Contenido PRESENTACIÓN ............................................................................................................................................................. 1

JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................................................................. 2

Estimados alumnos y alumnas: .................................................................................................................................... 3

Instructivo De Procedimientos Para La Aplicación Y Evaluación De Los Exámenes ...................................................... 4

ACERTIJOS .................................................................................................................................................................... 5

El número mágico 153 .............................................................................................................................................. 8

La sabiduría del gran mago ....................................................................................................................................... 8

PROBLEMARIO ........................................................................................................................................................... 11

SOLUCIONES A LAS SITUACIONES DESAFIANTES DEL CUADERNILO DE ENTRENAMIENTO PARA SECUNDARIA ......... 17

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PRESENTACIÓN El Gobierno del Estado de Tamaulipas, a través de La Secretaría de Educación, con el propósito de fortalecer el desarrollo de competencias matemáticas en los alumnos de educación primaria y secundaria, por medio de un concurso que implique el razonamiento y la creatividad en la resolución de problemas, convoca a la Tercera Olimpiada Estatal “Jugando con las Matemáticas” en Educación Primaria y Secundaria 2016 (3ª OEJMEPS). La Tercera Olimpiada Estatal “Jugando con las Matemáticas en Educación Primaria y Secundaria, es un concurso en el que los alumnos de cuarto, quinto y sexto grados de primaria y de los tres grados de secundaria, asesorados por sus profesores, resolverán en un lapso de tiempo suficiente, problemas que implican razonamiento y creatividad, sin el uso de la calculadora, a la vez que muestran su nivel de desarrollo en las competencias: resolución de problemas de manera autónoma, comunicación de información matemática, validación de procedimientos y resultados, y manejo de técnicas con eficiencia, consideradas en el Perfil de Egreso de Educación Básica.

Para esta Tercera Olimpiada Estatal “Jugando con las Matemáticas” en Educación Primaria y Secundaria, se ha decidido arrancar desde el inicio del ciclo escolar 2015- 2016, con la convocatoria y las actividades relacionadas con la resolución de problemas que se proponen en este Cuadernillo de Entrenamiento. Los estudiantes podrán participar en la categoría y en las etapas que les correspondan de acuerdo con las bases establecidas en dicha convocatoria. Pensando en apoyar a los profesores para la preparación de sus estudiantes que participarán en los distintos momentos de la Olimpiada, se ha elaborado este Cuadernillo de Entrenamiento, en él, se proponen problemas similares a los que los alumnos enfrentarán en cada una de las etapas del concurso. Es importante que el maestro dedique un tiempo exclusivo para el trabajo con los alumnos usando el problemario. Se recomienda destinar al menos una hora a la semana. La metodología de trabajo sugerida es la misma que se propone en los programas oficiales de la SEP del 2011 correspondientes a la asignatura de Matemáticas en Educación Básica. En un ambiente de confianza creado por el maestro, los alumnos deberán abordar los problemas con las herramientas personales de que disponen e intentar encontrar en cada problema, al menos una solución sin el uso de la calculadora, para confrontar posteriormente con el resto de sus compañeros los resultados a los que lleguen, justificando y argumentando paso a paso cada una de las respuestas dadas a los cuestionamientos que se les plantean. Con la finalidad de favorecer la consistencia y claridad en la argumentación que hagan los alumnos, es importante que el profesor les solicite escribir todas las ideas que se les ocurran durante el proceso de resolución, independientemente de si los llevaron o no a la solución final. El profesor previamente deberá resolver los problemas que propondrá en la sesión de trabajo o revisar las soluciones que se proponen en este problemario y presentar al menos una solución en el caso de que los alumnos no logren encontrar alguna. Además, es necesario que durante la confrontación de soluciones, organice los diferentes resultados a los que arriben sus estudiantes, aproveche el momento para hacer las precisiones convenientes en cuanto a conceptos, definiciones o repaso de algoritmos que hayan sido necesarios en la resolución o representado alguna dificultad para los estudiantes. Los criterios de evaluación son una propuesta para dar una idea de cómo puede dividirse el proceso de solución, otorgando puntos a cada avance parcial.

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JUSTIFICACIÓN

La 3ª Olimpiada Estatal “Jugando con las Matemáticas” en Educación Primaria y Secundaria (OEJMEPS) es una iniciativa de la Secretaría de Educación en Tamaulipas que busca promover el desarrollo de competencias matemáticas y favorecer el gusto e interés por las matemáticas en los alumnos de educación básica de la entidad, para elevar el rendimiento escolar, considerando los resultados de la Evaluación Nacional y el Informe del Programa Internacional para la Evaluación de Estudiantes (PISA). La 3ª OEJMEPS por lo tanto, desarrolla competencias para entender y resolver problemas a partir de la aplicación del conocimiento en alumnos de primero, segundo y tercer grado de secundaria, a través de exámenes que son aplicados en cada una de sus cinco etapas (de escuela, de zona, de sector – modalidad, Regional y estatal) con el apoyo de problemarios elaborados por el Equipo de la Coordinación Estatal del Programa para la Enseñanza de las Matemáticas. La evaluación a diferencia de otras acciones emprendidas para este fin, toma en cuenta el avance logrado y el grado de desarrollo de las competencias matemáticas mostradas en los procedimientos de solución. La finalidad del problemario no es seleccionar al o los alumnos más competentes, esa función le corresponde al examen de la Etapa de Escuela y será gradual con respecto a los problemas que se apliquen, previa selección de los mismos. El objetivo es compartir con los docentes, el tipo de problemas utilizados como parte de la preparación –entrenamiento, en el caso de las olimpiadas– de los alumnos, recopilando problemas de los exámenes de otras olimpiadas, que aunados a los aportes de la Internet, permitirán crear un banco. El problemario está enfocado 100% al entrenamiento de los alumnos que participarán en la 3ª Olimpiada Estatal “Jugando con las Matemáticas” en Educación Secundaria.

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Estimados alumnos y alumnas: Cuando practicas un deporte y quieres llegar a destacar en él, entrenas constantemente para llegar a ser el mejor. Por ejemplo, para jugar bien al fútbol, es importante saber recibir el balón, dar pases correctamente y anotar goles. Con las matemáticas ocurre algo muy similar: para poder resolver problemas, algo que te puede ayudar de manera significativa es seguir el proceso de matematización, que consiste de cinco pasos sencillos:

1. Identificar un problema de tu entorno que pueda ser tratado como un problema matemático, desde situaciones sencillas, como por ejemplo, medir un objeto, ver cuánto cabe en él, hasta saber calcular el precio de un producto si se aplica un porcentaje de descuento.

2. Identificar el conocimiento matemático necesario para resolver el problema, comenzando por leer bien el

problema para comprender de qué o de quién se habla y saber qué operaciones necesitas hacer para resolverlo.

3. Formular un modelo matemático que represente el problema, que pueden ser dibujos, barras, gráficas,

fórmulas, etc., en donde se ilustre la información obtenida del problema.

4. Resolver el problema utilizando fórmulas, procedimientos o métodos que ya conoces y que te pueden ayudar a dar solución, planteando varias estrategias diferentes para resolverlo.

5. Interpretar la solución del problema en tu vida cotidiana escribiendo la respuesta siempre como una oración

completa donde expreses el resultado obtenido, para que cualquier persona que lo vea lo pueda entender claramente.

Tomando en cuenta lo anterior, la Secretaría de Educación de Tamaulipas te ofrece el Cuadernillo de Entrenamiento para secundaria de matemáticas, el cual está intregrado por una serie de desafíos matemáticos que te servirán de apoyo para fortalecer tus habilidades y destrezas en dicha asignatura. Te invitamos a que encuentres en este cuadernillo una forma sencilla y agradable para identificar tus debilidades y fortalezas y potencializar tus habilidades matemáticas. Estimados docentes y padres de familia: Los retos actuales en el ámbito educativo requieren la implementación de nuevas estrategias que logren formar a los estudiantes como seres capaces de enfrentar y responder a los problemas de la vida actual, y por lo tanto, ante el mundo que los rodea. La Secretaría de Educación de Tamaulipas considera importante que el fortalecer las habilidades y conocimientos matemáticos ayudará a los alumnos a que se interesen en buscar la forma de resolver los desafíos que se les plantean, compartiendo sus ideas, reflexionando, mostrando una actitud de gusto por aprender los contenidos matemáticos, experimentando en su entorno escolar con la guía adecuada de los docentes y dentro del entorno familiar, ya que a través de éstos los alumnos pueden reafirmar sus conocimientos, no sólo en el área de matemáticas, sino en todas las asignaturas, fomentando con ello un crecimiento académico y personal. Por tal motivo, se diseñó el Cuadernillo de Entrenamiento para el Desarrollo de Habilidades Matemáticas, como una herramienta de acompañamiento y apoyo para que los alumnos refuercen sus habilidades y conocimientos matemáticos a partir del trabajo conjunto entre ustedes: los docentes detectando las áreas que es necesario fortalecer en sus alumnos, y los padres de familia dando seguimiento a los avances de sus hijos. No cabe más que recordarles que para la implementación de este recurso, y para seguir fomentando el gusto por las matemáticas en nuestros alumnos e hijos, es fundamental la participación y compromiso de ustedes, de modo que continuemos haciendo Todo por Tamaulipas.

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Instructivo De Procedimientos Para La Aplicación Y Evaluación De Los Exámenes

a) El examen que se aplicará en cada una de las etapas consta de cinco problemas y se podrá resolver

en hasta 90 minutos.

b) Cada problema tendrá un valor de cinco puntos, distribuidos de la siguiente manera: uno o dos puntos por el resultado correcto del problema y de tres a cinco puntos, por los procedimientos de

solución utilizados; en total, cinco puntos por problema. Los puntos se asignarán de acuerdo con los resultados parciales, el avance logrado y el grado de desarrollo de las competencias matemáticas

mostradas en sus procedimientos de solución y tomando como base los criterios de evaluación de cada problema del examen, mismos que serán definidos antes de la aplicación.

c) Se utilizará un código de registro como identificador del examen de cada alumno, asignado en el

momento de la inscripción en la etapa correspondiente; por lo tanto, los evaluadores no conocerán la identidad del alumno durante el ejercicio.

d) Los problemas del examen deberán ser evaluados por un jurado integrado al menos por cinco profesores destacados en la asignatura.

e) Cada uno de los miembros del jurado evaluará un máximo de dos problemas y cada problema

deberá ser evaluado al menos por dos jueces. Por ejemplo, si se dispone del mínimo de jueces (5) y los llamamos A, B, C, D y E, los cinco problemas del examen pueden ser evaluados así: juez A: problemas 1 y 2; juez B: problemas 2 y 3; juez C: problemas 3 y 4; juez D: problemas 4 y 5 y juez

E: problemas 5 y 1.

f) Los alumnos concursantes podrán utilizar lápiz, borrador, sacapuntas, juego de geometría y hojas

blancas, pero no calculadora al resolver el examen. Los dibujos de los problemas pueden no estar a escala, por lo que se pide considerar los datos que se

proporcionan en cada caso.

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ACERTIJOS Te presento una serie de acertijos que deberás copiar en tu cuaderno, las imágenes las puedes imprimir para ilustrar tus acertijos, ya resueltos se revisarán y ganarás puntos de clase.

1. ¿Puedes encontrar dos paraguas iguales en el siguiente dibujo?

2. Trata de realizar la siguiente figura con un solo trazo sin despegar el lápiz del papel.

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3. "Un hombre quiere cruzar un río. Lleva consigo un lobo, una oveja y una lechuga.

Hay una barca, pero solo puede llevar al hombre y una sola cosa más. Si el hombre no está, el lobo se come a la oveja. Y la oveja se come la lechuga

¿Cómo puede cruzar el río?

4. Estos corazones están formados por cuadrados de diferentes tamaños, ¿cuántos cuadrados tiene cada corazón y cual tiene más?

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5. La herencia de 17 camellos.

Un árabe dejó al morir a sus tres hijos una herencia de 17 hermosos camellos, especificando

que habían de repartirla de la siguiente manera: al mayor la mitad de los camellos, al mediano la tercera parte, y al menor la novena parte. Los jóvenes herederos estaban desesperados, ya que evidentemente no podían repartir los 17 camellos de esta manera sin la colaboración del

carnicero. Buscaron finalmente los consejos de un anciano y sabio amigo que prometió su ayuda. Al siguiente día se presentó en la cuadra llevando un camello de su propiedad. Lo juntó

a los 17 y dijo a los hermanos que ya podían proceder al reparto. El mayor se llevó la mitad de los 18, o sea 9, el mediano un tercio de los 18, es decir 6; y el pequeño un noveno de los 18, o sea 2. Cuando ya se hubieron llevado los 17 primeros camellos, el anciano cogió el suyo y se

marchó. ¿Cuál es el truco?

6. Herencia de 39 vacas.

Un padre repartió entre sus cuatro hijos 39 vacas. Al primero quería dejarle la mitad de las vacas, al segundo la cuarta parte, al tercero la octava parte y al cuarto la décima parte. No

sabía cómo hacerlo hasta que un vecino le prestó una vaca más; con 40 vacas pudo dar al primero 20, al segundo 10, al tercero 5 y al cuarto 4, y devolvió la vaca al vecino. ¿Lo hizo bien? ¿Podrías explicar qué ocurre?

7. Los terrones y el azúcar.

Se tienen tres tazas de café y catorce terrones de azúcar. ¿Cómo endulzar las tres tazas empleando un número impar de terrones en cada una?

Respuestas a los de pensamiento lateral.

LA HERENCIA DE 17 CAMELLOS. La suma de los porcentajes de la herencia es 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 por lo que

al hacer el reparto de los 35 caballos habrían sobrado 1/18 de estos, que es el equivalente a un caballo entero y parte de otro.

Esta parte incompleta de caballo es la que se reparte de más entre los hermanos para que se puedan llevar caballos enteros, y el

otro caballo de sobra junto con el del matemático son los dos caballos que se lleva este.

HERENCIA DE 39 VACAS. Similar al anterior: ½ + ¼ + 1/8 + 1/10 ≠1

LOS TERRONES Y EL AZÚCAR. Por ejemplo: poniendo un terrón en cada taza. En ningún

momento se dice que haya que utilizar todos los terrones.

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El número mágico 153

En el evangelio de San Juan aparece el número 153 como el número de peces que cogieron los discípulos

al echar la red, siguiendo el consejo de Jesús y tras una noche en la que no habían pescado nada. Dicho

número ha sido considerado como número mágico y tiene algunas propiedades como las siguientes:

-Es un número triangular, ya que: 1 + 2+ 3 +… + 16 + 17 = 153

La suma de los factoriales de los cinco primeros números naturales es:

1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 +2 + 6 + 24 + 120 = 153

1374 --- 435 --- 216 --- 225 --- 141 --- 66 ---432 --- 99 --- 1458 --- 702 ---351 --- 153

La suma de los cubos de sus tres cifras también es 153, pues 1 + 125 + 27 = 153de 3 y sumamos los

cubos de sus cifras, y al resultado le aplicamos la misma operación y así sucesivamente llegamos siempre

al número 153. Verbigracia:

Por eso se dice también que el número 153 es un agujero negro, respecto de la suma de los cubos de sus cifras, ya que al llegar a él no se puede salir ya.

La sabiduría del gran mago El gran mago me ordenó:

Piensa un número cualquiera. Súmale 3

Multiplica el resultado por 2 Réstale 8 Divide entre 2

Me preguntó: ¿Cuánto te da? Yo le contesté: Me da 54

Y él me dijo, inmediatamente: – El número que cogiste era 55

¿En qué consiste el truco del gran mago?

En este ejemplo, la respuesta, gracias al álgebra, es fácil de entender por nuestros alumnos. Al traducir las órdenes

del gran mago: Piensa un número x

x+3 2(x+3)

(2x+6)-8 2x–2 x–1

Queda claro que el número inicial x es uno más que el final.

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Por los alrededores de este cementerio vaga

el fantasma de un soldado. ¿Lo encuentras?

¿Puedes encontrar al hombre escondido en

este paisaje?

Fíjate bien en las piezas que conforman este rompecabezas.

¿Qué imagen obtienes?

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El alcaide de una cárcel informa que dejara salir de la prisión a una persona al azar para

celebrar que hace 25 años que es alcaide.

Eligen a un hombre y le dicen que quedara libre si saca de dentro de una caja una bola blanca,

habiendo dentro 9 bolas negras y solo 1 blanca.

El prisionero se entera por un chivatazo que el alcaide pondrá todas las bolas de color negro,

al día siguiente le hace el juego, y el prisionero sale en libertad.

¿Cómo ha conseguido salir de la cárcel si todas las bolas eran negras?

El prisionero al sacar la bola, la mira, la guarda sin que nadie la vea y dice que es blanca. Enséñala, dice el alcaide, a lo que le responde: No es necesario, mira el resto de las bolas, la blanca no está en la caja, es la mía.

Tres hermanos se reparten la herencia de su padre que está formada por 35 caballos y en el testamento el padre dejo escrito que el mayor se quedara con la mitad de la herencia, el mediano con la tercera parte y el más pequeño con la novena parte.

Como las divisiones no eran exactas estos no se ponían de acuerdo, por lo que decidieron

consultar con un viejo matemático que les propuso lo siguiente: Puesto que 35 caballos no se pueden dividir exactamente por la mitad, ni por la tercera parte

ni por la novena, yo os regalo el mío, ahora tenéis 36 caballos por lo que los tres saldréis ganando. Tú por ser el mayor te llevaras la mitad de 36, es decir 18 caballos. Tú por ser el

mediano la tercera parte, 12 caballos. Y tú por ser el pequeño según los deseos de tu padre, la novena parte, 4 caballos.

Ahora ya tenéis los tres vuestra herencia, y como 18+12+4=34 ahora sobran dos caballos, por lo que yo recupero el mío y me quedo también con el otro por resolver vuestro problema.

¿Cómo es esto posible?

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PROBLEMARIO Este problemario está enfocado 100 % al entrenamiento de los alumnos que participarán en

la 3ª Olimpiada Estatal “Jugando con las Matemáticas” en Educación Secundaria.

Lea atentamente los desafíos matemáticos siguientes, y conteste las situaciones que se plantean.

1. En la figura BC = 2AB; el triángulo ABE es un triángulo isósceles de 72 cm2 de área y

BCDE es un rectángulo. Calcula el área del cuadrilátero ABDE.

2. Sea P un punto en el interior del rectángulo ABCD. Si PA = 3, PC = 5 y PD = 4, ¿cuál es el valor de PB?

3. Seis bolsas de canicas contienen 18, 19, 21, 23, 25 y 34 canicas, respectivamente. Cinco de las bolsas contienen canicas azules y la otra tiene canicas rojas. Juan toma tres de

las bolsas y Jorge toma dos bolsas de las otras. Sólo se quedó la bolsa con canicas rojas. Si Juan obtuvo el doble de canicas que Jorge, ¿cuántas canicas rojas hay?

4. Se lanzan tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres números de las caras hacia arriba formen una progresión aritmética con diferencia común mayor que cero?

5. Las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo está en progresión

aritmética. Si el ángulo menor mide 100⁰ grados y el ángulo mayor mide 140⁰, entonces ¿Cuál es el número de lados del polígono?

6. En el siguiente hexágono regular, el punto O es su centro. ¿Cuáles la razón de las áreas del hexágono y de la región sombreada?

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7. ¿Cuál es el último dígito de 32015?

8. El volumen de cierto paralelepípedo rectangular es 8, el área de la superficie es 32. Si sabemos que sus dimensiones están en progresión geométrica, ¿cuál es la suma de las aristas del paralelepípedo?

9. Se tienen cuadrados de 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3 y 4 x 4. ¿Cuál es la menor cantidad de cuadrados que se deben usar para completar un cuadrado, usando al menos uno de cada uno?

10. ¿De cuántas formas se puede escribir 𝟏

𝟏𝟒 en la forma

𝒂

𝟕+

𝒃

𝟐 con a y b enteros?

11. Se juntan un cuadrado y un triángulo equilátero para formar una figura como la mostrada. ¿Cuánto mide el ángulo ACE?

12. Supón que los puntos están a una distancia de 1 cm, horizontal y verticalmente. Calcula la suma de las áreas de todos los triángulos que se pueden formar siguiendo las líneas

que están marcadas en la figura.

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13. Encuentra todos los números entre 50 y 150 tales que si les restas 3 y luego los divides

entre 5, tienen residuo cero y el cociente es múltiplo de 7.

14. Aitor, Berta y César van sentados en los asientos traseros de un taxi. En el siguiente esquema se presenta una de las seis maneras distintas en las que pueden sentarse Aitor,

Berta y César. Completa en el esquema las otras cinco maneras:

15. Muestra la siguiente figura, dividimos el cuadrado en 2 rectángulos iguales. Cada uno

de estos rectángulos mide 90 centímetros de perímetro. ¿Cuánto mide el lado del

cuadrado?

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Resuelve el problema, expresando las operaciones que haces y la solución. Operaciones:

16. Observemos las igualdades: 1 x 2 x 3 x 4 = 24 = 52 - 1 2 x 3 x 4 x 5 = 120 = 112 - 1 3 x 4 x 5 x 6 = 360 = 192 – 1

¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos es siempre un cuadrado perfecto menos 1?

17. Un rectángulo ABCD es dividido en cuatro rectángulos como se muestra en la figura. Las

áreas de tres de ellos son las que están escritas dentro (no se conoce el área del cuarto

rectángulo), ¿cuánto mide el área del rectángulo ABCD?

18. La profesora de Gustavo les da a sus alumnos las dos siguientes igualdades.

42 +35 = 101 - ♥ y ♥ + Ф = 107

¿Que valor corresponde Ф?

19. La edad promedio de los miembros de la familia Quintero es de 18 años. Si sabemos que

el padre tiene 38 años y que el promedio de las edades de los miembros de la familia

sin contar a él es de 14 años.

¿Cuántos miembros tienen la familia Quintero?

20. Sobre el segmento AB, cuya longitud es de 42 cm, se construye un triángulo equilátero

y un cuadrado que tienen el mismo perímetro.

¿Cuánto vale la diferencia entre el lado del triángulo y el lado del cuadrado?

21. Los ángulos de un triángulo están en proporción 2:3:4:

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¿A qué es igual la suma de los dos ángulos menores?

22. Se escriben los dígitos 1, 2, 3, 4 en cuatro papelitos que se guardan en una caja. Si dos

de los papelitos se extraen al azar: ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea múltiplo de 3?

23. Usando un reloj de arena de siete minutos y otro de once minutos.

¿Cuál es la manera más sencilla de medir quince minutos necesarios para hervir un huevo?

24. Silvia recorta los cuadraditos de la figura y arma con todos ellos el cuadrado más grande

posible. ¿Cuántos cuadritos sobran?

25. Octavio espera impaciente la llegada de sus tres amigos. Su mamá va a hornear galletas y quiere que le ayuden. Cuando llegan, van directamente a la cocina, donde la mamá de

Octavio les indica que la primera actividad es leer la receta con atención para saber cuáles son los ingredientes y la cantidad indicada para cocinar las galletas.

Galletas de nuez con chocolate Ingredientes para preparar 80 galletas:

4 yemas de huevo

1 lata de leche condensada

200 gms. de nuez finamente picada

1 cucharada de vainilla

400 gms. de mantequilla

3 1

2tazas de harina cernida

1

2taza de azúcar glass

1

4de taza de chocolate para repostería

Modo de preparación: 1. Bata la mantequilla hasta que acreme 2. Añada la leche, la nuez, la vainilla, las yemas y la harina

3. Extienda la pasta hasta que quede de 1

2cm. de grosor y corte las galletas a su gusto.

4. Colóquelas en una charola y hornee a 200° durante 20 minutos 5. Deje enfriar y decórelas con azúcar glass y chocolate derretido

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Cuando terminan de leer, inmediatamente quieren empezar a preparar las galletas, pero les

gustaría hornear 20 para cada uno, y 20 para la mamá de Octavio. Sin embargo, las cantidades que aparecen en la receta son para 80 galletas y de acuerdo con sus cálculos ellos tendrían

que hacer más de 80. Así que deciden aumentar la cantidad de cada uno de los ingredientes de la receta. ¿Qué harías para calcular las cantidades necesarias de cada ingrediente para preparar 100 galletas?

26. Dos amigos están de vacaciones, por lo que decidieron dar un paseo en “La pista”, un

circuito para bicicletas que mide 4000 metros de largo. Si Daniela avanza 500 metros

en un minuto y Octavio 400 en el mismo tiempo y, además, Daniela decide darle a Octavio una ventaja de 300 metros, ¿quién de los dos llegará primero y por cuántos metros le ganará a su contrincante?

27. Observen que al calcular 25 el número que se obtiene es 32, que termina en 2. Al calcular 210 el número que se obtiene es 1 024, y este número termina en 4.

¿En qué cifra termina 225?

¿En qué cifra termina 260?

¿En qué cifra termina 21999?

¿En qué cifra termina 22015?

28. ¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es de 58 metros, si

queremos que su área sea de 208 m2?

Responde: Si el largo del rectángulo se representa por la letra: a Y el ancho se representa por la letra: b Escribe la expresión que representa el perímetro, utilizando el dato de que el perímetro del rectángulo es igual a 58 metros. _____________ Escribe la fórmula para encontrar el área del rectángulo: ___________________ Al despejar b de la expresión del perímetro, obtenemos: _____________________ Sustituyendo el despeje de b, en la expresión del área se obtiene que el área depende de la variable a, escribe la expresión que resulta.___________________ Calcular las dimensiones del rectángulo: __________________________ Efectúa la multiplicación indicada: ______________________

29. Queremos etiquetar 250 latas de conserva con 95 mm de diámetro y 18.7 mm de altura, ¿cuántos cm2 de papel se necesitan para cubrir el área lateral de la lata de forma cilíndrica?

30. Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15

frutos. Calcular:

La producción actual de la huerta.

La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.

La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.

¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima?

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SOLUCIONES A LAS SITUACIONES DESAFIANTES DEL CUADERNILO DE

ENTRENAMIENTO PARA SECUNDARIA

DESAFÍO No. 1

Respuesta.

El área del triángulo ABE es IABEI = 𝐴𝐵 . 𝐵𝐸

2 = 72 cm2. Como es triángulo isósceles tenemos que AB =

12 cm, y de esto a su vez que DE = 24 cm, con lo cual obtenemos que el área del triángulo BDE es IBDEI

= 𝐴𝐵 . 𝐷𝐸

2 = 144 cm2, por lo tanto, el área del cuadrilátero ABDE es 216 cm2:

DESAFÍO No. 2

Respuesta.

Sean Q y R los pies de las perpendiculares trazadas desde P hacia los segmentos AD y BC,

respectivamente. Utilizando el Teorema de Pitágoras obtenemos que PA2 - PD2 = QA2 – QD2 = RB2 -

RC2 = PB2 - PC2:

Sea x = PB, entonces, de la expresión anterior tenemos que 32 - 42 = x2 - 52; de aquí tenemos x2 = 18.

Por lo tanto, x = PB = 3 √2.

DESAFÍO No. 3

Respuesta.

Juan obtuvo el doble de canicas que Jorge, entonces la cantidad de canicas que se tomaron debe de ser

divisible por 3; es decir, la diferencia entre 140 y el número de canicas rojas debe ser divisible por 3. De

los seis números posibles sólo 23 tiene esta propiedad. Entonces, hay 23 canicas rojas, dejando

19 + 25 + 34 = 78 canicas para Juan y 18 + 21 = 39 para Jorge.

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DESAFÍO No. 4

Respuesta.

La diferencia debe ser mayor que cero, por lo que los números son diferentes entre sí. Así, sólo tenemos

que considerar ternas de la forma (x; x+a; x+2a), y considerar sus permutaciones. Si a = 1, x = 1; 2; 3;

4. Si a = 2, x = 1; 2.

Finalmente, si a ≥ 3, como x ≥ 1 x + 2a ≥ 7. Entonces, sólo hay 6 ternas con sus seis respectivas

permutaciones, por lo tanto la probabilidad es 62

63 = 1

6

DESAFÍO No. 5

Respuesta.

Sea n el número de lados del polígono. La suma de los ángulos interiores de un polígono es (n-2) (180)

grados, y la suma de n términos de una progresión aritmética es 𝑛

2 veces la suma del primero y el último

término. Entonces, (n - 2) (180) = 𝑛

2 (140+100):

Despejando n obtenemos que n = 6:

DESAFÍO No. 6

Respuesta.

Sea a la medida del lado del hexágono, entonces el área del cuadrado es a2, y la del hexágono es

semiperímetro por apotema igual a 6𝑎

2∙

𝑎 √3

2=

3𝑎 √3

2 , entonces la razón es

3 √3

2.

DESAFÍO No. 7

Respuesta.

Notemos que 31 termina en 3, 32 termina en 9, 33 termina en 7, 34 termina en

1, y de aquí en adelante se repite el ciclo. Como el periodo del ciclo es 4 y el múltiplo de 4 más cercano

es 2012, entonces, 32015 termina en 7.

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DESAFÍO No. 8

Respuesta.

Digamos que las aristas miden a, ar, ar2. Entonces, el volumen del paralelepípedo es a ּּ•ar•ar2=8, de

donde (ar)3 = 8 y ar = 2. Por otro lado, la superficie es

2a2r + 2a2r2 + 2a2r3 = 2.ar(a+ar+ar2) = 4(a+ar+ar2) = 32:

Pero justamente 4(a+ar+ar2) es la suma de las aristas del paralelepípedo.

DESAFÍO No. 9

Respuesta

Con uno de 3x3, tres de 2x2 y cuatro de 1x1 (ocho en total) se hace un cuadrado de 5x5. Debe de haber

exactamente un cuadrado de 3x3, si hay dos tendrá que haber por lo menos 9 cuadrados más. Debe de

haber exactamente tres de 2x2 porque si hay más aumenta la dimensión y también el número de

cuadrados usados.

DESAFÍO No. 10

La igualdad 1

14=

𝑎

7 +

𝑏

2 es equivalente a la igualdad 2a + 7b = 1. Es fácil ver que a = - 3 + 7k y

b = 1 - 2k son solución para cualquier entero k.

DESAFÍO No. 11

Respuesta.

Los ángulos del cuadrado miden 90⁰

Los ángulos del triángulo equilátero miden 60⁰

Por lo que el ángulo ABC = 90⁰ + 60⁰ = 150⁰

Como los lados del cuadrado y del triángulo miden lo mismo, el triángulo ABC es isósceles.

El ángulo ACB es igual al ángulo BAC, que miden 180⁰ - 150⁰ = 30⁰ entre 2, lo que da 15⁰ cada uno.

El ángulo DCE mide 45⁰, que es la mitad del ángulo recto.

El ángulo ACE = 90⁰ - BCA – DCE = 90⁰ - 15⁰ - 45⁰ = 30⁰.

Criterio de evaluación: 1 puntos si dice que el ángulo ABC mide 150⁰, 1 punto si dice que el triángulo

ABC es isósceles, 1 puntos por decir que el ángulo ACB mide 15⁰, 1 punto por indicar que el ángulo DEC

mide 45⁰ y 1 punto por el resultado correcto.

20

DESAFÍO No. 12

Respuesta.

Todos los triángulos que se forman tienen la misma altura a = 3 cm

Separamos los triángulos según la medida de la base:

Triángulo con base 1 cm hay 5, área = 1 x 3/2 = 1.5 cm2, son cinco, 5 x 1.5 = 7.5 cm2 Triángulo con base 2 cm hay 4, área = 2 x 3/2 = 3 cm2, son cuatro, 4 x 3 = 12 cm2 Triángulo con base 3 cm hay 3. área = 3 x 3/2 = 4.5 cm2, son tres, 3 x 4.5 = 13.5 cm2 Triángulo con base 4 cm hay 2, área = 4 x 3/2 = 6 cm2, son dos, 2 x 6 = 12 cm2 Triángulo con base 5 cm hay 1, área = 5 x3/2 = 7.5 = 7.5 cm2, es uno, 1 x 7.5 = 7.5 cm2 Suma de todas las áreas = 7.5 + 12 + 13.5 + 12 + 7.5 = 52.5 cm2

Criterio de evaluación: 1 punto por observar que la altura es constante y la medida de la base cambia,

0.5 puntos por cada una de las áreas de los cinco casos mostrados y 1.5 puntos por el resultado correcto.

DESAFÍO No.13

Respuesta.

Los números buscados deben ser múltiplos de 5, aumentados en 3 unidades, para que al restarles 3 y

dividirlos por 5, el residuo sea cero.

Los números entre 50 y 150 que cumplen esta condición son: 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83, 88, 93, 98, 103,

108, 113, 118, 123, 128, 133, 138, 143 y 148.

Podemos probar con estos números cuáles cocientes son múltiplos de 7:

n 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98

n - 3 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

(n – 3)/5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

n 103 108 113 118 123 128 133 138 143 148

n - 3 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145

15(n – 3)/5 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Los múltiplos de 7 son 14, 21 y 28. Por lo que 73, 108 y 143 son los números entre 50 y 150 que

restando 3 y dividido exactamente entre 5, el cociente es múltiplo de 7.

21

DESAFÍO No. 14

Respuesta.

Se indican correctamente las 5 formas de sentarse Aitor, Berta y César en el taxi.

Criterios de evaluación: 2 puntos por hacer el diagrama de las permutaciones, 3 puntos por la

respuesta correcta.

DESAFÍO No. 15

Respuesta.

Existen varias posibilidades de respuesta correcta:

1. 30 cm y resuelve el problema de forma algebraica.

2. La suma de los dos lados pequeños del rectángulo es igual al lado grande de ese rectángulo y

también al lado del cuadrado. Por lo tanto, el perímetro del rectángulo es igual a 3 veces el lado

del cuadrado. Es decir, 90: 3 = 30 cm.

Ejemplo: 1 lado + 1 lado + ½ lado + ½ lado = 3 lados 3 lados = 90 cm y 1 lado = 30 cm

3. 30 cm y sigue cualquier otro procedimiento bien razonado y claro

Criterios de evaluación: 2 puntos por identificar que dos lados pequeños es igual al lado del cuadrado,

2 puntos por identificar que hay lados en común y que al final quedan 3 lados, 1 punto por dar la respuesta

correcta.

DESAFÍO No. 16

Solución. El producto de cuatro números enteros consecutivos se puede expresar así: A (a+1) (a+2) (a+3) con a entero. Probar que esto es P2-1, con P entero, parece engorroso. Si M es el centro de los cuatro enteros, su producto es: (M-3/2)(M-1/2)(M+1/2)(M+3/2) = (M2-9/4) (M2-1/4) = (M2-5/4)2-1 y es fácil ver que M2- 5/4 es un entero. Por ejemplo así: M2-5/4 = (x+1/2)2-5/4 = x2+1/4+x-5/4 = x2+x-1.

Criterios de evaluación: 2 puntos por expresar el producto de los cuatro números enteros, 2 puntos

por experimentar con otros números y sustituir con una literal cualquiera., 1 punto por concluir en una

ecuación cuadrática.

22

DESAFÍO No. 17

Respuesta

Designemos con a, b, c y d las dimensiones de los rectángulos en que está dividido el rectángulo ABCD

del cual se quiere calcular el área.

Para ello hay que investigar las medidas a, b, c y d sabiendo que:

a x d = 20 cm2 b x d = 30 cm2 a x c = 12 cm2 b x c =?

Si designamos con x el área del rectángulo de dimensiones b x d, si tenemos que:

a x d = 20 cm² b x d = 30 cm² y a x c = 12 cm² b x c = x

Observemos que 𝒂×𝒅

𝒃×𝒅=

𝒂

𝒃× 𝟏 =

𝒂

𝒃 y

𝒂×𝒄

𝒃×𝒄=

𝒂

𝒃× 𝟏 =

𝒂

𝒃

De aquí que 𝒂×𝒅

𝒃×𝒅=

𝒂×𝒄

𝒃×𝒄 entonces

𝟐𝟎 𝒄𝒎𝟐

𝟑𝟎𝒄𝒎𝟐 =𝟏𝟐𝒄𝒎𝟐

𝒙.

Así que 𝒙 =𝟑𝟎𝒄𝒎𝟐×𝟏𝟐𝒄𝒎𝟐

𝟐𝟎𝒄𝒎𝟐 = 𝟏𝟖𝒄𝒎𝟐.

De donde el área del rectángulo ABCD es igual a

20 cm2 + 30 cm2 + 12 cm2 + 18 cm2 = 80 cm2.

Criterios de evaluación: 2 puntos por calcular el área faltante del rectángulo ABCD y justificar

el procedimiento de solución pero sin llegar a la respuesta correcta, 2 puntos por llegar a la

respuesta correcta, 1 punto por presentar las operaciones realizadas con claridad, orden y limpieza.

23

DESAFÍO No. 18

Tomemos la expresión:

42 + 35 = 101 - ♥

Realizando la suma del lado izquierdo tenemos que:

77 = 101 - ♥

Ya sea por métodos algebraicos o calculando cuánto le falta al 77 para 101, podemos ver que: ♥ = 24

Usando el valor obtenido, la segunda expresión queda de la siguiente manera 24 + Ф = 107

Ya sea por métodos algebraicos o calculando cuánto le falta al 24 para 107, podemos ver que:

Ф = 83

Criterios de evaluación: 2 puntos por aplicar un método algebraico, calcular cuánto vale ♥ y

justificar el procedimiento de solución pero sin llegar a la respuesta correcta, 2 puntos por la

respuesta correcta, 1 punto por presentar las operaciones realizadas con claridad, orden y limpieza.

DESAFÍO No.19

SOLUCIÓN:

Tomando a x como el número de miembros de la familia, a y como el total de años entre todos:

Considerando a todos los miembros de la familia, tenemos: y = 18x

Sin contar al papá, tenemos entonces: 14(x – 1) = y – 38

Sustituyendo el valor de y, obtenemos: 14x – 14 = 18x – 38

Despejando x, llegamos a: 18x – 14x = 38 – 14, 4x = 24, x = 6

Por lo tanto, la familia consta de un total de 6 miembros.

Se comprueba: (6) (18) = 108 años entre todos y sin el papá: (5) (14) = 70 años, más los 38 del

papá da el total de 108 años.

Criterios de evaluación: 2 puntos por plantear la ecuación y = 18x y justificar el procedimiento

de solución pero sin llegar a la respuesta correcta, 2 puntos por presentar la respuesta correcta, 1

punto por presentar las operaciones realizadas con claridad, orden y limpieza.

24

DESAFÍO No. 20

SOLUCIÓN:

Denotemos por t la medida del triángulo y por c la medida del lado del cuadrado.

Tenemos que t+c=42 y que 3t=4c

Luego, t=42–c y 3(42–c)=4c

De donde c=18 cm. Sustituyendo el valor de c

Obtenemos que t = 42 – 18 = 24 cm

Por lo tanto, la diferencia entre el lado del triángulo y el lado del cuadrado es

24 – 18 = 6 cm.

Criterios de evaluación: 2 puntos por calcular cuánto vale el lado del cuadrado (c) y justificar el

procedimiento de solución pero sin llegar a la respuesta correcta, 2 puntos por llegar a la respuesta

correcta, 1 punto por presentar las operaciones realizadas con claridad, orden y limpieza.

DESAFÍO No. 21

SOLUCIÓN:

Como tenemos que los ángulos de un triángulo están en proporción 2:3:4, supongamos que éstos tienen

medidas 2x , 3x y 4x . Lo que nosotros sabemos es que la suma de estos tres ángulos debe ser igual a

180º. Así que:

2 3 4 180

9 180

18020º

9

x x x

x

x

Esto quiere decir que los ángulos del triángulo son de 40º, 60º y 80º.

Finalmente, como nos preguntan la suma de los dos ángulos menores, ésta es igual a 100º.

Criterios de evaluación: 2 puntos por plantear la ecuación 2x + 3x + 4x = 180 y justificar el

procedimiento de solución pero sin llegar a la respuesta correcta, 2 puntos por presenta la

respuesta correcta, 1 punto por presentar las operaciones realizadas con claridad, orden y limpieza.

25

DESAFÍO No. 22

La probabilidad de un evento se calcula dividiendo el número de casos probables entre el número de

casos posibles. En este caso el número de casos posibles se refiere al total de casos en que podemos

obtener utilizando los dígitos 1, 2, 3 y 4, éstos son:

1 + 2 = 3 1 + 3 = 4

1 + 4 = 5 2 + 3 = 5

2 + 4 = 6 3 + 4 = 7

Observemos que tenemos un total de 6 casos posibles, de los cuales sólo dos cumplen que la suma es

múltiplo de 3. Así que la probabilidad es igual a 2

6=

1

3

Criterio de evaluación: Respuesta total: Cinco puntos por justificar el procedimiento de solución del

desafío y respuesta correcta. Respuesta parcial: de 1 a 3 puntos por encontrar los casos que sean

múltiplos de 3 y justificar el procedimiento de solución sin llegar a la respuesta correcta. Respuesta nula:

Cero puntos por no justificar la respuesta y la respuesta incorrecta

DESAFÍO No. 23

Una forma puede ser la siguiente:

Se Ponen a funcionar los 2 relojes de arena al mismo tiempo.

Cuando se acaba la arena del reloj de 7 minutos, en el de 11 aún quedan 4 minutos. Así

que aquí inicia el conteo para los 15 minutos necesarios para cocer el huevo.

Cuando se termina de vaciar la arena del reloj de 11 minutos habrán transcurrido los

primeros 4 minutos de cocción del huevo y para completar los 15 que son necesarios, sólo volteamos este

mismo reloj para que se vacíe y mida los 11 minutos restantes.

Criterio de evaluación: Respuesta total: Cinco puntos por justificar el procedimiento de solución del

desafío y respuesta correcta. Respuesta parcial: de 1 a 3 puntos por encontrar los minutos en cada reloj

que al sumarlos nos den 15 y justificar el procedimiento de solución sin llegar a la respuesta correcta.

Respuesta nula: Cero puntos por no justificar la respuesta y la respuesta incorrecta.

1 7

1 7

1

26

DESAFÍO No. 24

La figura tiene 8 x 5 = 40 cuadritos.

El cuadrado más grande que se puede formar con 40 cuadritos es de 6 x 6 = 36 cuadritos y sobran

cuatro.

Criterio de evaluación: Respuesta total: Cinco puntos por justificar el procedimiento de solución del

desafío y respuesta correcta. Respuesta parcial: de 1 a 3 puntos por calcular la cantidad necesaria de

cuadros para formar la figura que se solicita y justificar el procedimiento de solución sin llegar a la respuesta

correcta. Respuesta nula: Cero puntos por no justificar la respuesta y la respuesta incorrecta.

DESAFÍO No.25

Se puede ir aumentando de 80 en 80 hasta llegar a 400 galletas y dividir entre 4 para obtener las

cantidades para 100 galletas:

Ingredientes Número de galletas

80 160 240 320 400 100

Yemas de huevo 4 8 12 16 20 5

Latas de leche 1 2 3 4 5 1 1

4

Nuez picada (gramos) 200 400 600 800 1000 250

Vainilla (cucharada) 1 2 3 4 5 1 1

4

Mantequilla(gramos) 400 800 1200 1600 2000 500

Harina (tazas) 3 1

2 7 10

1

2 14 17

1

2 4

3

8

Azúcar glass (tazas) 1

2 1 1

1

2 2 2

1

2

5

8

Chocolate (tazas) 1

4

1

2

3

4 1 1

1

4

5

16

Criterio de evaluación: Respuesta total: Cinco puntos por justificar el procedimiento de solución del

desafío y respuesta correcta. Respuesta parcial: de 1 a 3 puntos por calcular la cantidad adecuada de

cada ingrediente para elaborar 100 galletas y justificar el procedimiento de solución sin llegar a la respuesta

correcta. Respuesta nula: Cero puntos por no justificar la respuesta y la respuesta incorrecta.

27

DESAFÍO No. 26

Apoyados en una tabla:

Minutos Metros

Daniela Octavio

0 0 300

1 500 700

2 1000 1100

3 1500 1500

4 2000 1900

5 2500 2300

6 3000 2700

7 3500 3100

8 4000 3500

Se observa que Daniela cruza la meta en 8 minutos y que en ese momento Octavio lleva recorridos 3500

metros por lo que Daniela ganará con una ventaja de 500 metros.

Criterio de evaluación: 2 puntos por calcular el tiempo de Daniela, 1 puntos por calcular el tiempo de

Octavio considerando la ventaja, 1 puntos por calcular la distancia recorrida por Octavio en el momento en

que Daniela cruza la meta, 1 punto por el resultado correcto.

DESAFÍO No. 27

Una estrategia consiste en hacer una lista de las potencias de 2, con lápiz y papel hasta obtener el número

correspondiente a 260. Ahora bien, este procedimiento ya no es adecuado para conocer en qué cifra termina

21999, pero a partir de la lista puedes observar el comportamiento de las potencias.

Como se muestra en la tabla que sigue:

Potencias del número 2.

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212

2 4 8 16 32 64 128

Y se observa la relación entre el exponente y la cifra en que termina la potencia de 2.

Que si el exponente es par entonces el número termina en 4 o en 6, y si es impar el número termina en 8

o en 2. En consecuencia encontrarán que la última cifra al elevar 21999 y 22015 es 2 u 8, y 2 pero aún faltará

encontrar un procedimiento que ayude a saber cuál de las dos es la cifra correcta. O también se da uno

cuenta de que la sucesión de números 2, 4, 8 y 6, en que terminan las potencias de 2, se repite en el

mismo orden y que, por ejemplo, los números 22, 26, 210, etcétera, terminan en 4, por lo que podemos

notar que no es necesario realizar las operaciones para saber en qué cifra terminan 214, 218, 222, ya que se

pueden contar los exponentes de 4 en 4 a partir de 22 para determinar que terminan en 4.

A partir de que se observe las distintas formas que se utilizan para determinar en qué cifra terminan 260,

21999 y 22015 se observa el siguiente procedimiento:

Cuando los exponentes de 2n son múltiplos de 4 (4, 8, 12...) el número que se obtiene termina en 6. Si el

exponente es múltiplo de 4 más 1 (5, 9, 13...) los números terminan en 2. Si el exponente es múltiplo de

28

4 más 2 (6, 10, 14, 18...) entonces los números terminan en 4, y si es múltiplo de 4 más 3 (7, 11, 15, 19,..)

el número termina en 8. A partir de lo anterior, para saber en qué cifra termina 21999 hay que determinar

si 1 999 es de la forma: 4n, 4n + 1, 4n + 2 o 4n + 3.

Se resuelven las cuatro ecuaciones y ver en cuál se obtiene un valor entero de n:

Para ello se puede proceder de varias maneras, por ejemplo, dar valores a n hasta encontrar que: 4 x

499 + 3 = 1 999.

4n = 1 999

4n + 1 = 1 999

4n + 2 = 1 999

4n + 3 = 1 999

Así encontrarán que la última ecuación proporciona

el resultado deseado y, por tanto, concluirán que

n=499.

Termina en 8.

Lo mismo para 22015

4n = 2015

4n + 1 = 2015

4n + 2 = 2015

4n + 3 = 2015

y se encuentra que la última ecuación nos da el

resultado buscado n = 503 4x 503 + 3 = 2015 Por lo tanto la potencia termina en 8.

Como se solicita en qué cifra termina 22015.

Se procede como sigue, 4n + 3 = 2015;

4n = 2015 – 3 4n = 2012 n = 2012

4 n = 503

Criterio de evaluación: 2 puntos por calcular las primera potencias, que sirven de observación (las

potencias de 225 y 260, 1 puntos por hacer la observación que terminan en 2, 4, 8, 6. 1 puntos por calcular

cada uno de los valores de n en la ecuación seleccionada, 1 punto por el resultado correcto.

29

DESAFÍO No. 28

¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es de 58 metros, si queremos que

su área sea de 208 m2?

Si el largo del rectángulo se representa por la letra: a

Y el ancho se representa por la letra: b

Escribe la expresión que representa el perímetro, utilizando el dato de que el perímetro del rectángulo es

igual a 58 metros. 58 = 2 (a + b)

Escribe la fórmula para encontrar el área del rectángulo: A = a x b

Al despejar b de la expresión del perímetro, obtenemos: b = 58 −2𝑎

2

Sustituyendo el despeje de b, en la expresión del área se obtiene que el área depende de la variable a,

escribe la expresión que resulta. b = 𝐴

𝑎 :: b =

208 𝑚2

𝑎

Calcula las dimensiones: 58 ÷ 2 = 29 buscar dos números que sumados del 29 y multiplicados den 208.

Factorizamos 208 = 2x2x2x2x13= 16x13, estos números suman 29: 13 + 16 = 29 y 13 x 16 = 208,

entonces el rectángulo tiene a = 16 y b = 13.

Efectúa la multiplicación indicada. A = a x b o sea A = 16 x 13 = 208

Criterio de evaluación: 2 puntos por anotar las dos fórmulas, 2 puntos por despejar b en ambas fórmulas

y 1 punto por encontrar las dimensiones y efectuar la multiplicación.

DESAFÍO No. 29

r= 95 𝑚𝑚

2 = 47.5 mm se convierte la dimensión en centímetros:

r = 47.5 mm x 1 𝑐𝑚

10 𝑚𝑚 = 4.75 cm

h = 18.7 mm x 1 𝑐𝑚

10 𝑚𝑚= 1.87 𝑐𝑚

Para la etiqueta de una lata, calculamos el área lateral:

𝐴 = 2𝜋(4.75)(1.87) = 55.8 𝑐𝑚2

El área de papel para las 250 latas es:

Ap= 55.8 𝑐𝑚2

𝑙𝑎𝑡𝑎 x 250 latas = 13 952.6 cm2

Criterio de evaluación: Criterio de evaluación: 2 puntos por realizar las conversiones y construir la figura

auxiliar, 1 puntos por calcular el área lateral de la figura, 2 puntos por obtener el resultado correcto.

30

DESAFÍO No. 30

1. La producción actual de la huerta. Producción actual: 25 · 600 = 15.000 frutos.

2. La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.

a. Si se plantan x árboles más, la producción de cada árbol será: 600 − 15 x.

3. La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.

P(x) = (25 +x)·(600 − 15x) = − 15 x2 + 225 x + 1500

4. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la

producción sea máxima?

P′(x) = − 30 x + 225 − 30 x + 225 = 0 x = 7. 5

P′′(x) = − 30 < 0

La producción será máxima si la huerta tiene 25 + 7 = 32 o 25 + 8 = 33 árboles

Criterio de evaluación: 2 puntos por calcular la producción actual y la producción de cada árbol, 1 punto

por plantear la ecuación por plantar más árboles y 2 puntos por calcular la producción máxima.