Matemáticas IV.- Álgebra 1

UNIDAD I.- TEORI A DE CONJUNTOS

La idea intuitiva de un conjunto la entendemos como la colección de ideas u objetos que están bien definidos de

tal manera que se puede decidir si pertenecen o no a dicho conjunto.

Las ideas u objetos que forman al conjunto se denominan elementos del conjunto.

Generalmente se usan letras mayúsculas para determinar a los conjuntos y letras minúsculas para denotar a sus

elementos.

Si

El conjunto A está formado por las letras del abecedario y entonces:

a ∈ Asignifica que a es elemento del conjunto A

b∈Asignifica que b es elemento del conjunto A

y para denotar que un elemento no forma parte de un conjunto utilizamos el símbolo∉

f ∉ Arepresenta que f no es elemento del conjunto A.

Para escribir o representar conjuntos existen dos formas:

Forma enumerativa o por extensión

Forma descriptiva o por comprensión

La forma enumerativa consiste en escribir a todos y cada uno de los elementos que forman al conjunto.

, ,

La forma descriptiva consiste en escribir al conjunto por medio de una oración abierta, la cual se llama así por

que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo.

A la oración “x es una de las estaciones del año”, se llama oración abierta y la línea horizontal “ ” se lee “tal

que”.

Una oración abierta es, toda la oración en la que interviene alguna variable “x”, al conjunto que nos proporciona

los elementos para remplazar a la variable lo llamamos conjunto de reemplazamiento y finalmente al conjunto de

valores del conjunto de reemplazamiento que hacen verdadera a la oración abierta se llama conjunto de verdad.

Ejemplo.

Considere al conjunto de reemplazamiento , encontrar el conjunto de verdad para el

conjunto B si .

El conjunto es

, , , ,A a b c d e

1, 2, 3, 4B rojo, azul, amarillo, verdeE $, %, /,F

es una de las estaciones del añoT x x

|

1, 3, 4, 5, 6, 7, 8E

es un número par mayor de 5B x E x

6, 8B www.calix

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Cardinalidad La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto, si es posible determinar la

cardinalidad de un conjunto, entonces se dice que dicho conjunto es finito, en caso contrario se dirá que es un

conjunto infinito.

La notación de la cardinalidad de un conjunto A es:

cardinalidad del conjunto A

Conjunto Universal El conjunto universal se entenderá como el conjunto formado por todos los elementos considerados para un

determinado fin. conjunto universal

Conjuto Vacío Es un conjunto el cual carece de elementos y su notación es:

Conjuntos Iguales Dos conjuntos son iguales entre si , si cada elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B y

cada elemento del conjunto B es un elemento del conjunto A.

Conjuntos Ajenos O Disjuntos Dos conjuntos son ajenos o disjuntos si no comparten elementos en común. Por ejemplo el conjunto formado por

los números pares y el conjunto formado por los números impares son ajenos o disjuntos.

Conjuntos Equivalentes Dos conjuntos son equivalentes , si tienen la misma cardinalidad.

Operaciones Entre Conjuntos

Unión

La unión de dos conjuntos A y B , es un conjunto formado por elementos que pertenecen al conjunto A

y/o B.

Intersección

La intersección de dos conjuntos A y B A B , es un conjunto formado por elementos que pertenecen al

conjunto A y B.

Diferencia De Conjuntos

La diferencia entre un conjunto A y un conjunto B , es un conjunto formado por elementos que

pertenecen al conjunto A pero no al conjunto B.

#n A A

U

A B

A B

A B

yó A B x x A x B

y A B x x A x B

A B

y A B x x A x B www.calix

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Matemáticas IV.- Álgebra 3

Complementos De Un Conjunto

El complemento de un conjunto A , es un conjunto formado por elementos que no pertenecen al

conjunto A pero si pertenecen al conjunto universal.

Propiedades De Los Conjuntos

Ejemplos De Operaciones Con Conjuntos

EJEMPLO 1 Sea S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} el conjunto de reemplazamiento. Hallar el conjunto de verdad para:

a)

Como se puede ver el enunciado “x es un número par” se hace verdadero si x toma los valores de 2,4,6,8,10 y 12

que se encuentran en el conjunto S, por tanto el conjunto de verdad para A es:

A= { 2,4,6,8,10, 12 }

b)

Ahora el enunciado “(x+6) ∈S” nos dice que x deberá de ser un número que sumado con 6, el resultado

pertenecerá a S, por ejemplo si x es 2 queda. 2+6 = 8 y 8 si pertenece a S, pero si x es 8 nos queda 8+6 = 14, lo

cual claramente se ve que 14 no pertenece a S, por lo anterior se tiene que el conjunto de verdad para B es:

B={2,4,6}

EJEMPLO2 Sea el conjunto universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y sea H={1,2,3,4}, J={3,4,5}, K={7,8,9} y L={5,6,7,8,9,10}.

Encontrar:

a)

Recuerda que ∩ representa la intersección de 2 conjuntos, es decir los elementos que están en el primer y

segundo conjunto, por ejemplo del conjunto H={1,2,3,4} que elementos también tiene J={3,4,5}, como podrás

observar fácilmente tienen en común al 3 y 4.

H={1,2,3,4}J={3, 4,5},

Entonces tenemos que

b)

En éste caso el símbolo∪ representa la unión de dos conjuntos, es decir elementos que están en el primer

conjunto y/o en el segundo conjunto. Una manera fácil de unir dos conjuntos es hacer lo que entendemos de unir

(juntar) , es decir juntos los elementos de ambos conjutos.

Al juntar los elementos de K={7,8,9} y L={5,6,7,8,9,10}, se tiene:

, pero recuerda que en conjuntos NO se acostumbra repetir elementos y como podrás ver

el conjunto anterior tiene por ejemplo repetido el 7, basta entonces escribir la solución sin repetir elementos o

sea:

'cA A

y Uc

A x x A x

c c c

c c c

cc

A B B AA B B AA B B A

A B A B

A B A B

A A

A S es un número parx x

B S 6 Sx x

H J

H J= 3, 4

{7,8,9,5,6,7,8,9,10}

LKwww.calix

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={5,6,7,8,9,10}

c) (L–K)c⋂J

Ahora en este caso primero se hace L–K, es decir los elemento que SI pertenecen al conjunto L pero que NO

están en K.

L– K={5,6,10}

Enseguida encontremos (L–K)c, lo cual representa el complemento del conjunto L– K, o sea los elementos que

no están en el conjunto que ya se había encontrado L– K={5,6,10}.

(L–K)c ={1,2,3,4,7,8,9}

Recuerda que el complemento de un conjunto son los elementos que NO están en el conjunto pero SI están en el

conjunto universal.

Finalmente encontremos (L–K)c⋂J que será la intersección del conjunto

(L–K)c

={1,2,3,4,7,8,9} y el conjunto J={3,4,5}, es decir elementos en común para ambos conjuntos,

quedándonos:

(L–K)c⋂J={3,4}

EJEMPLO 3

Encontrar A×B, si A = {–4, –2, 0, 2} y B = {–3, –1, 1}

DEFINICIÓN.- El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (A×B) es un conjunto formado por parejas

ordenadas (x,y) donde “x” es un elemento del primer conjunto A y “y” es un elemento del segundo conjunto B.

A×B={(x,y) | x∈ A , y∈ B}

Ahora encontremos A×B

A ={–4, –2, 0, 2} A = {–4, –2, 0, 2}

(–4,–3) (–4,–1) (–4,1) (–2,–3) (–2,–1) (–2,1)

B = {–3, –1, 1} B = {–3, –1, 1}

A = {–4, –2, 0, 2} A = {–4, –2, 0, 2}

(0,–3) (0,–1) (0,1) (2,–3) (2,–1) (2,1)

B = {–3, –1, 1} B = {–3, –1, 1}

A×B={(–4,–3),(–4,–1),(–4,1), (–2,–3),(–2,–1),(–2,1), (0,–3),(0,–1),(0,1), (2,–3),(2,–1),(2,1)}

K L

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Matemáticas IV.- Álgebra 5

Diagramas de Venn-Euler Un diagrama de Venn-Euler es una representación de los conjuntos y sus operaciones por medio de figuras

geométricas cerradas, en general al conjunto Universal se acostumbra representarlo con un rectángulo.

A los conjuntos se les representa con círculos y en sus operaciones aparecen diferentes figuras.

Ejemplo 1.- Si U 1,2,3,4,5,6 , 1,4,5A y 4,5,6B , la representación de estos conjuntos es:

Ahora, si quisiéramos ver que figura encierra los elementos de A B , tenemos:

y para la intersección tenemos:

finalmente, la figura que encierra a los elementos de 2,3,6cA es:

Figura que encierra a los ele-

mentos de A∪B = {1,4,5,6}

Figura que encierra a los ele-

mentos de A∩B = {4, 5}

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Ejemplo 2.- Considera la siguiente situación de tres conjuntos A, B y C.

Entonces la figura que encierra al conjunto A B es:

A B elementos que están en A y/o en B

al iluminar al conjunto A, alguna parte del conjunto C también se ilumina, ya que el hecho de que

un elemento pertenezca al conjunto A no lo restringe a que pertenezca a la vez a otro conjunto. La

figura que encierra los elementos de A B es:

Ahora veamos que figura encierra al conjunto B C

B C = elementos que están en B y en C.

esto no es parte de la figura,

es la silueta de C

Primero observemos lo siguiente:

elementos que están en A, observa que algunos de

ellos están en B y otros a la vez están en B y C

elementos que están en A y B

(algunos también en C)

elementos que están en A en B y en C

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Matemáticas IV.- Álgebra 7

Para nuestra situación, los elementos de B C son los elementos que están en B y en C, pero

algunos de ellos también estarán en A, lo cual no importa ya que cumplen que están en B y en C.

Ejemplo 3.- Sombrear la parte que represente al conjunto A B C

Primero identifiquemos A B

Si de lo que está sombreado observas que pertenece a C, el conjunto A B C está representado

por:

Problemas que se resuelven con diagramas de Venn-Euler Resolvamos algunos problemas dónde nos puede ser de utilidad los diagramas ya estudiados.

Problema 1.- En una muestra de 80 amas de casa, 37 tenían aspiradora, 46 tenían abrelatas eléctrico

y 35 tenían tostadora. Además 25 tenían simultáneamente aspiradora y abrelatas, 15 tenían

aspiradora y tostadora y 25 tenían abrelatas y tostadora; 10 amas de casa tenía los tres aparatos.

¿Cuántas de ellas no tenían ninguno de estos aparatos?

Como podrás darte cuenta hay 3 conjuntos involucrados (tostadora, abrelatas, aspiradora) y hay

elementos que pertenecen a dos de ellos o hasta a los tres conjuntos, entonces podemos usar la

siguiente situación:

T: Tostador

AE: Abrelatas eléctrico

A: Aspiradora

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Bueno, para los demás datos aclaremos lo siguiente: 25 tenían tostadora y abrelatas, esto no

restringe que también tengan tostadora, por tal motivo el 25 debe estar en:

si se pone el 25 en:

ésta zona representa a los elementos que están en abrelatas y aspiradoras

solamente, es decir, mientras no se nos indique solamente o sólo

nosotros podemos entender que además de tener abrelatas y aspiradora

pudieran tener tostadora.

Ahora, si ponemos todos nuestros datos en un diagrama de Venn-Euler tendremos:

No es difícil ver que si en hay 15 elementos y en una parte de éste conjunto hay 10, entonces

en la otra parte debe de haber 5 para que sumen en total los 15 elementos que debe tener.

Observación: Que tú le menciones a un amigo que te gusta el chocolate

y las manzanas, no te excluye qué quizás te gusten los bombones, pero si

tú mencionas que sólo te gusta el chocolate, entonces sí, das a pensar que

por ejemplo no te gustan las palomitas.

No poner ya que se entendería que la zona que tiene

35 elementos es , lo cual no queremos, ya que 35

elementos son los que debe contener TODO el círculo de tostadora.

25 tienen AE y A (pudiera ser que también tostadora,

aunque no se mencione)

25 Tostadora y Abrelatas

15 Tostadora y Aspiradora 25 Abrelatas y Aspiradora

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Matemáticas IV.- Álgebra 9

si rellenamos los espacios en blanco del diagrama y tomando en cuenta la explicación anterior,

tenemos:

Finalmente para encontrar los elementos que están fuera de los tres conjuntos, como si fuera un

rompecabezas, veremos cuanto falta para que de un total de 80:

5 15 5 10 7 15 6 ? 80

63 ? 17

es decir, hay 17 amas de casa que no tienen alguno de los tres aparatos mencionados.

Problema 2.- De un grupo de 63 alumnos: 30 estudian italiano, 35 estudian francés y 15 estudian

ambos idiomas, ¿Cuántos alumnos estudian…

a. sólo francés?

b. sólo italiano?

c. ninguno de los dos idiomas?

Primero ponemos los datos

Bueno, como claramente la otra parte del conjunto italiano debe ser también 15, pues

15 15 30 , análogamente para francés y para la parte que está fuera de italiano y francés

tenemos:

15 15 20 ? 63 ? 63

Entonces hay 13 alumnos que no estudian italiano ni tampoco francés.

6 ya que:

y debe de haber 46

Ambos idiomas

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Ejercicios Resuelve los siguientes problemas utilizando diagramas de Venn-Euler.

Problema 1.- A los niños de una organización civil se les apoya para que hagan deporte, una encuesta

reveló que los deportes que más les agradan son: natación, fútbol, béisbol, entre otros, los

resultados de la encuesta fueron: 7 sólo prefieren natación; 28 sólo quieren jugar fútbol; uno, sólo

quiere practicar béisbol; 30, natación y fútbol; 18 natación y béisbol; 20, fútbol y béisbol; 12 los

tres deportes de mayor preferencia y 20, otros deportes.

a. ¿Cuántos niños quieren béisbol o natación?

b. ¿Cuántos niños prefieren fútbol o béisbol?

c. ¿Cuántos niños fueron encuestados?

d. ¿Cuántos niños prefieren únicamente 2 deportes?

Problema 2.- Una empresa concede cómo prestación a sus empleados la asistencia a un club

deportivo; en éste hay canchas de squash, un gimnasio, un boliche y una cafetería, donde se pueden

divertir con juegos de mesa o simplemente platicar. Se realizó una encuesta a 70 personas sobre la

actividad de esparcimiento de su preferencia y se encontró que: 20 preferían boliche, 27 el

gimnasio, 24 squash, 8 boliche y gimnasio, 10 squash y boliche, 15 squash y gimnasio y, por

último, 6 prefieren squash, gimnasio y boliche.

a. ¿Cuántas únicamente prefieren jugar boliche?

b. ¿Cuántas únicamente prefieren jugar squash?

c. ¿Cuántas personas sólo desean estar en el gimnasio?

d. ¿Cuántas personas prefieren otras actividades?

e. ¿Cuántas prefieren el squash o el boliche?

f. ¿Cuántas no quieren boliche o squash?

Problema 3.- En un supermercado se hizo una encuesta a 60 personas, para saber que tipo de bebida

alcohólica que está en oferta prefieren. Los resultados fueron: 12 comprarían whisky y tequila; 16,

vodka y tequila; 14, whisky y vodka; 29, whisky; 30, tequila; 29, vodka, y sólo 9 personas las tres

bebidas.

a. ¿Cuántas personas contestaron que otras bebidas?

b. ¿Cuántos prefieren 2 tipos de bebida únicamente?

c. ¿Cuántos quieren al menos una de las tres bebidas?

d. ¿Cuántas quieren sólo un tipo de bebida?

Problema 4.- En una fiesta infantil se les pidió su opinión a los niños acerca del sabor del helado que

preferían comer. Los resultados fueron los siguientes: 9 quieren de chocolate, vainilla y fresa; 12,

de fresa y vainilla; 13, de chocolate y fresa;15, de chocolate y vainilla; 18, de fresa; 26, de

vainilla;29, de chocolate y 8 niños prefieren de otros sabores.

a. ¿Cuántos niños había en la fiesta?

b. ¿Cuántos quieren sólo de dos sabores?

c. ¿Cuántos sólo de un sabor?

d. ¿Cuántos no quieren de chocolate o fresa?

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Matemáticas IV.- Álgebra 11

5.- Considera cada diagrama de Venn-Euler que se te da y sombrea el conjunto que se te indica:

a. A B C

b. c

B A

c. c

C A

d. A C B

e. A B B C

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