Muros de Retención

Antonio Moliterno

6 de marzo de 2017

Índice1. Introducción 2

1.1. Estabilización de laderas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Estabilidad de taludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Taludes en suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2. Taludes en roca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Métodos para aumentas la estabilidad de los taludes . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Muros de retención 32.1. Consideraciones preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Empuje de tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1. Causas del empuje activo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Cálculo del Empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1. Teoría de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2. Determinación del empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Tipos de muros de retención 173.1. Tipos de muros de retención por gravedad o por peso . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1. Perfil rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2. Perfil trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.3. Perfil escalonado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Estabilidad de estructuras de retención 184.1. Consideraciones Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2. Condiciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.1. Equilibrio estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.2. Equilibrio elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.3. Esfuerzo máximo excluyendo la zona a tensión . . . . . . . . . . . . . . 25

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1. IntroducciónLa construcción de un muro de retención siempre representa un costo elevado del presu-

puesto total del concepto estructural en una obra. Existen incontables casos en los que estaetapa tiene un costo superior al de la edificación misma.

Un muro de contención no es nada más que un detalle localizado en las obras de estabi-lización de laderas, en las regiones montañosas, junto a las edificaciones, carreteras o calles.Las técnicas actuales de atirantamiento y anclajes, aunque con ciertas carencias, han sido unasolución viable económicamente.

1.1. Estabilización de laderas

El ingeniero, antes de decidirse sobre una solución para atender el problema de la conten-ción de un talud, debe procurar identificar la naturaleza geológica de la región donde deberáser implementada la obra.

Conviene observar atentamente el comportamiento de construcciones similares ya ejecu-tadas, principalmente en terrenos con ocurrencia de diaclases llenas con “montmorilonita”(mica) y al pie de montañas constituidas de materiales alterados clasificados como “coluvio”(sedimentos).

La contención de los taludes con predominancia de estos materiales es todavía bastanteempírica, consiguiéndose resultados satisfactorios si es que se impide la saturación (encharca-miento).

Debe observarse, antes de erigir una obra de contención, que no acontezcan movimientoslentos de las laderas (fluencia), manifestados por la fisuración de las superficies e inclinaciónde los árboles o rupturas de las canalizaciones de aguas residuales y pluviales.

En este caso, cualquier obra de contención será de poca confiabilidad, pues dependeráapenas del cese temporal del movimiento, ya que su manifestación es cíclica; roto el equilibriodel manto de suelo superficial que resiste o “talud”, generalmente por el desmonte o unapequeña excavación para el levantamiento de una obra, tendremos deslizamientos bruscos,tornándose graves, con el desprendimiento de cantos rodados.

1.2. Estabilidad de taludes

Generalmente, la estabilidad de un talud depende de los siguientes dos factores:

1.2.1. Taludes en suelo

1. Propiedades físicas y mecánicas de los materiales

2. Forma del talud y las masas adyacentes

3. Influencia de la presión del agua

1.2.2. Taludes en roca

1. Distribución de las discontinuidades de los estratos

2. Tensiones internas en la masa rocosa

2

1.3. Métodos para aumentas la estabilidad de los taludes

Disminución de la inclinación Se mejora la estabilidad, puede aumentarse el área expues-ta a la erosión de las aguas pluviales.

Drenaje Superficial o profundo.

Bermas

Estacamiento al pie del talud Tabla estacas.

Muros de contención

Atornillamiento Anclaje y atirantamiento

Revestimiento Concreto lanzado, suelo-cemento, imprimación asfáltica como proteccióncontra la erosión.

Obstrucción de fisuras Con concreto o asfalto

Inyecciones De concreto, solución de silicatos de sodio, cal, resinas para la consolidación

El alcance de este trabajo es concentrarse únicamente en los casos de los muros de retención.

2. Muros de retención

2.1. Consideraciones preliminares

El diseño de un muro de retención, como ocurre con cualquier otro tipo de estructura,consiste esencialmente de la repetición sucesiva de dos pasos:

1. Determinación o estimación de sus dimensiones

2. Verificación de la estabilidad de los esfuerzos actuantes

Para escoger las dimensiones, el proyectista hace uso de su propia experiencia y observación,y se puede orientar por fórmulas empíricas.

Determinadas las fuerzas que actúan en la estructura, tales como su peso propio, losempujes causados por la presión de la tierra, cargas eventuales aplicadas en la parte superiordel muro y las reacciones del suelo, podemos tener una idea de la estabilidad.

Los conocimientos de mecánica de suelos son importantes en las dos fases del proyecto:

1. Evaluación de la presión de tierra actuando en el muro

2. Verificación de la capacidad de soporte de suelo de las cimentaciones

Estos asuntos no serán desarrollados. Los abordaremos apenas ligeramente con el objetivo deaplicarlos en los muros de retención.

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Figura 1: Empujes pasivos. Apuntalamiento de zanja. Muro de retención. Atirantamiento deladera.

2.2. Empuje de tierra

Llamamos empuje de tierra al esfuerzo ejercido por la tierra contra el muro. El empuje detierra puede ser activo o pasivo. Será considerado pasivo (ver figura 1) cuando actúe el murocontra la tierra (el común caso de los apuntalamientos de zanjas y galerías).

El empuje activo (ver figura 2) se designa por la resultante de la presión de tierra contrael muro (de aquí en adelante, en nuestros cálculos, lo llamaremos simplemente empuje).

2.2.1. Causas del empuje activo

Corte del terreno

Imaginemos el caso de un terreno en su estado natural de reposo (figura 3). La masa desuelo se mantiene en un equilibrio estable indefinido, mientras no sea afectada por la erosión.

Figura 3: Perfil del terreno natural. Calle.

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Figura 2: Empujes activos. Muro de retención (por gravedad). Cortina de estacas.

Admitimos que hipotéticamente se construirá una ampliación al nivel de la calzada; tene-mos, por lo tanto, un corte en la masa de suelo como lo indica la figura 4.

Figura 4: Perfil del terreno cortado.

Transcurrido cierto intervalo de tiempo (días, meses o años), el terreno adyacente al corte,en la parte superior, presentará las primeras hendiduras (ver figura 5). Esto representa elinicio de la manifestación del empuje. Observe también el comienzo de la disgregación delsuelo, con un ligero desplazamiento de la superficie cortada, o que ya está en una situaciónde equilibrio inestable.

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Figura 5: Hendiduras. Situación inestable del corte. Ligero desplazamiento.

Se sigue, en cualquier instante, la ruptura, con el deslizamiento de una cuña de tierra,tomando el corte la forma de la figura 6. En esta situación la acción del empuje fue total.

Figura 6: Ruptura del talud. Tierra disgregada. Perfil natural del terreno.

Observando la superficie de deslizamiento de la figura 6, se podría constatar fácilmente queel terreno procuró adaptarse a su estado inicial de reposo, esto es, volver a tener su declive,buscando el mismo ángulo φ con la horizontal, como en la figura 3.

Consideración Teórica

El equilibrio entre las partículas (granos) de un suelo, recalcando la abstención de lapresencia de agua, se expresa por la ecuación de resistencia determinada en laboratorio:

τ = c+ σ tanφ (1)

Donde τ es el esfuerzo de cizallamiento (esfuerzo cortante), σ es el esfuerzo normal, φ esel ángulo de fricción entre las partículas y c es la cohesión entre las partículas.

Despreciándose el valor de c (la cohesión), o admitiendo que su valor es muy bajo, tenemos:

tanφ = τ

σ(2)

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Figura 7: Ángulo de reposo. Granos (partículas).

Para que no haya ruptura, es necesario que ω < φ, siendo φ también designado como elángulo de reposo del material o talud natural, o ángulo de fricción interno del material (suelo).En la situación límite, tanφ = τ/σ.

Terraplén

El empuje activo, en el caso de los terraplenes (rellenos), se asemeja al problema anterior,pero es de acción más inmediata cuando se llega a la altura prevista del diseño, o a un valorde altura crítica, característico del tipo de suelo.

Considere, por ejemplo, el caso en el que se desea aplanar un terreno, ejecutándose movi-mientos de tierra mediante el aprovechamiento del corte C, transportando y depositando latierra en A (ver figura 8).

Figura 8: Corte y Terraplén. Perfil del terreno original. Corte (C), Terraplén (A). Terrenopreparado para recibir el terraplén. Drenaje (piedra triturada graduada). Muro de Retención.Nivel. Barbacana de 3” (lloradero) (salida del drenaje).

Al retirar la tierra, naturalmente densificada en el corte C, después de la excavación,sufrirá una expansión. Al ser liberada y depositada como un material suelto en el terraplén Abuscará su estado de reposo; lo cual ocurrirá solamente hasta cierto grado, y el resto actuará

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directamente como una carga en el paramento del muro, provocando empuje.Para aclarar esto de una mejor manera, consideremos el caso de una caja donde vamos

depositando arena en varias etapas, sin provocar vibración y solamente nivelando la superficieal final de la operación de relleno (ver figura 9).

Figura 9: Caja con arena en distintas capas. Zona en la que el material provoca empuje en lasparedes. Línea del talud natural. Zona en la que el material granular permanece en reposo.

A medida que la arena va siendo depositada, naturalmente se va amontonando y asumiendola inclinación del talud, formando un ángulo φ con la horizontal; en esta situación, las paredesno reciben empuje. Prosiguiendo con el relleno de la caja, el material de la zona de afuera deltalud natural pasa a ejercer presiones en las paredes de la caja. De manera semejante ocurrecon los terraplenes adyacentes a los muros de retención (aunque en el caso del suelo, la presiónes aliviada en parte por la cohesión recordando la ecuación de la resistencia τ = c+ σ tanφ).

Regresando al caso del ejemplo de la figura 8, compactando y apisonando la tierra juntoal muro, podemos llegar a las condiciones idénticas de resistencia τ = c + σ tanφ, como alprincipio se encontraban los granos de suelo en el corte (grado de compactación del 90%).

Una buena regla de ejecución recomienda el apisonamiento con una compactadora manual(bailarina) o mecánica (rodillo) en capas sucesivas de 20 cm, con un grado de humedad quedé al suelo su mayor peso específico (ver figura 10).

Figura 10: Apisonamiento en capas.

Conviene recordar que el exceso de humedad y/o el encharcamiento de agua en el suelo,aumentan el efecto del empuje, razón por la cual se coloca obligatoriamente un drenaje de

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piedra triturada y barbacanas (tubos) a lo largo de la altura del muro.

2.3. Cálculo del Empuje

La cuantificación de la intensidad del empuje de la tierra es el dato fundamental para laelaboración del diseño del muro de contención. Las primeras teorías fueron formuladas porCoulomb en 1773, Poncelet en 1840 y Rankine en 1856, conocidas como Teorías Antiguas, yque todavía han dado resultados satisfactorios para el caso de muros de gravedad, construidosde mampostería o de concreto ciclópeo.

Abordando el problema del empuje a la luz de la teoría matemática de la elasticidad paramuros elásticos, construidos con concreto reforzado, tenemos las llamadas Teorías Modernas,entre las que destacan las de Resal, Caquot, Boussinesque, Müller Breslau, siendo que, enlos últimos 30 años, las recomendaciones de Terzaghi y sus adeptos presentaron resultadosprácticos.

Por la limitación de este trabajo, presentaremos la teoría de Coulomb, pues los conceptosmodernos basados en la teoría matemática de la elasticidad, para el cálculo del empuje de latierra, dependen de parámetros empíricos, los cuales quizás no estén disponibles.

2.3.1. Teoría de Coulomb

La teoría de Coulomb se basa en la hipótesis de que el esfuerzo ejercido en el paramentode un muro proviene de la presión del peso parcial de una cuña de tierra, que se desliza porla pérdida de resistencia al cizallamiento (corte) o fricción.

El deslizamiento ocurre frecuentemente a lo largo de una superficie curvada, en formade espiral logarítmica. Para los casos prácticos, es válido sustituir esta curvatura por unasuperficie plana, que llamaremos plano de ruptura o plano de deslizamiento (Winkler).

Figura 11: Empujes de Coulomb. Superficie plana (solución práctica). Espiral logarítmica(deslizamiento real). Plano de ruptura.

Se acepta como conocida la dirección del empuje; según Coulomb, el empuje guarda, conrespecto a una normal al paramento del lado de la tierra, un ángulo φ1, cuya tangente es igual

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al coeficiente de fricción entre la tierra y el muro.tanφ1 es el coeficiente de fricción de la tierra contra el muro y,φ1 es el ángulo de rugosidad del muro.La dirección de la componente Q del peso de la cuña forma con la normal al plano de

ruptura un ángulo φ, cuya tangente es igual al ángulo de fricción del terreno.tanφ es el coeficiente de fricción de la tierra contra la tierra.Tenemos, por lo tanto:El peso P de la cuña, descompuesto en E y Q. E actúa en el muro, y Q actúa en el plano

de ruptura también llamado plano de deslizamiento.Para el diseño del muro, nos interesa saber el valor del empuje E. Por su grandeza, E

puede ser considerada como una presión distribuida a lo largo de la altura del muro, cuyodiagrama de distribución, para simplificar su cálculo, se admite que sea lineal, en analogíacon el empuje proveniente de la presión hidrostática, y cuya área representa el valor de E.

Figura 12: Presión real (parabólica). Presión adoptada (lineal).

Si tuviéramos una columna de líquido, el empuje sería el dado por la expresión:

E = 12γh

2 (3)

Para tomar en cuenta, en el caso del suelo, la fricción entre las partículas, la rugosidad delmuro y la inclinación del terreno en relación con la horizontal, se introduce un coeficiente K,a saber:

E = 12γKh

2 (4)

El valor del coeficiente K, designado como coeficiente de empuje o de Coulomb, está dadopor la expresión (siguiendo a Rebhann):

K = sin2 (β + φ)

sin2 β sin (β − φ1)[1 +

√sin(φ−α)·sin(φ+φ1)sin(β−φ1)·sin(β+α)

]2 (5)

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Donde α es el ángulo de inclinación del terreno adyacente, θ es el ángulo de inclinación delparamento interno del muro con la vertical, β = 90− θ, φ es el ángulo de reposo de la tierra(ángulo del talud natural o ángulo de fricción interna) y φ1 es el ángulo de fricción entre latierra y el muro (ángulo de rugosidad del muro).

Usualmente tomamos:φ1 = 0 paramento del muro liso (cimentado o pintado con brea)φ1 = 0.5φ paramento de muro parcialmente rugosoφ1 = φ paramento de muro rugoso

Simplificaciones del valor de K

1. Paramento interno liso y vertical

φ1 = 0

θ = 0

β = 90°

K = cos2 φ · cosα[√cosα+

√sin (φ− α) · sinφ

]22. Paramento interno liso, inclinado del lado de la tierra y terreno horizontal

φ1 = 0

α = 0

β = 90°− θ

K = cos2 (θ + φ)cos θ (cos θ + sinφ)2

3. Paramento interno liso, inclinado del lado de la tierra, y con el terreno inclinado α = φ

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φ1 = 0

α = φ

β = 90°− θ

K = cos2 (θ + φ)cos3 θ

4. Paramento interno liso, vertical y con terreno con inclinación α = φ

φ1 = 0

α = φ

β = 90°

K = cos2 φ

5. Paramento interno liso, vertical y con terreno adyacente horizontal (caso usual de losmuros de concreto reforzado)

φ1 = 0

α = 0

β = 90°

K = tan2 (45°-φ/2)

Empuje de tierra para suelos cohesivos

Hasta ahora sólo nos hemos referido a los suelos cuya ecuación de resistencia viene dadapor la expresión τ = σ tanφ, esto es, a los suelos arenosos.

En los suelos cohesivos, arcillas, la ecuación se resistencia será aumentada por el valor de

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la cohesión c, por lo tanto, τ = c+ σ tanφ. La cohesión se puede considerar como una carganegativa, que ocasiona una reducción en el valor del empuje E. Según Coulomb:

E = 12γtKh

2 − chK (6)

Figura 13: Efecto de la cohesión (presión negativa). Presión de tierra sin cohesión. Diagramade presiones en el muro. Carga negativa.

En la práctica, generalmente no se toma en cuenta el valor de la cohesión, pues la mismapuede ser alterada con el transcurso del tiempo. Sólo será considerada en obras de controltécnico permanente de drenaje de terreno superficial, como en el caso de las carreteras.

Debido a las variaciones climáticas y al grado de humedad, los suelos cohesivos varíande volumen. Durante la estación seca, el suelo pierde humedad y se contrae, formándosefisuras. Cuando vienen las lluvias, el agua penetra en el suelo; éste sufre hinchamiento y ejercepresiones en los muros como acción del empuje activo, mucho mayor que aquel inicialmentecalculado, poniendo en riesgo la estabilidad del muro.

2.3.2. Determinación del empuje

Teniendo en cuenta las consideraciones mencionadas respecto a la cohesión, y no preten-diendo abordar el asunto que es específico de la mecánica de suelos, el presente trabajo selimita sólo al caso de suelos sin cohesión, como acontece en la mayoría de las arenas, lo quenos deja con un buen margen de seguridad en el cálculo de la magnitud del empuje activopara los casos usuales.

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Determinación analítica

1. Caso - Terreno sin sobrecarga

Magnitud del empuje: E = 12Kγth

2 en tf/m.

Dirección del empuje: δ = θ + φ1

Componentes del empuje: EH = E cos δ; EV = E sin δ

Punto de aplicación: y = h/3

Presión en la base: p = Kγth en tf/m2.

Demostración:

ph

2 = E

ph

2 = 12Kγth

2 → p = Kγh LQQD

K se determina de acuerdo con los varios casos, dependiendo de φ, θ, φ1 y α.

2. Caso - Terreno con sobrecargaGeneralmente en los casos prácticos, tomamos en consideración las sobrecargas del te-rreno adyacente y los alrededores, provenientes de máquinas, construcciones, multitu-

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des, etc., que sean uniformemente distribuidas. Estas sobrecargas (kgf/m2 o tf/m2) sonconsideradas como una altura de tierra equivalente h0, para ser tomadas en cuenta yaumentar el empuje en el muro.

Altura de tierra equivalente a la sobrecarga: h0 = q/γt en tfm2 × 1

tfm3

= m

Altura total: H = h+ h0 en m

Magnitud del empuje: E = 12Kγt

(H2 − h2

0

)en tf/m. E = 1

2KγtH2 − 1

2Kγth20

Dirección del empuje: δ = θ + φ1

Componentes del empuje: EH = E cos δ; EV = E sin δ

Presiones: En la parte superior: Ps = Kγth0. En la base: Pi = KγtH. En tf/m2

Punto de aplicación: Baricentro del diagrama de presiones: y = h

3 ×2Ps + PiPs + Pi

Sustituyendo los valores de Ps y Pi tenemos y en función de las alturas:

y = h

3 ×2Kγth0 +KγtH

Kγth0 +KγtH→ y = h

3 ×2h0 +H

h0 +Hdada en m

3. Caso - Nivel freático superior al de la base, parte del terreno inmersa en la capa freática

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Tramo 1 - Suelo seco.φ1 Ángulo del talud natural del suelo seco.γ1 Masa específica del suelo.Altura de tierra equivalente a la sobrecarga: h0 = q/γ1.Presiones:en la parte superior Ps = kγ1h0,al nivel del agua P ′ = kγ1 (h0 + h1).Empuje: E1 = 0.5h1 (Ps + P ′).Punto de aplicación: y1 = h1/3× (2Ps × P ′) / (Ps + P ′).

Tramo 2 - Suelo sumergido.γ′2 Masa específica del suelo sumergido.γ′2 = γ2 + (1− ε) γa.φ1 Ángulo del talud natural del suelo seco.φ2 Ángulo natural del suelo sumergido.ε de 0.3 a 0.4 es la relación de vacíos.γ2 Masa específica del suelo seco.γa = 1 t/m3.Presiones: al nivel del agua p′′ = Kγ2 (h0 + h1); pi = kγ′2 (h0 + hi + h2).Empuje: E2 = 0.5h2 (p′′ + pi).Punto de aplicación: y = h2/3× (2p′′ + pi) / (p′′ + pi).Empuje total: E = E1 + E2.E Resultante de E1 y E2, determinada gráficamente.

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4. Caso - Losa horizontal penetrada en terreno junto al muro

5. Caso - Carga concentrada aplicada en la zona de la cuña de deslizamiento

Tabla de resumen.

3. Tipos de muros de retenciónPara equilibrar la resultante lateral de las presiones que provocan los empujes de tierra,

se torna necesario hacer que las cargas verticales sean por lo menos iguales al doble de lamagnitud del empuje. Esto solamente podrá obtenerse, en el caso de los muros de retención,contando con el peso propio del muro, y hasta cierto grado con el peso propio de la tierra,responsable de la carga lateral. En el primer caso tenemos el tipo de gravedad, con estructurasmacizas o ciclópicas, y en el segundo una estructura elástica, de concreto reforzado.

3.1. Tipos de muros de retención por gravedad o por peso

3.1.1. Perfil rectangular

Económico solamente para alturas pequeñísimas.Pre-dimensionamiento:

1. Muro de mampostería de ladrillos: b = 0.40h

2. Muro de mampostería de piedra o concreto ciclópeo: b = 0.30h

Figura 14: Muro de perfil rectangular.

3.1.2. Perfil trapezoidal

Pre-dimensionamiento:

1. Construcción en concreto ciclópeo: b0 = 0.14h; b = b0 + h/3.

2. Construcción en mampostería de piedra o concreto ciclópeo: b = h/3; t = h/6; d ≥ t.

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Figura 15: Muro de perfil trapezoidal.

3.1.3. Perfil escalonado

Se construye en mampostería de piedra.

Figura 16: Muro de perfil escalonado.

4. Estabilidad de estructuras de retención

4.1. Consideraciones Preliminares

Los diversos tipos clásicos de muros de contención presentados en la sección anteriorpueden ser ejecutados empleando las técnicas de construcción en mampostería o concretoreforzado.

La verificación de la estabilidad, con cualquiera que sea la opción adoptada: muro deretención por gravedad o elástico, debe considerar primeramente el “Equilibrio Estático” yen seguida el “Equilibrio Elástico”, tanto de la estabilidad del conjunto como de las seccionesintermedias a lo largo del muro y de la cimentación.

Las secciones intermedias de los muros por gravedad o peso, construidos de mampostería,ladrillos o piedras se piensan coincidentes con las juntas de mortero, pues estas constituyen losplanos de menor resistencia. Por lo tanto, es siguiendo a estos planos como debemos establecerlas “Ecuaciones de Equilibrio”.

En estas condiciones, dividimos el muro en una serie de secciones a lo largo de su altura,para trazar la curva de presiones (enlace de dos puntos de aplicación de las resultantes defuerzas parciales, actuando en sus respectivas secciones intermedias).

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Como condición necesaria y suficiente de estabilidad estática y elástica, la curva de presióndeberá pasar por el núcleo central de inercia de las varias secciones transversales analizadas.Para los muros de retención de concreto reforzado, debemos analizar los esfuerzos en algunassecciones intermedias a lo largo de la altura, para distribuir convenientemente el refuerzo.

Marcha de las operaciones

La verificación de la estabilidad de un muro de retención obedece a la siguiente progra-mación:

1. Fijación de las dimensionesPartimos de la estructura pre-dimensionada para ser verificada. Las dimensiones sonobtenidas a través de criterios empíricos y comparación con proyectos ya ejecutados.

2. Verificación del conjuntoDefinidas las dimensiones, se calculan las cargas y verificamos las condiciones de esta-bilidad en relación al terreno de cimentación.

3. Verificación de las secciones intermediasConfirmada la estabilidad del conjunto, se calculan las solicitaciones en las seccionesintermedias, tanto del muro como de la cimentación. En los muros de gravedad, llamamosa esta operación la verificación de la estabilidad de las juntas.

4.2. Condiciones de equilibrio

4.2.1. Equilibrio estático

Sabemos de la mecánica, que un sistema de fuerzas coplanares, actuando sobre un cuerporígido, estará en equilibrio cuando sean satisfechas las ecuaciones:

ΣN = 0 (7)

ΣT = 0 (8)

Estas ecuaciones representan el equilibrio de la traslación o el deslizamiento.

ΣM = 0 (9)

Esta última ecuación representa el equilibrio de la rotación o volteo.

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Figura 17: Equilibrio estático. Deslizamiento. Volteo.

Para simplificar la aplicación de estas ecuaciones, admitimos las siguientes restricciones:

1. El muro de retención es un cuerpo rígido (indeformable), hipótesis exacta para los murosde gravedad y tolerable para los muros elásticos de concreto reforzado.

2. En el plano ACB, junta con el terreno, prevalecen los esfuerzos de compresión, siendodeseable la ausencia absoluta de los esfuerzos de tensión.

Hagamos el análisis de estas ecuaciones.

Equilibrio de la traslación

ΣN = 0 Es necesario que N , la componente normal de ~R, la resultante de fuerzas en lasección considerada, sea de compresión, y que el punto C (centro de presiones) caiga dentrode la región AB.

ΣT = 0 Siendo T la componente tangencial de la resultante ~R, ya que no podemos contarcon resistencia al cizallamiento (corte) ni tampoco con adherencia al suelo, porque esto nosobligaría a ejecutar ensayos de cizallamiento “in situ”.

En este caso, la única fuerza que se debe resistir la componente T es la fuerza de fricciónejercida sobre el plano ACB.

Siendo Ffr la fuerza de fricción:

Ffr = µN (10)

Donde µ es el coeficiente de fricción. Valores de µ:

MamposterıaMamposterıaµ = 0.75 a 0.7

Mamposterıa o concretoSuelo µ =

{seco : 0.55 a 0.50 saturado : 0.30

MamposterıaConcreto µ = 0.55

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Para haber equilibrio, debemos tener:

Ffr = T ∴ T = µN (11)

La expresión 11 representa la ecuación límite de equilibrio. Por seguridad, Ffr > T , dedonde tenemos que adoptar un coeficiente de seguridad contra el deslizamiento. Por lo tanto,debemos tener:

ε1T = µN ∴ ε1 = µN

T(12)

Coeficiente de seguridad contra el deslizamiento:

ε1 ≥ 1.5

Veamos la interpretación geométrica de la ecuación 11. Por la figura tanω = T/N , y dela ecuación, T/N = µ/ε1, por lo tanto,

tanω = µ

ε1(13)

El coeficiente de fricción µ se puede expresar en función de la tangente del ángulo defricción entre los materiales en contacto. En este caso, µ = tan ρ, siendo ρ el ángulo defricción. La expresión 13 queda:

tanω = tan ρε

(14)

Aproximada a:

ω = ρ/ε1 (15)

La expresión ω = ρ/ε expresa la condición de equilibrio de traslación, esto es, que laresultante ~R hace con la normal a la junta ACB un ángulo ω, ε1 veces inferior al ángulo ρ defricción entre los materiales. Valores de ρ:

MamposterıaMamposterıa ρ = 35°

Mamposterıa o concretoSuelo

{seco : ρ = 28° saturado : rho = 16°

MamposterıaConcreto ρ = 30°

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Equilibrio de rotación ΣM = 0

Figura 18: Equilibrio de Rotación.

La rotación de un muro, como un bloque indeformable sólo puede darse en torno al puntoA de la línea AB. Tenemos: MG el momento de G en torno al punto A (en contra de larotación) y ME el momento de E en torno al punto A (a favor de la rotación).

Para el equilibrio debemos tener:

MG = ME

Esto significa que la resultante ~R de ~G y ~E debe pasar por A. No obstante, para unamayor seguridad, debemos tener MG > ME , o sea, ~R debe caer en el interior de la línea AB,satisfaciendo así también la condición de ausencia de esfuerzos de tensión.

Adoptando un coeficiente de seguridad ε2, llamado coeficiente de seguridad contra la ro-tación o el volteo:

ε2 = MG/ME ≥ 1.5 (16)

Para obtener ε2, debemos considerar las fuerzas ~G y ~E en sus verdaderas direcciones,y no las de sus componentes, afirmación que podríamos llamar paradoja estática. Vamos ademostrar:

Tomando las fuerzas en sus direcciones verdaderas:

ε2 = MG/ME (17)

Considerando las componentes de E:

ε′2 = Gg + Eve

EHd(18)

Recordando la física, por el Teorema de Varignon, el momento estático de la resultante esigual a la suma de los momentos estáticos de las componentes.

−Em = Eve− EHd ∴ EHd = Em+ Eve

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Sustituyendo en la ecuación 18:

ε′2 = Gg + Eve

Em+ Eve(19)

Comparando las expresiones 17, 18 y 19, conviene recordar un teorema de aritmética:

Sumando el mismo número de términos de una fracción propia o impropia, ellaaumenta o disminuye.

Como en la expresión 19 tenemos el valor constante de Eve sumado tanto en el numeradorcomo en el denominador, el valor de ε′2 en relación a la línea AB no expresa un coeficiente deseguridad real, de esta forma sólo es válido el tomar las fuerzas en sus verdaderas direcciones,representadas por la expresión 16, LQQD.

Consideraciones sobre el equilibrio estático

La estabilidad resultante de la aplicación del equilibrio estático es una estabilidad inciertae incompleta. Si suponemos coeficientes de seguridad ε1 y ε2 elevados de más, podría todavíaocurrir una estabilidad precaria. Este hecho se da cuando el valor de la fuerza N , componentede R, se eleva de tal forma que pueda producir un aplastamiento de la junta. Existe por lotanto una incertidumbre que debe ser eliminada, estudiándose la estabilidad elástica, o enotros términos, las tensiones solicitantes debidas a las cargas.

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4.2.2. Equilibrio elástico

Figura 19: Equilibrio Elástico. Elevación.Plano de fuerzas. Sección. Tensiones. Compre-siones. Flexión. Flexo-compresión.

a−a Sección transversal en cualquier jun-ta.

~R Resultante de fuerzas que actúan en lasección a− a.

CP Centro de presión (punto de aplica-ción de ~R en a− a)

CG Baricentro de la sección transversala− a.

S = bd Área de la sección resistente.W = db2/6 Módulo de resistencia. (Mó-

dulo de Sección Elástico)1.v Distancia del centro de gravedad hacia

los bordes, respectivamente A1 y A2.e Excentricidad.uDistancia del centro de presiones al bor-

de comprimido A1.N Componente normal de ~R.k = W/S = b/6 Rayo resistente.K1, K2 Puntos nucleares.Recordando el estudio de la flexión com-

puesta o presión-flexión, abordando los tra-tados de resistencia de materiales, tenemoslas tensiones en los extremos:

σ = −NS± M

W

Como en los problemas que vamos aenfrentar deben prevalecer los esfuerzos decompresión, tomaremos como convención:

Signo (+) positivo, esfuerzo de compre-sión.

Signo (−) negativo, esfuerzo de tensión.En estas condiciones, para una sección in-

termedia cualquiera, tenemos:Esfuerzo máximo σ1 = N

S

(1 + e

k

)Esfuerzo medio (en el baricentro de la

sección) σm = N

S

Esfuerzo mínimo σ2 = N

S

(1− e

k

)1Propiedad geométrica de las secciones transversales usada en el diseño de vigas o miembros a flexión.

S = I/c =(db3/12

)/ (b/2) = db2/6.

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Los valores de σ1 y σ2 varían con la relación e/k, llamada módulo de excentricidad. Deacuerdo con la variación e/k podemos considerar los siguientes casos de distribución de es-fuerzos, indicados en la Tabla Anexa.

1. Caso - Compresión simple, e = 0.

2. Caso - Compresión excéntrica, e < k.Este 2° caso corresponde al “caso general para secciones intermedias de muros de mam-postería o concreto ciclópeo”, por lo tanto podremos llamarlo de flexión compuesta opresión-flexión, caso general.

3. Caso - Compresión excéntrica o flexión compuesta, e = k.Este caso corresponde a la situación límite de esfuerzos en las secciones intermedias(juntas) de los muros de mampostería o concreto ciclópeo.

4. Caso - Flexión compuesta con tensión, e > k.Dividimos esta distribución de esfuerzos en los siguientes elementos: (a) flexión com-puesta con tensión, (b) flexión compuesta excluyendo tensión. En la Tabla Anexa pre-sentamos las características de cada caso de acuerdo con la relación e/k, designada como“Cuadro general de las Leyes de Distribución de Esfuerzos”.

Conclusión

Para el análisis del caso general de la flexión compuesta...

σ1,2 = N

S± M

W= N

S

(1± e

k

)... concluimos que la compresión simple, σ1,2 = N/S y la flexión simple σ1,2 = ±M/W

son casos particulares de la flexión compuesta.

4.2.3. Esfuerzo máximo excluyendo la zona a tensión

El tema respecto a los materiales no resistentes a tensión es un asunto abordado en laFlexión Compuesta, estudiada en los cursos de resistencia de materiales.

Sea el caso de una sección intermedia de un muro donde, debido a las cargas, ocurre enuno de los bordes un esfuerzo σ2 de tensión, mayor que aquel que la mampostería o el concretosimple pueden soportar.

En este tramo tensionado, evidentemente, habrá una grieta, hasta el punto donde no hayasido sobrepasada la reducida resistencia a la tensión que la mampostería posee.

Al verificar la zona de exclusión de tensión, procuramos compensarla con un exceso decompresión ∆σ1, debido a la reducción del ancho de b hacia b0.

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Figura 20: Equilibrio de Rotación. Grieta.

Esto equivale a admitir la hipótesis del deslizamiento de la línea neutra (L−N). Por lotanto, σmax = σ1 + ∆σ1.

Condición: σmax ≤ σc, donde σc es el esfuerzo admisible a compresión de la mamposteríao el concreto simple.

Las mismas consideraciones son válidas para la junta de la zapata con el terreno de lacimentación. En este caso, σmax ≤ σs, donde σs es el esfuerzo admisible al nivel del suelo.

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Figura 21: Separación de la zapata en contacto con el suelo.

Recordando la resistencia de materiales, la nueva posición del eje neutro está dada por laexpresión:

v0 = J0Z0

= Momento de inercia del area de seccion comprimidaMomento estatico del area de seccion comprimida

J0 = db303 Z0 = db20

2 ∴ v0 = 23b0

b0 = u+ v0 = u+ 23b0

3b0 = 3u+ 2b0 ∴ b0 = 3u

En estas condiciones, tenemos el centro de presiones (C.P.), al límite del núcleo central enla sección comprimida.

De acuerdo con el 3° Caso: σmax = 2N/S0, siendo S0 = db0 ∴ S0 = 3du.Resulta:

σmax = 2N3du

Lo anterior es el esfuerzo máximo excluyendo la tensión, para el caso de la sección rectan-gular.

Condición necesaria: σmax ≤ σcσc Esfuerzo admisible a compresión.

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