Cuaderno de Trabajo de Geometría y Trigonometría 2 semestre Preparatoria

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS DEL ESTADO DE JALISCO

Geometría y Trigonometría

1 Ing. Edison Villacrés2013

Geometría y TrigonometríaCuaderno de Trabajo

Nombre: _________________________

El cuernillo de trabajo es una estrategia de aprendizaje para facilitarle al alumno el trabajo por medio de un cuaderno que ya tenga todos los ejercicios que se

llevaran durante el desarrollo de la materia. Bienvenidos jóvenes al fascinante mundo de las matemáticas.



Primer ParcialSecuencia 1 Actividad IPrueba de Diagnóstico

Nombre: ______________________________ Grupo: ___________

Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas. 1. Según tu propia percepción, escribe la definición de Geometría:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿qué es un punto?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. La recta, es una línea que tiene todos sus puntos en una misma dirección, cuando los puntos no siguen una misma dirección la línea puede ser: curva, quebrada o mixta, según tu percepción, clasifica las siguientes líneas: AB_______________ CD _______________ EF _______________ GH _______________

4. ¿Qué entiendes por superficie?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas son perpendiculares, ¿en qué nos basamos para afirmar esta aseveración?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Escribe el significado de hipótesis:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. ¿Cuáles son las rectas paralelas?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. El teorema de Pitágoras de Sarrios enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de un triángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación:________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

9. ¿Qué es un segmento?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees tú que influye el ángulo en el que el competidor lanza el objeto?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 Ing. Edison Villacrés

Geometría y TrigonometríaCuaderno de Trabajo

Nombre: _________________________

El cuernillo de trabajo es una estrategia de aprendizaje para facilitarle al alumno el trabajo por medio de un cuaderno que ya tenga todos los ejercicios que se

llevaran durante el desarrollo de la materia. Bienvenidos jóvenes al fascinante mundo de las matemáticas.



Puntos y RectasPuntos

Un punto no tiene dimensiones. Sirve para indicar una posición. Se nombran con letras mayúsculas.Rectas

Una recta tiene una dimensión, longitud; se designan mediante dos de sus puntos o mediante una letra minúscula. Dos puntos determinan una recta.

Dos rectas que se cortan determinan un punto.

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios, según se recorra la recta de izquierda a derecha o de derecha izquierda.Semirrectas

Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos.




Planos

Un plano posee dos dimensiones: longitud y anchura. Se nombran mediante letras griegas: α (alfa), β (beta)... Dos planos que se cortan determinan una recta.Un plano viene determinado por: Tres puntos no alineados.

Dos Rectas que se Cortan.

Dos Rectas Paralelas.

Por un Punto y una Recta.

Semiplanos

Un semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano por una cualquiera de sus rectas.

Posiciones Relativas de Rectas en un Plano




Rectas Paralelas.- Son las que estando en el mismo plano, no son secantes.

Rectas Secantes.-Son las que se cortan en un único punto, llamado punto de intersección.

Rectas Coincidentes.-Son aquellas en las que todos sus puntos se superponen.Rectas Perpendiculares.- Son dos rectas secantes que dividen un plano en cuatro partes iguales.

SegmentosDefinición de Segmento.- Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.

Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.

Tipos de Segmentos Segmento Nulo .- Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden. Segmentos Concatenados .- Dos segmentos son concatenados cuando tienen un extremo

en común .

Segmentos Consecutivos .- Dos segmentos son consecutivos cuando además de tener un extremo en común pertenecen a la misma recta.




Mediatriz de un Segmento .- La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular a él.

Operaciones con Segmentos Suma de Segmentos .- La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el

origen del primer segmento y como final el final del segundo segmento

La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman.

Resta de Segmentos .- La resta de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del segmento menor y por final el final del segmento mayor.

La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos segmentos. Producto de un Número por un Segmento .- El producto de un número con un segmento es

otro segmento resultado de repetir el segmento tantas veces como indica el número por el que se multiplica




La longitud del segmento obtenido es igual al número por la longitud del segmento inicial. División de un Segmento por un Número .- La división de un segmento por un número es

otro segmento tal que multiplicado por ese número da como resultado el segmento original

La longitud del segmento obtenido es igual la longitud del segmento inicial divido por el número.

División de un Segmento en Partes .- Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.




Secuencia 1 Actividad II1. Observen la figura y respondan lo que se les pide:

a. Determina tres segmentos_______________________________b. Determina cinco puntos _________________________________c. Determina una figura plana_______________________________d. Determina dos Segmentos Paralelos ________________________e. Determina dos segmentos perpendiculares____________________f. Determina un ángulo ___________________________________.

2. Relaciona las definiciones de la derecha con el número correspondiente al enunciado de la izquierda.

a. Si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales, los resultados son iguales.

b. Por dos puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta y solo una.

c. La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo valen un ángulo recto.

d. Llámese así a toda proposición que puede ser demostrada mediante un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad.

e. Elemento geométrico elemental que no tiene partes, solo posición.

f. A un conjunto de puntos continuos, en una misma dirección le llamamos.

g. Límite que separa los cuerpos del espacio que los rodea y que tiene dos dimensiones (largo y ancho).

h. Fin y término del procedimiento deductivo, que establece absolutamente convincente una verdad.

i. Se le llama así al conjunto de puntos comprendidos entre dos puntos señalados en una recta.

j. ¿Nombre que reciben las rectas de un plano, cuando al prolongarse no tienen ningún punto en común?

k. Son dos rectas que se intersecan en un punto formando un ángulo de 90°.

l. Es un par de rectas que se cortan entre sí formando un par de ángulos más grandes que otro par.

m. Tienen su sentido definido de arriba hacia abajo o de abajo hacia arriba.

n. Es la línea imaginaria que se traza respecto al horizonte al atardecer.

o. Etimológicamente su nombre alude a las raíces griegas que significan "medir la Tierra".

( ) Geometría

( ) Axioma

( ) Vertical

( ) Corolario

( ) Superficie

( ) Paralelas

( ) Punto

( ) Teorema

( ) Demostración

( ) Perpendiculares

( ) Horizontal

( ) Segmento

( ) Oblicuas

( ) Línea recta

( ) Postulado

3. Completen los enunciados a las preguntas siguientes:a. Para que un segmento se transforme en una semirrecta, es necesario

que:__________________b. Para que un segmento se transforme en recta se necesita que:___________________________c. Si tuvieran dos rectas diferentes, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?___________________d. Si fueran paralelas, ¿en cuántos puntos podrían coincidir?_____________________________e. Si fueran perpendiculares ¿en cuántos puntos podrían coincidir?_________________________




f. ¿Qué ángulos se forman al cortarse dos rectas perpendicularmente? ______________________g. Si se sabe que no tiene dimensiones, sino sólo posición, se habla de:

_______________________h. Si se sabe que sólo tiene una dimensión, se habla de:__________________________________i. ¿Qué entienden por semiplano? _________________________________________________

4. De acuerdo a la posición que guardan las siguientes rectas escribe de cual se trata.

A con B _______________

F con C _______________

F con A _______________

E con B _______________

E con D _______________

D con B _______________

A con D _______________

A con E _______________

B con F _______________

D con F _______________

5. Con base en las figuras, escriban lo que se pide en cada caso:

a. Dos parejas de segmentos perpendiculares

b. Una pareja de segmentos paralelos

c. Una pareja de segmentos paralelos

d. Una pareja de segmentos perpendiculares

e. Dos parejas de segmentos




paralelos

f. Tres puntos

g. Cuatro puntos

6. Tracen lo que se pide en cada caso:a. Dos rectas paralelas

b. Un punto P

c. Un plano

d. Dos rectas perpendiculares

e. Una semirrecta

f. Un segmento AB

g. Una recta m

h. Un segmento RS de 3 cm

i. Un sólido geométrico

j. Una recta horizontal

k. Es una parte del plano limitada por una recta

l. Es la porción de recta limitada por dos puntos

m. Es la recta perpendicular al horizonte

7. Resuelvan los problemas siguientes:a. Tracen un polígono que tenga cinco segmentos

b. Tracen un plano y en él tres puntos no colineales




c. Representen la intersección de dos planos

d. Señalen dos puntos y tracen todas las rectas que los unan

8. Completen cada enunciadoa. Son dos rectas que al cortarse forman ángulos de 90°

b. son dos rectas que al prolongarse se cortan en un punto

9. Realicen lo que se pide en cada caso: a. Dibujen algo que esté formado por planos.

b. Dibujen algo que esté formado por rectas paralelas.

c. Dibujen algo que contenga al menos tres parejas de segmentos perpendiculares.

10.Cuando dos rectas se cortan entre sí forman ángulos, cuando decimos que dos rectas son perpendiculares, ¿en qué nos basamos para hacer esta aseveración?

11.Escribe el significado de hipótesis

12.¿Cuáles son las rectas paralelas?

13.El Teorema de Pitágoras de Samos enuncia la relación que existe entre la hipotenusa y los lados de un triángulo rectángulo, escribe como se enuncia esta relación:

14.¿Qué es un segmento?

15.En los Juegos Olímpicos de Londres 2012 en la disciplina de lanzamiento de jabalina ¿Cómo crees tú que influye el ángulo en el que el competidor lanza dicho objeto?




ÁngulosUn ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

Medición de ángulosPara medir ángulos utilizamos el grado sexagesimal (°) Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360 partes iguales.

1o=60'=3600 ' '1'=60 ' '

Radián. - Radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de su radio.

1 rad=57o17 '44.8 ' '

360o=2π rad

Operaciones con ángulosSuma de Ángulosa. Gráfica

La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya ampl i tud es la suma de las ampl i tudes de los dos ángulos in ic ia les.

b. Numérica 1. Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos

debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

32024' 48' '

+ 43049'25 ' '

75073'73 ' '

2. Si los segundos suman más de 60 , se div ide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.




73' ' 60

13' ' 1'

75074' 13' '

3. Se hace lo mismo para los minutos.

74 ' 60

14 ' 1o

76014 '13' '

Resta de Ángulosa. Gráfica

La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la d i ferencia entre la ampl i tud del ángulo mayor y la del ángulo menor.

b. Numérica 1. Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos

debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

52023'78' '

- 43049'25 ' '

2. Se restan los segundos . Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

52023'78' '

- 43049'25 ' '

❑❑❑❑53' '

3. Hacemos lo mismo con los minutos.

52023'78' '

- 43049'25 ' '

08o33' 53' '

Multiplicación de Ángulosa. Gráfica

La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número.

b. Numérica 1. Multiplicamos los segundos, minutos y grados por el número.

32023' 49' '




* ❑❑❑❑5❑

160o115 '245' '

2. Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

245' ' 60

5' ' 4 '

1600119' 5' '

3. Se hace lo mismo para los minutos.

119 ' ' 60

59' ' 1'

161059'5' '

División de ángulosa. Gráfica

La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original.

/4 = b. Numérica

Dividir 37º 48' 25'' entre 5 1. Se dividen los grados entre el número.

37o 5

2❑7o

2. El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

37o 5

2❑7o

2∗60=120'

3. Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

48+120'=168o

168o 5

18❑

333'

3∗60=180 ' '

4. Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

25+180'=205o

205' ' 5




5❑

041'

7o33' 41' '

Tipos de ángulosClasificación de ángulos según su medida

Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°

Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°

Nulo = 0º Completo = 360° Negativo < 0º

Mayor de 360°

Tipos de Ángulos Según su Posicióna. Ángulos Consecutivos

Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.b. Ángulos Adyacentes




Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro.

Forman un Ángulo Llano.a. Ángulos Opuestos por el Vértice

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos 1 y 3 son iguales. Los ángulos 2 y 4 son iguales.

Clases de Ángulos según su Sumaa. Ángulos Complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90°.b. Ángulos Suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.Ángulos entre Paralelas y una Recta Transversala. Ángulos Correspondientes

Los ángulos 1 y 2 son iguales.b. Ángulos Alternos Internos




Los ángulos 2 y 3 son iguales.c. Ángulos Alternos Externos

Los ángulos 1 y 4 son iguales.

Ángulos en la Circunferencia a. Ángulo Central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

b. Ángulo Inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.Mide la mitad del arco que abarca.

c. Ángulo Semiinscrito




El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.Mide la mitad del arco que abarca.

d. Ángulo Interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

e. Ángulo Exterior Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

f. Ángulos de un polígono regular

g. Ángulo central de un polígono regular Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360°: n Ángulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72º

h. Ángulo interior de un polígono regular Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior =180° − Ángulo central. Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

i. Ángulo exterior de un polígono regular




Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

j. Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

BisectrizDefinición de bisectrizLa bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.

Trazar la bisectriz1. Se traza un arco correspondiente al ángulo2. Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos

arcos que han de cortarse en un punto.3. La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.

Otra forma de dibujar la bisectriz de un ángulo1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.2. Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos

circunferencias con el mismo radio.3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias

es la bisectriz.

Incentro

El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo.El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.




Secuencia 1 Actividad III1. Identifica y/o resuelve los siguientes enunciados y/o problemas:

Mide con un trasportador las siguientes figuras e indica con tres letras los ángulos: adyacentes, consecutivos, opuestos por el vértice, rectos, agudos, y obtusos.

2. Contesta brevemente lo que se te pide. a. ¿Cómo se designan (nombran) los ángulos?

b. ¿Qué tipos de ángulos conoces?

c. ¿Qué es un ángulo?

d. ¿Cuánto mide un Ángulo Recto?

3. Halla el Conjugado de los siguientes ÁngulosÁngul

oConjugado Gráfica

300º




20º

150º

359º

180º

4. En las siguientes figuras encuentra el valor de “X”

5. Calcula el valor de los siguientes ángulos.ÁNGULOS SOLUCIÓN




6. En la siguiente figura ¿110o y=53o obtén los valores de los ángulos b, c, d y e, también

demostrar que b+d+e=180o

ÁNGULOS SOLUCIÓN




7. Realiza las conversiones de grados a radianes o radianes a grados, según lo que se pideGrados a Radianes Radianes a Grados

78O

5 rad

175O

3π5

rad

64O27'35' '

12 rad

143O56' 19' '

3.5 rad

245O π7

rad

8. Escribe el nombre correspondiente a los ángulos señalados, según su posición de sus lados




9. Identifica los ángulos y completen correctamente lo que sigue:

10. Complete cada enunciado:

a. Ángulo equivalente a dos rectas

b. Si mide 78o, entonces es un Ángulo

c. Si el Angulo β=200o es un Ángulo

d. Si F̂=106o es un Ángulo

e. ¿Qué sucede si α̂=400o?

11. Realice lo que se pide, para lo cual usen la figura.

a. Nombren tres ángulos rectos

b. Nombren cinco ángulos agudos

c. Nombren cuatro ángulos obtusos

d. Nombren tres ángulos llanos

e. Nombren dos ángulos convexos

12. Resuelvan los problemas siguientes:a. Si se tiene un ángulo recto y se coloca un tercer lado para formar un triángulo, ¿qué clase

de ángulos serán los otros dos?




b. En un reloj de manecillas, si se toma a la aguja pequeña como lado inicial y a la aguja grande como lado final, ¿qué ángulo se forma a las 10:30, 3:05, 12:00? Nombren tres horas diferentes donde se formen ángulos rectos.

13. De Acuerdo con las figuras, determinar la medida de los ángulos:

∝=¿

β=¿

P=4 X+5

Q=X

R=X−5

A=¿

B=¿

C=¿

a¿55o

b

c=53o




d=¿

a+b=¿

∆ABC Es rectángulo

AB=BD

Α=

Β=

ϒ=

ϴ=

CDB=¿

a¿

b¿

c¿

a+b+c=¿

ABC=40O

BCA=¿

CAB=120O

DAC=¿

1¿65O

2=¿

3=¿

4=¿




5=¿

6=¿

7=¿

14. De acuerdo con la figura, completen correctamente y justifiquen:

a. ¿Cómo son entre sí los ángulos a y α?

b. ¿Cómo son entre sí los ángulos b y β?

c. a+ϒ +b=¿d. α+b+ϒ=¿e. α+β+ϒ=¿ _______ y a+b+ϒ=¿ _______ ¿Qué puede concluir?

15. Calcule la medida de los ángulos indicados:α=β=ϒ=

a=¿b =

c=

d=

e=

f=

1=500

2=3=4=

16. Completar correctamente:

a. El Complemento de 65O

b. El Complemento de 72O

c. El Complemento 30O30O

d. El Suplemento de 130O45 '

e. El Suplemento de 89O




f. El Suplemento de 45O45O




PolígonosDefinición.-Un polígono es la región del plano limitada por tres o más segmentos.Elementos de un polígono

Lados.-Son los segmentos que lo limitan.Vértices.-Son los puntos donde concurren dos lados.Ángulos interiores de un polígono.- Son los determinados por dos lados consecutivos.Suma de ángulos interiores de un polígono.-Si n es el número de lados de un polígono: La suma de los ángulos de un polígono = (n − 2) · 180° Diagona l .- Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivosNúmero de diagonales de un polígono.- Si n es el número de lados de un polígono: El Número de diagonales = n · (n − 3) : 2

4 · (4 − 3) : 2 = 2

5 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9

Tipos de polígonosSegún sus lados

Triángulos Cuadriláteros Pentágonos




Tienen 3 lados Tienen 4 lados Tienen 5 lados

Hexágonos

Tienen 6 lados

Heptágonos

Tienen 7 lados

Octágonos

Tienen 8 ladosEneágono

Tiene los 9 lados

Decágono

Tiene 10 lados.

Endecágono

Tiene 11 ladosDodecágono

Tiene 12 lados

Tridecágono

Tienen 13 lados

Tetradecágono

Tiene 14 lados.Pentadecágono Hexadecágono Heptadecágono




Tiene 15 lados Tiene 16 lados Tiene 17 ladosOctadecágono

Tiene 18 lado

Eneadecágono

Tienen 19 lados

Icoságono

Tiene 20 ladosSegún sus ángulosConvexos

Todos sus ángulos menores que 180°. Todas sus diagonales son interiores. Cóncavos

Si un ángulo mide más de 180°.Si una de sus diagonales es exterior.

Elementos de un Polígono RegularPolígonos Regulares.- Un polígono regular es el que tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales.Elementos de un polígono regular




Centro.- Punto interior que equidista de cada vérticeRadio.- Es el segmento que va del centro a cada vértice.Apotema.- Distancia del centro al punto medio de un lado.

Ángulos de un polígono regularClases de ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular.- Es el formado por dos radios consecutivos.Si n es el número de lados de un polígono: Ángulo central = 360°: n.Ángulo central del pentágono regular= 360°: 5 = 72ºÁngulo interior de un polígono regularEs el formado por dos lados consecutivos. Ángulo interior=180° − Ángulo central, Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108ºÁngulo exterior de un polígono regularEs el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo. Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º. Ángulo exterior = Ángulo central Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

Clasificación de Polígonos RegularesTriángulo Equilátero Cuadrado Pentágono Regular




Tiene los 3 lados y ángulos iguales

Tiene 4 lados y ángulos iguales


Hexágono Regular


Heptágono Regular

Tienen 7 lados y ángulos iguales

Octágono Regular

Tiene 8 lados y ángulos iguales.

Eneágono Regular

Tiene los 9 lados y ángulos iguales

Decágono regular


Endecágono Regular


Dodecágono regular


Tridecágono Regular


Tetradecágono Regular


Pentadecágono Regular


Hexadecágono Regular


Heptadecágono Regular


Octadecágono Regular Eneadecágono Regular Icoságono Regular







Polígono InscritoUn polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en ella.Circunferencia Circunscrita

Es la que toca a cada vértice del polígono. Su centro equidista de todos los vértices. Su radio es el radio del polígono.Circunferencia Inscrita

Es la que toca al polígono en el punto medio de cada lado. Su centro equidista de todos los lados. Su radio es la apotema del polígono.

Tipos de triángulosUn triángulo es un polígono con tres lados.Propiedades de los triángulos1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Según sus Lados

Triángulo Equilátero

Tres lados iguales

Triángulo Isósceles

Dos lados iguales

Triángulo Escaleno

Tres lados desigualesSegún sus Ángulos


http://www.vitutor.net/2/1/7.html



Triángulo Acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo Rectángulo

Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados

menoresson los catetos

Triángulo Obtusángulo

Un ángulo obtuso.

Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un Triángulo

Alturas de un triánguloAltura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturas.Medianas de un TriánguloMediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.Baricentro.- Es el punto de corte de las tres medianas

El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto. BG = 2GAMediatrices de un TriánguloMediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.Circuncentro




Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.Bisectrices de un TriánguloBisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.Incentro

Es el punto de corte de las tres bisectrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.Recta de Euler

CuadriláterosLos cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°. Clasificación de CuadriláterosParalelogramosCuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos. Se clasifican en:

Cuadrado

Tiene los 4 lados iguales y los 4 ángulos rectos

Rectángulo

Tiene lados iguales dos a dos y los 4 ángulos rectos

Rombo

Tiene los cuatro lados iguales

Romboide

Tiene lados iguales dos a dos




TrapeciosCuadriláteros que tienen dos lados paralelos, llamados base mayor y base menor. Se clasifican en:

Trapecio Rectángulo

Tiene un ángulo recto

Trapecio Isósceles

Tiene dos lados no paralelos iguales

Trapecio Escaleno

No tiene ningún lado igual ni ángulo recto

Trapezoides

Cuadriláteros que no tiene ningún lado igual ni paralelo




Circunferencia

Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.Centro de la Circunferencia.- Punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.Radio de la Circunferencia.- Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.Elementos de la circunferencia

Cuerda

Segmento que uneñ. dos puntos de la circunferencia

Diámetro

Cuerda que pasa por el centro

Arco

Cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita

Semicircunferencia

Cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

Círculo

Es la figura plana comprendida en el interior de una circunferencia

Elementos de un círculoSegmento circular

Porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente

Semicírculo

Porción del círculo limitada por un diámetro y el arco correspondiente. Equivale a la mitad del círculo.

Zona circular

Porción de círculo limitada por dos cuerdas.

Sector circular Corona circular Trapecio circular




Porción de círculo limitada por dos radios

Porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.

Porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

Posiciones relativas de Circunferencias.- Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia

Interior

Su distancia al centro es menor que el radio.

Punto sobre la circunferencia.

Punto exterior a la circunferencia

Su distancia al centro es mayor que el radio

Posiciones relativas de una recta y una circunferenciaRecta Secante

La recta corta a la circunferencia en dos puntos

Recta Tangente

La recta corta a la circunferencia en un punto

Recta Exterior

No tiene ningún punto de corte con la circunferencia

Posiciones relativas de dos circunferencias.- Ningún punto en comúnExteriores

La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.

Interiores

La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.

Concéntricas

Los centros coinciden.

Un punto comúnTangentes Exteriores Tangentes Interiores




La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

Dos puntos en comúnSecantes

La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.Ángulos en la Circunferencia

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo Inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo Semiinscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo Interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados

secantes a ella.

Ángulo ExteriorSu vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:




Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las

prolongaciones de sus lados.

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

ÁreasLongitud de una circunferencia

Longitud de un arco de circunferencia

Área de un círculo

Área de un sector circular Área de una corona circular

Es igual al área del círculo mayor menos el área del

círculo menor.

Área de un trapecio circular

Es igual al área del sector circular mayor menos el área

del sector circular menor.

Área de un segmento circular




Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

Lúnula de HipócratesConstrucción de una lúnula de Hipócrates

Partimos de un triángulo isósceles rectángulo.

Con centro en O se traza el arco AB.

Con centro en M, que es el punto medio de la hipotenusa, se traza el otro arco. La parte enmarcada por el color verde se llama lúnula de Hipócrates.




Secuencia 1 Actividad IVCircunferencia y círculo. Ejercicios 1. La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda

ha dado 100 vueltas?

2. Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en metros del arco correspondiente? 1 milla = 1 852 m

3. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?

4. El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.




5. Hallar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

6. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

7. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

8. la superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.




9. Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6 cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.

10. Calcula el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

11. Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.




12. Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.

13. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

14. Calcula el área sombreada, sabiendo que el lado de cuadrado es 6 cm y el radio del círculo mide 3 cm.




15. En una plaza de forma circular de radio 250 m se van a poner 7 farolas cuyas bases son círculos de un 1 m de radio, el resto de la plaza lo van a utilizar para sembrar césped. Calcula el área del césped.




TriángulosDefinición de triánguloUn triángulo es un polígono de tres lados.Propiedades de los triángulos

1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3. El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Clasificación de triángulosSegún sus lados

Triángulo Equilátero

Tres lados Iguales

Triángulo Isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo Escaleno

Tres lados desigualesSegún sus ÁngulosTriángulo Acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo Rectángulo

Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso

Elementos notables de un triánguloAlturas de un triánguloAltura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación).

Ortocentro

Es el punto de corte de las tres alturasOrtocentro.- Es el punto de corte de las tres alturas

Medianas de un triángulo.- Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.Baricentro.-Es el punto de corte de las tres medianas




El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que el segmento que une baricentro con el punto medio del lado opuesto.

BG = 2GAMediatrices de un triángulo.- Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su punto medio.Circuncentro.- Es el punto de corte de las tres mediatrices. Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.

Bisectrices de un Triángulo.- Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.Incentro

Es el punto de corte de las tres bisetrices. Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo. Recta de Euler

El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler. Teorema del catetoEn todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

a hipotenusa




b y c catetos

m proyección del cateto b sobre la hipotenusa

n proyección del cateto c sobre la hipotenusa

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.

Teorema de la alturaEn un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.




Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Aplicaciones del teorema de Pitágoras1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa

Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

3. Conociendo sus lados, averiguar si es rectánguloPara que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.Determinar si el triángulo es rectángulo.




Aplicaciones del teorema de PitágorasDiagonal del cuadrado

Diagonal del rectángulo

Aplicaciones del teorema de Pitágoras ILado oblicuo del trapecio rectángulo




Altura del trapecio isósceles

Altura del triángulo equilátero




Aplicaciones del teorema de Pitágoras IIApotema de un polígono regular

Apotema del Hexágono Inscrito

Aplicaciones del teorema de Pitágoras IIILado de un triángulo equilátero inscrito




Lado de un Cuadrado Inscrito

Secuencia 1 Actividad VAplicaciones del teorema de Pitágoras. Ejercicios 1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y la proyección de un cateto sobre

ella 60 m. Calcular:




a. Los catetos.b. La altura relativa a la hipotenusa.c. El área del triángulo.

2. Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que la proyección de uno de los catetos

sobre la hipotenusa es 6 cm y la altura relativa del mismo √24 cm.

3. Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

4. Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus áreas?

5. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.56 Ing. Edison Villacrés



6. Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 cm.

7. En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.

8. El per ímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.

9. A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.







10. En una circunferencia una cuerda mide 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.

11. Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

12. Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento c i rcular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

13. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.

14. Calcular el área de la corona c ircular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.






15. Si los lados no paralelos de un trapecio isósceles se prolongan, quedaría formado un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Sabiendo que el trapecio tiene la mitad de la altura del triángulo, calcular el área del trapecio.

16. El área de un cuadrado es 2304 cm². Calcular el área del hexágono regular que tiene su mismo perímetro.

17. En una c ircunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.








Trigonometría Medida de ángulos.- Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario. Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:1. Grado sexagesimal (°) .- Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo

central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

2. Radián (rad) .- Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.

2π rad=360 ° π rad=180 °

Ejemplos

30o→rad

πμ=180

o

30o

μ= π∗30o

180o

μ= π6rad

πrad

→grados

ππ3

=180o

μ

μ=

180o∗π3π

μ=180o π

3π

μ=60o

Razones Trigonométricas

Seno

Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sin B.

CosenoCoseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cosB.




TangenteTangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.

Se denota por tanB

Cosecante Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

Se denota por csc B.

SecanteSecante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

CotangenteCotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B. Se denota por cot B.

Razones Trigonométricas de Cualquier ÁnguloSe llama circunferencia gonio métrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad. En la circunferencia gonio métrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.QOP y TOS son triángulos semejantes.

QOP y T'OS son triángulos semejantes′ .

El seno es la ordenada.

El coseno es la abscisa.

−1≤sin∝≤1−1≤cos∝≤1

sin∝= PQOP

= PQr

=PQ csc∝=OPPQ

= OS 'OT '

=OS'r

=OS '




cos∝=OQOP

=OQ sec∝= OPOQ

=OSOT

=OSr

=OS '

tan∝= PQOQ

= STOT

= STr

=ST cot∝=OQPQ

= ST 'OT '

=ST 'r

=ST '

Signo de las Razones Trigonométricas

∝ 0O 90O 180O 270O

sin❑ 0 1 0 -1

cos❑ 1 0 -1 0

tan❑ 0 →∞ 0 →−∞

Razones Trigonométricas de 30o ,45o60o

Seno, coseno y tangente de 30º y 60ºSi dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:Seno, coseno y tangente de 30oy 60o

h=√l2−( l2 )2

= √ l2−l2

4 = √ 4 l2−l2

4 = √ 3 l24 = √3

2l

sin 30o=

l2l=

l2

sin 60o=

√32

l

1=√32

cos30o=

√32

l

l=√32

coss 60o=

l2l=

l2

tan30o=

12

√32

=1

√3=√33

tan60o=

√3212

=2√32

=√3

Seno, coseno y tangente de 45o

¿√ l2+l2=√2 l2=l √2




sin 45o= ll √2

= l√2

=√22

cos 45o= ll √2

= l√2

=√22

tan 45o=

l √22

l √22

=l √2l √2

=1

Razones Trigonométricas de Ángulos Notables

∝ 0O 30O 45O 60O 90O 180O 270O

sin❑ 012

√22

√32

1 0 -1

cos❑ 1 √32

√22

12

0 -1 0

tan❑ 0 √33

1 √3 →∞ 0 →−∞

Identidades Trigonométricas Fundamentalescos ²α+sen ²α=1sec ²α=1+ tg ²α

csc ²α=1+cotg ²α

csc∝= 1sin∝

sec∝= 1cos∝

cot∝= 1tan∝

= cos∝sin∝

Sabiendo que sin∝=35

, y que 90O<∝<180O. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

sin∝=35cos∝=5

3

cos∝=−√1−( 35 )2

=−√ 25−925=−√ 1625=−4

5sec∝=−5

4

tan∝=−3545

=−34cot∝=

−43

Sabiendo que tan∝=2, y que 180O<∝<270O. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α .

cos∝=−1√5

=−√55

sec∝=−√1+4=−√5




sin∝=2(−√55 )=−2√5

5csc∝=−√5

2

tan∝=2cot∝=12

Identidades Trigonométricas

Ángulos Complementarios.- Son aquéllos cuya suma es 90oó

π2

radianes.

sin( π2−∝)=cos∝cos ( π2−∝)=sin∝tan( π2−∝)=cot∝

sin 60o=sin (90o−30o )=cos30o=√32

cos60o=cos (90o−30o )=sen30o=12

tan60o=tan (90o−30o )=cot 30o=√3

Ángulos suplementarios.- Son aquéllos cuya suma es 180 ° ó π radianes. sin ( π−∝ )=sin∝cos (π−∝ )=−cos∝tan (π−∝ )=−tan∝




sin 150o=¿ sin (180o−30o )=sin 30o=12¿

cos150o=¿cos (180o−30o )=−cos30o=−√32

¿

tan150o=¿ tan (180o−30o )=− tan 30o=−√33

¿

Ángulos que se diferencian en 180o.- Son aquéllos cuya resta es 180oó π radianes.

sin ( π+∝ )=−sin∝cos (π+∝ )=−cos∝tan (π+∝ )=tan∝

sin 210o=¿ sin (180o+30o )=−sin 30o=−12

¿

cos210o=¿cos (180o+30o )=−cos30o=−√32

¿

tan210o=¿ tan (180o+30o )=tan30o=√33

¿

Ángulos Opuestos

Son aquéllos cuya suma es 360oó 2π radianes.

sin (2π−∝ )=−sin∝cos (2 π−∝ )=cos∝tan (2 π−∝ )=−tan∝




sin 330o=¿ sin (360o−30o )=−sin 30o=−12

¿

cos330o=¿cos (360o−30o )=cos30o=√32

¿

tan330o=¿ tan (360o−30o )=− tan 30o=−√33

¿

Ángulos Negativos.- El ángulo es negativo si se desplaza en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.−α=360 °−αsin (−∝ )=−sin∝cos (−∝ )=cos∝tan (−∝ )=−tan∝

sin (−30o )=−sin 30o=−12

cos (−30o )=cos30o=√32

tan (−30o )=−tan 30o=−√33

Mayores de 360o.- Ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas.

sin (∝+2πk )=sin∝cos (∝+2 πk )=cos∝tan (∝+2 πk )=tan∝

750o

30o =360o

2

sin 750o=sin (30o+2 (360o ))=sin 30o=12

cos750o=cos (30o+2 (360o ))=cos30o=√32

tan750o= tan (30o+2 (360o ))= tan 30o=√33

Razones Trigonométricas de otros Ángulos.- Ángulos que difieren en 90oó

π2

rad

sin( π2 +∝)=cos∝66 Ing. Edison Villacrés



cos ( π2 +∝)=−sin∝

tan( π2 +∝)=−cot∝

sin 120o=¿ sin( 180o

2+30o)=−cos30o=−√3

2¿

cos120o=¿cos ( 180o

2+30o)=−sin 30o=−1

2¿

tan120o=¿ tan( 180o

2+30o)=−cot 30o=−√3¿

Ángulos que suman 270oó32π rad

sin( 3 π2

−∝)=−cos∝

cos ( 3π2 −∝)=−sin∝

tan( 3π2 −∝)=cot∝

sin 240o=¿ sin( 3 (180o )2

−30o)=−cos30o=−√32

¿

cos240o=¿cos ( 3 (180o )2

−30o)=−sin 30o=−12

¿

tan240o=¿ tan( 3 (180o )2

−30o)=cot 30o=√3¿

Ángulos que difieren en 270oó32π rad

sin( 3 π2

+∝)=−cos∝

cos ( 3π2 +∝)=sin∝tan( 3π2 +∝)=−cot∝




sin 240o=¿ sin( 3 (180o )2

+30o)=−cos30o=−√32

¿

cos240o=¿cos ( 3 (180o )2

+30o)=sin 30o=12¿

tan240o=¿ tan( 3 (180o )2

+30o)=−cot30o=−√3¿




Secuencia 2 Actividad 1Trigonometría

1. Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:a. 3 π rad

b.2π5

rad.

c.3π10

rad.

2. Expresa en radianes los siguientes ángulos:a. 316 °

b. 10 °

c. 127 °




3. Sabiendo que cos α=¼ , y que 270 °<α<360 °. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

4. Sabiendo que tanα=2, y que 180 °<α<270 ° Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

5. Sabiendo que sec α=2,0<α< π2

, calcular las restantes razones trigonométricas.

6. Calcula las razones de los siguientes ángulos:a. 225 °

b. 330 °

c. 2655 °

d. −840 °




7. Comprobar las identidades: a. tan∝+cot∝=sec∝csc∝

b. cot2acos2a+(cot acos a)2

c.1

sec2a=sin2acos2a+cos4a

d. cot a sec acsc a

e. sec2a csc2a= 1

sin2acos2a




8. Demostrar las siguientes identidades:

a) sin x cot x=cos x

b) cos x tan x=sin x

c) cot x sec x=csc x

d) sin x sec x=tan x

e) cos x csc x=cot x




f) cot x sec x sin x=1

g) (1−cos² x)csc ² x=1

h) (1−sin ² x)sec ² x=1

i) cot ² x (1−cos² x)=cos² x

j) (1−cos² x)sec ² x=tan ² x




k) csc x √1−sin ² x=cot x

l) (1+ tan ² x)cos² x=1

m) (sec ² x−1)cot ² x=1

n) (1−cos² x)(1+ tan ² x)=tan ² x

o) cos x csc x√se c2 x−1=1

p) sin ² x (1+cot ² x )=1




q) (csc ² x−1) tan ² x=1

r) (1−cos² x)(1+cot ² x)=1

s) sin x sec x√csc ² x−1=1

t) cos x √cot ² x+1=√csc ² x –1

u) sin ² x cot ² x+sin ² x=1




v) (1+ tan ² x)(1−sin ² x )=1

w) sin ² x sec ² x=sec ² x –1

x) csc ² x tan ² x−1=tan ² x




Resolución de Triángulos RectángulosResolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.1. Se conocen la hipotenusa y un cateto

B: sinB=baB=sin−1 b

a

C=90o−B

C :{cosB=cac=acosB

c=√a2−b2

Resolver el triángulo conociendo:a=415m y b=280m

sin B=280415

=0.6747

B=sin−10.6747=42° 25 'C=90O−42O 42'=47O35 '

c=a sinBc=415∗0.7381c=306.31m

2. Se conocen los dos catetos

B: tan B=bcB=tan−1 b

c

C=90o−B

a :{sin B=baa=

bsin B

a=√b2+c2




Resolver el triángulo conociendo:b=33m y c=21m

tanB=3321

=1.5714

B=57 ° 32'

C=90 °−57 ° 32'=32 °28 'a=b /sen Ba=33/0.8347=39.12m

3. Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo

C=90o−B

b :sin B=bab=a sinB

c :{cosB=cac=acosC

c=√a2−b2

Resolver el triángulo conociendo:a=45m y B=22° .C=90 °−22 °=68 °

b=a sin 22o

b=45∗0.3746b=16.85mc=acos22o

c=45∗0.9272




c=41.72m4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo

C=90o−B

a :sin B=baa= bsin B

c :{cotB=cbc=bcotC

c=√a2−b2

Resolver el triángulo conociendo:b=5.2m y B=37 ºC=90o−37 °=53 º

a= bsinB

a= 5.20.6018

a=8.64mc=b∗tanB

c=5.2∗1.3270c=6.9m




Secuencia 2 Actividad 2

9. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a=5m y B=41.7 ° . Resolver el triángulo

10. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b=3m y B=54.6 °. Resolver el triángulo.

11. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a=6m yb=4m. Resolver el triángulo.

12. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b=3m y c=5m. Resolver el triángulo.

13. Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.




14. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

15. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°

16. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.

17. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

18. La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.




Secuencia 2 Actividad 3Ejercicios de Trigonometría

19. Sabiendo que csc∝=3, calcular las restantes razones trigonométricas.

20. Calcula las razones de los siguientes ángulos: a. −150 °

b. 1740 °

21. Simplificar las fracciones:

a.1+ tan2 X1+cot2 X

b.sec2a−cos2a

tan2 x




c.csc2a−sin2a

csc2a (2−cos2a )

22. Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio.

23. Tres pueblos A ,B y C están unidos por carreteras. La distancia de AaC es6km y la deBaC9km. El ángulo que forman estas carreteras es 120o. ¿Cuánto distan A y B?

24. El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángulo de 60º. Si el barco se aleja 100m se observa bajo un ángulo de 45o. Calcula la altura del acantilado. Solución

:150+50√3metros.




25. Resuelve el triángulo conociendo B=60O y el cateto b = 25 cm. Solución: C=30O, la hipotenusa 50√33

cm y el otro cateto 25√33

cm

26. Calcula la longitud de los lados de un triángulo, sabiendo que su altura mide 10 m y que el ángulo desigual es de 120º. Solución: Los lados iguales miden 20m, y el lado desigual, 20√3m

27. Calcula la altura de una torre, sabiendo que a 300m de su pie se ve bajo un ángulo de 10o. Solución: h=52,89m

28. Halla la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y distantes entre sí 80m, se ve bajo ángulos de 60o y 45o, respectivamente. Solución: x=197,37m





29. Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de 30o. En uno de ellos, a 1000m del cruce, hay una gasolinera. Encontrar la menor distancia desde la estación de gasolina hasta el otro camino.

30. Una carretera asciende 3m por cada 100m de recorrido. ¿Qué ángulo forma con la horizontal? Solución: 1o43 ’ 9’ ’

31. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles, sabiendo que su altura mide 10m y que el ángulo desigual es de 120o.

32. En el punto más alto de una pequeña elevación de terreno hay un poste de 3m de altura. Desde un punto A situado en el terreno llano se ve el pie B, del poste, bajo un ángulo de 38o30' y el extremo superior c

bajo un ángulo de 45o15o. Hallar la altura del montículo:




33. Un faro tiene una altura de 36 m sobre el nivel del mar. El ángulo de depresión de una embarcación es de

15o. Hallar a qué distancia está la embarcación del faro.

34. Desde F, el punto más alto de un faro situado a 200m sobre el nivel del mar, se divisa un barco B, con ángulo de depresión igual a 18o45 '. Cinco minutos más tarde la posición del barco es C y se divisa desde F

bajo un ángulo de 15o15'. Calcular la velocidad del barco sabiendo que la trayectoria CB es perpendicular a la PB, siendo P el pie del

35. La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y 2 centímetros, respectivamente Halla las medidas de sus ángulos.




36. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sobre la hipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos.

37. Ana y Blanca se encuentran a ambos lados de la orilla de un río en los puntos A y B. ¿Qué anchura tiene el río?

38. Los brazos de un compás miden 12 centímetros. ¿Qué ángulo forman cuando se traza un arco de 7 centímetros de radio?





39. Resuelve estos triángulos.a. a=25m ,b=20m , A p=90o

b. a=6cm ,B p=45o ,C p=1050

c. a=10mm,c=7mm, B p=30o

40. El lado de un octógono regular mide 12 metros. Calcula la longitud de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.




41. Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70_. Sus medidas son 7 y 8 centímetros.a) Calcula la longitud de la diagonal menor.b) Halla el área del paralelogramo.

42. Halla el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 10 centímetros de radio.

43. ¿Qué volumen de tierra se necesita para llenar una maceta de interior que tiene la forma de un tronco de cono si los

radios de las bases miden 10 y 20 centímetros, y la generatriz forma un ángulo de 60o con el suelo?




44. Calcula el área lateral y el área total de estos cuerpos.

45. Halla el volumen de estos cuerpos.




46. Se quiere forrar una maceta con forma de tronco de cono. Si el diámetro de la base mide 20 centímetros y la generatriz, que tiene la misma longitud, forma un ángulo de 60_ con el suelo, ¿qué cantidad de papel se necesita

47. Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos

48. Resuelve los triángulos sabiendo queC p es un ángulo recto.a) Ap=55o , a=18cm

b) c=10cm ,b=6cm

c) a=18cm ,b=15cm




49. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 centímetros de lado.

50. El lado desigual de un triángulo isósceles mide 16 metros, y el ángulo desigual, 80_. ¿Cuál es la medida de la altura sobre este lado?





51. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6,4 y 3,6 centímetros. Halla la longitud de los lados.

52. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 centímetros, y la proyección de uno de los catetos sobre ella, 4 centímetros. Resuelve el triángulo.

53. La diagonal mayor de un rombo mide 8 centímetros y forma con cada lado contiguo un ángulo de 26 ¿Cuánto mide el lado del rombo?

54. Halla la medida de los ángulos de este trapecio rectángulo.




55. Resuelve estos triángulos

56. Halla la medida de los ángulos y los lados desconocidos en cada caso.a) A p=56 ,b=14 cm,c=8cm

b) a=38cm ,b=46cm ,c=22cm94 Ing. Edison Villacrés



c) B p=45 ,C p=75 , a=25cm

d) Ap=42,C p=65 , b=14 cm

57. Resuelve el triángulo. ¿De qué tipo es?

58. Resuelve los siguientes triángulos.a) a=3cm ,c=2cm,C p=140o

b) a=19cm ,b=8cm ,B p=62o




59. Halla la medida de la diagonal del paralelogramo

60. Calcula la medida de las diagonales dibujadas en el pentágono regular de la figura





61. Longitudes y áreas de figuras planas Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 14,4 y 25,6 centímetros. Calcula el área del triángulo.

62. La diagonal de un rectángulo mide 28,84 decímetros y forma con la base un ángulo de 33o ,41o ,24o. Halla su perímetro y su área.

63. El lado de un octógono regular mide 20 centímetros. Calcula la medida de la apotema y el área del Octógono.

64. Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compás cuyos brazos miden 7 centímetros y forman un ángulo de 70o.

65. Halla el área de este paralelogramo.




66. Calcula el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos

67. Calcula el volumen del cilindro

68. Halla el área total y el volumen del ortoedro.




69. Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen la misma medida, ¿cómo es el triángulo? ¿Cuánto miden sus ángulos agudos?

70. Responde a las siguientes preguntas.a) ¿Qué elementos de un triángulo rectángulo hay que conocer para resolverlo?

b) ¿Y de un triángulo cualquiera?

c) Dos: dos lados, o un ángulo agudo y un lado.




d) Tres: los tres lados, o dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado.




Secuencia 3 Actividad 371. ¿Se pueden utilizar los teoremas del seno y del coseno para resolver un triángulo rectángulo? Razona tu

respuesta.

72. Es más rápido utilizar las razones trigonométricas, pero también se pueden utilizar esos teoremas.

73. Al unir los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado se obtienen dos rectángulos, y al trazar una diagonal, dos triángulos.

74. ¿Cuál es la relación entre las áreas de los rectángulos y los triángulos obtenidos?




75. Al resolver un triángulo, los resultados son los siguientes:

a=30cm ,b=42cm,c=23cm , Ap=58o ,Bp=35o yCp=87o

76. De un triángulo se conocen los tres lados y un ángulo. Si se quiere calcular uno de los ángulos desconocidos, ¿se puede utilizar el teorema del seno? ¿Y el del coseno? En caso de poder utilizar los dos, ¿cuál es el más conveniente?

79. El radio de la Tierra mide, aproximadamente, 6378 kilómetros. Desde un satélite se dirigen las visuales a dos puntos como muestra el dibujo. ¿A qué distancia del centro se encuentra el satélite? ¿Y de los puntos determinados por las visuales?

80. Juan ha decidido donar sus muebles. Como tiene una mesa muy grande y vive en un cuarto piso, antes de trasladarla quiere comprobar si la puede bajar en el ascensor una vez quitadas las patas.




81. Cuando se hace una fotografía con una cámara compacta se produce lo que se denomina paralaje: la imagen que captura el visor no coincide con la del objetivo porque no están situados a la misma distancia. Calcula el ángulo a que mide la paralaje.

82. Una balda se va a sujetar con unas piezas que tienen forma de triángulo rectángulo para colocar un objeto pesado. Al situarlas en la pared se observa que ha habido un error y que las piezas no tienen ningún ángulo recto. Si el lado de 22 centímetros es el que sujetará la balda, ¿qué dimensiones tendrá el triángulo que hay que cortar para que se obtenga el ángulo recto necesario?

83. Para conocer la distancia entre varios puntos se realiza una triangulación, esto es, se unen los puntos de modo que formen triángulos no solapados.


Cuaderno de Trabajo de Geometría y Trigonometría 2 semestre Preparatoria

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