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7/24/2019 Cuaderno Calculo completo.pdf

1/54

CALCULO

CUADERNO DE MATERIA

KATHERINE ESTEFANIA

BUSTOS TORRES

AULA 2.16

LATACUNGA, 19 DE FEBRERO DE 2016

LATACUNGA-ECUADOR


2/54


3/54

LIMITES

Anlisis de una funcin, es un entorno reducido que se aproxima pero no llega alnmero.

Limites infinitos

- x +lim = 5 5,999999 6,0001 7

= 3,141592652=141421332e = 2,71825

i =1i =-1i =

1

Ejercicios 16= (x-4) (x+4) 4 2 = 422(a3-b3) = (a-b) (a2+ab+b2); (a+b) (a2-ab+b2)

(a4-b4)=(a+b) (a-b) (a2+b2)

(x+y)2 = x2+2xy+y2


4/54

RACIONALIZACION 2 2 2 2= 8 2 2 2 2= 8 2 82 = 8 2 82 2 2

= 8 2 2 4

9 6 9 6= 9 9 6 = 9 9 6

9 6

= 9 9 62 1 5 = 21 2 3 1 2 31 2 3

= 21 2 3

1 2 31 2 3

= 21 2 31 2 21233= 21 2 38 2 61 2


5/54

LIMITES LATERALES

Analizar tanto por la derecha o izquierda al lmite y analizar si se acercan el uno hacia elotro para que comprobemos si existe.

{ < 1 1 < < 44 > 4limLIMITES INFINITOS

fx 2 3x f(x)01

1,52

2,52,8

2,99

-2/3-3/2-7/3-4-9

-24-499

fx 2 3 = 3 23 3 = x x 1 enteros negativos 3 2,9999 +lim 2 3 = 5,00010,0001 = 50 +

lim 2 1 7 = 1 4 17 7 = lim, 26,99916,9997 = 14,99990,0001 = 150 lim 1 1 = 00 1 1 1 = 1

x f(x)

3,00013,9993,83,544,55

5,000015999/99929/411613/37/2


6/54

lim 1 = 1 1 1 = 3

GRAFICA DE FUNCIONES

Funcion del valor absoluto

Grafica de la Funcin cuadrtica x2

x f(x)1,251,11,011,0010

3,81253,3103,033,0033

x f(x)0,9990,190,75

2,9972,9702,3125


7/54

Funcin de Sen y Cos

Grafica de las funciones Tangente y Cotangente


8/54

Grafica de la funcin Secante y Cosecante

=1 6 8 2 4

4 4 =00

X=2

lim 2 3 6 1 2

2

lim 3 6 1 22 lim 8 1 2 1 2 1 24 lim 444 = 11

= 1 11 1 =

X4 X3 X2 X1 X0

1 1 0 0 -242 6 12 24

1 3 6 12 0


9/54

lim 1

lim

1

lim 1 lim 11 1 1= 1 1 1 = 1 1 lim 1 1 1 = 1322 =


10/54

PROPIEDADES DE LOS LMITES

Sean f(x), G(x) dos funciones cuyos lmites se pueden expresar de la siguiente manera:

lim =

lim =

1. lim = 2. lim =lim

3. lim lim = l im 4. lim lim = l im 5. lim = 6. lim = 7.

lim =lim8. lim = lim 9. lim|| = lim

Ejercicios

= = = = = = 1 1lim 3 1 = l i m 3 1 = l i m 3 1 1 lim 3 1 1 1lim 2 3 3 3 1 1 1

1 0 1 1 0 0 -31 1 1 2 3 3 3

1 1 2 3 3 3 0


11/54

lim 2 3 2 3 1 1 1

lim 1 1 21 31 31 3

1 11 11 1 1 =2 2 3 3 3

223 =1312

8 4 = l i m 8 4 = 00 = = = = =

6 4 ; =

= 64 2lim 24 2lim 2 2 4 2 2 = l i m 4 4 44 = 124 = 3

Identidades Trigonomtricas

= 1 = 1= = 1+ = 1 =

Suma de Sen de ngulos

Sen (A+-B) = Sen A Cos B= Cos A Sen B

Cos Cos = -2Sen 1/2 (+) = limite laterales

1. Sen x=

2. Cos x=

3. Tan x=

4. Cot x=ta =

5. Sec x=

=

6.

Csc x=


12/54

lim[

1 1 > 1 2

12 1 < 1

1.-

lim 1 1 = 1 1 lim 11 = 1 1 11 1 = 322.-

lim =2 1 ++ = + = = 1 1 2 =

lim 3 5

3 2 1 =

3

5

3 2 1 = l i m 1 3

5

3 2 1 =1 0 03 0 0 =

13

lim = 0lim = lim 4 7 =

4 7 = 1 01 0 = 11 = 11 = 1LIMITES TRIGONOMETRICOS

lim 22 = 112 =2 lim 5 = 55 15 =

115 = 5

lim coscos

=212

12

2 -1 -12 1 1

2 1 0

1 -1/2 -1/21 1/2 1

1 1/2 0

2x 1= -x

X 1= 2x

x


13/54

lim 2 1 2 2 = 12 = 1 = TABLA DE LAS DERIVADAS

lim = cos = cos cos = cos 1 cos = cos 1 c o s = 1cos 1 cos = 1cos2 = 12coslim = 0

lim2 12 cos 12 lim 2 1 2 ] 1 2 ] cos 12 2

cos 12

2 =

2 12

22 =

12 2 =

12 2

=Cos x

Funcin Derivada = 2 = l i m


14/54

DERIVADA POR DEFINICION1. = 2

= l i m

= l i m 2] 2 = l i m 2 2 2 2 = l i m 2 = l i m 2 = 2 Primera forma2. = 2x = l i m = l i m 2 2 = l i m 2 2 2 2 = l i m 2 2

= l i m 22

= l i m 2 2 = l i m 2 2Segunda Forma

2 = 2 = 2 = 2 = 2

Derivada por tabla 22 2 2 2


15/54

2 2 = 2 2Derivacin por definicin

= l i m2 2

3. = = l i m = l i m

= l i m

= l i m = = l i m 1 = 1 = 12

=

= 2 = 2 = 2 = 2 = 2 2 = 2 2 = 1 6 = 4 4

lim 4] 4] 4 4 lim 2 4 2 4 4 4 lim 4 6 4 lim 4 64 lim4 64 = 4 60 40 0lim 4

Derivada por tabla

= 12 = 12 12


16/54

= 2 3 = 22 3. 2 = 4 6. 2 = 8 1 2

= 4

7

= 74

7

. 8 = 5 6 4

7

= = 2 22 = = 4 = 4 = + = + 2 1

= +

2 22 1

= + 2 4 2 = + 2 1 = + 2 1

= 7cos4 3

=7sen4 38 cos4 30=564 35. 3 2= 33 23 = 23

=

23

23

= 2 23 23 = 3 2 2 2 = 3 63 2 3 2 = 63 = 6 = 6


17/54


18/54

Derivada implcita

Regla: Que pasa por un punto sin cortar la recta, la derivada de esa funcin en un punto,ecuacin de la recta. m=pendiente

m= f (x)=f (x, y)

Recta normal:

1 ; = 1 DERIVADA IMPLICITA1 . = 4 3 2

= =

= 4 3 4 4 = 3 4 4 = 2 4 4 = 2 12 = 4

21 2

2. = 4 = 4 = 1 1 4 =

4 = 2


19/54

4 = 2 2

4

2

=2

+ + = 2 Derivada implcita 2 = 3 2 2 = = 3 2 2 2 = 3 2

2=3 2 1 = 23 2 1 Ecuacin de la recta tg 1 =

1 = 215 415

1 415 = 215 1 5 1 5 415 = 215 151915215 = =15192

= 2 2 4 = 32 2 2 4 = 32 2 3 = 2 4 = = 24

2 2 3

= 21 4221 22 31

RECTA NORMAL

= 152 Pendiente de la recta, punto (1,2)

= 232 22 1

= 234 4 1 = 21 2 4 1 = 215 Evalu

(1,2) con = 2

3

2

Esto es igual a la pendiente de la recta tg

P (2,1)

Ecuacin = 1 = 1 2 = 344 1 2 = 344 1 2 344 = 344 3 4 0

3= 34

4

= 3 4 03 = 3 4 034


20/54

= 2 322 4 3 = 342 APLICACIN DERIVADA DE CAMBIO

Si la arista de un cubo crece a razn de 2cm sobre segundo

A que velocidad cambia el volumen del cubo en el instante en que la arista mide 5cm

= =5

Se produce aire al interior de un grado esfrico de modo que si volumen aumenta arazn de 100 cm3/s. con que rapidez crece el radio del globo cuando su dimetro es de50 cm

=43

= = = = = 25 =325 25 =150

DERIVADA

2 31

D=50cm

= =? ?


21/54

= = =

3

=4100/ =425 = 100/425 = 0,013 /

MAXIMOS Y MINIMOS1. = El dominio:

D r(x)=R

2. = ; 0

3.

= 0 = 2 3 1 1 1 1

1 0 1 1 1


22/54

La 1 derivada de una funcin es la tg

1. Obtener el dominio de dicha funcin.2. Calcular la primera derivada.3. Hallar las races de f(x) igualando a cero, las races, hallados son candidatos

hacer puntos crticos tambin son puntos crticos aquellos que no pertenezcan aldominio.4. Representar los puntos crticos en una recta numrica y analizar por intervalos.5. Evaluar los signos e cada uno de los intervalos si es positivo la funcin es

creciente, si es negativos es decreciente, si no hay cambio de signo entonces noexiste el mximo y el mnimo.

Calcular el mximo y el mnimo de las siguientes funciones: = 2 2 5 1

1.

2. = = 32 22 5 = 6 4 5 = 0 = 42 = 44 46526 = 4 13612 = 411,6612 = 411,6612 =1,31; 411,6612 =0,641,310,64 = 0

= 1 , 3 1=0,64


23/54

L-HPITAL

lim = 00

lim =lim = = 5 1 2 1 =1 5 11 2 1 =

11 = 1

lim

5 1 2 1 = 2 52 2 = 00 =

lim 22 = 1 = 00 ;

22 2 12

lim 12

21 =

12 0=

12

Un aeroplano volando hacia el este a 2000 m de altura y 200 km/m, pasa sobre un barcoque viaja al sur a 20 km/h. A qu velocidad se aleja el uno del otro a media hora decruce?


24/54

= 20 /

=200

0.5=100

= 20 0.5=104 = 2 = 0 2 = 2 2 2 = 0 = 2 10 = 10,2 = 12 2 = 1100,5 100200 1020 200,0 /

=

= 100

10,2

=100,5


25/54


26/54

INTEGRALES

INTRODUCCION.-

La integral representa una funcin.

Integral definida.-

f(x) = f(x) = f(x)

f(x) = f(a)f(b)

Integral indefinida.-


27/54

F(x)+C

PROPIEDADES:

= F(x) +C F(x) + G(x) +C

3 6 = 3 6 Constantes.-

=

3 6 = 3 6

3 6 FORMULAS:

1. = 2.

= =

3. = + =

3 6 3

6


28/54

Ejercicios:

1 1 1 = 1

+32 1

52

2 5 255 Grancil Anexo N

= 20 = 20 (ln(x))+c


29/54

2 52 = 254

5 254 254 6 52 52 14 52 14 52 14Formulas:

1. 1 = 12 2. 1 =log 3. 1

= 1

; > 0

4. 1 = 12 log Ejercicios:


30/54

1 0 2 5 2 5 2

5 5 23

5 23 23 51223 log 23 523 5

52 4

52 4

2516 4 54 54 4 54 54 3916 5

4 39

4

52 8

52 2516 2516 4


31/54

52 52 3916

52 3916

52 3916

CAMBIO DE VARIABLES

U = lnx = 1 =

Formula: = + 1 2

2

3

3

3


32/54

3 2

1 2 2 1 2 1 2 12 12 12 ln 2

14 14 ln 14 ln1

= ;= ;


33/54

=

12 12 12 +32 1

12 52 2 5

= dv= 1 arce

+c = a > 0

= arcsen ln +c

2 1 1 1

1 2


34/54

12 1 2 22

1 1

2

Formula:

=

Integracin por partes.-

Inversa Logartmica Algebraica Trigonomtrica

Exponenciales u = x

du = 1dx = dx

dv = v =

dx

Formula:

= = =

7

7

7 17


35/54

7 17 7 7

49

u = du = 2xdx

du = dxdv = 6 =

uv= 6 6 2

6 2

6

6 13 66 13 66 13 6 u = x

du = de

du = x = 6

6 13

6

16


36/54

6 13 6 16 16 6

18

108

u = x

du = dx

dv =

= cos Formula:

-cosxdx = senx

-senxdx = -cosx

= = =

u = du = 2xdx

dv = = = c o s =

2 2

2

u =


37/54

dv = dx

du = senxdx

= cos

2 2 22

= 4 1 0

= = 2 4 = 3

=

= 2 4

= 2 = = 3

( 4 1 0 24(

4 1 0

2 4

( 4 1 0 2 4 2( 4 1 0 2 4 +c( 4 1 0 2 4 +c


38/54

=

4 1 0 =3

2 4 = 9 20 = 27 ( 4 1 0 2 4 2 +cIntegracin por sustitucin trigonomtrica

Hipotenusa: = Cateto:

=

=

= = =

=

=

= ==

a

bc

a

b


39/54

cos= sec= =Ejercicios:

1. = =6 = 6 2.

= + = 366 36=6

66 = 66 log log 36

6

6

6

x


40/54

+ 1. =

=1

= 1 2. = + = 1 1

1

ln ln 1

+

= 1. = =4 = 4 = 4

=

16

= 16 2. =

Formula:1 =

1 6 =4

1

1

x

1 6

4x


41/54

44 4

4 =14

14 14 ln 14 ln4 16

+ Formula:2 = 1 2 2 = 1 2

=5 =

5

=5 = 2 5 =5= 2 5 5 2 5 =5 555

55 5

5 25

5

2 5

5

x


42/54

Por cambio de variable

= 2 5

=2 = 2 = 2 = 12

=

=

= = 2 5 Sustitucin trigonomtrica

= 2 = 2 = 2 = 4 2

4 =2 4 222 22 12

4

2

x


43/54

2 1 2

= 2

2

Cambio de variables:

= 6 1 = 6 = 6 = 6

16 Formula:

= 1 16 + 3 1

16

2

12 6 112 Integracin por partes:


44/54

+

2 2+

= 2 9 = 1 = + = ++ = +

2 ++2 4 ++2 4

21++

++

= ln 5 1 0 6


45/54

10x + 10

10 10 55 1 0 6Separar las integrales homogneas

10 105 1 0 6 55 1 0 6

= ln 5 1 0 6 5 ++55 5 1 0 65 =

2 1 1 65

1 1 15

ln 5 1 0 6 12 5 1

12 5 1 6 6 33 3 1

= 633 2 1 63 3 1


46/54

ln = 3 2 1 6 ++

2631 + 13 = 2 14 14 13

2 12 12

ln3 3 1 2 122 114


47/54


48/54

UNIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS

UNIDAD DE GESTIN DE TECNOLOGAS

SEGURIDAD AREA Y TERRESTRE

Nombre:Bustos KatherineAula:2.16 Segundo Nivel

Materia:Calculo

Fecha:07/01/2016

=

= = . 2 2 = + 2 + + 2 = 2+ ++

+

2 +

= = = 1

2 22

= 1 1 = 1 =


49/54

= ; =

= 12 2

12

12

= 1 12 12

= 1 2

= 1 2 = 2 =

=

3

1

= 13 3 3 6 3 = 3 63 3 3

= 3 6 3 33 3

= 3

6 3

9

3 3


50/54





Materia:Calculo

Tema:limites:

= 2 43 24 = 2 23 2 = 03 4 = 01

= 2 2 = 00

lim

5 6 3 1

4 0 02 0 0 = 42 = 2

= 4545145 = 02lim 1 lim

lim = .

=

= cos cos


51/54

= 12 1 2 . 1 2

lim12 2

= = 4 3

= 4

2

3

= 4 84 3 = 4 384 = 4 342

= 4

342

Derivar por tabla

. 2 6 12

2 12 6 13 8. ln 1ln 1

ln

12 1


52/54

ln

(

11 12 1 1)

ln 1 12 1 = l n 32 1 9. 6] 6 26 6 2410.+ln1

1 +l n 1 lnIn


53/54





Materia:Calculo

Fecha:19/11/2015

1. = 32 172 452 32 10 = 34 3 4 454 6 1 0 = 2512

2. = 26 6 28 1 0 2 = 20 20 = 00

lim 23 2 2 22 1lim 22 1 63221lim 4 2 63 22 1 = 4 43 22 1

lim 4 23 22 1 = 46 3= 462 3 = 41 2 3 = 493. = 1 1 1 31 1 = 00

=

3 1

= 3 1 1 = 3 1 1 1= 3 1 11 1

= = = = = = = = 1 = 1


54/54

= 1

2

3

3 3 1 1 1 1

= 2 3 3 3 1 1 1 lim 1 1 2 3 3 31 11 11 1 1 = 1312. = 2

2 = 10 = 00 lim 1 11lim 1 1lim 1lim 1

2

1 0 1 1 0 0 -31 1 2 3 3 3

1 1 2 3 3 3 0

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