Cu Adrados Magic Os

7/25/2019 Cu Adrados Magic Os

1/15

1. HISTORIA y CURIOSIDADES DE LOS CUADRADOS MGICOS

Parece que los chinos fueron los primeros en descubrir las curiosas propiedades de loscuadrados mgicos, que ellos llamaban Lo Shu, y, probablemente, fueran tambin susinventores al menos unos cinco siglos antes de nuestra era.

na leyenda e!plica que el primer Lo Shu fue revelado a los hombres dibu"ada en elcapara#$n de una e!tra%a tortuga que emergi$ del r&o Lo, de aqu& su nombre ya que Shuquiere decir r&o.

'n el ( )hing, el clsico libro chino de las *utaciones y de la adivinaci$n, aparece estaimagen del Lo Shu+

imagen del Lo Shu- Lo Shu en cifras modernas-

/ 0

1 2 34 5 6

Los chinos, por tanto, les atribuyeron uncarcter m&stico y cre&an que era un s&mboloque reun&a los principios bsicos queformaron el niverso.

7 Los n8meros pares simboli#aban el principio femenino o 9in.7 'ls n8meros impares simboli#aban el principio masculino o 9ang.7 'l n8mero 2 representa la :ierra, a su alrededor estn distribuidos los cuatro elementos

principales, el agua/ y 0, el fuego 6 y 3, la madera 1 y , los metales 4 y 5.;dems construyeron cuadrados mgicos de mayor tama%o, hay documentados algunos de

orden 0, o sea, formados en un casillero de 0 por 0.

'n


2/15

Sin duda, un traba"o impresionante de alg8n matemtico hind8.Los matemticos rabes descubrieron los cuadrados mgicos por contacto con esta

tradici$n hind8 y tambin se sintieron fascinados por sus caracter&sticas y, probablemente losdifundieron por Bccidente durante la 'dad *edia.

'l casillero de este cuadrado mgico rabe est formado por las letras de la palabra ;lC.:odas sus filas, columnas y diagonales suman 00, cifra que en el (slam corresponde al valornumrico de ;lC.

imagen del cuadrado mgico de ;lC-

/ 1 /A D 00

/4 66 1A D 00

14 0 60 D 00

D 00 D 00 D 00 D 00 traducci$n a d&gitos modernos-

'l matemtico )ornelio ;grippa /40@/222- construy$ cuadrados mgicos de $rdenes 1 a 5y les atribuy$ un significado astron$mico, seg8n l, representaban simb$licamente a losplanetas *ercurio, Eenus, *arte, F8piter, Saturno ms el Sol y la Luna, respectivamente.

Gurante la 'dad *edia los cuadrados mgicos se grababan en lminas de plata comoamuletos contra la peste negra.

'l gran artista ;lberto Gurero fue tambin un distinguido matemtico que public$ en /.262un tratado sobre la perspectiva, la geometr&a en tres dimensiones y las secciones c$nicastitulado (ntroducci$n a la medida con comps y regla, en el cual se describe una cicloidepor primera ve#.

;dems incluy$ en su obra *elencolia@/ uno de los cuadrados mgicos ms conocidos yque ms han fascinado a los estudiosos del tema.

/0

1 6 /1


3/15

2/A

//

5 0 3/

64

/2

/4

/

imagen del cuadrado mgico *elencolia@/-

La gran variedad de detalles que aparecen en este grabado hacen pensar que representa lainsuficiencia del conocimiento humano para alcan#ar la sabidur&a o para profundi#ar en lossecretos de la Haturale#a. 'n este grabado aparece tambin un s$lido ins$lito,probablemente, de su invenci$n.

La caracter&stica ms visible de este supercuadrado mgico es que el a%o en que fuegrabado, el /.2/4, aparece en su parte inferior. :odas sus filas, columnas y diagonalesI susesquinas, el cuadrado central, sus cuatro cuadrantes y sus diagonales quebradas suman 14.

;lgunos matemticos han querido ver ms propiedades en su interior como, por e"emplo+

7 Si unimos con l&neas los n8meros pares por un lado y los nones por otro, se formanestructuras he!agonalesJJ

7 Si se traducen sus cifras ?restndoles una unidad a cadauna, o sea, que quedar&an lascifras del sistema he!adecimaldel A al /2-@ a n8meros binarios ygiramos el cuadrado mgico 42K ala derecha aparece una simetr&avertical perfecta de ceros y unos,c$mo si estos se refle"asen en unespe"oJJ

imagen del cuadrado mgicobinario- MM

Los hay que piensan que elcuadrado mgico de GNrer es un

arquetipo lleno de significado y misticismo.Los astr$logos los aconse"aban como amuletos protectores, precisamente, contra lamelancol&aJ

2. CARACTERSTICAS DE LOS CUADRADOS MGICOS y ALGORITMOSDE CLCULO


4/15

Los cuadrados mgicos son estructuras numricas situadas en una tabla de nfilas por ncolumnas, por lo cual, nse denomina orden del cuadrado, as&, por e"emplo, el Lo Shu es uncuadrado mgico de orden 1I el del temple de


5/15

:ambin podemos comen#ar la serie desde un n8mero ai en lugar de iniciarla desde el /, osea, si sumamoso restamos- una determinada cifra ta todos los n8meros de la serie /a n6el resultadoaumentar nveces lacifra t sumada. Eeamos un par de e"emplos+

Si sumamos /A a cada d&gito del Lo Shu, entonces la serie comien#a en a/D// y acaba en

a!D/5, el resultado a obtener es+ /4 /5 /6 D 42 en lugar de 4 5 6 D /2-Temos sumado /A a cada una de las tres cifras y, por tanto, el resultado aumenta en 1A

unidades.

Si sumamos 4 a cada d&gito del GNrer, la serie comien#a en a/D 2y acaba en a!D 6A, elresultado obtenido es+

/5 / 2 D 2Aen lugar de 4 /2 /4 / D 14-. Sumando 4 a cada una de les cuatro cifras, el resultado aumenta /0 unidades.

'l algoritmo de clculo, en este caso, es+

S!- D U/ R 6 7n6 /- tV7 n D / R 6 7 n1 n- t 7 n

Wenerali#ando todos estos casos, encontramos que el algoritmo de clculo viene dado porla e!presi$n+

S!- D U R 6 7n6 /- tV7 n D R 6 7 n1 n- t 7 n

'n la cual, nes el orden del cuadrado, es la constante del producto ytes la constante dela adici$n.

'ste algoritmo nos puede resultar de gran utilidad si queremos definir o construir uncuadrado mgicode cualquier medida y utili#ando diversas series de n8meros.

7 )uesti$n+ :eniendo en cuenta todo esto, podr&ais calcular para un cuadrado mgico deorden n+

Cul es la suma S(x) del cuadrado compuesto por la serie de nmeros impares (desde el1)?

soluci$n-

3. ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIN DE LOS CUADRADOSMGICOS

'n este cap&tulo os e!plicar como resolver correctamente cuadrados mgicos de cualquierorden utili#ando estrategias o tcnicas muy sencillas, y probablemente innovadoras caso del

orden par-, que son el fruto de una reciente investigaci$n m&a.*i ob"etivo era establecer un sistema manual, es decir, sin la ayuda del ordenador, denormas para resolver o crear cuadrados mgicos de cualquier medida con las siguientescondiciones de uso+ rapide#, sencille#, seguridad, mecani#aci$n y correcci$n. 'stos mtodosson los que presentar a continuaci$n.

's cierto que e!isten muchas otras soluciones alternativas y de mayor dificultad o belle#a alas que encontraremos aplicando estas tcnicas, pero se puede considerar que, este, es unsistema bsico.

Temos de distinguir, a la hora de aplicar una estrategia para su construcci$n, entre loscuadrados mgicos de orden par y los de orden impar.


6/15

)omen#aremos por estos 8ltimos dado que la dificultad para resolverlos es menor.'l mtodo bsico consiste en a%adir lateralmente a los cuatro lados series virtuales de

casillas, de forma triangular, de manera que nos quede la figura de un rombo. (Paso nmero1)

'ntonces, y comen#ando desde el e!tremo superior, situaremos todas las cifras ?a partirdel /@ siguiendo s$lo las diagonales alternas formadas en el rombo, observad que quedan, portanto, l&neas diagonales y casillas interiores del cuadrado en blanco. (Paso nmero 2)

'l cuadrado mgico se completa situando los n8meros que han quedado en las casillasvirtuales e!teriores del cuadrado, en las casillas interiores en blanco, siguiendo primerouna simetr&a hori#ontal, las del tringulo superior pasan a completar la parte inferior, como silo recortsemos y lo pegsemos sin girarlo y las del tringulo inferior en la parte superiorI yuna simetr&a vertical, las de la parte e!terior derecha en la interior i#quierda y al revs.(Paso nmero 3)

'sta imagen ilustra claramente este procedimiento+


7/15

's incre&blemente sencilloJJ

Para resolver cuadrados mgicos de orden par seguiremos los siguientes pasos, que sonmucho ms fciles de aplicar de lo que puede parecer en un primer momento+

Utilizar, en primero lugar, un cuadrado de orden 4, que es el menor de los de orden par,para aclararlo mejor.

7 /. )omen#aremos por situar el n8mero /o la /X cifra de la serie- en el e!tremo superiori#quierda y entonces escribiremos, despla#ndonos de i#quierda a derecha, s$lo las cifrascorrespondientes a las casillas que forman las dos diagonales principales.

/M 4 0 3

/A //

/1 /0

7 6. ;hora nos situaremos en la primera casilla inferior derecha en blanco, vecina de la dele!tremo, d$nde pondremos el n8mero 6 o la 6X cifra de la serie- e iremos despla#ndonoshacia arriba y en sentido de derecha a i#quierda para ir completando, en estricto orden, lascasillas que faltan, es decir, las que forman los interiores de las diagonales principales y las

dos casillas e!teriores de las filas centrales.'s decir, pondremos el 6 e iremos contando de uno en uno hasta llegar a una de las

casillas mencionadas, entonces escribimos esta cifra y las seguimos enumerando, si se acabauna fila subimos a la anterior y cambiamos de sentido #ig#ag-, hasta llegar al e!tremosuperior i#quierda.

Ge hecho, como se puede observar, el cuadrado mgico de orden 4 ya ha quedadocompletamente resuelto.


8/15

/ /2 /4 4/6 0 3 5 /A // 2

/1 1 6 Y/0 na peque%a refle!i$n, llegado este punto, si comparamos este cuadrado con el de GNrer,podemos comprobar que son completamente simtricos, de hecho si aplicamos el mtodosituando la cifra / en el e!tremo inferior derecho y lo hacemos todo a la inversaobtendremos el cuadrado mgico de GNrerJJ

!s, por tanto, tan especial como piensan algunos")

'!trapolar, a continuaci$n, este mtodo a cuadrados mgicos mayores de orden par.Pasaremos, pues, al cuadrado de orden 0 y aplicaremos los dos pasos descritos

anteriormente+

/ M 0 //

/2 /0

6/ 66

60 65

1/ 10

/ 16 12 0 6 63 //

/5 /2 /0 64/ 6/ 66 /1

60 5 /A 65

1/ 2 6 Y10 Gespus de esto ya llevaremos escritas 6ncifras, por e"emplo, como este es de orden 0,ya llevamos /6.

7 1a. Hos situaremos, ahora, en el e!tremo superior derecho y con un despla#amientosiempre de derecha a i#quierda, iremos contando de uno en uno y escribiremos s$lo losn8meros pares en las casillas correspondientes.

/ 16 4

12 Y 0/6 6 63 //

/5 /2 /0 /4 64/ 6/ 66 6A /11A 60 5 /A 65

1/ 2 14 6 10


9/15

7 1b. Zinalmente nos situaremos en el e!tremo inferior derecho y con un despla#amientode derecha a i#quierda, iremos contando de uno en uno y escribiremos s$lo los n8merosimpares en las casillas correspondientes que han de coincidir e!actamente con las casillasque todav&a quedaban en blanco.

(#os pasos 3a $ 3% pueden in&ertirse de orden sin a'ectar el resultado 'inal)

/ 16 4 11 12 0/6 6 63 // 62/5 61 /2 /0 /4 64/ /3 6/ 66 6A /11A 60 5 /A 65 31/ 2 14 1 6 Y10

na ve# completado este cuadrado mgico de orden 0 se pueden e!traer algunasconclusiones, dado que este mtodo es recurrente y s$lo var&an algunos detalles dependiendo

del orden del cuadrado.Tay tres factores determinantes o que definen cada paso+7 'l primero es indicar el e!tremo de inicio+ Superior S- R (nferior (-, Gerecha G- R (#quierda'-7 'l segundo el tipo de despla#amiento a seguir+ de i#quierda a derecha '@G-, de derecha ai#quierda G@'- o en #ig@#ag [@[-7 'l tercero es la acci$n a aplicar+ completar diagonales GW-, interior diagonales GW(-,e!terior diagonales centro GW'-, escribir pares 'P-, escribir impares 'S-, completarn8meros restantes H\-

Gefinidas las normas de aplicaci$n y la nomenclatura abreviada a utili#ar, acabar estecap&tulo con unas tablas de traba"o abreviadas para completar cuadrados mgicos de ordenpar 4 al /6-.

Brden 4 Paso / Paso 6

'!tremo S' (G

Gespla#amiento '@G G@'

;cci$n GW H\

Brden 0 Paso / Paso 6 Paso 1a Paso 1b

'!tremo S' (G SG (G

Gespla#amiento '@G [@[ G@' G@'

;cci$n GW GW(GW' 'P 'S

Brden Paso / Paso 6 Paso 1 Paso 4

'!tremo S' (G SG (GGespla#amiento '@G [@[ [@[ G@'

;cci$n GW GW(GW' GW(6GW'6 H\

Brden /A Paso / Paso 6 Paso 1 Paso 4 Paso 2a Paso 2b

'!tremo S' (G SG (G (G SG

Gespla#amiento '@G [@[ [@[ [@[ G@' G@'

;cci$n GW GW(GW' GW(6GW'6 GW(1GW'1 'P 'S


10/15

Brden /6 Paso / Paso 6 Paso 1 Paso 4 Paso 2 Paso 0

'!tremo S' (G SG (G SG (G

Gespla#amiento '@G [@[ [@[ [@[ [@[ G@'

;cci$n GW GW(GW' GW(6GW'6 GW(1GW'1 GW(4GW'4 H\

'!isten soluciones alternativas o simtricas, pero este mtodo es bsico, correcto ybastante sencillo.

Car!" G#ira$! %a &!'(ri)#i$! a *+(!$! ,-#,"(! &!' "# ar(/! (i(#a$! M+(!$! ai

4. GALERA DE CUADRADOS MGICOS

Para acabar con esta e!posici$n, presentar una modesta colecci$n de cuadrados mgicos,que adems de los anteriores, me parecen muy interesantes, curiosos o, incluso, peque%asobras de arte.

'"emplos los hay a millares, y ms actualmente ya que con los ordenadores se hallanmaravillas, pero he dado preferencia a los compuestos manualmente, llamadme romntico, o

que aportan una idea original o estticamente brillante.;lgunos son de cosecha propia, otros los he encontrado durante mi investigaci$n...

'l Q)uadrado *gico GivinoQ

'ste cuadrado mgico de orden /A ]- , est formado por los /AA primeros n8meros pares.:iene la propiedad de que la suma de sus filas, columnas y diagonales es igual a /A/A

[email protected] cierto, el n8mero /A/A en sistema binario es igual al /A en sistema decimalJJ /A/A6

D /A/A

Podra ser un %uen amuleto segn las creencias de la !dad edia, o no"

6 /4 /0 / /56 /A /54 0 /5 6A/A 64 /30 6 /36 /3A 14 /00 1 66/46 2 40 /4 26 2A /24 20 /44 /0A06 /1 /10 0 /16 /1A 34 00 /64 A/A6 5 /A0 54 5A 56 /A //0 4 /6A/AA /A4 50 //4 //A //6 0 // 6

/4A 04 30 /6 3A 36 /14 /60 3 /660A /2 /40 24 /2A /26 4 /20 44 464A /04 60 /34 1A 16 /0 10 /3 /06/6 / /0 /4 /6 /5A /50 4 6AA

;utor+ ^lai Zigueras 63 R /A R A6-

(*) !n catal+n las pala%ras ios $ diez son -om'onas/ u $ deu
http://www.xtec.cat/~bfiguera/metodob.dochttp://www.xtec.cat/~bfiguera/metodob.doc


11/15

)uadrado *gico QSatnicoQ

'ste cuadrado mgico est compuesto e!clusivamente por los m8ltiples de 0 en un casillerode 0 ! 0 MM 000-

:iene la caracter&stica principal de que la suma de les sus filas, columnas y diagonales esigual a 000.

0u podramos decir de este cuadrado segn las creencias de la !dad edia" agia %lancao negra ...

/0 /A /A //4 36 01A /20 /A6 /1 4 /566A4 24 /60 5A /0 64/ 0A /16 50 /06 /5/6 /34 /6A 4 00 6/A6/0 46 3 /44 /2A 10

;utor+ ^lai Zigueras 6 R /A R A6-

Q)uadrado *gico ;post$licoQ

'ste cuadrado mgico de orden /6, est formado por los /44 primeros n8meros impares,desde el / hasta el 63.

:iene la propiedad de que la suma de sus filas, columnas y diagonales es igual a /36 D/61.

0uiz+s pensaris que so$ terri%lemente religioso"Pues no es el caso, simplemente lo quera enlazar con el tema de las creencias msticas de

otras pocas.

/ 603 /5 63/ /2 633 632 5 6/ 2 62 61601 63 625 1/ 622 12 13 645 4/ 642 42 64/

3/ 613 21 661 01 663 665 23 611 03 6/5 45

6/2 32 6// 35 6A3 1 2 6A/ 5 /53 51 /51

//5 /3/ //2 /2 /A2 /35 // /// /32 /A/ /5 53

/03 /61 /01 /63 /25 /1/ /11 /21 /13 /45 /4/ /42

/6/ /02 /62 /0/ /12 /22 /23 /65 /2/ /15 /43 /41

/05 //3 /31 //1 /33 /A5 /A3 /1 /A1 /3 55 /5/

31 6/1 5/ /55 / 6A2 6A1 3 6A5 33 /52 52

6/3 05 66/ 02 662 0/ 25 61/ 22 612 2/ 615

43 641 65 623 11 621 62/ 15 643 41 60/ 62

602 6/ 605 /3 631 /1 // 635 3 61 1 63

;utor+ ^lai Zigueras // R // R A6-

Si observis este cuadrado responde a la cuesti$n anterior+Cul es la suma S(x) del cuadrado compuesto por la serie de nmeros impares (desde el 1)?Su suma es S!- D /36 D /61y est formado "ustamente por los n8meros impares. Si

generali#amos este resultado tenemos que para cualquier orden n, la S!- de la serie den8meros impares es n1. Eeamos la ra#$n+

La serie de n8meros impares se genera a partir de la e!presi$n algebraica 6n @/. ;qu&


12/15

tenemos que D 6, t D @/'l algoritmo de clculo, como hemos visto es, S!- D R 6 7 n1 n- t 7 n

Si sustituimos los valores correspondientes a i thallamos que+S!- D 6 R 67n1 n- @/- 7 n D n1 n @ n D n1

!,r

)uadrado *gico Qen un tablero de a"edre#Q

'ste cuadrado mgico de orden , est formado por los n8meros del / al 04.:iene la propiedad de que la suma de sus filas, columnas y diagonales es igual a 60A, pero

tambin lo es la suma de sus cuatreo esquinas con los cuatro n8meros centrales. La sumatotal de las casillas blancas y negras es idntica, las fuer#as se mantienen equilibradas, eigual a /A4A.

-ora s que podis pensar, $ con razn, que so$ mu$ a'icionado al ajedrez

13 63 14 16 62 15 1A 106A 40 / 4 4/ 61 41 6/26 /4 22 5 /0 2A // 214 06 6 04 23 3 25 20A 1 01 / 2 0 0//1 2/ /2 45 20 /A 24 /642 66 46 /3 64 43 /5 4465 12 1/ 11 4A 60 1 6

;utor+ ^lai Zigueras /3 R // R A6-

)uadrado *gico QPandigitalQ

'ste maravilloso cuadrado mgico de orden 4, tiene la sorprendente caracter&stica de serpandigital, es decir, que cada elemento est formado por las die# cifras decimales sin repetirninguna y adems la suma de sus filas, columnas y diagonales es tambin pandigital S!- D4/650A312.

Probablemente es la matri# pandigital de orden 4 menor posible, dado que se puedenconstruir otras pero con n8meros mayores.

!-, que es una jo$a matem+tica casi incompara%le

/A1352064

/A1054362

/A6320154

/A6043152

/A602315 /A634015 /A105236 /A135406
http://www.xtec.cat/~bfiguera/curioso7.html#algoritqmhttp://www.xtec.cat/~bfiguera/curioso7.html#algoritqm


13/15

4 2 4 2/A104365

2/A132065

4/A605431

2/A635201

4

/A6354012

/A6052314

/A1340652

/A1023654

;utor+ \. *arcelo


14/15

64 /4 /5 /6 02 60 5 63

;utor+ ^lai Zigueras / R // R A6-

Q)uadrados *gicos 'specularesQ

'stos dos cuadrados mgicos de orden 4 son especulares uno respecto al otro, una cualidadmuy rara y destacable. La suma de sus filas, columnas y diagonales es ambos cuadrados de646, adems los dos son pandiagonales.

5ienen su'icientes moti&os para ser narcisistas, o no"

50 04 13 42 05 40 31 24

15 41 5 06 51 14 5 604 30 62 23 4 03 26 3261 25 6 3 16 52 6 3

)BH:(H;\`...

Si queris incluir en esta secci$n alg8n cuadrado mgico vuestro que os pare#ca interesantepor alguna caracter&stica lo podis hacer envindome un '@mail.

CUADRADO MGICO TRINIDAD,

CREADO POR SHEMARIEL YHOSHA

Es un cuadrado !"#co d$ nu$%$ cas#&&as 'orado con &os (r$s )r#$ros n*$ros,ca+#ando su ord$n $n &as s$"undas ($rc$ras &-n$as./&as, cuas 0or#1on(a&$s %$r(#ca&$s suan s#$)r$ s$#s2 Ta+#3n sua s$#s una d$ &as d#a"ona&$s2 La s$"undad#a"ona& sua 4, n*$ro 5u$ r$su&(a d$ &a o)$rac#6n 7 8 9 : ;


15/15

46 6 6

7

Cu Adrados Magic Os

Documents

Transcript of Cu Adrados Magic Os