTodoX ( P ,X) :

21 i f a l l ( P ( x ) f o r x i n X) :



24

25 # Caso C : i m pl e me n t ac i o ne s a v an z ad a s ( p a ra e n t u s i a s t a s ) .

26 d e f E x i s te X (P , X ) :

27 r e t u r n a ny ( P ( x ) f o r x i n X)

28 d e f P a ra T od o X ( P , X ) :

29 r e t u r n a l l ( P ( x ) f o r x i n X)

1.3.6. Cuantificadores doblemente anidados

Los veremos a traves de un ejemplo y los ejercicios en la GTP.

Ejemplo 11.

Exprese en palabras y determine elVVde las siguientes proposiciones cuantificadas, en

dondex,y R:

Sea xy(x+y=17). En palabras: para algunx, existe unytal quex +y = 17. Valor

de Verdad: en este caso es posible hallar, al menos, un par x,y tal que x +y = 17

(e.g. sea el par x = 7 e y = 10). Como ambos cuantificadores son existenciales, un

ejemplo es suficiente para concluir que el VVde esta proposicion esT;

Sea xy(x +y = 17). En palabras: para todo x, existe uny tal que x +y=17. Valor

de Verdad: en este caso tambien es posible hallar, para cada x, uny tal que satisfagala propiedad, y que esta dado por y = 17 x. Esto es, cada x tiene asegurado un y

(unico en cada caso) y, por eso, elVVde esta proposicion esT;

Sea xy(x +y = 17). En palabras: para algun x, y para todoy, debe ser x +y = 17.

Valor de Verdad: debera existir un xtan particular que sumandole cualquier y diera

siempre 17. Pero eso no es posible, por lo que el VVde esta proposicion esF;

Seaxy(x +y = 17). En palabras: para todo x, y para todo y, debe ser x +y = 17.

Valor de Verdad: para cualquier x debera ser posible sumarle cualquier y y siempre

dar 17. Otra vez, eso no es posible, por lo que el VVde esta proposicion esF.

Observacion 24.

En general

xy P(x,y) yx P(x,y) conmutan

xy P(x,y) yx P(x,y) conmutan

xy P(x,y) yx P(x,y) no conmutan(1.5)

1.3.7. Negacion de proposiciones con cuantificadores doblemente anidados

Para negar proposiciones con cuantificadores doblemente anidados, se emplea sucesiva-

mente las reglas de negacion para proposiciones conunico cuantificador.

16


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Ejemplo 12. Negar la proposicion xy(x +y = 17), donde x,y R.Solucion:

(xy(x +y=17))

x (y(x +y=17))

x y (x +y =17)

x y(x +y 17)

(1.6)

Observacion 25. Cuando todos los elementos delDD se pueden enumerar, o sea x1,x2, ... xn, puede ser util pensar a los cuantificadores anidados como recorridos anidados.

Por ejemplo, para determinar si xy P(x,y) es ToF, recorremos todos los valores x

e y de la siguiente manera. Para cada x revisamos con un recorrido anidado todos los

valores dey. Si encontramos que P(x,y) esTen todos los casos, la conclusion inevitable

es que xy P(x,y) esT. Si por el contrario, cuando encontramos el primer par de valores

x e y tal que P(x,y) es F,podran haber mas de un par, es suficiente para concluir que

xy P(x,y) esF.

1.3.8. Algoritmos para cuantificadores doblemente anidados

Como en el caso de cuantificadores simples, se pueden hacer implementaciones basicas:

1 # C u a n t i f i c a d o r e s d ob le me nt e a n id a d os .

2 # C aso A: i m p l e m en t a c i on e s b a s i c a s .

3 d e f Pa ra T o d o X Pa ra T o d o Y (P , X , Y ) :

4 f o r x i n X :

5 f o r y i n Y :

6 i f n ot P ( x , y ) :



9

10 d e f P a r a T o d o X E x i s t e Y ( P , X , Y ) :

11 f o r x i n X :

12 e x i s t e y = F a l s e

13 f o r y i n Y :

14 i f P ( x , y ) :

15 e x i s t e y = T r u e

16 break

17 i f n ot e x i s t e y :


19 r e t u r n T r u e20

21 d e f E x i s t e X P a r a T o d o Y ( P , X , Y ) :

22 f o r x i n X :

23 p a r a t o d o y = T r u e

24 f o r y i n Y :

25 i f n ot P ( x , y ) :

26 p a r a t o d o y = F a l s e

27 break

28 i f p a r a t o d o y :



31

32 d e f E x i s t e X E x i s t e Y ( P , X , Y) :

33 f o r x i n X :

34 f o r y i n Y :

17


18/24


35 i f P ( x , y ) :



o bien, intermedias

1 # C u a n t i f i c a d o r e s d ob le me nt e a n i da d o s .2 # Caso B : i m pl e me n t ac i o ne s i n t e r m e d i a s ( p a r a e n t u s i a s t a s ) .


4 f o r x i n X :

5 i f no t a l l ( P ( x , y ) f o r y i n Y) :



8


10 f o r x i n X :

11 i f no t a ny ( P ( x , y ) f o r y i n Y) :



14


16 f o r y i n Y :

17 i f any ( P ( x , y ) f o r x i n X) :



20


22 f o r x i n X :

23 i f a ny ( P ( x , y ) f o r y i n Y) :



y mas avanzadas

1 # C u a n t i f i c a d o r e s d ob le me nt e a n i da d o s .

2 # Caso C : i m pl e me n t ac i o ne s a v an z ad a s ( p a ra e n t u s i a s t a s ) .


4 r e t u r n a l l ( P ( x , y ) f o r x i n X f o r y i n Y)

5


7 f o r x i n X :

8 i f no t a n y ( P ( x , y ) f o r y i n Y) :




13 f o r x i n X :

14 i f a l l ( P ( x , y ) f o r y i n Y) :



17


19 r e t u r n a ny ( P ( x , y ) f o r x i n X f o r y i n Y)

De nuevo, las instrucciones any y all son nativas de este lenguaje.

18


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APENDICE A

Acronimos y abreviaturas empleadas

A.1. Lista de acronimos

DD Dominio de Discurso

EL Equivalencia Logica

F Falso (porFalse

FP Funcion Proposicional

GTP Gua de Trabajos Practicos

LE logicamente equivalentes

RP reglas de precedencia

T verdadero (porTrue)

TV Tabla de Verdad

VV Valor de Verdad

V Verdadero

A.2. Lista de abreviaturas

i.e. es decir, o esto es, del latnid est

e.g. por ejemplo, del latnexempli gratia

19


20/24

A.2. LISTA DE ABREVIATURAS AP ENDICE A. ACR ONIMOS Y ABREVIATURAS EMPLEADAS

20


21/24

Bibliografa

[1] P. http://www.python.org/, 2013.

[2] R, K. H. Matematica Discreta y sus Aplicaciones, 5 ed. ISBN 9788448140731.

Mc Graw Hill, Colombia, 2004.

21


22/24

BIBLIOGRAF IA BIBLIOGRAF IA

22


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Nomenclatura

x, P(x) Cuantificador existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

x, P(x) C u a n t i fi c a d o r u n i v e r s a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

p Negacion de p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

p q Doble implicacion (o bicondicional) de py q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

p q Disyuncion exclusiva de py q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

p q Implicacion de py q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

p q Disyuncion de py q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

p q Conjuncion de py q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

23


24/24

Indice alfabetico

algoritmos para cuantificadores doblemente

anidados,17

algoritmos para cuantificadores existencial

y universal,15

bicondicional,7

condicion necesaria y condicion suficiente,

6

conjuncion,3

contingencia,9

contra-recproca,7

contradiccion,9

cuantificador existencial,13

cuantificador universal,14

cuantificadores doblemente anidados,16

disyuncion exclusiva,4

disyuncion inclusiva,3

doble implicacion,7

dominio de discurso,13

equivalencia logica,10equivalencias logicas con bicondicionales,

10

equivalencias logicas con condicionales,10

fraseos de la doble implicacion,7

fraseos de una implicacion,6

funcion proposicional,13

implicacion,5

leyes de De Morgan generalizadas para la

logica,14

leyes de De Morgan para dos proposiciones,

10

negacion,2negacion de proposiciones con cuantifica-

dores doblemente anidados,16

negacion de proposiciones cuantificadas,14

operadores y conectivos logicos,2

premisa y conclusion,6

proposicion,1

proposicion compuesta,1

recproca, contrapositiva (o contra-recpro-

ca) e inversa,7

reglas de precedencia,9

tabla de equivalencias logicas,10

tabla de verdad,2

tabla de verdad con mas de dos proposicio-

nes,5

tautologa,9

valor de verdad,1

cuantifiadores

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