Cuaderno Calculo Integral Intersemestral Junio2015

P g i n a 0 | 64

UNIVERSIDAD AUTONOMA

DEL CARMEN

ESCUELA PREPARATORIA

DIURNA CAMPUS II

Junio 2015

AUTORES

ING. TRINIDAD DEL CARMEN RODRIGUEZ CAMARA

LCC. AZUCENA AMERICA ALVAREZ MONTEJO

ACADEMIA DE MATEMATICAS

Nombre:

_____________________________________

Sexto semestre Grupo: __________

P g i n a 1 | 64

1 CONTENIDO

2 Anti derivadas, Integracin indefinida ........................................................................................ 4

3 Integral indefinida ....................................................................................................................... 4

4 Conceptos Bsicos de Integracin ............................................................................................... 6

La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral

de la funcin. ................................................................................................................................... 6

La integral de una funcin u de una variable x elevada a un exponente es igual a la funcin elevada

al exponente original ms uno, todo dividido entre el exponente original ms uno ..................... 7

En algunos casos la integracin se facilita si se efectan previamente las operaciones indicadas

(productos o cocientes de polinomios) ........................................................................................... 8

Otras integrales se pueden resolver al sumar y restar al integrando una misma cantidad. ........ 10

5 INTEGRACION DE FUNCIONES COMPUESTAS ........................................................................... 12

6 EJERCICIOS No 1 ........................................................................................................................ 17

7 Integrales de la forma Ca

adva

uu ln

Cedveuu .............................................. 21

8 Ejercicio No 2 ............................................................................................................................. 26

9 Frmulas de integracin de las funciones trigonomtricas directas ........................................ 29

Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas directas .................... 29

El integrando es el producto de la potencia de una funcin trigonomtrica por su diferencial. . 29

Sustituyendo el integrando por una identidad pitagrica ............................................................ 30

El integrando se sustituye por una identidad trigonomtrica recproca ...................................... 30

Multiplicando el integrando por su conjugado ............................................................................. 33

Multiplicando y dividiendo el integrando por una misma cantidad. ............................................ 34

Parte del integrando se descompone en sus factores .................................................................. 35

En el integrando se desarrollan algunas operaciones algebraicas ................................................ 35

10 FORMULAS DE INTEGRACION LOGARITMICAS...................................................................... 36

P g i n a 2 | 64

11 Ejercicio No 3 ......................................................................................................................... 47

12 FORMULAS DE INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS .................... 50

Algunos procedimientos de integracin de las funciones trigonomtricas inversas.................... 50

El integrando se expresa como la suma de dos cocientes ............................................................ 52

El integrando es una fraccin donde el numerador es dx y el denominador es de la forma ....... 52

ax + bx + c ...................................................................................................................................... 52

Completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 es negativo .................................................. 54

Completar el cuadrado cuando el coeficiente de x2 no es la unidad ............................................ 56

13 Ejercicio No 4 ......................................................................................................................... 58

14 Integral definida .................................................................................................................... 62

15 Ejercicio No 5 ......................................................................................................................... 64

P g i n a 3 | 64

Generalidades

o Anti derivada

o Integral Indefinida

o Frmulas de derivacin

o Frmulas de Integracin

o Conceptos Bsicos de la Integracin

ANTI DERIVADAS

Integracin Indefinida

P g i n a 4 | 64

2 ANTI DERIVADAS, INTEGRACIN INDEFINIDA

Objetivo: Aplicar las tcnicas de la integral indefinida

Lectura 1. Antiderivada

Definicin:

A una funcin F se le llama antiderivada de una funcin f, en el intervalo I,si F(x)=f(x) para

todo valor de x en el intervalo.

Por comodidad este concepto se expresa con la fase F(x) es una antiderivada de f(x). Las

expresiones integral indefinida y funcin primitiva son sinnimos de la palabra antiderivada.

Ejemplos

1. 3x2 dx es la diferencial de x3

x3 es la antidiferencial de 3x2 dx

2. sen x dx es la diferencial de cosh

cos x es la antidiferencial de sen x dx

3 INTEGRAL INDEFINIDA

A la operacin de calcular la antiderivada (primitiva) de una funcin se le llama integracin y se

denota por el smbolo que es la inicial de la palabra suma.

Si F(x) es una funcin primitiva de f(x) se expresa:

CxFdxxfy )()( si y solo si F(x) + C = f(x)

P g i n a 5 | 64

La expresin dxxf )( es la antiderivada de F(x).

Tabla 1 Simbologa bsica

Es el signo de integracin, se lee integral de

f(x) Integrando

dx Diferencial de la variable

x Variable de integracin

F(x) Funcin primitiva

C Constante de integracin

Si en la expresin CxFdxxfy )()(

Y como en la definicin de la antiderivada sealamos que F(x)=f(x), sustituimos en la

expresin anterior

CxFdxxF )()(

queda

CxFdx

ddxxf

dx

d )()(

)()( xFxf

como la derivacin y la integracin son operaciones inversas, ello nos permite obtener las frmulas

de integracin directamente de las frmulas de derivacin.

P g i n a 6 | 64

4 CONCEPTOS BSICOS DE INTEGRACIN

La integral de la suma de un nmero finito de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales

de las funciones.

dxxhdxxgdxxfdxxhxgxf )()()()()()(

Ejemplos:

1. dxdxxdxxdxxx 27527522

cxxx 22

7

3

5 23

2.

x

dxdx

x

xdx

x

xxd

x

xx43

43 2224

xdx

xdxdxx 433

cxLxx ||42

3

4

1 24

A cada integral habra que sumarle una constante C, pero solamente se escribe la del final porque

la suma de varias constantes es otra constante

LA INTEGRAL DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIN ES IGUAL A LA CONSTANTE

POR LA INTEGRAL DE LA FUNCIN.

)()( xfkxkf

Ejemplos:

1. dxxdxx44 88

P g i n a 7 | 64

cx 5

5

8

2. dxxdxx33

5

2

5

2

cx

45

2 4

= cx 4

10

1

LA INTEGRAL DE UNA FUNCIN U DE UNA VARIABLE X ELEVADA A UN EXPONENTE ES IGUAL A LA

FUNCIN ELEVADA AL EXPONENTE ORIGINAL MS UNO, TODO DIVIDIDO ENTRE EL EXPONENTE

ORIGINAL MS UNO

1

)()(

1

nxu

xduxu

n

n

con n -1

ya sealamos que u es una funcin de x, por ello esta notacin puede abreviarse de la forma

siguiente:

11

1

nconnu

duun

n

si n = -1 du

uduu

11

udu

cu ||ln

Se expresa: la integral de la diferencial de una funcin dividida entre la funcin es igual al logaritmo

natural de la funcin.

Ejemplos:

P g i n a 8 | 64

1. cx

dxx 3

32

2. cxxdx

||ln

Dentro del signo de integracin se pueden conmutar los factores del integrando.

dxxxdxxx3232 11

Por ningn motivo se puede sacar la variable de integracin del signo de integracin

xdxxdxx2

este desarrollo no es correcto

EN ALGUNOS CASOS LA INTEGRACIN SE FACILITA SI SE EFECTAN PREVIAMENTE LAS

OPERACIONES INDICADAS (PRODUCTOS O COCIENTES DE POLINOMIOS)

Ejemplos:

1. dxxxxdxxx )362(3122

dxxx 3522

dxxdxdxx 3522

Cxxx 32

5

3

2 23

2.

dxx

x

2

13

422 xx

P g i n a 9 | 64

123 xx

23 2xx

122 x

xx 422

14 x

84 x

7

dx

xxxdx

x

x

2

742

2

1 23

27422

x

dxdxdxdxx

Cxxx

x 2ln742

2

3

1 23

3. dx

x

x

1

3

dividiendo el numerador por el denominador resulta: 1

11

1

23

xxx

x

x

sustituyendo en el integrando

dxx

dxxdxdxxdxx

x

1

1

1

23

Cxxxx

1ln23

23

P g i n a 10 | 64

OTRAS INTEGRALES SE PUEDEN RESOLVER AL SUMAR Y RESTAR AL INTEGRANDO UNA MISMA

CANTIDAD.

Ejemplos:

1.

2

5x

xdx

Para su solucin se procede en la forma siguiente: del denominador, en la expresin (x+5)2

tomamos el 5, mismo que se suma y se resta al numerador; la integral obtenida se descompone en

dos integrales.

dxx

x

x

xdx22

5

55

5

225

5

5

)5(

x

dx

x

x

2

55

5 x

dx

x

dx

u (x)= x + 5

du (x)= dx

duux 255ln

Cu

x

1

55ln

12

2.

Cx

xx

xdu

5

55ln

42

P g i n a 11 | 64

o Sustitucin por cambio de variable

o Deduccin de frmulas para derivar integrales

o Ejercicios

INTEGRACION DE UNA FUNCION COMPUESTA

P g i n a 12 | 64

5 INTEGRACION DE FUNCIONES COMPUESTAS

Objetivo: Aplicar las formulas inmediatas de integracin a travs del cambio de variable.

Lectura

5.1 SUSTITUCION POR CAMBIO DE VARIABLE

Existen varias tcnicas para aplicar una sustitucin pero el propsito de todas es identificar en el

integrando una funcin que este multiplicada por la diferencial de esa funcin, y as, poder aplicar

una frmula de integracin.

En el mtodo de sustitucin, llamado tambin cambio de variable, se escoge una literal. En nuestro

caso se eligi la u, que se iguala a la funcin que incluye el integrando, por ello es necesario sealar

que est en funcin de la variable de dicha funcin

Ejemplos:

Integrar (solo identificar la funcin y su diferencial)

1. )()(

77xduxu

dxxsen

Sealamos u = 7x

u(x)= 7x

du(x)= 7dx

7x es la funcin

7dx su diferencial

2. )()(

5cos

yduyu

dyy

Sealamos

u = 5y

P g i n a 13 | 64

u(y)= 5y

du(y) = 5 dy

5y es la funcin

dy la diferencial incompleta

Observa que la variable de la funcin es y, as como que la diferencial en el integrando esta

incompleta.

En el primer ejemplo hemos escogido la literal u. A continuacin sealamos u (x) indicando con ello

que u esta en funcin de x, en seguida con du(x) calculamos su diferencial.

3. )()(

77xduxu

dxxsen

u = 7x

du(x)= 7dx

este es uno de los procedimientos ms empleados por costumbre y comodidad.

4. dxxx 2322

Hay dos maneras de resolver este ejemplo, la primera aplicando la sustitucin por cambio de

variable.

5. )()(

22 23xduxu

dxxx

xdxxdu

xxu

xu

2)(

3)(

3

2

2

P g i n a 14 | 64

el integrando est completo pues incluye la funcin multiplicada por su diferencial, en consecuencia

se puede aplicar la frmula de integracin de la potencia de una funcin.

6. duudxxxxduxu

2

)()(

22 23

integrando

Cu

3

3

sustituyendo el valor de u

C

x

3

332

otra solucin se encuentra desarrollando la operacin en el integrando

7. dxxx 2322

el integrando es un polinomio, por ello, podemos desarrollar su producto e integrar termino a

termino.

dxxxxdxx 29632422

dxxxx 1812235

dxxdxxdxx 1812235

Cxxx 246

2

18

4

12

6

2

Cxxx 246 933

1

Los dos resultados estn bien ya que si desarrollamos el primero de ellos se tiene:

P g i n a 15 | 64

C

xxxC

x

3

27279

3

3 24632

Cxxx 9933

1 246

La constante en el primer desarrollo es 9 + C, la del segundo es C, que son equivalentes.

8. xdxxba 21

222

dxxbxdu

xbaxu

xbau

2

222

222

2)(

)(

el integrando no est completo, se puede introducir el factor 2b2 despus del signo integral,

delante de x dx y su reciproco delante del signo integral.

Cub

u

bC

u

bduu

bxdxbxba

b

31

2

32

1

12

12

1

2

12

2

1 23

2

2

3

2

12

1

2

2

1

2

22

1222

2

Sustituyendo el valor de u

C

b

xba

2

2

3222

3

9. 2223

xcb

axdx

dxxcxdu

xcbxu

xcbu

2

222

222

2)(

)(

el integrando no esta completo, se puede introducir el factor 2c2 despus del signo integral,

delante de x dx y su reciproco delante del signo integral.

P g i n a 16 | 64

Cuc

a

u

du

c

a

xcb

xdxc

c

a

ln2

3

2

32

2

322222

2

2


Cxcbc

a 222

2ln

2

3

P g i n a 17 | 64

6 EJERCICIOS NO 1

Calcular las integrales siguientes, anexar procedimiento completo:

P g i n a 18 | 64

P g i n a 19 | 64

P g i n a 20 | 64

P g i n a 21 | 64

7 INTEGRALES DE LA FORMA Ca

adva

uu ln

Cedve uu

Ejemplos:

1. dxbax2

dxxdu

xxu

xu

2)(

2)(

2

el integrando no esta completo, se puede introducir el factor 2 despus del signo integral, delante

de x dx y su reciproco delante del signo integral.

Ca

abdua

bdxa

b uux ln222

2

2


Ca

ba x

ln2

2

2. dxx210

dxxdu

xxu

xu

2)(

2)(

2

el integrando no est completo, se puede introducir el factor 2 despus del signo integral, delante


Cduadxu

ux 10ln10

2

1

2

1210

2

1 2


Cx

10ln2

102

P g i n a 22 | 64

3. dxex36

dxxdu

xxu

xu

3)(

3)(

3

el integrando no esta completo, se puede introducir el factor 3 despus del signo integral, delante


Ceduedxe uux 236

33

6 3


Ce x 32

4. dxxesenx cos

dxxxdu

senxxu

senxu

cos)(

)(

sustituyendo

Ce

egrando

due

u

u

int


Cesenx

5. dxedxxdxexxx 22 77

P g i n a 23 | 64

dxxdu

xxu

xu

2)(

2)(

2

multiplicando y dividiendo la segunda integral por 2


6. dxex 23 4

Primero desarrollamos el binomio

dxdxedxe

dxee

xx

xx

168

168

36

36

dxxdu

xxu

xu

6)(

6)(

6

dxxdu

xxu

xu

3)(

3)(

3

Multiplicando y dividiendo por 6 y por 3 la primera y la segunda de las integrales respectivamente

Cxee

egrando

dxduedue

dosustituyen

dxdxedxe

uu

uu

xx

163

8

6

1

int

163

8

6

1

1633

86

6

1 36

Cex

egrando

duedxx

u

u

2

1

2

7

int

22

17

2

Cex x 22

2

1

2

7

P g i n a 24 | 64

sustituyendo los valores de u

Cxee xx 163

8

6

1 36

7. dxe

e

dx xx

4

49

9

dxxdu

xxu

xu

4)(

4)(

4

multiplicando y dividiendo por -4

Ce

egrando

due

dosustituyen

dxe

u

u

x

4

9

int

4

9

44

9 4


Ce

Ce

x

x

4

4

4

9

4

9

8. dxxexsen 6cos6

xdxxdu

xsenxu

xsenu

6cos6)(

6)(

6

multiplicando y dividiendo por 6

P g i n a 25 | 64

due

egrando

due

dosustituyen

dxxe

u

u

xsen

6

1

int

6

1

6cos66

1 6


Ce xsen 6

6

1

P g i n a 26 | 64

8 EJERCICIO NO 2

Calcular las integrales siguientes, anexando procedimiento:

P g i n a 27 | 64

P g i n a 28 | 64

o Frmulas de Integracin de las Funciones Trigonomtricas

o Algunos procedimientos de Integracin

o Ejercicios

Funciones

Trigonomtricas

Directas

P g i n a 29 | 64

9 FRMULAS DE INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

DIRECTAS

1. cvdvsenv cos

2. csenvdvvcos

3. cvtgdvv2sec

4. cvctgdvv2csc

5. cvdvvtgv secsec

6. cvdvvctgv csccsc

ALGUNOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DIRECTAS

EL INTEGRANDO ES EL PRODUCTO DE LA POTENCIA DE UNA FUNCIN TRIGONOMTRICA POR SU

DIFERENCIAL.

Ejemplo:

dxxxsen cos3 2

si la funcin es

dxxxdu

senxxu

senxu

cos)(

)(

sustituyendo u(x) y du(x) en el integrando, se tiene:

= duu23

integrando

Cu

3

33

P g i n a 30 | 64


Cxsen 3

SUSTITUYENDO EL INTEGRANDO POR UNA IDENTIDAD PITAGRICA

Ejemplo:

22 tan1sec

como 1sectan22 xx


dxx 17sec2

completamos el diferencial multiplicando y dividiendo por 7

Cxx

egrando

dxdxx

dxx

7tan7

1

int

77

1)7(7sec

7

1

17sec7

1

2

2

EL INTEGRANDO SE SUSTITUYE POR UNA IDENTIDAD TRIGONOMTRICA RECPROCA

Ejemplo:

xsen

dx2

3

como xsen

x1

csc

al elevar al cuadrado ambos miembros

xsenx

2

2 1csc

y sustituyendo en el integrando

P g i n a 31 | 64

dxx2csc3

integrando

Cx cot3

Ejemplo:

2tancos 2 xx

dx

como x

xcos

1sec

al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuacin

xx

2

2

cos

1sec

se sustituye en el integrando

dxxx

x

dxx

22

1

2

sec2tan

2tan

sec

si la funcin es

dxxxdu

xxu

xu

2sec)(

2tan)(

2tan

se sustituye en el integrando

P g i n a 32 | 64

2

1

2

1

2

1

2

2

1

int

u

u

egrando

duu

con el valor de u queda

Cx

Cx

2tan2

2tan2 21

Ejemplo:

dxxsenxdx

x

xsen33cos1

3cos1

3 33

si la funcin es

dxxsenxdu

xxu

xu

)3(3)(

3cos1)(

3cos1

completamos la diferencial, multiplicamos y dividimos por 3

dxxsenx )3(33cos13

1 3

Sustituyendo en el integrando

duu 3

3

1

integrando

Cu

)2(3

2

P g i n a 33 | 64


Cx

2)3cos1(6

1

MULTIPLICANDO EL INTEGRANDO POR SU CONJUGADO

Ejemplo:

dx

x

x

coxx

dx

cos22

cos22

22

1

cos22

El producto de un binomio conjugado es igual a la diferencia de sus cuadrados

dxx

x

dofactorizan

dxx

x

2

2

cos1

cos1

2

1

cos44

cos22

como sen2x = 1-cos2x

sustituyendo

senxx

senx

xx

xsenxsenxsen

xsenxcomo

dxxsen

xdx

xsen

dxxsen

x

1csc;

coscot

1sec

cos

2

11

2

1

cos1

2

1

2

22

2

al sustituir en los integrandos

dxxxdxx csccot21

csc2

1 2

integrando

P g i n a 34 | 64

Cxx csc2

1cot

2

1

MULTIPLICANDO Y DIVIDIENDO EL INTEGRANDO POR UNA MISMA CANTIDAD.

Ejemplo:

dxxx 2sec2tan

multiplicando y dividiendo el integrando por x2sec

dxxxx

dxx

xx

dxx

xxx

2sec2tan2sec

2sec

2sec2tan

2sec

2sec2sec2tan

2

1

si la funcin es

dxxxxdu

xxu

xu

)2(2sec2tan)(

2sec)(

2sec

sustituyendo el integrando: multiplicando y dividiendo por 2 para completar la diferencial

Cu

Cu

duu

2

1

2

1

2

1

2

12

1

2

1


Cx 2sec

P g i n a 35 | 64

PARTE DEL INTEGRANDO SE DESCOMPONE EN SUS FACTORES

Ejemplo:

dxxx

senx

dxxx

senx

dxx

senx

cos

1

cos

coscos

cos 2

como x

xx

senxx

cos

1sec;

costan

= dxxxsectan

integrando

Cx sec

EN EL INTEGRANDO SE DESARROLLAN ALGUNAS OPERACIONES ALGEBRAICAS

Ejemplo:

2

tansec xx

al desarrollar el binomio cuadrado perfecto

dxxdxxxdxx

dxxxxx

22

22

tantansec2sec

tantansec2sec

como 1sectan22 x

sustituyendo e integrando

Cxxx

egrando

dxdxxxx

dxxxx

sec2tan2

int

secsec2tan

1secsec2tan

2

2

P g i n a 36 | 64

10 FORMULAS DE INTEGRACION LOGARITMICAS

1. CuL

u

du

2. CuLduu sectan

3. CusenLduu cot

4. CuuLduu tansecsec

5. CuuLduu cotcsccsc

6.

Cau

auL

aau

du

21

22

7.

Cua

uaL

aua

du

21

22

8.

CauuLau

du

22

22

Ejemplo:

1. xdx

x

dx

5

1

5

dxxdu

xxu

xu

)(

)(

sustituyendo

CuL

egrando

u

du

5

1

int

5

1


P g i n a 37 | 64

CxL 5

1

2.

x

dx

x

dx

325

32

5

3)(

32)(

32

xdu

xxu

xu


CuL

egrando

u

du

dosustituyen

x

dx

3

5

int

3

5

32

3

3

5


CxL 323

5

3.

6

122 xx

dxx

dxxxdu

xxxu

xxu

)12()(

6)(

6

2

2

sustituyendo

P g i n a 38 | 64

CuL

egrando

u

du

int


CxxL 62

4. dxxx

x

2

11

2

3

Dividiendo Sustituyendo

1

32 xx

2 x

CuLx

egrando

u

dudx

dosustituyen

dxx

dx

int

2

1


CxLx 2

5.

dxxsen

x

2

2cos

dxxxduxsenxu

xsenu

2cos)(

2)(

2

1

dxxdu

xxu

xu

)(

2)(

2

P g i n a 39 | 64

sustituyendo

CuL

egrando

u

du

int


CxsenL 2

6. dxxxln

dxx

xdu

xxu

xu

1)(

ln)(

ln

sustituyendo

Cu

grando

udu

2

int

2


Cx

2

ln 2

7.

dxx

x

2

2

desarrollando el binomio

P g i n a 40 | 64

xdxdxx

dx

dxxx

44

44

dxxdu

xxu

xu

)(

)(

sustituyendo en la primera integral

Cx

xuL

egrando

dxxdxu

du

244

int

44

2


Cx

xxL 2

442

8.

3tan6cos 2 xx

dx

como x

xcos

1sec elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuacin

xx

2

2

cos

1sec

sustituyendo

3tan6

sec2

x

dxx

dxxxdu

xxu

xu

2sec6)(

3tan6)(

3tan6

multiplicamos y dividimos por 6

3tan6

sec6

6

1 2

x

xdx

sustituyendo

P g i n a 41 | 64

CuL

egrando

u

du

6

1

int

6

1


CxL 3tan66

1

9. 92x

dx

dxxdu

xxu

xu

xu

)(

)(

22

3

92

a

a

sustituyendo

Cau

auL

a

egrado

au

du

2

1

int

22

sustituyendo el valor de a y u

Cx

xL

3

3

6

1

10.

xe

dxxex

x

tan

sec2

dxxexduxexu

xeu

x

x

x

2sec)(

tan)(

tan

sustituyendo

P g i n a 42 | 64

CuL

egrando

u

du

int


CxeL x tan

11.

dxee

eexx

xx

dxeexdueexu

eeu

xx

xx

xx

)(

)(

sustituyendo

CuL

egrando

u

du

int


CeeL xx

12. dxx x232

xdxxdu

xxu

xu

6)(

3)(

3

2

2

2a

multiplicamos y dividimos por -6

dxxx 626

1 23

sustituyendo

P g i n a 43 | 64

CaLa

egrando

dua

u

u

1

6

1

int

6

1

sustituyendo el valor de a y u

CL

x

2322

1

6

1

13.

dxxxsenx

cos

cos

comun denominador

dxdxx

dxx

xdx

x

senx

tan

cos

cos

cos

integrando

CxxL sec

14. dxx2tan dxxdu

xxu

xu

2)(

2)(

2


dxx 22tan21

sustituyendo

P g i n a 44 | 64

CuL

egrando

duu

sec2

1

int

tan2

1


CxL 2sec2

1

15. dxx

xsec

dxx

dxxxdu

xxu

xu

2

1

2

1)(

)(

2

1

2

1

2

1

multiplicando y dividiendo por -2

dxxx

sec2

12

sustituyendo

duusec2

integrando

CuuL tansec2


CxxL tansec2

16. dxx2

tan1

desarrollando el binomio

dxxx2tantan21

P g i n a 45 | 64

como 1sectan22 xx

sustituimos en el integrando

dxxxdx

dxxx

dxxx

2

2

2

sectan2

sectan2

1sectan21

integrando

CxscxL tan2

17.

dxx

x

2

352

3

efectuando una divisin

dx

x

xxdx

x

x

2

3105

2

3522

3

23

2105

22 x

dxdx

x

xdxx

tomamos la segunda integral

dxx

x

2

102

xdxxdu

xxu

xu

2)(

2)(

2

2

2

2

22

a

a

2

25

2x

dxx

sustituyendo

CuL

egrando

u

du

5

int

5

P g i n a 46 | 64


CxL 25 2

tomamos la tercera integral

dxx 2

32

xdxxdu

xu

xu

2)(

22

2

22

a

a

sustituyendo

Ca

u

a

egrando

au

du

arctan1

3

int

322

sustituyendo los valores de a y u

Cx

2

arctan2

3

si calculamos la primera integral y sustituimos cada uno de los resultados de las integrales segunda

y tercera nos queda

Cx

xLx

2

arctan2

325

2

5 22

P g i n a 47 | 64

11 EJERCICIO NO 3

Calcula las siguientes integrales, anexa procedimiento.

P g i n a 48 | 64

P g i n a 49 | 64

o Frmulas de Integracin

o Algunos Procedimientos de integracin

o El integrando se expresa como la suma de dos cocientes

o El integrando es una fraccin donde el numerador dx

o Ejercicios o Integral definida

Funciones Trigonomtricas

Inversas

P g i n a 50 | 64

12 FORMULAS DE INTEGRACION DE FUNCIONES

TRIGONOMETRICAS INVERSAS

Ca

uarc

aauu

du

Ca

u

aua

du

Ca

uarcsen

ua

du

sec1

arctan1

22

22

22

ALGUNOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS

Ejemplo:

1. 29 xdx

para aplicar la frmula Ca

uarcsen

ua

du

22 es necesario identificar los valores de a

2, a, u2,

u y calcular u(x) y du(x).

3

92

a

a

dxxdu

xxu

xu

xu

)(

)(

22

El integrando est completo pues incluye la funcin multiplicada por su diferencial, en

consecuencia podemos aplicar la frmula de integracin citada.

2229 ua

du

x

du

integrando

P g i n a 51 | 64

Cx

arcsen 3

2. 243 xdx

para aplicar la frmula Ca

u

aua

du

arctan

122

es necesario identificar los valores de a2, a, u2,

u y calcular u(x) y du(x).

3

32

a

a

dxxdu

xxu

xu

xu

2)(

2)(

2

4 22

Para completar la diferencial se tiene que multiplicar y dividir por 2.

243

2

2

1

x

dx


2221

ua

du

integrando

a

u

aarctan

1

2

1

sustituyendo el valor de a y de u

Cx

3

2arctan

32

1

P g i n a 52 | 64

EL INTEGRANDO SE EXPRESA COMO LA SUMA DE DOS COCIENTES

Ejemplo:

dx

x

x

29

4

comn denominador

dxx

dxx

x

22 9

4

9

dxxxdu

xxu

xu

2)(

9)(

9

2

2

3

92

a

a

dxxdu

xxu

xu

xu

)(

)(

22

multiplicando y dividiendo por -2 la primera integral

22

1

2

94)2(9

2

1

x

dxdxxx

integrando

Cx

arcsenu

34

2

12

1 21


Cx

arcsenx 3

49 2

EL INTEGRANDO ES UNA FRACCIN DONDE EL NUMERADOR ES DX Y EL DENOMINADOR ES DE LA

FORMA

AX + BX + C

Algunos de estos casos pueden integrarse completando el cuadrado ax2 + bx. La integral

resultante puede ser de cualquiera de las formas siguientes:

P g i n a 53 | 64

22 au

du

22 uadu

22 audu

2udu

para completar el cuadrado se puede utilizar la siguiente expresin

cbb

bxxcbxx

22

22

22

Ejemplo:

dxxx

dx

84

62

al completar el cuadrado del denominador, se tiene

844484 22 xxxx

42 2 x

42

62

x

dx

dxxdu

xxu

xu

xu

)(

2)(

2

222

4

2

a

a


226

au

dx

P g i n a 54 | 64

integrando

Ca

u

a

arctan

16

sustituyendo los valores a y u

Cx

2

2arctan

2

6

Cx

2

2arctan3

COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X2 ES NEGATIVO

Ejemplo:

23 xxdx

si se completa el cuadrado del denominador se tiene

xxxx 33 22

22

22

2

2

3

2

3

2

3

2

33

x

xx

multiplicando por el signo menos

22

2

3

2

3

x

P g i n a 55 | 64

dxxdu

xxu

xu

xu

)(

2

3)(

2

3

2

32

2

2

3

2

32

2

a

a


22

22

2

3

2

3

ua

du

x

dx

integrando

Ca

uarcsen

sustituyendo los valores de a y u

C

x

arcsen

2

32

3

C

x

arcsen

2

32

32

C

xarcsen

)3(2

322

C

xarcsen

3

32

P g i n a 56 | 64

COMPLETAR EL CUADRADO CUANDO EL COEFICIENTE DE X2 NO ES LA UNIDAD

Ejemplo:

982 2 xxdx

Se factoriza la expresin xx 822 antes de completar el cuadrado.

94442

942982

2

22

xx

xxxx

el factor 2 afecta toda le expresin que esta en el parntesis

942442 2 xx

122 2 x


1222

x

dx

dxxdu

xxu

xu

xu

2

22)(

22

2222

multiplicando y dividiendo en el integrando por 2

122

2

2

12

x

dx

sutituyendo

222

1

au

du

integrando

P g i n a 57 | 64

Cua

arctan

1

2

1

sustituyendo el valor de u y a

Cx 22arctan2

1

P g i n a 58 | 64

13 EJERCICIO NO 4

Calcula las siguientes integrales, anexa procedimiento.

P g i n a 59 | 64

P g i n a 60 | 64

P g i n a 61 | 64

P g i n a 62 | 64

14 INTEGRAL DEFINIDA

El procedimiento para calcular una integral definida se resume en lo siguiente:

1. Integrar la expresin diferencial dada.

2. Sustituir en el resultado obtenido inicialmente con el valor del extremo superior y restar

despus de sustituir con el valor del extremo inferior.

3. No es necesario utilizar la constante de integracin.

La notacin de la integral definida y las partes que la componen, son: ()

Toda la expresin se lee: Integral de f(x) desde a hasta b. Donde a y b son los lmites de

integracin, donde a es el lmite inferior y b es el lmite superior.

Teorema Fundamental del Clculo Integral

Si una funcin f(x) es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y F(x) es una integral indefinida de

f(x) sobre el intervalo [a,b], entonces:

()

= ()]

= () ()

Esto es, si se desea obtener la integral en un intervalo cerrado, se requiere restar la integral

indefinida evaluada en el lmite superior del intervalo menos la evaluada en el lmite inferior del

intervalo. Con este procedimiento se estara obteniendo el rea bajo la curva de una forma exacta.

A continuacin se mostrarn algunos ejemplos.

Ejemplo1:

P g i n a 63 | 64

Ejemplo 2:

P g i n a 64 | 64

15 EJERCICIO NO 5

Calcula las siguientes integrales definidas, anexa procedimiento.

Cuaderno Calculo Integral Intersemestral Junio2015

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