Cuadernillo Trabajo 4º Eso 2013-14

8/10/2019 Cuadernillo Trabajo 4 Eso 2013-14

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Nombre:


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Colexio Mara Inmaculada MATEMTICAS ESO

Carmelitas- VIGO

www.hhcarmelitas.com

2

1 Evaluacin

Unidad didctica n1 Nmeros reales. Recta real

Unidad didctica n2 Potencias reales. Potencias de exponente entero y de

exponente fraccionario. Radicales.Logaritmos

Unidad didctica n3 Expresiones algebraicas. Polinomios.

Unidad didctica n4 Fracciones algebraicas.

Unidad didctica n5 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.


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3

NMEROS REALES 4ESO

CONTENIDOS

o Distintas ampliaciones de los conjuntos numricos: nmeros enteros, nmeros racionales y nmerosreales.

o Clasificacin en racionales o irracionales.

o Nmeros racionales. Forma fraccionaria. Forma decimal. Expresin de los nmeros racionalesmediante fracciones y formas decimales peridicas.

o Expresiones decimales no peridicas. Nmeros irracionales. Aproximaciones.o El orden en el conjunto de los nmeros reales. Comparacin de dos nmeros reales.

o La recta real. Relacin entre la recta real y el conjunto de los nmeros reales.

o Intervalos y semirrectas de la recta real. Entornos en la recta real. Representacin en la recta dediferentes conjuntos de nmeros, tales como intervalos, semirrectas o entornos, definidos medianterelaciones geomtricas o utilizando el concepto de valor absoluto.

o Valor absoluto de un nmero real.

NMEROS REALES

NMEROS RACIONALES

Nmeros naturales N: 1, 2,3,


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4

Cada conjunto de fracciones equivalentes representa el mismo nmero racional. Cualquier fraccin del

conjunto es un representantedel nmero racional

NMEROS IRRACIONALES

Algunos nmeros irracionales son conocidos desde la antigedad

...71828182,2...;610339,12

51...;1415926,3 ==

+== e

APROXIMACIONES

Redondear un nmero a un orden dado es escoger, de entre las mejores aproximaciones del nmero, a ese

orden, la que tiene menor error absoluto.

73/60 = 1,21666 Unidad Dcima Centsima Milsima

Defecto 1 1,2 1,21 1,216Exceso 2 1,3 1,22 1,217

Redondeo 1 1,2 1,22 1,217

EJERCICIOS

1) Verdadero o falso:a) Todo nmero real es natural.

b) Todo nmero natural es entero.

c) Todo nmero racional es real.d) Todo nmero irracional es fraccionario.

2) Verdadero o falso:a) - 5 N b) 1 N c) 2,5 N

d) 3,7445 Q e) 82 R f) 82 Q

g) 82 Z h) 2,56 R

3) Indica el conjunto numrico mnimo al que pertenece cada nmero

Aproximar un nmero real es sustituirlo por otro racional que tenga un nmero finito de cifras

decimales. Se dice que una aproximacin es por defecto cuando se sustituye el nmero original

por otro menor que l, y por exceso cuando es mayor

El conjunto I de los nmeros irracionales est formado por los nmeros que no pueden serexpresados como fraccin. Su expresin decimal tiene un nmero infinito de cifras que no se

repiten de forma peridica.


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4) Decide si los siguientes nmeros son irracionales

5) Ordena, de menor a mayor, los siguientes nmeros racionales e irracionales.

ORDENACIN EN R.

RECTA REAL

INTERVALOS

Intervalo abierto

Intervalo abierto,(a, b), es el conjunto de todos los nmeros reales mayores que a y menores

que b. (a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado,[a, b], es elconjunto de todos los nmeros reales mayores o iguales que a ymenores o iguales que b . [a, b] = {x / a x b }

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es elconjunto de todos los nmeros reales

mayores que a y menores o iguales que b . (a, b] = {x / a < x b }

Se llama intervaloa l conjunto de nmeros reales comprendidos entre otros

dos dados: a y bque se llaman extremos del intervalo.

Dados dos nmeros reales a y b, se dice que a b si y solo si b a es positivo o cero

La recta numrica en la que se representan todos los nmeros reales se denomina recta real.


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6

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es elconjunto de todos los nmeros reales mayores

o iguales que a y menores que b. [a, b) = {x / a x < b}

SEMIRRECTAS

Las semirrectasestn determinadas por un nmero. En una semirrectase encuentran todos

los nmeros mayores (o menores) que l.

x > a (a, +) = {x / a < x < +}

x a [a, +) = {x / a x < +}

x < a (-, a) = {x / -< x < a}

x a (-, a] = {x / -< x a}


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ENTORNO

Los entornosse expresan con ayuda del valor absoluto.

E(a,r) = (a-r, a+r)se expresa tambin |x-a| 0, y se denota por E[a,r], al conjuntode todos los nmeros reales x que distan de a menos o igual que r, equivale al intervalo

cerrado (a-r, a+r).

Valor absolutode un nmero real a, se escribe |a |, es el mismo nmeroa

cuando es positivo o cero, y opuestode a, si a es negativo.

Se llama entorno abierto de centro a y radio r > 0, y se denota por Er(a)o E(a,r),al conjunto de todos los nmeros reales x que distan de a menos que r, equivale al

intervalo abierto (a-r, a+r).


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8) Representa en la recta real los intervalos:

(-2,1) [3,4] (-1,-2]

(-,1] [2, ) (-2,9)

9)

Representa (, 8) y [2, +) en la misma recta, y seala mediante un intervalo los puntos que estn enambos.

10)Cales de las siguientes relaciones sobre valor absoluto son ciertas:|-25| = 25 d)|-8| = 8

|25|= -25 e)|-5,3| = -|5,3|

|10-8| = 10-8 g)|10-11|= -1

11)Expresa, mediante intervalos abiertos, los entornos de a de radio r, que se indican:

a) a = 5 r = 0,1 d) a = 4 r = 10-2

b) a = 10 r = 102 e) a = 3 r = 3/2

APRENDEMOS UN POCO MS

12)Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones.

a) La raz de un nmero irracional es irracional.

b) Un nmero irracional al cuadrado no es racional.

13)Representa los siguientes entornos en la recta real e indica tambin el centro y el radio de los mismos:a) |x-4| < 1 b) |x-4| 1

14)Representa os puntos da recta real determinados por:

a) |x| = 10 c) |x-2| = 3b) |x| = 2 d) |x-1| = 5|


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POTENCIAS Y RACES DE NMEROS REALES 3ESO RECUERDA

EJERCICIOS

1) Aplica las propiedades de las potencias, y expresa el resultado como potencia de exponente positivo

( ) ( )

( ) ( ) 3443

66

2.2

2:2

.

( )( ) ( )43

33

2:2

2:2

( ) ( )43 2:2 2) Simplifica:

422

386

4.25.3

5.2.3

3) Calcula y simplifica el resultado32

8

4:

5

2

4) Opera y expresa el resultado en forma de potencia de exponente entero:7

2

2

2

1:2

3

531

5

6

.6

5

.6

5

1634

3

2.

3

2.

2

3

2

5

3

4

4

1

:4:4

1

5) Realiza las siguientes operaciones:212

6

1

2

5:2

2

7.

3

1

5

3

+

+

12

13

1

4

5

2

3

6) Calcula, si es posible, el valor numrico de los siguientes radicales

3

4

27

81

4 256

7) Transforma los radicales en potencias y las potencias en radicales

53

2 4 75

8) Extrae factores de los siguientes radicales

3 532 a 50

9)

Introduce factores en el radical

3

5

15


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10

10)Simplifica los siguientes radicales:

6

12 1014

1024

yx

11)

Opera y simplifica

666 32

13334 +

2053

12)Efecta las siguientes multiplicaciones y divisiones:

=abccbacab ..5 2225 32

=

=

xy

ab

ba

xy

ba

xybcabca

32

2

2

4 323 32

2

13)Racionaliza

3

25

5

13

31

2

14)Efecta y expresa el resultado como potencia

( )

2.2

5.5

3 2

63


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POTENCIAS Y RACES DE NMEROS REALES 4ESO

CONTENIDOS

o Potencias de exponente entero. Propiedades. Aplicaciones.

o Potencias de exponente racional. Radicales. Propiedades.

o Raz ensima de un nmero. Nmero de races.

o Simplificacin de radicales.

o Ordenacin e comparacin de radicales.

o Valor numrico de una expresin radical.

o Expresiones radicales equivalentes.o Reduccin de expresiones radicales a ndice comn.

o Potencias de exponente fraccionario. Clculo de potencias de exponente fraccionario.

o Producto y cociente de radicales con igual e distinto ndice. Suma e diferencia de radicales.

o Expresiones conjugadas.

o Racionalizacin de denominadores.

o Potencia y radical de un radical.

Potencias con exponente entero

Potencias con exponente racional o fraccionario

Propiedades

1. a0= 1

2. a1= a

3. Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma basey

cuyo exponentees la suma de los e xponentes.

am an= am+nEjemplo: (2)5 (2)2= (2)5+2= (2)7= 128

4. Cociente de potencias con la misma base : Es otra potencia con la misma basey

cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

am: an= am - n


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12

Ejemplo: (2)5: (2)2= (2)5 - 2= (2)3= -8

5.Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma basey cuyo exponentees

el producto de los exponentes.

(am)n=a m nEjemplo: [(2)3]2= (2)6= 64

6. Producto de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo

exponentey cuya basees el producto de las bases

an b n = (a b) nEjemplo: (2)3 (3)3= (6)3= 216

7. Cociente de potencias con el mismo exponente : Es otra potencia con el mismo

exponente y cuya base es el cociente de las bases.

an : b n = (a : b) nEjemplo: (6)3: 33= (2)3= 8

EJERCICIOS

15)Calcula las siguientes expresiones:

a)

( )

4 6

255

1

2

22.64.2

(Sol.: 2-33/10):

b)3

2

21

5

3

3.33

+

Sol:

16)Calcula y simplifica: Sol: a) -943/1176

=

=

+

222

2

2

2

32

3

2

3

23

2

3)b

3

24

7

13

7

2

3

1)a

c)

=

+

1

3

1:1

3

2.13

9

1

3

2 2

Recuerda

( ) 44 33 = ( )3

3

5

15

=

( ) 33 33 = 444

2

3

2

3

3

2

=

=


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13

17)Efecta las siguientes operaciones: (Sol.: b) -254/261)

18)Efecta las siguientes operaciones: (Sol.: 3337/450)

( ) =

+

++

322

3

2

1.

3

2

4

3

2

153

19)Opera

a)

=

22

32

2

15:

3

1

b)

( ) =

++

1222 33

3

24

2

12

20)

Calcula y simplifica: (sol.: b) n4/m)

a)

( )( )52

2233

5:125

25:5:25

= b)

=

2

3

5

3

42

3

4

n

m:

m

n

n

m

c)

=

2232

2

32:

4

1

21)Halla el valor de las siguientes expresiones: (Sol.: b) 14/15)

=

+

+

=

+

+

=

322

222

43153

23

5

21

3

21

2

1

3

814

2

3)

3

5

5

1

2

32

4

111

3

1)

2

3

3

4

5

3

5

3

5

3)

c

b

a

RADICALES

Potencias y radicales

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Propiedad fundamental de los radicales

Si se multiplican o dividen el exponente del radicando y el ndice de la raz por un mismo nmero natural, el

resultado de la raz no vara:

m/n m/pm.n m.pn p aaa ==


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Simplificacin de radicales

Si existe un nmero natural que divida al ndice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene

un radicalsimplificado.

Reduccin a ndice comn

1. Hallamos el mnimo comn mltiplo de los ndices, que ser el comn ndice

2.-Dividimos el comn ndice por cada uno de los ndices y cada resultado obtenido se multiplica por sus

exponentes correspondientes.

Introduccin de factores en un radical

Se introducen los factores elevados al ndice correspondiente del radical.

n nn b.aba =

Extraccin de factores de un radical

Se descomponeel radicando en factores. Si:

1 Un exponente es menorque el ndice, el factor correspondiente se deja en el radicando.

2Un exponente es igualal ndice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.

3Un exponente es mayor que el ndice, se dividedicho exponente por el ndice. El cocienteobtenido esel exponente del factor fueradel radicando y el restoes el exponente del factor dentrodel radicando.


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15

Multiplicacin de radicales

Es necesario que los radicales tengan el mismo ndice. Si no lo tienen hay que homogeneizarlos.

nnn b.ab.a =

si lo ponemos en forma de potencia

( ) n1

n1

n1nn b.ab.ab.a ==

Radicales del mismo ndice

Para multiplicar radicales con el mismo ndice se multiplican los radicandos y se deja el mismo ndice.

Cuando terminemos de realizar una operacin extraeremos factores del radical, si es posible.

Radicales de distinto ndice

Primero se reducen a ndice comn y luego se multiplican.

Divisin de radicalesEs necesario que los radicales tengan el mismo ndice. Si no lo tienen hay que homogeneizarlos.

nnn b:ab:a = si lo ponemos en forma de potencia

( ) n1

n1

n1nn b:ab:ab:a ==

Radicales del mismo ndice

Para dividir radicales con el mismo ndice se dividen los radicandos y se deja el mismo ndice.

Radicales de distinto ndice

Primero se reducen a ndice comn y luego sedividen.

Cuando terminemos de realizar una operacin simplificaremoselradical, si es posible.


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Potencia de un radical

Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo ndice.

( ) p nnp aa =

Raz de un radical

La raz de un radical es otro radical de igualradicando y cuyo ndice es el producto de los dos ndices.

p.mmp aa =

Adicin y sustraccin de radicales

Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo ndice y el mismo radicando.

Para sumar o restar radicales es necesario que todos ellos sean semejantes.

Racionalizacin del denominador

La racionalizacin de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitarel clculo de operaciones como la suma de fracciones.

Podemos distinguir tres casos:

1 Racionalizacin del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .


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17

Ejemplo:


Se multiplica numerador y denominador por .

Ejemplo:


Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

Tambin tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

Ejemplo 1:


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Ejemplo 2:

EJERCICIOS

1)

Escribe en forma de radical81

0,75

(93/4

)1/2

2) Indica si son equivalentes los siguientes radicales

3) Expresa como potencia fraccionaria:

=x

1

=53 . xx ( )

=

34

2

53

6

81.3

1

9.27

4) Extrae del radical todos los factores posibles:

( )3

3 268

2)

10827)

yxb

yxxa

=

5) Efecta las siguientes multiplicaciones y divisiones: : (Sol.: b) )

= abcddbca3 22 =

xy

ab

ba

xy

ba

xy3

2

2

2

2

6) Opera(Sol.: b) 92)

984183

850784

752

1243277125

++

+

3

11228

2

563 +

7) Suma los siguientes radicales:

=+

=+

=

aaaaac

b

a

122732)

1282543167)

18423322507)

3

333 =+

=++

6 103 23 5

4

25654.16.2)

16282)

xxxxe

d


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19

8) Opera y simplifica

( )( )

( )( )=+

=+

325.325

23.23

( )

( ) =

=+

2

2

123

123

9) Realiza las siguientes operaciones (Sol.: c) -15+5; e) -4a)

( )( ) ( )( ) ( )=+

=+

=

15545)

323323)

11)2

c

b

a

d) = 2233.3223

e) =+++ a2)a3a3).(a3a3(

f) =+ baba 22

10)Efecta las operaciones indicadas:

( ) =

=

1

11)

)

3 2

xxb

xyx

y

y

x

a

= b

a

a

b

b

a

c 2

4

2)3

2

2

11)Efecta las siguientes operaciones:(Sol.: d) -1)

( )

( )

( ) ==

=

32

6 32

224

:)

55:5:125)

24321923108)

bbbbc

b

a

=+

+

823

502318)d

=

+

=

33

3

3

27

7

125

7)

3:3

33)

f

e

=xyab

ba

xy

ba

xyh 3

2

2

2

2)

12)Efecta las siguientes operaciones:

+

+

31

31:

31

31 ( )4

5232

a

aa

13)Racionaliza las siguientes expresiones:

=

3

2)a =

3 3

9)b =

+

32

1)c

=+ 210

5)d =

+123

5)e =

32

3)f

=+ 32

1)g =

3 2

2

)3(

9)

y

yh

14)Racionaliza


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20

15)Opera

a) =

ab

1

ab

1:

xy

ab

ab

xy41

3

b) =4

3 18

2

1a

aa

c) =1

2

32

2 1:

2

abxy

ba

ba

xy

d)5 2

2

2 1 xx

xy =


16)Racionaliza y opera

17)Efecta y simplifica

18)Opera:

=+a

b

b

a

a

b

a

b

33

33

=+3

342

2

426 4

yxt

xd

ytxz

zyt

xyz

zxy

=++ xxx

x8

2

12

2

19)Efecta las siguientes adiciones y sustracciones:

( ) =

+

+++

+

=+

yx

y25xy25

yx

yxy9x9

yx

yx.yx

125

x65

4

x32

9

x23

3222

333

20)Efecta y simplifica


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21

LOGARITMOS

Definicin de logaritmo

EJEMPLOS

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Logaritmos decimales y neperianos

Los logaritmos decimales tienen base 10. Se representan por log (x).

Los logaritmos neperianos tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

De la definicin de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un nmero negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo de un nmero, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para

obtener el nmero.

Siendo a la base, x el nmero e y el logaritmo.


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22

Propiedades

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

Ejemplo

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo

5. Cambio de base:

Ejemplo

EJERCICIOS

1) Calcula, mediante la definicin, estos logaritmos.

2)

Calcula, mediante la definicin, estos logaritmos.

3) Calcula log4128, utilizando las propiedades de los logaritmos, e intenta dar un resultado exacto..

4) Halla el resultado de las expresiones, mediante las propiedades de los logaritmos.


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23

5) Halla el valor de x en las siguientes igualdades.

6) Calcula el valor de x.

7) Calcula el valor de x.

8) Desarrolla las siguientes expresiones.

9) Sabiendo que log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771 y log 7 = 0,8451; determina los logaritmos decimalesde los 10 primeros nmeros naturales. Con estos datos, sabras calcular log 3,5? Y log 1,5?


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EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS 3 REPASO

EJERCICIOS

1) Halla el valor numrico del polinomio 4875)( 234 ++= xxxxxP para x = -2

2) Realia las siguientes operaciones y reduce

( )( )

( ) ( )( )3.5.2.7

938:46

72.54

23

55555

xxx

xxxxx

xxxx

+

+

3) Realiza las siguientes operaciones:

(x3 3x

2+ 2x).(2 + 2x) + (x 3). (x

2 x)

3/2 1/2 .x .[x (x 3).(x + 3)]+ x3 2x

4) Realiza la siguiente divisin

5) Determina el cociente y el resto, aplicando la regla de Ruffini: ( ) ( )5:1024 + xxx

6) Halla el resto aplicando el teorema del resto: ( ) ( )1:3634 +++ xxxx

7) Comprueba si x=3 y x=2 son races del polinomio ( ) 12872 234 ++= xxxxxP

8)

Efecta

2

3

2

4

x

9) Efecta y reduce trminos semejantes: ( )( ) ( )255.1 + xxx

10)Descompn en factores los siguientes polinomios sacando factor comn

36

3

4

48

xx

xx

11)Factoriza estos polinomios aplicando las igualdades notables

4

16164

2510

2

24

2

+

++

x

xx

xx

12)Factoriza los siguientes polinomios:

24

2

2

2

242

12

65

xx

xx

xx

xx

+

+

++

xxxx

xxx

xx

xx

xx

12112

55

1213

6

32

234

23

3

23

32

+

+

+

+

) )12:5532 223 xxxxx


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Colexio Mara Inmaculada MATEMTICAS ESOCarmelitas VIGO


25

EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS 4ESO

CONTENIDOS

o Expresin algebraica. Reconocimiento de expresiones algebraicas.

o Valor numrico de una expresin algebraica. Clculo.

o Expresiones algebraicas equivalentes.

o Monomio entero. Coeficiente y grado de un monomio entero.

o Polinomio entero. Grado de un polinomio. Coeficientes de un polinomio. Termino independiente.

o Suma y diferencia de monomios semejantes y de polinomios.

o Producto de monomios e de polinomios.

o Potencias de polinomios. Cuadrado de un binomio.

o Suma por diferencia de dos monomios.

o Extraccin del factor comn en una expresin algebraica.

o Cociente de dos monomios. Cociente de un polinomio por un monomio. Clculo.

o Divisin entera de dos polinomios. Los polinomios cociente y resto en la divisin entera de dospolinomios. Regla de Ruffini para la divisin por x-a.

o Teorema del resto. Clculo del resto de una divisin por x-a, aplicando el teorema del resto.

o Teorema del factor. Decisin de si un binomio x-a es factor o no de un polinomio, aplicando elteorema del factor.

o Raz de un polinomio. Nmero mximo de races reales de un polinomio. Clculo de las racesenteras de un polinomio.

o Factorizacin de un polinomio.

POTENCIAS DE POLINOMIOS. IGUALDADES NOTABLES

Cuadrado de un binomio suma ( )( ) 222 2.)( bbaabababa ++=++=+

Cuadrado de un binomio diferencia ( )( )222 2.)( bbaabababa +==

Binomio suma por binomio diferencia

22

)()( bababa =+

TEOREMA DEL RESTO

Ejemplos

Calcular, por el teorema del resto, el resto de la divisin: (x 4 3x 2+ 2) : (x 3)

P(3) = 34 3 3 2+ 2 = 81 27 + 2 = 56

El resto de la divisin de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma

(x a) es el valor numrico de dicho polinomio para el valor: x = a.

R = P(a)


26/44



26

Comprobamos la solucin efectuando la divisin por Ruffini.

RACES DE UN POLINOMIO

Races de un polinomio

Ejemplo Calcular las races del polinomio:

P(x) = x2 5x + 6

P(2) = 22 5 2 + 6 = 4 10 + 6 = 0

P(3) = 32 5 3 + 6 = 9 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son races o ceros del polinomio: P(x) = x2 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.

Clculo de las races y factores de un polinomio

Partimos de los divisores del trmino independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto y

sabremos para que valores la divisin es exacta.

Ejemplo

Q(x) = x2 x 6

Los divisores del trmino independiente son: 1, 2, 3.

Q(1) = 12 1 6 0

Q(1) = (1)2 (1) 6 0

Q(2) = 22 2 6 0Q(2) = (2)2 (2) 6 = 4 + 2 6 = 0

Q(3) = 32 3 6 = 9 3 6 = 0

Las races son: x = 2 y x = 3. Q(x) = (x + 2) (x 3)

Las races de un polinomio P(x) son los valores que lo hacen cero, es decir, las soluciones de la

ecuacin P(x) = 0

Un polinomio de grado n tiene, como mximo n races reales.

Si un polinomio tiene races enteras, estos son divisores del trmino independiente.

Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

Ejemplo: P(x) = x2+ x + 1


27/44



27

FACTORIZACIN DE UN POLINOMIO

Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o ms polinomios de menor grado, de formaque su producto sea el polinomio dado

Sacar factor comn

Identidad notable?

Grado del polinomio?

o Si grado 2

Ruffini(busco una raz)

Ecuacin 2 grado(cuidado con a)

Ejemplos

x3+ x

2= x2(x + 1)

x2 4 = (x + 2) (x 2)

x4 16 = (x

2+ 4) (x

2 4) = (x + 2) (x 2) (x 2+ 4)

Descomponer en factores y hallar las races

Factorizacin de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las races enteras.

Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:

P(x) = 2x4+ x

3 8x

2 x + 6

Tomamos los divisores del trmino independiente: 1, 2, 3.

Aplicando el teorema del restosabremos para que valores la divisin es exacta.

P(1) = 2 14+ 1

3 8 1

2 1 + 6 = 2 + 1 8 1 + 6 = 0

Dividimos por Ruffini.

Por ser la divisin exacta, D = d c (x 1) (2x3+ 3x 2 5x 6 )

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

( )( )212 .. xxxxacbxax =++


28/44



28

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podra estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 13+ 3 1

2 5 1 60

P(1) = 2 (1)3+ 3 (1)

2 5 (1) 6 = 2 + 3 + 5 6 = 0

(x 1) (x + 1) (2x2+x 6)

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuacin de 2 grado o tal como venimos

hacindolo, aunque tiene el inconveniente de que slo podemos encontrar races enteras.

P(1) = 2 (1)2+ (1) 6 0

P(2) = 2 22+ 2 6 0

P(2) = 2 (2)2+ (2) 6 = 2 4 2 6 = 0

(x 1) (x + 1) (x + 2) (2x 3)

Sacamos factor comn2 en lti mo binomio y encontramos una raz racional.

2x 3 = 2 (x 3/2)

La factorizacin del polinomioqueda:

P(x) = 2x4+ x3 8x 2 x + 6 = 2 (x 1) ( x +1) (x +2) (x 3/2)

EJERCICIOS

1) Efecta y reduce trminos semejantes:

( )222

13

13 +

xx

2)

Realiza las siguientes divisiones

3) Calcula o valor de a para que o polinomio ax5 6x3+ 5x + 6 sea divisible por x 2

4) Calcula as races enteras de x3 x2+ 4x 4

5) Factoriza x4 x2+ 2x -2 (Sol.: (x-1)(x3+x2+2))

6) Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

x5 2x

3+ 3x

2 x + 2 entre x

2+ 2x +3

x5 2x

3+ 3x

2 x + 2 entre x

3- x + 1 (Cociente: x2-1; Resto: 2x2-2x+3)

( ) ( )( ) ( )3:12

1:3432

235

223

+

+

xxx

xxxx( ) ( )( ) ( )12:5532

12:748

223

223

++

xxxxx

xxxx


29/44



29

7) Calcula el valor de m para que la divisin sea exacta ( ) ( )3:382 235 ++ xmxxxx

8) Calcula o valor de a para que o polinomio ax5 6x3+ 5x + 6 sexa divisible por x 2

9) Halla el m.c.m.( 5x2 10x , 15x2 60 , 3x2 12x + 12) (Sol.: 53x(x-2)2(x+2))

10) Halla el m.c.m. ( x4- 1 , 3x2 6x + 3) (Sol.: (x-1)2(x+1)(x2+1)3)

11) Halla m para que 1x3

1mxxx

3

2 234+++ sea divisible por x-3 (m= - 9)

12) Calcula o valor de a para que o polinomio ax5 6x3+ 5x + 6 sexa divisible por x 2

13) Qu valor debe tomar a para que el resto de dividir x3+ax23x a entre x4 sea 67? (Sol.: a=1)

14) Factoriza estos polinomios.

15) Determina el valor de m.


16) Haz estas divisiones y comprueba su resultado.

(x3+x214x 16) : (2x 4)

17) Encuentra Q(x), R(x) y S(x), tales que:

18) De un polinomio de segundo grado, P(x), se sabe que P(1) =6, que P(0) =3 y que una de susraces es 3. Determina ese polinomio.

19) Determina a y b de manera que el polinomio x3+ ax2 + bx 6 sea divisible por x2 y por x + 3.

20) Cmo puedes factorizar el polinomio 8x22x 15, sabiendo que es mltiplo de 4x + 5?

21) Cmo puedes factorizar el polinomio 8x210x 3, sabiendo que una de sus races es 3/2?

22) Divide por medio de la regla de Ruffini el polinomio P(x) = x32x2+ 3x + 1 entre:


30/44


31/44



31

Multiplicar las fracciones algebraicas:

Simplificando nos queda:

Dividir las fracciones algebraicas:

Simplificando nos queda:

Sumar las fracciones algebraicas:

EJERCICIOS

1) Simplifica, si es posible, estas fracciones algebraicas.


32/44



32

2) Simplifica las siguientes fracciones algbricas:

23

2

2

2

2

4)

3

9)

xxxb

xx

xa

+

( )( )( )( )10563

44)

4

44)

2

22

3

2

+

+

++

xxxxxd

xx

xxc

3) Factoriza el numerador y el denominador de estas fracciones y simplifica:

133

44)

23

3

+

xxx

xxa

xxxx

xxb

33)

234

3

+++

+

82

472)

24

24

xx

xxc

4) Resuelve las operaciones y simplifica el resultado.(Sol.: a) ; e) ; f)

).

5) Efecta estas operaciones y simplifica. Sol.: c) g) ).

6) Efecta estas operaciones con fracciones algebraicas y simplifica:

32

1

2)

++

+

+ x

x

xx

xa

1

1

1

13

1

12)

2

+

+

++

x

x

x

x

x

xb

7) Calcula y simplifica:(Sol.: b) ):

++

+

+ 2

11

3

11

1

3)

xxxa

++

+

++

+

32

6

1

11

2

1

1

1)

2

2

xx

xx

xx

x

x

xb


33/44



33

8)

9) Simplifica estas expresiones y expresa el resultado en forma de potencia:

11

2

22

4

2

23

2

2

2333

2

222

1

1:

1

1

1

1)

1

11

1)

2

3

3

21

12

1)

+

+

+

+

+

+

x

x

x

x

x

xc

xx

x

x

xb

x

x

x

x

x

xa

10) Calcula y simplifica:

2

2

2

1111

)

+

+

++

x

x

x

x

x

xa ( )

2222

1

1

1:1)

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

b

11) Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas:

=

+

2

22

:1bab

ba

b

a

=+

+

+ 6x3

4x

2x

5

2xx

x22

( )

( )

+

+

2

22

2

)2x.(2x

4x

2x

1:

2x

3

4x4x

x3


a) =

++

+ ab6a9

b4

ab12

b2a3

b2ab3

a322

b)3x

4x

4x

3x

x12xx

x13x13923

2

++

+

+

+

c)

+

242

1:.

yxyx

xy

y

xy

y

x

13) Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas y simplifica todo lo posible:

=

+

++

++

2

2

121

1

23

121

aa

aa

aa

aa


( )

=

+

+

=

+

+

11

133

1

1.

1

:

1

2

2

222

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x


34/44



34

15) Efecta las siguientes operaciones

1

2:

4

432

2

2

23

+

+

x

xx

x

xx


16) Halla los valores de A y de B para que se cumpla la igualdad.


35/44



35

ECUACIONES 3 REPASO

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuacin es de segundo grado con una incgnita si es equivalente a otra de la forma

02 =++ cxbxa , con 0a

Ecuaciones del tipo: a x2= 0

La solucin es x = 0

Ecuaciones del tipo: a x2+ b x = 0

Tienen dos soluciones, una de ellas es x = 0

Se resuelven sacando x como factor comn, e igualando a cero cada uno de los

factores. Ecuacin de segundo grado completa:

La solucin es:a

cabbx

2

42 =

EJERCICIOS

1) Resuelve las siguientes ecuaciones:(Sol.: a) x = 12; b) x = 1/3)

( ) 04

11x5

4

1

8

x8

12

x=++

x (x - 9) 4 = (x 7). (x + 7)x

2 5x = 0

6x2+ 5x +1 = 0

2) Resuelve las siguientes ecuaciones:

(x+3)(x-2) = x2-26

(x-3)2-.(x+2)

2= 5

2x3- 5x

2- x + 6 = 0

x3x

2-2x = 0

2x2 44 = 0

3)

Resuelve las siguientes ecuaciones

2x4+ 5x

3+4x

2= 0

2x4 5x

2+2 = 0

715x1 2 =+

134 =+ xx 4) Resuelve las siguientes ecuaciones:

4x3 9 = 9x 4x

2

(x2 1)

2= x

2 1


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Colegio Mara Inmaculada MATEMTICAS ESOCarmelitas VIGO


36

ECUACIONES 4ESO

CONTENIDOS

o Ecuacin. Solucin o raz de una ecuacin.

o Ecuaciones equivalentes. Obtencin de ecuaciones equivalentes mediante las reglas de la suma yel producto.

o Ecuacin de primer grado. Resolucin de ecuaciones de primer grado. Aplicacin de la ecuacinde primer grado a la resolucin de problemas.

o Ecuacin de segundo grado. Soluciones de una ecuacin de segundo grado.

o Ecuacin de segundo grado incompleta. Resolucin.

o Discriminante en una ecuacin de segundo grado. Anlisis del discriminante de una ecuacin de

segundo grado para averiguar el nmero de races reales.o Ecuaciones de grado superior a 2. Resolucin de ecuaciones de grado superior a 2 con ayuda de

la ecuacin de segundo grado.

o Ecuaciones bicuadradas.

o Ecuaciones sin trmino independiente.

o Resolucin de ecuaciones por factorizacin.

o Ecuaciones radicales. Resolucin.

Las ecuaciones bicuadradasson ecuaciones de cuarto grado sin trminos de grado impar:

ax 4+ bx 2+ c = 0

Resolucin de ecuaciones bicuadradas

Ejemplos


37/44



37

Ecuaciones de grado superior a dos

Es una ecuacin de cualquier grado escrita de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede

descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los

factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

2x 4+ x3 8x 2 x + 6 = 0

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 2x4+ x3 8x 2 x + 6

Tomamos los divisores del trmino independiente:1, 2, 3.

P(1) = 2 1 4+ 13 8 12 1 + 6 = 2 + 1 8 1 + 6 = 0

Dividimos por Ruffini.

Una raz es x = 1.

(x 1) (2x3+ 3x 2 5x 6) = 0

P(1) = 2 1 3+ 3 12 5x 60

P( 1) = 2 ( 1) 3+ 3 ( 1)2 5 ( 1) 6= 2 + 3 + 5 6 = 0

Otra ra z es x = -1.

(x 1) (x +1) (2x2+x 6) = 0

Los otros factores lo podemos encontrar aplicando la ecuacin de 2 grado.

x = -2 y x = 3/2

Las soluciones son: x = 1, x = 1, x = 2 y x = 3/2

Resolucin de ecuaciones irracionales

Ejemplo

1 Aislamos el radical:

2 Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3 Resolvemos la ecuacin:


38/44



38

4Comprobamos:

La ecuacin tiene por solucin x = 2.

Ejemplo

La ecuacin tiene por solucin x = 4.

SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Resolucin por el mtodo de sustitucin:

1) Despejar una de las incgnitas en una de las ecuaciones2)

Sustituir la expresin obtenida en la otra ecuacin

3) Resolver la ecuacin resultante4) Calcular la otra incgnita en la ecuacin despejada

Resolucin por el mtodo de igualacin:

1) Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones2) Se igualan sus valores3) Se resuelve la ecuacin de primer grado con una incgnita que resulta4) Se calcula el valor de la otra incgnita sustituyendo en una de las expresiones en las que est

despejada

Resolucin por el mtodo de reduccin:

1) Se multiplican las ecuaciones por los nmeros que convenga para que los coeficientes de una delas incgnitas sean nmeros opuestos

2) Se suman las ecuaciones obtenidas3) Se resuelve la ecuacin de primer grado con una incgnita que resulta4) Se calcula la otra incgnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema


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39

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primergrado.

La resolucin de estos sistemas se suele hacer por el mtodo de sustitucin, para ello seguiremos lossiguientes pasos:

1 Se despeja una incgnitaen una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

y = 7 x

2 Se sustituyeel valor de la incgnita despejada en la otra ecuacin.

x2+ (7 x)

2= 25

3 Se resuelve la ecuacinresultante.

x2+ 49 14x + x2= 25

2x2 14x + 24 = 0

x2 7x + 12 = 0

4 Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuacin, se obtienen as los valorescorrespondientes de la otra incgnita.

x = 3 y = 7 3 y = 4

x = 4 y = 7 4 y = 3

SISTEMA DE TRES ECUACIONES CON TRES INCGNITAS

El mtodo de Gaussconsiste en utilizar el mtodo de reduccinde manera que en cada ecuacintengamos una incgnita menos que en la ecuacin precedente.

1 Ponemos como primera ecuacinla que tenga el como coeficiente de x: 1 -1, en caso de que nofuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incgnitas.

2 Hacemos reduccin con la 1 y 2 ecuacin, para eliminar el trmino en x de la 2 ecuacin.Despus ponemos como segunda ecuacin el resultado de la operacin:

E'2= E2 3E1


40/44



40

3 Hacemos lo mismo con la ecuacin 1 y 3 ecuacin, para eliminarel trmino en x.

E' 3= E3 5E 1

4 Tomamos las ecuaciones 2 y 3, trasformadas, para hacer reduccin y eliminarel trmino en y.

E' '3= E' 3 2E'2

5 Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6 Encontrar las soluciones.

z = 1

y + 4 1 = 2 y = 6

x + 6 1 = 1 x = 4

EJERCICIOS

1) Resuelve estas ecuaciones.(Sol.: b) x = 2).

2) Resuelve estas ecuaciones.(Sol.: a) x1 =3; x2= - 3; x3= ; x4= - ; b) x1 =1; x2= - 1; x3= 4; x4= - 4).

3) Halla la solucin de las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicas.

4) Busca las soluciones de las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicas


41/44


42/44



42

12) Halla la solucin de estas ecuaciones.

13) Resuelve estas ecuaciones.

14) Obtn las soluciones de las ecuaciones.

15) Halla las soluciones de estos sistemas.(Sol.: a) x = ; y = 3; b) x = 2; y = 152/19).

16) Resuelve estos sistemas de ecuaciones, aplicando el mtodo de Gauss.

17) Utiliza el mtodo de sustitucin para resolver estos sistemas de ecuaciones no lineales.(Sol.: a) x1=1; x2= - 2; y1= 1; y2= 4; c) x1= 5; x2= - 2; y1= 2; y2= - 5)


43/44



43

18) Resuelve los sistemas.(Sol.: b) x1= - 16; x2= 3; y1= 29/2; y2= 5).

19) Calcula dos nmeros, sabiendo que su suma es 42 y la suma de sus inversos es 7/72 .

20) Reparte el nmero 20 en dos partes tales que la suma de sus cuadrados valga 202.

21) Calcula un nmero entero, sabiendo que si al cuadrado del siguiente nmero le restamos ochoveces su inverso obtenemos 23.

22) Para embaldosar un saln de 8 m de largo por 6 m de ancho, se han utilizado 300 baldosascuadradas. Cunto mide el lado de las baldosas?

23)

En una compra se han utilizado monedas de 2 y billetes de 5 . En total, son 13 monedas y

billetes y se ha pagado 32 . Cuntas monedas de 2 se utilizan? Y cuntos billetes de 5 ?

24) Para una merienda se han comprado bocadillos de jamn, a 2,80 la unidad, y de queso, a 2,50 .En total se pagan 48 por 18 bocadillos. Cuntos bocadillos se compran de jamn? Y de queso?

25) Para hacer un lingote de 9 kg de oro de ley 0,85 se funde oro de ley 0,81 con oro de ley 0,9. Qucantidad de cada ley hay que tomar?

26) Si Max sube de tres en tres los escalones de una torre, tiene que dar 30 pasos menos que si lossube de dos en dos. Cuntos escalones tiene la torre?(Sol.: 180 escalones)

27) El jeque Omar tiene dispuesto en su testamento que la tercera parte de sus camellos se entregue a

su primognito, Al; la tercera parte del rebao sea para su segundo hijo, Casim, y el resto vaya a parara su esposa Ftima. A la muerte de Omar y, una vez hecho el reparto, a Ftima le corresponden 140

camellos. Cuntos camellos componan el rebao del jeque?

28) En una bodega venden dos tipos de vino: crianza y reserva. Averigua cul es su precio si sabemosque Juan compr 3 botellas de reserva y 12 botellas de crianza y pag 69 , mientras que Beln

compr 6 botellas de crianza y 8 botellas de reserva, y pag 80 .(Sol.: 7 reserva, 4 crianza)

29) Esther viaja de Barcelona a Sevilla en su coche. Sale a las 8 de la maana y lleva una velocidadconstante de 90 km/h. A 110 km de Barcelona, Juan coge, a esa misma hora, un autobs que viaja a 70

km/h, con la misma direccin que Esther. A qu hora se encuentra Esther con el autobs? Qu

distancia ha recorrido cada uno? (Sol.: se encuentran a las 13,30 cuando Esther ha recorrido 495 Km y

Juan 385 Km).

30)

Un ciclista y un coche parten uno al encuentro del otro desde dos ciudades separadas por 180 km.

Sabiendo que el ciclista avanza cuatro veces ms despacio que el coche y que tardan 1 h 48 min en

encontrarse, cul es la velocidad de cada uno?

31) A las 7 de la maana, Toms sale de Zamora con direccin a Cdiz a una velocidad de 75 km/h. Ala misma hora, Natalia sale de Cdiz y se dirige hacia Zamora en la misma carretera que Toms a una

velocidad de 60 km/h. A qu hora se cruzarn Toms y Natalia? A qu distancia estarn de Cdiz?

32) Tenemos un alambre de 17 cm. Cmo hemos de doblarlo para que forme un ngulo recto demodo que sus extremos queden a 13 cm? (Sol.: x1 = 12 cm y x2 = 5 cm)

33) Los lados de un rectngulo se diferencian en 2 m. Si aumentramos en 2 m cada lado, el rea seincrementara en 40 m

2. Halla las dimensiones del rectngulo. . (Sol.: a = 10 m, b = 8 m).

34)

Calcula un nmero, sabiendo que la suma de sus cifras es 14, y que si se invierte el orden en que

estn colocadas, el nmero disminuye en 18 unidades.


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35) El alquiler de una tienda de campaa cuesta 80 al da. Ins est preparando una excursin consus amigos y hace la siguiente reflexin: Si furamos tres amigos ms, tendramos que pagar 6

menos cada uno. Cuntos amigos van de excursin?

36) Jacinto est cercando un terreno de forma rectangular. Cuando lleva puesto alambre a dos ladosconsecutivos del terreno, se da cuenta de que ha gastado 170 m de alambre. Si sabe que la diagonal delrectngulo mide 130 m, cules son las dimensiones y el rea del terreno?


37) Un cine tiene igual nmero de filas que de butacas por fila. El propietario decide remodelarloquitando una butaca por fila y tres filas. Despus de la remodelacin, el nmero de butacas es 323.

a) Cuntas filas tena el cine antes del cambio?

b) Cuntas butacas hay ahora en cada fila?

38) Resuelve estos sistemas.

39) Las edades de Marta, Miguel y Carmen suman 94 aos. Dentro de diecisiete aos las edades deMarta y Miguel sumarn un siglo. Calcula sus edades, sabiendo que Marta le lleva siete aos a

Carmen.

40)

Resuelve utilizando el mtodo de Gauss

Cuadernillo Trabajo 4º Eso 2013-14

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