Universidad de Los Andes

Facultad de Humanidades y Educación Escuela de Educación

Departamento de Medición y Evaluación Mérida Estado Mérida

Como Propuesta de Orientación Didáctica para la enseñanza y aprendizaje de los

Ángulos en Segundo Año de Educación Media General

Bachilleres:

López Méndez Silvia N.

C.I.V-23.493.505

Araque Ocanto Luis M.

C.I.V-20.198.404

Prof. Yazmary Rondón

Mérida, Noviembre de 2013

Introducción

El mundo está lleno de formas y figuras que tienen una serie de características

que facilitan nuestro desenvolvimiento cotidiano, geométricamente cada una de ellas

tiene un lenguaje diferente. Se ha comprobado a través de los años la dificultad que

presentan los estudiantes al aprenderlo, ya sea por su gran peso de razonamiento o

por la forma en que los docentes abordan este contenido, cabe destacar que se trata

de los ángulos, específicamente su clasificación, contenido que corresponde al

segundo año de educación Media General. Para conocer el origen de dichas

dificultades se tomó la decisión de realizar una entrevista a el docente y un test

diagnóstico a los estudiantes cuyos resultados arrojaron fallas, tomando en cuenta

estas dificultades surge la necesidad de crear una propuesta de orientación didáctica,

según el modelo Van Hiele, mediante las fases de enseñanza y los niveles de

pensamiento, siguiendo una serie de elementos que constan de actividades grupales

y de motivación para que el docente pueda trabajar el contenido de ángulos de una

manera diferente, más dinámica e interesante para que los estudiantes puedan

entender las todo lo relacionado con estas figuras geométricas, y aprecien el papel de

las matemáticas y especialmente la geometría en la vida cotidiana.

Objetivos de la Propuesta

Objetivo General: Despertar el interés por los ángulos en los estudiantes de

segundo año de Educación Media General, a través de una propuesta de

orientación Didáctica.

Objetivos Específicos:

-Diagnosticar los conocimientos previos a través de actividades lúdicas.

-Organizar el contenido por las fases de enseñanza según el modelo Van Hiele.

-Identificar ángulos y reconocer sus elementos sin utilizar métodos mecanicistas.

-Medir ángulos con el transportador y clasificarlos según su medida.

-Reconocer y dibujar ángulos que dependen de su posición respecto a las

rectas que los forman.

-Apreciar ángulos presentes en la vida cotidiana, mediante una maqueta.

-Implementar una serie de actividades dirigidas a aumentar el nivel de

pensamiento geométrico.

-Diseñar un recurso didáctico.

Desarrollo según las fases de modelo Van Hiele

Información: Según el Currículo Nacional Bolivariano y el Currículo Básico

Nacional, los estudiantes hasta el primer año de Educación Básica, deben tener

conocimientos firmes y sustentados acerca de los ángulos, en lo que se refiere a

su definición, clasificación según su medida, bisectriz, entre otros.

Es por ello que se aprovechará esta oportunidad y en especial esta fase para

comprobar que realmente estos conocimientos existen en ellos, esto se realizará

mediante una actividad lúdica: El salón deberá dividirse en cinco grupos que

según el número de estudiantes matriculados será aproximadamente entre 5 y 6

integrantes en cada grupo, previo a la clase se prepararán afiches que contendrán

los distintos tipos de ángulos: agudo, obtuso, recto, llano y un ángulo bisecado; a

cada grupo le corresponderá un afiche que elegirá al azar, el mismo deberá ser

pegado en la pizarra y se le hará entrega de un transportador que les permitirá

medir el ángulo que le corresponde, tendrán un tiempo para decidir qué tipo de

ángulo es, una vez tengan la respuesta la escribirán al lado del afiche, así mismo

en otra parte de la pizarra designada para tal fin definirán con sus palabras que es

para ellos un ángulo, luego se comparan todas las definiciones y podrán sacarse

las conclusiones necesarias, en cuanto a la actividad de los afiches los demás

compañeros deberán expresar si están de acuerdo o en desacuerdo con la

respuesta dada y así poder darse obtener información con respecto a todo el

grupo.

Orientación Dirigida: Sin duda alguna todo lo que se aprende es valioso para

nuestra formación en los distintos ámbitos de la vida; pero generalmente existen

temas con los que la comunidad estudiantil no se siente a gusto y preferirían no

aprenderlo jamás, es por ello que se hace necesario buscar herramientas distintas

al momento de pretender enseñar algo nuevo y de esta manera despertar el

interés de los estudiantes.

En esta oportunidad los alumnos deben estar preparados para conocer otros tipos

de ángulos que ya no dependerán únicamente de su medida, sino de su posición

respecto a las rectas que los forman: los ángulos opuestos por el vértice,

complementarios, suplementarios, alternos internos, alternos externos y

correspondientes.

En esta parte se utilizará lógicamente las definiciones adaptadas a su nivel, pero

aunado a esto se pondrá en práctica la utilización de recursos cotidianos

simbolizados a través de una maqueta de un tamaño que permita que todos

capten lo que se quiere expresar. Las definiciones que se utilizarán serán las

siguientes:

Ángulo: Figura geométrica formada por dos rayos que tienen origen común,

llamado vértice. Las semirrectas se llaman lados del ángulo.

Ángulos Complementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°.

Ejemplo:

Ángulos Suplementarios: Son los ángulos cuyas medidas suman

180°Ejemplo:

Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos tales que los lados de

cada uno de ellos, son las prolongaciones de los lados del otro. Ejemplo:

Ángulos Consecutivos: Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un

lado común que separe a los otros dos. Varios ángulos son consecutivos si el

primero es consecutivo del segundo, éste del tercero y así sucesivamente.

Ejemplo:

Ángulos Congruentes: Se dice que dos ángulos son congruentes si y solo si

tienen las mismas medidas. Ejemplo:

<ABC=45° y <PQR=45°

Sean AB, CD y EF tres rectas tal que EF cortan las rectas AB y CD. La recta EF se

llama secante de las rectas AB y CD. Formando 8 ángulos. 4 en cada punto de

intersección.

Ángulos Internos: son todos los ángulos que están entre las dos paralelas (son

internos a las paralelas). Ejemplo: <3, <4, <5, <6

Ángulos Externos: Se les llama así a los ángulos que caen fuera del espacio

entre las dos rectas. Ejemplo: <1, <2, <7, <8.

Ángulos Alternos: En dos rectas cortadas por una secante, se les llama así a

los ángulos están en distinto lado respecto a la secante. Ejemplo: <1 y <8, <2 y

<7, <3 y <6, <4 y <5

Ángulos Alternos Internos: Son los ángulos que se encuentran a lados

distintos de la recta secante y están entre las rectas AB y CD ejemplo: <3 y <6,

<4 y <5

Ángulos Alternos Externos: Son los que se encuentran a lados distintos de la

recta secante y están fuera de las rectas AB y CD ejemplo: <1 y <8, <2 y <7

Ángulos Correspondientes: Se les llama así a dos ángulos que en dos rectas

cortadas por una secante, están del mismo lado de la secante pero uno es

interno y el otro externo a las dos rectas. Ejemplo: <1 y <5, <2 y <6, <3 y <7, <4

y <8.

Y de esta manera lograr que los estudiantes puedan definir y dibujar los ángulos

anteriormente descritos correctamente.

Explicitación: En esta fase es importante promover la apropiación de la

terminología por parte del estudiante y comprobar que realmente comprendió lo

que se quería, pues en ocasiones se suele preguntar de una manera general y el

estudiante contesta afirmativamente tal vez por temor y en realidad no es cierto.

Por ello se debe buscar una manera de evidenciar que el estudiante es capaz de

expresar lo aprendido. Para desarrollar esta fase se tomará un grupo similar al de

la actividad inicial y los estudiantes deberán tomar de una bolsa un papel donde

se describe el nombre de un ángulo, cada grupo deberá dividirse en dos, es decir,

si cada grupo es de seis estudiantes nuevamente se dividirá y quedaran tres y

tres. A cada uno de estos subgrupos se le asignará una actividad de acuerdo al

ángulo que eligió, uno definirá al ángulo y el otro lo dibujará. Con esta actividad se

quiere profundizar el contenido, pues deberán explicar de forma clara lo que se le

pide, además de esto tendremos la oportunidad de analizar el punto de vista de

cada estudiante y fomentar el trabajo en equipo.

Orientación libre: Cada actividad que se proponga con el objetivo de incentivar a

un grupo de alumnos a nutrirse de cosas maravillosas, es un gran logro, pero

definitivamente es necesario hacer prácticas de lo aprendido y así comprobar y al

mismo tiempo sustentar lo aprendido.

Es por ello que se preparará una práctica individual que consta de las siguientes

partes:

1) Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes

según los ángulos estudiados:

a) ¿Cómo son los ángulos 1 y 2?

b) ¿Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4?

c) ¿Son suplementarios los ángulos 2 y 4?

d) ¿Son iguales los ángulos 2 y 3? ¿Por qué?

e) ¿Son correspondientes los ángulos 3 y 7?

f) ¿Cómo son los ángulos 4 y 6?

g) ¿Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3?

h) ¿Son iguales los ángulos 5 y 8? ¿Por qué?

i) ¿Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8?

j) ¿Son alternos internos los ángulos 5 y 6?

2) Hallar el complemento de los siguientes ángulos

a) 18° c) 45°

b) 15° d) 75°

3) Hallar el suplemento de los siguientes ángulos

a) 78° c) 105°

b) 92° d) 75°

4) Con la ayuda de tu juego geométrico traza las siguientes figuras:

- Ángulos Alterno interno

- Ángulos Alterno externo

- Ángulos Suplementarios

- Ángulos Consecutivos

- Ángulos Complementarios

- Ángulos Opuestos por el vértice

Luego de la revisión nos podremos dar cuenta lo que el estudiante es capaz de

resolver, luego de haber asistido a nuestras clases previas.

Integración: Luego de haber alcanzado las prácticas previstas para desarrollar

las cuatro primeras fases del modelo Van Hiele, haremos la recopilación de todo

el contenido dado a través de un juego común adaptado al tema de nuestro

interés: ángulos.

Dicho juego lleva por nombre CRUCIÁNGULOS, y se trata precisamente de un

crucigrama donde deberán utilizar principalmente las definiciones;

Horizontal:

-Es la figura formada por dos rayos con un mismo origen llamado vértice. (1)

-Son dos ángulos tales que los lados de cada uno de ellos, son las prolongaciones de

los lados del otro. (3)

-Son los ángulos cuyas medidas suman 180°. (4)

-Es el ángulo que mide 90°. (5)

-Una recta secante corta a dos rectas paralelas, y los ángulos son los que están entre

las paralelas y a distintos lado de la secante. (9)

-Se les llama así a dos ángulos que, en dos rectas cortadas por una secante, están del

mismo lado de la secante pero uno es interno y el otro externo a las dos rectas. (11)

Vertical:

-Son dos ángulos cuyas medidas suman 90°. (2)

-Es aquel ángulo en el cual un lado es la prolongación del otro y mide 180 grados. (6)

-Es el ángulo cuya medida es menor a 90°. (7)

-Es el ángulo mayor a 90°. (8)

-Una recta secante corta a dos rectas paralelas y los ángulos están en la parte exterior

de las paralelas y a distintos lados de la secante (10)

-En un plano dos rectas distintas que no tienen ningún punto en común se llaman

(12)

-En un plano dos rectas distintas que tienen un único punto en común se llaman (13)

Esta actividad tiene tanto los ángulos según su medida, y los que dependen de su

posición respecto a las rectas que los forman, reuniendo así el contenido casi

completo.

Cronograma de clases

Para la aplicación de la propuesta didáctica dispondremos de tres clases para

completar las fases del modelo Van Hiele, es decir en cada clase desarrollaremos una

o dos fases y quedara distribuida de la siguiente forma:

1) Clase : información y orientación dirigida

2) Clase: orientación dirigida, explicitación y orientación libre

3) Clase : integración

Al desarrollar la instrucción de acuerdo a esta secuencia, se puede promover al alumno

al nivel siguiente del que se encuentra. Esta propuesta plantea que los alumnos

alcancen el nivel 2.

Resolución del cruciángulo

Este crucigrama será de un tamaño de 1.50 x 1.50 aproximadamente, es decir un

tamaño grande que permita realizarlo fácilmente.

Resumen Modelo Van Hiele

Es una teoría de enseñanza y aprendizaje de la geometría, diseñado por el matrimonio

holandés van Hiele. La teoría se mueve dentro de la didáctica de la matemática y

específicamente en la didáctica de la Geometría

La idea básica del modelo es que el aprendizaje de la geometría se construye pasando

por niveles secuenciales, en relación a esto, los Van Hiele proponen cinco fases de

aprendizaje: información, orientación guiada o dirigida, explicitación, orientación libre e

integración. Ellos afirman que al desarrollar la instrucción de acuerdo a esta secuencia,

se puede promover al alumno al nivel siguiente del que se encuentra.

Niveles:

Visualización o Reconocimiento

En este nivel los objetos se perciben en su totalidad como un todo, no diferenciando

sus características y propiedades, las descripciones son visuales y tendientes a

asemejarlas con elementos familiares.

Análisis

Se perciben y describen propiedades de los objetos geométricos (ya no solo

visualmente). Pero no puede relacionar las propiedades unas con otras.

Ordenación y Clasificación

Describen los objetos y figuras de manera formal, entienden los significados de las

definiciones, reconocen cómo algunas propiedades derivan de otras, establecen

relaciones entre propiedades y sus consecuencias. Los estudiantes son capaces de

seguir demostraciones, aunque no las entienden como un todo, ya que, con su

razonamiento lógico solo son capaces de seguir pasos individuales.

Deducción Formal

En este nivel se realizan deducciones y demostraciones. Se entiende la naturaleza

axiomática, se comprende las propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos.

Rigor

Se trabaja la geometría sin necesidad de objetos geométricos concretos. Se conoce la

existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se puede analizar y comparar. Se

aceptará una demostración contraria a la intuición y al sentido común si el argumento

es válido.

Fases:

Información

Se trata de una fase de toma de contacto: el profesor debe informar a los estudiantes

sobre el campo de estudio en el que van a trabajar, qué tipo de problemas se van a

plantear, qué materiales van a utilizar, etc. Así mismo, los alumnos aprenderán a

manejar el material y adquirirán una serie de conocimientos básicos imprescindibles

para poder empezar el trabajo matemático propiamente dicho. Esta fase sirve para

dirigir la atención de los estudiantes y permitirles que sepan qué tipo de trabajo van a

hacer, y para que el profesor descubra qué nivel de razonamiento tienen sus alumnos

en el nuevo tema y qué saben del mismo.

Orientación guiada o dirigida

En esta fase los estudiantes empiezan a explorar el campo de estudio por medio de

investigaciones basadas en el material que les ha sido proporcionado. El objetivo

principal de esta fase es conseguir que los estudiantes descubran y comprendan

cuáles son los conceptos, propiedades y figuras principales en el área de la geometría

que están estudiando. Las actividades que se les propongan deben estar

convenientemente dirigidas hacia los conceptos, propiedades, etc. que deben estudiar.

El trabajo que vayan a hacer estará seleccionado de tal forma que los conceptos y

estructuras característicos se les presenten de forma progresiva.

Explicitación

Entre las finalidades principales de esta fase es hacer que los estudiantes intercambien

sus experiencias, que comenten las regularidades que han observado, que expliquen

cómo han resuelto las actividades, todo ello dentro de un contexto de diálogo en el

grupo.

Orientación libre

En este momento los alumnos deberán aplicar los conocimientos y lenguaje que

acaban de adquirir a otras investigaciones diferentes de las anteriores.

Integración

En esta fase los estudiantes deben adquirir una visión general de los contenidos y

métodos que tienen a su disposición, relacionando los nuevos conocimientos con otros

campos que hayan estudiado anteriormente; se trata de condensar en un todo el

dominio que ha explorado su pensamiento.

Fotografías de la aplicación

Conclusión

Luego de la aplicación de la propuesta de orientación didáctica “Cruciángulos” con 30

estudiantes de segundo año de educación media general, del Liceo Experimental Fray

Juan Ramos De Lora, se pudieron observar aspectos relevantes, posteriormente

descritos:

El día 28-10-2013 se llevó a cabo la fase de información, lo que significaba un repaso

sobre ángulos según su medida, con los empleados los alumnos se sintieron motivados

y deseaban pasar al pizarrón, pero lamentablemente los resultados no fueron los

esperados, se observó que el 80% de los estudiantes no dominaban el tema o

simplemente no se acordaban, lo que nos obligó a estudiar de nuevo el tema; dichas

dificultadas nos condujeron a deducir que el nivel de razonamiento geométrico que los

estudiantes podrían alcanzar iba ser muy bajo ya que no dominaban conceptos que

deberían tener claros.

Luego comenzamos con la fase de orientación dirigida la cual agrado mucho a los

estudiantes ya que se dieron ejemplos de ángulos que se encuentran en la vida

cotidiana con la ayuda de la maqueta, en dicha actividad se tomó la participación de los

estudiantes y se evaluó a través de positivos y negativo, con lo cual obtuvimos los

siguientes resultados un 45% tuvo muy buena participación y el restante ninguna. Se

logró dar más del 95% del nuevo tema.

El día 30-10-2013 se culminaron los detalles que faltaban del nuevo tema.

Seguidamente se inició la fase de explicitación la cual arrojo los siguientes resultados el

45% de los estudiantes dibujaban a la perfección los ángulos pero presentaban

dificultades al momento de definirlos, el resto dominaba muy poco lo que se le estaba

evaluando, estos resultados nos llevaron a una situación muy preocupante ya que ese

mismo día se iba a iniciar la fase de orientación libre en ella se pretendía realizar una

prueba muy sencilla, con lo cual se tomó la decisión con el apoyo del profesor

encargado de no realizar dicha práctica ese día ya que lógicamente los resultados no

iban hacer ser muy buenos, por lo tanto tomamos ese tiempo para la realización de

ejercicios en el pizarrón por parte de algunos estudiantes.

El día 04-11-2013 se les entrego a cada uno de los estudiantes la práctica individual

escrita, se fijaron 45 minutos para su realización, la misma tendría una evaluación en

una escala del 00 al 20, la practica arrojo los siguientes resultados: de 00 a 05 puntos

21 %, 06 a 09 puntos 31 %, de 10 a 13 puntos 36 % de 14 a 20 puntos 12 %. Es decir

52 % reprobó la prueba y el 48 % restante aprobó.

Seguidamente se inició la fase de orientación libre con la aplicación del recurso

didáctico “cruciángulos”, al aplicar el juego nos dimos cuenta que más del 60%

dominaban el tema, un 30% dominaban algunos conceptos y en un 10% de ellos se

observaron muchas fallas.

En cuanto a la realización de esta propuesta didáctica, el modelo van hiele jugo un

papel muy importante ya que la estructuración de la misma está basada en las fases de

dicho modelo, su aplicación pretendía que los estudiantes alcanzaran el nivel 2 el cual

señala que pueden ser capaces de describir objetos de manera formal y compararlos

con otros.

En términos generales la aplicación de nuestra propuesta fue exitosa, pues tenemos la

convicción de que gran parte de los estudiantes son capaces de reconocer y dibujar los

ángulos enseñados sin problema, tal vez se hubiesen logrado mejores resultados, pero

por diversos factores, como el tiempo, las inasistencias, entre otras, no lo permitieron.

Esperamos nuestra propuesta se aplique en distintas instituciones de la ciudad, pues

seguros estamos de que es una muy buena herramienta.

Recomendaciones

Desarrollar el contenido en más de tres clases, porque el tiempo se hace muy

corto y se hace obligatorio hacer las cosas muy rápido.

Hacer un repaso general de la orientación dirigida especialmente para aquellos

alumnos que no asistieron a la clase, pues ellos no demuestran preocupación

por ponerse al día.

En cuanto al recurso didáctico pedir que pasen grupos pequeños para resolver

el crucigrama, un máximo de cuatro integrantes, esto para que no se aglomeren

en el lugar donde se encuentre el recurso didáctico y lograr que todos participen.

Referencias Bibliográficas

Baldor, J.A. (2003).Geometría Plana y Del Espacio. México: Ultra,S.A

Vílchez Nieves. Propuesta didáctica Enseñanza de la Geometría Modelo de Van

Hiele.http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/sesiones/modelo_van-hiele.ppt.

Enrique, M.A. (2012).Colección Bicentenario. República Bolivariana De

Venezuela: Ministerio del Poder Popular Para la Educación.