ANLISIS MATEMTICO(40008) y (40015)

RESUMEN DE TEORAY ENUNCIADOS DE LOS EJERCICIOS

GRADO DE MATEMTICAS (394)

Luis A. Tristn VegaDPTO. DE LGEBRA, ANLISIS MATEMTICO, GEOMETRA Y TOPOLOGA

40008

VERSIN REVISADA Y CORREGIDA

VALLADOLID, MAYO DE 2013LATV

40015

2A. EDICIN DEL TEMARIO AMPLIADO

VALLADOLID, FEBRERO DE 2013LATV

ltima compilacin: 3 de junio de 2014

Incluye fe de erratas de la edicin de septiem-bre de 2013 LATV

Ilustracin de portada: edicin original en latnde la obra Introductio in Analysin Infinitorumde Leonhard Euler, del ao 1748 (cita [56] de labibliografa).

Lisez Euler, lisez Euler, cest notre matre tous

Leed a Euler, leed a Euler, l es el maestro de todos nosotros(Pierre Simon Laplace)

Contenido

Prlogo a Anlisis Matemtico V

Prlogo a Ampliacin de Anlisis Matemtico VII

1. Espacios eucldeos 11.1. Topologa de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Lmites iterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Aplicaciones lineales y bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1. Comentarios sobre espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Conexin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Clculo diferencial 232.1. Derivabilidad y diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Frmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1. Formas cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Aplicaciones diferenciables 413.1. Aplicaciones contractivas. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1. Notas sobre la demostracin del teorema de las funciones inversas . . . . . 433.2.2. Cambios de variables. Aplicacin a las ecuaciones diferenciales . . . . . . . 44

3.3. Funciones implcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1. Teoremas de rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Sucesiones y series funcionales 534.1. Sucesiones de funciones. Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Sucesiones y series de funciones de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4. Aproximacin de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4.1. Comentarios sobre la generalizacin del teorema de Weierstrass . . . . . . 60Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Fundamentos de la integral 695.1. Intervalos en Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1. Conjuntos elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.1. La locucin casi siempre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3. Funciones escalonadas y su integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

I

6. Integral de Lebesgue 796.1. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2. Sucesiones de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2.1. Comentarios sobre la generalizacin del teorema de Levi . . . . . . . . . . . 826.3. Integracin en intervalos de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7. Medibilidad. Integracin iterada 917.1. Funciones medibles y conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2. Integracin en conjuntos medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2.1. Comentarios sobre espacios de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2.2. Conceptos fsicos definidos por integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.3. Integracin iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.3.1. Ejemplos notables de aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8. Integracin por cambio de variables 1098.1. Nociones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.1.1. Cambios de variable en una dimensin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.1.2. Representacin y descomposicin de isomorfismos lineales . . . . . . . . . 110

8.2. Teorema del cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2.1. Notas sobre la demostracin del teorema del cambio de variables . . . . . . 111

8.3. Cambios de variables usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.3.1. Cambios de referencia afn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128.3.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.3.3. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1138.3.4. Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.3.5. Coordenadas esfricas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158.3.6. Transformacin de smplices en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9. Integrales paramtricas 1239.1. Continuidad y derivacin de integrales paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.1.1. Integrales flechadas dependientes de parmetros . . . . . . . . . . . . . . . 1259.2. Integrales eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1269.3. Convolucin de funciones. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.3.1. Producto de convolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1299.3.2. Aproximaciones de la identidad. Regularizacin de funciones . . . . . . . . 130

9.4. Transformadas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.4.1. Transformacin de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.4.2. Transformacin de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

10. Extremos condicionados 14110.1. Variedades diferenciables en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

10.1.1. Variedades definidas implcitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.2. Extremos sujetos a condiciones de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.2.1. El mtodo de Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

11. Teora de campos 15311.1. Curvas paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15311.2. Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.3. Operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.3.1. Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711.3.2. Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16011.3.3. Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16111.3.4. Laplaciano de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

II

12. Integrales de lnea 16712.1. Integracin de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16712.2. Integracin de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.3. Frmula de Riemann-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

12.3.1. Notas sobre la demostracin del teorema de Riemann-Green . . . . . . . . 177Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

13. Integracin en superficies 18513.1. Superficies paramtricas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18513.2. Integracin de campos escalares . .