ESCUELA SECUNDARIA TÉCNICA NÚM. 119

CLAVE 07DST0122M ZONA ESCOLAR 07

ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS

CUADERNILLO DE ENTRENAMIENTO

¡DESARROLLANDO EL PENSAMIENTOMATEMÁTICO!

3° DE SECUNDARIA

ELABORÓ: PROFR. ELEAZAR JIMÉNEZ LÓPEZ

ALDAMA, CHIAPAS; A 09 DE DE ENERO DE 2013

1

DATOS PERSONALES

NOMBRE COMPLETO

GRADO Y GRUPO

LUGAR DE PROCEDENCIA

EXPECTATIVAS

2

Índice

1. Presentación. 4

2. Orientación Metodológica. 5

3. Ecuaciones lineales. 6

3.1. Los nadadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2. El almacenista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3. Compras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4. A volar se ha dicho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.5. Evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Patrones y ecuaciones. 9

5. Ecuaciones cuadráticas. 9

5.1. Evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6. Semejanza de triángulos. 16

6.1. El cometa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7. Situaciones aleatorias. 17

7.1. La tombola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.2. Los caramelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.3. El Dadodecaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.4. Juego de dados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.5. Evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8. Cálculo de áreas y volúmenes. 19

9. Miscelánea. 21

3

1. Presentación.

Lionel Messi es la máxima fígura del futbol internacional de acuerdo a los re-cientes informes de los medios informativos. Messi para llegar a ser una granfigura del futbol tuvo que entrenar arduamente el movimiento del balón, ad-quirir la condición fisica que requiere un jugador de alto rendimiento y sobretodo fue dotado de preparación psicológica y emocional. Lo mismo sucede conlas matemáticas, las artes, la oratoria, poesía, trabajo experimental, etc. todorequiere de un gran esfuerzo y entrega para descubrir lo aún inexplorable y lasideas originales que dieron origen los conocimientos de la actualidad.

En este primer contacto con el material que tienes a la mano, te hablaré de unade las mentes más promiscuas que ha tenido la sociedad matemática moderna yme refiero a Leonhard Euler; nosotros como parte del ritmo de vida diaria por elresto de la noche y madrugada uno descansa, pero a Euler le ocurría lo contrariosoñar matemáticas era algo normal para el; se cuenta que en una ocasión llegóa soñar los valores de todas las potencias sextas de los números de 1 hasta 100,es decir, hacía cálculo mental durante el reposo profundo. Eso sí que es estar deforma1.

Con lo anterior, te doy la bienvenida a que exploremos y resolvamos juntos cadauno de los ejercicios contemplados en el cuadernillo como parte de entrenamientoy reforzamiento de los temas abordados en la sesiones de clase y a la vez juntossoñemos para llegar a la cima de la colina, en donde veremos que hay más colinaspor escalar.

¡Manos a la obra!

EJL

1ALSINI, Claudi(2008).El club de la hipotenusa. Un paseo por la historia de las mate-máticasa través de sus anécdotas más divertidas.Editorial Ariel

4

2. Orientación Metodológica.

La orientación metodológica que seguirá el tutor en este trayecto formativo secompone de cuatro pasos:

Comprender el problemaConsiste en que realices una lectura comprensiva de cada

enunciado de los problemas

Concebir un plan

Debes identificar los datos que se te proporcionan y las variables,

¿Qué interrogante hay que dar respuesta?, Recordar un problema

parecido que se te haya planteado con anterioridad, Esboza el

problema (esquema o dibujo), plantea dudas para exponerselo al

tutor.

Ejecución del planYa puedes proceder a resolver el problema una vez que

hayas organizado los elementos con que cuentas

Examinar la solución

Esta mirada (revisión) lo haremos de manera colegiada, alumnos y

tutor para hacer la revisión del procedimiento y al final lograr

un punto de vista en común, superando cooperativamente las

dificultades que se presenten.

Mismo que se ilustra en la siguiente fígura, y debe tenerse presente que la solu-ción del problema no culmina unicamente al hallar la solución sino hasta que elalumno (s) y tutor lo decidan.

¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

5

Comenzamos...

3. Ecuaciones lineales.

3.1. Los nadadores.

1.En la figura de la tabla de arriba se muestran dos nadadores que están ubi-cados en los lados opuestos de una piscina cuya longitud es 50 metros. Si salensimultáneamente uno hacia el otro, nadando con rapidez constante por carrilesparalelos, el primero a 6 m/s y el otro a 4 m/s. ¿En cuántos segundos y a quédistancia se cruzan los nadadores?

3.2. El almacenista.

2.Un almacenista tiene dulces de $45 el kilo y otros de $70 el kilo. Quiere haceruna mezcla de 120 kilos que resulten a $55 el kilo. ¿Cuántos kilos de cada clasedeberá poner?

3.3. Compras.

3.El mes pasado Juan compró 6 kilos de café y 5 kilos de té, en total gasto $56.Hace una semana con $58 le alcanzó para 4 kilos de té y 7 kilos de café. Ahora éldesea saber cuanto cuesta un kilo de café y cuanto cuesta un kilo de té. ¿Podríasayudarlo a encontrar la respuesta?

6

3.4. A volar se ha dicho.

4.Una compañía de aviación tiene una flota de 55 aviones de los cuales hay 20bimotores. Los restantes tienen tres y cuatro motores. Si en toda la flota hay170 motores. ¿Cuántos aviones de tres motores hay? ¿Y cuantos hay de cuatromotores?

3.5. Evaluación.

PARTE I: Para cada uno de los siguientes problemas plantea un sistema de dosecuaciones lineales con dos incógnitas y encuentra la solución.

5. En una biblioteca hay un total de 68 libros entre libros de Español y Ma-temáticas de nivel básico, si la cantidad de libros de Español es el triple quela cantidad de libros de Matemáticas. ¿Cuántos libros de cada tipo hay en labiblioteca?

6. En una zapateria hay una promoción de calzados. Por 2 pares de botas y trespares de zapatillas se paga $3000. Si el par de zapatillas vale $30 menos que elpar de botas. ¿Cuánto cuesta el par de zapatillas y el par de botas?

7. El precio de 3 borradores y 5 libretas es $360. Si la libreta cuesta el triple delo que cuesta un borrador. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

8. Se va a pintar el muro de una escuela que tienen forma rectangular y senecesita saber su superficie para estimar la cantidad de pintura que se ocupará.Si se sabe que el perímetro del muro mide 26 metros y que su base mide 7 metrosmás que su altura. ¿Cuál es el área del muro?

PARTE II:

9. Selecciona de los siguientes problemas el que se resuelve con el sistema deecuaciones:

2x+ 2y = 65

x = 3y

a) ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 65 cm yque su base es el triple de su altura?

b) ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado si cada lado equivale a un cuarto desu área y esta es igual a 65?

c) ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo sabiendo que su largo es el doble desu ancho y que su área es igual a 65?

7

d) ¿Cuál es el área de un cuadrado sabiendo que cada lado equivale a 2x− 1 yque su perímetro es igual a 65?

10. Selecciona de los siguientes problemas el que se resuelve con el sistema deecuaciones:

x = 4y

x+ y = 70

a) Pancho es mayor que José por cuatro años, la suma de sus edades es 70 años.Calcular las edades.

b) La edad de José es igual a cuatro veces la edad de Pancho, la edad de panchoes igual a la edad de José mas 70. Calcular las edades.

c) La edad de José es igual a cuatro veces la edad de Pancho, la diferencia desus edades es 70 años. Calcular las edades.

d) La edad de José es igual a cuatro veces la edad de Pancho, la suma de susedades es 70 años. Calcular las edades.

11. Lee el siguiente problema:

El perímetro de un rectángulo mide 36 cm y la diferencia entre la base y laaltura es de 8 cm. ¿Cuál es el sistema de ecuaciones que permite resolver elproblema?

a)x+ y = 36 b)x+ y = 36 c)2x+ y = 36 d)2x+ 2y = 36x− y = 8 x

y = 8 x− y = 8 x− y = 8

12. El precio de 5 lápices y 7 bolígrafos es $155. Si un lápiz cuesta $5 menos queun lapicero. ¿Cuál es el precio de un lápiz?

a) 10

b) 12

c) 15

d) 16

13. El cajero de un cine sabe que en una sala hay 500 butacas ocupadas y queel total de dinero en caja por las entradas a esa sala es de $13000 Si cada adultopagó $30 y cada niño pagó $20 por su entrada. ¿Cuántos adultos y cuantos niñoshay en la sala?

a) 350 adultos y 150 niños

b) 300 adultos y 200 niños

c) 150 adultos y 350 niños

d) 200 adultos y 300 niños

8

4. Patrones y ecuaciones.

14. ¿Cuántos puntos tendrá la figura 35?

15. En una granja de conejos cuentan las crías que nacen cada semana y con losdatos obtenidos hicieron una tabla:

SEMANAS CRÍAS0 21 42 103 204 345 52

¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la tasa de natalidad de los conejos?

A)x2 − 2

B)x2 + 2

C)2x2 − 2

D)2x2 + 2

5. Ecuaciones cuadráticas.

Observa los modelos geométricos I y II que se muestran en la figura de arriba.Si consideramos que el área de cualquier rectángulo puede calcularse con elproducto de su altura por su anchura, podemos escribir el área total de cadamodelo como un polinomio y notarás que al reducirlo éste presentan la mismaforma de algún producto notable que ya conoces. En el caso del Modelo I, alescribir los términos que aparecen en cada una de las zonas del cuadrado tenemos

9

x2 + 5x+ 5x+ 25 = x2 + 10x+ 25

De lo anterior podemos observar que el Modelo I corresponde a la expansión delbinomio al cuadrado (x+ 5)

2 , es decir

(x+ 5)2= x2 + 10x+ 25

Nota que la figura que lo representa es un cuadrado de lado x + 5 . ¿Puedesdeterminar a qué producto notable corresponde el Modelo II?

A continuación te presentamos la manera en que algunos de los productos no-tables que ya conoces pueden ser representados mediante modelos geométricos,consideramos los casos del binomio al cuadrado (suma y resta), producto de bi-nomios conjugados y producto de dos binomios con término común. Para cadacaso, comenzamos con una breve recapitulación de su modelo algebraico paraposteriormente describir la forma en que se construye su respectivo modelo geo-métrico; finalizando con el planteamiento de algunos ejercicios que tendrás queresolver aplicando lo aprendido.

Binomio al cuadrado

El binomio al cuadrado puede presentarse como una suma (x+ a)2 o como una

resta (x− a)2. En cualquiera de los dos casos lo que se encuentra al interior del

paréntesis debe ser multiplicado por sí mismo.

Podemos en general decir que:

Para establecer el modelo geométrico del cuadrado de una suma, consideremosun cuadrado de lado l = x+a , como el mostrado en la figura inferior izquierda.

10

Ahora bien, sabemos que para calcular el área de un cuadrado debemos elevara la segunda potencia la longitud de su lado, es decir, A = l2 ; pero como ellado del cuadrado es igual a la suma x + a , tenemos que A = l2 = (x+ a)

2

y corresponde un binomio al cuadrado. Por otro lado, si dividimos el cuadradoanterior de manera que podamos identificar cada una de las partes que lo con-forman obtenemos un cuadrado como el de la derecha. De esta forma, tambiénpodemos calcular el área del cuadrado original a partir de la suma de las cuatroáreas que se forman en su interior, A = A1 +A2 +A3 +A4 . Entonces tenemosque

A = A1 +A2 +A3 +A4

= x2 + ax+ ax+ a2

= x2 + 2ax+ a2

De lo anterior concluimos que el área de un cuadrado de lado x+a correspondeal caso del binomio al cuadrado, cuando el binomio es una suma, en este caso(x+ a)

2 . El producto resultante x2+2ax+a2 se conoce como trinomio cuadradoperfecto. Para establecer el modelo geométrico del cuadrado de una diferencia,partimos de un cuadrado de lado l = x , al que se le restaría a como el mostradoen la figura inferior izquierda.

Observando la figura anterior notamos que para este caso el área que correspondea (x− a)

2 es A1 , es decir, A1 = (x− a)2 y podemos obtenerla restando las áreas

restantes A2 y A3 del área original A, o sea que A1 = A−A2 −A3.

(x− a)2= A−A2 −A3

11

= x2 − ax− a (x− a)

= x2 − ax− ax+ a2

= x2 − 2ax+ a2

Podemos en general decir que:

Para establecer el modelo geométrico del producto de binomios conjugados par-timos de un rectángulo de lados l1 = x+ a y l1 = x− a, como el mostrado en lafigura inferior izquierda, de manera que su área A correspondería al productodel binomio (x+ a) y su conjugado (x− a) , es decir, A = (x+ a) (x− a).

Si observas la figura anterior notarás que A = A1 +A2 , entonces

(x+ a) (x− a) = A1 +A2

= x (x− a) + a (x− a)

= x2 − ax+ ax− a2

= x2 − a2

Podemos acomodar la áreas A1, A2 y A3 dentro de un cuadrado de lado l = x, de manera que se haga evidente que el resultado de multiplicar el binomio(x+ a) por su conjugado (x− a) equivale a restarle al área de un cuadrado delado x , el área del cuadrado de lado a(área A3).

12

Podemos en general decir que:

Para establecer el modelo geométrico del producto de dos binomios con términocomún partimos de un rectángulo de lados l1 = x + a y l1 = x + b , como elmostrado en la figura inferior izquierda, de manera que su área A corresponderíaal producto de los binomios (x+ a) y (x+ b) , es decir, A = (x+ a) (x+ b).

De la figura anterior, es fácil notar que A = A1 +A2 +A3 +A4, por lo que

(x+ a) (x+ b) = A1 +A2 +A3 +A4

= x2 + ax+ bx+ ab

= x2 + (a+ b)x+ ab

Observa que hemos extraído el “factor común” del segundo y tercer términodel desarrollo anterior de manera que el resultado final queda expresado porun polinomio de tres términos. Puedes comprobar fácilmente que (a+ b)x =ax+ bx.

5.1. Evaluación.

Construye modelos geométricos que correspondan al resultado de ca-da uno de los siguientes productos notables.

16) (x+ 4)2=

17) (x− 3)2=

18) (x+ 2) (x− 2) =

19) (x+ 3) (x+ 1) =

13

20) (x+ 5) (x− 2) =

Indicaciones: En cada uno de los siguientes reactivos, selecciona la opciónque corresponda a la representación algebraica del área sombreada de la figuramostrada.

21.

A) (x− 2) (x− 4)

B) (x+ 6)2

C)x2 + 6x+ 8

D)x2 + 2x+ 4

22.

A) (x+ 9) (x− 9)

B) (x− 9)2

C)x2 + 18x+ 81

D)x2 − 3x+ 18

23.

14

A) (x+ 5) (x+ 3)

B) (x− 5) (x+ 3)

C)x2 − 2x+ 15

D)x2 + 2x− 15

24.

A) (x+ 8) (x− 8)

B) (x+ 8)2

C)x2 + 81

D)x2 − 16x+ 64

25.

A) (x+ 7) (x− 7)

15

B) (x+ 7)2

C)x2 − 14x+ 49

D)x2 + 49

26. El ancho de un rectángulo es siete unidades menor que el largo y el áreaes igual a 588m2, ¿cuál es la ecuación que representa correctamente a estasituación?

A)x (x− 7) = 588

B)x− 7 + x = 588

C)x2 + 7x+ 588 = 0

D)x2 − 7x+ 588 = 0

6. Semejanza de triángulos.

6.1. El cometa.

27. En la figura de la tabla de arriba se muestra una cometa pentagonal queCamila está construyendo para su clase de matemáticas. Como se observa, lefalta elaborar y pegar el triángulo 4ACP . ¿Cuál será el área del triángulofaltante si sólo se sabe que el pentágono tiene lados de 30 cm y la longitud delsegmento BQ es de 18 cm?

28. ¿Cuál de las siguientes figuras contiene triángulos que no son semejantes?

16

7. Situaciones aleatorias.

7.1. La tombola.

29. Andrea ganó el concurso de conocimientos en su escuela, por ello la directoraha decidido obsequiarle un libro. La directora depositó en una caja papelitos conlos títulos de 6 libros de español, 4 libros de matemáticas y 2 libros de geografía,para que Andrea extraiga uno y se lleve a su casa el libro correspondiente. ¿Cuáles la probabilidad de que Andrea se gane un libro de matemáticas o español?

7.2. Los caramelos.

30. Sobre una mesa se encuentra un frasco con doce caramelos negros, ochorojos, diez amarillos y cinco verdes. Tomas un caramelo sin mirar. ¿Cuál es laprobabilidad de que saques un caramelo de color negro o amarillo?

7.3. El Dadodecaedro.

31. Si se lanza un dado en forma de dodecaedro regular (con 12 caras igualesen forma de pentágono) cuyas caras están numeradas con del 1 al 12, ¿quéprobabilidad hay de que salga un número que sea múltiplo de 5 o múltiplo de 3(incluyéndolos)?

7.4. Juego de dados.

32. Se lanzan dos dados de seis caras simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidadde que salga un número par y un 5?

17

7.5. Evaluación.

33. Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 bolas blancasy 6 bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca?

A) 115

B) 19

C) 35

D) 45

34. En una caja con dulces hay 9 chocolates, 5 tamarindos y 7 chicles de lamisma forma, peso y envoltura. Si sacas un dulce, ¿qué probabilidad hay de queno te toque un chocolate?

A) 47

B) 29

C) 35

D) 45

35. Tenemos dos urnas que contienen cada una bola roja, una azul y una ver-de, cada una. Si sacamos simultáneamente una bola de cada urna, ¿cuál es laprobabilidad de que saquemos dos bolas del mismo color?

A) 12

B) 13

C) 14

D) 16

36. Si se lanza una moneda y un dado numerado de seis caras simultáneamente,¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 3 y un “águila”?

A) 12

B) 13

C) 14

D) 16

37. Se lanzan dos dados de seis caras simultáneamente, si las caras de los dadosestán numeradas del 1 al 6, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número paren el primero y un número mayor que 2 en el segundo?

A) 34

B) 13

C) 12

D) 49

18

8. Cálculo de áreas y volúmenes.

38. El área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1.0 cm, mide:

a)1cm2

b) 45cm2

c) 34cm2

d) 12cm2

39. Una bandera está formada por tres tiras del mismo tamaño. Cada una de lastiras se ha dividido en dos, tres y cuatro partes respectivamente. ¿Qué fraccióndel área de la bandera está coloreada?

a) 59

b) 47

c) 35

d) 23

40. Un cuadrado de área 125cm2 se divide en 5 partes de áreas iguales de lascuales cuatro son cuadrados. ¿Cuál es la longitud del lado más pequeño de laregión en forma de L?

19

a)2(√

5− 1)cm

b)3(√5− 1)cm

c)5(√

5− 2)cm

d)1.2cm

41. Un rectángulo ABCD es dividido en cuatro rectángulos como se muestra enla figura. Las áreas de tres de ellos son las que están escritas dentro (no se conoceel área del cuarto rectángulo), ¿cuánto mide el área del rectángulo ABCD?

42. El maestro Ernesto hizo este dibujo en el pizarrón:

Con base en sus datos, ¿cuál de las siguientes expresiones es correcta para cal-cular su volumen?

A)V =π( d

2 )2h

3

B)V =π( d

2 )2a

3

C)V = πd2h3

D)V = πd2a3

20

9. Miscelánea.

43.Un sastre tiene un trozo de paño de 16 metros. Si cada día corta un trozo de2 metros, ¿Al cabo de cuántos días el sastre cortará el último trozo?

(a) 8 días

(b) 6 días

(c) 7 días

(d) 9 días

44.Observa la siguiente fígura y contesta la pregunta:

¿Cuál sigue?

(a) 8

(b) 9

(c) 10

(d) 7

45. Daniela tarda 35 minutos para ir a la escuela caminando y regresar a su casaen autobús, mientras que hacer el viaje completo en autobús le toma solamente22 minutos. ¿Cuánto tarda Daniela en hacer el viaje de ida y vuelta caminando?

(a) 30

(b) 40

(c) 45

(d) 48

46. Un poste del alumbrado público mide 4.8 metros. Si 25 partes del poste están

pintadas de blanco y 13 de rojo, ¿cuál es la longitud (en metros) del poste que

no se encuentra pintada?

47. Se necesitan 280 botellas para trasegar el vino de un barril.

i) ¿Cuántos barriles se vaciarán en 910 botellas?

ii) ¿Cuántos litros de vino contiene el barril si cada una de las botellas es de 34

de litro?

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SUGERENCIAS Y COMENTARIOS PONERSEEN CONTACTO CON:

PROFR. ELEAZAR JIMÉNEZ LÓPEZ.

E-MAIL: e_jimenez_lopez@hotmail.com

El conocimiento se vuelve útil si se comparte y se aplicaen bien de la sociedad.

EJL

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