Cuaderno_problemas Universidad Carlos III

Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica.

EJERCICIOS DE TEORÍA DEMÁQUINAS Y MECANISMOS

Juan Carlos García PradaCristina Castejón SisamónHiginio Rubio Alonso

Índice general

1. INTRODUCCIÓN A LA TMM 41.1. Número de Grados de libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. RESISTENCIAS PASIVAS 9

3. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MÁQUINAS 153.1. Cálculo del CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Análisis de velocidades y aceleraciones . . . . . . . . . . . . . 19

4. ANÁLISIS DINÁMICO DE MÁQUINAS 24

5. ENGRANAJES 295.1. Engranajes: parámetros, diseño y montaje . . . . . . . . . . . 295.2. Trenes de engranajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6. EJERCICIOS DE EXÁMENES 336.1. problema de cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2. Problema de cinemática (Septiembre 2003) . . . . . . . . . . 406.3. Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) . . . . . . 416.4. Problema de dinámica completo . . . . . . . . . . . . . . . . 516.5. Problema de engranajes (Junio 2000) . . . . . . . . . . . . . 646.6. Problema de engranajes (Septiembre 2002) . . . . . . . . . . 696.7. Problema de engranajes (Junio 2003) . . . . . . . . . . . . . 726.8. Problema de engranajes (Septiembre 2003) . . . . . . . . . . 766.9. Problema de engranajes (Febrero 2004) . . . . . . . . . . . . 81

7. CUESTIONES DE TEORÍA 867.1. Introducción a la teoría de máquinas y mecanismos . . . . . . 867.2. Resistencias Pasivas y principios de lubricación . . . . . . . . 877.3. Análisis cinemático de máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2

ÍNDICE GENERAL 3

7.4. Análisis dinámico de máquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.5. Teoría general de engranajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN A LA TMM

1.1. Número de Grados de libertad1. En la �gura 1.1 se representa un mecanismo con muelle complejo. Su

mecanismo simpli�cado equivalente se presenta en la �gura 1.2, dondeel resorte se ha reemplazado por dos eslabones binarios y la junta dehorquilla por un pasador y una corredera:

a) Determine el número de grados de libertad del mecanismo mostradoen la �gura 1.1

b) resolver el ejercicio anterior para el caso en el que se sustituye elmuelle por dos barras binarias (ver �gura 1.2)

Figura 1.1: Mecanismo. Figura 1.2: Mecanismo esquematizado.

4

1.1 Número de Grados de libertad 5

2. Determinar la movilidad o número de grados de libertad de los meca-nismos presentados en las siguientes �guras:

Figura 1.3: Mecanismo. Figura 1.4: Mecanismo.


Figura 1.7: Mecanismo.


3. Determinar la movilidad o número de grados de libertad de los meca-nismos representados en las siguientes �guras:





4. Determinar la movilidad o número de grados de libertad de los meca-nismos representados en las siguientes �guras:




5. Determinar la movilidad o número de grados de libertad del mecanismopresentado en la �gura 1.15:


Capítulo 2

RESISTENCIAS PASIVAS

1. Sea un par plano elemental superior, que consisten en el contacto entreun palpador circular y una guía rectilínea (ver �gura 2.2).

a) Identi�car las componentes de rozamiento máximo para las siguien-tes condiciones:

Vdes.rel 2−1 = 5 m/sC arg a vertical = 5000 Nω2 = 0,1 rad/sδ (material templado) = 0,01 mm

De estudios en el laboratorio se obtiene quela elipse de contacto (real) tiene una longitudde 1 mm. Figura 2.1: Coe�ciente de rozamiento al des-

lizamiento.

Figura 2.2: Par elemental palpador-guía.

9

10

b) Perpendicularmente al plano existe un carga de P Newtons que seaplica a una distancia de 0.1 m del punto de contacto. Calcularel valor máximo de P para evitar que el eslabón 2 pivote sobre elpunto de contacto.

Solución:a) Identi�car las componentes de rozamiento máximo.

1) Rozamiento al deslizamiento: Froz desli = µ ·NDe la �gura 2.3 se obtiene el valor del coe�ciente de rozamientoal deslizamiento: Vmax = 5 m/s ⇒ µ = f (V ) ⇒ µ = 0,35

Figura 2.3: Determinación del coe�ciente derozamiento al deslizamiento. Figura 2.4: El vector normal N se equilibra

con el peso del seguidor de contacto.

Y de la �gura 2.4 se observa que, para que el contacto esté enequilibrio, el vector normal, que se encuentra en la direcciónvertical debe tener el mismo módulo que el peso, por lo tanto:N = 5000 Newtons

La componente de rozamiento al deslizamiento se resuelve como:Módulo: Froz desli = 0,35 · 5000 = 1750 N .dirección: tangente al contacto (dirección de deslizamiento:horizontal)sentido: el vector se opone al movimiento, por lo tanto haciala izquierda.

2) Rozamiento por rodadura: Φrodadura = δ ·Nde los datos del enunciado δ (material templado) = 0,01 mm

y del apartado anterior N = 5000 Newtons se obtiene el par deresistencia a la rodadura:

11

Módulo: Φrodadura = 0,01 · 5000 = 50 N ·mm.dirección: la de rodadura (perpendicular al plano de trabajo).sentido: el vector se opone al movimiento, por lo tanto sen-tido horario.

3) Resistencia al pivotamiento: ( Ley de Hertz) : Φpivotamiento =0,093 · µ · l ·Nde los datos del enunciado y del primer apartado anterior µ =0, 35 se obtiene el par de resistencia al pivotamiento:Φpivotamiento = 0,093 · µ · l ·N = 0,093 · 0,35 · 1 · 5000

Módulo: Φpivotamiento = 162,75 N ·mm.dirección: la de pivotamiento.sentido: el vector se opone al movimiento de pivotamiento.

b) Calcular el valor máximo de P para evitar que el eslabón 2 pivotesobre el punto de contacto.El valor máximo de resistencia al pivotamiento es el calculado en elapartado anterior Φpivotamiento = 162,75 N ·m

Figura 2.5: Contacto palpador-guía, aplica-ción de una fuerza P.

Φ = P · d

Φmax = Pmax · d = Φpivotamiento

Pmax =Φpivotamiento

d=

162,75 Nmm

100mm

El valor de la fuerza P máxima para evitar el pivotamiento esPmax = 16,275 N

12

2. Sea una polea de radio r=0.3 m. Obtener el grosor de los siguientesórganos deformables :

Tipo c m−1

cables métálicos 58cuerdas de cáñamo 26cuerdas de cáñamo 18

de manera que el coe�ciente de rigidez en cada uno de ellos sea de 0.1Solución:De la �gura teórica 2.6

K = c · d2

2·r = 0,1

d =√

2·r·Kc

cmetal ccanamo ccanamo usada

d : grosor de la cuerda

r = 0,3 m

Figura 2.6:

d1 =

√2 · r ·Kcmetal

=

√2 · 0,3 · 0,1

cmetal

=

√0,06

cmetal

=

√0,06

58= 0,032m

d2 =

√2 · r ·Kccanamo

=

√2 · 0,3 · 0,1

ccanamo

=

√0,06

ccanamo

=

√0,06

26= 0,048m

d3 =

√2 · r ·Kc canamo

usada

=

√2 · 0,3 · 0,1c canamo

usada

=

√0,06

c canamousada

=

√0,06

18= 0,058m

3. Se dispone de un par elemental, que consiste en un eje de radio 0.05 my su correspondiente porta-ejes. En un ensayo de arrancada se observaque, para un peso en el eje de P=5000[N], en el instante de inicio dedeslizamiento del eje sobre el porta-ejes, el ángulo que forma la normalcon la vertical es de ϕ = 5o.

a) Calcular el par de arrancadab) Calcular el radio del círculo de rozamientoc) Calcular el coe�ciente de rozamiento eje-portaeje.

13

Figura 2.7: Contacto eje-portaejes.

Solución:

a) Calcular el par de arranquePara poner en movimiento el eje utilizamos un par M2. El punto deapoyo A entre el eje y el porta-ejes se desplaza hacia la derecha.El equilibrio se producirá cuando lo estén las fuerzas P y R12 conel par M2.

Figura 2.8: Representación del círculo de ro-zamiento.

P = R12 = 5000 N

M2 = P · r = 5000 · rdonde r es el radio del círculo de rozamiento.

14

Para resolver este apartado es necesario solucionar antes el siguienteapartado.

b) Calcular el radio del círculo de rozamientoAplicando trigonometría al triángulo OAB en la �gura 2.8:

r = R · senϕ = 0,05 · sen(5)

r = 4,36 · 10−3 m

y con ello damos solución al apartado anterior:

M2 = 5000 · 4,36 · 10−3

M2 = 21,79 Nm

c) Calcular el coe�ciente de rozamiento eje-portaeje.Se considera que el ángulo ϕ es muy pequeño, por lo tanto, puederealizarse la siguiente aproximación:

r = R · senϕ ≈ R · tgϕ = R · µde manera que el coe�ciente de rozamiento se obtiene de la ecuaciónanterior, despejando:

µ =r

R=

4,36 · 10−3

0,05

µ = 0,087

Capítulo 3

ANÁLISIS CINEMÁTICO DEMÁQUINAS

3.1. Cálculo del CIR1. Halla todos los centros instantáneos de rotación relativos del mecanismo

de bombeo mostrado en la �gura:


15

3.1 Cálculo del CIR 16

2. Determinar todos los centros instantáneos de rotación relativos de la�gura:


3. Determina todos los centros instantáneos de rotación relativos:



4. Determinar todos los centros instantáneos de rotación relativos del me-canismo mostrado en la �gura:


5. Determinar todos los centros instantáneos de rotación relativos del me-canismo representado en la �gura suponiendo rodadura pura entre loseslabones 1 y 4.



6. Determinar todos los centros instantáneos de rotación relativos


3.2 Análisis de velocidades y aceleraciones 19

3.2. Análisis de velocidades y aceleraciones1. El miembro AB = 110 mm forma parte de un mecanismo articulado en

el que se conoce la velocidad de A y la velocidad angular del miembro.Calcular, aplicando métodos grá�cos, la velocidad del punto B.

Figura 3.7: Miembro AB = 110 mm

2. La velocidad del punto A del miembro de la �gura 3.8 es conocida.Se sabe también cual es la velocidad relativa del punto B respecto aA. Explicar cómo se determinaría la velocidad de B y de otro puntocualquiera C.

Figura 3.8:


3. Dibujar el cinema de velocidades del mecanismo de la �gura 3.9.DATOS:O2O4 = 280 mm BC = 125 mm AB = 250 mm O4C = 100 mm

O2A = 75 mm CD = 120 mm O4B = 100 mm


4. Dibujar el cinema de velocidades del mecanismo de la �gura 3.10 conlos siguientes datos:O2O5 = 300; AB = 250; CD = 180; ϕ2 = 45gradosO2A = 220; BC = 380; BD = 540; CO5 = 250; ω2 = 70 rad/s

Figura 3.10: Mecanismo


5. En el mecanismo de la �gura 3.11: ω1 = 2rad/s, Longitud de todas las barras = 30mm, O2A y O2C inclinadas a 45o.Calcular:

a) La posición de los centros instantáneosde rotación de los elementos AB y CD.

b) La velocidad del punto C.

c) La aceleración del punto C.


6. El mecanismo de la �gura, es una biela decolisa que mueve la herramienta de corte enuna limadora. El elemento 3 tiene un movi-miento de vaivén guiado en dirección x. Elelemento 1 se mueve con velocidad angularconstante ω en torno a su centro O1.DATOS:O2A = 2 m O3A = 5 m AB = 3 mω2 = 10 rd/s

a) Calcular la velocidad del punto A per-teneciente al elemento 2.

b) Calcular la velocidad del punto B per-teneciente al elemento 4.

c) Calcular la aceleración angular del ele-mento 3.



7. En el mecanismo de la �gura 3.13: R = 50mm, AB = 40 mm, ω = 10 rad/s, α = 20rad/s2, BC = 100 mm.

a) Calcular la velocidad vC

b) Calcular la aceleración aC


8. En el mecanismo de la �gura 3.14 el elemento2 gira en torno al punto O2.

a) Calcular la posición del centro instan-táneo de rotación del elemento 3

b) Construir el cinema de velocidades delelemento 3 y representar de formaaproximada en el cinema de velocidaddel punto E.

c) Calcular la velocidad de deslizamientoen el punto de contacto B

d) Construir el cinema de aceleracionesdel elemento 3.

ω2 = 2 rad/s R2 = 2 m V4 = 2 m/sα2 = 4 rad/s2 R3 = 4 m a4 = 4 m/s2

O2A = R2/2Figura 3.14: Mecanismo.


9. En el mecanismo de la �gura 3.15, la barraABC es un único sólido rígido. Se conocela velocidad VA cuyo módulo es 17 m/s yla aceleración del punto B cuyo módulo es15 m/s2. La escala del dibujo es aproxima-damente 1:1000

a) Cuantos grados de libertad tiene el me-canismo? Justi�ca tu respuesta.

b) Determinar las posiciones de los cen-tros instantáneos de rotación de todoslos elementos del mecanismo.

c) Determinar la velocidad del punto F.

d) Determinar la aceleración del punto D. Figura 3.15: Mecanismo.

Capítulo 4

ANÁLISIS DINÁMICO DEMÁQUINAS

1. Hallar la fuerza reducida en A debido a −→F1. ¾Que fuerza −→E habría queaplicar en el punto A para que todo el mecanismo se mantenga en equi-librio?

Figura 4.1:

24

25

2. Hallar la fuerza reducida del mecanismo en C debido a −→FA. Calcularla fuerza equilibrante en el punto C para mantener el mecanismo en elequilibrio.

Figura 4.2:

3. En el mecanismo representado en la �gura 4.3, se conocen los siguientesdatos: O2O4 = 12 cm, α2 = 60 o,−→FB = (70) Newton y forma 315o con lahorizontal, O2A = 8 cm α3 = 30 o,−→FD = (80) Newton y forma 120o conla horizontal, AC = 6 cm, O4CD = 135 o, AB = AC/2, CD = 4 cm,ω2 = 10 rad/seg. Hallar la fuerza reducida y la equilibrante en el puntoA.

Figura 4.3:

26

4. Reducir la fuerza −→P al punto A, aplicando métodos grá�cos.

Figura 4.4:

5. Calcular la masa reducida en el punto A MA del mecanismo de la �gura.DATOS: AB = BO4 = 86 cm O2A = 50 cm

ω2 = 10 rd/s IG2 = 0,015 Kgm2 m2 = 0,1 Kg

ω3 = −3 rd/s IG3 = 0,020 Kgm2 m3 = 0,15 Kg

ω4 = 3 rd/s IG4 = 0,020 Kgm2 m4 = 0,15 Kg

Como criterio de signos, se ha considerado positivo el sentido antihora-rio.


27

6. Calcular la resultante de los esfuerzos de inercia del eslabón de la �gura4.6.Datos:

AB = 50 cm AG = 20 cm θ = 30o ω = 6 rad/seg

α = 50 rad/seg2 Peso de la biela=20 Kg IG = 5 Kgm2 aA = 50 m/seg2

Figura 4.6: Eslabón biela.

7. En el mecanismo del cuadrilátero articulado, calcular las acciones entrebarras y reacciones en la bancada, así como el par acelerador MO2

en elárbol de la manivela 2.DATOS:O2A = 0,5 m AB = 0,7 m O4B = 0,6 m

O2G2 = 0,2 m AG3 = 0,4 m O4G4 = 0,35 m

m2 = 0,5 Kg m3 = 0,7 Kg m4 = 0,6 Kg

IG2= 0,010 Kgm2 IG3

= 0,030 Kgm2 IG4= 0,018 Kgm2

Me = −100 Nm θ = 45o ω2 = 10 rad/seg (constante)

Figura 4.7: Cuadrilátero articulado.

28

8. En el mecanismo motor representado en la �gura 4.8, calcular las accio-nes entre barras y reacciones en la bancada, así como el par aceleradorMO2

a aplicar en el eje de la manivela 2.DATOS:O2A = 0,20 m AB = 0,75 m O2G2 = 0,07 m G3B = 0,40 m

d = 0,05 m m2 = 0,8 Kg m3 = 3 Kg m4 = 2 KgIG3

= 0,15 Kgm2 θ2 = 45o ω2 = 10 rad/seg (constante)

Figura 4.8: Mecanismo motor.

9. Una masa puntual m3 = 1Kg colocada en el punto B,gira con una velocidad angular ω = 10 rad/seg cons-tante alrededor del eje �jo O3O. Este eje atraviesa unacorredera (eslabón 4) de masa m4 = 1, 2 Kg. Despre-ciando cualquier otra masa del mecanismo, hallar lasreacciones en la bancada y las fuerzas internas entrelas barras.DATOS:θ2 = 45o, θ3 = 300o, CO3 = 15 cm, AB = 3 cm.


Capítulo 5

ENGRANAJES

5.1. Engranajes: parámetros, diseño y montaje1. Sea un engranaje formado por dos ruedas dentadas de Z1 = 19 y Z2 =

59 dientes respectivamente, fabricadas con módulo 4, y con ángulo depresión de referencia normalizado 20 grados. Determinar los parámetroscaracterísticos de cada rueda y del engranaje.Solución:

Altura de cabeza hc1 = hc2 = 4mm

Altura de pie hf1 = hf2 = 5mm

Altura total h1 = h2 = 9mm

Radio primitivo r1 = 38mm r2 = 118mm

Radio de cabeza ra1 = 42mm ra2 = 122mm

Radio de pie rf1 = 33mm rf2 = 113mm

Radio base rb1 = 35, 7mm rb2 = 110, 88mm

Paso angular pa1 = 18, 94o pa2 = 6, 1o

paso p1 = p2 = 12, 56mm

espesor del diente e1 = e2 = 6, 28mm

Relación de transmisión i = 0, 32

2. Un engranaje cilíndrico recto con módulo m = 4, tiene una relación detransmisión i = 2/3 con un número de dientes z1 = 20 en el piñón.Tras un cierto periodo de funcionamiento, se observa rotura y desgasteprematuro en una de las ruedas, por lo cual se debe rediseñar el conjuntorespetando la misma distancia entre ejes, pero aumentando el módulo

29

5.1 Engranajes: parámetros, diseño y montaje 30

a m = 5. Se pide calcular los números de dientes de las dos ruedas unavez rediseñado el engrane con m = 5

Solución:m = 5, distancia entre ejes O1O2 = 100, i = 2/3, z1 = 16, z2 = 24

3. Dada una rueda dentada de módulo m = 5 y número de dientes Z = 40tallada con un ángulo de presión normalizado de 20o, se pide determinarel espesor del diente en la circunferencia exterior.Solución: SE = 3, 81mm

4. Determinar el espesor de un diente (m = 5, z = 10) en el radio de cabezasi se talla de manera que se evite la penetración utilizando herramientasde talla normalizadas.Solución: sa = 2, 09mm

5. Un engranaje cilíndrico recto está formado por dos ruedas dentadas deZ1 = 9 y Z2 = 13 dientes, construidas con módulo 3. Calcular el ángulode presión, α′, así como la distancia entre centros de ejes y los radiosprimitivos en un montaje correcto.Solución α′ = 24o5′11′′, distancia entre ejes a0 = 33, 967mm, radiosprimitivos r′1 = 13, 896mm r′2 = 20,072mm

6. Entre dos ruedas paralelas situadas a 41,648 mm se pretende calcularuna transmisión mediante un engranaje cilíndrico-recto constituído pordos ruedas de Z1 = 8 y Z2 = 12 dientes respectivamente, y de módulom = 4. Determinar los desplazamientos que hay que efectuar en la tallade ambas ruedas.Solución: X1 = 0, 345mm X2 = 0, 118mm

7. Un engranaje formado por dos ruedas dentadas cilíndrico-rectas de mó-dulo m = 5 y relación de transmisión i = 1/3, se ha intentado montara cero, comprobándose que no funciona correctamente.Para evitarlo, se han separado progresivamente los ejes, y en un análisisde vibraciones se observó que el nivel mínimo de las mismas se conseguíapara una distancia de separación de 1,1008 mm de la posición a cero. enesta nueva posición, el ángulo de presión resultó ser de 22o40′. Calcular:

a) Número de dientes de cada rueda

5.2 Trenes de engranajes 31

b) Desplazamiento del tallado de las ruedasc) Radios de cabezad) Coe�ciente de engrane

Solución:a) Z1 = 6 Z2 = 18

b) X1 = 0, 4388mm X2 = −0, 2194mm

c) ra1 = 22, 194mm ra2 = 48, 903mm

d) coe�ciente de engrane ε = 1, 284

8. Se tiene un engranaje cilíndrico-recto formado por dos ruedas de Z1 = 16y Z2 = 30 dientes respectivamente, construidas con módulo m = 4. Siω1 = 3000 rpm, se pide calcular:

a) Radios de las circunferencias primitivas, básicas y de cabezab) distancias de los centros de las ruedas al primer punto de contacto

E2. (Nota: Resulta conveniente calcular primero los ángulos β =CE2O2;γ = E2cO2;δ = CO2E2)

c) Velocidades lineales de ambas ruedas en el punto E2

d) Grado de deslizamiento en el punto E2.

Solución:a) primitivos: r1 = 32mm r2 = 60mm, radios básicos: rb1 = 30, 05mm

rb2 = 56, 04mm, radios de cabeza: ra1 = 36mm ra2 = 64mm

b) β = 60o47′37′′,γ = 110o,δ = 8o12′23′′, O1E2 = 30, 07mm O2E2 =ra2 = 64mm

c) v1 = 9446, 8 mm/s v2 = 10723, 3s mm/s

d) grado de deslizamiento D = 4729, 4 mm/s

5.2. Trenes de engranajes1. Diseñar un tren de engranajes con relación de transmisión µ = 40

2. Diseñar un tren de engranajes con relación de transmisión µ = 581


5.2 Trenes de engranajes 32



6. Diseñar un tren de engranajes paralelos para conseguir una relación detransmisión igual a i = 184

179


4189


1123

Capítulo 6

EJERCICIOS DE EXÁMENES

6.1. problema de cinemáticaEn el mecanismo representado en la �gura se conoce la velocidad y acele-

ración del eslabón de salida 6. Se pide:

1. Determinar el número de grados de libertad y centros instantáneos derotación absolutos del mecanismo.

2. Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones.

3. Calcular las velocidades angulares de los eslabones 2, 4 y 5.

4. Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones.

5. Calcular las aceleraciones angulares de los eslabones 2, 4 y 5.DATOS:

O2C = 4√

2 cm AB = 36, 6 cm

O5A = 3√

2 cm AC = 30, 4 cm

Solución:1.- Determinar el número de grados de libertad y centros instantáneosde rotación absolutos del mecanismo.(a) Cálculo del número de grados de libertad Aplicamos la fórmula deGrübler (Gruebler) G = 3 · (n− 1)− 2 · f1 − f2

donde n = 6; f1 = 7; f2 = 0

G = 3 · (6− 1)− 2 · 7− 0 = 15− 14

G = 1 es un mecanismo DESMODRÓMICO33

6.1 problema de cinemática 34


(b) Cálculo de los CIR absolutosDeterminamos los CIR inmediatos

I45, I23, I34(∞), I46

I15, I12, I16(∞)

El resto de los CIR absolutos se calculan aplicando el teorema de Ken-nedy.Los centros instantáneos aparecen en la siguiente �gura

2.- Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones.DATOS: |−→v6 | = 700 cm/s


I14

{I15 I54

I16 I64I13

{I14 I43

I12 I23

Figura 6.2: Centros instantáneos de rotación del mecanismo.

B ∈ elto 6 ⇒ −→VB =

−→V6 (cinema ob = 700

100 = 7 cm)

A ∈ elto 4−→VA =

−→VB +

−−→VAB

{B ∈ elto 4 ⇒ −→

VB4 =−→VB6−−→

VAB dir ⊥ AB

A ∈ elto 5

{ ∣∣∣−→VA

∣∣∣ = ω5 ·O5A

dir ⊥ O5A sentido coherente con ω5 (desconocida)


C ∈ elto 4 homología entre el cinema y el mecanismo.acAC

= abAB

⇒ ac = ab · ACAB

= 5, 6 · 30,436,6 = 4, 7 cm

ab medido del cinema ab = 5, 6 cm

También puede calcularse sabiendo que:

El punto c4 se encuentra en el cinema del eslabón 4 (segmento ab

).La velocidad del punto C perteneciente al estabón 4 es perpendicu-lar al segmento I14C .

C ∈ elto 3 (corredera)

−→VC3

=−→VC4

+−−−→VC3C4

⇒

−→VC4

( ya calculado en el cinema)−−−→VC3C4

mov de la corredera ⇒dir de deslizamiento

(∥∥AB)

C ∈ elto 2 (manivela) ⇒{ ∣∣∣−→VC2

∣∣∣ = ω2 ·O2C

dir ⊥O2C , sentido coherente con −→ω2

El cinema de velocidades de cada uno de los eslabones se representaa continuación.

Cinema del eslabón 2: segmento oc2 .Cinema del eslabón 3: punto c3 ≡ c2

Cinema del eslabón 4: segmento abCinema del eslabón 5: segmento oa

Cinema del eslabón 6: punto b.

3.- Calcular las velocidades angulares de los eslabones 2, 4 y 5.

ω2 =VC2

O2C= 620 cm/s

4·√2 cm= 109, 6 rad/seg (sentido horario)

ω4 = VAB

AB= 560 cm/s

36,6 cm = 15, 3 rad/seg (sentido horario)

ω5 = VA

O5A= 225 cm/s

3·√2 cm= 53, 0 rad/seg (sentido antihorario)

4.- Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones.


Figura 6.3: Cinema de velocidades.

DATOS: |−→a6 | = 250 m/s2 = 25000 cm/s2

B ∈ elto 6 ⇒ −→aB = −→a6 (cinema o′b′ = 250005000 = 5, 0 cm)

A ∈ elto 4 −→aA = −→aB +−−→aAB

{B ∈ elto 4 ⇒ −→aB4 = −→aB6−−→aAB =

−−→an

AB +−−→at

AB

−−→aAB =−−→an

AB +−−→at

AB

∣∣∣−−→anAB

∣∣∣ = ω24 · AB = (15, 3)2 · 36, 6 = 8567, 7cm/s2

dir∥∥AB , sentido de A a B∣∣∣−−→at

AB

∣∣∣ = α4 · AB

dir ⊥AB, sentido coherente con−→α4

A ∈ elto 5 (manivela) ⇒


−→aA =−→an

A +−→at

A

∣∣∣−→anA

∣∣∣ = ω25 ·O5A = (53)2 · 3 · √2 = 11917, 57 cm/s2

dir∥∥O5A , sentido de A a O5∣∣∣−−→at

AB

∣∣∣ = α5 ·O5A

dir ⊥O5A, sentido coherente con−→α5

C ∈ elto 4 porhomologaentreelcinemayelmecanismo :a′c′AC

= a′b′AB

⇒ a′c′ = a′b′ · ACAB

= 2, 7 · 30,436,6 = 2, 24 cm

a′b′ medido del cinema a′b′ = 2, 7 cm

C ∈ elto 3 (corredera)

−→aC3= −→aC4

+−−−→aC3C4+ −→acor

−→aC4medida en el cinema−−−→aC3C4⇒ movimiento de la corredera ⇒

dir ‖ AB−→acor = 2 ·

(−→ω4 ×−−−→VC3C4

)

−→acor

{acor = 2 · (15, 3rad/s) · (480 cm/s) = 14688 cm/s2

dir ⊥−−−→VC3C4sentido hacia la izquierda

C ∈ elto 2 (manivela) ⇒

−→aC3≡ −→aC2

=−→an

C2+−→at

C2

∣∣∣−→anC2

∣∣∣ = ω22 ·O2C = (109, 6)2 · 4 · √2 = 67951, 0 cm/s2

dir∥∥O2C , sentido de C a O2∣∣∣−→at

C2

∣∣∣ = α2 ·O2C

dir ⊥O2C, sentido coherente con−→α2 (desconocida)

El cinema de cada uno de los eslabones se representa a continuación:

Cinema del eslabón 2: segmento o′c′2 .Cinema del eslabón 3: punto c′3 ≡ c′2Cinema del eslabón 4: segmento a′b′

Cinema del eslabón 5: segmento o′a′

Cinema del eslabón 6: punto b′

5.- Calcular las aceleraciones angulares de los eslabones 2, 4 y 5.


Figura 6.4: Cinema de aceleraciones.

α2 =at

C2

O2C= 3500 cm/s

4·√2 cm= 318, 7 rad/s2 (sentido antihorario)

α4 =at

AB

AB= 10500 cm/s

36,6 cm = 286, 88 rad/s2 (sentido antihorario)

α5 =at

A

O5A= 5500 cm/s

3 ·√2 cm= 1296, 4 rad/s2 (sentido horario)

6.2 Problema de cinemática (Septiembre 2003) 40

6.2. Problema de cinemática (Septiembre 2003)Dado el mecanismo de la �gura en la con�guración señalada, obtener:

1. El número de grados de libertad del mecanismo.2. Los centros instantáneos de rotación absolutos de los elementos del me-

canismo.3. Cinema de velocidades de cada uno de los elementos del mecanismo.4. Velocidad angular de los eslabones 4 y 5.5. Cinema de aceleraciones de cada uno de los elementos del mecanismo.6. Aceleración angular de los eslabones 4 y 5.Los datos geométricos del mecanismo son:

O2O4 = 9 cm O2A = 19 cm O4B = 10 cm

O4A = 24 cm BC = 36 cm

Los datos cinemáticos son:

ω2 = 30 rad/s, sentido horario y constante.


6.3 Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004) 41

6.3. Problema de cinemática y dinámica (Febrero 2004)En la �gura se presenta a escala 1:2 un mecanismo de elevación. Los datos

cinemáticos se corresponden con el eslabón 3 (manivela de entrada).

ω3 = 0, 5 rd/s (horario)α3 = 0, 1 rd/s2 (antihorario)

Se asume que el efecto de la inercia de las barras 3 y 4 sobre el estado defuerzas del mecanismo es despreciable. El resto de datos dinámicos son:

m2 = 5 Kg

IG2 = 24 Kg cm2

Se pide:1.- Determinar el número de grados de libertad y centros instantáneos de

rotación absolutos del mecanismo.2.- Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones. 3.-

Remarque el cinema del eslabón 3 (AO3P). Calcular la velocidad angular deleslabón 2.

4.- Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones.5.- Remarque el cinema del eslabón 3 (AO3P). Calcular la aceleración

angular del eslabón 2.6.- Calcula las fuerzas y momentos de inercia de los eslabones. Calcule

la F necesaria a aplicar en el punto A (según �gura) para conseguir que elmecanismo esté en equilibrio (no considerar los pesos).

Solución:

1.- Determinar el número de grados de libertad y centros instantáneos derotación absolutos del mecanismo.

(a) Cálculo del número de grados de libertadAplicamos el criterio de Grübler (Gruebler) G = 3 · (n− 1)− 2 · f1 − f2

Donde n = 4; f1 = 4; f2 = 0

G = 3 · (4− 1)− 2 · 4− 0 = 9− 8


G = 1 es un mecanismo DESMODRÓMICO.

(b) Cálculo de los CIR absolutosDeterminamos los CIR inmediatos I13, I34, I24(∞), I12

El CIR absoluto que queda I14 se calcula aplicando el teorema de Kennedy.

I14

{I12 I24 (∞)I13 I34

Figura 6.6: CIR absolutos

2.- Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabonesDATOS: ω3 = 0, 5 rd/s (horario)Las dimensiones reales del mecanismo se obtienen midiendo en la �gura

adjunta y multiplicando por la escala (x2).


• P ∈ elto 3 ⇒ MANIV ELA∣∣∣−→VP3

∣∣∣ = ω3 ·O3P = (0, 5rad/s) · (63 mm × 2) = 63 mm/s

dir. ⊥ O3P y sentido acorde con −→ω3

(cinema op3 = 63 mm/s1 = 63 mm)

• P ∈ elto 4−→VP3 =

−→VP4 (cinema p3 ≡ p4 )

• P ∈ elto 2

−→VP2 =

−→VP4(conocida) +

−−−→VP2P4(dir.desliz)

MANIV ELA

{ ∣∣∣−→VP2

∣∣∣ = ω2 ·O2P (desconocida)

dir. ⊥ O2P y sentido acorde con −→ω2

El cinema del eslabón 2 vienerepresentado por el segmento op2

El cinema del eslabón 4 vienerepresentado por el segmento op3

El cinema de la corredera 4 vienerepresentado por el punto p4

3.- Remarque el cinema del eslabón 3 (AO3P). Calcular la velocidad an-gular del eslabón 2.

Necesitamos calcular el punto homólogo del mecanismo A en el cinema(a). Para ello aplicamos la propiedad de homología:

oaO3A

= op3

O3Poa

18 mm×2 = 63 mm63 mm×2

oa = 18 mm

4.- Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones.


El cinema del eslabón 3 aparece re-marcado en verde.

DATOS:α3 = 0, 1 rd/s2 (antihorario)

• P ∈ elto 3 ⇒ MANIV ELA

−→aP3 =−→an

P3 +−→at

P3

−→an

P3

∣∣∣−→anP3

∣∣∣ = ω23 ·O3P = (0, 5rad/s)2 · (63 mm × 2) =

= 31, 5 mm/s2

dir.∥∥ O3P y sentido hacia O3

−→at

P3

∣∣∣−→atP3

∣∣∣ = α3 ·O3P =(0, 1 rad/s2

) · (63 mm × 2) =

= 12, 6 mm/s2

dir. ⊥O3P y sentido acorde con −→α3

(escala del cinema : 2 mm → 1 mm/s2 obtenemos p′3)

• P ∈ elto 4−→aP3 = −→aP4 (cinema p′3 ≡ p′4 )


• P ∈ elto 2 ⇒ MANIV ELA

−→aP2 =−→an

P2 +−→at

P2

−→an

P2

∣∣∣−→anP2

∣∣∣ = ω22 ·O2P = (0, 6rad/s)2 · (43 mm × 2)

= 30, 96 mm/s2

dir.∥∥ O2P y sentido hacia O2

−→at

P2

{ ∣∣∣−→atP2

∣∣∣ = α2 ·O2P (desconocida)

dir. ⊥O3P y sentido acorde con −→α3

por otra parte :−→aP4 = −→aP2 +−−−→aP4P2 +−→acor−−−→aP4P2 lleva la dir de deslizamiento

−→acor = −→ω2 ∧ −−−→VP4P2

|−→acor| = ω2 · VP4P2(cinema) = 0, 60 rad/s · 28 mm/s

= 33, 6 mm/s2

dir. ⊥ −−−→VP4P2 y sentido acorde con la regla de

la mano derecha

−→aP2 = −→aP4 −−−−→aP4P2 −−→acor


El cinema del eslabón 2 viene representado por el segmento o′p′2

El cinema del eslabón 4 viene representado por el segmento o′p′3

El cinema de la corredera 4 viene representado por el punto p′4

5.- Remarque el cinema del eslabón 3 (AO3P). Calcular la aceleraciónangular del eslabón 2.

Necesitamos calcular el punto homólogo del mecanismo A en el cinema(a'). Para ello aplicamos la propiedad de homología:

o′a′O3A

= o′p′3O3P

o′a′18 mm×2 = 68 mm

63 mm×2o′a′ = 19, 43 mm

El cinema del eslabón 3 aparece remarcado en verde.


α2 =at

P2

O2P=

11, 5 mm/s

43 mm× 2= 0, 13 rad/s2 (sentido antihorario)

6.- Calcula las fuerzas y momentos de inercia de los eslabones. Calculela F necesaria a aplicar en el punto A (según �gura) para conseguir que elmecanismo esté en equilibrio (no considerar los pesos).

Cálculo de las fuerzas y momentos de inercia:−→Fi = −mi · −→aGi−→Mi = −IG0 · −→αi

En el caso de los eslabones 3 y 4, el enunciado nos indica que son despre-ciables. Para el cálculo de la fuerza de inercia del eslabón 2, será necesarioobtener, previamente la aceleración de su centro de gravedad. Para ello, apli-camos la homología con el cinema de aceleraciones del eslabón 2.

o′g′2O2G2

= o′p′2O2P

o′g′220 mm×2 = 62 mm

43 mm×2

o′g′2 = 30, 23 mm → −→aG2 = 15, 12 mm/s2

entonces

∣∣∣−→F2

∣∣∣ = m2 · |−→aG2| = 5 Kg · 15, 12 mm/s2 = 75 · 10−3N

misma dir. que −→aG2 y sentido contrario∣∣∣−→M2

∣∣∣ = IG20 · |−→α2| = 24 Kg · cm2 · 0, 13 rd/s2 = 3, 12 Kg · cm2/s2

misma dir. que −→α2 y sentido contrario (antihorario)

Calcular la F en el punto A para conseguir el equilibrio:Para eliminar el momento en el mecanismo, desplazamos la fuerza de

inercia una distancia tal que se consiga el efecto de M.

h2 =

∣∣∣−→M2

∣∣∣∣∣∣−→F2

∣∣∣=

3, 12 Kg · cm2/s2

75 · 10−1Kg · cm/s2 = 4, 16 mm

A la hora de marcarla en el dibujo, hay que tener en cuenta que el meca-nismo está a escala 1:2

Luego la fuerza debe desplazarse 2 mm, en su dirección perpendicular.


La escala de fuerzas en el dibujo es 1 cm : 2.10−3 NEste apartado puede resolverse de diferentes maneras:1.- Resultado grá�co: principio de superposición. Equilibro cada uno de

los eslabones.Eslabón 2: fuerzas que actúan −→Fi2,

−→R12,

−→R42, el equilibrio se da cuando:

∑−→F = 0 ⇒ −→

Fi2 +−→R12 +

−→R42 = 0 Los tres vectores deben formar un

triángulo.∑−→M = 0 Los tres vectores deben converger en un punto.

Por otro lado, conocemos la dirección del vector −→R42, que es perpendiculara la dirección de deslizamiento

∣∣∣−→Fi2

∣∣∣ = 75,10−3N∣∣∣−→R12

∣∣∣ = 18,10−3N∣∣∣−→R42

∣∣∣ = 64,10−3N

Eslabón 4: fuerzas que actúan−→R34,−→R24

(= −−→R42

), el equilibrio se da cuan-

do:∑−→

F = 0 ⇒ −→F24 +

−→R34 = 0 ⇒ −→

F24 = −−→R34


∑−→M = 0 Se cumple, puesto que los dos vectores pasan por el punto P.

∣∣∣−→R24

∣∣∣ = 64,10−3N∣∣∣−→R34

∣∣∣ = 64,10−3N

Eslabón 3: fuerzas que actúan −→Fen,−→R13,

−→R43

(= −−→R34

), el equilibrio se da

cuando:∑−→

F = 0 ⇒ −→Fen +

−→R13 +

−→R43 = 0 Los tres vectores deben formar un

triángulo.∑−→M = 0 Los tres vectores deben converger en un punto.

Por otro lado, conocemos la dirección del vector −→Fen, que es perpendicularal segmento O3A


∣∣∣−→Fen

∣∣∣ = 54,10−3N∣∣∣−→R13

∣∣∣ = 56,10−3N∣∣∣−→R43

∣∣∣ = 18,10−3N

2.- Resultado analítico: principio de los trabajos virtuales.

−→Fi2 · −→VG2 +

−−→Mi2 · −→ω2 +

−→Fen · −→VA = 0∣∣∣−→Fi2

∣∣∣ ·∣∣∣−→VG2

∣∣∣ · cos(110) +∣∣∣−−→Mi2

∣∣∣ · |−→ω2| · cos(180) +∣∣∣−→Fen

∣∣∣ ·∣∣∣−→VA

∣∣∣ cos(0) = 0

(75 · 10−3N) · (26, 5 · 10−3m/s) · cos(110)++ (3, 12 · 10−4Nm) · (0, 6rd/s) · cos(180)+

+∣∣∣−→Fen

∣∣∣ · (18 · 10−3m/s) cos(0) = 0∣∣∣−→Fen

∣∣∣ = 48, 2 · 10−3N

dirección como aparece en la �gura, y sentido contrario al dibujo.

6.4 Problema de dinámica completo 51

6.4. Problema de dinámica completoEl mecanismo de la �gura es un cuadrilátero articulado. Calcular las accio-

nes en las barras y reacciones en la bancada, así como el par acelerador Ma2,

necesario aplicar en la manivela de entrada (2), para equilibrar el sistema.

Figura 6.7: Análisis completo, cuadrilátero articulado.

Los datos del mecanismo son los siguientes:velocidad angular de la manivela de entrada (2): ω2 = 10 rd/s antihorario

y constante.O2A = 0,5 m O2G2 = 0,2 m m2 = 0,5 Kg IG2

= 0,0625 Kg m2

AB = 0,7 m AG3 = 0,4 m m3 = 0,7 Kg IG3= 0,172 Kg m2

BO4 = 0,6 m O4G4 = 0,35 m m4 = 0,6 Kg IG4= 0,108 Kg m2

Solución:


Análisis cinemático. Cálculo de velocidadesEslabón 2: MANIVELA∣∣∣−→VA

∣∣∣ = ω2 ·O2A = (10 rd/s) · 0,5 m = 5 m/s

dir. ⊥ O2A, sentido ω2 (antihorario)

Eslabón 3: BIELA−→VB =

−→VA +

−−→VBA

dir.−−→VBA ⊥BA

Eslabón 4: MANIVELA

dir.−→VB⊥ O4B

Figura 6.8: Cinema de velocidades.

de los datos recogidos del cinema de velocidades se obtiene que:

∣∣∣−−→VBA

∣∣∣ = ω3 ·BA ⇒ ω3 =

∣∣∣−−→VBA

∣∣∣BA

=8,3 m/s

0,7m= 11,86 rd/s (horario)

∣∣∣−→VB

∣∣∣ = ω4 ·O4B ⇒ ω4 =

∣∣∣−→VB

∣∣∣O4B

=11,5 m/s

0,6m= 19,17 rd/s (horario)


Análisis cinemático. Cálculo de aceleracionesEslabón 2: MANIVELA

−→aA =−→an

A +−→at

A , ω2 = cte ⇒ α2 = 0∣∣∣−→anA

∣∣∣ = ω22 ·O2A = (10 rd/s)2 · 0,5 m = 50 m/s2

dir || O2A, sentido de A a O2

Eslabón 3: BIELA

−→aB = −→aA +−−→aBA =

= −→aA +−−→an

BA +−−→at

BA

∣∣∣−−→anBA

∣∣∣ = ω23 ·BA = (11,86 rd/s)2 · 0,5 m = 70,33 m/s2

dir || BA, sentido de B a A

dir−−→at

BA ⊥ BA(6.1)

Eslabón 4: MANIVELA

−→aB =−→an

B+−→at

B

∣∣∣−→anB

∣∣∣ = ω24 ·BO4 = (19,17 rd/s)2 · 0,6 m = 220,49 m/s2

dir || BO4, sentido de B a O4

dir−→at

B ⊥ BO4(6.2)

de los datos recogidos del cinema de aceleraciones se obtiene que:

∣∣∣−−→at

BA

∣∣∣ = α3 ·BA ⇒ α3 =

∣∣∣−−→atBA

∣∣∣BA

=500 m/s2

0,7m= 714,28 rd/s2 (horario)

∣∣∣−→at

B

∣∣∣ = α4 ·O4B ⇒ α4 =

∣∣∣−→atB

∣∣∣O4B

=400 m/s2

0,6m= 666,66 rd/s2 (horario)

Análisis cinemático. Cálculo de las aceleraciones de los centros degravedad

Para el cálculo de las fuerzas de inercia, es necesario conocer previamente,los valores de las aceleraciones de los centros de gravedad de cada uno de loseslabones.


Figura 6.9: Cinema de aceleraciones.

Una vez obtenido el cinema de aceleraciones de la �gura 6.9, los valoresde aceleración de cualquier punto del mecanismo se obtienen utilizando lapropiedad de homología entre el cinema de aceleraciones y el mecanismo.

Eslabón 2:o′g′2

O2G2=

o′a′

O2A⇒ o′g′2 = o′a′ ·O2G2

O2A⇒ o′g′2 = 1cm·0,2m

0,5m= 0,4cm

|−→aG2| = 20 m/s2

Eslabón 3:a′g′3AG3

=a′b′

AB⇒ a′g′3 = a′b′ ·AG3

AB⇒ a′g′3 = 10cm · 0,4m

0,7m= 5,7cm

|−→aG3| = 225 m/s2

Eslabón 4:o′g′4

O4G4=

o′b′

O4B⇒ o′g′4 = o′b′·O4G4

O4A⇒ o′g′4 = 9cm·0,35m

0,6m= 5,3cm

|−→aG4| = 265 m/s2

Las direcciones y sentidos de los vectores se re�ejan en el cinema de ace-leraciones:


Figura 6.10: Obtención de las aceleraciones de los centros de gravedad de cada eslabón.

Análisis dinámico. Cálculo de los esfuerzos de inerciaLas fuerzas y momentos de inercia se calculan aplicando las siguientes

expresiones, para cada eslabón k:−→Fik = −mk · −→aGk−−→Mik = −IGk

· −→αk

Estas fórmulas se aplican a cada eslabón.Eslabón 2:

|−→Fi2| = m2 · |−→aG2| = 0,5Kg · 20m/s2 = 10 N

|−−→Mi2| = IG2· |−→α2| = 0,0625Kgm2 · 0rad/s2 = 0 Nm

Eslabón 3:

|−→Fi3| = m3 · |−→aG3| = 0,7Kg · 225m/s2 = 157,5 N

|−−→Mi3| = IG3· |−→α3| = 0,172Kgm2 · 714,28rad/s2 = 122,85 Nm

Eslabón 4:

|−→Fi4| = m4 · |−→aG4| = 0,6Kg · 265m/s2 = 159 N

|−−→Mi4| = IG4· |−→α4| = 0,108Kgm2 · 666,66rad/s2 = 72 Nm

La dirección y el sentido de cada uno de los vectores se representan en lasiguiente �gura 6.11:

Para hacer más sencillo el análisis dinámico del mecanismo, sustituimoslos esfuerzos de inercia por la fuerza de inercia equivalente

−→F ′

ik, cuyo módulo,dirección y sentido coincide con el de la fuerza de inercia, pero se encuentradesplazada (en la dirección perpendicular a la línea de acción de la fuerza deinercia) una distancia hk tal que:

Mik = Fik · hk ⇒ hk =Mik

Fik


Figura 6.11: Obtención de los esfuerzos de inercia.

Eslabón 2:h2 =

Mi2

Fi2=

0Nm

10N= 0 m (6.3)

Eslabón 3:h3 =

Mi3

Fi3=

122,85Nm

157,5N= 0,78 m (6.4)

Eslabón 4:h4 =

Mi4

Fi4=

72Nm

159N= 0,45 m (6.5)

Resultando el problema que se presenta en la �gura:Una vez conseguida toda la información de la dinámica del sistema, se

obtienen las reacciones entre los eslabones, incluido la bancada, aplicando elprincipio de superposición.

Análisis dinámico. Aplicación del principio de superposiciónSe resolverán 3 problemas diferentes correspondientes a las tres fuerzas de

inercia equivalentes obtenidas.

Primer problema

Consideramos exclusivamente los efectos producidos por la fuerza de iner-cia equivalente aplicada en el eslabón 2.

Equilibramos eslabón a eslabón.


Figura 6.12: Obtención de la fuerza de inercia equivalente.

Figura 6.13: Problema 1.

Eslabón 4: Fuerzas que actúan ⇒ −→R14,

−→R34


−→R23

Observando los resultados obtenidos hasta ahora, y sabiendo que −→R34 =−−→R43 se llega a la conclusión de que la única solución posible para dos


∑F = 0 ⇒ −→

R14 = −−→R34

∑M = 0 ⇒ las direcciones de las dos

reacciones deben estar alineadas con el esla-bón.

Figura 6.14: Equilibrio en el eslabón 4.

∑F = 0 ⇒ −→

R43 = −−→R23

∑M = 0 ⇒ las dirección de las dos reac-

ciones deben estar alineadas con el eslabón.


vectores iguales en módulo y dirección, pero con direcciones diferentes,es el vector nulo, por lo tanto:

−→R34 = 0−→R14 = 0−→R23 = 0


−→R32 = −−→R32 = 0

−→Fi2


∑F = 0 ⇒ −→

R12 = −−→Fi2

∑M = 0 ⇒ las dirección de las dos reac-

ciones deben estar alineadas con el eslabón.Esto se cumple.


Segundo problema



Equilibramos eslabón a eslabón.Eslabón 4: Fuerzas que actúan ⇒ −→

R14,−→R34

Eslabón 3: Fuerzas que actúan ⇒ −→R43 = −−→R34,

−→R23,

−→Fi3

∑F = 0 ⇒ los tres vectores deben cerrar un triángulo.∑M = 0 ⇒ las dirección de los tres vectores deben con�uir en un

punto.


∑F = 0 ⇒ −→

R14 = −−→R34





−→R32 = −−→R32

Tercer problema


Equilibramos eslabón a eslabón.Eslabón 4: Fuerzas que actúan ⇒ −→

R14,−→R34,

−→Fi4

∑F = 0 ⇒ los tres vectores deben cerrar un triángulo.∑M = 0 ⇒ las dirección de los tres vectores deben con�uir en un

punto.Como no tenemos su�ciente información debemos pasar al siguiente es-labón.Eslabón 3: Fuerzas que actúan ⇒ −→

R43,−→R23

Eslabón 4:−→R34 = −−→R43 nos da una de las direcciones necesarias, que junto con la dela fuerza de inercia −→F4i, nos permitirán calcular el punto de con�uencia.

Con esta solución se consiguen los valores de las reacciones en el eslabón3:



∑F = 0 ⇒ −→

R12 = −−→R32

∑M = 0 ⇒ ⇒

−−−−−−→M

(−→R32

)+−−→Ma2 = 0

Ma2 = R32 · d2 = 580N · 0,42m = 253,6 NmFigura 6.20: Equilibrio en el eslabón 2.

−→R43 = −−→R34 (464N)−→R23 = −−→R43 (464N) (6.6)



∑F = 0 ⇒ −→

R43 = −−→R23





−→R32 = −−→R32

Resolución completa al problema de dinámica

Con las soluciones de los tres problemas, se obtiene los valores de lasreacciones en cada eslabón y el par acelerador, mediante la suma vectorial.



∑F = 0 ⇒ −→

R12 = −−→R32 (464N)

∑M = 0 ⇒ ⇒

−−−−−−→M

(−→R32

)+−−→Ma2 = 0

Ma2 = R32 · d2 = 564N · 0,45m = 253,8 Nm Figura 6.24: Equilibrio en el eslabón 2.

−→R14 =

−→RI

14(0N) +−→RII

14 +−−→RIII

14−→R34 =

−→RI

34(0N) +−→RII

34 +−−→RIII

34−→R23 =

−→RI

23(0N) +−→RII

23 +−−→RIII

23−→R12 =

−→RI

12 +−→RII

12 +−−→RIII

12−−→M2a =

−−→M I

2a(0Nm) +−−→M II

2a +−−−→M III

2a

6.5 Problema de engranajes (Junio 2000) 64

Estos resultados se obtiene grá�camente, excepto en el caso del para ace-lerador, cuyas direcciones son perpendiculares al plano de trabajo y tienenla misma dirección, por lo que sus módulos se suman.

M2a = 0Nm + 253,6Nm + 253,8Nm = 507,4 sentido antihorario.

Figura 6.25: Suma de reac-ciones R12.

Figura 6.26: Obtención deR23.

Figura 6.27: Obtención deR34.

6.5. Problema de engranajes (Junio 2000)Se quiere diseñar un tren de engranajes ordinario compuesto recurrente

formado por dos pares de ruedas dentadas externas cilíndrico rectas, para locual se dispone de los siguientes datos:

Razón de velocidades de una de las parejas (considerándola como la rela-ción de velocidades entre el eje de de salida y el de entrada del engrane):1319 / 237.Distancia entre centros: 184 mm.Sabiendo que todas las ruedas de que se dispone tienen el mismo módulo,

y que oscilan entre 14 y 98 dientes, se pide:1. Para la pareja cuya razón de velocidades se indica:

a) Obtener el número de dientes de cada rueda y el módulo, indicandocuál de ellas es el piñón y cuál la rueda.


b) Paso, espesor, hueco, adendo, dedendo, juego en cabeza, diámetroprimitivo y diámetro de base para cada rueda (considerando que elángulo de presión es de 20o).

c) A la vista de los datos obtenidos en el apartado 1.2, ¾se puede asegurarque en ninguna de las ruedas se producirá el fenómeno de penetración?

d) Indicar el error (absoluto y relativo) cometido en la relación de trans-misión de esta pareja.

2. Para la otra pareja:a) ¾Cuál es la máxima relación de transmisión entera que se puede ob-

tener?b) Para esa relación de transmisión, obtener el número de dientes de cada

rueda, indicando cuál de ellas es el piñón y cuál la rueda.c) Para cada rueda, obtener el paso, espesor, hueco, adendo, dedendo,

juego en cabeza, diámetro primitivo y diámetro de base (considerandoque el ángulo de presión es de 20o).

3. Indicar la disposición más razonable para ambos pares de ruedas.4. Si el tren se transforma en uno epicicloidal recurrente en el que la rueda

directamente montada sobre el eje de entrada se �ja al marco, y conside-rando ahora como velocidad angular de entrada la asociada al soporte enel que van montados los satélites:a) Calcular la velocidad de salida cuando el soporte gira a 100 rpm.b) Obtener la relación analítica entre la relación de transmisión de un

tren ordinario compuesto recurrente de dos pares de ruedas dentadasexternas de número de dientes a, b, c y d, y la del tren epicicloidalrecurrente homólogo.

Figura 6.28: Esquema del tren ordinariocompuesto recurrente formado por dos paresde ruedas dentadas externas.

Figura 6.29: Esquema del tren epicicloidalrecurrente.


solución:

1.a Dado que 1319 es un número primo mayor que 98, descomponemos larelación de transmisión en fracciones continuas, obteniendo:

5 1 1 3 3 101319 237 134 103 31 10 1134 103 31 10 1 0

Las reducidas sucesivas son:a) 5b) 6c) 11 / 2d) 39 / 7 ← La reducida más alta construible es 39 / 7 = 78 / 14e) 128 / 23f ) 1319 / 237Se tomará para esa pareja una rueda de 14 dientes (piñón) y

una de 78 (rueda).

Sabiendo que la distancia entre centros es la indicada:

Rpion + Rrueda = 184 mm

m · Zpion

2+ m · Zrueda

2= 184 mm

m = 4 mm

1.2 Todas las dimensiones están dadas en mm.

Paso(p)

Espe-sor (s)

Hue-co (e)

Aden-do (ha)

Deden-do (hf)

Juegoen cabe-za (c)

Diámetroprimitivo(2 * r)

Diáme-tro base(2 * rb)

Rueda 12.57 6.28 6.28 4 5 1 312 239.18Piñón 56 52.62


1.c.

r - ha rb * cos 20o r - ha ≥ rb * cos 20o ¾PENETRACIÓN?Rueda 152 137.75 SI NOPiñón 24 24.72 NO SI (aunque despreciable)

1.d.

Error absoluto :

∣∣∣∣1319

237− 8

14

∣∣∣∣ = 0,0060

Error relativo :Error absoluto

1319237

= 0,11 %

2.a.Dado que la distancia entre centros debe ser la misma para ambos pares

de ruedas y que todas ellas tienen el mismo módulo:

m · Z1

2+

m · Z2

2=

m · Z3

2+

m · Z4

2

Z1 + Z2 = Z3 + Z4 (1)

La relación de transmisión tendrá la siguiente expresión:

Z3

Z4= n (2)

donde n es un número entero entre 1 y 7(98

14) .

(Designamos con los subíndices 3 y 4 las ruedas de la pareja desconocida,aunque aún no sabemos si es la 1a o la 2a).

Por tanto:78 + 14 = n · Z4 + Z492 = (1 + n) · Z4


Como n y Z4 tienen que ser números enteros, averiguamos los divisores de92:

92 246 223 231

a) n = 1b) n = 3 ←c) n = 22 (no vale pues 22 >7, quees la máxima relación de transmisiónque se puede conseguir con un par deruedas)

La máxima relación de transmisión entera que se puede obteneres 3.

2.b.

La rueda tiene 69 dientes y el piñón 232.c.

Todas las magnitudes son iguales que en la primera pareja salvo el diáme-tro primitivo y el diámetro base:

Diámetro primitivo (2 · r) Diámetro base (2 · rb)Rueda 276 259.36Piñón 92 86.45

3. Ya que la relación de transmisión global es superior a la unidad, tendre-mos mayor velocidad en el eje de salida que en el de entrada, y, por tanto,menor par en el eje de salida que en el de entrada.

Esto implica:El diámetro del eje de entrada ha de ser mayor que el de salida.Los dientes del primer engrane estarán sometidos a un mayor esfuerzoque los del segundo.Por tanto, los dientes de las ruedas del primer engrane deberán ser más

anchos que los del segundo, lo cual implica que podrá haber más en esteúltimo que en aquel, permitiéndose una mayor multiplicación en la pareja

6.6 Problema de engranajes (Septiembre 2002) 69

del eje de salida que en la del eje de entrada.

Relación de transmisión Rueda Piñón1o engrane 3 69 232o engrane 78 / 14 78 14

4. Aplicando la fórmula de Willis, llamando ωs a la velocidad angular delsoporte, y sabiendo que ω1 = 0:

µ =ω4 − ωs

ω1− ωs=

ω4 − ωs

0− ωs=

69 · 78

23 · 14

Operando:

−µ · ωs = ω4 − ωs

ω4

ωs= 1− µ (4.b)

Si ωs = 100 rpm:

ω4 = −1571,43 rpm (4.a.)

6.6. Problema de engranajes (Septiembre 2002)Calcular mediante la técnica de la ”fracciones continuas” un engranaje

con ruedas cilíndrico rectas con una relación de transmisión µ = 127/141,�jando un error máximo de 1/1000.

Debido a lo limitado del espacio disponible, se utilizará una de las redu-cidas obtenidas cuya rueda conducida tiene 10 dientes y módulo 8. Expresarel tipo de montaje y talla de la pareja de ruedas y acotar la geometría del


par, indicando los siguientes valores:

Para cada rueda:

Número de dientesMóduloRadio primitivo de referenciaRadio primitivo de funcionamientoRadio baseRadio de cabezaRadio de pieÁngulo de presión de referenciaPasoEspesorHuecoFactor de desplazamientoDesplazamiento de la cremallera en la talla a VPara la pareja de ruedas dentadas:Ángulo de presión de funcionamientoDistancia entre ejes de funcionamientoSolución:

Apartado aDado que 127 es un número primo superior al número máximo de dientes

de una rueda, intentamos obtener la relación más cercana a la dada medianteel método de descomposición en fracciones continuas:

1 9 14141 127 14 114 1 0

Las reducidas sucesivas son:

a) 1


b) 9 / 10 ← La reducida más alta construible es 9 / 10c) 127 / 141

El error absoluto cometido en cada reducida es el siguiente:

a) 9,93 · 10−2

b)7.09 ·10−4

c)0

El máximo permitido es de 1 / 1000 = 10−3. De este modo, la reducida 9/ 10 cumple la condición.

Se tomará un engrane formado por un piñón de 9 dientes y unarueda de 10.

Apartado bLa reducida con rueda de 10 dientes es 9 / 10. Dado que la suma del

número de dientes de ambas ruedas es menor que 28, el montaje será a V,debiéndose tallar ambas ruedas a V.

Se usarán las siguientes fórmulas:


Módulo m = 2·rZ

Paso p = m · πRadio primitivo de funcionamiento r′ = r · cos(α)

cos(α′)

Espesor s = p2 + 2 ·m · x · tan(α)

Radio base rb = r · cos(α)

Hueco h = p2 − 2 ·m · x · tan(α)

Radio de cabeza ra = r + m · (1 + x)

Ángulo de presión de funcionamiento Ev(α′) = 2 · x1+x2

Z1+Z2· tan(α) + Ev(α)

Radio de pie rf = r −m · (1,25− x)

Distancia entre ejes de funcionamiento a′ = r′1 + r′2Factor de desplazamiento x = 14−Z

17Desplazamiento en la talla en V m·x

Piñón RuedaNúmero de dientes (Z) 9 10Módulo (m) (mm) 8 8

Radio primitivo de referencia (r) (mm) 36 40Radio primitivo de funcionamiento (r') (mm) 37.7350 41.9278

Radio base (rb) (mm) 33.8289 37.5877Radio de cabeza (rc) (mm) 46.3529 49.8824Radio de pie (rf) (mm) 28.3529 31.8824

Ángulo de presión de referencia (α ) (o) 20 20Paso (p) (mm) 25.1327 25.1327

Espesor (s) (mm) 14.2792 13.9366Hueco (e) (mm) 10.8536 11.1961

Factor de desplazamiento (x) 0.2941 0.2353Desplazamiento en la talla (mm) 2.3529 1.8824

Ángulo de presión de funcionamiento (o) 26.3Distancia entre ejes de funcionamiento (mm) 79.6628

6.7. Problema de engranajes (Junio 2003)Discutir, para obtener la reducción 13/15 entre dos ejes paralelos, la talla

y montaje correspondiente siendo el piñón de 13 dientes y módulo 5.1. Calcular los parámetros de talla y montaje.


Para cada rueda:Número de dientesMóduloRadio primitivo de referenciaRadio primitivo de funcionamientoRadio baseRadio de cabezaRadio de pieÁngulo de presión de referenciaPasoEspesorHuecoFactor de desplazamiento (x1, x2)Desplazamiento de la cremallera en la talla a V

Para la pareja de ruedas dentadas:Ángulo de presión de funcionamientoDistancia entre ejes de funcionamiento

2. Debido a di�cultades en el posicionamiento de uno de los ejes, la distanciaentre ejes debe modi�carse a 71 mm. Discutir si el tipo de montaje y tallacalculado anteriormente es válido para la nueva con�guración. Calcularlos nuevos parámetros de talla y montaje de la pareja de ruedas paraeliminar la holgura circunferencial.Solución:1.- Calcular los parámetros de talla y montaje.Dado que la suma del número de dientes de ambas ruedas es mayor o igual

que 28, se pueden tallar a V y montar a 0.Se usarán las siguientes fórmulas:


Módulo m = 2·rZ


cos(α′)










Por tanto:


Radio primitivo de referencia (r) (mm) 32.5 37.5Radio primitivo de funcionamiento (r') (mm) 32.5 37.5




Factor de desplazamiento (x) 0.0588 -0.0588Desplazamiento en la talla (mm) 0.2941 -0.2941

Ángulo de presión de funcionamiento (o) 20Distancia entre ejes de funcionamiento (mm) 70


2.- Calcular los parámetros de talla y montaje al modi�car la distanciaentre ejes de funcionamiento.

Al variar la distancia entre ejes de funcionamiento el montaje no puede sera 0. El factor de desplazamiento aplicado al piñón ha de ser obligatoriamenteel calculado en el apartado anterior para evitar la penetración.

Sabiendo que la distancia entre ejes de funcionamiento responde a la si-guiente expresión

a′ = a ∗ cos α

cos α′

se calcula el ángulo de presión de funcionamiento: α′ = 22,1108o.Haciendo uso de la siguiente ecuación

Evα′ = 2 ∗ x1 + x2

Z1 + Z2∗ tgα + Evα

se calcula el factor de desplazamiento para la rueda: x2 = 0,1515.Por tanto:


Radio primitivo de referencia (r) (mm) 32.5 37.5Radio primitivo de funcionamiento (r') (mm) 32.9643 38.0357




Factor de desplazamiento (x) 0.0588 0.1515Desplazamiento en la talla (mm) 0.2941 0.7575


Ángulo de presión de funcionamiento (o) 22.1108Distancia entre ejes de funcionamiento (mm) 71

6.8. Problema de engranajes (Septiembre 2003)En una aplicación industrial se desea conseguir, con ruedas cilíndrico rec-

tas, una relación de transmisión µ = 221/1005.Se pide:

1. Calcular el número de dientes de cada rueda para obtener la relaciónde transmisión dada con un tren de engranajes ordinario. Especi�car ladisposición de las ruedas y la condición que deben cumplir para que eltren sea recurrente.

2. Obtener la relación de transmisión dada con un tren de engranajes epici-cloidal de balancín. Dibujarlo y especi�car el número de dientes de cadarueda.

3. Calcular la relación de transmisión necesaria para obtener, con una parejade ruedas de las disponibles, un error absoluto menor de 0,0001 respectoa la dada. (Tomar una precisión de 8 decimales).

4. Con una relación de transmisión µ = 11/50 y para un módulo m = 4mm., expresar el tipo de montaje y talla de la pareja de ruedas y acotarla geometría del par, indicando los siguientes valores:Para cada rueda:

Radio primitivo de referencia y radio primitivo de funcionamientoRadio base, radio de cabeza y radio de piePaso, espesor y hueco

Para la pareja de ruedas dentadasÁngulo de presión de funcionamientoDistancia entre ejes de funcionamiento

NOTA.- Debido a condiciones de diseño:

La relación de transmisión de cada engrane individual no puede sobrepa-sar el valor = 5.El número máximo de dientes por rueda será de ZMAX = 80 y el mínimode ZMIN = 10 (10 ≤ Z ≤ 80).


solución:Para hallar una posible disposición de un tren ordinario que cumpla la

relación de transmisión pedida (µ = 221/1005), se descomponen el denomi-nador y el numerador:

µ =221

1005=

13 · 17

3 · 5 · 67=

17

67· 13

15

Una posible solución sería la siguiente disposición:Z1 = 17 Z2 = 67 Z3 = 13 Z4 = 15Para que el tren ordinario sea recurrente se tiene que cumplir que la dis-

tancia entre los dos ejes en cada engranaje sea igual:r1 + r2 = r3 + r4

m1

2· (Z1 + Z2) =

m2

2· (Z3 + Z4)

m2

m1=

Z1 + Z2

Z3 + Z4

Para la disposición propuesta, para que el tren sea recurrente, la relaciónentre los módulos de las ruedas que participan en cada engrane será:

m2

m1=

Z1 + Z2

Z3 + Z4=

17 + 67

13 + 15=

84

28= 3

NOTA 1.- Otra posible solución sería:Z1 = 13 Z2 = 67 Z3 = 17 Z4 = 15Donde la relación entre los módulos sería: m2

m1= Z1+Z2

Z3+Z4= 13+67

17+15 = 8032 = 2,

NOTA 2.- Si se desea trabajar con ruedas de 14 dientes o más, se puederecurrir a multiplicar el numerador y el denominador por 2:

µ =221

1005=

13 · 17

3 · 5 · 67· 2

2=

17

67· 26

30

Y otra posible solución sería: Z1 = 17 Z2 = 67 Z3 = 26 Z4 = 30Donde la relación entre los módulos sería: m2

m1= Z1+Z2

Z3+Z4= 17+67

26+30 = 8456 = 1, 5

Para obtener la relación de transmisión real de un tren epicicloidal debalancín, a partir de la relación de transmisión aparente, se particularizapara este caso la fórmula de Willis:


µA =ωM − ωL

ωO − ωL

Para el caso del tren epicicloidal de balancín ωM = 0, luego µA = ωL

ωO−ωL

Si se considera que la relación de transmisión real es µ = ωO

ωL

Las ecuaciones que vinculan la relación de transmisión real y la aparenteserán:

µ = 1− 1

µA⇒ µA =

1

1− µ

Para obtener la relación de transmisión pedida (µ = 221/1005) se opera:

µA =1

1− 2211005

=1005

784=

3 · 5 · 67

24 · 72 =15

16· 67

49

Y una posible solución sería la siguiente disposición:Z1 = 15 Z2 = 16 Z3 = 67 Z4 = 49Una posible representación esquemática de un tren epicicloidal de balancín

es el que se ofrece en la siguiente �gura.

Figura 6.30: Representación de un tren epicicloidal.

Para hallar la relación de transmisión con una pareja de ruedas y un errorabsoluto menor de 10-4 respecto a la dada ( = 221/1005), se usa el método de


descomposición en fracciones continuas hasta hallar una reducida que cumplalas especi�caciones.

R1 = 14 = 0, 25

E1 = |µ−R1| = |0, 21990049− 0, 25| = 3, 009951 · 10−2 > 10−4

R2 = 14+ 1

1

= 15 = 0, 2

E2 = |µ−R2| = 1, 990049 · 10−2 > 10−4

R3 = 14+ 1

1+11

= 29 = 0, 22222222

E3 = |µ−R3| = 2, 32173 · 10−3 > 10−4

R4 = 14+ 1

1+ 11+1

4

= 941 = 0, 21951219

E4 = |µ−R4| = 3, 883 · 10−4 > 10−4

R5 = 14+ 1

1+ 11+ 1

4+11

= 1150 = 0, 22

E5 = |µ−R5| = 9, 951 · 10−5 < 10−4

R6 = 14+ 1

1+ 11+ 1

4+ 11+1

3

= 42191 = 0, 21989528

E6 = |µ−R6| = 5, 21 · 10−6 < 10−4

R7 = µ = 2211005 = 0, 21990049 E7 = |µ−R7| = 0

Luego la relación de transmisión que cumple las especi�caciones es µ′ = 1150

Se dispone de un engrane con un módulo m = 4 mm. y un número dedientes Z1 = 11 (piñón) y Z2 = 50 (rueda).

Dado que una de las ruedas tiene un número de dientes inferior a 14dientes pero la suma del número de dientes de ambas ruedas es mayor de 28,se pueden efectuar dos tipos de montaje:

Montaje en V: Se tallará a V el piñón (menor de 14 dientes) pero noasí la rueda (mayor de 14 dientes) y se montarán en V.Montaje a cero: Se tallarán a V tanto el piñón como la rueda y semontarán a cero.



Módulo m = 2·rZ


cos(α′)










Montaje en VSe talla a cero (x2 = 0) la rueda de 50 dientes (posible ya que 50 ≥ 14) y

en V el piñón con un factor de desplazamiento:

x1 =14− Z

17=

14− 11

17= 0, 1765

y se efectúa un montaje en V.

Montaje a ceroSe talla a V la rueda de 50 dientes con un desplazamiento igual y de signo

contrario al dado al piñón:x2 = −x1 = −0, 1765y se efectúa un montaje a cero.

6.9 Problema de engranajes (Febrero 2004) 81

6.9. Problema de engranajes (Febrero 2004)Se quiere efectuar la talla y montaje de una pareja de ruedas de 11 y 13

dientes con un módulo m = 8, asegurando que no haya holgura circunferen-cial y evitando la penetración durante la talla y la interferencia durante elfuncionamiento. Se pide:1. En caso de utilizar el método de variar el ángulo de inclinación del diente


de la cremallera de talla, determinar estos ángulos.2. En caso de emplear el método de variar la altura máxima del diente de

la cremallera de talla, calcular las citadas alturas.3. En caso de usar el método de desplazamiento en la talla expresar el tipo

de montaje y talla de la pareja de ruedas y acotar la geometría del par,indicando los siguientes valores:Para cada rueda:

Piñón RuedaNúmero de dientes (Z) 11 13Módulo (m) (mm) 8 8Ángulo de presión de referencia (α) (o) 20 20Factor de desplazamiento (x)Desplazamiento en la talla (mm)Radio primitivo de referencia (r) (mm)Radio primitivo de funcionamiento (r') (mm)Radio base (rb) (mm)Radio de cabeza (rc) (mm)Radio de pie (rf) (mm)Paso (p) (mm)Hueco (e) (mm)Espesor (s) (mm)Espesor en la circunferencia de cabeza (sc)(mm)

Para la pareja de ruedas:

Ángulo de presión de funcionamiento (α′) (o)Distancia entre ejes de funcionamiento (a) (mm)

Grado de recubrimiento o coe�ciente de engrane (ε)

Solución:

1. Método de la variación del ángulo de inclinación del �anco deldiente de la cremallera de talla

El número mínimo de dientes que se puede construir sin que exista pene-tración en la talla viene determinado por la siguiente expresión:

Zlım ite =2

sen2αsiendo α el ángulo de inclinación del �anco de los dientes de la cremallerageneradora.


Para que no haya penetración al tallar una rueda con un número de dien-tes X, inferior a 14 dientes, hay que encontrar un ángulo α tal que produzcaun número de dientes límite inferior a X.

X ≥ 2sen2α α ≥ arc sin

(√2Z

)

En el caso del piñón (Z = 11) el ángulo α será:

α ≥ 25, 24o

Y en el caso de la rueda (Z = 13) el ángulo α será:

α ≥ 23, 09o

2. Método del rebajado de la altura del diente de la cremallera detalla

La expresión que determina la altura de cabeza que debe tener la crema-llera de talla para garantizar que no existe penetración es la siguiente:

r −m · y ≥ r b · cos α

Operando se llega a una expresión que relaciona el factor �y� con el númerode dientes de una rueda que no sufre penetración durante la talla.

r−m·y · cos2 α ⇒ r · (1−cos2 α) ≥ m·y ⇒ r · sin2 α ≥ m · y ⇒ y ≤ 2 · r

m·sin

2 α

2

y ≤ Z · sin2 α

2

En el piñón (Z = 11) y considerando que el ángulo α = 20o, será y ≤0,6434, siendo la altura de cabeza de los dientes de la cremallera de tallahc ≤ m · y = 8 · 0, 6434:

hc ≤ 5, 1472 mm.

En la rueda (Z = 13) con el ángulo α = 20o, será y ≤ 0,7604, siendola altura de cabeza de los dientes de la cremallera de talla hc ≤ m · y =8 · 0, 7604:


hc ≤ 6, 0832 mm.

3. Método del desplazamiento de la cremallera de tallaSe dispone de un engrane con un módulo m = 8 mm. y un número de

dientes Z1 = 11 (piñón) y Z2 = 13 (rueda).Dado que las dos ruedas tienen un número de dientes inferior a 14 (la

suma del número de dientes de ambas ruedas es menor de 28), para evitarla penetración en la talla se deben tallar en V. Para asegurar que no hayaholgura circunferencial ni interferencia durante el funcionamiento se debeefectuar el montaje en V.



A continuación se ofrecen los valores obtenidos para cada variable delpiñón y la rueda, derivados de la talla y montaje seleccionados, y teniendoen cuenta que se deber evitar la penetración en la talla y asegurar que nohaya holgura circunferencial ni interferencia durante el funcionamiento.

Para cada rueda:

Para la pareja de ruedas:

Capítulo 7

CUESTIONES DE TEORÍA

7.1. Introducción a la teoría de máquinas y mecanis-mos

1. Par cinemático. Clasi�cación.2. Esquema general de un conjunto mecánico. Describa los diferentes sub-

conjuntos del sistema transmisor.3. Determinar razonada y analíticamente la movilidad de los mecanismos

representados en las siguientes �guras. aplicar la regla de Gruebler.

Figura 7.1: Figura 7.2: Figura 7.3:

4. Esquema general de un conjunto mecánico. Sistema transmisor.5. Par elemental: cierre de forma, cierre de fuerza y cierre de enlace. Ejem-

plos.6. De�nición de par elemental. Pares fundamentales inferiores.7. Mecanismo de biela-manivela: inversiones.

86

7.2 Resistencias Pasivas y principios de lubricación 87

7.2. Resistencias Pasivas y principios de lubricación8. Tipos de resistencias pasivas. Coe�ciente de rodadura.9. Curva de Stribeck. Engrase perfecto.

10. Resistencia al pivotamiento. Indicar valores comparativos con otros tiposde resistencias pasivas.

11. Ley de Harrison en la lubricación de cojinetes.12. Resistencias pasivas en pares elementales. Explique las reacciones en el

punto de contacto (fuerzas y pares). Identi�que los vectores con los dife-rentes tipos de resistencias pasivas.

13. Coe�ciente de rigidez en correas.14. Indicar la expresión del coe�ciente de rozamiento al deslizamiento para

un par lubricado.15. Cono de rozamiento. Círculo de rozamiento.16. Describa el modelo de deslizamiento de un eje sobre el portaejes: círculo

de rozamiento.17. Enuncie la ley de Harrison en cojinetes: grá�co explicativo. 19. Rendi-

miento de una máquina.18. Coe�ciente de rigidez en correas: ecuación experimental de Coulomb.19. Expresión grá�ca de la ley de Hersey (Stribeck).20. Expresión grá�ca del círculo de rozamiento.

7.3. Análisis cinemático de máquinas21. Velocidad de cambio de polo en mecanismos planos.22. Para un punto dado de un eslabón genérico, dibuje la posición del cen-

tro de curvatura de la trayectoria del punto y el centro instantáneo derotación del eslabón.

23. Expresión grá�ca de la fórmula de Euler-Savary.24. Análisis grá�co de las aceleraciones en un cuadrilátero articulado plano.

Se supondrá una velocidad angular ω2 y una aceleración angular α2 en lamanivela de entrada.

25. Sean dos puntos A y B pertenecientes a dos elementos mecánicos en movi-miento relativo. Referir la aceleración del punto A a la de B, explicandoel signi�cado de cada uno de los vectores involucrados. Introducir lossistemas de referencia y los vectores cinemáticos necesarios.

7.4 Análisis dinámico de máquinas 88

26. Velocidad de cambio de polo. Cálculo para la biela de un cuadriláteroarticulado.

27. Cinema de velocidades. Características geométricas.28. Análisis grá�co de la velocidad de cambio de polo de la biela, en un

cuadrilátero articulado plano. Se supondrá una velocidad angular ω2 yuna aceleración angular α2 en la manivela de entrada.

29. Sean dos puntos A y B pertenecientes a un elemento mecánico en movi-miento. Referir la posición, la velocidad y la aceleración del punto A ala de B. Introducir los sistemas de referencia y los vectores cinemáticoscorrespondientes.

30. Expresión grá�ca del círculo de in�exiones.31. Cálculo grá�co de la aceleración normal en un punto A respecto a otro

punto B. Considerar que los puntos A y B pertenecen al mismo eslabón.32. Velocidad de cambio de polo: grá�co explicativo del cálculo de la compo-

nente de la velocidad de cambio de polo según la perpendicular al radiode curvatura de la trayectoria de un punto genérico P en un instantedeterminado t.

33. Enumere técnicas de determinación de velocidades en los mecanismosarticulados en el plano.

7.4. Análisis dinámico de máquinas34. Aplique el Teorema del Centro de Masas a un eslabón genérico de un

mecanismo plano.35. Explique brevemente los tipos de análisis dinámicos sobre un mecanismo.36. Reducción dinámica de un sistema articulado de un grado de libertad a

la manivela de salida. Cálculo de la masa reducida.37. Condiciones para que un sistema de masas puntuales (mi, i=1, ..., n) sea

dinámicamente equivalente a un eslabón de centro de masas G, masa My momento de inercia respecto a G igual a IG.

38. Explicar la forma de calcular los esfuerzos y pares de inercia en un ele-mento mecánico en movimiento. Introducir cuantos vectores, teoremas ysistemas de referencia sean necesarios.

39. Reducción dinámica de un sistema articulado de un grado de libertad ala manivela de salida.

7.5 Teoría general de engranajes 89

40. Aplique el principio de los trabajos virtuales al mecanismo de la �gura7.4. Calcule la fuerza reducida y equilibrante en el punto C, suponiendoconocidas las velocidades en A y en C ( −→VA y −→VC ) y sabiendo que se leaplica una fuerza vertical en A igual a −→FA (formando 60 o con −→VA).

Figura 7.4:

7.5. Teoría general de engranajes41. Explique los conceptos de: talla y montaje en engranajes.42. Penetración e interferencia en el engrane de ruedas cilíndrico rectas: nú-

mero límite de dientes.43. Representar grá�camente el segmento de engrane de un par de ruedas

cilíndrico rectas estándar de m = 5, Z1 = 10 y Z2 = 14.44. Trenes de engranajes epicicloidales: fórmula de Willis.45. Hágase el montaje de un par de ruedas cilíndrico rectas estándar de m =

5, Z1 = 10 y Z2 = 14. Represente grá�camente los parámetros de lasdentaduras y de las ruedas.

46. Palancas rodantes: condición de relación de transmisión constante.47. Nomenclatura del dentado en ruedas cilíndrico rectas.48. Fórmula de Willis. Aplicación a un tren de engranajes epicicloidal simple

y de balancín.49. Palancas rodantes: condición de contacto permanente.50. Representar grá�camente las relaciones geométricas entre: línea de en-

grane, circunferencia base, circunferencia primitiva y evolvente.

7.5 Teoría general de engranajes 90

51. Expresar grá�camente la condición geométrica límite para evitar la pe-netración en ruedas dentadas talladas a cero.

52. Hágase el montaje de un par de ruedas cilíndrico rectas estándar de m =5, Z1 = 10 y Z2 = 14. Represente grá�camente los parámetros de lasdentaduras y de las ruedas.

53. Fórmula de Willis. Aplicación a un tren epicicloidal recurrente.54. Engranajes cónicos: construcción de Tredgold.55. Representar grá�camente la penetración e interferencia en el engrane de

ruedas cilíndrico rectas. Obtener la relación geométrica del número límitede dientes para evitarla.

56. Fórmula de Willis. Aplicación a un tren epicicloidal de balancín.57. Hágase el montaje de un par de ruedas cilíndrico rectas estándar de m =

5, Z1 = 10 y Z2 = 14. Represente grá�camente el segmento de engrane.58. Nomenclatura de una rueda estándar de módulo m y Z dientes tallada

con desplazamiento +xm: paso, paso angular, radio base, radio de cabeza,radio de pie, radio primitivo de talla, espesor.

59. Comparar los parámetros geométricos del diente de per�l de evolventenormalizado de una rueda de módulo m tallada a cero con otra del mismomodulo m tallada a V (+x∆m).

60. Calcular un par de ruedas dentadas que, para un número máximo de 150dientes por rueda, veri�quen una relación de transmisión µ = 142/249con un error inferior a 10−4.

61. Dibuje y describa un tren epicicloidal simple recurrente: obtenga la re-lación de transmisión aparente y la real que se establece entre el eje desalida y el de entrada, especi�cando que eje es cada cual.

Cuaderno_problemas Universidad Carlos III

Documents

Transcript of Cuaderno_problemas Universidad Carlos III