Creative Commons License Deed - La Salle¨ és lliure de: ... transformar o generar una obra...

Creative Commons License Deed Reconeixement-No comercial-Sense obres derivades 3.0 Espanya

Vostè és lliure de: Copiar, distribuir i comunicar públicament l’obra.

Sota els següents condicionants:

Reconeixement. S’ha de referenciar aquesta obra a Fco. Javier Pajares i Miquel Ribó - Enginyeria La Salle (Semipresencial) No comercial. No es pot utilitzar aquesta obra per a finalitats comercials. Sense obres derivades. No es pot alterar, transformar o generar una obra derivada a partir d’aquesta.

• Quan reutilitzeu o distribuïu l'obra, heu de deixar ben clar els termes de la llicència de l'obra. • Alguna d'aquestes condicions pot no aplicar-se si obteniu el permís del titular dels drets d'autor. • No hi ha res en aquesta llicència que menyscabi o restringeixi els drets morals de l'autor.

Els drets derivats d'usos legítims o altres limitacions reconegudes per llei no queden afectats per l'anterior

Això és un resum fàcilment llegible del text legal (la llicència completa) disponible en els idiomes següents:

Català Castellà Basc Gallec

Crèdits

Autor: Fco. Javier Pajares i Miquel Ribó

Editor: Lluís Vicent

Coordinació lingüística: Sara Laso

Revisió lingüística: Christian Lara

Maquetació: Víctor Miras

Disseny de portada: Víctor Miras

Aquesta edició ha comptat amb el suport de l’Agència de Gestió d’Ajuts Universitaris i de Recerca (AGAUR) de la Generalitat de

Catalunya en la Convocatòria d’ajuts a l’edició i la difusió de llibres de text o manuals universitaris i llibres cientificotècnics, en suport

paper o en suport electrònic, escrits en llengua catalana (DILL 2009)

ISBN: 978-84-937374-3-6

1

Índex

Pròleg ......................................................................................................................... 3

Problemes del Tema 2 ................................................................................................ 5 Problema 2.1 ........................................................................................................................................ 5 Problema 2.2 ........................................................................................................................................ 9 Problema 2.3 ...................................................................................................................................... 12 Problema 2.4 ...................................................................................................................................... 16 Problema 2.5 ...................................................................................................................................... 20

Problemes del Tema 3 .............................................................................................. 25 Problema 3.1 ...................................................................................................................................... 25 Problema 3.2 ...................................................................................................................................... 28

Problemes del Tema 5 .............................................................................................. 35 Problema 5.1 ...................................................................................................................................... 35 Problema 5.2 ...................................................................................................................................... 41 Problema 5.3 ...................................................................................................................................... 45 Problema 5.4 ...................................................................................................................................... 51 Problema 5.5 ...................................................................................................................................... 56

3

Pròleg

Aquesta petita col·lecció de problemes resolts pretén complementar els apunts publicats de l’assignatura de Circuits d’Alta Freqüència. Conté alguns problemes representatius dels diferents temes que componen el curs de Circuits d’Alta Freqüència als estudis d’enginyeria a La Salle – URL. L’èmfasi dels problemes és en els temes més fonamentals del curs: comprensió i càlcul dels paràmetres S, comprensió del funcionament de circuits complexos mitjançant la seva anàlisi a partir de blocs constitutius, i teoria d’amplificadors lineals de microones. Esperem que us sigui una ajuda vàlida per a entrar en el món del disseny de circuits d’alta freqüència i microones. Els professors, Miquel Ribó i Pal Francisco Javier Pajares Vega

5

Problemes del Tema 2

Problema 2.1 Calculeu els paràmetres S, referits a les impedàncies de referència especificades, dels circuits següents:

(a) Admitància en paral·lel, amb els seus ports referits a Z0 (Fig. 1).

Fig. 1. Admitància en paral·lel.

(b) Línia de transmissió d’impedància característica Z0, amb els seus ports referits

a Z0 (Fig. 2).

Fig. 2. Línia de transmissió amb els seus ports referits a Z0.

(c) Canvi de medi (Fig. 3).

Fig. 3. Canvi de medi.

Resolució del problema 2.1

(a) Resoldrem el circuit pel mètode de tensions i corrents.

Z0Z0 Y

1 2

Z0 Z0β,Z0

1 2d

Z02Z01

1 2

6

Per a calcular els paràmetres 1iS carreguem tots els ports que no siguin el port 1 (en aquest cas només el port 2 amb la seva impedància de referència (Fig. 5).

Fig. 4. Circuit de la Fig. 1 amb el port 2 carregat amb la seva impedància de referència.

L’admitància d’entrada d’aquest circuit és 01 YYYIN += . Per tant, el paràmetre 11S val

YYY

YYYYYY

YYYY

YYYY

SIN

IN

IN

ININ +

−=

++−−

=+−

=+−

==000

00

10

10

101

101111 2

Γ .

El paràmetre 21S el trobarem utilitzant la fórmula

( )jkaj

ijj

i

jij

kVV

SZ

ZS

≠=

+=,00

01 .

Per tant, cal calcular 01

2

2 =aVV

, és a dir 1

2

VV

quan tenim tots els ports que no siguin el

port 1 carregats amb la seva impedància de referència (en aquest cas això equival a tenir el port 2 carregat amb 0Z ). Evidentment, en aquest cas

11

2 =VV

i, per tant,

( )YY

YYY

YSVV

SZ

ZS

a +=

+−=+=+=

= 0

0

011

01

211

0

021 2

22

1112

.

A continuació hauríem de calcular els paràmetres 2iS , amb una metodologia anàloga a la que acabem d’emprar, però podem estalviar-nos els càlculs adonant-nos que:

1. 1122 SS = per la simetria del circuit: el circuit és elèctricament simètric i les impedàncies de referència als ports 1 i 2 també ho són. Per tant, per a calcular

22S i 12S farem les mateixes operacions que per a calcular 11S i 21S , però intercanviant els subíndex 1 i 2.

2. 2112 SS = per la simetria del circuit, i també perquè el circuit és recíproc.

Z0V1

YIN1 1, ΓIN

V2Y

1 2

7

Per tant,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

=YY

YYYY

S0

0

0 22

21 .

(b) Resoldrem el circuit pel mètode de tensions i corrents.


Fig. 5. Circuit de la Fig. 2 amb el port 2 carregat amb la seva impedància de referència.

Com que la impedància de càrrega de la línia és igual a la seva impedància de referència,

zjeVzVzVzVzZZZZ

d βρρ −++− ==⇒=⇒=⇒=+−

= )()(0)(0)(0)(00

00 .

Per tant,

djdj

a

eVeV

VdV

VV β

β−

+

−+

=

===)0()(

01

2

2

.

Com que 01 ZZ IN = , aleshores

001

01

011

011111 =

+−

=+−

==ZZZZ

ZZZZ

SIN

IN

IN

ININΓ

i

( ) dj

a

eVV

SZ

ZS β−

=

=+=01

211

0

021

2

1 .

Igual que en l’apartat anterior, per consideracions de simetria i reciprocitat, 1122 SS = i

2112 SS = . Per tant,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

−

0110

00 dj

dj

dj

ee

eS β

β

β

.

Aquest resultat ens diu que (en el cas que els paràmetres S tinguin sentit físic) una línia de transmissió desfasa les ones que hi circulen, tan del port 1 al 2 com del 2 a l’1 una fase d’ dje β− radians.

(c) Resoldrem el circuit pel mètode de tensions i corrents.

Z0β,Z0

1 2d

d

V1 V+( )zV( )z V-( )z

ZIN1 1, ΓIN

V2

0 z

ρ( )z

8


Fig. 6. Circuit de la Fig. 3Fig. 3 amb el port 2 carregat amb la seva impedància de referència

(Z02). Evidentment 021 ZZ IN = i

101

2

2

==aV

V

. Per tant,

0102

0102

011

011111 ZZ

ZZZZZZS

IN

ININ +

−=

+−

== Γ

i

( )0102

0201

0102

02

02

01

0102

0102

02

01

01

211

02

0121 2211

2ZZZZ

ZZZ

ZZ

ZZZZ

ZZ

VVS

ZZ

Sa +

=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+=+== .

Com que en aquest cas la xarxa no és simètrica (físicament sí que ho és però les impedàncies de referència no ho són), ens caldrà calcular els paràmetres 2iS de manera explícita (si més no 22S , puix que 2112 SS = per reciprocitat). Per tant, carreguem tots els ports que no siguin el port 2 (en aquest cas només el port 1) amb la seva impedància de referència (Fig. 7).

Fig. 7. Circuit de la Fig. 3Fig. 3 amb el port 1 carregat amb la seva impedància de referència

(Z01).

1 2

V1

ZIN1 1, ΓIN

V2 Z02

1 2

V1

ZIN2, ΓIN2

V2Z01

9

En aquest cas 012 ZZIN = i

102

1

1

==aV

V

. Per tant,

110201

0201

022

022222 S

ZZZZ

ZZZZS

IN

ININ −=

+−

=+−

== Γ

i

( ) 210102

0201

0102

01

01

02

0201

0201

01

02

02

122

01

0212 2211

1

SZZZZ

ZZZ

ZZ

ZZZZ

ZZ

VVS

ZZ

Sa

=+

=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+=+== .

El resultat final serà

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

+=

02010201

02010102

0102 221

ZZZZZZZZ

ZZS

.

Problema 2.2

Un inversor d’impedàncies pot ser realitzat bé amb un transformador λ/4 (Fig. 8(a)) o bé amb una estructura de filtre passa baixes com la que mostra la Fig. 8(b), que es pot utilitzar si la freqüència de disseny és massa baixa per a permetre un tram λ/4 en un disseny o si es pretén integrar l’inversor d’impedàncies en un circuit integrat. Demostreu que en la freqüència central de disseny f0 (aquella en què la longitud d’ona és λ0) el circuit de la Fig. 8(b) pot comportar-se com un inversor d’impedàncies de funcionament igual al transformador λ/4, i trobeu els valors d’L i C que fan que això es compleixi.

Fig. 8. (a) Transformador λ/4. (b) Filtre passa baixes equivalent.


Si dos circuits són equivalents en una determinada freqüència, tenen el mateix comportament en aquesta freqüència. Per tant, si referenciem els seus ports corresponents als mateixos valors d’impedància de referència ( 010101 ZZZ BA == i

020202 ZZZ BA == ), les seves matrius de paràmetres S seran iguals. Com que, a més a més, els nostres circuits són físicament simètrics, si escollim com a impedàncies de referència 0201 ZZ = , aleshores les xarxes estaran en condicions de poder ser analitzades per descomposició en mode parell i en mode senar. Des d’aquest punt de vista, les matrius de paràmetres S seran iguals si i només si les seves descomposicions en mode parell i mode senar respectives són iguals:

Z0

L

C C

λ0/4

(a) (b)

1 12 2

10

⇔⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+

= ==oBeBoBeB

oBeBoBeBZZB

oAeAoAeA

oAeAoAeAZZA SS

ΓΓΓΓΓΓΓΓ

ΓΓΓΓΓΓΓΓ

21

21

02010201

⎩⎨⎧

==

⇔oBoA

eBeA

ΓΓΓΓ

.

Per tant, només ens cal calcular, i igualar, les descomposicions en mode parell i mode senar respecte d’un valor d’impedància de referència igual per a tots els ports. És evident que, per al cas de la línia de transmissió el valor d’impedància de referència que ens simplificarà més els càlculs serà 00201 ZZZ == , elecció que no complicarà per a res els del circuit passa baixes. Per tant, 0Z escollim com a impedància de referència per a tots els ports. Calculem primer les descomposicions en mode parell i senar (Fig. 9) del transformador λ/4 de la Fig. 8(a).

Fig. 9. Descomposició en mode parell i senar del transformador λ/4.

Per a la descomposició en mode parell

jeeejjj

INeA −====−−−

2822

82

0

00

1πλ

λπλ

βρ .

Com que

0

0ZZZZ

INeA

INeAINeA +

−=ρ

(ací 0Z és el valor de la impedància característica de la línia de transmissió) i

0

0ZZZZ

INeA

INeAeA +

−=Γ

(ací 0Z és el valor de la impedància de referència del port), es compleix que

jINeAeA −== ρΓ . Anàlogament podem raonar per a la descomposició en mode senar obtenint

Z0

Z0

Z0

Z0

Z0

Z0Z0

λ0/4

λ0/8

λ0/8

1

1

1

2

Pla de simetria

Modeparell

Modesenar

11

jej

INoAoA =−==−

82 0

1λ

βρΓ .

Si calculem ara la descomposició en mode parell i mode (Fig. 10) senar del filtre passa baixes equivalent de Fig. 8(b).

Fig. 10. Descomposició en mode parell i senar del circuit passa baixes equivalent. Per a la descomposició en mode parell

CjZINeB

0

1ω

=

i per tant

00

00

00

00

0

011

1

1

CZjCZj

ZCj

ZCj

ZZZZ

INeB

INeBeB ω

ω

ω

ωΓ+−

=+

−=

+−

= .

Per a la descomposició en mode senar

LCLj

LCj

Lj

LjCj

ZINoB 20

02

02

0

0

021

2

2

2

11

ωω

ω

ω

ωω −

=+

=+

=

i per tant

02

000

02

000

020

0

020

0

0

0

22

2

2LCZZLjLCZZLj

ZLC

Lj

ZLC

Lj

ZZZZ

INoB

INoBoB

ωωωω

ωωωω

Γ−++−

=+

−

−−

=+−

= .

Igualant ara les descomposicions en mode parell obtenim

⇔= eBeA ΓΓ

⇔+−=−⇔+−

=− 000000

00 111 CZjCZj

CZjCZjj ωω

ωω

Z0

Z0

Z0 Z0

Z0

Z0

Z0 Z0

Pla de simetria Pla de simetria

Modeparell

Modesenar

L L/2

L/2

L/2

L/2

C C

C

C

C C

1 1

1

1

2 2

12

( ) ⇔=⇔+=+⇔+=+ 00000000 1111 CZCZjjCZCZjj ωωωω

00

1Z

Cω

= .

Igualant ara les descomposicions en mode senar obtenim

⇔= oBoA ΓΓ

⇔−++−

=0

2000

02

000

22

LCZZLjLCZZLjj

ωωωω

⇔−++−

=−+

+−=

−++−

=LZLjLZLj

ZZ

LZLj

ZZ

LZLj

LCZZLjLCZZLjj

000

000

000

2000

000

2000

02

000

02

00022

12

12

22

ωωωω

ωωω

ωωω

ωωωω

⇔+=+⇔+−=−+− LLjZZjLZLjLjZjL 0000000000 222222 ωωωωωω ( ) ( ) ⇔=⇔+=+ LZLjZj 0000 2121 ωω

0

0ωZL = .

Cal notar que aquesta equivalència només és exacta en la freqüència de disseny f0 i que, a mesura que ens n’allunyem, els valors dels paràmetres S d’ambdós circuits aniran divergint paulatinament.

Problema 2.3 Una manera no gaire elegant de dividir la potència d'un generador (que suposarem canònic ( 0ZZ G = ) per a simplificar) entre n circuits iguals (que suposarem que tenen una impedància d'entrada 0ZZ IN = per a simplificar) és connectar-los directament en paral·lel a la font de senyal (Fig. 11).

Fig. 11. Connexió directa entre un generador (d’impedància interna Z0 i n càrregues, totes amb impedància d’entrada Z0).

(a) Raoneu quines relacions hi ha entre els paràmetres S (referits a 0Z ) de la matriu (n+1)×(n+1) que descriu el divisor format per la connexió en paral·lel dels esmentats equips.

(b) Calculeu la matriu de paràmetres S del circuit divisor.

Z0

Z0

Z0

Z0

1

2

n

n+1

Generadorcanònic

Divisor n equips amb=Z ZIN 0

n>2

13

(c) Calculeu la relació entre la potència injectada com a ona incident pel generador i la potència total consumida pels n equips alhora.

(d) Per a quin valor de n la potència reflectida (no aprofitada pels n equips alhora) iguala o supera a la potència consumida per cadascun dels equips?

Resolució 2.3

(a) La xarxa de què hem de calcular els paràmetres S (referits a 0Z ) és la que es mostra en la Fig. 12.

Fig. 12. Divisor amb la seva numeració de ports i impedàncies de referència.

Puix que les impedàncies de referència són les mateixes en tots els ports, l’estructura del divisor és elèctricament simètrica: els enumerem com els enumerem, sempre veurem, elèctricament parlant, el mateix circuit. Això ens indica que la xarxa només té dos paràmetres S diferents, un de reflexió i un de transmissió entre dos ports qualssevol. (b) Calculem, per exemple, els paràmetres 1,1 ++ nnS i 1,1 +nS . Utilitzarem l’únic mètode de càlcul al nostre abast, que és el de tensions i corrents. Per tal de fer-ho, carreguem tots els ports, excepte el port n+1 amb la seva impedància de referència (Fig. 13).

Fig. 13. Divisor amb els ports 1, …, n carregats amb la seva impedància de referència. És evident que la impedància d’entrada d’aquest circuit val

nZZ nIN

01, =+

i, per tant,

nn

Zn

Z

Zn

Z

ZZZZ

SnIN

nINnn +

−=

+

−=

+−

=+

+++ 1

1

00

00

01,

01,1,1 .

Z0

Z0

Z0

Z0

1

2

n

n+1

Z0 Z0 Z0

1 2 nn+1

Vn+1

ZIN,n+1

Vn+1V1 V2

14

D’altra banda,

111

2

1

1 ====+++ n

n

nn VV

VV

VV

L

i, per tant,

( )nn

nVVS

ZZ

Snaaan

nnn +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+=+=====+

+++ 12

1111

01

11,1

0

01,1

21 L

.

La matriu (n+1)×(n+1) de paràmetres S resultant és, per tant,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

+=

n

nn

nS

122

212221

11

L

MOMM

K

K

.

(c) Podem posar el circuit de la Fig. 11 tal com es mostra en la Fig. 12.

Fig. 14. Divisor modelat com una caixa amb n+1 ports, caracteritzada per la seva matriu de

paràmetres S. A partir de la matriu de paràmetres S i tenint en compte que 021 ==== naaa L podem escriure

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++ 11

2

1

00

122

212221

11

nn an

nn

nb

bb

M

L

MOMM

K

K

M

Z0

an+1

a1=0

an=0

a2=0

b1

bn

ΓL1=0

ΓL2=0

ΓLn=0

b2

bn+1

Z0

Z0

Z0

1

2

n

n+1 S

15

11

1

12

11

11

12

12

12

++

+

+

+

+−

=

+=

+=

+=

nn

nn

n

n

annb

an

b

an

b

an

b

M .

La potència que el generador entrega al circuit mitjançant l’ona progressiva val

211 2

1+

++ = nn aP .

La potència neta que consumeix la càrrega i-èssima ( ni ,,1L= ) val

( )++++

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

+==−= 12

21

22

1222

14

12

21

12

21

21

21

21

nnniiiLi Pn

an

an

babP

Per tant, la relació entre la potència neta consumida per les n càrregues alhora i la potència injectada pel circuit en forma d’ona incident val

( ) ( )( )2

1

12

1

112

1

1

141

41

4

nn

P

Pn

n

P

Pn

P

P

n

n

n

n

in

n

n

iLi

+=+=

+= +

+

++

++

=

++

++

=∑∑

.

Cal remarcar que aquest resultat ens indica que aquesta manera de dividir la potència és en general poc efectiva ja que, com major és n, menys potència som capaços d’injectar al conjunt de les n càrregues alhora. (d) La potència reflectida per les n càrregues alhora val

+++++

−+ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=+−

== 1

22

1

22

12

11 11

11

21

11

21

21

nnnnn Pnna

nna

nnbP

. Si aquesta potència ha d’igualar la que consumeix un sol equip, aleshores

Lin PP =−+1

( )++

++

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

121

2

14

11

nn Pn

Pnn

( ) 41 2 =− n

0322 =−− nn

⎩⎨⎧

−=

±=

⋅+−±=

13

242

234)2(2 2

n

Com que 1−=n és absurd, la resposta correcta és 3=n

16

Problema 2.4 En l’article de H. Gruchala i A. Rutkowski, Frequency Detector with Power Combiner Dividers, (IEEE Microwave and Guided Wave Letters, Vol. 8, no. 5, pàg. 179-181, Maig de 1998), s’hi proposa un nou model de detector de freqüència basat en l’interferòmetre que es mostra en la Fig. 15.

41

3

0000

00

=−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

gjf

ggff

ggffff

S

2

0000

0

jk

kk

kkS

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Fig. 15. Estructura de l’interferòmetre i paràmetres S dels seus divisors de senyal constitutius.

(a) Per a comprendre el funcionament del detector, primerament és necessari comprendre el funcionament de l’interferòmentre. Aquest està format per 3 trams de línia de transmissió de longituds d1, d2 i d3, que connecten de la manera indicada un divisor de senyal de 3 sortides amb un divisor de Wilkinson de dues (els paràmetres S dels quals, amb les numeracions de ports corresponents, es mostren en el peu de la Fig. 15). Calculeu els paràmetres S de l’interferòmetre.

(b) El detector de freqüència es realitza connectant dos detectors de potència

perfectament adaptats ( 0ZZIN = ) en els ports 2 i 3 de l’interferòmetre (Fig. 16). Calculeu P2 i P3 en funció d’ INa , així com la relació P3/P2, que és la que contindrà informació sobre freqüència. Deixeu el resultat en funció d’f, g, k, d1, d2,i d3. Quina és la funció del detector en el port 2?

λ0 0/4, 3Z

θ β3 3 0= , d Z

θ β2 2 0= , d Z

θ β1 1 0= , d Z λ0

0

/4, 2Z

λ 0

0/4, 2Z

3 0Z

3 0Z 2 0Z

λ 0

0

/4, 3Z

λ0

0

/4, 3Z

2

3

1

4

λ0 0/4, 3Z

3 0Z

3 0Z

λ 0

0

/4, 3Z

λ0

0

/4, 3Z

2

31λ

0

0

/4, 2Z

λ 0

0/4, 2Z

2 0Z

3

2

1

17

Fig. 16. Esquema del detector de freqüència.

(c) De l’article, o simplement inspeccionant l’expressió obtinguda per a P3/P2, pot

deduir-se que una bona tria de longituds és d2= d1+�0/4, on �0 és la longitud d’ona a la freqüència central f0 de disseny de l’interferòmetre. Fent aquesta suposició, trobeu una expressió de P3/P2 en funció de la freqüència. Tingueu

en compte que 0

0ff

=λλ

i 2

)2cos(1)(cos2 xx += . Tingueu present que l’expressió

obtinguda només serà vàlida mentre els paràmetres S dels divisors de Wilkinson no variïn gaire respecte dels que tenen en la freqüència central f0 de disseny (els llistats a les matrius de paràmetres S). Per als nostres divisors podem suposar amples de banda relatius BW/f0 superiors al 40%.

(d) Finalment, trobeu una expressió lineal de la freqüència detectada f al voltant

de f0, en funció de P3/P2. Recordeu que ))((')()( axafafxf ax −+≅→ .

Resolució problema 2.4

a) Primerament, farem un canvi de plans de referència al divisor de tres sortides.

2’

3’

4’

θ11

2

3

4

θ3

θ2

Fig. 17. Divisor de tres sortides amb canvi de plans de referència.

aIN

P2

P3

1

2

3

interferòmetre

ΓG

Z =ZIN 0

Z =ZIN 0

Detectorde Potència

Detectorde Potència

18

)('

2'

jjii

ii

lljijji

ljiiii

eSS

eSSββ

β

+−

−

⋅=

⋅=

La matriu de paràmetres S que obtindrem serà:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅−⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅⋅⋅

=

−+−−

−

+−−−

−−−

2322

1

3233

223

2)(

)(2

0000

00

θθθθ

θ

θθθθ

θθθ

jjj

j

jjj

jjj

egegefef

egegefefefef

S

Si ens centrem ara a resoldre l’interferòmetre global:

2’

3’

4’

θ11

2

3

4

θ3

θ2

2’’

1’’

3’’ Fig. 18. L’interferòmetre de l’enunciat.

Amb els les denominacions òbvies per a les ones del circuit, les connexions entre els ports 3’ i 4’ amb els ports 3’’ i 4’’ imposen les lligadures següents:

43

34

32

23

''''''''''''

ababab

ab

===

=

Si desenvolupem les equacions de l’interferòmetre:

''''''''

'''')(

''''''''''''

''''

''

''''''''

'')('''''

13

22

122

2)(

1

42

2)(

1143321

42

2)(

14

13

1)(

22

1

'''''''''

4)(

22

12

12

'''''''''

4321

23221

23221

2322

1

3233

434

123

3233

213

434

123

213

kabkab

aegkaegkaeefk

aegkaegkaefkaefkkbkbkakab

aegaegaefb

aefb

aegkaegaefaegaegaefb

aeefkaefaefaefaefb

jjjj

jjjj

jjj

j

jjj

akbaakba

jjj

jjj

akbaakba

jjj

==

⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅=

=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=+=+=

⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

−+−−−

−+−−−

−+−−

−

+−−−

⋅==⋅==

↑

+−−−

−−−

⋅==⋅==

↑

−−−

θθθθθ

θθθθθ

θθθθ

θ

θθθθθθθθ

θθθθθθ

19

Per tant:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅−+⋅⋅−⋅⋅

+⋅⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−−

+−−−

−−−

''''

)(

)(0

''''

1

2

1

22)(

)(2

1

2

1

23221

3233

213

aaa

egkegkeefkegkegef

eefkef

bbb

jjjj

jjj

jjj

θθθθθ

θθθθ

θθθ

b) Si estudiem l’esquema del detector de freqüència de l’enunciat:

aIN

B2

1

2

3

ΓG

B3 Zo

Zo A2

A3

Fig. 19. Esquema del detector de freqüència.

D’aquí podem extreure:

)(

0

21

3

3

2θθ

θ

jjIN

jIN

eefkb

aefb

b

−−

−

+⋅=

⋅⋅=

=

A més, si intentem relacionar P2 i P3 en funció d’aIN trobem que:

2222233333

22222222

21

21

21

21

21

INjj

IN

aeekfbPPPP

afbPPPP

⋅+⋅⋅===−=

⋅===−=

−−−+−

−+−

θθ

Si ara relacionem P3 amb P2:

)2

cos(2)()1(

)cos(1)2

(cos2)2

(cos4

122222)(

12122122222

2

3

12121212112121

21

θθ

θθθθθθ

θθθθθθθθθθθθθθ

θθ

−⋅=+⋅=+⋅=+

−+=−

=−

⋅=+⋅=

+−

−−

−−−−−−−−−

−−

jjjjjjjjj

jj

eeeeeeeee

keekPP

La funció del detector en el port (2) és donar una referència del nivell de senyal incident (aIN), de tal manera que pugui eliminar-se de P3.

20

c)

)2

cos(1)4

2cos(1)4

2cos(1))(cos(10

0

24

012

2

3

012

ffdd

PP

dd

⋅+=⋅+=−+=−+=

=

+=

πλλπλ

λπβ

λπβ

λ

d) Per a trobar una expressió lineal de la freqüència detectada f al voltant d’ f0 cal fer un desenvolupament de Taylor d’ordre 1 de l’expressió anterior al voltant d’ f0.

00

00

0

02

3

12

)('

12

)2

sin()('

1)2

cos(1)(

)2

cos(1)(

ffQ

ffffQ

fQ

ff

PPfQ

⋅−=

⋅⋅⋅−=

=+=

⋅+==

π

ππ

π

π

Llavors:

02)21(

2)21(2)2

1(22

)2

1(

2)

21()(1

21)(

2

30

2

3

2

3

002

3

00

02

3

fPPff

PP

PP

ff

ff

PP

ffff

fPPfQ

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅−+≅

⋅−+=⋅−+⋅=⎯→⎯⋅−+=

⋅−+=−⋅⋅−≅=

ππ

ππππ

πππ

πππ

Aïllant f d’aquesta expressió:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅−+≅2

30

2)21(PPff

ππ

Problema 2.5 Una tàctica habitual per a mesurar senyals amb un analitzador d’espectres (impedància d’entrada de 50 Ohm) sense carregar els circuits mesurats consisteix a situar un divisor de tensió resistiu entre el punt del circuit a mesurar i l’analitzador d’espectres. També podem utilitzar aquests divisors per a posar punts de test en un circuit sense modificar-ne apreciablement el comportament. Si aquests divisors es dissenyen de manera adequada carregaran el circuit a mesurar de manera similar tant si en el punt de test s’hi connecta l’analitzador d’espectres com si no. En la Fig.20 es mostra un fragment de l’esquemàtic d’una placa d’avaluació del xip HFA3683 d’Intersil. Per a poder fer un test del senyal de sortida de l’integrat UPC2745, es connecta un divisor de tensió (R17=560Ω, R19=56Ω) a la pista que comunica l’integrat amb la resta

21

de circuit. La sortida del divisor correspon al punt de mesura EXT_VCO, en què podem connectar un analitzador d’espectres per a mesurar un senyal proporcional en el qual està circulant des de l’integrat UPC2745 cap a la resta de circuit.

Fig. 20. Fragment de l’esquemàtic de la placa d’avaluació de l’integrat HFA3683.

Per a determinar com la presència d’aquest divisor de tensió degrada el senyal que circula sortint de UPC2745 (tant quan connectem a EXT_VCO un analitzador d’espectres com quan no), i quina atenuació sofrirà el senyal mesurat per l’analitzador d’espectres:

(a) Calculeu els paràmetres S del circuit que es mostra en la Fig.21, que correspon aproximadament als valors de resistències del de la figura anterior si Z0 = 50 Ω. Noteu que els ports 1 i 2 corresponen als ports a través dels quals circula el senyal que s’ha de mesurar, i que el port 3 correspon al port de test, en què podem connectar un analitzador d’espectres.

Fig. 21. Esquema del divisor de tensió.

(b) Calculeu la relació b2/a1 en la configuració de la (c) Fig.22 tant quan tenim l’analitzador d’espectres connectat (port 3 carregat

amb la impedància d’entrada de l’analitzador (50 Ω) com quan no (port 3 en

22

circuit obert). Queda justificada l’elecció d’aquest circuit per a realitzar punts de test de senyals? Quina atenuació sofrirà el senyal mesurat per l’analitzador d’espectres respecte del que circula entre els ports 1 i 2?.

Z0

Z0

2

3

Z0

Analitzador d’espectres

B2A1

Fig. 22. Configuració de mesura.


a) Comencem a calcular els paràmetres Si1 del circuit de l’enunciat. Per tant, carreguem tots els ports que no són l’1 amb la seva impedància de referència. Hem de calcular la impedància d’entrada del port 1 en aquestes condicions, i les relacions entre les tensions de V2/V1 i V3/V1, per a poder calcular els paràmetres S. De la simetria del circuit se’n desprèn que S11=S22 i que S32=S31.

11Z0

Z0Z0Z0V2V1 V3

Fig. 23. Càlcul dels paràmetres Si1.

Z0/2

23

241

2423

231)

2411(

231)1(

2423

24111)1(

241

482

25232523

2523

)1223(

1223

//223

223)

2111(

231

2122

21

211

211

1

323321331

11111

2,,1221

0

02211

0

0

000

00

00

0

1

3

1

20

=⋅=−⋅=+⋅====

=−=+=+⋅==

−=

−=

+−

=+−

==

⋅=⋅+

⋅⋅=⋅=

⋅=⋅+=

=+

=+

=

∇=

ZZ

Z

VV

VVjiZZ

IN

IN

IN

x

SVVSSSS

SSVVSS

ZZZZSS

ZZ

ZZZZ

ZZZ

iji

Per tant, només ens resta calcular S33. Per a fer-ho, carreguem tots els ports excepte el port 3 amb la seva impedància de referència.

11Z0

Z0Z0Z0 V3

Fig. 24. Càlcul de S33

Veiem que obtenim el mateix circuit elèctric que per als càlculs anteriors. Per tant, la seva impedància d’entrada serà la mateixa i , per tant, S11=S22=S33. Per tant, la matriu de paràmetres S del circuit total serà:

)(241

)23(241

)23(241

11111231231

241

3211

3212

3211

aaab

aaab

aaab

S

−+⋅=

+−⋅=

++−⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

24

b)

Z0

Z0

2

3

Z0

Analitzador d’espectres

B2A1

Fig. 25. Configuració de mesura

Si NO tenim connectat l’analitzador d’espectres,

11121313313

313333

2423)

25123(

241

2512524

)(2411

aaabaaaaaaa

aaaab

≈+⋅=→⋅=→=→−=

−⋅=→=→=Γ

Si tenim connectat l’analitzador d’espectres, llavors

24230 21

1

23 ==→=Γ S

ab

Pràcticament no hi ha diferència i pràcticament b2=a1. Per tant, NO carreguem gairebé el circuit per on passa el senyal (a1) que volem mesurar per l’analitzador d’espectres. L’atenuació que sofrirà el senyal mesurat respecte d’ a1 serà:

dBSILAtenuacioaSb 6'27241log20log20 3113103 3

=−=−==→⋅==Γ

25


Problema 3.1

Per a monitoritzar el coeficient de reflexió (referit a 50Ω) que presenta una antena en la banda d’HF (3-30 MHz) no poden utilitzar-se circuits basats en acobladors direccionals realitzats amb línies de transmissió a causa del seu gran tamany. Com a alternativa, pot utilitzar-se un circuit com el que es mostra en la Fig.26. Aquest circuit consta d’un quadriport format per dos transformadors, que és l’encarregat d’extreure informació dels senyals presents entre generador i càrrega, i de comunicar- la a dos detectors del voltant amb una impedància d’entrada de 50 Ω.

( )

( ) LIDZLZ

nn

n

n

nI

LVLZDZ

nn

nV

LIDZVnDV

LIDZVnDV

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

+=

−−=

22

1

144

22122

122

22

11122

22

21

2

21

1

Fig. 26. Esquema d’un acoblador direccional de baixa freqüència (a) A la vista de les expressions que lliguen V, I, VL i IL, què cal exigir a la

relació de transformació n:1 per tal que el conjunt format pels transformadors i els detectors pugui agafar mostres dels senyals presents al sistema generador-càrrega sense modificar-ne apreciablement el funcionament? Raoneu la resposta. Suposeu que |ΓL| no és proper a 1.

Suposant que es compleixi la hipòtesi feta sobre n:1 en l’apartat (a):

(b) A la vista de les expressions de les tensions DC que detecten els detectors del voltant (els mòduls dels fasors dels senyals d’RF que els exciten a la

26

seva entrada), quina informació referent a les ones aL i/o bL podem extreure de |VD1|(DC)? I de |VD2|(DC)?

(c) Quina informació sobre el coeficient de reflexió de càrrega som capaços de deduir a partir de |VD1|(DC) i |VD2|(DC)? Com?

(d) Podem dir que el quadriport format pels dos transformadors es comporta

com un acoblador direccional? Justifiqueu la resposta enumerant els seus ports i comentant com circulen els senyals entre ells i com ho farien en un acoblador direccional ideal.


a) Si no inseríssim l’equip de mesura, el nostre sistema fóra

Z0

ZL

I IL

V VL

Fig. 27. Circuit sense equip de mesura

En què

L

L

IIVV

=

=

Per tant, l’equip de mesura no interferirà en el sistema si garanteix que es compleixen les equacions anteriors. Es complirà sempre que:

1. n>>1 (de fet, n>3 sol ser suficient) 2. Puguem menysprear els termes

LL

DZZ

nZZ

n0

22 21

21

⋅=⋅

i

022 2

12

1ZZ

nZZ

nL

D

L ⋅=⋅

respecte d’1. Això implica que cal que |ZL| no sigui ni molt major ni molt menor que Z0. Com que

L

LL

ZZ

Γ−Γ+

=11

0

si | LΓ | no és molt proper a 1 llavors es compleix.

27

b) Els detectors detectaran: D1:

LoL

VVZZ

LDD IZVn

IZVn

V

L

D

⋅−=⋅−−=

≈=↑ 2

1)(21

0

0

1

D2:

LoL

VVZZ

LDD IZVn

IZVn

V

L

D

⋅+=⋅+=

≈=↑ 2

1)(21

0

0

2

Les ones normalitzades de tensió a la càrrega es relacionen amb les tensions i corrents:

)(2

1

)(2

1

00

00

LL

LL

IZVZ

b

IZVZ

a

⋅−≡

⋅+≡

Per tant, els detectors detectaran tensions proporcionals a aL i bL.

LD

LD

akVD

bkVD

⋅=→

⋅=→

2

1

2

1

c) Per tant, podem extreure informació de | LΓ | referenciat a 50 Ω cal fer:

LL

L

D

D

ab

VV

Γ==2

1

d)

aL

bL aL

bL

KbL KaL

2

1 3

4

Fig. 28. Esquema amb les ones normalitzades a i b

L’ona que entra pel port 1, IN, (aL), surt pràcticament intacta pel port 3, OUT. Una petita part en surt pel port 4 i no en surt res pel 2 (aïllat). L’ona que entra pel port 3, IN, (bL) surt pràcticament intacta per l’1. Una petita part en surt pel 2 (acoblat) i no en surt res pel 4 (aïllat).

V≈VL I≈IL

28

Per simetria podríem dir coses similars als senyals que entren per 4 i 2. Es tracta d’un acoblador direccional.

Problema 3.2 En l’article Compact Reflective-Type Phase-Shifter MMIC for C-Band Using a Lumped-Element Coupler de F. Ellinger, R. Vogt i W Bächtold, (IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 49, no. 5, Maig 2001, pp. 913-917), s’hi descriu un desfasador variable monolític (realitzat sobre un substrat semiconductor d’AsGA) que té com a base un anell híbrid de 90º realitzat amb elements discrets (inductàncies i capacitats realitzades sobre el material semiconductor). La variació de fase s’aconsegueix controlant la capacitat que presenten uns varactors FET en funció d’una tensió de control Vcontrol.

1) A partir dels valors que es donen per a inductàncies i capacitats, calculeu els paràmetres S de l’anell híbrid () en la freqüència central de disseny f0 (ω0=2πf0), respecte d’una impedància de referència Z0. Té el comportament ideal que esperaríem d’un anell híbrid?

1

2

3

4Lh

C1C1

C2 C2

C2C2Lh

002

0

0h

001

Z12C

2ZL

Z1C

ω−

=

ω=

ω=

Fig. 17. Anell Híbrid de 90º amb components discrets.

2) Analitzeu a continuació el comportament de l’anell quan connectem dos

varactors FET en els seus ports 3 i 4 (Fig. 18). Els varactors FET poden modelar-se com una capacitat variable CV en sèrie amb una petita resistència de valor RV<<Z0.

Γ

Γ

1

2

3

4

RV

jX

C [C ...C ]V MIN MAXε

[S]

Fig. 18. Esquema del desfasador.

a) Calculeu els paràmetres S del circuit resultant. Deixeu el resultat en funció d’un

coeficient de reflexió, referit a Z0, dels varactors Γ (no substituïu el valors RV i CV). Suposeu que la matriu de paràmetres S de l’anell híbrid és:

29

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=θ

001j00j11j00j100

2eS

j

b) Quin serà el desfasatge entre una ona incident al port 1 (a1) i l’ona sortint pel

port 2 (b2). Deixeu el resultat en funció de Γ. Com afectarà el comportament del sistema |Γ|?

c) Si la impedància que carreguem als ports 3 i 4 és capacitiva (X<0), podent tenir

una component resistiva RV<<Z0, aleshores es demostra que la màxima diferència de fase (diferència entre els desfasatges màxims i mínims que podem ocasionar en l’ona b2) que podem aconseguir variant els valors d’aquesta reactància entre els seus valors mínim XMIN i màxim XMAX és de:

( ) ( )( )0

MINMAX ZXXXarctgXarctg2 =−=ϕΔ

Per al cas dels varactors FET, ( ) 1

MAX0MIN CX −ω−= i ( ) 1MIN0MAX CX −ω−= .

Demostreu que podem millorar la màxima diferència de fase connectant en sèrie amb el varactor FET una inductància L (Fig. ). Tenint en compte que la fórmula anterior és en principi només vàlida per a reactàncies negatives, quin és valor d’L que fa maximitzar la màxima diferència de fase?

RV

jX

C [C ...C ]V MIN MAXε

L

π/2arctg(a)

a

Fig. 19. Varactor amb inductància sèrie i funció arctg(a).


1) Donada la simetria del circuit, per resoldre el problema farem ús de la descomposició en mode parell i senar. Per fer-ho, ens servirem dels següents càlculs:

30

1212

12121

222

111

0

0202

000002

0

012

02

0

00

0

0

01

10

101100

1

−−=⇒

−==⇒

⇒−

=−=−=

−=⇒==⇒=

−==⇒===⇒=

ZjZZ

jCjY

ZZZC

LC

ZjYZjLjZZL

jZY

ZZ

jCjjBYZ

C

L

h

ω

ωωωω

ω

ωω

ωω

A continuació procedim a realitzar la descomposició en mode parell i senar.

(i) MODE PARELL ( eS )

Com que el circuit torna a ser simètric, tornem a aplicar la descomposició en mode parell i senar tot separant ambdues parts pel pla de simetria mostrat. (i.1) Mode parell ( eeΓ )

)12(1)12(1

11

11

20

20

02

02

02

02

−+−−

=+−

=+

−=

+−

=jj

YYYY

YY

YYZZZZ

eeΓ

(i.2) Mode senar ( eoΓ )

)12(1)12(1

)212(1)212(1

)2()2(

120

120

+++−

=+−++−−

=+++−

=jj

jj

YYYYYY

eoΓ

1

2

3

4Lh

C1C1

C2 C2

C2C2Lh

Z0

1 2

Y2 Y2 Z0

Z1

Z0

1

Y2

Z0

1

Y2 2Y1

31

Si ara unim els resultats dels dos subapartats anteriors trobem la matriu de paràmetres S de la descomposició en mode parell del circuit original. Per fer-ho, només ens cal aplicar la fórmula:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+

=eoeeeoee

eoeeeoeeeS

ΓΓΓΓΓΓΓΓ

21

Per poder aplicar-la, però, primer hem de trobar eoee ΓΓ + i eoee ΓΓ − :

=+−−−+++

+−+−++−++−+−−++=

=+++−

+−+−−

=+

)12)(12()12()12(1)12)(12()12()12(1)12)(12()12()12(1

)12(1)12(1

)12(1)12(1

jjjjjj

jj

jj

eoee ΓΓ

22

222

4)12(221

)12(22 jjjj

−=−==+−+

−+=

222

42222

22)12)(12()12()12(1)12)(12()12()12(1

)12(1)12(1

)12(1)12(1

==+

=

=+−−−−++−+−+−−++

=

=+++−

−−+−−

=−

jj

jjj

jjjjj

jj

jj

eoee ΓΓ

Per tant:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

=j

jj

jSe 11

21

2222

21

(ii) MODE SENAR ( oS )

Continuem ara a partir de la primera descomposició, la del circuit original, per fer ara l’estudi del mode senar.

Igual que abans, procedim a realitzar de nou la descomposició gràcies a la simetria que presenta aquest subcircuit. (ii.1) Mode parell ( oeΓ )

Z0

1 2

Y2 Y2 Z0

Y1

2Y 2Y

32

eooe j

jjjjj

YYYYYY

ΓΓ 1

)12(1)12(1

22)12(122)12(1

)2()2(

20

20 =+−++

=−−++−−

=+++−

=

(ii.2) Mode senar ( ooΓ )

oo jj

jjjj

YYYYYY

ΓΓ

)12(1)12(1

22)12(122)12(1

)2()2(

20

20 =+−++

=+−++−−

=+++−

=

Per tant, si unim els resultats parcials trobats fins ara podem escriure la matriu de paràmetres S final com:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Γ+ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ+Γ

=oooeoooe

oooeoooeeS

21

Per omplir-la, igual que abans, primer hem de trobar la suma i la resta dels coeficients de reflexió normalitzats oeΓ i ooΓ :

222

422

)12(22)12)(12()12()12(1

)12)(12()12()12(1)12)(12()12()12(1

)12(1)12(1

)12(1)12(1

jjj

jjjjjj

jj

jj

oooe

=−

=−

−+=

−+−−−−−=−++−−−++−++++−−

=

=−−−+

++−++

=+ ΓΓ

222

422

2222

)12)(12()12()12(1)12)(12()12()12(1

)12(1)12(1

)12(1)12(1

−=−

=−

+=

−=−+−−+−−−−++++−−

=

=−−−+

−+−++

=−

jj

jjj

jjjjj

jj

jj

oooe ΓΓ

Si ara escrivim la matriu S:

eo Sj

jj

jS −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

=1

12

12222

21

Z0

1

Y2 2Y

Z0

1

2Y 2Y1

33

Per últim, ajuntant els resultats parcials de les dues descomposicions trobem la matriu de paràmetres S final com:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+

=

001001100

100

2001001

100100

21

0220

21

21

jj

jj

j

jj

jj

SS

SSSSSSSS

Se

e

oeoe

oeoe

2) Per resoldre el segon apartat partim de l’esquema següent:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

001001100

100

001001100

100

2j

jj

j

K

jj

jj

eSjθ

(a) Explicitem les equacions i resolem:

)()(

)()()()(

214

213

43432

43431

ajaKbjaaKb

bjbKajaKbjbbKjaaKb

+=

+=

+=+=

+=+=

ΓΓ

Si substituïm 3b i 4b a les dues primeres expressions trobem:

12

12

2122

12

43432

22

22

212

212

43431

2)()()(

2)()()(

ajeaKjajaajjaKbjbKajaKb

ajeaKjjaajjaaKjbbKjaaKbj

j

ΓΓΓΓ

ΓΓΓΓθ

θ

==+++=+=+=

==+++=+=+=

Per tant:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

12

2

1

0110

aa

jebb j Γθ

(b) El desfasament vindrà controlat per la fase d’ 21S :

))arg(22

(221

Γθπθ ΓΓ

++==

jj ejeS

Veiem que el desfasament és )arg(22

Γθπ++ , depèn de Γ , i que per tant si variem

aquest paràmetre podem variar la fase.

Γ=a /b3 31

2

3

4

[S]

Γ=a /b4 4

a1

b1

a2

b2

34

El mòdul de Γ , Γ , ens atenuarà l’ona 2b respecte d’ 1a . Això provoca, si és menor que 1, pèrdues.

(c) Per als varactors fets sense bobina la distància (*) ve controlada per MAXC i

MINC , característiques del varactor. Si aconseguíssim moure MINX i MAXX cap a l’esquerra, però, ens situaríem en una zona de més pendent de l’arctg i tindríem més ϕΔ .

100

100

)(

)(

−

−

−=

−=

MINMAX

MAXMIN

CZX

CZX

ω

ω

Això ho podem fer afegint una inductància sèrie al FET:

MAXMIN

MAXMIN

v

CLX

CLX

CLX

20

00

'

00

'

10'

11

ω

ωω

ωω

=⇒=

−=⇒−=

π/2Arctg( )| |X

| |X

Δϕ

| |XMIN | |XMAX

(*)

35


Problema 5.1 Sigui un transistor de microones els paràmetres S del qual i de soroll, a la freqüència d'interès, són:

Ω==Γ=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=30

6.05.1

4.05.305.03.0

n

OPT

MIN

R

dBFS

Amb aquest transistor es vol realitzar un amplificador amb l'estructura que es mostra en la Fig. 20.

Fig. 20. Esquema de l’amplificador.

a) Discutiu l’estabilitat del transistor.

b) És unilateral? Trobeu ΓG i ΓL per tal que l’amplificador sigui estable, tingui

mínim soroll, i un guany de transferència al més compatible possible amb el mínim soroll. Calculeu i indiqueu la figura de soroll, el valor del guany de transferència obtingut i el guany disponible. Justifiqueu les respostes.

c) Trobeu els paràmetres de la xarxa d’adaptació d’entrada (d1, B1) de

l’amplificador per al cas de l’apartat (b).

d) Si el generador té una font de tensió interna d'amplitud (de pic) |VG|=1V, amb les condicions de l’apartat (c), calculeu la potència associada a l'ona progressiva que incideix en la càrrega ZL (considerant ℜ∈Zo ).


(a) Hem de discutir l’estabilitat del transistor. Sabem que el transistor serà incondicionalment estable si compleix amb:

jX 2

Z=500 Ω

Z 0Z0

d1 Z 0

TRT

ΓG ΓL

jB2 jB1

36

Sistema incondicionalment estable

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>Δ+−−

=

<−=Δ

<

<

⇔

1SS2SS1

K

i1SSSS

i1S

i1S

2112

2222

211

21122211

22

11

Per tant, si ho comprovem:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>=Δ+−−

=

<−=−=Δ

<=

<=

12.39152

1

129.0

14.0

13.0

2112

2222

211

21122211

22

11

SSSS

K

SSSS

S

S

Per tant, com que es compleixen totes les condicions, és incondicionalment estable.

(b) En aquest apartat ens demanen si és unilateral i que trobem ΓG i ΓL per tal que l’amplificador sigui estable, tingui mínim soroll, i un guany de transferència al més compatible possible amb el mínim soroll. A més a més, ens demanen que calculem/indiquem la figura de soroll, el valor del guany de transferència obtingut i el guany disponible.

Anem pas per pas. És unilateral? Si sabem que per poder-lo considerar com a tal ha de complir que:

12112 <<SS Si ho comprovem, observem que:

0.17505.0·5.32112 ==SS que no és gaire més petit que 1. Per tant, l’amplificador no és unilateral. ΓG i ΓL per tal que l’amplificador sigui estable, tingui mínim soroll, i un guany de transferència al més compatible possible amb el mínim soroll Per tal que tingui el mínim soroll, necessitem que 6.0=Γ=Γ OPTG . Per tant, el

coeficient de reflexió a l’entrada GΓ ja el tenim fitxat. Per aconseguir el màxim guany possible ara, l’única cosa que podem fer és que a la sortida de l’amplificador tinguem OL Γ=Γ * , per tant:

272.01

6.011

211222

* −==Γ−Γ

+=Γ=Γ=Γ=Γ

K

OPTGG

GOL S

SSS

Figura de soroll?

37

Com que 6.0=Γ=Γ OPTG , llavors la figura de soroll és la de l’enunciat:

dBFMIN 5.1= Guany de transferència que tenim sota aquestes condicions? Sabem que el guany de transferència respon a la següent equació:

( ) ( )2

21122211

2221

2

)1)(1(

1 1

LGLG

LGT

SSSS

SG

ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−=

Per tant, si substituïm per:

272.06.0

−=Γ=Γ=Γ

L

OPTG

Tenim:

( ) ( )5909.12

)1)(1(

1 12

21122211

2221

2

=ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−=

LOPTLOPT

LOPTT

SSSS

SG

Guany disponible ( AG )? Com ja sabem, les definicions del guany de transferència i del guany disponible són:

gav

LT P

PG,

= gav

NavA P

PG

,

,=

Per tant, si observem atentament, en el cas que a la sortida del nostre amplificador tinguem adaptació conjugada (com és el cas), tots dos guanys són equivalents, per tant,

5909.12== TA GG

(c) Hem de trobar els paràmetres de la xarxa d’adaptació d’entrada (d1, B1) de l’amplificador per al cas de l’apartat anterior.


Tenim que

jX 2

Z=500 Ω

Z0 Z 0

d1Z 0

TRT

ΓG ΓL

jB2jB1

38

272.06.0

−=Γ=Γ=Γ

L

OPTG

Fig. 22. Xarxa d’entrada vista cap al generador.

Tractem jB1 i Zo en la carta de Smith d’admitàncies i per tant,

11 1 BjYjBYY AOA +=⇒+= que representa un cercle en la carta de Smith. Ara hem de passar 6.0=Γ=Γ OPTG en la carta d’admitàncies i buscar el punt de

creuament amb el cercle anterior ( BjYA +=1 ), movent aquest 6.0=Γ=Γ OPTG situat en la carta d’admitàncies, cap a càrrega. Veiem que es creuen en 2 punts:

5.111 jYA +=

5.112 jYA −= Mirant la distància (representada en fraccions de longitud d’ona) en l’exterior de la carta de Smith, trobem la longitud l1 = 0.176 del stub (en fraccions de longitud d’ona) pel primer cas, i una longitud l2 = 0.324 pel segon cas.

39

Fig. 23. Adaptació de l’entrada.

Si el generador té una font de tensió interna d'amplitud (de pic) |VG|=1V, amb les condicions de l’apartat (c), hem de calcular la potència associada a l'ona progressiva que incideix en la càrrega ZL(considerant ℜ∈Zo ).

Fig. 24. Esquema de l’amplificador (TRT amb les seves xarxes d’adaptació) connectat al generador

i a la càrrega.

40

Hem de tenir present que tenim l’amplificador muntat amb les seves xarxes d’adaptació a l’entrada i a la sortida corresponents i que per tant (considerant ℜ∈Zo ):

)50(0

)50(05909.12max

Ω==Γ

Ω==Γ=

gL

gg

T

Zcàrrega

ZG

Hem de tenir present però, que xarxaIg Γ≠=Γ 0 perquè encara que tinguem la xarxa d’adaptació a l’entrada, no és així entre la xarxa i el TRT. Llavors no tenim màxima transferència de potència, perquè en l’apartat b vam buscar tenir el mínim soroll (

TRTxarxa IOPTG*6.0 Γ≠=Γ=Γ ). Però aquest fet no ens afectarà els càlculs, perquè

farem servir GT, que depèn de gavP , , que considera xarxaIg Γ==Γ 0 . Com que ens demanen la potència associada a l’ona progressiva que incideix sobre la càrrega i que aquesta està adaptada 0=Γ càrregaL : Això implica que:

{ } g,avTLLLLL P·GbPcàrregaabPPP ====Γ=−=−= +−+ 222

210

21

21

És a dir:

gav

L

gav

LT P

PPPG

,,

+

==

Ara, pel càlcul de gavP , , tenim el següent esquema:

Fig. 25. Esquema d’ones a l’entrada de l’amplificador.

En què recordem que gràcies que estem calculant gavP , considerem que tenim

0* * =Γ=Γ=Γ xarxaIgg (considerant ℜ∈Zo ).

Fig. 26. Esquema d’impedàncies a l’entrada de l’amplificador.

Per tant,

[ ] mWZo

VgZo

VgVgVIP gav 5.250·8

181

2*

2Re

21*Re

21

2

, ===⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

Γg

Γg*

Pav,g

a

b

41

Per tant, la potència final que cau sobre la càrrega és de:

mWPGPP gavTLL 48.310025.0·5909.12· , ==== +

Problema 5.2 Sigui un transistor de microones els paràmetres S del qual i de soroll, a la freqüència d'interès, són:

Ω===Γ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

Ω=20R1.1F3.0

4.023.05.0

S nMINOPT50Z0


Fig. 27. Amplificador de microones del problema 2.

a) Discutiu l'estabilitat del transistor.

b) Trobeu els valors de Γg i de ΓL que fan que l'amplificador sigui estable, amb soroll mínim i amb un guany de transferència al més compatible possible amb la restricció de mínim soroll.

c) Trobeu el màxim guany de transferència que pot oferir aquest amplificador

funcionant de manera estable, i trobeu (resolent el sistema d’equacions pertinent) els valors de Γg i de ΓL que l'aconsegueixen. Trobeu el factor de soroll en aquest cas.

d) Per als valors de Γg i de ΓL de l'apartat (b), trobeu els valors de X1, B2, X3 i

B4.


(a) Hem de discutir l'estabilitat del transistor. Sabem que el transistor serà incondicionalment estable si compleix amb:

Z =50G Ω

Z =500 Ω

jB2

jX1 jX3

jB4

Z =50

L

ΩTRT

ΓLΓg

42


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>Δ+−−

=

<−=Δ

<

<

⇔

1SS2SS1

K

i1SSSS

i1S

i1S

2112

2222

211

21122211

22

11


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>=Δ+−−

=

<−=−=Δ

<=

<=

1025.12

1

18.0

14.0

15.0

2112

2222

211

21122211

22

11

SSSS

K

SSSS

S

S

Per tant, com que es compleixen totes les condicions, és incondicionalment estable.

(b) En aquest apartat ens demanen que trobem ΓG i ΓL per tal que l’amplificador sigui estable, tingui mínim soroll, i un guany de transferència al més compatible possible amb el mínim soroll.

Per tal que tingui el mínim soroll, 1.1=MINF , necessitem que 3.0=Γ=Γ OPTG . Per

tant, el coeficient de reflexió a l’entrada GΓ , ja el tenim fitxat. Per aconseguir el màxim guany possible ara, l’única cosa que podem fer és que a la sortida de l’amplificador tinguem OL Γ=Γ * , per tant:

556.01

3.011

211222

* ==Γ−Γ

+=Γ=Γ=Γ=Γ

K

OPTGG

GOL S

SSS

Guany de transferència que tenim sota aquestes condicions?

556.03.0

=Γ=Γ=Γ

L

OPTG

Sabem que el guany de transferència respon a la següent equació:

( ) ( )2

21122211

2221

2

)1)(1(

1 1

LGLG

LGT

SSSS

SG

ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−=

Per tant, si substituïm tenim:

( ) ( )dB

SSSS

SG

LOPTLOPT

LOPTT 698.3

)1)(1(

1 12

21122211

2221

2

⇒=ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−=

(c) Ens demanen que trobem el màxim guany de transferència que pot oferir

aquest amplificador funcionant de manera estable, i que trobem (resolent el

43

sistema d’equacions pertinent) els valors de ΓG i de ΓL que l'aconsegueixen. A més a més, haurem de trobar el factor de soroll per a aquest cas.

Màxim guany de transferència: El màxim guany de transferència que ens pot oferir, com que l’amplificador (tal com hem vist al primer apartat) és incondicionalment estable, serà:

( ) 33.51max 2

12

21 =−−== KKSS

MAGGT

Valors de ΓG i de ΓL per aconseguir MAG: Per aconseguir el màxim guany de transferència sabem que s’ha de complir que

( )LL

LIg f

SSSS Γ=

Γ−Γ

+=Γ=Γ22

211211

*

1

( )gg

gOL f

SSS

S Γ=Γ−

Γ+=Γ=Γ

11

211222

*

1

I com que el transistor NO és unilateral ( 6.02112 =SS que no és molt més petit que 1) no podem fer la simplificació:

11* SIg =Γ=Γ

22

* SOL =Γ=Γ En aquest sistema d’equacions, com que tots el paràmetres S són reals,

ΓG i de ΓL

també ho seran i per tant tenim un sistema de equacions amb dues incògnites, que en resoldre’l surt:

( )

( ) 05.0

1

1*

*

11

211222

*

22

211211

*

=Γ=Γ−=Γ=Γ

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Γ=Γ−

Γ+=Γ=Γ

Γ=Γ−Γ

+=Γ=Γ

OL

IG

gg

gOL

LL

LIg

fSSS

S

fSSSS

Si calculéssim ara GT max sota aquestes condicions, veurem que sortirà el mateix que MAG:

( ) ( )33.5

)1)(1(

1 1max 2

21122211

2221

2

=ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−=

LGLG

LGT

SSSS

SG

Factor de soroll per a aquest cas Ja no estem en condicions de 3.0=Γ=Γ OPTG , ja que 5.0−=ΓG , per tant, hem d’agafar la següent fórmula per calcular el factor de soroll:

( ) 20

2

20

0min

1 14

GG

GGn

ZRFF

Γ+Γ−

Γ−Γ+=

44

En què, substituint, tenim:

( ) 907.13.01 5.01

3.05.0502041.1 22

2

=+−

−−+=F

(d) Ara, per als valors de Γg i de ΓL de l'apartat (b), trobeu els valors de X1, B2, X3

i B4. Els valors de Γg i de ΓL de l’apart b són:

556.03.0

=Γ=Γ=Γ

L

OPTG

Calcularem les xarxes d’adaptació per parts (primer a l’entrada i després a la sortida): Xarxa d’adaptació a l’entrada:

Fig. 28. Xarxa d’adaptació de l’entrada. Vista cap a l’entrada.

Primer de tot, calcularem l’admitància d’entrada YA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

++

=++

−=+

+= 22

12

12

1222

12

12

1 505050

50501 B

XXj

XjB

XjXjB

jXZoYA

Per una altra banda sabem que l’admitància que volem veure és:

01077.0113.0 =

Γ+Γ−

=⇒=Γ=ΓG

GoAOPTG YY

Per tant, si igualem totes dues expressions tenim que:

01077.05050

5022

12

12

12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

++

BX

XjX

Per tant,

00997.00

50

28.4601077.050

50

2

221

21

121

2

±=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

±=⇒=+

BB

XXj

XX

jX1

jB2 Yo

YA

45

Xarxa d’adaptació a la sortida:

Fig. 29. Xarxa d’adaptació de sortida. Vista cap a la sortida.

Primer de tot, calcularem l’admitància d’entrada YB

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

++

=++

−=+

+= 42

32

32

3242

32

34

3 505050

50501 B

XXj

XjB

XjXjB

jXZoYB


005707.011556.0 =

Γ+Γ−

=⇒=ΓL

LoBL YY


005707.05050

5042

32

32

32 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

++

BX

XjX

Per tant,

00903.00

50

12.79005707.050

50

4

423

23

323

2

±=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

±=⇒=+

BB

XXj

XX

Problema 5.3 Sigui un transistor de microones els paràmetres S del qual i de soroll, a la freqüència d'interès, són :

Ω===Γ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Ω=20R1.1F3.0

4.023.05.0

S nMINOPT50Z0


jX3

jB4Yo

YB

46

Fig. 30. Amplificador de microones del problema 3.

a) Discutiu l'estabilitat del transistor.

b) Trobeu els valors de Γg i de ΓL que fan que l'amplificador sigui estable, amb

soroll mínim i amb un guany de transferència al més compatible possible amb la restricció de mínim soroll i estabilitat. Trobeu el valor del guany de transferència i del factor de soroll.

c) Per als valors de Γg i de ΓL de l'apartat (b), trobeu els valors de X1, B2, X3 i

B4. Si per a alguna xarxa no és possible fer l'adaptació, modifiqueu-la de tal manera que continuï sent només de dos elements reactius i permeti l'adaptació d'impedàncies.

d) Si el generador té una font de tensió interna d'amplitud (de pic) |VG|=1V,

calculeu la potència associada a l'ona progressiva que incideix en la càrrega ZL.


(a) Hem de discutir l'estabilitat del transistor. Sabem que el transistor serà incondicionalment estable si compleix amb:


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>Δ+−−

=

<−=Δ

<

<

⇔

1SS2SS1

K

i1SSSS

i1S

i1S

2112

2222

211

21122211

22

11

47


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>⇒=Δ+−−

=

<=−=Δ

<=

<=

1625.02

1

14.0

14.0

15.0

2112

2222

211

21122211

22

11

ésNOSSSS

K

SSSS

S

S

Per tant, com que NO es compleixen totes les condicions, NO és incondicionalment estable. ÉS POTENCIALMENT INESTABLE. S’haurà de comprovar l’estabilitat per a cada cas concret de Γg i de ΓL.

(b) En aquest apartat ens demanen que trobem ΓG i ΓL per tal que l’amplificador sigui estable, tingui mínim soroll, i un guany de transferència al més compatible possible amb el mínim soroll.

Per tal que tingui el mínim soroll, 1.1=MINF , necessitem que 3.0=Γ=Γ OPTG . Per

tant, el coeficient de reflexió a l’entrada GΓ , ja el tenim fitxat. Per aconseguir el màxim guany possible ara, l’única cosa que podem fer és que a la sortida de l’amplificador tinguem OL Γ=Γ * , per tant:

estableSSS

SOPTG

G

GOL ⇒<==

Γ−Γ

+=Γ=Γ=Γ=Γ

16118.01

3.011

211222

*K

És estable a la sortida perquè el mòdul de oΓ és més petit que 1. Ara, mirem si també és estable l’entrada amb aquest valor de LΓ :

estableSSS

SLL

LI ⇒<=

Γ−Γ

+=Γ=Γ

1986.01 6118.022

211211

És estable a l’entrada perquè el mòdul de IΓ és més petit que 1 sota aquestes condicions. Quin guany de transferència tenim sota aquestes condicions? Tenim:

6118.03.0

=Γ=Γ=Γ

L

OPTG

Sabem que el guany de transferència respon a la següent equació:

( ) ( )2

21122211

2221

2

)1)(1(1 1

LGLG

LGT

SSSSS

GΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−=

48

Per tant, si substituïm tenim:

( ) ( )dB

SSSS

SG

LOPTLOPT

LOPTT 05.905.8

)1)(1(

1 12

21122211

2221

2

⇒=ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−=

Factor de soroll en aquest cas:

1.1=MINF , perquè 3.0=Γ=Γ OPTG

(c) Ara, per als valors de Γg i de ΓL de l'apartat (b), hem de trobar els valors de X1, B2, X3 i B4.

Els valors de Γg i de ΓL de l’apart b són:

6118.03.0

=Γ=Γ=Γ

L

OPTG

Calcularem les xarxes d’adaptació per parts (primer a l’entrada i després a la sortida): Xarxa d’adaptació a l’entrada:

Fig. 31. Xarxa d’adaptació de l’entrada. Vista cap a l’entrada.

Primer de tot, calcularem l’admitància d’entrada YA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

++

=++

−=+

+= 22

12

12

1222

12

12

1 505050

50501 B

XXj

XjB

XjXjB

jXZoYA


01077.0113.0 =

Γ+Γ−

=⇒=Γ=ΓG

GoAOPTG YY


01077.05050

5022

12

12

12

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

++

BX

XjX

jX1

jB2 Yo

YA

49

Per tant,

00997.00

50

28.4601077.050

50

2

221

21

121

2

±=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

±=⇒=+

BB

XXj

XX

Xarxa d’adaptació a la sortida:


Primer de tot, calcularem l’admitància d’entrada YB

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

++

=++

−=+

+= 42

32

32

3242

32

34

3 505050

50501 B

XXj

XjB

XjXjB

jXZoYB


00481.0116118.0 =

Γ+Γ−

=⇒=ΓL

LoBL YY


00481.05050

5042

32

32

32

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

−+

+B

XX

jX

Per tant,

00855.00

50

76.8800481.050

50

4

423

23

323

2

±=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

−

±=⇒=+

BB

XX

j

XX

(d) Ara sí el generador té una font de tensió interna d'amplitud (de pic) |VG|=1V, ens demanen que calculem la potència associada a l'ona progressiva que incideix en la càrrega ZL.

jX3

jB4Yo

YB

50

Fig. 33. Esquema de l’amplificador (TRT amb les seves xarxes d’adaptació) connectat al generador

i a la càrrega. Hem de tenir present que tenim l’amplificador muntat amb les seves xarxes d’adaptació a l’entrada i a la sortida corresponents i que per tant :

)50(0)50(0

05.8max

Ω==Γ

Ω==Γ=

gL

gg

T

ZcàrregaZ

G

Hem de tenir present però, que xarxaIg Γ≠=Γ 0 perquè encara que tinguem la xarxa d’adaptació a l’entrada, no és així entre la xarxa i el TRT. Llavors no tenim màxima transferència de potència. Recordem que en l’apartat b vam buscar tenir el mínim soroll ( TRTxarxa IOPTG

*3.0 Γ≠=Γ=Γ ). Però aquest fet no ens afectarà els càlculs, perquè farem servir GT, que depèn de gavP , , que considera xarxaIg Γ==Γ 0 . Com que ens demanen la potència associada a l’ona progressiva que incideix en la càrrega i que aquesta està adaptada 0=Γ càrregaL : Això implica que:

{ } g,avTLLLLL P·GbPcàrregaabPPP ====Γ=−=−= +−+ 222

210

21

21

És a dir:

gav

L

gav

LT P

PPPG

,,

+

==

Ara, per al càlcul de gavP , , tenim el següent esquema:

Fig. 34. Esquema d’ones a l’entrada de l’amplificador.

En què recordem que gràcies que estem calculant gavP , considerem que tenim

0* * =Γ=Γ=Γ xarxaIgg (considerant ℜ∈Zo ).

Γg

Γg*

Pav,g

a

b

51

Fig. 35. Esquema d’impedàncies a l’entrada de l’amplificador.

Per tant,

[ ] mWZo

VgZo

VgVgVIP gav 5.250·8

181

2*

2Re

21*Re

21

2

, ===⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

Per tant, la potència final que cau sobre la càrrega és de:

mW..·.P·GPP g,avTLL 1252000250058 ==== +

Problema 5.4 Suposeu l’amplificador de microones de la Fig. 36, realitzat amb un transistor de paràmetres S (referits a Z0) i de soroll:

330 11

8053

02070.

dB...

..S

OPT

MIN

=Γ=Γ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=


(a) Discutiu l’estabilitat del transistor.

(b) És unilateral? Justifiqueu-ne la resposta. Torbeu el màxim guany de

transferència que pot assolir i comenteu com trobaríeu per aquest cas ΓG i ΓL.

(c) Trobeu ΓG i ΓL per tal que l’amplificador sigui estable, tingui mínim soroll i el major guany possible compatible amb el mínim soroll. Doneu el valor del guany de transferència obtingut. Justifiqueu-ne les respostes.

(d) Si, per al cas anterior, calculéssim el guany de potència, obtindríem un valor

major o menor que el del guany de transferència? Per què? I si calculéssim el guany disponible?

52

(e) Trobeu els paràmetres de les xarxes d’adaptació d’entrada i de sortida de l’amplificador per al cas de l’apartat (c).


(a) Hem de discutir l’estabilitat del transistor. Sabem que el transistor serà incondicionalment estable si compleix amb:

Sistema incondicionalment estable ⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>Δ+−−

=

<−=Δ<<

12

11

i 1i 1

2211

2222

211

21122211

22

11

SSSS

K

iSSSSSS

Ho comprovem:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>=Δ+−−

=

<−=−=Δ<=<=

190612

116310

180170

2211

2222

211

21122211

22

11

.SSSS

K

.SSSS.S.S

Per tant, es pot afirmar que el transistor és incondicionalment estable.

(b) Ens demanen que mirem si és unilateral i que trobem el màxim guany de transferència que pot assolir i que, a més a més, comentem com trobaríem per a aquest cas ΓG i ΓL

Anem pas per pas: És unilateral? Si sabem que per poder-lo considerar com a tal ha de complir que:

12112 <<SS Si ho comprovem, observem que:

0.07020532112 == .·.SS que és molt més petit que 1. Per tant, l’amplificador és unilateral Màxim guany de transferència que pot assolir GTUMAX?. El guany de transferència per a un transistor unilateral ( 12112 <<SS ) es pot calcular com:

53

( ) ( )2

22

22

21211

2

11

11

L

L

G

GTU

SS

SG

Γ⋅−

Γ−⋅⋅

Γ⋅−

Γ−=

Trobar per a aquest cas ΓG i ΓL El valor màxim s’obté quan s’entrega la màxima potència del generador al quadripol i del quadripol a la carrega. Per tant, caldrà que (considerant que és unilateral):

1122

211211

*

1S

SSSS

L

LIg ≈

Γ−Γ

+=Γ=Γ

2211

211222

*

1S

SSS

Sg

gOL ≈

Γ−

Γ+=Γ=Γ

Fig. 37. Esquema amplificador amb les xarxes d’adaptació que proporcionen adaptació complexa

conjugada. Si realitzem els càlculs tenim present aquestes condicions, obtenim que:

( ) ( )

( ) ( )

dB...

..

SS

SSS

SS

SS

S

SS

SS

SG

**

*L

*G

L

L

G

GTUMAX

2418766801

153701

1

11

11

1

1

1

1

11

11

22

2

222

2212

112

2222

2222

212

1111

211

222

22

21211

2

22

11

⇒=−

⋅⋅−

=

=−

⋅⋅−

=⋅−

−⋅⋅

⋅−

−=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=Γ=Γ

=Γ⋅−

Γ−⋅⋅

Γ⋅−

Γ−=

(c) Hem de trobar ΓG i ΓL per tal que l’amplificador sigui estable, tingui mínim soroll,

i el major guany possible compatible amb el mínim soroll. Si volem mínim soroll (F=1.1) cal que 330.OPTG =Γ=Γ

A més a més, per a tenir el màxim guany possible cal que 8.0*22

* ==Γ=Γ SOL Llavors:

( ) ( )dB

..

...

SS

SG

G

GTU 1320

801153

3307013301

11

11

22

2

2

222

2212

11

2

⇒=−

⋅⋅⋅+

−=

−⋅⋅

Γ⋅−

Γ−=

54

(d) Ara, per al cas anterior, hem de comparar el guany de potència amb el guany de transferència i amb el guany disponible:

Sabem que:

I

LP P

PG =

g,av

LT P

PG =

g,av

N,avA P

PG =

Pav,g és la màxima potència disponible al generador i això passa quan *

I GΓ=Γ . En

l’apartat (c) això no es compleix. Per tant, g,avPP <I .

Pav,N és la màxima potència que es pot tenir en la càrrega i això passa quan *LO Γ=Γ .

En l’apartat (c) això si que es compleix. Per tant, NavPP ,L = .

En què NavP , és la potència disponible per la xarxa formada pel generador i l’amplificador. Llavors, sota aquestes condicions ( *

GI Γ≠Γ , *LO Γ=Γ ) tenim:

AT

PT

Ag,av

N,av

g,av

LT

I

N,av

I

LP

GGGG

GPP

PPG

PP

PPG

=<

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

===

==

(e) Hem de trobar els paràmetres de les xarxes d’adaptació d’entrada i de sortida de l’amplificador pel cas de l’apartat (c).

Xarxa d’adaptació d’entrada

Fig. 38. Xarxa d’adaptació d’entrada. Vista cap a l’entrada.

Tenim que 330.OPTG =Γ=Γ . Tractem jB1 i Z0 en la carta de Smith d’admitàncies. Per

tant, tenim que 11 1 BjYjBYY AOA +=⇒+= , que representa un cercle en la carta de

Smith. Ara hem de passar 330.OPTG =Γ=Γ en la carta d’admitàncies i buscar el punt

55

de creuament amb el cercle anterior ( 11 BjYA += ) movent-nos cap a càrrega. Aquests dos cercles es tallen en el punt 7.011 jYG −= i en el punt 7.012 jYG += . Llavors, per

al primer punt tenim 101111 014.07.07.0 −Ω−=⋅−=⇒−= YBB i per al segon punt

101212 014.07.07.0 −Ω=⋅+=⇒+= YBB . La longitud del stub l’obtenim mirant la

distància (representada en fraccions de longitud d’ona) en l’exterior de la carta de Smith. D’aquesta manera, obtenim com a primera solució per a la línea de transmissió, que per al primer punt de tall: 152.011 == λdl i com a segona solució o possibilitat, per al segon punt de tall 348022 .dl == λ .

Fig. 39. Adaptació de l’entrada.

56

Xarxa d’adaptació de sortida


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++

=⇒++

=+=

+=⇒+=

22

20

222

220

02

2022

202202

1

1

XZXBj

XZZ

YjBjXZ

jBYY

jXZYjXZZ

LL

Sabem que:

0020801801

501

1180

11

00 ...YY.YY

L

LLL

L

LL =

+−

⋅=Γ+Γ−

=⇒=Γ⇒Γ+Γ−

=

Com es pot observar YL només té part real i per tant, la part imaginària és igual a zero. Així:

122

020

22

222

20

0

00600

1500020

−Ω=⇒=+

−

Ω=⇒=+

.BXZ

XB

X.XZ

Z

Problema 5.5 Suposeu l’amplificador de microones de la Fig. 41, realitzat amb un transistor de paràmetres S (referits a Z0) i de soroll:

Ω==Γ=Γ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −∠

−∠∠

∠−∠

1550

1

405307070

5050130

45110

n

ªOPT

MIN

ºº

ºº

R.dB

....

S

57

Per a aquest transistor, en la carta de Smith de la Fig. 2 hi teniu representats els cercles d’estabilitat, de guany de potència constant, de guany disponible constant i de factor de soroll constant.


(a) Discutiu l’estabilitat del transistor.

(b) Utilitzant només la informació que teniu en la carta de Smith, trobeu el màxim guany de transferència que es pot assolir, i els valors ΓG i ΓL que el donen. Si estiguéssim disposats a sacrificar 1 dB de guany de transferència, quin factor de soroll podríem aconseguir (aproximadament)?

(c) Si es desitja un amplificador estable, de mínim soroll i amb el major guany de

transferència possible compatible amb el mínim soroll, trobeu els valors adequats de ΓG i ΓL. Trobeu també el valor del guany de transferència obtingut, utilitzant només la informació de la carta de Smith. Si estem disposats a augmentar el factor de soroll fins a 2 dB, quin és (aproximadament) el màxim guany de transferència que podem obtenir en aquest cas?

58

Fig. 42. Dades per al transistor.


a) Hem de discutir l’estabilitat del transistor. Sabem que el transistor serà incondicionalment estable si compleix amb:

Sistema incondicionalment estable ⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>Δ+−−

=

<−=Δ<<

12

11

i 1i 1

2211

2222

211

21122211

22

11

SSSS

K

iSSSSSS

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.3

0.3

0.3

0.4

0.4

0.4

0.50.5

0.5

0.60.6

0.6

0.7

0.7

0.7

0.8

0.8

0.8

0.9

0.9

0.9

1.0

1.0

1.0

1 .2

1.2

1.2

1.4

1.4

1.4

1.61.

6

1.6

1.81.8

1.8

2.02.0

2.0

3.0

3.0

3.0

4.0

4.0

4.0

5.0

5.0

5.0

10

10

10

20

20

20

50

50

50

0.2

0.2

0.2

0.2

0.4

0.4

0.4

0.4

0.6

0.6

0.6

0.6

0.8

0.8

0.8

0.8

1.0

1.0

1.01.0

20-20

30-30

40-40

50

-50

60

-60

70

-70

80

-80

90

-90

100

-100

110

-110

120

-120

130

-130

140

-140

150

-150

160

-160

170

-170

180

±

0.04

0.04

0.05

0.05

0.06

0.06

0.07

0.07

0.08

0.08

0.09

0.09

0.1

0.1

0.11

0.11

0.12

0.12

0.13

0.13

0.14

0.14

0.15

0.15

0.16

0.16

0.17

0.17

0.18

0.180.19

0.19

0.20.2

0.210.21

0.220.22

0.23

0.230.24

0.240.25

0.25

0.26

0.26

0.27

0.27

0.28

0.28

0.29

0.29

0.3

0.3

0.31

0.310.32

0.32

0.33

0.33

0.34

0.34

0.35

0.35

0.36

0.36

0.37

0.37

0.38

0.38

0.39

0.39

0.4

0.4

0.41

0.41

0.42

0.42

0.43

0.43

0.44

0.44

0.45

0.45

0.46

0.46

0.47

0.47

0.48

0.48

0.49

0.49

0.0

0.0

A

NG

LE OF REFLEC

T ION

CO

EFFICIEN

T IN D

EGREES

> W

AV

ELEN

GTH

S TO

WA

RD G

ENER

ATO

R >

< W

AVE

LEN

GTH

S TO

WA

RD L

OA

D <

IND

UCT

IVE

REA

CTA

NCE

COM

PONENT (+

jX/Zo), OR CAPACITIVE SUSCEPTANCE (+jB/Yo)

CAPACITIVE REACTANCE COMPONENT (-j

X/Zo), O

R INDUCTI

VE SU

SCEP

TAN

CE (-

jB/Y

o)

RESISTANCE COMPONENT (R/Zo), OR CONDUCTANCE COMPONENT (G/Yo)

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91

RFL. COEFF, E or I 0

CENTER

G [dB]PG [dB]A

F [dB]

1

1.523

4

5

2.53.5

4.5

14.1

14.113.1

13.1

12.1

12.1

11.1

11.1

10.1

10.1

9.1

8.1

Γ ΓL I | |=1/Γ Γg | |=1/ Ο

59

Ho comprovem:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>=Δ+−−

=

<=−=Δ<=<=

12212

1110580

140150

2211

2222

211

21122211

22

11

.SSSS

K

.SSSS.S.S

Per tant, es pot afirmar que el transistor és incondicionalment estable.

b) Ens demanen que utilitzant només la informació que teniu en la carta de Smith, trobem el màxim guany de transferència que es pot assolir, i els valors ΓG i ΓL que el donen. A més a més, ens diuen que si estiguéssim disposats a sacrificar 1 dB de guany de transferència, hem d’indicar quin factor de soroll podríem aconseguir (aproximadament).

Màxim guany de transferència disponible (MAG): El màxim guany de transferència disponible (MAG) es produeix quan MAG =

maxmaxmax APT GGG == . En la carta de Smith s’observa un fet que ja sabem: que tant GA com GP acaben convergint cap al guany màxim (MAG) de 14.1 dB. Per tant, dBGGGMAG APT 1.14maxmaxmax ==== . Valors de ΓG i ΓL per a aquesta situació: Els valors de ΓG i ΓL els podem obtenir sabent que )( GA fG Γ= i per tant, mirant en la carta de Smith en què tenim dBGA 1.14max = , podem llegir per a quin GΓ s’ha produït:

º11572.0=ΓG Una situació semblant passa per trobar LΓ : Sabem que )( LP fG Γ= i per tant, mirant en la carta de Smith en què tenim dBGP 1.14max = , podem llegir per a quin LΓ s’ha produït:

º5866.0=ΓL Factor de soroll sacrificant 1dB de TG : El factor de soroll depèn de GΓ , igual que )( GA fG Γ= .

Si sacrifiquem 1dB de ),( LGT fG ΓΓ= , llavors tindrem *GI Γ≠Γ . La bona notícia és

que encara podem continuar tenint a la sortida *LO Γ=Γ per obtenir el màxim guany

possible sota aquestes noves condicions, en què tindrem:

Agav

Nav

ogav

LT G

PP

PPG

L

===Γ=Γ ,

,

, *

60

Llavors, mirant en la carta de Smith els cercles de AG (que equivalen als de TG perquè *

LO Γ=Γ ) tal com hem dit, i sacrificant 1dB ( dBdB 1.131.14 → ), així, el millor

GΓ que podem escollir per minimitzar el factor de soroll i que dBGG AT 1.13== és:

º11533.0=ΓG El factor de soroll obtingut (tret de la carta de Smith) és de:

dBFG

4.2º11533.0

==Γ

c) Ens demanen primer, un amplificador estable, de mínim soroll i amb el major

guany de transferència possible compatible amb el mínim soroll, trobant els valors adequats de ΓG i ΓL. A més a més, hem de trobar també el valor del guany de transferència obtingut, utilitzant només la informació de la carta de Smith.

Per últim, es pregunten que si estem disposats a augmentar el factor de soroll fins a 2 dB, quin serà (aproximadament) el màxim guany de transferència que podem obtenir en aquest cas. Amplificador estable, de mínim soroll i amb el major guany de transferència possible Primer, com que l’amplificador és incondicionalment estable, per a qualsevol valor de

GΓ i LΓ serà estable. Ara, mirant la carta de Smith, el mínim factor de soroll correspon a F = 1 dB. Com que

)( GfF Γ= , veiem que per a tenir el mínim soroll possible cal que º505.0 −=Γ=Γ OPTG Ara, amb aquest GΓ , ja tenim el mínim soroll. Si a més a més hem d’aconseguir el màxim guany possible, llavors l’únic que podem fer és tenir a la sortida *

LO Γ=Γ . Llavors, sota aquestes condicions a la sortida, tornarem a tenir que:

Agav

Nav

ogav

LT G

PP

PPG

L

===Γ=Γ ,

,

, *

I per tant podem llegir en la carta de Smith el valor de AG per a aquest

º505.0 −=Γ=Γ OPTG :

dBGPP

PP

G Agav

Nav

ogav

LT

L

1.8,

,

, *

====Γ=Γ

També ho podríem haver fet analíticament: El valor de ΓL = ΓO

* utilitzant ΓG = ΓOPT és:

61

º.*

Lº.G

G ..SSS

S 034200342011

2112220 3164031640

1 ∠−∠ =Γ=Γ⇒=Γ⇒Γ−Γ

+=Γ

Per tant, si calculem ara GT:

( ) ( )dB

SSSS

SG

LG

LG

LgLg

LgT 19.85927.6

)1)(1(

1 1

º03.42º50

º03.42º50

3164.05.0

2

21122211

2221

2

3164.05.0 ⇒=

ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−=

∠−∠

∠−∠

=Γ=Γ

=Γ=Γ

Augmentar el factor de soroll fins a 2 dB, indicar quin serà (aproximadament) el màxim guany de transferència Com que el fet de fitxar el factor de soroll ens fitxa el coeficient de reflexió del generador GΓ , per aconseguir el màxim guany hem de tornar a fer *

LO Γ=Γ i que això provoca que:

Agav

Nav

ogav

LT G

PP

PP

GL

===Γ=Γ ,

,

, *

Llavors, mirant els cercles de AG i de F en la carta de Smith, si cerquem per F = 2 dB quin és el millor AG , veiem que:

dBGG AoTL

5.12* ≈=Γ=Γ

Creative Commons License Deed - La Salle¨ és lliure de: ... transformar o generar una obra...

Documents

Transcript of Creative Commons License Deed - La Salle¨ és lliure de: ... transformar o generar una obra...