Creative Commons License Deed - salleurl.edu · En aquesta sessió repassarem de manera breu part...

Creative Commons License Deed Reconeixement-No comercial-Sense obres derivades 2.5 Espanya

Vostè és lliure de: Copiar, distribuir i comunicar públicament l’obra.

Sota els següents condicionants:

Reconeixement. S’ha de referenciar aquesta obra a Miquel Ribó i F. Javier Pajares - Enginyeria La Salle (Estudis Semipresencials).

No comercial. No es pot utilitzar aquesta obra per a finalitats comercials. Sense obres derivades. No es pot alterar, transformar o generar una obra derivada a partir d’aquesta.

• Quan reutilitzeu o distribuïu l'obra, heu de deixar ben clar els termes de la llicència de l'obra. • Alguna d'aquestes condicions pot no aplicar-se si obteniu el permís del titular dels drets d'autor.

• No hi ha res en aquesta llicència que menyscabi o restringeixi els drets morals de l'autor.

Els drets derivats d'usos legítims o altres limitacions reconegudes per llei no queden afectats per l'anterior

Això és un resum fàcilment llegible del text legal (la llicència completa) disponible en els idiomes següents:

Català Castellà Basc Gallec

CRÈDITS

Autors: Miquel Ribó i F. Javier Pajares

Editor: Lluís Vicent

Coordinació lingüística: Sara Laso

Revisió lingüística: Cristóbal Cabeza

Revisió científica: Miquel Ribó i F. Javier Pajares

Maquetació: Sara Laso

Disseny de portada: Marc Segarra

Aquesta edició ha comptat amb el suport de l’Agència de Gestió d’Ajuts Universitaris i de Recerca (AGAUR) de la Generalitat de Catalunya en la Convocatòria d’ajuts a l’edició i la difusió de llibres de text o manuals universitaris i llibres cientificotècnics, en suport paper o en suport electrònic, escrits en llengua catalana (DILL 2008).

ISBN: 978-84-935665-3-1

1

ÍNDEX

SESSIÓ 1 ..................................................................................................................... 5

1. La línia de transmissió. Comportament general ...................................................... 5

1.1. Model i equacions ....................................................................................................... 6

1.2. Comportament en règim permanent sinusoïdal ........................................................ 10

1.3. Impedància, coeficient de reflexió i relació d’ona estacionària .................................. 12 1.3.1. Impedància en una línia de transmissió .................................................................................. 12 1.3.2. Coeficient de reflexió en una línia de transmissió ................................................................... 13 1.3.3. Relació d’ona estacionària en una línia de transmissió ........................................................... 17

SESSIÓ 2 ................................................................................................................... 19

1.4. Potència propagada en una línia de transmissió ........................................................ 19

1.5. Càlcul dels valors de les ones de tensió en una línia de transmissió ........................... 20

1.6. Línies de transmissió amb pèrdues ............................................................................ 22 1.6.1. Línies de transmissió amb pèrdues. Caracterització ................................................................................ 23 1.6.2. Línies amb pèrdues baixes ....................................................................................................... 25 1.6.3. Potència transmesa i pèrdues en una L.T. no ideal ........................................................................... 26

1.7. Dispersió en una línia de transmissió ........................................................................ 27

1.8. Línies de transmissió físiques .................................................................................... 35 1.8.1. Línies de transmissió pròpiament dites (propaguen modes TEM) .......................................... 35 1.8.2. Guies d’ones amb comportament molt similar a línies de transmissió (propaguen modes Quasi‐TEM) ........................................................................................................................................ 38

SESSIÓ 3 ................................................................................................................... 41

2. Anàlisi de circuits de microones ............................................................................ 41

2.1. Xarxes de microones. Definició ................................................................................. 41

2.2. Xarxes d’un port. Coeficient de reflexió generalitzat (Γ) ............................................ 42 2.2.1. Introducció ............................................................................................................................... 42 2.2.2. Ones normalitzades de tensió i coeficient de reflexió generalitzat ......................................... 45 2.2.3. Potència ................................................................................................................................... 51

SESSIÓ 4 ................................................................................................................... 53

2.3. Paràmetres S d’una xarxa d’n ports ........................................................................... 53

2.4. Càlcul dels paràmetres S ........................................................................................... 60 2.4.1. Càlcul de paràmetres S a partir de tensions i de corrents ....................................................... 60 2.4.2. Càlcul de paràmetres S per descomposició en mode parell/mode senar ............................... 63

SESSIÓ 5 ................................................................................................................... 65

2.5. Problemes del Capítol 2 (i) ........................................................................................ 65

SESSIÓ 6 ................................................................................................................... 69

2.6. Xarxes de dos ports ................................................................................................... 69 2.6.1. Coeficient de reflexió d’entrada i de sortida en una xarxa de dos ports ................................. 69 2.6.2. Coeficient de reflexió de sortida .............................................................................................. 71

2

2.6.3. Paràmetres S per a una xarxa passiva i sense pèrdues ................................................................................ 71 2.6.4. Altres maneres de caracteritzar xarxes de dos ports ............................................................................... 73

2.7. Relació entre paràmetres Z, Y, S, ABCD i T ................................................................. 75 2.7.1. Relació entre matrius de paràmetres Z, Y, S per a una xarxa d’N ports .................................. 76 2.7.2. Relació entre paràmetres S, T, i ABCD per a una xarxa de dos ports ...................................... 76

2.8. Paràmetres S en absència de sentit físic .................................................................... 77

SESSIÓ 7 ................................................................................................................... 81

SESSIÓ 7 ................................................................................................................... 81

2.9. Problemes del Capítol 2 (ii) ....................................................................................... 81

SESSIÓ 8 ................................................................................................................... 83

2.10. Problemes del Capítol 2 (iii) ..................................................................................... 83

SESSIÓ 9 ................................................................................................................... 87

3. Circuits passius de microones ................................................................................ 87

3.1. Transformadors λ4 .................................................................................................... 87 3.1.1. Transformadors λ/4. Anàlisi .................................................................................................... 87 3.1.2. Ample de banda d’un transformador λ/4................................................................................ 88

3.2. Tapers ....................................................................................................................... 90 3.2.1. Tapers. Anàlisi descriptiva ....................................................................................................... 90 3.2.2. Resposta freqüencial d’un taper .............................................................................................. 92

3.3. Divisors de potència .................................................................................................. 92 3.3.1. Divisors de potència. Introducció ............................................................................................ 92 3.3.2. Divisors de potència resistius .................................................................................................. 94 3.3.3. Divisors de Wilkinson ............................................................................................................... 96

SESSIÓ 10 ............................................................................................................... 101

3.4. Anells híbrids i acobladors direccionals ................................................................... 101 3.4.1. Característiques generals d’anells híbrids i acobladors direccionals ..................................... 101 3.4.2. Anells híbrids de 180º ............................................................................................................ 102 3.4.2. Anells híbrids de 90º .............................................................................................................. 105 3.4.3. Acobladors direccionals ......................................................................................................... 109

SESSIÓ 11 ............................................................................................................... 115

3.5. Problemes del Capítol 3 (i) ...................................................................................... 115

SESSIÓ 12 ............................................................................................................... 117

3.6. Circuladors .............................................................................................................. 117 3.6.1. Circuladors. Descripció .......................................................................................................... 117 3.6.2. Simbologia i funcionament .................................................................................................... 117 3.6.3. Factors de mèrit en circuladors ............................................................................................. 119

3.7. Filtres ...................................................................................................................... 119 3.7.1. Filtres passabaix ..................................................................................................................... 119 3.7.2. Filtres passabanda i de banda eliminada ............................................................................... 124

SESSIÓ 13 ............................................................................................................... 127

3.8. Problemes del Capítol 3 (ii) ..................................................................................... 127

3

SESSIÓ 14 ............................................................................................................... 135

3.9. Díodes PIN .............................................................................................................. 135 3.9.1. Díodes PIN. Descripció ........................................................................................................... 135 3.9.2. Funcionament a baixa freqüència ......................................................................................... 136 3.9.3. Funcionament a RF (amb una baixa freqüència superposada) .............................................. 136 3.9.4. Polarització del díode ............................................................................................................ 137

SESSIÓ 15 ............................................................................................................... 143

3.8. Problemes del Capítol 3 (iii) .................................................................................... 143

SESSIÓ 16 ............................................................................................................... 147

4. Circuits passius en guies d’ones .......................................................................... 147

4.1. Guies d’ona cilíndriques .......................................................................................... 147 4.1.1. Guies d’ona rectangulars ....................................................................................................... 150 4.1.2. Guies d’ones circulars ............................................................................................................ 160 4.1.3. Guies d’ones corrugades ....................................................................................................... 161

SESSIÓ 17 ............................................................................................................... 163

4.2. Modelatge amb línies de transmissió ...................................................................... 163

4.3. Elements circuitals en guia d’ones ........................................................................... 166

SESSIÓ 18 ............................................................................................................... 173

4.4. Circuits passius en guia d’ones ................................................................................ 173 4.4.1. Transicions guia‐coaxial ......................................................................................................... 173 4.4.2. Càrregues adaptades ............................................................................................................. 174 4.4.3. Filtres ..................................................................................................................................... 174 4.4.4. T de pla E (combinador‐divisor de potència) ......................................................................... 175 4.4.5. T de pla H (combinador‐divisor de potència) ........................................................................ 175 4.4.6. T màgiques (híbrids de 180º) ................................................................................................. 176 4.4.7. Acobladors direccionals ......................................................................................................... 177 4.4.8. Aïlladors ................................................................................................................................. 178

SESSIÓ 19 ............................................................................................................... 181

5. Amplificadors de microones ................................................................................ 181

5.1. Introducció ............................................................................................................. 181

5.2. Transistors de microones ........................................................................................ 183 5.2.1. Transistors bipolars ................................................................................................................ 183 5.2.2. Transistors FET ....................................................................................................................... 184 5.2.3. Polarització d’un transistor .................................................................................................... 188

Fig. 204. Circuit de polarització d’un transistor bipolar.SESSIÓ 20 ........................... 189

SESSIÓ 20 ............................................................................................................... 191

5.3. Estabilitat d’un quadripol ........................................................................................ 191 5.3.1. Condicions generals d’estabilitat ........................................................................................... 191 5.3.2. Cercles d’estabilitat ............................................................................................................... 194 5.3.3. Estabilitat incondicional ......................................................................................................... 201 5.3.4. Estabilització de transistors ................................................................................................... 204

SESSIÓ 21 ............................................................................................................... 205

4

5.4. Guany en quadripols ............................................................................................... 205 5.4.1. Definicions de guany .............................................................................................................. 205 5.4.2. Relació entre guany en un transistor i en un amplificador .................................................... 212

SESSIÓ 22 ............................................................................................................... 215 5.4.3. Cercles de guany constant per adaptació a l’entrada/sortida ............................................... 215

5.4.4. Cercles de guany (de potència) PG constant ...................................................................... 217

5.4.5. Cercles de guany disponible ( AG ) constant ........................................................................ 221

SESSIÓ 23 ............................................................................................................... 227

5.5. Problemes del Capítol 5 (i) ...................................................................................... 227

SESSIÓ 24 ............................................................................................................... 229

5.6. Soroll en transistors de microones .......................................................................... 229 5.6.1. Tipus de sorolls ...................................................................................................................... 229 5.6.2. Factor de soroll ...................................................................................................................... 230 5.6.3. Cercles de soroll constant ...................................................................................................... 231 5.6.4. Factor de soroll de l’amplificador total .................................................................................. 234

SESSIÓ 25 ............................................................................................................... 237

5.7. Problemes del Capítol 5 (ii) ..................................................................................... 237

SESSIÓ 26 ............................................................................................................... 243

5.8. Problemes del Capítol 5 (iii) .................................................................................... 243

BIBLIOGRAFIA BÀSICA ............................................................................................ 247

BIBLIOGRAFIA COMPLIMENTÀRIA .......................................................................... 249

GLOSSARI ............................................................................................................... 251

5

SESSIÓ 1 Nom: Introducció a les línies de transmissió (i) Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:

• Bibliografia complementària: [Pozar2004]

OBJECTIUS En aquesta sessió repassarem de manera breu part de la teoria bàsica de línies de transmissió, ja adquirida en altres assignatures de la titulació, a fi que puguem continuar l’estudi de la matèria de l’assignatura amb els conceptes bàsics frescos.

CONTINGUTS En aquesta sessió repassarem els conceptes bàsics de propagació d’ones de tensió i corrent en una línia de transmissió, tant des del punt de vista temporal com fasorial. Definirem també els conceptes de coeficient de reflexió, impedància i relació d’ona estacionària.

1. La línia de transmissió. Comportament general

Definició i comportament temporal

En aquest apartat revisarem els conceptes bàsics de propagació d’ones per línies de transmissió des del punt de vista temporal i circuital. En particular veurem les equacions del telegrafista i com a partir d’elles es modela la propagació d’ones de tensió i de corrent en una línia de transmissió.

Definició

Una línia de transmissió (L.T.) està formada per dos conductors de secció arbitrària immersos en un medi dielèctric homogeni (on hi ha camp), amb una secció recta constant en una direcció de l'espai (z) i que propaga una ona TEM.

6

z

εμ

R

c

constant

εR

L.T coaxial (secció)

L.T arbitràriaεR = 1

L.T Bifilar (secció)

Fig. 1. Diversos tipus de línia de transmissió. A efectes d'estudi, totes les L.T. es comporten igual, i les simbolitzem tal i com es mostra a la figura següent.

i(t,z)

v(t,z)

i(t,z)z

es pot demostrar que a z = z0

i(t,z )0

i(t,z )0

Fig. 2. Simbologia utilitzada per a una línia de transmissió.

1.1. Model i equacions Un diferencial de L.T. podem modelar-lo tal com es mostra a la figura següent:

i(t,z)

v(t,z)

dz

dzz

ztizti∂

∂+

),(),(

dzz

ztvztv∂

∂+

),(),( <>

Ldz

Cdz

Fig. 3. Circuit equivalent per a una línia de transmissió de longitud dz.

7

Aplicant les lleis de la teoria de circuits (aquí sí que podem fer-ho perquè λ<<dz ) arribem a les següents equacions:

d´Alembert Equacions

2

2

2

2

2

2

2

2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂∂

−=∂∂

∂∂

−=∂∂

tiLC

zi

tvLC

zv

tvC

zi

tiL

zv

Es pot demostrar que aquestes equacions permeten dues solucions, una anomenada d’ona progressiva (superíndex +) i una anomenada d’ona regressiva (superíndex -):

LCc

cz

cz

cz

cz

tititzitvtvtzv 1

)()(),()()(),(

=⎪⎭

⎪⎬⎫

++−=

++−=−+

−+

on v+, v-, i+ i i- són en principi funcions arbitràries que quedaran fixades per les condicions de contorn que presenti la línia, així com per altres restriccions que ja analitzarem més endavant.

Interpretació

Suposem que )(),( cztvtzv −= + , 0)( =+−

cztv . Suposem un voltímetre que es mogui

a velocitat ‘c’ al llarg de la línia (Fig. 4).

v cz

v(t,z)

Fig. 4. Voltímetre movent-se a velocitat c per una línia de transmissió.

La tensió mesurada a cada indret serà:

constant)()(),( =−=−=+= +++c

zc

ctzo

oo vtvtctzzv La tensió mesurada serà constant. Per tant, això només pot voler dir que la tensió +v viatja a velocitat ‘c’ cap a z creixents ⇒ +v és una ona de tensió que es propaga cap a z creixents a velocitat ‘c’. És per això que s’anomena ona progressiva de tensió. Si )(),( c

ztvtzv += − , veurem que passa el mateix, però en sentit de propagació cap a z decreixents. És per això que s’anomena ona regressiva de tensió.

8

Per tant, anomenem i simbolitzem:

z

v+

z

i+

z

v-

z

i-

cztv −+ ona progressiva de tensió (z creixents)

ona regressiva de tensió (z decreixents)

ona regressiva de corrent (z decreixents)

ona progressiva de corrent (z creixents)czti −+

cztv +−

czti +−

Fig. 5. Sentits de definició d’ones de tensió i de corrent en una línia de transmissió.

Càlcul del corrent en funció de la tensió

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

++=∂∂

⎯→⎯++=

+∂∂

−=⎯→⎯∫∂−=

∂∂

−+∂−+

∫

)()-( )-(),(

cz

'c

z'

cz tvtv

tv)(tvtvztv

KdztvCi

dtvC

zi

cz

Oblidant-nos de les constants:

[ ])()()()(

)()(),(

)()(

)(

''

''

'

cz

cz

cz

cz

cz

cz

cz

tvtvCcdvCcduuvCc

dcdzczt

ducdzuczt

dztvCdztvCzti

tddv

dttd

tddvv

+−−⋅=⋅−⋅=

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=→=+

⋅−=→=−=+−−−=

=⋅=

−+−+

−+

±±±

∫∫

∫ ∫

ωω

ωω

m

m

m

Definim oYCc =⋅ , admitància característica de la línia:

LC

LCCcCYo ==⋅=

9

Definim oZ , impedància característica de la línia:

CL

YZ

oo ==

1

Per tant:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=+

−=−

+−−=++−=

++−=

−−

++

−+−+

−+

o

cz

cz

o

cz

cz

cz

cz

oc

zc

z

cz

cz

Ztvti

Ztvti

tvtvZ

titizti

tvtvztv

)()(

)()( )()(1)()(),(

)()(,

El signe de o

cz

Ztvi )( +

−=−

− és lògic, atès que hem definit i+ i i- cap a z creixents (Fig.

6), però atès que i- avança cap a z decreixents, sembla que és en aquest sentit que hauríem d’haver definit el corrent i-.

i i+ i-

Sentit de propagació del corrent i-Z0 Fig. 6. Definició de corrents en una línia de transmissió.

A partir de L,C (paràmetres primaris de la línia) hem obtingut:

línia. la de secundaris Paràmetrespropagació deVelocitat 1

ticacaracterís Impedància

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

→=

→=

LCc

CL

oZ

Cal recordar que:

)z,t(i)z,t(v

iv

ivZo ≠−== −

−

+

+

Comportament temporal

Començant pel modelatge circuital d’un tram diferencial de línia de transmissió, deduirem les equacions del telegrafista, les de D’Alembert i a partir d’elles establirem la necessitat de la propagació d’ones en una línia de transmissió, la relació entre ones

10

de tensió i de corrent i la relació entre elles definint el concepte d’impedància característica.

1.2. Comportament en règim permanent sinusoïdal

En aquest apartat estudiarem com les expressions genèriques de propagació d’ones temporals per una línia de transmissió es transformen en les seves equivalents fasorials, vàlides en règim permanent sinusoïdal.

Comportament en règim permanent sinusoïdal

Un sistema lineal està en règim permanent sinusoïdal (RPS) quan: 1. Totes les excitacions del sistema són sinusoïdals i a la mateixa freqüència

πω2

=f .

2. Els transitoris que s’hagin generat, s’han esvaït ja a −∞→t .

3. Totes les respostes del sistema són sinusoïdals a π

ω2

=f .

Si ens preguntem si són possibles senyals sinusoïdals iniciats a −∞→t (en RPS) com a solucions de les equacions d’ona que defineixen una L.T:

( ) ( )( ) ( ))()(Re),(

)()(Re),(

−−+−−

++−++

∠++=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=

∠+−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=

VtcosVeVztv

VtcosVeVztv

czc

ztj

czc

ztj

ω

ω

ω

ω

( ) ( )( ) ( ))()(Re),(

)()(Re),(

−−+−−

++−++

∠++=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=

∠+−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=

ItcosIeIzti

ItcosIeIzti

czc

ztj

czc

ztj

ω

ω

ω

ω

Substituint ),( ),( ztvztv −+ + a l’equació 2

2

2

2

tiLC

zv

∂∂

=∂∂

, veurem que són solució (es

veu directament a través de les dependències )( czt m ).

11

Definint cωβ = , i recordant que si )()( φω += tAcostx és un senyal en RPS,

φjAeX = és el seu fasor i que [ ] [ ]tjjtj eAeXetx ωφω ReRe)( == , podem definir els següents fasors:

),( aassociat fasor )(),( aassociat fasor )(

)(Re),(),( aassociat fasor )(

)(Re),(),(i aassociat fasor )(



ztizIztvzV

tjezIztiztizjeIzI

tjezIztiztzjeIzI

tjezVztvztvzjeVzV

tjezVztvztvzjeVzV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=−−−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=++−+=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=−−−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=++−+=+

ωβ

ωβ

ωβ

ωβ

A partir de les relacions que han de complir viivv ,,,, −+−+ i i , podem veure fàcilment que es compleixen les següents relacions:

0000

00

)()()()()(

)()(

)()(

)()()(

ZeV

ZeV

ZzV

ZzVeIeIzIzIzI

IV

eIeV

zIzVZ

IV

eIeV

zIzVZ

eVeVzVzVzV

zjzjzjzj

zj

zj

zj

zj

zjzj

ββββ

β

β

β

β

ββ

−−+−+−−+−+

−

−

−

−

−

−

+

+

−+

−+

+

+

−−+−+

−=−=+=+=

−=−=−====

+=+=

Definim la longitud d’ona com:

fcc =⋅==

ωπ

βπλ 22

Es comprova que λ és la periodicitat espacial de −+−+ iivv ,,, :

( )zVtVztv coωω −∠+= −++ )(cos),( ⇒ “Fotografia” de la tensió en l'instant to en tots

els punts (z) de la L.T. ⇒ Valors sinusoïdals que es repeteixen cada λ (que és la longitud d'ona).

βλπω

λπωπλωλωω ==⇔=⇔=⇔++−=+−

222))(cos()cos(ccc

kzkz cc .

12

1.3. Impedància, coeficient de reflexió i relació d’ona estacionària

En aquest apartat definirem les eines bàsiques per a caracteritzar els fenòmens elèctrics en una línia de transmissió: el concepte d’impedància, de coeficient de reflexió i de relació d’ona estacionària.

1.3.1. Impedància en una línia de transmissió Es defineix com la relació entre tensió i corrent en un punt d’una L.T. mirant en sentit de definició del corrent en el terminal situat per definició amb més tensió.

I(z)

V(z)

zZ(z)

zjzj

zjzj

eVeVeVeVZ

zIzVzZ ββ

ββ

⋅−⋅⋅+⋅

== −−+

−−+

0)()()(

Fig. 7. Impedància en una línia de transmissió.

S’ha d’anar alerta amb el sentit de la definició del corrent i de la tensió. La definició anterior és vàlida si mirem la impedància en el sentit del corrent en el terminal a més tensió.

Relació entre la impedància entre dos punts

z

Z(z )1 Z(z )2

z1 z2

l

z <z1 2

)l(tg)z(jZZ)l(tgjZ)z(Z

Z)z(Z20

0201 β+

β+=

Fig. 8. Relació entre impedàncies a dos punts diferents d’una línia de transmissió.

13

Impedància d’entrada d’una L.T. Z(z ) Z1 IN≡

z

Z(z ) Z2 L≡

z1 z2

Impedància d’entrada d’una L.T seminfinita Z =Z (No hi ha ona reflectida)IN 0

Z , 0 β ZL

I =I(z )L 2

V =V(z )L 2

)l(tgjZZ)l(tgjZZ

ZZ)z(ZL0

0L0IN1 β+

β+==

Fig. 9. Impedància d’entrada d’una línia de transmissió.

1.3.2. Coeficient de reflexió en una línia de transmissió Es defineix com el quocient entre el fasor de l’ona de tensió que viatja en sentit contrari al que mirem i el que viatja en el sentit que mirem.

z

I(z)

V(z)V (z)+

V (z)-

ρ(z) miremquesentitmateixelen

viatjaquetensiódeonadFasormiremquealcontrarisentiten

viatjaquetensiódeonadFasor

z'

'

)(Δ

=ρzj

zj

eVeV

)z(V)z(V

β−+

β−

+

−

==

Fig. 10. Definició del coeficient de reflexió en una línia de transmissió.

Relació entre Z(z) i ρ(z)

z

I(z)

V(z)V (z)+

V (z)-

Z(z)ρ(z)

Fig. 11. Impedància i coeficient de reflexió en un punt d’una línia de transmissió.

14

)(1)(1

1

1)( 000 z

zZ

eVeVeVeV

ZeVeVeVeVZzZ

zj

zj

zj

zj

zjzj

zjzj

ρρ

β

β

β

β

ββ

ββ

−+

=

⋅⋅

−

⋅⋅

+=

⋅−⋅⋅+⋅

=

−+

−

−+

−

−−+

−−+

Per tant:

0

0

)()(

)(ZzZZzZ

z+−

=ρ

Els valors importants de ρ en funció de Z seran:

[ ] 10Re

1

1

: , Si0)(0

1

10

2121

0

0

<⇔>

=⇔−=

=⇒=⇔=

ℜ∈ℜ∈=⇔=⇔=

=⇒=⇔∞→

=⇒−=⇔=

+−

−

+−

+−

ρρ

ρ

ρ

ρρ

ρ

ρ

Z

ZZ

VVjXZ

ZzVZZ

VVZ

VVZ

Relació entre el coeficient de reflexió entre dos punts

z

ρ(z )1 ρ(z )2

z1 z2

d

z =z - d1 2

d2j2djzj

djzj

zj

zj

1 e)z(eeV

eeVeVeV)z(

2

2

1

1β−

ββ−+

β−β−

β−+

β−

⋅ρ=⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=ρ

Fig. 12. Relació entre coeficient de reflexió a dos punts diferents d’una línia de transmissió.

Veiem que ρ és una magnitud molt més adient per a operar o per a caracteritzar una L.T. perquè que té un comportament molt més senzill que Z(z): el seu mòdul és constant i la seva fase varia linealment amb la freqüència.

15

Coeficient de reflexió d'una càrrega terminal

ZL

I(z)

V (z)+

V (z)- V(z)

z1

z

IL

VL

Fig. 13. Tensions i corrents per al càlcul del coeficient de reflexió de càrrega.

Atès que Lzz

ZzZzIzV

≡==

)()()(

1

1

per força, això també ens forçarà una relació entre

)z(V − (ona reflectida) i )z(V + (ona incident):

0

01 )(

ZZZZ

zL

LL +

−== ρρ

Una càrrega terminal força una ona regressiva de valor )()( 11 zVzV L

+− = ρ .

Coeficient de reflexió d’entrada en una L.T.

Z , L Lρ

I(z)

V (z)+

V (z)- V(z)

zz = 01+ z = lL

ρIN

Fig. 14. Línia de transició carregada per al càlcul del coeficient de reflexió d’entrada.

LL

LIN ZZ

ZZZlZZlZ

l ρρρρ =+−

=+−

== +

0

0

0

0

)()(

)()0(

Definint ρIN a 0+ ens assegurem que el definim en un punt on té sentit, en un punt on hi ha ones )z(V + i )z(V − (no sabem què pot haver-hi a 0-).

ljLIN e βρρ 2−⋅=

16

Canvi de medi

Suposem que al punt 1z s’uneixen dues línies de transmissió d’impedàncies característiques diferents, 01Z i 02Z .

Z(z ),1- ρ(z )1

-

I(z )1- I(z )1

+

V(z )1+V(z )1

- V (z )+ +1V (z )+ -

1 V (z )- +1V (z )- -

1

Z(z ),1+ ρ(z )1

+

zz1

Z , 02 β2Z , 01 β1

Fig. 15. Interfície entre dues línies de transmissió diferents.

És evident que a 1zz = es compleix ( ) ( )+− = 11 zVzV i ( ) ( )+− = 11 zIzI . Per tant, es compleix també:

( ) ( )( )

( )( ) ( )+

+

+

−

−− === 1

1

1

1

11 zZ

zIzV

zIzV

zZ

Per tant, tensions, corrents i impedàncies no noten el canvi d’impedància característica (es conserven en un canvi d’impedància característica o de medi), de tal manera que podem escriure en general:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )111

111

111

zIzIzI

zVzVzV

zZzZzZ

==

==

==

+−

+−

+−

D’altra banda, sabem que donada la impedància d’una línia de transmissió podem trobar-ne el coeficient de reflexió aplicant la transformació:

0

0

)()(

)(ZzZZzZ

z+−

=ρ

Per tant:

)()(

)()(

)(

)()(

)(

11

021

0211

011

0111

+−

+

++

−

−−

≠⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

+

−=

+

−=

zz

ZzZZzZ

z

ZzZZzZ

z

ρρ

ρ

ρ

17

I com que:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠

≠⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

≠

=

=

++−+

+−−−

+−

++

+−+

−+

−−−

)()(

)()(

)()(

)()(

)(

)()(

)(

11

11

11

1

11

1

11

zVzV

zVzV

zz

zVzV

z

zVzV

z

ρρ

ρ

ρ

Aleshores, ones de tensió i coeficients de reflexió no es conserven (canvien) en un canvi d’impedància característica o de medi.

1.3.3. Relació d’ona estacionària en una línia de transmissió Aquest concepte, tot i tenir poca utilitat analítica, és molt utilitzat a la pràctica. Cal conèixer-lo.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⋅−⋅=

⋅+⋅=

−−+

−−+

)(1)(

)(

0

zjzj

zjzj

eVeVZ

zI

eVeVzV

ββ

ββ

Funcions periòdiques de període λ.

⎪⎭

⎪⎬⎫

)(

)(

zI

zV Funcions periòdiques de període λ/2 perquè

⎩⎨⎧

−=+−=+

)()I(z)()V(z

2

2

zIzV

λ

λ

Si mirem com varia )(zV o )(zI en funció de la posició obtindrem gràfiques del tipus:

z

z

0

0

ZL

VMAX

IMAX

z1z2

VMIN

IMIN

Z ,0 β V(z)

|V(z)|,|I(z)|

Fig. 16. Variació dels fasors de tensió i corrent en una línia de transmissió.

18

A 2zz = :

( )−+−+

−−+

−==⇔+=⇔

⋅=⋅⇔

VVZ

IIVVV

eVfaseeVfaseV

V

zjzj

0minmax

max

1

)()(

max

ββ

0

V(z)V (z)+

V (z)-

Re

Im

βz βz

Fig. 17. Comportament vectorial dels fasors d’ona progressiva i regressiva en funció de la posició z.

A un màxim de tensió correspon un mínim de corrent. A 1zz = :

( )−+−+

−−+

+==⇔−=⇔

±⋅=⋅⇔

VVZ

IIVVV

eVfaseeVfaseV

V

zjzj

0maxmin

min

1

)()(

min

πββ

Definim la relació d’ona estacionària (ROE, VSWR o S) com:

1min

max ≥=VVS

ρρ

−

+=

−

+

=−

+==

+

−

+

−

−+

−+

11

1

1

min

max

V

V

V

V

VV

VV

VV

S

És fàcil veure que:

101

202

1)(

)(

zS

ZzZ

zSZzZ

→⋅=

→⋅=

19

SESSIÓ 2 Nom: Introducció a les línies de transmissió (ii) Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:

o Bibliografia complementària: [Pozar2004]

OBJECTIUS En aquesta sessió mirarem de completar el repàs de conceptes bàsics sobre línies de transmissió, parlant de temes com potència i línies de transmissió amb pèrdues.

CONTINGUTS En aquesta sessió repassarem altres conceptes bàsics del comportament de les línies de transmissió, com són ara la potència, el càlcul dels valors de les ones, les línies de transmissió amb pèrdues i la dispersió. Finalment donarem un cop d’ull a alguns tipus de línies de transmissió utilitzats per a construir circuits de microones.

1.4. Potència propagada en una línia de transmissió

En aquest apartat veurem com es defineix i calcula, i què significa, el concepte de potència en una línia de transmissió.

Potència propagada en una línia de transmissió

Cal definir el concepte de potència associada a ones de tensió i de corrent per a poder avaluar els processos de propagació i trasbals energètic que es realitzen en una línia de transmissió.

I(z)

V(z)

zρ

Fig. 18. Definicions de tensions i corrents per al càlcul de la potència.

20

Per ser )(zV i )(zI fasors, la potència mitjana “consumida” al punt z ha de ser:

[ ]*)z(I)z(VRe21)z(P ⋅=

Ara bé, a partir del model equivalent L-C per a un tram diferencial de línia de transmissió de longitud dz, veiem que una L.T. ideal no té pèrdues ⇒ NO pot consumir potència ⇒ l’ha de propagar en el sentit de les z creixents.

[ ] ( ) ( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅=

−+

−−+−−+

22

0

**

0

*

21

1Re21)()(Re

21

VVZ

eVeVZ

eVeVzIzVP zjzjzjzj ββββ

2

021 ++ = VZ

P → Potència associada a l’ona progressiva, que es propaga cap a z

creixents. 2

021 −− = VZ

P → Potència associada a l’ona regressiva, que es propaga cap a z

decreixents.

−+ −= PPP → Potència neta propagada cap a z creixents.

( )22

2

0

112

)( ρ−⋅=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= +

+

−+

PV

V

Z

VzP

( )21)( ρ−⋅= +PzP

1.5. Càlcul dels valors de les ones de tensió en una línia de transmissió

En aquest apartat estudiarem com les ones de tensió en una línia de transmissió connectada a un generador i a una càrrega queden determinades a partir de les seves característiques i les de generador i càrrega.

Càlcul dels valors de les ones de tensió en una línia de transmissió

Les ones de tensió en una línia de transmissió connectada a un generador i a una càrrega queden determinades a partir de les seves característiques i les de generador i càrrega. Aquesta anàlisi que fem és del tot genèrica atès que el generador pot ser

21

l’equivalent de Thevenin de qualsevol circuit capaç de subministrar senyal, i la càrrega el de qualsevol circuit capaç de captar aquest senyal. Som davant una situació:

ZL

I(z)

V(z)

Zg

Z , 0 βV

I

Vg

l

zl0ρ =ρ(0)1

Poden ser equivalents de Thevenin de circuits anteriors i posteriors.

Fig. 19. Línia de transmissió connectada a un generador i càrrega arbitraris.

zjzj

zjzj

g

eZVe

ZVzI

eVeVzV

IVV

ββ

ββ

⋅−⋅=

⋅+⋅=−

−+

−−+

00

)(

)(

, , fasorssón

A z = 0:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅−=

⋅+=⇔

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−==

+==

−

+

−+

−+

)(21

)(21

)0(

)0(

0

0

00ZIVV

ZIVV

ZV

ZVII

VVVV

Aplicant les condicions de contorn que ens fixa el generador:

Z0

Zg

Vs

generador.delreflexiódeCoeficient

càrregaunaaentregariageneradorelqueTensió

:On

0

0

00

0

0

0

0

0

0

.

)()(

→+

−=

→+

=

+

−+

+=⇔++−=+⋅= −+−+−+

ZZZZ

ZZZ

ZVV

ZZZZ

VZZ

ZVVVVVVZZ

VZIV

g

gg

ggs

g

g

gg

ggg

ρ Zg

V .- ρg

V (z)-

D’altra banda, a z = 0, +

−

+

−− ==⋅==

VV

VVe lj

Li )0()0()0( 2βρρρ

22

Per tant:

⇔⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅=

⋅+=+−

−+

VV

VVV

i

gS

ρ

ρ

gLxZZZZ

ZZZVV

e

VVVV

x

xx

ggS

ljLi

ig

iS

ig

S

, ,

11

0

0

0

0

2

=+−

=+

=

⋅=⋅−

⋅=

⋅−=

−

−+

ρ

ρρρρ

ρρρβ

Casos especials:

1. Si g

gSgg ZZZVVVZZ+

==→== +

0

00 0 , ρ . En aquest cas, )(zV +

és

independent de la càrrega. Controlem perfectament l’ona que injectem a la càrrega perquè no en depèn.

2. Un generador amb 0ZZ g = s’anomena canònic. (Això és el que fan en general

la majoria de generadors de RF, solen tenir una Ω= 50gZ que coincideix amb

Ω= 500Z .

3. Si 0 , ,00 ,0

00 =

+===→== −+ V

ZZZVVVZZ

ggSINLL ρρ .

4. Si →== )( **INgINg ZZ ρρ Màxima transferència de potència entre el

generador i el conjunt format per la L.T. i la càrrega. Com que la L.T. no té pèrdues, per força la màxima transferència de potència és entre generador i càrrega.

5.

2

2

1

11

ρ

ρρρρ

−

⋅=

−=

⋅−=

−

+

INS

S

INg

S

VV

VVV

Per tant, absència de reflexió i màxima transferència de potència no estaran relacionades en general.

1.6. Línies de transmissió amb pèrdues En aquest apartat estudiarem com es modifica el comportament en règim permanent sinusoïdal d’una línia de transmissió quan aquesta no és ideal i té pèrdues.

23

1.6.1. Línies de transmissió amb pèrdues. Caracterització Començarem veient com es modifiquen els paràmetres elèctrics d’una línia de transmissió quan considerem que té pèrdues, i veurem com això afecta la seva caracterització en règim permanent i sinusoïdal. També veurem com el comportament genèric de línies de transmissió amb pèrdues se simplifica per al cas realista que les pèrdues siguin baixes. Una línia de transmissió real estarà formada per conductors amb una determinada resistivitat immersos en un medi dielèctric amb una determinada conductivitat. Un model més acurat d’un diferencial de longitud de la mateixa serà:

Ldz

Cdz Gdz

Rdz

z z+dzz z+dz

dz

<>

Fig. 20. Model circuital per a un diferencial de línia de transmissió amb pèrdues.

on R és la resistència per unitat de longitud del conductor i G és la conductivitat per unitat de longitud del dielèctric. Per a analitzar-la recorrerem al model genèric d’un sistema que propagui ones (en RPS):

i(t,z)

v(t,z)

dzz

ztizti∂

∂+

),(),(

dzz

ztvztv∂

∂+

),(),(

z z+dz

Zdz

Ydz Implícitament estem suposant RPS

Fig. 21. Model genèric per a un diferencial d’estructura que propagui ones.

Els fasors )(zV i )(zI que compleixen amb aquest sistema són:

( )[ ] 000

0

0 ,1 1)(

)(

jXRYZZ

jm

YZ

CjGYLjRZ

eVeVZ

zI

eVeVzV

zz

zz

+=Ω=

≥+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅=

+=+=

⋅−⋅=

⋅+⋅=

−−+

−−+

αβαγ

ωω

γγ

γγ

On α és el coeficient d’atenuació i β és el coeficient de propagació.

24

Tornant a calcular tots els paràmetres de les línies:

Coeficient de reflexió

z

ρ(z )1 ρ(z )2

z1 z2

l

z =z -l1 2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

≠⋅=

⋅⋅

=

+−

+

−

−+

−

z

eVV

eVeVz

VV

z

z

z

βϕϕ

ρρ

ρ

α

γ

γ

2

ctant)(

2

lezz γρρ 221 )()( −⋅=

Fig. 22. Coeficient de reflexió en una línia de transmissió amb pèrdues.

Impedància

z

Z(z )1 Z(z )2

z1 z2

l

z <z1 2

)(1)(1

)()()( 0 z

zZzIzVzZ

ρρ

−+

==

)()()()()(

10

0101 lthzZZ

lthZzZZzZγγ

⋅+⋅+

=

Fig. 23. Impedància en una línia de transmissió amb pèrdues.

Significat d’α

V (z)+

V (z)-

z z

|V||V|

Fig. 24. Comportament dels fasors de tensió en una línia de transmissió amb pèrdues.

Veiem que, a mesura que l’ona avança, perd energia (en disminueix el mòdul, l’amplitud).

25

Per tant, α està relacionada amb les pèrdues de la línia:

[ ] ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −≠⋅= −+ 22

0

*

21)()(Re

21)( VV

ZzIzVzP

1.6.2. Línies amb pèrdues baixes En una L.T. amb pèrdues:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=

=

⎭⎬⎫

+=+=

YZYZZ

CjGYLjRZ

γωω 0

El problema és que CZ ∈0 , i les expressions surten complicades. Per a la major part de les línies de transmissió utilitzades en circuits de microones es complirà l’aproximació de pèrdues baixes:

⎭⎬⎫

ω<<ω<<

CGLR

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<

<<→

1

1

CGL

R

ω

ω

Llavors:

ℜ∈≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅≅

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅≅⎯⎯⎯⎯ →⎯≅

−

−⋅=

++

= +≅+

CL

LR

CGj

CL

CGj

LRj

CL

CGj

LRj

CjLj

CjGLjRZ Kxx K

ωω

ωωω

ωωω

ωω

211

1211

1

11)1(

0

Aquesta expressió coincideix amb la d’una L.T. sense pèrdues.

( ) ( ) ( )

( )

dielèctric al pèrdues conductor al pèrdues

2

2

21

21

2111

11

0

0

ledespreciab

2

+=+=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=

++=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅±≅⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅±=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=+⋅+=

dc

d

c

G

R

LCjGR

YGG

ZRR

LCjCLG

LCR

CG

LRjLCj

CG

LR

CG

LRjLCj

CGj

LRjLCjCjGLjR

αααα

α

ωω

ωωω

ωωωωω

ωωωωωγ

βα

4342143421

43421

26

1.6.3. Potència transmesa i pèrdues en una L.T. no ideal Seguidament estudiarem quina potència és transmesa a través d’una L.T. no ideal i quina part és dissipada per la pròpia L.T.

zP(z) = Potència neta propagada cap a creixents.z

Z , 0 γ

I(z)

V(z)

Fig. 25. Definicions de tensió i corrent per al càlcul de potència.

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) L=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅⋅⋅+⋅=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅=

−−+−++−−−+

−−+−−+

zjzjzjzj

zzzzT

eVeVZ

eVeV

eVeVZ

eVeVzIzVzP

)(*)(*

*0

)()(

**

*0

*

1Re21

1Re21)()(Re

21)(

**

βαβαβαβα

γγγγ

Si la L.T. té pèrdues baixes, 0

*00 ZZZ =⇒ℜ∈ :

( )[ ]

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅+⋅=

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−⋅+⋅=

−−+

Δ=Δ−Δ

−+−−+−−+

zz

zjzjzzT

eVeVZ

eVVeVVeVeVZ

zP

αα

ββαα

2222

0

Im2

2*2*2222

0

21

Re2

1)(*

44444 344444 21

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅+⋅= −−+ zz

T eVeVZ

zP αα 2222

021)(

On:

z

z

eVzP

eVzP

α

α

22

22

)(

)(

⋅=

⋅=

−−

−++

Aquesta potència correspon a la potència neta “dissipada” en z. Ara correspondrà a la potència dissipada realment (que serà petita) i a la potència neta transmesa cap a la z creixents. Veiem que tant )(zP + com )(zP − decreixen en el sentit de propagació. Això és coherent amb el fet que la línia de transmissió tingui pèrdues.

( ) ( )2222222

0

)(1)0()(1)(2

1)( zePzzPeVeVZ

zP zzzT ρρ ααα −⋅=−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅−⋅= −++−−+

27

La potència dissipada per un tram de línia la calcularem:

Fig. 26. Càlcul de la potència dissipada per una línia de transmissió.

1.7. Dispersió en una línia de transmissió En aquest apartat analitzarem de forma rigorosa el concepte de dispersió, velocitat de grup i velocitat de fase.

Dispersió en una línia de transmissió

Veurem com la dispersió és originada per un comportament no ideal d’una línia de transmissió, i quin efecte té sobre la propagació d’ones. Analitzarem també els conceptes importants de velocitat de fase i de velocitat de grup.

Plantejament del problema

Suposem la següent situació per a una línia de transmissió general:

z0 l

Z =ZL 0Z ,0 γv(0,t) v(l,t)

Fig. 27. Línia de transmissió carregada amb Z0.

Volem calcular la relació (temporal) que tenim entre la tensió en els dos extrems de la línia de transmissió, )t,0(v i )t,1(v per tal d’analitzar com ens afecta el paràmetre

)(ωγ de la línia a la propagació d’ones.

Expressions en RPS

Començarem, però, la nostra anàlisi en RPS (en règim fasorial).

28

0)(0)(0)( =⇒∀=⇒== − zVzzl L ρρρ

Per tant, només tenim ona progressiva i el fasor tensió valdrà:

)()())Y(Z()()( ωβωαωωγγ jeVzVzV z +==== −++ Analitzem aquesta situació perquè, en estalviar-nos l’ona reflectida, se’ns simplifica l’anàlisi. Suposem, també per a simplificar, que 0)( =ωα en qualsevol cas ⇒

)(ωβγ j= . Per tant :

ljljlj

zj

eVeVeVlVVV

eVzV

)()()(

)(

)0()()0()(

ωβωβωβ

ωβ

−−+−+

+

−+

===

=

=

)0(V és el fasor de tensió d’entrada i )l(V el fasor de sortida del nostre sistema.

Per tant, la funció de transferència del nostre sistema serà:

ljeV

lVH )(

)0()()( ωβω −==

Per continuar endavant, però, ens caldrà meditar sobre el sentit que té )(H ω .

Sentit d'H(ω)

Sigui un sistema lineal i invariant en el temps o sistema LTI (una línia de transmissió ho és):

h(t)x(t) y(t)

LTI

Fig. 28. Representació esquemàtica d’un sistema lineal i invariant en el temps (LTI).

∫+∞

∞−

−== τττ dtxhtxthty )()()(*)()(

Si transformem aquesta expressió per Fourier:

{ }{ }{ }

)()()()()()()()()(

ωωωωω

ωXHY

txFXthFHtyFY

=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

==

=

Sabent això, tornem a la caracterització temporal del sistema LTI. Suposem un senyal d’entrada de la forma:

29

realXeXtx tj0

)(0 ,)( φω +=

A través de la fórmula de la convolució podem demostrar que:

)()()()()( ))((0

)(0 txHeXHeXHty Htjtj ωωω ωφωφω === ∠+++

Suposem ara que introduïm al sistema un senyal d’entrada:

[ ]2

)cos()(Re)(')()(

00

φωφω

φω+−+ +

=+==tjtj eeXtXtxtx

Podem demostrar a partir de la linealitat que la sortida del sistema serà:

[ ] )('*)())(cos()()(Re)(' 0 txthHtXHtyty =∠++== ωφωω Per a arribar a aquest resultat cal tenir en compte que la transformada de Fourier d’un senyal real és hermítica i que, atès que )t,0(v i )t,l(v són reals, per força h(t) ha de ser real:

⎩⎨⎧

−−∠=∠

−=⇒−=⇒⇒

)()()()(

)()()()( *

ωωωω

ωωωHH

HHHHhermíticaHrealth

Si comparem aquests resultats amb les hipòtesis que es fan per deduir expressions fasorials en RPS, veurem que són les mateixes:

1. Excitació sinusoïdal en una pulsació determinada ω.

2. Resposta sinusoïdal a la mateixa freqüència ω.

3. Inici de l’excitació en t→-∝ i, per tant, absència de transitoris. Per tant, )t('x i )t('y són senyals en regim permanent (3) i sinusoïdal (1 i 2), i podem caracteritzar-los a partir dels seus fasors:

)(0

)(0

)(

)(

0

0

)(

)(

'')(

)(')('

')('

φω

φω

ωω φ

φ

+

+

=

===⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=⇒

=⇒

tj

tj

eXtx

eXtx

j

j

tx

ty

XYH

eXHYty

eXXtx

Ara bé, )(H ω és la transformada de Fourier de la resposta impulsional del sistema, i per tant, per a qualsevol parell de senyals )t(x*)t(h)t(y),t(x = es complirà que:

{ }{ })(

)()()()(

txFtyF

XYH ==

ωωω

Per tant, d’aquestes expressions deduïm que la relació entre un parell de fasors, el d’entrada i el de sortida d’un sistema, és igual que la relació de transformades de

30

Fourier entre un parell de senyals )(tx i )(*)()( txthty = , amb )t(x arbitrari. Per tant, treballant amb fasors, obtenim informació general sobre el comportament del sistema davant altres tipus de senyals. Considerem, per a )(ωβ , dos casos:

(a) Línia de transmissió ideal

cωωβ =)( (Línia de transmissió ideal) ⇒ lj

ceHω

ω −=)(

fase(H( ))ω

ω

Fig. 29. Variació de la fase d’H(ω) en una línia de transmissió ideal.

Si a l’entrada de la línia de transmissió injectem un senyal arbitrari )t,0(v , a la sortida n’obtindrem un, )t,1(v , relacionat amb el d’entrada a través de la resposta impulsional de la línia de transmissió:

{ }{ }

{ }),0()(),(

)()(),(),(),0(),0(

),0(*)(),( ωωωωωω

VHlVthFH

tlvFlVtvFV

tvthtlv =⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

=

on H(ω) ja sabem que és també la que hem obtingut de l’anàlisi fasorial de la línia de transmissió. Per tant:

),0(),( ωωω

VelV lj c−=

Atès que la línia de transmissió és ideal ⇒=clt P temps de propagació del senyal a

través de la línia: ),0(),( ωω ωVelV Pjt−=

Aplicant les propietats de la transformada de Fourier, podem recuperar el senyal temporal:

),0(),()()(

)()(

),0(),(

pjtF

p

F

jt

ttvtlvMettm

Mtm

VelV

P

P

−=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎯→←−⎯→←

=

−

−

ωω

ωω

ω

ω

31

v(0,t)

ttp

v(l,t)

t

Fig. 30. Formes d’ona d’entrada i de sortida per a la línia de transmissió ideal.

Cosa que ja podíem suposar que s’esdevindria en el cas d’una línia de transmissió ideal: el senyal que tenim a la sortida és una còpia endarrerida del senyal que tenim a l’entrada. La línia de transmissió ideal no distorsiona el senyal en transmetre’l, i el transmet a una velocitat:

βω

=c .

(b) Línia de transmissió dispersiva

cωωβ ≠)( (Línia de transmissió dispersiva) ⇒ ljeH )()( ωβω −= :

fase(H( ))ω

ω

Fig. 31. Funció de transferència per a una línia de transmissió dispersiva.

Seguint els mateixos passos que en l’apartat anterior:

{ } ppljlj tttveFtvtlvVelV ∀−≠=⇒= −−− ),0(*),0(

21),(),0(),( )(1)( ωβωβ

πωω

v(0,t)

t

v(l,t)

t

Fig. 32. Formes d’ona d’entrada i de sortida per a la línia de transmissió dispersiva.

32

Atès que la fase l)(ωβ− no és lineal, en aquest cas no recuperem el senyal temporal endarrerit, sinó una tensió diferent a la d’entrada. Com menys lineal sigui la fase, més diferent serà la tensió de sortida respecte de la d’entrada. En aquest cas direm que la línia de transmissió dispersa el senyal, ja que es pot demostrar que la durada temporal de la tensió de sortida ha de ser major que la del senyal d’entrada:

{ }

{ } { } { }{ }lj

lj

eFtvtlv

eFtvtlv

DuradaDuradaDurada )(1

)(1

),0(),(

*),0(21),(

ωβ

ωβ

π

−−

−−

+=⇓

=

Velocitat de grup a línies de transmissió dispersives

Encara que una línia de transmissió dispersiva deformi un senyal d’entrada arbitrari, el seu comportament és molt millor quan a l’entrada posem un senyal molt concret, un senyal de banda estreta. Un senyal de banda estreta és un senyal la transformada de Fourier del qual només ocupa una franja estreta del marge freqüencial.

−ω0 ω0

V(0, )ω

ω

Fig. 33. Senyal d’entrada de banda estreta.

En general, un senyal de banda estreta podem escriure’l de la següent forma:

))(cos()(),0( 0 tttatv θω += Si descomponem aquest senyal en dos senyals exponencials:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=+=

+−

+

))((2

))((1

210

0

)(21),0(

)(21),0(

),0(),0(),0(ttj

ttj

etatv

etatvtvtvtv

θω

θω

Analitzarem per separat com evoluciona cadascun d’aquests senyals en propagar-se per la línia de transmissió. Finalment reconstruirem el senyal de sortida com a suma de les sortides obtingudes per a ),0(1 tv i ),0(2 tv , aprofitant les propietats de linealitat del sistema línia de transmissió.

33

(a) Comportament de ),0(1 tv

),0(1 tv correspon a la part positiva de l’espectre de ),0( tv . Per tant, freqüencialment, ocuparà una banda de freqüències estreta al voltant de 0ω . Si desenvolupem )(ωβ en sèrie de Taylor al voltant de 0ω i ens quedem amb el terme lineal aprofitant que si el senyal és de banda estreta )0( 0 →− ωω :

( )00

0)(

)()( ωωωωβ

ωβωβ −+=d

d

Sota aquesta aproximació, la funció de transferència que veu el senyal d’entrada ),0(1 tv pren la forma:

( ) ω

ωωβω

ωωβ

ωβωωωωβ

ωβωβ l

dd

jld

djl

dd

jlj eeee

)()()(

)()(

)(0

00

000

0 −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−− ==

Anomenant:

ld

d⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−= 00

0)(

)( ωωωβ

ωβα

podem escriure:

ωωωβ

αωβωω

ωl

dd

jjlj eeeH)(

)(0

0)(

−−→

==

i per tant, podem calcular la transformada de Fourier del senyal de sortida )t,l(v1 com:

),0(),0()(),( 1

)(

11

0

ωωωωω

ωωβ

α VeeVHlVl

dd

jj −==

Aplicant les propietats de la transformada de Fourier:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=−=l

dd

tld

dtj

jj eld

dtael

dd

tvetlv ωωβ

θωωβ

ωαα

ωωβ

ωωβ

)()(00

11

000

))(

(21)

)(,0(),(

(b) Comportament de ),0(2 tv

),0(2 tv correspon a la part negativa de l’espectre de ),0( tv . Per tant, freqüencialment, ocuparà una banda de freqüències estreta al voltant de 0ω− . Si desenvolupem )(ωβ

34

en sèrie de Taylor al voltant de 0ω− i ens quedem amb el terme lineal aprofitant que si el senyal és de banda estreta )0( 0 →+ ωω :

( )00

0)(

)()( ωωωωβ

ωβωβ +−

+−=d

d

Ara bé, atès que )(H ω és la transformada de Fourier d’ )(th , i )(th ha de ser real perquè ens permet calcular la sortida real d’un sistema amb entrada real, aleshores:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−−=⇒−−∠=∠

−=

⇒−=⇒

⇒⇒

ωωβ

ωωβ

ωβωβωω

ωω

ωω

ω

dd

ddHH

HH

HH

hermíticaHrealth

)()()()(

)()(

)()(

)()(

)()(

00

*

Tenint en compte l’anterior:

ωωωβ

αωβωω

ωl

dd

jjlj eeeH)(

)(0

0)(

−−−−→

==

Per tant:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−−

−−

−=−=

⇓==

ld

dtl

dd

tjjj

ld

djj

eld

dtael

dd

tvetlv

VeeVHlV

ωωβ

θωωβ

ωαα

ωωωβ

α

ωωβ

ωωβ

ωωωω

)()(00

22

2

)(

22

000

0

))(

(21)

)(,0(),(

),0(),0()(),(

(c) Sortida total al sistema

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

=+=

αωωβ

θωωβ

ωωωβ

ld

dtl

dd

tld

dta

tlvtlvtlv

)()(cos)

)((

),(),(),(

000

0

21

Per tant, veiem que si el senyal d’entrada és un senyal de banda estreta, el senyal de sortida, exceptuant un terme de fase α, és idèntic al senyal d’entrada però endarrerit un temps:

ld

dtP ω

ωβ )( 0= .

En aquest temps, Pt , el senyal haurà recorregut un espai l entre l’entrada i la sortida.

35

Per tant, l’ona s’haurà desplaçat per l’interior de la línia de transmissió dispersiva a una velocitat, anomenada velocitat de grup, Gv , de valor:

ωωβ

dd

vG )(1

0=

En una línia de transmissió no dispersiva (ideal), ja sabem que la velocitat de propagació del senyal en la línia és:

fasedevelocitatc ==βω

En una línia de transmissió dispersiva, però, la velocitat de fase no ens dóna cap mena d’informació sobre la velocitat de propagació d’un senyal en ella, i pot ser fins i tot major que la de la llum en el buit, cosa impossible per a una velocitat real de propagació.

1.8. Línies de transmissió físiques En aquest apartat veurem de manera resumida les característiques físiques i elèctriques de les línies de transmissió més usuals en circuits de microones i/o sistemes d’RF.

1.8.1. Línies de transmissió pròpiament dites (propaguen modes TEM) Veurem com les característiques físiques de les línies de transmissió determinen el comportament elèctric, l’aspecte i les característiques de línies de transmissió tan importants com el cable coaxial i la línia micropista.

36

Cable coaxial

EH

a

b

εR

z

Metal·litzacióDielèctric

Fig. 34. Estructura i forma dels camps per a una línia de transmissió o cable coaxial.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+≈

==

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

===

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

abaEP

baf

fR

tgbaZ

Rcc

jabZ

RRMAXR

T

S

Ds

CDC

R

R

ln44)(

1

11

)(21

21

21

ln60

22

0

0

0

εεπ

μσπδ

σδ

δβαππ

αααα

μεωωεωβ

βαγε

SR és la resistència superficial dels conductor i δ la profunditat de penetració dels camps en un conductor. Tf és la freqüència màxima d’utilització monomode del cable coaxial. A partir d’ Tf comencen a propagar-se modes no-TEM dispersius. MAXP és la potència màxima que pot propagar el cable coaxial. És funció del camp elèctric de ruptura de dielèctric RE (màxim camp elèctric que pot suportar el dielèctric sense que s’arrenquin electrons de les últimes capes atòmiques que el tornin conductor). Les seves característiques fonamentals són:

• Marge de freqüències de 0 a 100 GHz, depenent de les dimensions i de la qualitat del coaxial.

• Baixes pèrdues.

• Baixa radiació (els camps estan confinats entre els dos conductors.

37

• Baixa dispersió.

• Gran dificultat per a muntar-hi elements en sèrie (en el conductor central) o en paral·lel (entre el conductor central i l’exterior).

• Es dissenyen bé per a pèrdues mínimes, bé per a potència transmesa màxima.

Línia triplaca

És una línia de transmissió formada per una tira conductora situada simètricament entre dos plans conductors (infinits en teoria) i immersa en un medi dielèctric de permitivitat relativa Rε . A la pràctica, els plans metàl·lics i el dielèctric es prenen d’amplada finita.

εR

εRE

w

z


bb/2

Fig. 35. Línia de transmissió triplaca.

smccc

kkbWthk

kkk

kkk

Z

R

R

R

/10·3

1'2

17.0112ln30

7.00'1'12ln30

80

0

21

20

====

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

+

≤≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

+

= −

εωμεωωβ

π

επ

ε

Les seves característiques fonamentals són:

• Atenuació i dispersió baixes.

• Impedàncies característiques de 10 a 100 Ω aproximadament.

• Dificultat per a muntar-hi elements en sèrie (en el conductor central) o en paral·lel (entre el conductor central i els exteriors).

38

1.8.2. Guies d’ones amb comportament molt similar a línies de transmissió (propaguen modes Quasi-TEM)

Línia micropista

Formada per una tira conductora i un pla de massa (infinit en teoria) sobre una làmina dielèctrica (infinita en teoria). Per tant, globalment el dielèctric no és homogeni i no propaga un mode TEM. És propaga un mode Quasi-TEM. No és, per tant, una línia de transmissió pròpiament dita, però es comporta pràcticament com si ho fos. És l’estructura guiant més utilitzada per a fer circuits de microones, tot i que és impossible d’analitzar teòricament de manera rigorosa. S’usen expressions semiempíriques dels seus paràmetres fonamentals.

h εR

εRE

w

z


Fig. 36. Línia de transmissió micropista.

wh

smccc

hw

hw

hw

hw

hw

wh

Z

RRff

ff

ff

ff

101

122

/10·3

14.1ln66.04.1

1120

14

8ln60

11Re

80Re

0

Re

Re

0

++=

===

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

−+ εεε

εωωβ

επ

ε


• Pèrdues i dispersió baixes.

• Impedàncies característiques de 15 a 110 Ω aproximadament.

• Molt fàcil de fabricar.

39

• És molt fàcil el muntatge d’elements en sèrie amb el conductor central. El muntatge d’elements en paral·lel entre el conductor central i el pla de massa requereix la perforació de substrat.

Línia de pistes coplanars

És una línia uniplanar, donat que només té metal·lització en una cara del dielèctric. Usualment, en el marge de freqüències d’utilització és multimodal: propaga dos modes alhora, el mode parell (Quasi-TEM i que per tant dóna lloc a un comportament típic de Línia de Transmissió) i el mode senar (No-TEM i que per tant dóna lloc a un comportament típic de Guia d’ones).

h εR

εR

εR

E

E

s w s

z


Mode Parell

Mode senar Fig. 37. Línia de transmissió de pistes coplanars.


• Gran facilitat de connexió d’elements en sèrie (en el conductor central) i en paral·lel (entre el conductor central i els conductors laterals). Si no volem excitar el mode senar cal que quan connectem impedàncies en paral·lel, ho fem de manera simètrica a banda i banda del conductor central.

• Gran facilitat de fabricació.

• Mode parell:

• Atenuació i dispersió moderades.

• Impedàncies característiques entre 25 i 125 Ω aproximadament.

• Mode senar:

• Alta atenuació (per radiació) i dispersió.


40

Línia de ranura

És una línia uniplanar, atès que només té metal·lització en una cara del dielèctric.

h

d

εR

εR

EH

z


Fig. 38. Línia de transmissió de ranura.


• Alta dispersió (propaga un mode No-TEM i per tant té un comportament de guia d’ones) i altes pèrdues (per radiació).


• Facilitat de connexió d’elements en paral·lel (entre els dos plans conductors).

• Facilitat de fabricació.

41

SESSIÓ 3

Nom: Xarxes d’un port Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS En aquesta sessió aprendrem els conceptes bàsics de xarxa de microones, d’ona normalitzada i de coeficient de reflexió generalitzat

CONTINGUTS Aquesta sessió comença definint el que entendrem de moment per xarxa de microones. A continuació, defineix els conceptes d’ones normalitzades de tensió i de coeficient de reflexió generalitzat en xarxes de microones d’un port. Finalment aplica aquests conceptes a l’anàlisi d’un circuit genèric de microones i a l’anàlisi del balanç de potència en una càrrega.

2. Anàlisi de circuits de microones

2.1. Xarxes de microones. Definició De moment, per a nosaltres una xarxa de microones serà una xarxa accedida a través de línies de transmissió. Més endavant, ja generalitzarem aquest concepte a altres tipus de xarxes.

Xarxes de microones. Definició

Una xarxa de microones bàsicament està formada per línies de transmissió (L.T.) que interconnecten diferents elements discrets. Per tant, els ports del nostre sistema habitualment es realitzaran sobre L.T. d’una determinada impedància característica. Aquest valor d’impedàncies característiques sovint l’anomenarem impedàncies de referència dels ports.

42

XARXA DEMICROONES

Vn

I2

I1

In

I 3

V2

V1

Z o3

Zo2

Zo1

Z on

z0

z0

z0

z 0

Fig. 1. Esquema d’una xarxa de microones.

A partir de la representació fasorial de tensions i corrents als diversos ports, podríem modelar la xarxa a partir dels seus paràmetres Z o dels paràmetres Y . Per tant, per a mesurar una xarxa, únicament hauríem de mesurar els seus paràmetres Z o Y . Això, però, ens presenta una sèrie de problemes. Per a il·lustrar-los, veurem què passa en una xarxa d’un únic port.

2.2. Xarxes d’un port. Coeficient de reflexió generalitzat (Γ)

En aquest apartat començarem estudiant les xarxes de microones més simples possibles, les d’un port, perquè amb elles podrem definir tots els conceptes necessaris (ones normalitzades, coeficients de reflexió generalitzats, generadors canònics o càlcul de potències) per caracteritzar després xarxes més complexes.

2.2.1. Introducció

Justificació d’anàlisi mitjançant ones en comptes de tensions i corrents

Quan una xarxa és accedida a través d’una línia de transmissió, la manera més adient de caracteritzar-la és a través d’ones i de coeficients de reflexió, perquè tenen un comportament més predictible i regular que no pas les tensions, els corrents i les impedàncies.

43

Suposem una xarxa de microones d’un port:

XARXA Z, YZO

Pla de la L.T en que comença el nostre circuit.

Impedància de la L.T que usem per permetre l´accés des de l´exterior cap a la xarxa.

Fig. 2. Xarxa de microones d’un port.

Aquest circuit podem caracteritzar-lo a partir de la seva impedància Z , o de la seva impedància Y . Si el connectem a través d’una L.T. d’impedància 0Z a un generador:

Z0

Zg

-l 0

Vg

l

V (z)+ V (z)- Z, Y

Z(z)ρ(z)

Fig. 3. Caracterització d’una xarxa de microones d’un port.

)()(

)(

)0( )( )(

0

00

0

02

zjZtgZztgjZZ

ZzZ

ZZZZ

VVzez zj

ββ

ρρρρρρ β

++

=

+−

====⋅= −

+−

Ja sabem que és ρ i no Z el que ens dóna informació fàcil sobre el comportament de l’ona generada en la línia. També sabem que els valors de V+ i V- ens vénen directament expressats en funció de gρ i Lρ .

44

D’altra banda, ens fixem en el sistema de definició i de mesura per als paràmetres Z o Y:

Y

Mesura d´admitància

ZVI

Mesura d´impedància

I

+V

Fig. 4. Excitacions per a la mesura d’impedància i d’admitància en xarxes d’un port.

Suposem generadors ideals, sense impedància (admitància) de sortida i connectats directament a la càrrega. Una situació més real de mesura d’un circuit de microones seria:

Zg

Vg

l

Z0, β

Punt de mesura

Zi

I

Fig. 5. Circuit de mesura d’una xarxa de microones d’un port.

Evidentment, coneixent gZ podríem corregir el valor de iZ mesurat (No seria

directament IgV sinó gg ZI

V− ). A més a més, hauríem de desfer la transformació:

( )( )ljZtgZβltgjZZ

ZZi β++

=0

00

cosa que podem fer matemàticament. El valor de Zi, però, no ens dóna directament cap informació clara sobre el valor de Z, cosa que sí que fa el valor de iρ sobre el de ρ :

βlρρ

ρρ

i

i2−=

=

ϕϕ.

A més, en molts elements guiats de microones és problemàtic definir no ja tant sols impedàncies, sinó tensions i corrents (per exemple en una guia d’ones). El que sí que pot definir-se són els coeficients de reflexió sobre camps elèctrics. Per tant, una caracterització d’aquests circuits a partir de tensions, corrents i impedàncies sembla menys adequada que una a partir d’ones i coeficients de reflexió.

45

2.2.2. Ones normalitzades de tensió i coeficient de reflexió generalitzat Una vegada constatada la idoneïtat de treballar amb ones i coeficients de reflexió, caldrà definir les noves eines matemàtiques que ens permetran dur a terme l’anàlisi de circuits de microones: les ones normalitzades de tensió i el coeficient de reflexió generalitzat, així com les relacions entre aquests nous conceptes i els ja coneguts de tensió, corrent i impedància. També caldrà veure com aquestes eines ens permetem analitzar circuits genèrics (representats per un divisor de tensió, que és la forma més general en què es pot veure un sistema: connexió entre l’equivalent de Thevenin d’un circuit generador de senyal/informació i l’equivalent de Thevenin d’un circuit que aprofita aquest senyal/informació(càrrega)). Per tant, sabent resoldre aquest circuit amb les noves eines matemàtiques, en teoria hem de ser capaços de resoldre’n qualsevol altre, perquè sempre el podrem reduir, mitjançant equivalents de Thevenin, al divisor de tensió. Suposem una xarxa d’un port d’accés la qual es realitza sobre una L.T. d’impedància característica 0Z .

Zg

Vg ZL

I

V

L.T

Z0

0 z

En aquest punt hi ha una L.T., elport el realitzem sobre aquesta L.T.

Fig. 6. Representació de l’accés a una xarxa de microones d’un port.

Definim a i b com les mostres de les ones que circulen per la L.T. en el punt 0z = , on hi ha el port:

0ZVa

+

= → Ona incident (positiva) normalitzada. Si no hi hagués una L.T. d’impedància característica Z0 al port, Z0 fóra una constant real arbitrària. (1)

0ZVb

−

= → Ona reflectida (negativa) normalitzada.

Els valors de +V i −V els obtenim de la configuració de la L.T:

Z V

ZV II

VV

eZVe

ZVzI

eVeVzVzjzj

zjzj

)0(

V(0)V )(

)(

0000⎪⎭

⎪⎬⎫

−==

+==

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

+=−+

−+

−−

+

−−+

ββ

ββ

46

( )

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

+=

−

+

IZVV

IZVV

0

0

2121

(2)

V+ i V- tenen sentit físic en una L.T., però matemàticament tenen sentit sempre, en qualsevol pla d’un circuit en què puguem establir una tensió i corrent. Simplement representaran una transformació lineal matemàtica de variables:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+

IV

ZZ

VV

0

0

11

21

Relació entre a, b, V i I

Segons el conjunt de variables definides fins ara i substituint (2) en (1):

( )

( )⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⋅−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⋅+=

−

+

00

000

00

000

211

21

211

21

ZVIZ

ZV

ZIZVb

ZVIZ

ZV

ZIZVa

D’aquí podem extreure la relació entre ba , i IV , :

( )

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=−=−=

+=+=+=−+

−+

baZZ

bZa

ZV

ZVI

baZZbZaVVV

00000

000

1

Significat físic d’ ia i ib

Si al port connectem una L.T. d’impedància característica i

Z 0 (la de referència del

circuit),

i

i

i

ii Z

VbZ

Va0

i0

−+

==

47

iZ0

+V−V

i

ia

ib

0 z Fig. 7. Ones reals i normalitzades al port d’una xarxa de microones d’un port.

a i b tindran sentit físic i les definim a partir d’una tensió i d’un corrent en una L.T. En qualsevol altre cas, només tindran sentit matemàtic. Si al port ‘i’ no connectem una L.T., o la impedància característica de la L.T. que hi connectem no és

iZ0 , ii ba i no tenen sentit físic, només matemàtic. Tindran sentit físic

ii IV i , els quals podem obtenir mitjançant una transformació lineal a partir d´ ii ba i :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡IV

ZZ

Zba

0

0

0 11

21

Coeficient de reflexió generalitzat (Γ)

Definim el coeficient de reflexió generalitzat Γ com:

I

Z, ΓVa

b

Γ Fig. 8. Sentits de les ones normalitzades per al càlcul del coeficient de reflexió

generalitzat.

miremquesentitmateixelenpropagaesquedanormalitzaona

miremquealcontrarisentitenpropagaesquedanormalitzaona

=Γ

Per a les definicions d’ones de la Fig. 46 podem calcular el coeficient de reflexió generalitzat com:

ab

=Γ

48

Evidentment, si ens trobem en una situació en què el punt on considerem que comença el nostre port és una línia de transmissió, haurem de considerar com a coeficient de reflexió:

.port del reflexió de coeficient

0

0 ≡==== +

−

+

−

ρVV

ZV

ZV

abΓ

En un cas més general (b i a només tenen sentit matemàtic perquè no tenim clarament cap −+ ViV físiques:

0

0

0

0

0

0

00

00

21

21

ZZZZ

ZIV

ZIV

IZVIZV

IZZV

IZZV

abΓ

+−

=+

−=

+−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==

YYYY

Γ ΓΓZZ

+−

=−+

=0

00 1

1

Expressions anàlogues a Z i ρ pel cas en què les definicions tinguin sentit físic.

Càlcul d’a i b

Considerem un circuit genèric format per un generador i una càrrega qualssevol, que podem representar pels seus respectius equivalent S de Thevenin:

Zg

Vg ZL

I

Via

ib

Fig. 9. Circuit genèric per al càlcul d’a i b.

Operant:

( ) ⎭⎬⎫

−=+=

−=

+=

1

0

0

IZVVVIZV

baZ

I

b)(aZV

gg

gg (3)

49

Si substituïm els valors de V i I a l’equació (3), tindrem:

( ) ( )baZ

ZVbaZ g

g −−=+0

0

Aïllant a en funció de b:

gS

g

g

g

S

g

g bbZZZZ

b

b

ZZZ

Z

Va Γ+=

Γ

+

−⋅+

+⋅=

4342144 344 21 0

0

0

0

0

D’altra banda, la càrrega ens fixa la relació:

0

0

ZZ-ZZ

Γ a ΓbL

LLL +

=⋅=

Tenim, per tant, un sistema de dues equacions amb dues incògnites. Operant:

Lgs ΓΓ

ba−

=1

1

Lg

Ls ΓΓ1

Γbb−

=

on:

00

0

0

0

0

0

1Z

VZZ

Zb

ZZZZ

Γ ZZZZΓ

gg

s

g

gg

L

L

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+=

+

−=

+−

=

Si la càrrega conté una L.T., sb és l’ona progressiva que el generador entregaria a la càrrega en l’instant inicial:

gZ 0Z

β,0Z

(En l´estat inicial)

Fig. 10. Generador connectat a la càrrega en l’instant inicial.

50

Casos particulars

1. Generador canònic ( 0=Γg ): Generador capaç de generar a (l’excitació),

independentment de la càrrega LΓ :

0Z

gVa

0=Γg

021

Z

Vba g

s ==

Fig. 11. Generador canònic.

2. No tenim ona reflectida ( 0=ΓL ):

gZ

gVa

b 0Z0=ΓL

( )

0

121

0

=

−==

b

ΓZ

Vba g

gs

Fig. 12. Circuit amb ZL=Z0.

3. Màxima transferència de potència:

gZ

gV*

gZ

Fig. 13. Circuit amb màxima transferència de potència (ZL=(Zg)*).

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

−=

⇒=+

−=

+−

=

2

2

0

0

0

0

1

1

1

g

*g

s

g

s

*g*

g

*g

L

LL

Γ

Γbb

Γba

ΓZZZZ

ZZZZ

Γ

Per tant, màxima transferència de potència i absència de reflexió (b=0) són en general fenòmens diferents.

51

2.2.3. Potència Una vegada hem definit els conceptes d’ones normalitzades, hem de veure com aquests conceptes ens aporten informació sobre potència consumida en un port. Veurem que obtenim relacions similars a les que ja coneixem de línies de transmissió: La potència que consumeix un port és la diferència entre la potència que li arriba en forma d’ona incident i la potència que retorna en forma d’ona reflectida.

I

Va

bΓ,Z

Fig. 14. Definicions de V, I, a i b per al càlcul de la potència consumida per la xarxa d’un

port.

La potència P consumida per la càrrega Z la podem calcular com:

[ ] ( ) ( )

[ ] [ ]222

22

22

00

112121

21

21

211Re

21Re

21

ΓPΓaPPP

bPaP

babaZ

baZIVP ***

−=−⋅=−=⇒

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=⋅=

+−+

−+

on P+ és la potència associada a l’ona progressiva (incident) i P- és la potència associada a l’ona reflexiva (reflectida).

53

SESSIÓ 4 Nom: Paràmetres S Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A la sessió anterior hem desenvolupat una metodologia basada en ones per a analitzar xarxes d’un port. En aquesta sessió generalitzarem els conceptes de la sessió anterior per al cas de xarxes de més d’un port.

OBJECTIUS En aquesta sessió aprendrem què són els paràmetres S i com podem calcular-los.

CONTINGUTS En aquesta sessió, primerament definirem els paràmetres S i analitzarem el seu sentit i propietats per a, a continuació, estudiar dos mètodes diferents per a calcular-los: a partir de tensions i corrents i per divisió en mode parell i mode senar.

2.3. Paràmetres S d’una xarxa d’n ports En aquest apartat definirem, com a generalització del coeficient de reflexió generalitzat, els paràmetres S d’un circuit, i n’estudiarem el significat i propietats.

Paràmetres S: concepte i sentit

Una matriu de paràmetres S no és més que la generalització, per al cas de més d’un port, del concepte de coeficient de reflexió generalitzat: ens relaciona totes les ones normalitzades sortints d’un circuit amb les ones entrants. El significat dels paràmetres S ens vindrà donat per una reflexió sobre els paràmetres que es relacionen i per com podem aïllar, de manera matemàticament rigorosa, un sol paràmetre S.

54

Vn

I2

I1

In

I 3

V2

V1

Fig. 15. Xarxa d’n ports.

Aquesta xarxa la podem caracteritzar com:

VY II ZVI

I I

V

VV

nn

⋅=⋅=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= MM

11

Aquesta fóra la manera clàssica de caracteritzar el nostre circuit. A la vista del que hem fet per a una xarxa d’un port, definim:

( )

( )i

iiii

i

i

i

iiii

i

i

ZVIZV

Zb

ZVIZV

Za

00

0

00

0

21

21

−

+

=−=

=+=

Definim ii b i a en funció d’una

i0Z diferent en cada port. En la immensa majoria dels

casos:

000 ZZZji

== .

Criteri de signes. Així com ii i IV es defineixen segons uns determinats criteris (corrent entrant a la xarxa pel terminal del biport en què la tensió és major), també ii i ba requereixen uns criteris de definició perquè es compleixin les relacions anteriors:

55

• ia sempre entrant al circuit.

• ib sempre sortint del circuit.

1a

2a

3a

na

nb

1b 2b

3b

Fig. 16. Sentits de les ones a i b per a cada port de la xarxa.

Definim:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

nn b

bb

a

aa MM

11

La matriu de paràmetres S (o de dispersió, o d’scattering) de la xarxa es defineix com

aSb ⋅=

Significat físic dels paràmetres S

[ ] [ ] [ ]

ninjijiiii aSaSaSaSbaSb

++++++=⋅=

LLL111

56

Si dibuixem esquemàticament aquestes equacions per al cas senzill de dos ports:

S21

S12

S22S11

b1

b21a

2a

Fig. 17. Camins de les ones entrants en una xarxa de dos ports fins que en surten en

forma d’ones reflexives.

Els paràmetres S indiquen els diversos camins que fan les ones incidents per arribar a un punt de sortida:

• ⇒iiS Reflexions

• ⇒ijS Transmissions

Podem obtenir ijS de manera anàloga a com obteníem ijZ o ijY :

jKKaj

iij

jKIj

iij a

bS

IV

ZK

≠=

≠=

=→=00

Primerament, analitzem què implica la condició 0=Ka :

KI

KV KV

KI KI−

Fig. 18. Interpretació física de la condició aK=0.

57

Per tant, per a aconseguir 0a K = només ens cal connectar al port k la impedància de referència del port. Físicament això equivaldria a connectar una línees semiinfinita de

KZZ 00 = al port K:

z 0

KZ0

Kb Com que és semiinfinita, aquesta ona mai es reflexarà donant lloc a una ona Ka

Fig. 19. Situació equivalent a carregar el port k amb Z0k.

D’aquesta situació ( )0a K = se’n sol dir “tenir el port k adaptat o acabat”. Això no fa cap referència a que hi hagi màxima transferència de potència, simplement indica que al port k hi ha el valor adient per a l’operació (càlcul d’algun ijS ) que nosaltres desitgem:

⇒Γ==≠

=iK

Kai

iii a

bS

0

Coeficient de reflexió a la porta i que com la resta de ports estan carregats amb la seva impedància de referència Z0K.

0

⇒=

≠=jK

Kaj

iij a

bS

Part de l’ona incident al port j que es propaga per la xarxa fins sortir pel port i quan tots els ports menys el d’entrada j estan carregats amb la seva impedància de referència Z0K.

Propietats dels paràmetres S

A través d’una anàlisi de les característiques que presenten alguns circuits, establirem com aquestes ens fixen una sèrie de propietats per a les seves matrius de paràmetre S. En particular veurem la propietat de canvi de pla de referència, molt important per a la resolució de problemes. Xarxes recíproques: Són totes les xarxes que no contenen elements no recíprocs, com transistors, ferrites i díodes en funcionament no lineal. La seva matriu de paràmetres S

és simètrica ( )ji SS jiij ≠∀= . Xarxes passives i sense pèrdues: Són aquelles que ni amplifiquen (passives) ni atenuen (sense pèrdues) les potències dels senyals que hi incideixen. La seva matriu de paràmetres S és unitària:

ISSSS =⋅=⋅ ++ on I és la matriu identitat i S+ és la matriu hermítica (transposada conjugada) d’S

( )*⊥+ = SS

58

Demostració Per a una xarxa passiva (no amplifica) i sense pèrdues (no dissipa), tota la potència que entra a la xarxa ha de sortir (en règim permanent). Potència entrant:

∑∑==

+ ==n

ii

n

iiIN aPP

1

2

1 21

Potència sortint:

∑∑==

− ==n

ii

n

iiOUT bPP

1

2

1 21

Nosaltres volem que 0PP OUTIN =− , aleshores:

∑∑==

=n

ii

n

ii ba

1

2

1

2 (4)

Per resoldre aquests sumatoris és necessari saber que:

[ ]

[ ]**2

*1

1

**2

*1

1

n

n

n

n

bbbbb

bb

aaaaa

aa

KM

KM

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

+

+

[ ]

[ ] ∑

∑

=

+

=

+

=⋅++⋅+⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅=⋅

=⋅++⋅+⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅=⋅

n

iinn

n

n

n

iinn

n

n

bbbbbbbb

bbbbbb

aaaaaaaa

aaaaaa

1

2**22

*11

1**

2*1

1

2**22

*11

1**

2*1

LMK

LMK

Substituint a (4) tenim:

bbaa ⋅=⋅ ++

59

Tenint en compte que aSb ⋅= i que ( ) +++ ⋅=⋅ ABBA :

ISSSSISSISS

SSSSSSISS

aSSabbaaSab

=⋅=⋅

=⋅⇔=⋅

=⇔=⋅⋅⇔

⇔=⋅⇔

⇔⋅⋅⋅=⋅=⋅

⋅=

++

+−

−+−−+

+

++++

+++

1

111

Xarxa passiva i sense pèrdues:

jiSnjS ij

n

iij , 1 1 1

1

2∀≤⇒=∀=∑

=

L

No podem treure ones amb més energia de les que entren.

Demostració

1, 1

001

1

2

*13

*12

*11131211

<∀⇔∀=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

→=⋅

∑=

+

jiSjS

SSSSSS

ISS

ij

n

iij

M

O

L

M

L

Canvi de pla de referència: Sigui una xarxa caracteritzada per S. Construïm una nova xarxa (S’) afegint línies de transmissió a cada port d’impedància característica igual a la de referència del port, iZ0 . Els nous ports que obtenim els prenem amb impedància de referència iZ0 igual a la dels ports antics.

60

XARXA [S]

i

il

n

nl

Z

0n

Z,

0n

βZ

0i, β

Z 0i

2

2l

Z

02,

β

Z

021

1lZ

01

Z,

01 β

Fig. 20. Canvis de pla de referència en una xarxa d’n ports.

Aleshores es compleix:

( )

ii

jjii

ljiiii

lljijij

eSS

eSSβ

ββ

2'

'

−

+−

⋅=

⋅=

2.4. Càlcul dels paràmetres S En aquest apartat veurem les dues metodologies més habituals per a calcular matrius de paràmetres S: el càlcul a partir de tensions i de corrents, i la descomposició en mode parell/mode senar.

2.4.1. Càlcul de paràmetres S a partir de tensions i de corrents El càlcul de paràmetres S a partir de tensions i de corrents és una de les maneres més efectives de calcular paràmetres S en circuits que puguem analitzar a partir de tensions i corrents.

61

Càlcul de iiS

i

ia

ibi

Z0

10Z

20Z

nZ0

ΓINi

Fig. 21. Xarxa amb tots els ports excepte l’i carregat amb la seva impedància de

referència.

Carreguem la resta de ports amb la seva impedància de referència i calculem inΓ :

ii

iKKai

iin S

ab

==Γ≠

=0

iINΓ podem calcular-lo calculant iINZ i després fent

ii

ii

i ZZZZ

IN

ININ

0

0

+

−=Γ

62

Càlcul d’ ijS

ja

jb

ia

ibjV

jI j i

iV iZ0

iI

nZ0

10Z

Fig. 22. Ones normalitzades als ports i i j d’una xarxa d’n ports carregats amb la seva

impedància de referència.

jKKaj

iij a

bS

≠=

=0

Carreguem tots els ports amb la seva impedància de referència (excepte el j). Fer el càlcul directament és difícil. Habitualment es fa a partir del càlcul de tensions:

( )

( )jjjj

iiii

iiii

baZV

bZVabaZV

+=

=⎯⎯ →⎯ =+=

0

000

( ) ⇒+

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

=jj

ij

j

i

jj

j

jj

i

jjj

ii

j

i

SS

Z

Z

abZ

abZ

baZ

bZ

VV

11 0

0

0

0

0

0

( )jK

a

jj

i

j

j

iij

K

SZ

Z

VV

S

≠=

+⋅⋅=00

01

63

on jjS l’hem calculat prèviament amb el mètode descrit:

jKKa

Kjj

j

jKainjj a

bS

≠=

=Γ=≠=

0

0

2.4.2. Càlcul de paràmetres S per descomposició en mode parell/mode senar La descomposició en mode parell/mode senar no és pròpiament una metodologia de càlcul de paràmetres S, sinó una manera de reduir la complexitat de càlcul per a circuits simètrics. Tingueu present que perquè un circuit pugui ser considerat simètric, ha de ser físicament i elèctricament, però a més a més, els ports han de tenir una numeració adequada, “simètrica”, i les impedàncies de les línies de transmissió amb les quals s’accedeix també han de ser simètriques. Sigui la següent xarxa simètrica (física o elèctricament) de microones, amb la següent numeració de ports:

Pla de simetria

2N

N+2

N+1

NNZZ 020 =

2020 ZZN

=+

1010 ZZ N =+

N

1

2

10Z

20Z

NZ0

S

2N

N+2

N+1

NNZZ 020 =

2020 ZZN

=+

1010 ZZN

=+

N

1

2

10Z

20Z

NZ0

M connexions internes entre les dues meitats simètriques del circuit. són portsperquè no hi accedim des de l´exterior!!

NO

Fig. 23. Descomposició d’un circuit simètric en dos subcircuits units per una sèrie de connexions internes.

Per a calcular S, podem fer-ho directament o a través de la descomposició en mode parell-mode senar:

1. Mode parell: calculem la matriu de paràmetres S de la descomposició en mode parell de la xarxa eS (meitat de la xarxa amb els ports n1K del circuit, amb les M connexions internes en circuit obert).

64

N

1

2eS

Xarxa d´N ports Matriu de paràmetres S = NNSe ×

Deixem les M connexions internes en circuit obert.

Fig. 24. Descomposició en mode parell del circuit original.

2. Mode senar: calculem la matriu de paràmetres S de la descomposició en mode senar ( )oS (meitat de la xarxa amb els ports n1K , amb les M connexions internes curtcircuitades).

Fig. 25. Descomposició en mode senar del circuit original.

3. Finalment, calculem la matriu de paràmetres S original com:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+

=oeoe

oeoe

SSSSSSSS

S21

N

1

2 oS Xarxa d´N ports Matriu de paràmetres S = o

Deixem les M connexions internes en curtcircuit.

S N N×

65

SESSIÓ 5 Nom: Sessió de problemes Tipus: de problemes Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 2 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS En aquesta sessió afermarem els conceptes teòrics apresos en la sessió anterior mitjançant una sèrie de problemes senzills de càlcul i manipulació de paràmetres S.

CONTINGUTS Aquesta sessió s’estructura al voltant d’una sèrie de problemes amb dificultat gradual que ens han de fer comprendre la metodologia de càlcul dels paràmetres S, així com el seu sentit.

2.5. Problemes del Capítol 2 (i) Aquest apartat s’estructura al voltant d’una sèrie de problemes amb dificultat gradual que ens han de fer comprendre la metodologia de càlcul dels paràmetres S, així com el seu sentit.

Problema 2.1 (a) i (b)

En aquests apartats del problema 2.1 calcularem els paràmetres S de dos circuits molt senzills, però que ens donaran idea de la mecànica i possibilitats de càlcul dels mateixos. Admitància en paral·lel referida a Z0 en ambdós ports.

Fig. 26. Admitància paral·lel.

66

Impedància en sèrie referida a Z0 en ambdós ports.

Fig. 27. Impedància sèrie.

Problema 2.1 (c)

En aquest apartat del problema 2.1 calcularem els paràmetres S d’una connexió entre dues línies de transmissió d’impedància característica diferent. Aquest cas té una impedància conceptual molt gran, i en farem ús al llarg del curs. Canvi d’impedàncies de referència (o unió entre línies de transmissió de diferent impedància característica).

Fig. 28. Canvi de medi.

Problemes 2.1 (d) i (e)

En aquest apartat del problema 2.1 calcularem els paràmetres S d’una línia de transmissió accedida a través de dues línies de transmissió de la mateixa impedància característica i d’impedància característica diferent. Veurem que, per a l’apartat (d) el resultat és molt senzill i predictible. Intenteu aplicar aquest resultat per a comprendre la propietat del canvi de pla de referència. Línia de transmissió d’impedància característica Z0 referida a Z0 en ambdós

ports.

Fig. 29. Línia de transmissió sense canvi de medi.

Línia de transmissió d’impedància característica Z01 referida a Z0 en ambdós

ports (calculeu-la per tres mètodes diferents).

67

Fig. 30. Línia de transmissió amb canvi de medi.

Problema 2.1 (f)

En aquest apartat del problema 2.1 calcularem els paràmetres S d’una connexió entre una impedància en paral·lel i una línia de transmissió de la mateixa impedància que la dels ports. Aquest serà un bon cas per aplicar propietats de les matrius de paràmetres S. Impedància en sèrie amb una línia de transmissió d’impedància característica

Z0, referida a Z0 en ambdós ports.

Fig. 31. Impedància sèrie amb línia de transmissió.

69

SESSIÓ 6 Nom: Xarxes de dos ports. Absència de sentit físic Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS En aquesta sessió acabaren la part teòrica d’aquest capítol, analitzant altres maneres de caracteritzar xarxes de dos ports, estudiant la relació entre els diversos tipus de paràmetres que permeten caracteritzar xarxes i, finalment, reflexionant sobre els paràmetres S quan és obvi que no representen relacions entre ones reals.

CONTINGUTS Primerament trobarem alguns resultats útils per a xarxes de dos ports i analitzarem maneres de caracteritzar les alternatives als paràmetres Z, Y o S. Estudiarem per tant els paràmetres ABCD, basats en tensions i corrents i el paràmetre T, basat en ones normalitzades. A continuació establirem les relacions entre les diverses caracteritzacions de circuits que coneixem (paràmetres Z, Y, S, T i ABCD). Finalment, reflexionarem sobre els paràmetres S en situacions on no podem assignar-los-hi cap mena de sentit físic.

2.6. Xarxes de dos ports En aquest apartat presentarem una sèrie de resultats importants que s’apliquen a xarxes de dos ports: Expressions per als seus coeficients de reflexió d’entrada i de sortida, i les caracteritzacions alternatives a partir de paràmetres S i ABCD

2.6.1. Coeficient de reflexió d’entrada i de sortida en una xarxa de dos ports

Coeficient de reflexió d’entrada

L’expressió de coeficient de reflexió d’entrada o de sortida d’una xarxa de dos ports caracteritzada per una matriu de paràmetres S és un concepte important des del punt de vista de l’ús futur que en farem.

70

Situació:

SLΓ

inΓ

a2a1

Z01

Z02 Z0LI2

V2 VL

aL

IL

bLb2b1

Fig. 32. Xarxa de dos ports amb el port 2 carregat amb un coeficient de càrrega arbitrari.

El quadripol, juntament amb la càrrega LΓ , es comporta com una nova càrrega que

podem modelar a partir del seu coeficient de reflexió 1

1

ab

in =Γ .

La càrrega compleix que LL

LL

L

LL ZZ

ZZab

0

0

+−

==Γ (la seva impedància de referència és

Z0L). Ara bé, l’ona incident a LΓ per força ha de provenir (sortir) del biport ⇒ si les impedàncies de referència del port de sortida (Z02) i de la càrrega (Z0L) són la mateixa, aleshores 2baL = . Comprovem-ho:

( ) ( ) 2202202020

20

0 21

21 bIZV

ZZZII

IZVZ

aL

LLLL

LL =−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−=

=+=

Això ho podem raonar dient que una ona que surt del port 2 no veu cap canvi de medi en aquesta situació i, per tant, entra en la càrrega sense modificar-se. Si les impedàncies de referència fossin diferents, l’ona a2 veuria un canvi de medi: en part es transmetria cap a la càrrega i en part es reflectiria al canvi de medi. Per tant, ja no es compliria que 2baL = . Anàlogament, si Z02=Z0L, aleshores .2abL = Per als càlculs que segueixen, i quan apliquem les formules a què arribarem,

suposarem precisament que es compleix Z02=Z0L i que, per tant, 02

02

ZZZZ

L

LL +

−=Γ .

Aplicant les igualtats anteriors 222

2 baba

ab

LL

LL Γ=⇒==Γ .

LL

L

SaSbbSaSaSaSb

bSaSaSaSb

Γ−=⇒Γ+=+=

Γ+=+=

22

12122221212221212

2121112121111

1

71

⇒ΓΓ−

+= LLS

aSSaSb22

121121111 1 L22

L211211

1

1in S1

SSS

ab

Γ−Γ

+==Γ

Evidentment, si 0

20 =Γ⇒= LL ZZ , 11in S=Γ (per definició de 11S ). Si 1112 ,0 SS in =Γ= (circuit unilateral entre entrada i sortida).

2.6.2. Coeficient de reflexió de sortida

Sag a1 a2

Γout

Γg bg b1 b2

Fig. 33. Xarxa de dos ports amb el port 1 carregat amb un coeficient de càrrega arbitrari.

Aplicant raonaments anàlegs als del cas anterior, arribem a:

g

gout S

SSS

Γ−

Γ+=Γ

11

211222 1

2.6.3. Paràmetres S per a una xarxa passiva i sense pèrdues

S 212221212

2121111

aSaSbaSaSb

+=+=

Fig. 34. Paràmetres per a una xarxa de dos ports.

72

Per ser passiva i sense pèrdues:

[ ] [ ]

possibles. circuits

infinits ha hi perquè tsindependen linealment

incògnites 4 amb equacions 4 tenir podem No

conjugada. aquesta, és equació L´altra 0

1

1

1001

22122111

)2(222

221

)1(212

211

2221

1211

2221

1211

→=+

=+

=+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⇔=⋅

∗∗

∗∗

∗∗+

SSSS

SS

SS

SSSS

SSSS

ISS d

La 3a condició podem posar-la en mòdul i fase:

)4(22122111

)3(22122111

πϕϕϕϕ ±−=−

= SSSS

Elevant )3( al quadrat i substituint els termes ji Sij ≠ a partir de )2()1( i :

( ) ( )⇔−=− 211

222

222

211 11 SSSS 2211 SS =

No cal que la xarxa sigui simètrica, només que sigui passiva i sense pèrdues. Substituint en

)3(:

2

222

112112 11 SSSS −=−== Anomenant KS =11 :

[ ] πϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ

±+=+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−= 211222112

211

amb 1

12221

12

jj

jj

KeeKeKKeS

Hem reduït els paràmetres inicials de 8 a 4. Si a més a més de passiva i sense pèrdues la xarxa és recíproca:

πϕϕϕϕϕ ±=+⇒=⇒= 12221121122112 2SS I si a més a més és simètrica físicament, 2211 ϕϕ = .

73

2.6.4. Altres maneres de caracteritzar xarxes de dos ports Els paràmetres S són molt útils per a caracteritzar biports aïllats. Ara bé, per a caracteritzar connexions en cascada de biports, no són del tot adients.

Aa1Aa2

Ba1Ba2

Bb2Bb1

Ab1Ab2

BZ20

AZ10

AZ20

BZ10

SA SB

STOT

Fig. 35. Connexió en cascada de dues xarxes de dos ports.

Si tenim cada quadripol caracteritzat per la seva matriu de paràmetres S, SA i SB, no hi ha cap manera elemental de posar la matriu de paràmetre S del circuit resultant, STOT en funció de SA i SB. Hi ha, però, altres caracteritzacions dels circuits (els paràmetres T i els paràmetres ABCD) que sí que ens permetran trobar de manera senzilla informació sobre el circuit total resultant de la connexió en cascada.

Paràmetres T

Els paràmetres T expressen no ones de sortida en funció d’ones d’entrada, com els S, sinó ones en un port en funció d’ones en l’altre:

Aa1Aa2

Ba1Ba2

Bb2Bb1

Ab1Ab2

BZ20

AZ10

AZ20

BZ10

TA TB

TTOT

Fig. 36. Connexió en cascada de dos quadripols caracteritzats amb paràmetres T.

TOTBATTTT

T

ba

Tab

ba

Tab

ba

Tab

B

BTOT

A

A

B

BB

B

B

A

AA

A

A

,,2221

1211

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

ααα

ααα

74

T� és la matriu de paràmetres T del quadripol α. Si es compleix que la impedància de referència del port 2 del quadripol A és igual a la impedància de referència del port 1 del quadripol B, aleshores hi haurà continuïtat d’ones entre ambdós quadripols, perquè una ona que surti del quadripol A entrarà íntegra al quadripol B pel fet de no veure cap canvi de medi que pugui fer-la reflectir-se (tal com s’ha raonat a l’apartat “Coeficient de reflexió d’entrada”).

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⇔

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔= B

B

A

A

BA

BABA

ab

ba

ab

baZZ

1

1

2

2

12

1200 12

Aleshores, si i només si es compleix la condició anterior:

⇔⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡B

BBA

B

BA

A

AA

A

A

ba

TTab

Tba

Tab

2

2

1

1

2

2

1

1 BATOT TTT ⋅=

La relació entre paràmetres S i T és:

22

2122

2122

2221

21

2221

22

21121112

21

1112

22

1211

21

2112221111

1

1

TTS

ST

TS

SST

TTTTS

SST

TTS

SSSSST

−==

=−=

−==

=+−

=

Si la xarxa és recíproca, 2112 SS = :

1 121122211

2222

211211 =−⇔=− TTTT

TTTTT

Si la xarxa és simètrica, 12212211 TTSS −=⇔= .

Paràmetres ABCD

Són útils per a caracteritzar biports en cascada, tot i que depenen de tensions i corrents. Per tant, seran menys idonis que els T per a caracteritzar xarxes de microones per tots els motius esmentats al principi del tema. A més a més, seran més costosos de transformar en paràmetres S que els T. Expressen tensions i corrents en un port en funció de tensions i corrents en l’altre:

75

Aa1Aa2

Ba1Ba2

Bb2Bb1

Ab1Ab2

BZ20

AZ10

AZ20

BZ10

I1A

V1A ABCDA

V2A V1

B V2B

I2A I1

B I2B

ABCDTOT

ABCDB

Fig. 37. Connexió en cascada de dos quadripols caracteritzats amb matrius de

paràmetres ABCD.

TOTBADCBA

ABCD

IV

ABCDIV

IV

ABCDIV

IV

ABCDIV

B

BTOT

A

A

B

BB

B

B

A

AA

A

A

,,

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

ααα

ααα

ABCD� és la matriu de paràmetres ABCD del quadripol α. Si la xarxa és recíproca, aleshores 1CBDA =⋅−⋅ . Si la xarxa és simètrica: DA = . Operant de manera anàloga al cas dels paràmetres T:

4444444444444 34444444444444 21c

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡B

BBA

B

BA

A

AA

A

A

IV

ABCDABCDIV

ABCDI

VABCD

IV

2

2

1

1

2

2

1

1

BATOT ABCDABCDABCD ⋅=

2.7. Relació entre paràmetres Z, Y, S, ABCD i T En aquest apartat es presenten fórmules que relacionen els diversos paràmetres que podem utilitzar per a caracteritzar xarxes de microones. Els resultats es presenten a nivell de referència i no cal que els memoritzeu.

76

2.7.1. Relació entre matrius de paràmetres Z, Y, S per a una xarxa d’N ports Sigui una xarxa d’N ports que tenim caracteritzada per les seves matrius de paràmetres Z, Y i S. Suposem que la impedància de referència dels N ports de la xarxa és la mateixa i val Z0. Aleshores:

1

10

10

1

10

10

1000

10

1000

10

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

−

−−

−

−−

−−

−−

=

+⋅−⋅=−⋅+⋅=

=

−⋅+⋅=+⋅−⋅=

+⋅⋅−⋅=−⋅⋅+⋅=

⋅+⋅⋅−=⋅−⋅⋅+=

ZY

SISIYSISIYYYZ

SISIZSISIZZ

YIYYIYYIYYIYS

IZZIZZIZZIZZS

dddd

dddd

dddd

dddd

Per a alguns circuits, les matrius de paràmetres Z o Y poden no existir.

2.7.2. Relació entre paràmetres S, T, i ABCD per a una xarxa de dos ports Sigui una xarxa de dos ports amb impedàncies de referència que poden ser diferents per a cada port, Z01 i Z02.

ST

ABCDZ01 Z02

Fig. 38. Xarxa genèrica caracteritzada amb paràmetres S, T i ABCD.

77

Aleshores:

21122211

21

01022211

020121

2211

21

02012211

21

02012211

01020102

0102010222

01020102

020121

01020102

020112

01020102

0102010211

2/)1(

2)1(

2)1(

2/)1(

2

)(2

SSSSS

ZZSSD

ZZSSS

C

SZZSS

B

SZZSS

A

DZZCZBAZDZZCZBAZ

S

DZZCZBAZZZ

S

DZZCZBAZZZBCAD

S

DZZCZBAZDZZCZBAZ

S

S

S

S

S

S

−=Δ

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Δ−+−=

Δ+−−=

Δ+++=

Δ−−+=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

++++−+−

=

+++=

+++−

=

+++−−+

=

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=

=

+−=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

=

−=

=

2122

21

2221

21

1112

21

2112221111

22

2122

2221

22

12211112

22

1211

1

1

ST

SST

SST

SSSSST

TTS

TS

TTTTS

TTS

2.8. Paràmetres S en absència de sentit físic En aquest apartat veurem que els paràmetres S poden seguir-se utilitzant fins i tot quan no tenen cap mena de sentit físic, quan no es corresponen a ones reals en un sistema.

Paràmetres S en absència de sentit físic

Els paràmetres S tenen sentit físic clar (relacions entre ones incidents i reflectides (normalitzades) en un circuit quan la impedància característica que hem utilitzat per a definir-los (que a partir d’ara anomenarem impedància de referència) correspon a la impedància característica de les línies de transmissió sobre les quals realitzem els ports (accedim al circuit). Si no (si en el(s) port(s) no hi ha una línia de transmissió, o la impedància característica d’aquesta línia de transmissió no correspon a la que hem utilitzat per a definir les ones normalitzades i els paràmetres S), els paràmetres S deixen de tenir sentit físic. Podem seguir-los utilitzant, però perquè són matemàticament correctes.

78

Els paràmetres S tenen sentit físic quan:

1. Els definim en una interfície amb una L.T.

2. La L.T. té la impedància característica que utilitzem per a definir els paràmetres a i b .

b , Vs g Z , L LΓ

I

V

L.T

0 z

Z , g gΓ

a

b

00

00

)0(

)0(

ZV

ZVb

ZV

ZVa

−−

++

==

==

Fig. 39. Connexió entre un generador i una càrrega realitzada sobre una línea de transmissió d’impedància característica Z0 igual a la de referència.

Per a resoldre aquest circuit, podem fer-ho, bé a través de tensions i corrents, bé a través d’ones incidents i reflectides normalitzades.

0L

0LL

0g

0gg

0g

0

0

gs

ZZZZZZZZ

ZZZ

Z

Vb

+−

=Γ

+

−=Γ

+=

L

L0L

g

g0g

g

0sg

11ZZ

11

ZZ

1Z2

bV

Γ−Γ+

=

Γ−

Γ+=

Γ−=

Lgs ,,b ΓΓ

ab1

ba

L

Lg

s

⋅Γ=ΓΓ−

=

Lgg Z,Z,V L

gLg

L

ZVI

VZZ

ZV

=

+=

( )

( )IZVZ2

1b

IZVZ2

1a

00

00

−=

+=

b,a

I,V

( )( )baZI

baZV

0

0

−=+=

Ambdós mètodes de resolució són vàlids i ens podem moure de l’un a l’altre a través d’expressions de transformació, bé del conjunt de dades, bé de la solució, que ens depenen de 0Z . Les expressions de transformació són bijectives: donat 0Z , per a

cada conjunt { }Lgg ZZV ,, n’obteníem un i només un { }Lgsb ΓΓ ,, , i a l’inrevés.

Igualment passa amb { }IV , i { }ba, . Què passaria si 0Z no fos una impedància característica d’una línia de transmissió física en la interfície entre el generador i la càrrega? Òbviament, les transformacions entre { }Lgg ZZV ,, , { }IV , i { }Lgsb ΓΓ ,, , { }ba, seguirien sent matemàticament correctes i per tant, portant-nos a resultats correctes.

79

On hi hauria el problema? Si 0Z ja no és la impedància característica de la L.T. amb què es realitza la interfície

(bé perquè no hi ha L.T., bé perquè té impedància característica 0/0 ZZ ≠ ), aleshores

ja no pot ser cert que:

0

0

ZVb

ZVa

−

+

=

=

En el cas que la interfície no es realitzi a través d’una L.T., l’únic que tindrà sentit seran tensions i corrents (tot i que a i b siguin correctes matemàticament, no ens diuen res sobre el comportament físic del circuit). Caldrà passar a tensions i corrents per a recuperar la visió física. En el cas que la interfície es realitzi a través d’una L.T. d’impedància característica

0/0 ZZ ≠ , tot i que hi tindrem ones progressives i reflexives, aquestes no tindran res a

veure amb a i b :

I

VZ´0

z0

( )

( )( ) ⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=

+=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−==

+==

−+

−+

físicsentit sense

clar físicsentit

1)0(

)0(

0

0

'0

baZI

baZV

VVZ

II

VVVV

Fig. 40. Tensions i corrents en funció d’ones reals i normalitzades.

22

22

0

'00

0

'00

0

'00

0

'00

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++

−=

−+

+=

−

+

bZZZa

ZZZV

bZZZ

aZZZ

V

Les ones progressives i reflectides reals no tenen res a veure amb les normalitzades.

81

SESSIÓ 7 Nom: Sessió de problemes Tipus: de problemes Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 2 hores Treball a lliurar: no

OBJECTIUS En aquesta sessió aprofundirem mitjançant la realització de problemes en la comprensió dels conceptes apresos fins el moment.

CONTINGUTS En aquesta sessió realitzarem dos problemes d’una certa complexitat per veure l’aplicació dels paràmetres S a l’anàlisi de circuits de microones.

2.9. Problemes del Capítol 2 (ii) En aquesta sessió analitzarem, a través de problemes, la dependència dels paràmetres S amb la impedància característica/de referència dels ports, i analitzarem connexions en cascada de xarxes caracteritzades pels seus paràmetres S.

Problema 2.2

En aquest problema analitzarem com canvien els paràmetres S d’un circuit quan canviem les seves impedàncies de referència. Un quadripol té, a una freqüència determinada i referit a 50Ω, la següent matriu de paràmetres S:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5.0866.0866.05.0

jj

S

Calculeu la seva matriu de paràmetres S referida a 75Ω.

Problema 2.6

Un sistema per a millorar l’adaptació a l’entrada d’un circuit consisteix a posar un atenuador a l’entrada (Fig. 79). Aquest sistema pressuposa que ens trobem en el cas, poc freqüent, que el circuit al qual volem accedir no té problemes de nivell de potència d’entrada, ni de soroll).

82

Fig. 41. Millora de l’adaptació d’entrada d’un dispositiu.

La matriu de paràmetres S d’un atenuador ideal és:

10,0

0<<ℜ∈⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= αα

αα

S

Si el coeficient de reflexió d’entrada del circuit és ΓC, (a) Calculeu el coeficient de reflexió d’entrada, ΓIN, del conjunt atenuador-circuit. Millora l’adaptació? (b) Calculeu la pèrdua relativa de potència a l’entrada del circuit, P1/P2, pel fet d’afegir-hi l’atenuador a l’entrada. (c) Calculeu els paràmetres S del conjunt atenuador-circuit en funció dels paràmetres S genèrics del circuit.

Fig. 42. Conjunt atenuador-circuit.

83


OBJECTIUS En aquesta sessió aprofundirem mitjançant la realització de problemes en la comprensió dels conceptes apresos fins al moment.

CONTINGUTS En aquesta sessió realitzarem dos problemes d’una certa complexitat per veure l’aplicació dels paràmetres S a l’anàlisi de circuits de microones.

2.10. Problemes del Capítol 2 (iii) En aquesta sessió analitzarem el comportament de dos circuits molt simples de microones, com ara són un atenuador resistiu i un ressonador.

Problema 2.12

En aquest problema analitzarem una estructura típica d’atenuador resistiu, i compararem els paràmetres S ideals amb els mesurats per a implementar-lo. La solució la trobareu a la carpeta Documents. Intenteu resoldre el problema pel vostre compte abans de mirar-ne la solució. L’integrat RF2421 d’RF MICRO-DEVICES (Fig. 81) és un atenuador monolític commutat realitzat sobre GaAs, pensat per a aplicacions de comunicacions mòbils. Aquest integrat cobreix un espectre de 500 MHz a 3 GHz i pot suportar potències d’RF de fins a 16 dBm. En funció d’un senyal de control (G10) l’atenuador pren un dels seus dos estats possibles: (a) no atenuació, i (b) 10 dB d’atenuació (-20 log(|S21|)=10 dB).

(a)

(b)

84

(c)

Fig. 43. (a) Esquema funcional d’un RF2421. (b) Exemple de connexió. (c) Descripció dels pins de l’integrat.

A la Fig. 82 es mostra un diagrama simplificat de la seva estructura interna (R0 és la impedància de referència Z0). Els commutadors (realitzats amb transistors MESFET), que suposarem ideals, en funció del seu estat de commutació (S1 ON i S2 OFF, o S1 OFF i S2 ON), redueixen el circuit a un dels dos que mostra la Fig. 83.

Fig. 44. Esquema simplificat de l’atenuador amb els commutadors S1 i S2.

1 2

Z0Z0

1 2RBRA=Z (N+1)/(N-1)

R =Z (N -1)/(2N)

0

B 02

RA RAZ0 Z0

(a) (b) Fig. 45. (a) Circuit equivalent de l’atenuador quan S1 OFF i S2 ON. (b) Circuit

equivalent de l’atenuador quan S1 ON i S2 OFF.

85

Calculeu, per descomposició en mode parell i mode senar els paràmetres S de l’atenuador en l’estat d’atenuació (Fig. 83 (b)), referits a Z0, i trobeu N. Compareu els resultats teòrics amb els mesurats per a aquest integrat, que es mostren en la Fig. 84, i justifiqueu-ne les diferències.

(a)

(b)

Fig. 46. (a) |S11| en forma de VSWR. La referència vertical s’indica amb un petit triangle al marge esquerre de la gràfica, i correspon a un valor VSWR=1. Les divisions de l’eix d’ordenades són d’una unitat per divisió. (b) |S21| en dB. La

referència vertical correspon a un valor |S21|=0dB. Les divisions de l’eix d’ordenades són de 5 dB per divisió.

Nota:

12)1(12)1()1)(1(1

22

22

2

+−=−

++=+

−+=−

NNNNNN

NNN

Problema 2.15

En aquest problema analitzarem el comportament d’un ressonador realitzat sobre una línia de transmissió poc habitual, la línia de ranura. El ressonador de línia de ranura de la Fig. 85(a) pot se modelat circuitalment segons el model circuital de la Fig. 85(b). Z0s és la impedància característica del mode de línia de ranura d'excitació. Z0e i Z0o són, respectivament, les impedàncies característiques dels modes coplanars parells i senars del tram de guia d'ones coplanar que forma pròpiament el ressonador. Com es pot veure al circuit equivalent, els modes d'excitació de línia de ranura es transformen en modes coplanars senars a les interfícies entre guies d'ones coplanars i una guia d'ones de línia de ranura. Aquests modes coplanars senars es transformen en part en modes coplanars parells al curtcircuit asimètric que hi ha a la guia d'ones coplanar, i queden confinats (i per tant poden ressonar en certes freqüències) en aquesta guia d'ones coplanar perquè no poden transformar-se, com el

86

mode coplanar senar, en mode de línia de ranura (queden en circuit obert a la transició entre guia d'ones coplanar i guia d'ones de línia de ranura).

(a) (b)

d1 d1

1: 2

1: 2

2:1 1:11:1

2:1

Z0o,βo

Z0e,βe Z0e,βe

Z0o,βo Z0sZ0s

d1 d11

1

2

2

Fig. 47. Ressonador de línia de ranura (a) i model circuital equivalent (b).

(a) Suposant que es compleix que Z0s=Z0o calculeu els paràmetres S del ressonador, referits a Z0s. (b) Identifiqueu per a quines freqüències el ressonador deixarà passar tot el senyal entre els seus ports 1 i 2, i per a quines freqüències n'impedirà totalment el pas.

87

SESSIÓ 9 Nom: Adaptadors de línia i divisors de potència Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS L’objectiu d’aquesta sessió serà introduir-nos als subcircuits més habituals en sistemes de microones, començant pels més elementals. En sessions posteriors en presentarem de més complexos.

CONTINGUTS En aquesta sessió analitzarem dos tipus molt elementals d’adaptació d’impedàncies de línia de transmissió, el transformador lambda/4 i el taper. A continuació presentarem diversos tipus de divisors de potència o combinadors de senyal.

3. Circuits passius de microones

3.1. Transformadors λ4 El transformador λ/4 és un dels circuits de microones més elementals. Té una gran aplicació en adaptacions d’impedàncies, sobretot reals. És el primer circuit que tractem perquè en podem analitzar de manera analítica el comportament freqüencial, cosa que serà en general impossible (o si més no, molt difícil) per a la resta de circuits que estudiarem.

3.1.1. Transformadors λ/4. Anàlisi

El transformador λ/4 és un dels circuits de microones més elementals. Té una gran aplicació en adaptacions d’impedàncies, sobretot reals. És el primer circuit que tractem perquè en podem analitzar de manera analítica el comportament freqüencial, cosa que serà en general impossible (o si més no molt difícil) per a la resta de circuits que estudiarem. S’utilitzen per fer adaptacions d’impedàncies de banda estreta (centrades en una freqüència central f0 per a la qual λ=λ0).

88

A la figura següent es mostra l’esquema d’un transformador λ/4 adaptant una impedància de càrrega ZL, a una línia de transmissió amb impedància característica Z0.

Fig. 48. Esquema d’un transformador d’impedàncies λ/4 adaptant una càrrega d’impedància ZL a una línia de transmissió amb impedància característica Z0.

Si calculem la impedància d’entrada que presenta en la freqüència de disseny f0, veurem que és inversament proporcial a la impedància de càrrega ZL i que el nostre paràmetre de disseny serà precisament la impedància característica de la línia del transformador: Z01.

( )( ) L

201

0

0L01

0

001L

01L01

01L010IN Z

42

ZZ

42ZZ

ZZZZZ

Z)(ZZ

tgj

tgj

dtgjdtgj

f =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=++

=λ

λπ

λλπ

ββ

Si LZZZ 001 = (cosa que només s’aconseguirà si ZL és real) llavors ZIN (f0)=Z0, és a dir, observem que la impedància de càrrega s’ha adaptat a la impedància de la línia Z0.

3.1.2. Ample de banda d’un transformador λ/4 Hem vist a l’apartat anterior que per a f=f0 tenim que ZIN (f0)=Z0.. Ara estudiarem quina impedància d’entrada i quin coeficient de reflexió veiem a freqüències diferents (f≠f0). Això ens servirà per determinar en quin marge de freqüències al voltant de f0 encara és útil el nostre transformador per adaptar en impedàncies (que ZIN (f)≈Z0):

Fig. 49.

89

)d(tgjZZ)d(tgjZZ

Z)f(ZL01

01L01IN β+

β+=

=+++−−+

=+

++

−++

=Γ)()()()(

)()()()(

0100120101

0100120101

001

0101

001

0101

dtgZjZZZdtgjZZZdtgZjZZZdtgjZZZ

ZdtgjZZdtgjZZZ

ZdtgjZZdtgjZZZ

LL

LL

L

L

L

L

IN ββββ

ββββ

{ })(2)(2 010

0

00100101

00101001 dtgZZjZZ

ZZdtgZZZjZZZZ

ZZZZZZZLL

L

LL

LL ββ ++

−=

++−

===

( )( )( )

( )

=+

−+

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

=+=

++

−=Γ

))(1(41

14)(4 2

20

002

0

20

20

20

0

dtgZZZZZZZZ

ZZ

dtgZZZZ

ZZ

L

LLL

L

LL

LIN

ββ

( ) )(cos41

1)(1)(cos

1

220

0

22

dZZZZ

xtgx

L

L

β−+

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

A la freqüència del disseny:

0)cos(224

2

000

0

Pr0 =⇒==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=====

= dff

fv

dff

op

ffff βππλλ

λπβ

A freqüències diferents a la de disseny:

{ } ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ+=⇒

Δ+=Δ+====

0000

0 2sin

22cos)cos(

222 ff

ffd

fffff

ffd πππβπππβ

A freqüències properes a la de disseny:

( )1

)(cos40

2sin)cos(0 22

0

0

00 >>

−⇒→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−=⇒→Δ⇒→

dZZZZ

ffdfff

L

L

βπβ

90

Per tant:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−≈

−+

=Γ00

0

220

0 2sin

2)(cos

41

1ff

ZZZZ

dZZZZ L

L

L

LIN

π

β

Fig. 50. Aproximació, al voltant d’f0, de la resposta en freqüència d’un transformador λ/4,

per a diferents impedàncies de càrrega ZL.

Com es pot observar a la figura: A mesura que ens allunyem de la freqüència central, la desadaptació augmenta. Com més properes Z0 i ZL, més ample de banda d’adaptació.

3.2. Tapers Els tapers són transicions suaus entre dos tipus de línia de transmissió, que aconsegueixen adaptacions força bones amb grans amples de banda. En farem una anàlisi descriptiva, ja que analitzar-los de forma analítica és força enrevessat. En aquest apartat en descriurem el funcionament.

3.2.1. Tapers. Anàlisi descriptiva Els tapers permeten realitzar adaptacions de banda ampla basant-se en el canvi suau de impedància característica entre el valor d’entrada i el de sortida de tal manera que no es vegi un canvi de medi brusc i per tant, pràcticament sense reflexions.

0101112

0 ZZSaIN ≈⇒≈

=

91

0202221

0 ZZSaIN ≈⇒≈

=

Per exemple, com es pot veure a la figura següent, en línies micropista o en línies de ranura, es realitza una adaptació progressiva canviant l’ample de pista (en la micropista) o l’ample de la ranura (en la de ranura), paràmetres que determinen la impedància característica d’aquestes línies de transmissió.

Fig. 51. Diferents configuracions de tapers.

Un possible model equivalent per al taper és, a la freqüència central, un transformador, on canviant la relació d’espires es canvia la impedància que veu:

dddZZ

k ≈+≈ 2101

02

Fig. 52. Model equivalent d’un taper, a la freqüència central.

92

3.2.2. Resposta freqüencial d’un taper

Fig. 53. Paràmetre d’adaptació d’un taper, en funció de βd.

Fixeu-vos que: Per a d fixa, com major és la f, millor funcionament. Per a f fixa, com major és la d, millor funcionament. Si d/λ és petit (d petita o f baixa), és com si el taper no hi fos (connexió directa entre línies de transmissió).

3.3. Divisors de potència Els divisors de potència són dispositius que divideixen la potència d’una ona d’entrada entre dues (o més ones de sortida) o, alternativament, combinen diverses ones d’entrada en una sola ona de sortida. En aquest apartat en veurem diversos tipus, amb propietats força diferents.

3.3.1. Divisors de potència. Introducció Els divisors de potència són dispositius que divideixen la potència d’una ona d’entrada entre dues (o més ones de sortida) o, alternativament, combinen diverses ones d’entrada en una sola ona de sortida. Les configuracions més habituals d’aquests dispositius són la de divisor resistiu i, sobretot, la de divisor de Wilkinson. A la següent figura podem observar les característiques desitjables que ha de tenir un divisor de potència ideal. S’ha posat com a exemple un divisor de tres ports. Per al cas de funcionar com a divisor de potència, el port 1 és el port d’entrada i els altres dos, de sortida. Per al cas de funcionar com a combinador de senyal, els ports d’entrada serien els ports 2 i 3, i el port de sortida, el port 1.

0102

0102

ZZZZ

+−

fcddd π

λπβ 22 ==

93

Fig. 54. Esquema d’un divisor de potència ideal.

Les fletxes amb línia contínua marquen el pas de senyal. Les línies trencades, els camins que no haurien de ser.

Característiques desitjables:

• Adaptació (Sii=0). • Aïllament entre ports de sortida – Una reflexió en un port de sortida no ha

d’afectar directament els altres ports de sortida. • Sense pèrdues, passiva i recíproca.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0000

0

31

21

3121

SS

SSS

Normalment volem també que divideixin la potencia de manera equitativa. Per al cas més habitual de tres ports (sortides al 2 y 3):

21

21

21

21

21

2

2131

21

21

231

21

221

132

==

⇒==⇒==+

−−

SS

aaSaSP

PP

94

Per tant, la matriu de paràmetres S ideal d’un divisor de potència que compleixi amb totes les propietats anteriors és:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=

=

⇒+=

⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=Divisor

aeb

aeb

Combinadoraeaeb

ee

eeS

j

j

jj

j

j

jj

13

12

321

212

12

1

0000

0

21

ϕ

θ

ϕθ

ϕ

θ

ϕθ

Problema La matriu anterior no podrem aconseguir-la amb una xarxa passiva, recíproca sense pèrdues.

3.3.2. Divisors de potència resistius L’esquema d’un divisor resistiu de 3 ports i la seva matriu de paràmetres S es presenten a continuació:

Fig. 55. Divisor resistiu.

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

+=

⇒+=

⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

?

212121

011101110

21

213

312

321

Divisoraab

aab

Sumadoraab

S

Com es pot observar, els ports estan perfectament adaptats (Sii=0). Però malauradament, els ports 2 i 3 no estan aïllats (S23≠0, S32 ≠0), i a més a més la xarxa presenta pèrdues (el senyal, per passar del port 1 als ports 2 i 3 ha de fer-ho a través de resistències que impliquen pèrdues). Presenten un gran avantatge però un ample de banda infinit en teoria (si es fa molt bé, pot arribar als 50 GHz).

95

Anàlisi del divisor de potència resistiu

Tot seguit, analitzarem com afecta la falta d’aïllament en els ports de sortida i quantificarem les pèrdues que es produeixen en el divisor.

Fig. 56. Ones en un divisor de potència resistiu.

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ΓΓ=Γ−=

ΓΓ=Γ−=⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

ΓΓ−

Γ+

=

ΓΓ−

Γ+

=

232

3

23

3

322

2

22

2

132

2

3

132

3

2

,12

,12

41

21

21

41

21

21

LLLL

LLLL

LL

L

LL

L

fb

P

fb

P

ab

ab

Observem que si ΓL2≠ΓL3, la sortida d’un port depèn de la càrrega de l’altre perquè no estan aïllats. Només no es nota l’efecte de la falta d’aïllament si ΓL2=ΓL3 (divisió equitativa). Ara calcularem la potència dissipada pel divisor PD, i per tant, no aprofitada. Ho farem per al cas, per exemple, ΓL2=ΓL3=0:

200

421

41

13211

11

12132

+−+

−

+

=−−−=⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

=⇒=

=== INLLININD

IN

INLL PPPPPP

Pb

PaPP

Com podem observar, la meitat de la potència d’entrada es dissipa en el divisor.

96

3.3.3. Divisors de Wilkinson L’estructura d’un divisor de Wilkinson és el que es pot veure a la figura següent, i el seu comportament (l’ideal a f0) s’indica amb la matriu de paràmetres S:

Fig. 57. Estructura d’un divisor de Wilkinson.

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=

−=

⇒+−

=

⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=Divisor

ajb

ajb

Sumadoraajb

jS

13

12

321

2

2

2

001001110

2

Com es pot veure:

• És una xarxa passiva, recíproca, amb pèrdues, perfectament adaptada i amb els ports 2 i 3 aïllats (S23=S32=0).

• La fase global de –π/2 (–j=e–jπ/2) pot canviar-se amb un canvi de pla de referència o amb implementacions diferents del divisor, és a dir, no és important per al funcionament del divisor. En general podem suposar un terme ejθ en lloc d’e–jπ/2 .

• La mateixa funcionalitat (matriu de paràmetres S) es pot aconseguir de maneres bastant diferents al divisor presentat.

97

Divisió de potència

Si analitzem ara amb més deteniment com realitza la divisió de potencia, veurem que:

Fig. 58. Anàlisi d’un divisor de Wilkinson carregat amb càrregues arbitràries als ports 2 i

3.

( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Γ−=

=−=−=−=

Γ−=

=−=−=−=

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=

−=

+

+

+

+

231

23

1

23

21

23

23

3

221

22

1

22

21

22

22

2

13

12

121

221

2221

22

121

221

2221

22

2

2

L

L

L

L

P

aP

aaabP

P

aP

aaabP

ajb

ajb

• De la potència incident en el port 1, entrega la meitat a cada port 2 i 3 en forma

d’ones sortints, independentment de si aquesta potència s’aprofita en aquests ports o no (reflexions a2 i a3). Això és una conseqüència de l’aïllament.

• Una reflexió en el port 2 només pot afectar el port 3 a través d’una re-reflexió

en el port d’entrada.

• Si ΓL2=ΓL3 el divisor no presenta pèrdues. Si no, sí que en presenta.

Comportament en freqüència

A la figura següent es pot observar el comportament ideal que ha de tenir el divisor de Wilkinson en freqüència. Es pot veure que els ports estan ben adaptats (Sii≈0) i que hi ha un bon aïllament entre els ports de sortida (S23≈0).

98

Fig. 59. Resposta en freqüència d’un divisor de Wilkinson.

Factors de mèrit en divisors

Els divisors reals (i els ideals fora de la freqüència de disseny f0) degraden les prestacions respecte de la matriu de paràmetres S ideal. Per a poder caracteritzar-los es defineixen les següents figures de mèrit:

• Pèrdues de retorn: RL= - 20log(|Sii|). Idealment ∞ a la freqüència central f0. • Pèrdues d’inserció: IL= - 20log(|S12 o S13 |). Idealment 3dB a la freqüència

central f0. • Aïllament = - 20log(|S23|). Idealment ∞ a la freqüència central f0.

Divisors de Wilkinson amb elements discrets

Depenent de l’aplicació, no sempre serà possible implementar un divisor de Wilkinson amb línies de transmissió. Per aquest motiu s’han cercat altres formes d’implementar divisors que tinguin la mateixa resposta que el de Wilkinson, però amb elements discrets.

99

Una forma d’implementar divisors de Wilkinson amb elements discrets (sense utilitzar línies de transmissió), és la que es mostra a la figura següent:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

−

001001110

2

4/πjeS

Fig. 60. Divisor de Wilkinson amb elements discrets i la seva matriu de paràmetres S.

Una altra manera d’implementar-ho sense línies de transmissió és utilitzant transformadors, com es pot observar a la figura següent:

Z0

Z0

Z0

1

2

3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

001001110

21S

Fig. 61. Divisor de Wilkinson amb transformadors i la seva matriu de paràmetres S.

101

SESSIÓ 10 Nom: Anells híbrids i acobladors direccionals Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS En aquesta sessió continuarem amb l’estudi d’uns circuits de microones, els anells híbrids i els acobladors direccionals que, tot i tenir estructures molt diferents entre ells, tenen, pel que fa a propietats, molta relació.

CONTINGUTS Després d’estudiar les característiques comunes a tots aquests circuits, estudiarem les característiques particulars de cadascun d’ells (anells híbrids de 90º, de 180º i acobladors direccionals

3.4. Anells híbrids i acobladors direccionals En aquest apartat veurem les característiques generals d’anells híbrids i acobladors direccionals, que particularitzarem tot seguit per als anells híbrids de 180º, descrivint-ne el funcionament, construcció i propietats més rellevants.

3.4.1. Característiques generals d’anells híbrids i acobladors direccionals Tots aquests circuits són xarxes de 4 ports passives, recíproques, sense pèrdues, perfectament adaptades i amb alguns dels seus ports aïllats. Una possible xarxa amb les característiques anteriors, tindria la següent matriu de paràmetres S:

[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

±+=+=+

∈

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=πϕϕθθ

τ

τ

ττ

ττ

ϕθ

θϕ

ϕθ

θϕ

2121

22 1

1,0,

0000

0000

21

21

22

11

k

k

ekekee

ekekee

S

jj

jj

jj

jj

102

On tenim que:

• Si k=τ , existeix una divisió equitativa de potència i tindrem el que s’anomena un “anell híbrid”.

• Si k<<τ , no existeix una divisió equitativa de potència (a un port li arriba molta més senyal que a l’altre) i tindrem un “acoblador direccional”.

3.4.2. Anells híbrids de 180º Els anells híbrids de 180º es caracteritzen per aconseguir divisions equitatives de senyal i poder actuar com a sumadors/restadors.

Estructura (micropista) i funcionament ideal a f0

Un exemple d’anell híbrid de 180º implementat amb L.T. micropista és el que es mostra a la figura següent:

Fig. 62. Anell híbrid de 180º.

( )

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒−−

=

⇒+−

=

⇒−−

=

⇒+−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

stadoraajb

Sumadoraajb

stadoraajb

Sumadoraajb

jS

Re2

2

Re2

2

001100111100

1100

2

214

213

432

431

103

Mirant la matriu de paràmetres S podem observar per exemple que si entrem una ona pel port 1, aquesta es divideix equitativament entre els ports 3 i 4, i el port 2 queda aïllat; i que si entrem pel port 2, la potència es divideix equitativament també entre els ports 3 i 4, però amb un canvi de fase de 180º, amb el port 1 aïllat. Aquest canvi de fase de 180º serà el que ens permetrà fer-lo servir com a restador. La fase global de –π/2 (–j=e–jπ/2) pot canviar-se amb un canvi de pla de referència o amb implementacions diferents de l’anell, és a dir, no és important per al funcionament de l’anell.

Divisió de potencia

Anem a veure com efectivament es divideix la potència. Per exemple, entrarem el senyal pel port 1, i l’analitzarem:

Fig. 63. Anell híbrid de 180º. Port 2 carregat amb Z0, ports 3 i 4 carregats amb

impedàncies arbitràries.

( )

( ) ( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Γ−=

=−=−=−=

Γ−=

=−=−=−=

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

−=

Γ−Γ−

=

Γ+Γ−

=

+

+

+

+

2

41

2

41

2

4

2

1

2

4

2

44

2

31

2

31

2

3

2

1

2

3

2

33

14

13

4312

4311

121

221

2221

22

121

221

2221

22

2

2

21

21

L

L

L

L

LL

LL

P

aP

aaabP

P

aP

aaabP

ajb

ajb

ab

ab

En aquest cas concret es comporta de manera anàloga a un divisor de Wilkinson, pel que fa a l’aïllament i a la divisió de potència entre els ports 1 i els 3 i 4. Si considerem ara, ΓL2 part del circuit i ΓL3 i ΓL4 càrregues (dispositiu funcionant com a divisor de potència: port 1 d’entrada, ports 3 i 4 de sortida), veiem que si ΓL3=ΓL4 , tenim que b2=0 i per tant el sistema, com a divisor de potència, no presenta pèrdues.

104

Si, per contra, ΓL3≠ΓL4, tindrem que b2 ≠ 0 i per tant el sistema, com a divisor de potència, si que presentarà pèrdues (la càrrega del port 2 la considerem part del nostre sistema).

Funcionament intuïtiu

Observem, per a la implementació que es mostra a la figura següent, que per a un senyal que entri pel port 1, aquest sortirà pels ports 3 i 4 i no pel port 2. Això és a causa que a aquest port, les ones que hi arriben, se sumen en contra fase. El mateix passa si injectem senyal pel port 2, aquest sortirà pels ports 3 i 4 i no pel port 1, perquè a aquest port les ones que arriben se sumen també en contra fase.

1 1

22

4 4

3 3

a1

a2

b k ==-jk ·a

4 A

A 1

= e ·a-j /2π

1b k =

=jk ·a4 A

A 2

= e ·a-j3 /2π

2

b k =-jk ·a3 A A 1= e ·a-j /2π

1b k =-jk ·a3 A A 2= e ·a

-j /2π2

b k +k e ·a ==-k ·a +k ·a =0

2 B B 1

B 1 B 1

-j4 /2π= e ·a

-j2 /2π1

b k +k e ·a ==-k ·a +k ·a =0

1 B B 2

B 2 B 2

-j4 /2π= e ·a

-j2 /2π2

- /2π - /2π

- /2π - /2π

- /2π - /2π

-3 /2π -3 /2π

Desfassatge Desfassatge

Fig. 64. Funcionament intuïtiu d’un anell híbrid de 180º.

Comportament ideal en freqüència

A les gràfiques de la figura següent es mostra el comportament ideal que tindrà un anell híbrid dissenyat per a la freqüència f0, funcionant com a divisor de potència.

105

Fig. 65. Comportament en freqüència d’un anell híbrid de 180º.

Factors de mèrit en anells híbrids de 180º

Els anells híbrids de 180º reals (i els ideals fora de la freqüència de disseny f0) degraden les prestacions respecte de la matriu de paràmetres S ideal. Per tant, per a poder caracteritzar la seva bondat, es defineixen una sèrie de figures de mèrit:

• Pèrdues de retorn: RL= - 20log(|Sii|). Idealment ∞ a la freqüència central f0 • Pèrdues d’inserció: IL= - 20log(|S13 o S14 o S23 o S24|). Idealment 3dB a la

freqüència central f0 • Aïllament = - 20log(|S12 o S34|). Idealment ∞ a la freqüència central f0 • Desfasatge entre ports. Idealment serà el que indiqui la matriu de paràmetres

S. El que és interessant és la fase relativa entre ports. Com per exemple es mostra a les dues gràfiques inferiors de la figura anterior: Si s’injecta senyal pel port 1, el senyal que surti pels ports 3 i 4 haurà de tenir la mateixa fase. El mateix succeeix si s’injecta senyal pel port 2.

3.4.2. Anells híbrids de 90º En aquest apartat veurem les característiques dels anells híbrids de 90º, descrivint-ne el funcionament, construcció i propietats més rellevants. Els anells híbrids de 90º es caracteritzen per aconseguir divisions equitatives de senyal i poder actuar com a sumadors en quadratura.

106

Estructura (micropista branch-line) i funcionament ideal a f0

Fig. 66. Estructura micropista d’un anell híbrid de 90º.

( )

( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒+−

=

⇒+−

=

⇒+−

=

⇒+−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

quadraturaenSumadorjaab

quadraturaenSumadorajab

quadraturaenSumadorjaab

quadraturaenSumadorajab

jj

jj

S

214

213

43

431

21212121

001001

100100

21 2

Mirant la matriu de paràmetres S podem observar, per exemple, que si entrem una ona pel port 1, aquesta es divideix equitativament entre els ports 3 i 4, amb una diferència de fase de 90º, i el port 2 queda aïllat; i que si entrem pel port 2, la potència es divideix equitativament també entre els ports 3 i 4, però amb un canvi de fase de -90º, amb el port 1 aïllat. Aquest canvi de fase de 90º serà el que ens permetrà fer-lo servir com a sumador en quadratura. La fase global de –π (–1=e–jπ) es pot canviar amb un canvi de pla de referència o amb implementacions diferents de l’anell, és a dir, no és important per al funcionament de l’anell. Observació: Un anell de 90º es pot transformar en un de 180º amb els canvis apropiats de pla de referència.

Divisió de potencia

Vejam com efectivament es divideix la potència. Per exemple, entrarem senyal pel port 1, i l’analitzarem:

107

Fig. 67. Anell híbrid de 90º. Port 2 carregat amb Z0, ports 3 i 4 carregats amb impedàncies

arbitràries.

( )

( ) ( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Γ−=

=−=−=−=

Γ−=

=−=−=−=

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

−=

Γ+Γ=

Γ−Γ=

+

+

+

+

2

41

2

41

2

4

2

1

2

4

2

44

2

31

2

31

2

3

2

1

2

3

2

33

14

13

4312

3411

121

221

2221

22

121

221

2221

22

212

2

21

L

L

L

L

LL

LL

P

aP

aaabP

P

aP

aaabP

ab

ajb

ajb

ab

En aquest cas concret, també es comporta de manera anàloga a un divisor de Wilkinson, pel que fa a l’aïllament i a la divisió de potència entre els ports 1 i els 3 i 4. Si considerem ara, ΓL2 part del circuit i ΓL3 y ΓL4 càrregues (dispositiu funcionant com a divisor de potència: port 1 d’entrada, ports 3 i 4 de sortida), veiem que si ΓL3=ΓL4, tenim que no hi ha reflexió en el port d’entrada 1, ja que b1=0. Si ara els ports 3 i 4 no estan ben adaptats i són diferents (ΓL3≠ΓL4), les reflexions dels ports 3 i 4 les consumeix la càrrega del port 2 (ΓL2=0). Per tant, si bé existeix divisió de potència i aïllament, tenim pèrdua de potència en el sistema (la càrrega del port 2 la considerem part del nostre sistema).

Comportament ideal en freqüència

A les gràfiques de la figura següent es mostra el comportament ideal que tindrà un anell híbrid dissenyat per a la freqüència f0, funcionant com a divisor de potència. Aquí també es pot observar com efectivament la diferència de fase entre els senyals que surten pels ports 3 i 4 és de 90º a la freqüència f0.

108

Fig. 68. Resposta en freqüència d’un anell híbrid de 90º

Factors de mèrit en anells híbrids de 90º

Els anells híbrids de 90º reals (i els ideals fora de la freqüència de disseny f0) degraden les prestacions respecte de la matriu de paràmetres S ideal. Per tant, per a poder caracteritzar la seva bondat, es defineixen una sèrie de figures de mèrit (les mateixes que per a l’anell híbrid de 180º):

• Pèrdues de retorn: RL= - 20log(|Sii|). Idealment ∞ a la freqüència central f0. • Pèrdues d’inserció: IL= - 20log(|S13 o S14 o S23 o S24|). Idealment 3dB a la

freqüència central f0. • Aïllament = - 20log(|S12 o S34|). Idealment ∞ a la freqüència central f0. • Desfasatge entre ports. Idealment serà el que indiqui la matriu de paràmetres

S. El que és interessant és la fase relativa entre ports. Com per exemple es mostra a les gràfiques de la figura anterior: Si s’injecta senyal pel port 1, el senyal que surti pels ports 3 i 4 haurà d’estar en quadratura (90º de diferència).

Anells híbrids de 90º amb elements discrets

Depenent de l’aplicació, no sempre serà possible implementar un anell híbrid de 90º amb línies de transmissió. Per aquest motiu s’han cercat altres formes d’implementar-los que tinguin la mateixa resposta, però amb elements discrets. Una forma d’implementar l’anell híbrid de 90º amb elements discrets (sense utilitzar línies de transmissió), és la que es mostra a la figura següent:

109

Fig. 69. Anell híbrid de 90º implementat amb elements discrets.

Del qual, la matriu de paràmetres S i les equacions de disseny són:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

−=

=

=

001001

100100

212

2

1

00

2

0

0

00

1

jj

jj

jS

ZC

ZL

ZC

h

ω

ω

ω

3.4.3. Acobladors direccionals En aquest apartat veurem les característiques dels acobladors direccionals, descrivint-ne el funcionament, construcció i propietats més rellevants.

Acobladors direccionals. Descripció

Els acobladors direccionals es caracteritzen pel fet de ser capaços d’extreure informació de senyals que viatgen (superposades) en sentits diferents en una línia de transmissió. Un acoblador direccional queda caracteritzat, a la freqüència de disseny f0, per:

[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

±+=+→<<=+

∈

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=πϕϕθθ

τττ

ττ

ττ

ϕθ

θϕ

ϕθ

θϕ

2121

22

21

21

22

11

1111,0,

0000

0000

kkk

ekekee

ekekee

S

jj

jj

jj

jj

110

Funcionament

Observem com efectivament amb aquesta matriu de paràmetres S podem distingir entre un senyal que viatgi en un sentit en un línia de transmissió i un altre que viatgi en sentit contrari. Concretament per una banda injectarem senyal pel port 1, i veurem com pràcticament resta inalterat sortint pel port 3 i n’obtenim una petita mostra pel port 4. D’altra banda, injectarem senyal pel port 3, que sortirà pràcticament inalterat pel port 1, i n’obtenim una petita mostra pel port 2.

Fig. 70. Esquema de funcionament de l’acoblador, injectant senyal pels ports 1 i 3.

11

2

4

1

1

1

1

3

33

2

2

3

1

3

1

1

aakeb

aeaeb

aakeb

aeaeb

j

jj

j

jj

<<=

≈=

<<=

≈=

θ

ϕϕ

θ

ϕϕ

τ

τ

Per tant: • Les ones que viatgen del port 1 cap al port 3 i viceversa, passen per l’acoblador

sense modificar-se pràcticament (es desfasen de manera igual i pràcticament no pateixen pèrdues).

• De l’ona que viatja cap a la dreta, del port 1 al port 3 (a1 o b3), surt una petita mostra acoblada (afectada de k i una fase) pel port 4.

• De l’ona que viatja cap a l’esquerra, del port 3 al port 1 (a3 o b1), surt una petita mostra acoblada (afectada de k i una fase) pel port 2.

• Per tant, l’acoblador direccional ens treu mostres de senyals que viatgen superposades en direccions diferents per ports diferents, de manera que podem fer-nos una idea de com són aquests senyals que, sense l’acoblador direccional, només podríem mesurar de manera conjunta en el port 1 o 3.

• Respecte el senyal a1, els ports es denominen: d’entrada (1), de sortida (3), aïllat (2) i acoblat (4). Respecte a a3, d’entrada (3), de sortida (1), aïllat (4) i acoblat (2).

Implementació d’un acoblador

Els acobladors direccionals s’acostumen a realitzar amb línies acoblades. Unes línies de transmissió acoblades consisteixen en dos línies de transmissió pròximes de manera que hi hagi interacció electromagnètica entre elles.

111

Unes línies de transmissió acoblades constitueixen un nou tipus de línia de transmissió multimodal, que propaga dos modes a la vegada (dos configuracions de camps diferents) de manera independent, denominats mode parell (amb simetria elèctrica, i caracteritzat per una impedància característica Z0e i una constant de propagació βe) i mode imparell (amb simetria elèctrica, i caracteritzat per una impedància característica Z0o i una constant de propagació βo). Per a un entorn micropista:

Fig. 71. Descomposició modal (mode parell i mode senar) per un entorn micropista

acoblat.

Construïm l’acoblador direccional connectant a un tram de longitud λ0/4 (on f0 és la freqüència de disseny) de línies acoblades els quatre ports del circuit, realitzats sobre línies normals.

Fig. 72. Acoblador direccional implementat amb línies micropista acoblades.

Perquè el circuit es comporti com un acoblador direccional cal que:

oe

oe

oe

ZZZZ

k

ZZZ

00

00

000

+−

=

=

112

A partir de Z0 i k trobem els valors necessaris de Z0e i Z0o, i a partir d’aquests valors, les dimensions físiques del tram de línies acoblades (separació entre pistes i amplada de pistes). Si es compleixen les condicions anteriors, l’adaptació i l’aïllament entre ports és perfecte i es compleix:

)sin()cos(1)sin(0

)sin()cos(110

24121

2

2

3111

djdkdjkSS

djdkkSS

βββ

ββ

+−⋅==

+−−==

Comportament en freqüència

A continuació es mostren els paràmetres S d’un acoblador direccional dissenyat amb k2=0.1:

Fig. 73. Comportament freqüencial d’un acoblador direccional per a k2=0.1

Com es pot observar a les gràfiques, el pas de senyal entre els ports 1 i 3 pràcticament és perfecte i no té pèrdues a la freqüència de disseny f0 (|S13|≈0dB). L’acoblament és de 10dB (|S14|≈-10dB). L’aïllament recordem que ve donat pel paràmetre |S12| i que en aquest cas és ∝dB i per això no s’ha representat.

113

Factors de mèrit en acobladors direccionals

Els acobladors direccionals reals (i els ideals fora de la freqüència de disseny f0) degraden les prestacions respecte de la matriu de paràmetres S ideal. Per tant, per a poder caracteritzar la seva bondat, es defineixen una sèrie de figures de mèrit:

• Pèrdues de retorn: RL= - 20log(|Sii|). Idealment ∞. • Pèrdues d’inserció: IL= - 20log(|S13 o S24|). Idealment - 20log(|τ |) ≈0dB a la

freqüència central f0. • Acoblament= - 20log(|S14 o S23|). ÉS EL PARÀMETRE DE DISSENY.

S’ESPECIFICA PER A UN VALOR DETERMINAT (10dB, 20dB, ...). Idealment - 20log(|k|) a la freqüència central f0.

• Aïllament = - 20log(|S12 o S34|) = quantitat de senyal que es desvia cap el port aïllat (cal que sigui molt major que l’acoblament per no emmascarar el senyal acoblat). Idealment ∞.

• Directivitat = Aïllament- Acoblament. Cal que sigui el més gran possible (com més gran, millor l’acoblador). Idealment ∞.

Acobladors direccionals amb elements discrets

Depenent de l’aplicació, no sempre serà possible implementar un acoblador amb línies de transmissió. Per aquest motiu s’han cercat altres formes d’implementar-los que tinguin la mateixa resposta, però amb elements discrets. Una forma d’implementar un acoblador direccional amb elements discrets (sense utilitzar línies de transmissió), és la que es mostra a la figura següent:

Fig. 74. Acoblador direccional amb elements discrets.

Del qual, la seva matriu de paràmetres S és:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

−−−−

−−

≈≥

232

2

322

2

2

2

23

2

2

2

2

2

21

21

2121

21

211

212

2121

21

21

12

122

1221

)3(

nnnn

n

nnnnn

nn

nnn

nnn

nn

n

nS

114

Per a n≥3

Pèrdues d’inserció ≤ 0.5dB Pèrdues de retorn ≥ 25dB Acoblaments assolibles ≥ 9.5dB Aïllament ≥ 34.5dB Directivitat ≥ 25dB

115


OBJECTIUS En aquesta sessió aprofundirem mitjançant la realització de problemes en la comprensió dels conceptes apresos fins ara.

CONTINGUTS En aquesta sessió realitzarem dos problemes per veure algunes de les aplicacions dels circuits estudiats fins ara.

3.5. Problemes del Capítol 3 (i) En aquesta sessió analitzarem el comportament de divisors de Wilkinson i anells híbrids en combinació amb altres elements.

Problema 3.1

En aquest problema analitzarem un repartidor d’antena realitzat amb quatre divisors de Wilkinson i línies de transmissió (en un entorn micropista). Per a alimentar una agrupació de quatre antenes micropista a 1 GHz s’usa un divisor de potència com el de la Fig. 113.

Div.Wilk.

Div.Wilk.

Div.Wilk.

l1 0,Z

l2 0,Z

l2 0,Z

1

2

4

5

3

Fig. 75. Divisor de potència micropista

116

Aquest divisor s’ha realitzat a partir de divisors de Wilkinson de matriu de paràmetres S:

(a) Trobeu la matriu de paràmetres S global del divisor a la freqüència d’1 GHz. (b) Quins desfasaments aconsegueix subministrar a cada antena si l1=λ/2 i l2=λ/4? (c) Proposeu una manera alternativa d’aconseguir el mateix que en l’apartat (b), utilitzant elements que no siguin divisors de potència. (d) Raoneu qualitativament (no ho calculeu) com canviaria la matriu de paràmetres S global si eliminéssim les resistències dels divisors de Wilkinson. En què afectaria això la configuració d’antenes que ha d’alimentar el divisor?

Problema 3.16

En aquest problema analitzarem el comportament d’un circuit que incorpora dos amplificadors iguals i dos anells híbrids. Per a millorar l’adaptació d’un amplificador de microones, es pot utilitzar una configuració balancejada com la de la Fig. 114. Demostreu, calculant els paràmetres S globals del sistema, que efectivament s’aconsegueix millorar l’adaptació.

Z0

Z0 1 1

2 2

3 3

4 4

90º

90º0º0º

90º

90º0º0º

Amplif.

Amplif.

Fig. 76. Configuració balancejada d’amplificadors.

Les matrius de paràmetres S dels anells híbrids i amplificadors són:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=βγ

α 0

001001

100100

21

amplifhibrid S

jj

jj

S

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

001001110

2

θjeS

117

SESSIÓ 12 Nom: circuladors i filtres Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS En aquesta sessió estudiarem dos tipus de circuits de natura i comportament força diferents, els circuladors i els filtres.

CONTINGUTS En aquesta sessió descriurem el comportament dels circuladors, sense entrar en el perquè del seu funcionament, i de diversos tipus de filtres, analitzant amb detall només una metodologia de realització de filtres passabaix.

3.6. Circuladors Els circuladors són circuits de microones basats en elements anisotròpics (ferrites), de característiques externes (paràmetres S) senzilles. L’explicació detallada del seu funcionament intern és complicada, però, i no l’abordarem.

3.6.1. Circuladors. Descripció Els circuladors són circuits de microones no recíprocs, sense pèrdues, perfectament adaptats i amb alguns dels seus ports aïllats. Son xarxes de tres ports passives, no recíproques (Sij≠Sji, es fabriquen utilitzant ferrites) i sense pèrdues. Es dissenyen i s’ajusten per a funcionar a una determinada freqüència central f0.

3.6.2. Simbologia i funcionament El símbol que s’utilitza per a descriure un circulador és el que es mostra a la figura següent. S’ha representat un circulador de tres ports. El sentit de la circulació del senyal (a la freqüència central f0) ve marcat per la fletxa. En el primer cas, el senyal circularà en el sentit de les agulles del rellotge: el senyal que entri pel port 1, passarà al port 2 (i no al port 3); el senyal que entri pel port 2, passarà al port 3 i el que entri pel

118

port 3, passarà cap al port 1. El segon dibuix de la figura representa el sentit contrari de gir: el senyal circula en sentit antihorari.

Fig. 77. Símbols del circulador, amb les fletxes que mostren el sentit de circulació del

senyal.

Matriu de paràmetres S del circulador on el senyal gira en sentit horari:

""321

213

0000

00

2

3

3

1

2

2

3

1

1

3

2

1

girapersurtperentraqueEl

aeb

aeb

aeb

ee

eS

j

j

j

j

j

j

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

Matriu de paràmetres S del circulador on el senyal gira en sentit antihorari:

""321

132

0000

00

1

3

3

3

2

2

2

1

1

3

2

1

girapersurtperentraqueEl

aeb

aeb

aeb

ee

eS

j

j

j

j

j

j

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

119

3.6.3. Factors de mèrit en circuladors Els circuladors reals degraden les prestacions respecte de la matriu de paràmetres S ideal. Per tant, per a poder caracteritzar la seva bondat, es defineixen una sèrie de figures de mèrit (per exemple, per al primer circulador): Pèrdues de retorn: RL= - 20log(|Sii|). Idealment ∞ a la freqüència central f0. Pèrdues d’inserció: IL= - 20log(|S21 o S32 o S13|). Idealment 0dB a la freqüència central f0. Aïllament = - 20log(|S12 o S23 o S31|). Idealment ∞ a la freqüència central f0.

Fig. 78. Circulador on les fletxes amb línia contínua indiquen el sentit de circulació que no hauria de presentar pèrdues per al pas del senyal, i les fletxes amb línia discontínua

indiquen el pas de senyal que no hauria de succeir.

3.7. Filtres En aquest apartat veurem diverses metodologies de disseny de filtres de microones, totes basades en el disseny de filtres LC utilitzat a baixa freqüència. Només estudiarem algunes de les metodologies existents, i amb diferents graus de profunditat.

3.7.1. Filtres passabaix De les diverses metodologies de disseny de filtres passabaix, n’estudiarem només una basada en la substitució d’elements L o C per trams curts de línia de transmissió, per la seva simplicitat analítica, que ens permetrà deduir-ne rigorosament la metodologia a emprar.

• No hi ha una metodologia pròpia de disseny de filtres de microones. • Les metodologies existents es basen en la síntesi de filtres L-C, aproximant a

posteriori els diversos elements o blocs L-C per estructures amb línies de transmissió.

120

• Les aproximacions tenen caràcter local (en freqüència) i per tant validesa local, fet que implica que fora de la zona d’interès/disseny ens apareixen habitualment bandes espúries de pas o atenuades.

• Hi ha moltes metodologies d’aproximació d’elements L-C. N’estudiarem només algunes.

Disseny de filtres passabaix

Volem realitzar un filtre passabaix amb freqüència de tall fc, per inserir-lo entre un generador i una càrrega d’impedància Z0:

Fig. 79. Filtre passabaix inserit entre generador i càrrega.

Primerament resoldrem el filtre com si fos un filtre L-C normal i corrent:

1. Normalitzem en impedància (respecte de Z0) i en freqüència (respecte d’fc)

Fig. 80. Normalització en freqüència i impedància de les especificacions del filtre.

2. A partir de les especificacions d’atenuació desitjades, calculem l’ordre del filtre, N, i els coeficients gi, i=1..N, de l’equivalent passabaix

Fig. 81. Tipologies de filtres: La primera és amb els elements en T i la segona, en Π.

121

3. Desnormalitzant calculem els valors L i C del filtre:

Fig. 82. Desnormalització dels valors obtinguts de l’equivalent passabaix (el normalitzat).

Aproximació dels elements L-C per trams de línies de transmissió

A continuació, intentarem aproximar els elements del filtre L-C per trams de línia de transmissió: Les equivalències les obtindrem comparant els paràmetres ABCD dels següents circuits:

Fig. 83. Tram de línia de transmissió que, ajustant els seus paràmetres, pot representar

el condensador o la bobina del valor desitjat.

Un tram de línia de transmissió pot representar un condensador en paral·lel o una bobina en sèrie del valor desitjat sota unes determinades condicions com ara veurem. A continuació tenim, d’esquerra a dreta, les matrius de paràmetres ABCD d’una línia de transmissió, d’una impedància en sèrie, i d’una impedància en paral·lel:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)cos()sin()sin()cos(

01

01

ddjYdjZd

ABCDLT ββ

ββ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

101 Z

ABCDZ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

101

YABCD

Y

Ara mostrarem quines aproximacions/consideracions s’han de fer perquè una L.T. es comporti com una bobina en sèrie o un condensador en paral·lel:

Aproximació 1: Si fem que la línia de transmissió tingui una longitud tal que βd<0.5, llavors podrem realitzar les següents aproximacions a la seva matriu de paràmetres ABCD: cos(βd)≈1, sin(βd)≈ βd Per tant, sota aquesta aproximació, la matriu de paràmetres ABCD de la L.T. queda com:

122

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≈

11

01

01

djYdjZ

ABCDLT β

β

Aproximació 2: a) Perquè la L.T. representi una inductància en sèrie: Si a més de l’aproximació 1, fem que la impedància característica de la L.T. sigui alta (Z01=Z0H>>1), llavors l’admitància característica serà baixa Y01<<1 (la constant de propagació l’anomenarem β=βH). Sota aquestes condicions tindrem que a la matriu de paràmetres ABCD podem aproximar el terme jY01βHd per 0. Per tant, amb les consideracions anteriors, la matriu ABCD de la L.T. queda directament comparable a la matriu de paràmetres ABCD d’una bobina en sèrie:

LjdjZABCDLjdjZ

djYdjZ

ABCDHHL

HH

LTωβ

ωββ

β=⇔=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≈

0

0

01

01

101

101

11

Llavors podem substituir una inductància en sèrie per una L.T. d’impedància característica gran (Z0H), amb constant de propagació βL. Com que la velocitat de propagació a la línia de transmissió és cH=�/�H, el valor de la inductància el podem ajustar en la L.T. fent que d=L·cH/Z0H. Recalquem que aquesta aproximació serà vàlida mentre es compleixin les hipòtesis fetes anteriorment. Si considerem ara que el valor d’inductància que tenim està normalitzat (L’=g), i incloem la desnormalització en freqüència i la impedància del seu valor, tindrem que:

cHHZ

gZ

Hcc

cHc

Zg

HZHc

LHZ

Hcd

β

ωβ

ω 0

00

00=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

====

I ja sabrem quina longitud d ha de tenir la L.T. perquè presenti el valor d’inductància desitjat. b) Perquè la L.T. representi un condensador en paral·lel: Si fem que l’admitància característica de la L.T. sigui alta (Y01=Y0L>>1), llavors la impedància característica serà baixa Z01<<1 (la constant de propagació l’anomenarem en aquest cas β=βL). Amb aquestes condicions tindrem que a la matriu de paràmetres ABCD podem aproximar el terme jZ01βLd per 0. Per tant, amb les consideracions anteriors, la matriu ABCD de la L.T. queda directament comparable a la matriu de paràmetres ABCD d’un condensador en paral·lel:

CjdjYABCDCjdjYdjY

djZABCD LLC

LLLT ωβ

ωβββ

=⇔=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡≈⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡≈ 0

001

01

101

101

11

123

Llavors podem substituir un condensador en paral·lel per una L.T. d’impedància característica petita (Z0L), amb constant de propagació βL. Com que la velocitat de propagació a la línia de transmissió és cL=ω/βL, el valor de la capacitat el podem ajustar en la L.T. fent que d=C·cLZ0L. Aquí també recordarem que l’aproximació serà vàlida mentre es compleixin les hipòtesis fetes anteriorment. Si considerem ara que el valor de capacitat que tenim està normalitzat (C’=g), i incloem la desnormalització en freqüència i impedància del seu valor, tindrem que:

cL

L

L

ccL

cLLLL Z

gZcZ

gZcZCcdβ

ωβ

ω 0

0

000 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

====

I ja sabrem quina longitud d ha de tenir la L.T. perquè presenti el valor capacitat desitjat.

Resum dels passos per a dissenyar el filtre

Amb el que acabem de veure, per dissenyar un filtre amb L.T., seguirem aquests passos:

1. Escollirem els valors més extrems Z0H i Z0L que ens permet la tecnologia de fabricació. Fixant aquests valors, fixem també cH i cL.

2. Determinarem els valors del filtre passabaix LC (normalitzats o no) 3. A partir de les fórmules anteriors, calcularem les longituds dels trams de L.T.

equivalents per ajustar el valor d’L o C desitjat.

Fig. 84. Filtre passabaix amb components L-C (esquerra) i el seu equivalent amb L.T.

micropista (dreta).

Limitacions del mètode

1. No té en compte l’efecte de les transicions. 2. Les aproximacions fetes seran correctes mentre els termes β, d siguin prou

petits: a altes freqüències deixaran de complir-se originant noves bandes de pas. Exemple: Butterworth d’ordre N=3 sintetitzat amb L.T. de Z0H=2Z0 i Z0L=0.2Z0 .

124

Fig. 85. Resposta en freqüència d’un filtre passabaix implementat amb elements L-C i del

mateix filtre implementat amb L.T.

3.7.2. Filtres passabanda i de banda eliminada Un altre cop, de les moltes metodologies de disseny possible, en presentarem, sense demostrar-les, només algunes, a tall d’exemple. Volem realitzar un filtre passabanda o de banda eliminada amb freqüències de tall fc1 i fc2, per inserir-lo entre un generador i una càrrega d’impedància Z0:

Fig. 86. Filtre passabanda o de banda eliminada inserit entre generador i càrrega.

Passos que cal seguir:

1. Trobem les característiques del filtre normalitzat passabaix equivalent amb freqüència de tall normalitzada ωc’=1:

11 22 Z /Z =10 0Z0

Z /Z =10 0Z0LPFfc’=1

BPFo

EBF,fc2fc1

)(1''''

)(1'''1'

120

12210

10

0

120

12210

0

0

EBF

BPF

ccccc

cc

ccccc

cc

==−=−

=Δ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Δ=

==−=−

=Δ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Δ=

−

ωωωω

ωωωωωωω

ωωω

ωωωω

ωωωωωωω

ωωω

125

2. Determinem l’ordre N del filtre normalitzat passabaix equivalentment 3. Trobem els coeficients gn, n=1, ..., N, g0=gN+1=1 4. Construïm el filtre passabanda o de banda eliminada segons diverses

metodologies. P.e:

a. Filtre de banda eliminada:

Fig. 87. Configuració de filtre de banda eliminada implementat amb L.T.

b. Filtre passabanda micropista amb línies acoblades (si l’ordre del filtre és N hi ha N+1 seccions de línies acoblades):

Fig. 88. Configuració de filtre passabanda implementat amb L.T. acoblades.

( )( )( )( )

NN

nnn

iioi

iiei

gZJ

NnggZ

J

gZJ

ZJZJZZ

ZJZJZZ

21

,...,22

12

1

1

1

01

10

101

20000

20000

π

π

π

Δ=

=Δ

=

Δ=

+−=

++=

+

−

126

c. Filtre passabanda:

Fig. 89. Configuració de filtre passabanda implementat amb L.T.

127



CONTINGUTS En aquesta sessió realitzarem dos problemes per veure algunes de les aplicacions dels circuits estudiats fins ara.

3.8. Problemes del Capítol 3 (ii) En aquesta sessió analitzarem el comportament d’acobladors direccionals i circuladors en combinació amb altres elements.

Problema 3.27

En aquest problema compararem el comportament real amb l’ideal d’un acoblador direccional treballant en una configuració habitual (com a part d’un sistema de monitoratge d’ROE o de coeficient de reflexió d’antena). Per a realitzar proves d’immunitat electromagnètica radiada en la cambra anecoica de l’Escola es necessita alimentar una antena calibrada amb un to de potència elevada i dins del marge de freqüències de 30 MHz a 1 GHz. Aquesta potència no pot aconseguir-se amb un generador de funcions convencional, i per tant cal amplificar el senyal que ens dóna. El transistor de l’etapa de sortida de l’amplificador de potència de banda ampla necessari és molt sensible a potències incidents en el seu port de sortida (provinents de reflexions provocades per la desadaptació de l’antena). Per tant caldrà monitorar el coeficient de reflexió de l’antena, a través d’un sistema de mesura de coeficient de reflexió basat en un acoblador direccional i dos detectors de potència (que suposarem que estan perfectament adaptats a Z0=50 Ω), per tal de poder desconnectar l’amplificador si es detecta un coeficient de reflexió d’antena perillós (Fig. 128).

128

G. Func. Amplif.

Fig. 90. Sistema de monitoratge de reflexions d’antena.

La mesura de coeficient de reflexió amb un acoblador direccional ideal es faria com es mostra a la Fig. 129.

Fig. 91. Mesura de |ΓL| amb un acoblador direccional.

Amb un acoblador direccional real el valor mesurat a partir de les relacions de potència (|ΓL|MESURAT) i el valor real de coeficient de reflexió de càrrega (ΓL) diferiran més o menys en funció de les no idealitats de l’acoblador direccional (pèrdues de retorn, directivitat). Això és el que succeirà amb l’acoblador direccional de banda ampla que s’ha dissenyat per a mesurar ΓL (disposició, gràfiques i taules de paràmetres S del qual es mostren a la Fig. 130 i a la Fig. 131). En aquest problema es pretén avaluar fins a quin punt la mesura serà fiable i en quins marges de freqüència dins de la banda de 30 MHz a 1 GHz el comportament serà millor o pitjor. (a) Identifiqueu els valors de pèrdues de retorn, pèrdues d’inserció, acoblament i directivitat (aïllament). Són coherents amb el que es podria esperar d’un acoblador direccional? Justifiqueu a què es deuen les petites variacions entre paràmetres representats en la mateixa gràfica. (b) Per a un acoblador direccional no ideal general en la mateixa configuració de mesura que l’expressada en la figura, trobeu una expressió del valor de |ΓL|2MESURAT en funció del valor de ΓL real que presenta la càrrega i dels paràmetres S (Sij) de l’acoblador. Indiqueu en el resultat final a quina magnitud (pèrdues d’inserció, ...) correspon cadascun dels paràmetres S que hi intervenen. Si voleu, feu la hipòtesi que 1-S33ΓL≈1

22

21

21

21

23

21

23

242

1

222

1

4

22LL

LLL

ka

ka

ka

kb

ka

ka

b

bPP

mesuratΓ≈Γ=

Γ=

Γ====Γ τ

τ

129

(c) A la vista dels resultats obtinguts en (b), quins valors de ΓL podran ser mesurats amb més exactitud, els de mòdul petit o els de mòdul proper a 1? (Raoneu la resposta). (d) A partir de les taules i gràfiques de valors de l’acoblador direccional, seleccioneu el valor de freqüència que fa la relació entre |ΓL|MESURAT i ΓL millor i el valor que la fa pitjor. Raoneu la resposta. (e) Per als dos valors freqüencials trobats en l’apartat (d), calculeu |ΓL|MESURAT per a un valor de ΓL=0.5.

130

Fig. 92. Disposició i paràmetres S de l’acoblador direccional de banda ampla.

131

Fig. 93. Gràfiques dels paràmetres més representatius de l’acoblador de la Fig. 130.

Problema 3.11

En aquest problema analitzarem el comportament d’un circuit que incorpora dos circuladors i que pot usar-se com a analitzador de xarxes escalar (permet mesurar mòduls de paràmetres S). Per a mesurar el mòdul dels paràmetres S d’un dispositiu quan no disposem d’un analitzador de xarxes, es pot realitzar un procés de mesura alternatiu com el descrit a continuació, que fa ús del següent material: un generador de funcions sinusoïdal amb impedància de sortida no necessàriament idèntica a la de referència que volem per al circuit per mesurar,

132

un analitzador d’espectres o mesurador de potència amb impedància d’entrada no necessàriament idèntica a la de referència que volem per al circuit per mesurar, i dos circuladors referits i calculats per a funcionar a la impedància de referència volguda per al circuit per mesurar. Procés de mesura de |S11|: es pot dividir en dues fases, una anomenada de calibratge i l’altra de mesura: Fase de calibratge (Fig. 132). Es mesura la potència neta a l’entrada de l’analitzador d’espectres, PLC, en la següent configuració:

Fig. 94. Fase de calibratge.

Fase de mesura (Fig. 133). Se substitueix el curtcircuit final pel dispositiu a mesurar amb el port de sortida carregat amb la impedància de referència. En l’analitzador d’espectres es mesura una potència neta PLM.

Fig. 95. Fase de mesura.

(a) Demostreu que LCPLMPS =11 . Com calcularem |S22|?

Procés de mesura d’|S21|: es pot dividir en dues fases, una anomenada de calibratge i l’altra de mesura:

133

Fase de calibratge (Fig. 134). Es mesura la potència neta a l’entrada de l’analitzador d’espectres, PLC, en la següent configuració:

Fig. 96. Fase de calibratge.

Fase de mesura (Fig. 135). Se substitueix el curtcircuit final pel dispositiu que cal mesurar amb el port de sortida carregat amb la impedància de referència. En l’analitzador d’espectres es mesura una potència neta PLM.

Fig. 97. Fase de mesura.

(b) Demostreu que LC

LM

PPS =21 . Com calcularem |S12|?

(c) Com modificaríeu el procediment per a mesurar xarxes de més de dos ports?

135

SESSIÓ 14 Nom: Díodes PIN Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS Ena aquesta sessió estudiarem el comportament dels díodes PIN, un element emprat sovint per a confeccionar diversos circuits d’alta freqüència, com ara desfasadors variables, interruptors i commutadors.

CONTINGUTS Primerament estudiarem les característiques generals del díodes PIN. A continuació estudiarem algunes de les seves aplicacions mitjançant problemes.

3.9. Díodes PIN Els díodes PIN actuen a altes freqüències com a impedàncies lineals (no manifesten cap comportament no lineal) controlades per una polarització de baixa freqüència. Les seves aplicacions es basen en aquest fet: construir circuits d’alta freqüència amb un comportament controlable per senyals de baixa freqüència.

3.9.1. Díodes PIN. Descripció Els díodes PIN actuen a altes freqüències com a impedàncies lineals (no manifesten cap comportament no lineal) controlades per una polarització de baixa freqüència. Les seves aplicacions es basen en aquest fet: construir circuits d’alta freqüència amb un comportament controlable per senyals de baixa freqüència. Un díode PIN és una unió P-I-N (la zona intrínseca sol estar lleugerament dopada n o p)

Fig. 98. Zones de dopades d’un díode PIN.

136

3.9.2. Funcionament a baixa freqüència Si el polaritzen amb VLF>0, la seva resposta és com la d’un díode normal, circularà un corrent ILF que dependrà d’aquesta tensió VLF i paràmetres característics del propi díode (η=1.1, eficiència). Si el polaritzem amb VLF<0, es comporta bàsicament com un condensador on la seva capacitat Cj depèn de la tensió de polarització VLF.

Fig. 99. Resposta d’un díode PIN a baixa freqüència.

3.9.3. Funcionament a RF (amb una baixa freqüència superposada) Si polaritzem a baixa freqüència amb VLF>0 (circuit de l’esquerra), el díode es troba en directa i només ofereix una petita resistència ZDON. Si per contra, el polaritzem a baixa freqüència amb VLF<0 (circuit de la dreta), el díode es troba en inversa i ofereix una impedància elevada ZDOFF.

Fig. 100. Funcionament d’un díode PIN a freqüències de RF (baixa freqüència

superposada).

El límit entre baixa freqüència i RF es dóna a fT=Dp/W2 (DP= constant de difusió de forats a la zona intrínseca).

137

Moltes vegades podrem suposar que ZDON=0 i ZDOFF és pràcticament ∞ . Des del punt de vista d’RF, un díode PIN es comporta com una impedància controlada per un senyal de baixa freqüència (LF), per tant podem veure’l des del punt de vista d’RF com una resistència petita ZDON=RI si està polaritzat en directa pel senyal de baixa freqüència, o com una capacitat que presentarà una impedància molt gran ZDOFF, si el senyal de baixa freqüència l’ha polaritzat en inversa:

Fig. 101. Model equivalent d’un díode PIN controlat per una tensió de LF, vist a

freqüències d’RF.

Si a aquest model senzill hi afegim efectes paràsits, podem obtenir un model més complet del díode:

Fig. 102. Model d’un díode PIN amb efectes paràsits.

LP,RP i CP són efectes paràsits deguts a l’encapsulat, i RD i CD al mateix díode. • Si díode en ON ⇒ R=RI i C=CPAR (una nova capacitat paràsita). • Si díode en OFF ⇒ R=RPAR (una resistència de fuites) i C=Cj .

A freqüències prou altes els efectes paràsits poden modificar apreciablement el funcionament del díode.

3.9.4. Polarització del díode Cal que el circuit de polarització en baixa freqüència (LF) no afecti el senyal d’RF, i que el senyal d’LF no es distribueixi cap a altres parts del circuit diferents del díode. Perquè el senyal d’LF no es distribueixi cap a altres parts del circuit s’utilitzen DC-BLOCKs, que són circuits que presenten impedància infinita a LF (i usualment

138

impedància 0 a RF). La manera més senzilla de realitzar-los és amb condensadors de desacoblament o amb línies acoblades:

Fig. 103. Polarització del díode. Implementació de DC-BLOCKs mitjançant condensadors

o amb línies acoblades.

Ara, perquè el senyal d’RF no es vegi afectat pel circuit de polarització d’LF s’utilitzen xocs d’RF, circuits que presenten impedància infinita a RF (i usualment impedància 0 a LF). La manera més senzilla de realitzar-los és amb inductàncies o amb transformadors λ/4, que a la freqüència d’interès es comportaran com un circuit obert:

Fig. 104. Polarització del díode. Implementació de xocs de RF mitjançant bobines o amb

transformadors λ/4.

Per tant, el díode amb els DC-BLOCKs i els xocs d’RF queda:

139

Fig. 105. Polarització del díode, amb els DC-BLOCKs i els xocs d’RF.

Els díodes PIN s’utilitzen fonamentalment per a fer interruptors, commutadors, desfasadors variables i atenuadors variables.

Problema 3.22

En aquest problema analitzarem el funcionament d’un commutador basat en díodes PIN. Compararem les seves prestacions ideals amb unes de més realistes obtingudes a partir de valors de catàleg per als díodes. És important que tingueu en compte que habitualment les xarxes de polarització en baixa freqüència d’un díode PIN no s’indiquen en els diagrames circuitals (que mostren només el comportament a altes freqüències). Es pretén realitzar un commutador a 1 GHz amb díodes PIN MA4P275-287, que podem modelar, de manera simplificada com es mostra a la Fig. 144.

Fig. 106. Model per a un díode PIN.

Els paràmetres RS i Cj els obtindrem de les especificacions del fabricant (MACOM):

RS=0.5Ω Cj=1pF

El commutador haurà de tenir una configuració sèrie com la de la Fig. 145.

140

Fig. 107. Commutador entre generador i càrregues.

Tenint en compte que un circuit en Γ té els paràmetres S que es mostren a la Fig. 146:

Ω==

⎢⎣

⎡

−+−−

+++=

50

1221

121

00

2211

1221

2121

ZZZZ

ZZZZZZZZ

ZZZZS

Fig. 108. Paràmetre S d’un circuit en Γ.

(a) Indiqueu quines haurien de ser idealment (amb díodes ideals) les matrius de paràmetres S del commutador en els dos estats de commutació (D1=ON, D2=OFF i D1=OFF,D2=ON). (b) Per a comprovar la bondat de la realització pràctica proposada, calculeu les pèrdues d’inserció entre el port 1 i el port 2 del commutador en els dos estats de commutació (D1=ON, D2=OFF i D1=OFF,D2=ON). Compareu els resultats amb els ideals. Què podem esperar que passi en la resta de paràmetres? (c) Dissenyeu les xarxes de polarització del commutador.

Problema 3.21

En aquest problema analitzarem el funcionament modulador (BPSK/BASK) basat en díodes PIN. Adoneu-vos que el mateix circuit pot ser utilitzat com a desfasador variable de 0º/180º o com a interruptor. Es vol realitzar un modulador amb la configuració de la Fig. 147.

Fig. 109. Modulador amb híbrid de 180º.

141

Els díodes (PIN) se suposen ideals (ZDiON�0, ZDiOFF∞). La matriu de paràmetres S de l'híbrid és:

Ω=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−= 500

001100111100

1100

2jS Z

(a) Trobeu la relació b4/a3 en funció del coeficient de reflexió ΓDi de cada díode. (b) Quin ha de ser l'estat de conducció de cada díode en funció del senyal en banda base per tal que el circuit es comporti com un modulador BPSK? (c) Quin ha de ser l'estat de conducció de cada díode en funció del senyal en banda base per tal que es comporti com un modulador BASK? (d) Si els díodes no són ideals (ZDiON=3+j5) Ω, ZDiOFF=323+j56) Ω calculeu la diferència de fases entre els dos estats de commutació. En què empitjora aquesta realització respecte de la ideal?

143



CONTINGUTS En aquesta sessió realitzarem dos problemes per a veure algunes de les aplicacions dels circuits estudiats fins ara.

3.8. Problemes del Capítol 3 (iii) En aquesta sessió analitzarem el comportament de diversos circuits basats en els elements estudiats fins ara.

Problema 3.32

En aquest problema analitzarem un desfasador monolític (integrat en una pastilla semiconductora) en què l’anell híbrid necessari es realitza amb elements ‘discrets’ L-C. A l’article “Compact Reflective-Type Phase-Shifter MMIC for C-Band Using a Lumped-Element Coupler” de F. Ellinger, R. Vogt i W Bächtold, (IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 49, no. 5, Maig 2001, pp. 913-917) es descriu un desfasador variable monolític (realitzat sobre un substrat semiconductor d’AsGA) que té com a base un anell híbrid de 90º realitzat amb elements discrets (inductàncies i capacitats realitzades sobre el material semiconductor). La variació de fase s’aconsegueix controlant la capacitat que presenten uns varactors FET en funció d’una tensió de control Vcontrol. (a) A partir dels valors que es donen per a inductàncies i capacitats, calculeu els paràmetres S de l’anell híbrid (Fig. 148) a la freqüència central de disseny f0 (ω0=2πf0), respecte d’una impedància de referència Z0. Té el comportament ideal que esperaríem d’un anell híbrid?

144

1

2

3

4Lh

C1C1

C2 C2

C2C2Lh

00

2

0

0

001

12

2

1

ZC

ZL

ZC

h

ω

ω

ω

−=

=

=

Fig. 110. Anell híbrid de 90º amb components discrets.

Analitzeu a continuació el comportament de l’anell quan connectem dos varactors FET en els seus ports 3 i 4 (Fig. 149). Els varactors FET poden modelar-se com una capacitat variable CV en sèrie amb una petita resistència de valor RV<<Z0.

Γ

Γ

1

2

3

4

RV

jX

C [C ...C ]V MIN MAXε

[S]

Fig. 111. Esquema del desfasador.

(b) Calculeu els paràmetres S del circuit resultant. Deixeu el resultat en funció d’un coeficient de reflexió, referit a Z0, dels varactors Γ (no substituïu el valors RV i CV). Suposeu que la matriu de paràmetres S de l’anell híbrid és:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=θ

001j00j11j00j100

2eS

j

(c) Quin serà el desfasatge entre una ona incident al port 1 (a1) i l’ona sortint pel port 2 (b2). Deixeu el resultat en funció de Γ. Com afectarà al comportament del sistema |Γ|? (d) Si la impedància que carreguem als ports 3 i 4 és capacitiva (X<0), podent tenir una component resistiva RV<<Z0, aleshores es demostra que la màxima diferència de fase (diferència entre els desfasatges màxims i mínims que podem ocasionar en l’ona b2) que podem aconseguir variant els valors d’aquesta reactància entre els seus valors mínim XMIN i màxim XMAX és de:

( ) ( )( )0

2ZXXXarctgXarctg MINMAX =−=Δϕ

Per al cas dels varactors FET, ( ) 10

−−= MAXMIN CX ω i ( ) 10

−−= MINMAX CX ω .

145

Demostreu que podem millorar la màxima diferència de fase connectant en sèrie amb el varactor FET una inductància L (Fig. 150). Tenint en compte que la fórmula anterior és en principi només vàlida per a reactàncies negatives, quin és el valor d’L que maximitza la diferència de fase?

RV

jX

C [C ...C ]V MIN MAXε

L

π/2arctg(a)

a

Fig. 112. Varactor amb inductància sèrie i funció arctg(a).

Problema 3.37

En aquest problema analitzarem de manera molt simplificada el funcionament d’un analitzador de xarxes vectorial (instrument capaç de mesurar el mòdul i la fase de paràmetres S d’un circuit). Sigui el circuit, en disposició de micropista que es mostra en la Fig. 151, on Z1 és bastant major que Z0.

12

34

λ/4 λ/4

λ/4

λ/4

Z0Z0

Z1

Z1

Fig. 113. Estructura alternativa per a un acoblador direccional.

(a) Justifiqueu qualitativament (a partir de desfasaments, diferències d’impedància

i interferències constructives i destructives) que aquest circuit pot comportar-se com un acoblador direccional. Justifiqueu que:

• |S11|<<1 (pèrdues de retorn) • |S31|≈1 (pèrdues d’inserció) • |S41|<<1 (acoblament) • |S21|≈0, |S21|<<|S41| (aïllament)

(b) Per descomposició en mode parell-senar, calculeu els paràmetres S del circuit.

Sota la hipòtesi que Z1 és apreciablement major que Z0, es comporta com un acoblador direccional?

147

SESSIÓ 16 Nom: Característiques electromagnètiques de les guies d’ones Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS Els objectius que perseguim en aquest apartat són bàsicament repassar i aprofundir una mica en el comportament electromagnètic de guies d’ones, especialment les rectangulars.

CONTINGUTS Primerament veurem quines són les equacions que regeixen la propagació d’ones electromagnètiques en guies d’ones cilíndriques metàl·liques genèriques. A continuació analitzarem aspectes rellevants (modes dominants, freqüències de tall, amples de banda monomodals, etc) de la propagació d’ones en guies d’ones rectangulars, circulars i corrugades.

4. Circuits passius en guies d’ones

4.1. Guies d’ona cilíndriques Són conductes farcits de dielèctric homogeni i que propaguen ones.

z

ε, μ

Fig. 114. Esquema genèric d’una guia d’ones cilíndrica genèrica.

148

Buscarem solucions en RPS, i en coordenades cartesianes o cilíndriques, de la forma (el subíndex “F” indica fasor, i el subíndex “t” indica transversal a z):

zF

zF erEzrEeyxEzyxE γγ ϕϕ −− ⋅=⇔⋅= ),(),,(),(),,(

(on z)(r,E)(r,tEzy)(x,Ey)(x,tE)(r,Ey)(x,E ZZ ϕϕϕ +=+==

i ϕϕ ˆˆˆˆ ErEyExEtE ryx +=+= ) z

Fz

F erHzrHeyxHzyxH γγ ϕϕ −− ⋅=⇔⋅= ),(),,(),(),,(

(on z)(r,H)(r,tHzy)(x,Hy)(x,tH)(r,Hy)(x,H ZZ ϕϕϕ +=+==

i ϕϕ ˆˆˆˆ HrHyHxHtH ryx +=+= ) Noteu que E i H no són directament els fasors de camp elèctric i de camp magnètic, sinó dues funcions vectorials que, en ser multiplicades pel terme ze γ− , ens donen els fasors de camp elèctric i de camp magnètic FE i FH . Escollim cercar solucions amb aquesta forma perquè, per al cas que γ sigui un nombre imaginari pur ( βγ j= ), les solucions que obtindrem correspondran a ones electromagnètiques que es propaguen cap a les z creixents (tal com ens indicarà el terme zjz ee βγ −− = ). Els conjunts { }γ,, HE no poden prendre valors arbitraris. Cada conjunt vàlid de

{ }γ,, HE (és a dir, cada conjunt vàlid d’ FE i FH ) s’anomena mode de propagació. Aquests modes han de complir les equacions de Maxwell, que aplicades al nostre problema es redueixen al següent conjunt d’equacions:

)1( 0)(

0)(222

222

⎪⎭

⎪⎬⎫

=++∇

=++∇

zzt

zzt

EkE

HkH

γ

γ

μεω

γ

=

=+

k

kk c222

[ ][ ]

)3(HγEzjωω

γk1H

EγHzjωωγk

1E

ztzt22t

ztzt22t

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∇−∇×−+

=

∇−∇×+

=

ϕϕ

ˆˆ

ˆˆ

∂∂

+∂∂

=∇

∂∂

+∂∂

=∇

rr

yy

xx

t

t

(2) 0

0

conductordel Superficie

conductordel Superficie

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=∂

∂

=

nH

E

z

z

n

En el procés de resolució amb (1) i (2), obtenim conjunts vàlids de { }2 , , czz kHE , que

ens permetran calcular tE i tH a partir de (3), i que ens definiran per tant{ }γ,, HE .

149

Cada conjunt { }γ,, HE (i per tant cada conjunt FE i FH ) s’anomena un mode de propagació.

Tipus de modes per l’interior de la guia

1. Modes TE (transversals elèctrics): 0=zE

TE

ttTE

tt

ZEzHjZ

HE

×=⇒=

⊥

ˆ γ

ωμ

2. Modes TM (transversals magnètics): 0Hz =

TM

ttTM

tt

ZEzH

jZ

HE

×=⇒=

⊥

ˆ ωεγ

Per als dos tipus de modes:

22

22

2

22222222

k

tallde Freqüència

tallde Pulsació

2

1

111

ωωμε

ωπ

ωμε

ω

ωω

γγ

με

−⋅=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

→=

→=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=−=⇒+=

=

cc

c

cc

c

ccccc

f

k

ff

jk

ff

kkkk

kkkkk

I amb això determinarem a partir de quina freqüència poden aparèixer els primers modes i per tant, a partir de quina freqüència pot propagar-se un senyal a través de la guia. Si cff > :

zjF

c eEEjff

kj )(

)(

0

1

2

)(1 ωβ

ωβ

ωβγ −

ℜ∈

ℜ∈

>

<

⋅=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

44344214342143421321

150

El terme z)(je ωβ− és el que indica propagació en la direcció de les z creixents.

ℜ∈==

ℜ∈==

ωεβ

ωεβ

βωμ

βωμ

jjZ

jjZ

TM

TE

En aquesta situació, la longitud d’ona en la guia és:

)(2

ωβπλ =g

que no s’ha de confondre amb la longitud d’ona d’una ona plana o esfèrica en un medi il·limitat caracteritzat per μ i ε (c és la velocitat de la llum en aquest medi:

gffc λ

μελ ≠==

1

Si cff < :

zF

c eEEff

k )(

)(

0

1

2

)(1 ωα

ωα

ωαγ −

ℜ∈

ℜ∈

>

>

⋅=⇒=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

44344214342143421

321

El terme z)(e ωα− és el terme d’esvaïment. Indica que el mode “es nega” a propagar-se per la guia: s’atenua ràpidament a mesura que hi avancem.

ℑ∈=

ℑ∈=

ωεαα

ωμ

jZ

jZ

TM

TE

4.1.1. Guies d’ona rectangulars

y

zx

ε, μ

b

a

151

Fig. 115. Guia d’ones rectangular. Per determinar els diferents modes que es propaguen per la guia d’ona utilitzem les expressions (1) i les condicions de contorn de la guia d’ona rectangular. Podem generalitzar l’expressió (1) com:

0),()( 22 =+∇ yxkct ψ On ),( yxψ és ),( yxEz o ),( yxH z , segons si som en un mode TM o TE, respectivament. Una vegada conegudes les components ),( yxEz i ),( yxH z , podrem trobar les

components transversals, tE i tH . Partirem de l’expressió:

0),(),(

0),(),(

0),()(

22

2

2

2

22

22

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=+∇

=+∇

yxkyxyx

yxkyx

yxk

c

ct

ct

ψψ

ψψ

ψ

i la resoldrem pel mètode de separació de variables. Partirem de la hipòtesi que

)()(),( yxyx Υ⋅Χ=ψ :

0)()()('')()()(''

)('')()()(),(

)()('')()(),(

0),(),(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

=Υ⋅Χ⋅+Υ⋅Χ+Υ⋅Χ⇒

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

Υ⋅Χ=Υ⋅Χ∂∂

=∂∂

Υ⋅Χ=Υ⋅Χ∂∂

=∂∂

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

yxkyxyx

yxyxy

yxy

yxyxx

yxx

yxkyxyx

c

c

ψ

ψ

ψψ

Dividim per )y()x( ΥΧ :

0)()(''

)()('' 2 =+

ΥΥ

+Χ

Χck

yy

xx

152

Definim dues funcions:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

ΥΥ

=

ΧΧ

=

)()('')(

)()('')(

2

1

yyyf

xxxf

Per tant:

),0(),,0( )()( 221 byaxkyfxf c ∈∈∀−=+

Això només podrà ser cert si es compleix que:

222

22

21

)()('')(

)()('')(

yxc

y

x

kkkk

yyyf

kxxxf

+=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=Υ

Υ=

−=Χ

Χ=

⎩⎨⎧

+=Υ+=Χ

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=Υ+Υ

=Χ+Χ)()()()()()(

0)()(''

0)()(''2

2

ykDcosykCsinyxkBcosxkAsinx

yky

xkx

yy

xx

y

x

Ara només cal aplicar les condicions de contorn referents a la guia d’ona rectangular, que a la vegada dependran si estem en mode TM o TE. Considerem primer els modes TM.

Modes TM, Hz=0

( ) ( ))yk(Dsin)yk(Ccos)xk(Bsin)xk(Acos)y()x()y,x()y,x(E

yyxx

z

+⋅+==Υ⋅Χ=ψ=

Si seguim les condicions de contorn generals (2) i les particularitzem en el cas de la guia d’ones rectangular:

y

x

b

a

E (a,y)z

E (x,b)z

E (0,y)z

E (x,0)z

x [0,a]y [0,b]

Fig. 116. Camps a les parets de la guia.

0Ez = a les quatre cares (perquè zE és tangencial a les parets de la guia):

153

byyaxx

====

,0 ,0

1. 0x = :

( )( ))()()(),(

)(00

0 )()(),0(

ykDsinykCcosxkBsinyxETrivialSolucióDC

AyykDsinykCcosAyE

yyxz

yyz

+⋅=⎩⎨⎧

===

⇒∀=+⋅=

2. 0y = :

)()()0,(0

)(0 0)()0,(

ykDsinxkBsinxEC

TrivialSolucióBxCxkBsinxE

yxz

xz

⋅=⎩⎨⎧

==

⇒∀=⋅=

3. ax = :

πmakxksin

ykTrivialSolucióDTrivialSolucióB

yykDsinakBsinyaE

x

x

y

yxz

==

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

⇒∀=⋅=

0)(

0)(0)(0

0)()(),(

a

mkxπ

= Ν∈m

4. by = :

πnbk

bksinxk

TrivialSolucióDTrivialSolucióB

xbkDsinxkBsinbxE

y

y

x

yxz

=

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

⇒∀⋅=

0)(0

)(0)(0

)()(),(

bnky

π= Ν∈n

Per tant:

)()(0 yksinxksinEE yxzz =

154

↔Ν∈

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=nm

bnk

amk

y

x

, π

π

Les combinacions (m,0) i (0,n) donen solucions trivials.

με

ππ

ππ

1on 2

22

22

22222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=+=

cbn

amcf

bn

amk

bn

amkkk

c

c

yxc

c no és la velocitat de propagació de l’ona a la guia. És la velocitat de la llum en un medi il·limitat caracteritzat per ),( εμ . Cada parella (m,n) genera un mode diferent que anomenarem TMmn. Cada mode té la seva freqüència de tall, que depèn de l’ordre del mode i de la geometria de la línia. Per trobar les components transversals, tE i tH , substituïm Ez a l’equació (3).

Modes TE, Ez=0

Si fem el mateix que en el mode TM

( ) ( ))()()()()()(),(),(

ykDsinykCcosxkBsinxkAcosyxyxyxH

yyxx

z

+⋅+==Υ⋅Χ==ψ

0=∂

∂n

H z sobre les parets del conductor:

0)(

,00

0)(

,00

=−

∂⇒==

∂⇒=

=−

∂⇒==

∂⇒=

xdHby

dxHy

ydHax

dyHx

zz

zz

Operant de forma anàloga a com ho hem fet en el cas dels modes TM tindrem l’equació que després ens permetrà trobar els camps transversals, tE i tH , amb les equacions (3):

)()(0 ykcosxkcosHH yxzz =

155

trivialsolució ,)0,0(),(}0{, =↔∪Ν∈

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=

=nmnm

bnk

amk

y

x

π

π

22

22

22

22222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=+=

bn

amck

f

bn

amk

bn

amkkk

cc

c

yxc

μεπ

ππ

ππ

Cada parella (m,n) genera un mode diferent que anomenarem TEmn.

Ample de banda monomodal

Si dibuixem cf per als diferents modes en la guia d’ones en funció de ab (mantenint

l’amplada a de la guia fixa):

( ) /222

22

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

abnm

ac

bn

amck

f cc μεπ

f

b/a

01cTEf

20cTEf

10cTEf

0.5 1(b/a)0

Ample de bandamonomodal

c/a

c/2a

Fig. 117. Ample de banda monomodal per a les dimensions relatives (b/a)0.

L’ample de banda monomodal és l’ample de banda en el qual pot propagar-se només un sol mode, anomenat mode fonamental o dominant (per a la guia d’ones rectangular és el mode TE10). Si 5.0≥a

b , correspon al marge freqüencial que hi ha entre la

freqüència de tall del mode TE10 i la freqüència de tall del mode TE01, 1001 cTEcTE ff − ,

mentre que si 5.0≤ab , correspon al marge freqüencial que hi ha entre la freqüència

de tall del mode TE10 i la freqüència de tall del mode TE20, acff cTEcTE 21020

=− . Per

tant, l’ample de banda monomodal es maximitza si 5.0≤ab , tal com es pot veure a la

gràfica.

156

La major part de guies d’ones rectangulars comercials compleixen 5.0≤ab (de fet,

gairebé totes 5.0=ab ) i, per tant, tenen un ample de banda monomodal màxim.

Habitualment, les guies d’ones es fan treballar en el seu ample de banda monomodal per tal que propaguin només el mode fonamental. D’aquesta manera s’eviten alguns problemes, entre d’altres la dispersió i la generació espúria de modes indesitjats.

Camps per al mode dominant TE10

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

===

=

)(0

)()(),(

0),(

00 ax

z

y

xyxzz

z

cosHk

ak

ykcosxkcosHyxH

yxE

ππ

D’aquí treurem els camps tE i tH (equacions (3)):

)(),(

ˆ)(ˆˆ))((

ˆ)(ˆ1ˆ1

0

0

2

0

2

0

020

2

ax

E

zy

ax

z

c

ax

z

ax

zc

ztzt

c

t

sin

a

HjyxE

ysin

a

aH

jxzk

asinH

j

xcosHx

zjk

EHzjk

E

y

ππ

ωμ

ππ

πωμππωμ

πωμγωμ

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⇒

⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−=×

⋅−=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

×=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇−∇×=

43421

321

( ) ( )

( )( )

( )( )

))((

))(())((

ˆ))((ˆ))((

ˆ)(ˆ1

0

0

0000

002

020

2

ax

ZE

y

ax

yyza

xzx

ax

zax

z

ax

zc

ztzt

c

t

sinEj

sinEaj

a

EajHsinHa

H

xsinHa

xsinH

a

a

xcosHxk

HEzjk

H

TEy

πωμγ

πωμ

π

πγ

ωμ

ππ

πγ

ππ

γππ

πγ

πγγωμ

43421

321

−

=

=⋅=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

===⇒

⇒−−

=−−

=

=∂∂

⋅−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∇−∇×−=

157

Per tant:

)(2

)()(),(

))((),(

)(),(

000

0

0

axy

ax

yax

zz

ax

TE

yx

ax

yy

cosa

EjcosEajcosHyxH

sinZE

yxH

sinEyxE

πλη

πωμ

ππ

π

π

⋅⋅====

⋅−=

⋅=

L

On εμη = i λ és la longitud d’ona a un medi il·limitat ),( με i no a la guia (on

βπλ 2

=g ).

E (x)y

Fig. 118. Camp elèctric per al mode TE10 a la guia d’ones rectangular.

( ) zzxF

zyF

ezyxHxyxHzyxH

yeyxEzyxEγ

γ

−

−

⋅+=

⋅=

ˆ),(ˆ),(),,(

ˆ),(),,(

Potència mitja propagada pel mode TE10

La densitat de potència mitjana propagada es calcula mitjançant:

[ ]*Re21),,( FF HEzyxP ×=

Si cff > :

( )[ ]

{ { ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×=

=⋅+×⋅=

−

−

)ˆˆ()ˆˆ(Re21

ˆ),(ˆ),(ˆ),(Re21),,(

ˆ

*

ˆ

*

**

xzy

zxy

zjzx

zjy

zyHExyHE

ezyxHxyxHyeyxEzyxP ββ

158

{

)()()()()(

)()()(

2

0*

00*

2

2

0

*

*0

0*

ax

ax

yax

yax

yzy

ax

TE

ya

x

TE

ya

xyxy

cossinaEjcosEajsinEHE

sinZ

Esin

Z

EsinEHE

ππωμ

ππ

ωμ

ππ

πππ

−=−⋅=

−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅=

+ℜ∈

Llavors la densitat de potència mitjana propagada serà:

{ { zsinZ

EzyHExyHEzyxP a

x

TE

y

xzy

zxy ˆ)(

21)ˆˆ()ˆˆ(Re

21),,( 2

2

0

ˆ

*

ˆ

* π=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×=

−

Si cff < :

( )[ ]

{ { ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×+×=

=⋅+×⋅=

−

−

−

−−

)ˆˆ()ˆˆ(Re21

ˆ),(ˆ),(ˆ),(Re21),,(

ˆ

2*

ˆ

2*

**

x

zzy

z

zxy

zzx

zy

zyeHExyeHE

ezyxHxyxHyeyxEzyxP

αα

αα

{

)()()()()(

)()()(

2

0*

00*

2

2

0

*

*0

0*

ax

ax

yax

yax

yzy

axy

TEax

TE

ya

xyxy

cossinaEjcosEajsinEHE

sinE

jjZsinZ

EsinEHE

ππωμ

ππ

ωμ

ππ

πωμ

α

αωμππ

−=−⋅=

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅=

ℑ∈

Llavors la densitat de potència mitjana propagada serà:

0),,( =zyxP Això vol dir que el mode s’està esvaint.

159

Amb la densitat de potència mitjana calculada ( ),,( zyxP ), la potència PT propagada per l’ona en direcció de les z creixents a la guia serà:

zn ˆˆ =

S

TE10 z Fig. 119. Superfície per al càlcul de potència.

4434421

rr

2

0

2

2

02

2

0

00

)(2

)(21ˆ)(ˆ)(

a

a

ax

TE

ya

x

TE

yab

SST dxsin

Z

EbdxsinZ

EdydxdyzrPdSnrP ∫∫∫∫∫ ====Ρ ππ

2

04 yTE

T EZ

ba ⋅=Ρ

Atès que yE0 ve limitat per la tensió de ruptura del dielèctric a un valor determinat (camp elèctric que arrenca electrons de les seves molècules tornant-lo conductor), de tots els valors de b, tenint en compte 5.0≤a

b (ample de banda monomodal màxim), el millor que podem escollir és a5.0b ⋅= . D’aquesta manera fem el producte ba ⋅ el més gran possible i per tant, maximitzem la potència transmesa.

Pèrdues per al mode TE10

Idealment, per a freqüències superiors a la de tall ( cff > ), es considera que la constant de propagació és imaginària pura )(ωβγ j= , i per tant, no presenta pèrdues. A la pràctica, la constant de propagació té també una part real deguda a les pèrdues òhmiques als conductors i dielèctrics que fins ara no hem considerat,

)()( ωβωαγ j+= , on )(ωα és el factor de pèrdues degudes a les pèrdues òhmiques del conductor i del dielèctric.

dielèctric al associades Pèrdues

conductors als associades Pèrdues )(

→→

+=

D

c

Dc

αα

ααωα

160

εμη

η

ασ

μπ =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= = i ,21

1

:on2

2c

fS

Rff

ab

ff

b

R c

c

Sc

10cTEff

αc

20cTEf

Zona interessant d’utilitzar

Fig. 120. Atenuació en funció de la freqüència.

)(

121

2 D

c

D tg

ff

k δα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

4.1.2. Guies d’ones circulars

a ϕ

z Fig. 121. Guia d’ones circular.

En aquest tipus de guies d’ones s’hi propaguen modes TE i TM:

• Modes TE:

acP

f nlcTE π2

'ln

⋅= , on nlP' és el zero l-èssim (sense comptar el de l’origen) de

dx

xndJ )(

• Modes TM:

acP

f nlcTM π2ln

⋅= , on nlP és el zero l-èssim de )x(Jn

161

• El mode fonamental és el mode TE11.:

RRcTE a

smfεμ

/108'8 7

11

⋅=

El següent mode que comença a propagar-se és el TM01.

L’ample de banda monomodal és menor que en una guia rectangular, 3.111

01 =cTE

cTM

ff

.

4.1.3. Guies d’ones corrugades Les guies corrugades són guies d’ones “cilíndriques” amb secció transversal circular o el·líptica i secció longitudinal corrugada.

Secció Transversal

z

Secció Longitudinal Fig. 122. Guia d’ones corrugada.

Són lleugerament flexibles. S’utilitzen per a tirades llargues de guia.

163

SESSIÓ 17 Nom: Modelatge circuital de guies d’ones Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS En aquest apartat veurem com es poden modelar guies d’ones i alguns elements que podem construir en guies d’ones a partir de línies de transmissió.

CONTINGUTS Primer veurem com podem modelar una guia d’ones a partir d’una línia de transmissió, i de definir per a una guia d’ones les ones normalitzades a i b, i per extensió, ser capaços de caracteritzar els circuits en guia d’ones a partir de paràmetres S. Després descriurem de manera succinta com poden realitzar-se elements reactius en guies d’ones.

4.2. Modelatge amb línies de transmissió Moltes vegades, per a treballar amb guies, ens és útil modelar-les com si fossin línies de transmissió (dispersives).

b

za

ε, μ

ρWG(z)

<> Z , 0 γ

l

ρLT(z)

γ= βjV(z)

z Fig. 123. Model amb línia de transmissió d’una guia d’ones rectangular.

El desenvolupament el farem per a una guia d’ona rectangular treballant en el seu ample de banda monomodal (propagant per tant només el mode TE10 amb β=γ j ), però poden fer-se raonaments anàlegs per a qualsevol altre tipus de guia d’ona.

164

Suposem que a la guia d’ones rectangular (funcionant amb TE10) i a la línia de transmissió equivalent s’hi propaguen ones tant cap a z creixents ( ze γ− ) com cap a z decreixents:

za

xy

za

xyFFF eysenEeysenEzyxEzyxEzyxE γγ ππ ˆ)(ˆ)(),,(),,(),,( 00

−−+−+

+=+=

zz eVeVzVzVzV γγ −−+−+ +=+= )()()( Volem que les ones, tant elèctriques com de tensió es propaguin a la mateixa velocitat. Per això establim que β=γ j als dos circuits. Problema Per a fer l’equivalència cal trobar la relació entre ) , ( 00

−+yy EE i ),,( 0ZVV −+ .

Exigirem que:

1. El coeficient de reflexió es conservi (WG significa guia d’ones i LT línia de transmissió):

)()()(

ˆ),,(

ˆ),,()( 22

0

0 zeVV

zVzVe

EE

yzyxE

yzyxEz LTzz

y

y

F

FWG ρρ γγ ====

⋅

⋅=

+

−

+

−

+

−

+

−

Per tant, cal que la relació d’amplituds entre ones incidents i reflectides es mantingui:

+

−

+

−

=VV

EE

y

y

0

0

2. Es conservi la potència propagada per cada ona (tant per a la progressiva com per a la regressiva):

2

21

4

02

0

2

0

22

0

abZZ

EV

Z

VPE

ZabP

TEy

LTyTE

WG

++

++++

=

===

2

21

4

02

0

2

0

22

0

abZZ

EV

Z

VPE

ZabP

TEy

LTyTE

WG

−−

−−−−

=

===

165

Per tant, una elecció vàlida serà:

0

00

0

00

2

2

ZVIab

ZZ

EV

ZVIab

ZZ

EV

TEy

TEy

−−−−

++++

−==

==

Amb aquestes definicions d’ones a i b en una guia d’ones rectangular, podem reciclar tot el que sabem sobre paràmetres S i aplicar-ho a circuits fets en guies d’ones (potències, xarxes passives, reciprocitat, sense pèrdues, etc.). Tenim, però, encara un grau de llibertat pel que fa a l’elecció del valor de 0Z

(depenent de 0Z , tindrem unes −+−+ IIVV ,,, determinades). Dues eleccions força comuns són:

1. Ω=10Z . Permet donar un cert sentit físic al corrent )(zI + i )(zI − .

2. Definim )(zV + , integrant el camp elèctric de les ones a la guia d’ones rectangular, com:

C

x

y

a

b

Fig. 124. Camí d’integració per a definir la tensió en una guia d’ones rectangular.

zy

zbzyx

zzyx

za

xy

C

F eEbdyyeysenEldEzVa

a

γγπ −+=

=

−++

+ ⋅⋅−=−=−= ∫∫ 0

),,(),,(

),0,(),,(0

2

2

ˆˆ)()(r

++ ⋅−= yEbV 0 Anàlogament: −− ⋅−= yEbV 0

2202)(0

00

2 abZZ

babZZ

EEbVTETE

yy =⎯→⎯=⋅−= ⋅+++

Per tant:

TEZabZ 20 =

166

Aquesta definició de 0Z s’anomena de potència-tensió, perquè la definim a partir de la potència que propaga el mode i d’una tensió transversal que ens definim. Amb aquestes definicions en ment:

1. Molts circuits amb guia d’ones podran modelar-se i pensar-se com si fossin circuits amb línies de transmissió, als quals estem més acostumats.

2. Podrem definir de manera natural paràmetres S en una guia d’ones:

21

21

00

00

abZ

EZ

Vb

abZ

EZ

Va

TEy

TEy

−−

++

==

==

4.3. Elements circuitals en guia d’ones Suposem una guia d’ona rectangular amb un obstacle. Treballem en l’ample de banda monomodal.

l

l

TE10I

TE10R

TE10T

Fig. 125. Obstacle a una guia d’ones rectangular.

L’obstacle en general fixa unes condicions de contorn que el mode TE10I (incident) tot sol no pot complir. El sistema respon generant (comunicant-los-hi energia) infinits modes, tals que combinant-los compleixin les condicions de contorn (només poden generar-se modes perquè són les úniques configuracions de camp que poden existir a l’interior d’una guia d’ona).

167

Per a 0z < , el camp total serà:

4444 34444 21321

generatsincident .)0,1(,

10101 ∑∑≠

+++=ji

ijji

ijRI TMTETETEC

Per a 0z > , el camp total serà:

4444 34444 21generats

.)0,1(,102 ∑∑

≠

++=ji

ijji

ijT TMTETEC

Com que som a l’ample de banda monomodal, tots els modes excepte el TE10I, TE10R (mode TE10 reflectit) i TE10T (mode TE10 transmès) estan en tall, no es propaguen. Aquests modes s’atenuaran exponencialment a partir de l’obstacle, és a dir, concentren una gran part del camp elèctric i magnètic al voltant de l’obstacle. No es dissipa ni es propaga energia, atès que aquests modes acumulen energia reactiva. Per tant, circuitalment podem modelar aquesta situació amb una reactància:

TE10I

TE10R

TE10T <> jXZ , 0 γ Z , 0 γ

≠

+ji

i jji

i j T MT E.)0,1(,

0

Fig. 126. Modes en tall en una guia d’ones rectangular i circuit equivalent.

L’equivalència s’estableix entre tot el tram de guia d’ona on els modes en tall tenen energia apreciable i un tram similar de L.T.

<> jXZ , 0 γ Z , 0 γ

l l l l

Fig. 127. Model circuital correcte per a un obstacle en una guia d’ones rectangular.

168

Però no:

<> jX

Fig. 128. Model circuital incorrecte per a un obstacle en una guia d’ones rectangular.

Perquè si posem dos obstacles separats menys d’l (on l és la distància a la qual els modes en tall es consideren esmorteïts), els modes en tall generats per un obstacle interactuen amb el següent obstacle: han de complir condicions de contorn addicionals que faran que l’energia continguda en cada mode canviï, canviant per tant els valors de les reactàncies equivalents.

<> jX’

l l l l

l’<l

l’

jX’

Fig. 129 Model circuital correcte per a dos obstacles en una guia d’ones rectangular.

Aquests modes han de complir més condicions de contorn, tindran amplituds diferents, emmagatzemaran quantitats d’energia diferents, correspondran a reactàncies diferents.

Tipus d’obstacles

A continuació presentarem una sèrie d’obstacles que es poden inserir en una guia d’ona rectangular i el seu model circuital equivalent (recordem que es propaga el mode TE10).

1. Diafragmes

<> 1, β 1, βXj

d

b

a

169

Fig. 130. Diafragma vertical en una guia d’ones rectangular i model circuital equivalent.

)(1)(X

222

2

ad

ad

g cosectga

π

π

λ +⋅=

<> Z , 0 βZ , 0 β

Fig. 131. Diafragma horitzontal en una guia d’ones rectangular i model circuital

equivalent.

<> 1, β 1, βXj

d

Fig. 132. Diafragma vertical doble en una guia d’ones rectangular i model circuital

equivalent.

)(X 22

ad

g

tga π

λ⋅=

<> Z , 0 βZ , 0 β

Fig. 133. Diafragma horitzontal doble en una guia d’ones rectangular i model circuital

equivalent.

<> 1, β 1, βb

a Fig. 134. Diafragma vertical i horitzontal doble en una guia d’ones rectangular i model

circuital. equivalent.

170

2. Iris d

<> 1, β 1, βXj

a

b

Fig. 135. Iris en una guia d’ones rectangular i model circuital equivalent.

gabdλ

π32X

3

=

3. Barres

Fig. 136. Barra en una guia d’ones rectangular.

<> Z0XjZ0

Fig. 137. Model circuital equivalent per a barres en una guia d’ones rectangular.

171

<>

Fig. 138. Model circuital equivalent per a una barra incompleta.

173

SESSIÓ 18 Nom: Circuits passius en guia d’ones Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS En aquest apartat veurem com poden construir-se i caracteritzar-se circuits passius en guies d’ones.

CONTINGUTS Tractarem de manera molt descriptiva diverses funcionalitats circuitals molt comuns en guies d’ones: acobladors direccionals, filtres, càrregues adaptades, tes, etc.

4.4. Circuits passius en guia d’ones

4.4.1. Transicions guia-coaxial El conductor central d’un cable coaxial s’usa com a antena per a excitar el mode TE10 en la guia d’ones rectangular. Solen presentar una relació d’ona estacionària S<1.4 a tot l’ample de banda monomodal de la guia.

1

2TE10

~ /4Adaptació

d’impedàncies

λg

Resta de modesen tall

b

Connector coaxial

Secció longitudinal de la transició Fig. 139.Transició de cable coaxial a guia d’ones rectangular.

Aquesta és una manera habitual de generar el mode TE10 en guies d’ona.

174

4.4.2. Càrregues adaptades

Presenten 0≈Γ . Es construeixen posant un material piramidal absorbent a l’interior de la guia. La forma piramidal possibilita una transició suau entre medis amb característiques diferents, per tant evita reflexions.

Piràmide dematerial absorvent

b

Secció longitudinal del circuit

Γ=0TE10

Fig. 140. Càrrega adaptada per a una guia d’ones rectangular.

El mode TE10 veurà una adaptació d’impedàncies progressiva, els camps s’atenuaran cada cop més a mesura que avancin a través de la guia. En arribar al final de la guia hi haurà una reflexió, i el mode TE10 tornarà cap a l’inici atenuat gairebé del tot. Això fa que el coeficient Γ a l’entrada de la guia sigui zero.

4.4.3. Filtres Habitualment es fan amb barres o diafragmes:

Fig. 141. Filtre en guia d’ones rectangular.

175

4.4.4. T de pla E (combinador-divisor de potència) La seva matriu de paràmetres S és (fent una adaptació d’impedàncies al port 3 per tal que el paràmetre S33=0, i fent els canvis de pla de referència necessaris):

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

022211

211

21S

És la mateixa que la del divisor de Wilkinson però sense aïllament entre ports (1 i 2).

Pla E 1

1

2

2

3

3

Comportament del camp elèctric en el pla ES = -S13 23

Fig. 142. T de pla E a una guia d’ones rectangular.

Com podeu veure, els camp elèctric, en “saltar” del port 3 cap als ports 1 i 2, ho fa canviant el seu signe. Per tant, és normal que els paràmetres S13 i S23 tinguin signes oposats.

4.4.5. T de pla H (combinador-divisor de potència) És el circuit dual de l’anterior. La seva matriu de paràmetres S és (fent una adaptació d’impedàncies al port 3 per tal que el paràmetre S33=0, i fent els canvis de pla de referència necessaris):

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=022211211

21S

176

Pla H 1

1

2

2

3

3Comportament del camp elèctric en el pla H

S = S13 23 Fig. 143. T de pla H en una guia d’ones rectangular.

En aquest cas, el camp elèctric passa del port 3 fins als ports 1 i 2 sense canviar d’orientació: això es manifesta en el fet que S13=S23. Si carreguéssim els ports 1 i 2 de forma simètrica, tindríem un divisor o sumador de comportament similar al de Wilkinson (sense aïllament entre els ports 2 i 3, però).

4.4.6. T màgiques (híbrids de 180º) Les T màgiques són combinacions de T de pla E i de T de pla H.

1

2

3

4

Fig. 144. T màgica en una guia d’ones rectangular.

La seva matriu de paràmetres S, amb adaptacions d’impedàncies adients als ports 1 i 4, i canvis de pla de referència és:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

001100111100

1100

21S

177

Pel fet de ser una combinació d’una T de pla E i d’una de pla H es compleix que 2313 SS = i 2414 SS −= . Si pel port 4 entrem un camp elèctric, aquest difícilment sortirà

pel port 3 perquè la configuració de camps que genera a l’espai d’unió entre les quatre guies no és compatible amb la configuració del camps del mode TE10 al port 3. Per tant, 034 =S .

1 23

4

Configuració de camps no compatibleamb el mode , que és l’únic quees propaga

TE10

Fig. 145. Excitació d’una T màgica pel port 4.

4.4.7. Acobladors direccionals Es construeixen comunicant dues guies a través de dos o més petits forats (en la seva configuració més senzilla, dos forats separats λg/4).

1

2

3

4

λg/4

Fig. 146. Acoblador direccional per a guies d’ones rectangulars.

178

Principi de funcionament: L’acoblament es realitza cap endavant.

λg/4

Δφ1 Δφ1Δφ2 Δφ2

90º

90º

90º

Suma en contrafase(les ones s’anulen)

Suma en fase(les ones es reforcen)

Funcionament (Secció longitudinal)

ENTRADA SORTIDA

ACOBLATAÏLLAT

Fig. 147. Principi de funcionament d’un acoblador direccional.

El senyal entra pel port d’entrada, en passar pels forats perdrà energia (proporcional a les dimensions dels forats). Part del senyal que passa cap a la part de dalt es desfasarà 1φΔ i 2φΔ , segons si es propaga cap al port aïllat o acoblat respectivament. Els dos forats seran pràcticament excitats amb el mateix nivell de mode TE10 perquè la quantitat de senyal que passa d’una guia a l’altra a través dels forats és molt petita.

4.4.8. Aïlladors

Són circuits de dos ports no recíprocs ( 2112 SS ≠ ) que permeten el pas de senyal en un sentit, però no en sentit contrari. La seva matriu de paràmetres S és:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

000

ϕjeS

179

Hi ha diverses maneres de construir aïlladors. Una estructura molt comuna és la de la figura següent:

x

y

a

b

c d

Làmina de ferrita

Làmina de materialabsorbent

Fig. 148. Aïllador en una guia d’ones rectangular.

Les ferrites són materials no recíprocs: presenten característiques electromagnètiques diferents en funció de la direcció de propagació de l’ona que les travessa (en el nostre cas, permeabilitat magnètica diferent). Això fa que, en general, ones progressives i regressives vegin guies d’ones diferents, amb característiques materials diferents, i que, per tant, les seves configuracions de camps també siguin diferents. Dissenyant de manera adequada la posició, gruix i composició de la làmina de ferrita, es pot aconseguir que els modes fonamentals corresponents a les ones progressives i regressives a la guia al tram on hi ha ferrita (ja no seran el mode TE10) prenguin la configuració d’ )(xEy següent:

xac d

Ona progressivaOna regressivaE (x)y

Fig. 149. Aïllador en una guia d’ones rectangular.

A la posició dx = l’ona progressiva presenta un nul de camp, i per tant no serà atenuada per la làmina de material absorbent. D’altra banda, l’ona regressiva presenta un màxim de camp a dx = i, per tant, serà atenuada per la làmina de material absorbent. Fent el tram de guia amb làmina de ferrita i material absorbent suficientment llarg, aconseguirem eliminar l’ona regressiva sense modificar l’amplitud de la progressiva: haurem realitzat un aïllador. Com el seu nom indica, els aïlladors s’utilitzen per aïllar circuits que no suportin reflexions, tals com amplificadors. Els aïlladors deixen passar les ones entre la sortida d’un amplificador i una càrrega, però no les ones reflectides per la càrrega cap a l’amplificador.

181

SESSIÓ 19 Nom: Introducció i transistors de microones Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:

• Bibliografia complementària: [Pozar2004] [Gonzalez1997]

OBJECTIUS En aquesta sessió introduirem els objectius que perseguim a l’hora de realitzar amplificadors (ens centrarem en amplificadors lineals de petit senyal) i la metodologia que seguirem per a la seva implementació. A continuació descriurem breument els tipus de transistor més utilitzats per a fer amplificadors de microones.

CONTINGUTS Després de descriure amb quina estructura i amb quines característiques pretenem realitzar amplificadors de microones, descriurem el seu element més important, el transistor.

5. Amplificadors de microones

5.1. Introducció Volem realitzar amplificadors lineals de microones de petit senyal amb una estructura:

ΓgR

ΓLRA1 A2TRT[S]

PolaritzacióΓg ΓL

Amplificador Fig. 150. Estructura d’un amplificador lineal de petit senyal.

182

On A1 i A2 són xarxes passives, recíproques i sense pèrdues. Dissenyar un amplificador equival a trobar (conegut el transistor i els seus paràmetres S) unes xarxes A1 i A2 que fan que l’amplificador tingui un comportament determinat pel que fa al guany, estabilitat i soroll.

{ } [ ] )S (2,1 TRTsoroll, t,estabilita Guany,fAA = Això sempre ho farem en dues fases:

1. Fase de disseny. Trobarem gΓ , LΓ que fan que el transistor tingui les prestacions adequades de guany, soroll i estabilitat.

TRT[S]

Γg

ΓL

Fig. 151. Transistor entre generador i càrrega desitjats.

[ ] )S (),( soroll, t,estabilita guany, TRTLg f=ΓΓ

2. Fase de síntesi. “Enganyem” el transistor. Dissenyem dues xarxes d’adaptació (A1 i A2), passives, recíproques i sense pèrdues que facin que el transistor vegi els valors adequats de gΓ , LΓ (pel que fa a guany,

estabilitat i soroll) en comptes dels reals, gRΓ , LRΓ .

A1ΓgR

Γg

),(1 ggRfA ΓΓ=

A2 ΓLR

ΓL

),(2 LLRfA ΓΓ=

Fig. 152. Xarxes d’adaptació passives, recíproques i sense pèrdues.

183

A part, cal dissenyar els circuits de polarització del transistor. Dedicarem el tema bàsicament a estudiar les eines necessàries per a realitzar la fase de disseny. Les eines necessàries per a la realització de la fase de síntesi se suposen conegudes de cursos d’electrònica, teoria de circuits i propagació o teoria electromagnètica (adaptacions d’impedàncies amb circuits L-C i línies de transmissió).

5.2. Transistors de microones

5.2.1. Transistors bipolars Estan fets amb silici (funcionen bé fins a 6-8 GHz) o GaAs (aleshores s’anomenen HJBT (Hetero Junction Bipolar Transistor) per sobre de 20GHz). Són força resistents i fiables. Tenen un factor de soroll mínim important i que creix quadràticament amb la freqüència. El model circuital intrínsec del transistor en petit senyal té en compte els efectes propis del semiconductor:

A freqüències de microones, rb’c i rce poden eliminar-se. A més a més caldrà tenir en compte els efectes paràsits dels terminals i els encapsulats per a tenir un model complet del transistor (model circuital extrínsec):

Cb’e

r bb’b

r b’e

Cb’cb’

GVmb’erce

c

rb’c

e

Vb’e

Fig. 191. Model intrínsec d’un transistor bi l

184

Cbc

Model Intrínsec

Cbe Cce

Lc

Le

Lb

bB

e

E

Cc

Fig. 154. Model extrínsec d’un transistor bipolar.

Aquest model és massa complicat per a treballar-hi analíticament. Usualment treballarem amb transistor caracteritzats pels seus paràmetres S mesurats.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

SSSS

STRT

B

E

C

12

Fig. 155. Símbol d’un transistor bipolar amb numeració de ports.

Usualment:

1

1

1 ,

12

21

2211

<<

>

<

S

S

SS

5.2.2. Transistors FET A freqüència de microones, podem utilitzar diversos tipus de transistor FET:

• IGFET (Insulated Gate FET) • JFET (Junction FET). • MeSFET (Metal-Semiconductor FET), que serà el transistor que analitzarem

més a fons en aquest apartat. Pot estar fabricat amb diversos materials, Si (fins a uns 10 GHz) o AsGa ( fins a 40, 50 GHz, InP, InGaAs,...).

• HEMT (High electron movility transistor). Aquest és una evolució del MeSFET (fins a freqüències superiors als 60 GHz). Estan construïts amb AlxGa1-xAs.

Els transistors MeSFET (que són els que estudiarem amb més detall a continuació) tenen un factor de soroll molt petit, que creix linealment amb la freqüència. Tendeixen a oscil·lar a freqüències menors de la de disseny: cal vigilar amb les xarxes de

185

polarització en contínua del transistor per a evitar-ho. L’estructura simplificada d’un MeSFET és la següent:

D G SL

WN+ N+

Pastilla de AsGa (N)Substrat AsGa (I)

BaixaResistivitat

Alta Resistivitat

Fig. 156. Estructura simplificada d’un transistor MeSFET.

Les unions D-AsGa i S-AsGa són òhmiques. La unió G-AsGa és una unió díode (Schottky). Si la longitud (L) augmenta, la potència de sortida augmentarà, i la freqüència màxima d’utilització disminuirà. Si l’amplada (W) disminueix, el factor de soroll mínim disminuirà a costa de disminuir la potència de sortida màxima de sortida d’aquest circuit.

Funcionament d’un MeSFET

S G D

V >0DS

V <0GS

VGS1

|VGS1|<| |VGS2

VGS2 Corrent entre D i S

Zona de càrrega espaial (ZCE) amb resistivitat alta.

Canal

Semiconductor (N)Resistivitat baixa

Substrat (I)Resistivitat alta

Fig. 157. Funcionament d’un MeSFET.

Si polaritzem 0VGS < , creem una tensió negativa entre G i S, i per tant entre G i el semiconductor. Per tant, la unió G-semiconductor està polaritzada en inversa. A sota de la porta es crea una zona de càrrega espacial (ZCE) lliure de càrrega, altament resistiva. Per tant, el corrent entre D i S circularà bàsicament per la zona de semiconductor N (de baixa resistivitat) que hi ha entre la zona de càrrega espacial (ZCE) i el substrat (de resistivitat alta). A aquesta zona se l’anomena canal. A mesura que variem la GSV , variem la grandària de la ZCE, per tant variem l’amplada del canal, és a dir, variem l’àrea a través de la qual deixem passar corrent. Com que

186

areaR 1

∝ , variem la resistència que es veu entre D i S (per a una tensió DSV

determinada). Per tant , controlem la quantitat de corrent que deixem passar entre D i S. Per tant aconseguim un efecte transistor (variant una tensió en un terminal aconseguim controlar un corrent entre dos altres terminals).

Simbologia

El símbol d’un MeSFET és:

GD

S Fig. 158. Símbol circuital per a un MeSFET.

Funcionament en DC d’un MeSFET

Suposem el següent circuit de polarització DC per a un MeSFET:

GD

S

V >0DSIDSV <0GS

Fig. 159. Símbol d’un MeSFET i circuit de polarització contínua.

La variació d’IDS en funció de VGS serà de la forma:

IDS

VP

VGS

Per a un V determinatDS

Fig. 160. IDS en funció de VGS.

Com més negativa és la tensió menys corrent hi circula. Vp és la tensió de ‘pinch-off’ o d’estrangulació de canal. És aquella VGS que fa que la ZCE toqui el substrat, i que l’amplada del canal sigui nul·la, fent que l’R del canal tendeixi a infinit i el corrent que hi circula a zero.

187

La variació d’IDS en funció de VDS serà de la forma:

IDS

VDS

V = 0GS

V = VGS P Fig. 161. IDS en funció de VDS per a diversos VGS

Les dues gràfiques anteriors poden condensar-se matemàticament:

44 344 2144 344 21alexperiment

entanalíticam deduïble

2

10 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

PGS

DS

P

GSDSDS VV

VtghVVII α

on α és un paràmetre experimental d’ajust.

Model equivalent en petit senyal d’un MeSFET

Model intrínsec:

C1

g

r1

Cgd

G Vm crds

d

s

+-

Vc

C1

Fig. 162. Model intrínsec per a un transistor MeSFET.

Si hi afegim efectes paràsits de terminals i encapsulat

188

Ggd

Model Intrínsec

Ggs Gds

LdLgG

S

D

Fig. 163. Model extrínsec per a un transistor MeSFET.

Habitualment no treballem amb el model (massa complicat) sinó amb els paràmetres S mesurats, que solen complir:

1 2

1 ""

1

1

1) a(proper 1

12

21

22

11

<<

>

<

<

S

S

S

S

Fig. 164 Valors usuals dels paràmetres S d’un transistor MeSFET.

5.2.3. Polarització d’un transistor Hem de fer circuits de polarització (DC) d’un transistor que :

1. Evitin que la contínua s’escampi a altres parts del circuit.

2. El circuit de polarització DC sigui invisible al senyal d’RF.

Per exemple:

DCBDCB

XRF

XRF

VGS VDS

XRF

[S]

[S’] = [S] Fig. 165. Circuit de polarització bipolar d’un transistor MeSFET.

189

DCB

DCB

XRF

XRF

VP

XRF

DCB

XRF

Fig. 166. Circuit de polarització d’un transistor bipolar.

191

SESSIÓ 20 Nom: Estabilitat en quadripols Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 4 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS L’objectiu d’aquesta sessió és analitzar sota quines condicions un quadripol és estable.

CONTINGUTS En aquesta sessió analitzarem les condicions generals d’estabilitat d’un quadripol connectat a un generador i a una càrrega arbitraris. A partir d’aquestes condicions veurem com podem obtenir informació gràfica sobre el comportament pel que fa a estabilitat d’un quadripol en funció del generador i de la càrrega a què es connecta (cercles d’estabilitat) i introduirem el concepte d’estabilitat incondicional i de factor d’estabilitat.

5.3. Estabilitat d’un quadripol

5.3.1. Condicions generals d’estabilitat Un sistema estable és aquell que respon amb una resposta fitada a qualsevol entrada fitada. Situació:

Γg

ΓLQuadripol

ΓOΓI

Fig. 167. Quadripol entre generador i càrrega arbitraris.

192

No podem treballar en RPS perquè suposa estabilitat (les respostes sinusoïdals són respostes fitades, i per tant estables). Fem una anàlisi de transitoris d’entrada:

Γg

Quadripol

ΓI

a

b

a1

b1ΓI

a2

b2ΓI

Γg

Γg a2

Fig. 168. Cadena de transitoris a l’entrada d’un quadripol.

En t=0, comencem a emetre una ona 1a cap al quadripol, que arribarà (instantàniament) al quadripol i s’hi reflectirà (instantàniament) segons IΓ , generant

1b . 1b arribarà al generador i s’hi reflectirà segons gΓ , generant 2a , que se sumarà a

1a . 1a es reflectirà en el quadripol, generant 2b , i així successivament.

12

33

12

23

122

112

11

1

)(

)(

)(

aab

aba

aababa

aba

IgII

Igg

IgII

Igg

I

⋅Γ⋅Γ⋅Γ=⋅Γ=

⋅Γ⋅Γ=⋅Γ=

⋅Γ⋅Γ⋅Γ=⋅Γ=

⋅Γ⋅Γ=⋅Γ=⋅Γ=

M

M

11

11

)(

)(

ab

aan

IgIn

nIgn

⋅Γ⋅Γ⋅Γ=

⋅Γ⋅Γ=−

−

L’ona total que va cap al quadripol serà la suma( a ) de totes les ones que van cap al quadripol i l’ona total que en retorna ( b ) serà la suma de totes les ones que en retornen:

∑∑∞

=

∞

=

==11

n

nn

n bbaa

193

∑∑∑

∑∑∑∞

=

∞

=

−∞

=

∞

=

∞

=

−∞

=

Γ⋅Γ⋅Γ=⋅Γ⋅Γ⋅Γ==

Γ⋅Γ=⋅Γ⋅Γ==

01

11

1

1

01

11

1

1

)()(

)()(

k

kIgI

n

nIgI

nn

k

kIg

n

nIg

nn

aabb

aaaa

Per tant, el nostre sistema tindrà una excitació (l’ona 1a “inicial” i dues respostes, les ones totals a i b que es formen):

a i b són fitades )(0

⇔∞<Γ⋅Γ⇔ ∑∞

=k

kIg 1 <Γ⋅Γ Ig

Aquesta és la condició general d’estabilitat a l’entrada. Si el sistema és estable, veiem que recuperem les equacions en RPS per a les ones a i b d’una connexió genèrica entre un generador i càrrega ( IΓ ):

Ig

I

nn

Ignn

abb

aaa

Γ⋅Γ−Γ⋅

==

Γ⋅Γ−==

∑

∑∞

=

∞

=

1

1

1

1

1

1

Γg

a

b ΓI

Fig. 169. Ones totals en la interfície entre generador i quadripol.

Anàlogament a la sortida:

→<Γ⋅Γ 10 L → Condició general d’estabilitat a la sortida Direm que el sistema serà estable si ho és a l’entrada i a la sortida. Objectiu: Trobar tots els valors de gΓ i LΓ que fan que el sistema sigui estable a l’entrada i a la

sortida ( gΓ i LΓ han de tenir sentit físic ⇒ 1<Γg , 1<ΓL ⇔ [ ] 0Re >gZ ,

[ ] 0Re >LZ .)

Problema:

1)( 1)(

)2(0

)1(

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<ΓΓΓ

<ΓΓΓ

gL

LIg depenen alhora de generador i càrrega → molt complicades

194

Solució: Atès que 1<Γg , si 1)( <ΓΓ LI segur que es compleix l’equació (1). I atès que

1<ΓL , si 1)( <ΓΓ gO segur que es compleix (2). Per tant, podem extreure unes condicions d’estabilitat simplificades:

1)( <ΓΓ LI → Condició d’estabilitat a l’entrada

1)(0 <ΓΓ g → Condició d’estabilitat a la sortida Aquestes condicions d’estabilitat són les que utilitzarem d’ara endavant: són més restrictives, però més simples: Estabilitat a l’entrada= ( )Lf Γ Estabilitat a la sortida= ( )gf Γ Direm que un quadripol és incondicionalment estable si és estable per a tot gΓ tal que

1<Γg i per a qualsevol LΓ tal que 1L <Γ . Si no, direm que és potencialment inestable. Nota: La notació d’estabilitat a l’entrada/sortida pot trobar-se canviada en alguns autors:

1)( <ΓΓ LI Condició d’estabilitat a l’entrada (sortida en alguns autors)

1)(0 <ΓΓ g Condició d’estabilitat a la sortida (entrada en alguns autors)

5.3.2. Cercles d’estabilitat

Volem trobar tots els valors de LΓ (amb sentit físic, 1≤ΓL ) que fan el sistema estable

a l’entrada ( 1)( <ΓΓ LI ) i tots els gΓ (amb sentit físic, 1≤Γg ) que fan el sistema

estable a la sortida ( 1)(0 <ΓΓ g ).

195

Γg

ΓL[S]

Γ0ΓI

Fig. 170. Xarxa de dos ports entre un generador i una càrrega.

Estabilitat a l’entrada

Volem trobar els LΓ amb sentit físic ( 1≤ΓL ) tals que 1)( <ΓΓ LI . En comptes

d’aquest conjunt de valors, trobarem la seva frontera en 1)(/ =ΓΓΓ LIL (“/” significa “tal(s) que”). Comencem calculant )( LII ΓΓ=Γ :

( ) 01)()(

1

)1)(1())((1

11

1)(

1)1(

11

1

21122

*11

**22

*11

2222

2

222222

**22

22*11

**11

211

**2222

***1111

2*2

222

11

222

211

()2211

222112221111

2221122211

22

211211

2

=−+Γ−Δ−Γ−Δ−Γ−Δ

Γ+Γ−Γ−=ΓΔ+ΔΓ−ΓΔ−

Γ−Γ−=ΓΔ−ΔΓ−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=⋅

Γ−=ΔΓ−

Γ−=ΔΓ−⎯→⎯Γ−=ΔΓ−

Γ−=

Δ

−Γ−

Γ−=Γ+Γ−

=Γ−Γ

+⇔=Γ

SSSSSS

SSSSSS

SSSSaaa

SS

SSSS

SSSSSS

SSSSS

SSSS

LLL

LLLLLL

LLLLLL

LLLL

LL

LLL

L

LI

44 344 21

01

222

2

211

222

222

*11*

222

2

*22

*112 =

−Δ

−+Γ

−Δ

−Δ−Γ

−Δ

−Δ−Γ

S

S

SSS

SSS

LLL

Aquesta equació correspon a una circumferència al pla complex. L’equació d’una circumferència al pla complex de centre (complex) CL i radi (real) RL ve donada per:

196

0

))((22**2

2**

*2

=−+Γ−Γ−Γ

=−Γ−Γ

⋅=

=−Γ⇔+=Γ

LLLLLLL

LLLLL

LLLj

LLL

RCCC

RCC

AAA

RCeRC

c

θ

Comparant termes es comprova que el lloc geomètric de tots els 1)(/ =ΓΓΓ LIL es

troba en una circumferència en el pla complex de LΓ amb centre:

222

2

*22

*11

SSSCL

−Δ

−Δ=

i radi:

( )( )( )

( ) =−Δ

−Δ−−

−Δ

−Δ−Δ=

=−Δ

−−

−Δ

−Δ=

−Δ

−=−

2222

2

222

2211

2222

2

22*11

*22

*11

222

2

211

2

222

2

*22

*112

222

21122

1))((

1

1

S

SS

S

SSSS

S

S

SSSR

S

SRC

L

LL

( )

( ) ( ) ( )2222

2

22112

2222

2

22211

2222

2

2*2211

*2211

22211

2222

2

222

2222

211

2211

222

*22

*11

*2211

2211

)(

S

SS

S

SS

S

SSSSSS

S

SSSSSSSSSS

−Δ=

−Δ

Δ−=

−Δ

Δ+Δ−Δ−=

=−Δ

−Δ++Δ−+Δ−Δ−Δ=

222

22112

SSSRL

−Δ=

La circumferència definida per LC i LR s’anomena cercle d’estabilitat a l’entrada. Com que el cercle unitat del pla complex de LΓ és la carta d’Smith, podem dibuixar-lo sobre aquesta:

197

RLCL

Re[ ]ΓL

Im[ ]ΓL

1 (j)

-1 (-j)

1-1

Carta d’Smithd’impedàncies ΓLA

Cercle d’estabilitat a l’entradaΓ Γ ΓL I L / | ( )| = 1

Punts matemàticament correctes, però sense sentit físic

Fig. 171. Cercle d’estabilitat a l’entrada.

Per a saber quina és la “zona estable”, és a dir, el conjunt de LΓ que donen estabilitat a l’entrada, provem un punt a l’atzar, per exemple LAΓ :

ΓLA

| | = 1ΓI

Fig. 172. Zones d’estabilitat definides pel cercle d’estabilitat a l’entrada.

El que hi ha fora de la carta d’Smith no ens interessa, perquè té 1L >Γ i no té sentit físic.

1. Si 1)( <ΓΓ LAI → Estable. Tots els punts al seu voltant fins arribar a la frontera o al límit de la carta d’Smith seran estables.

Zona estable

Zona inestable

198

2. Si 1)( >ΓΓ LAI → Inestable. Tots els punts al seu voltant fins arribar al

cercle d’estabilitat o al límit de la carta d’Smith seran no estables.

Zona inestable

Zona estable

Per tant, l’únic que hem de fer per a comprovar l’estabilitat a l’entrada és escollir un

LAΓ tal que 1 ≠ΓI . Si 1 <ΓI , la zona on es troba serà la zona estable. Sinó, ho serà la zona complementària. El valor LAΓ de més senzill que podem escollir és )( 0 0ZZ LALA ==Γ :

1122

211211 1

)0( SSSSS

LA

LALAI =

Γ−Γ

+==ΓΓ

Regla:

• Si 111 <S → 1)0( <=ΓΓ LAI , el centre de la carta d’Smith està a la zona

estable per a valors de LΓ (estabilitat a l’entrada).

• Si 111 >S → 1)0( >=ΓΓ LAI , el centre de la carta d’Smith està a la zona

inestable per a valors de LΓ (estabilitat a l’entrada).

Estabilitat a la sortida

Volem trobar tots els gΓ amb sentit físic ( 1≤Γg ) tals que 1)(0 <ΓΓ g . En comptes

d’aquest conjunt de valors, trobarem la seva frontera a 1)(/ 0 =ΓΓΓ gg . De forma anàloga al cas d’estabilitat a l’entrada, es demostra que el lloc geomètric de tots els 1)(/ 0 =ΓΓΓ gg es troba en una circumferència en el pla complex de gΓ amb centre i radi:

211

2

*11

*22

SSSCg

−Δ

−Δ= 2

112

2112

SSSRg

−Δ=

199

La circumferència definida per gC i gR s’anomena cercle d’estabilitat a la sortida.

Com que el cercle unitat del pla complex de gΓ correspon a la carta d’Smith, podem dibuixar-lo sobre aquesta:

Rg Cg

Re[ ]Γg

Im[ ]Γg

1 (j)

-1 (-j)

1-1

Carta d’Smithd’impedàncies

Cercle d’estabilitat a la sortidaΓ Γ Γg 0 g / | ( )| = 1

Fig. 173. Cercle d’estabilitat a la sortida.

Per a saber quina és la “zona estable”, es a dir, el conjunt de gΓ que donen estabilitat

a la sortida, provem un punt a l’atzar, per exemple gAΓ :

| | = 1Γ0

ΓgA

Fig. 174. Zones d’estabilitat definides pel cercle d’estabilitat a la sortida.

El que hi ha fora de la carta d’Smith no ens interessa, perquè té 1>Γg i no té sentit físic.

1. Si 1)(0 <ΓΓ gA → Estable. Tots els punts al seu voltant fins arribar a la frontera o al límit de la carta d’Smith seran estables.

Zona estable

Zona inestable

200

2. Si 1)(0 >ΓΓ gA → Inestable. Tots els punts al seu voltant fins arribar al cercle d’estabilitat o al límit de la carta d’Smith seran no estables.

Zona inestable

Zona estable

Per tant, per deduir quina és la zona estable, escollirem un gAΓ tal que 1 0 ≠Γ . Si

1)(0 <ΓΓ gA , la zona on es troba serà la zona estable. Si no, ho serà la zona complementària. El valor més senzill de gAΓ més senzill que podem escollir és )( 0 0ZZ gAgA ==Γ :

2211

2112220 1

)0( SSSS

SgA

gAgA =

Γ−

Γ+==ΓΓ

Regla:

• Si 122 <S → 1)0( gA0 <=ΓΓ , el centre de la carta d’Smith està a la zona

estable per a valors de gΓ (estabilitat a la sortida).

• Si 122 >S → 1)0( gA0 >=ΓΓ , el centre de la carta d’Smith està a la zona

inestable per a valors de gΓ (estabilitat a la sortida).

Elecció de gΓ i LΓ

Perquè el quadripol sigui estable hem d’escollir un gΓ a la seva zona d’estabilitat i un

LΓ a la seva zona d’estabilitat, per exemple:

201

Γ Γ Γg 0 g

22

/| ( )| = 1|S | < 1

ΓL

Γg

Γg

ΓL

Γg

ΓL

Γ Γ ΓL I L

11

/| ( )| = 1|S | < 1

Valor vàlid (perquè la zona només no és vàlida per a )ΓL

Valor no vàlid

Valor vàlid (perquè la zona només no és vàlida per a )Γg

Valor no vàlid

Valor vàlidValor vàlid

Zona no estable per a ΓL

Zona no estable per a Γg

Fig. 175. Elecció de coeficients de reflexió de generador i càrrega.

Per a les zones no estables no podem assegurar res a priori. Pot haver-hi valors de

gΓ i LΓ que conjuntament facin el sistema estable. No ens preocuparem d’aquests valors. Fent 1 I <Γ , 1 0 <Γ aconseguim un disseny de LΓ independent de gΓ i a l’inrevés. En les zones no estables, això ja no seria cert ⇒ Més complicat i major perill d’inestabilitat.

5.3.3. Estabilitat incondicional Analitzem les dues situacions següents:

202

ΓL I / | | = 1ΓΓg 0 / | | = 1Γ

Incondicionalment estable si |S |, |S | < 111 22

Fig. 176. Cercles d’estabilitat fora de la carta d’Smith.

ΓL i / | | = 1Γ

Γg 0 / | | = 1Γ

Incondicionalment estable si |S |, |S | < 111 22

Fig. 177. Cercles d’estabilitat que no creuen la carta d’Smith.

En ambdós casos ( 1S11 < i 1S22 < i cercles d’estabilitat que no tallen la carta

d’Smith), tota la carta d’Smith serà estable per a gΓ i LΓ . És a dir, el sistema és incondicionalment estable. Si no es dóna una situació com les anteriors (els cercles d’estabilitat tallen la carta d’Smith definint-hi una zona estable i una zona no estable, o

1S11 > , o 1S22 > ) el sistema serà potencialment inestable (o no estable). Dibuixar els cercles d’estabilitat és innecessari (i pot ser complicat si tenen radis molt grans o centres molt allunyats de la carta d’Smith) si el nostre circuit és incondicionalment estable, ja que en aquest cas no podrem distingir entre valors “bons i dolents” perquè tots són “bons”. Fóra molt útil tenir un factor, un indicador que ens digués quan un transistor és incondicionalment estable i quan no. Només quan no fos incondicionalment estable ens hauríem de prendre la feina de dibuixar els cercles.

203

Factor d’estabilitat (K)

Sistema incondicionalment estable

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>Δ+−−

=

<−=Δ

<

<

⇔

12

1

1

1

1

2112

2222

211

21122211

22

11

SSSS

K

iSSSS

iS

iS

Si no volem aplicar el factor d’estabilitat també podem comprovar si un sistema és incondicionalment estable a partir de criteris geomètrics:

Sistema incondicionalment estable ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

>−⇔

1

1

gg

LL

RC

RC

Valors de K:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−=Γ−=Γ=

><<Δ

inestableent potencialm

tscurtcircui utilitzem no si estable

establenalment incondicio

1)1,1( 1

1 1 , ,1 2211 SLSS

Estabilitat en circuits estrictament unilaterals

Un circuit estrictament unilateral és aquell que té el paràmetre 0S12 = .

Γg

ΓL

[S]

S = 012

Fig. 178. Quadripol estrictament unilateral.

En aquest cas:

2211

2112220

1122

211211

1

1

SSSS

S

SSSSS

g

g

L

LI

=Γ−

Γ+=Γ

=Γ−Γ

+=Γ

204

Si 111 <S i 122 <S , llavors LLI S Γ∀<=ΓΓ 1)( 11 i gg S Γ∀<=ΓΓ 1)( 220 . Per tant, el transistor serà incondicionalment estable. Un circuit estrictament unilateral no es dóna usualment a la realitat. Ara bé, té interès com a cas límit d’una situació que sí que és realista a un transistor: 0S12 → . En general, si 1S11 < i 1S22 < , com més tendeixi 0S12 → , més tendència tindrà el quadripol a ser incondicionalment estable.

5.3.4. Estabilització de transistors Si un transistor (o en general qualsevol quadripol) és potencialment inestable podem mirar d’estabilitzar-lo (fer-lo incondicionalment estable o, si més no, augmentar les seves zones estables) afegint-hi elements resistius als seus ports d’entrada o de sortida:

RR

R R

S S

S S

S’ S’

S’S’ Fig. 179. Configuracions de transistors estabilitzats.

Aquests elements resistius tendeixen a absorbir part de la potència als ports del transistor i, per tant, a dificultar que el transistor pugui posar-se a oscil·lar. Per tant, tendeixen a augmentar l’estabilitat del quadripol resultant. És evident, però, que com que un element resistiu dissipa potència, aquesta resistència afectarà en general negativament al guany de potència del conjunt (S’). Veurem també quan analitzem el soroll en un quadripol que els resistors (que són elements sorollosos) a l’entrada del transistor empitjoraran el factor de soroll del conjunt.

205

SESSIÓ 21 Nom: Definicions de guany i guany en transistors/amplificadors Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS Els objectius d’aquesta sessió són introduir tota una sèrie de definicions de diversos tipus de guanys de potència utilitzats per a caracteritzar i dissenyar amplificadors.

CONTINGUTS En aquesta sessió s’introduiran tota una sèrie de definicions de diversos tipus de guanys de potència utilitzats per a caracteritzar i dissenyar amplificadors: guany de potència, guany de transferència de potència, guany disponible d’un generador, etc. També es veurà com es relacionen el guany en un transistor i el guany en l’amplificador total.

5.4. Guany en quadripols

5.4.1. Definicions de guany

Situació

Γg

ΓL

Γ0, ΓOUTΓI , ΓIN

(P )av,g

a1

b1PI

a2

b2PL

(P )av,N Fig. 180. Paràmetres per a la definició de guanys en un quadripol.

=IP Potència neta que el generador entrega al quadripol.

206

21

21 2

121 baPI −=

=LP Potència neta que el quadripol entrega a la càrrega.

22

22 2

121 abPL −=

=g,avP Potència disponible del generador. Màxima potència neta que pot entregar el

generador. És a dir, potència neta que entrega a la seva càrrega conjugada.

Γg

Γg*

Pav,g

a

b

22

g,av b21a

21P −=

Fig. 181. Potència disponible del generador.

=N,avP Potència disponible de la xarxa. Potència neta màxima que el conjunt generador – xarxa pot entregar a la càrrega (sense tocar el coeficient de reflexió del generador gΓ ), que serà la seva complexa conjugada.

Γ0

Γ0*Pav,N

Equivalent de Thevenin de generador + quadripol

Equivalent de Thevenin de generador + quadripol

Γg

ΓO, ΓOUT

ΓO

Fig. 182. Potència disponible de la xarxa.

Guany de potència d’un quadripol (G o GP)

)(1

1

11

222

22

212 LL

L

II

LP f

SS

PPGG Γ=

Γ−

Γ−

Γ−===

207

Problema Analitzem ara què passa si l’entrada està desadaptada:

Γg

ΓLa1

b1

PI PLGP

Fig. 183. Potència de sortida en un quadripol caracteritzat amb GP.

)1(21

21 2

12

12

1 IPPIPL PGbaGPGP Γ−⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⋅= +

Encara que PG sigui gran, si tenim desadaptacions a l’entrada, IΓ serà gran i, per

tant, podem tenir nivells de potències de sortida LP petits, fins i tot més que g,avP (potència que podríem subministrar a la càrrega amb una simple adaptació d’impedàncies ben feta entre generador i càrrega, sense necessitat del quadripol amplificador). Per tant PG no és una definició de guany gaire bona. Ens cal, per a anar bé, una definició de guany que tingui en compte el que acabem de comentar:

Guany de transferència de potència (GT)

gav

LT P

PG,

=

Aquesta definició té en compte si estem aprofitant g,avP . Si ho fem, LP s’incrementa i

per tant TG també s’incrementa. Si no ho fem, LP baixarà i llavors TG també baixarà.

( ) ( )),(

)1)(1(

1 12

21122211

2221

2

Lg

LgLg

LgT f

SSSS

SG ΓΓ=

ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−=

208

Guany de potència disponible (GA)

g,av

N,avA P

PG =

on LZZ

Nav PPOUTL

OL*

*,=Γ=Γ=

AG és el màxim TG que podem aconseguir sense tocar el generador, només la

càrrega ( IΓ no té per què ser igual a *gΓ ).

)(f1

1SS1

1G g2

0

2212

g11

2

gA Γ=

Γ−Γ−

Γ−=

Màxim guany disponible (MAG)

MAXTGMAG = Quan aconseguim MAG?

Γg

ΓL

Γ0=ΓL*ΓI=Γg

*

[S]

Fig. 184. Adaptació conjugada a un quadripol.

Cal que el generador entregui la màxima potència possible al quadripol )( *Ig Γ=Γ , i

que el quadripol entregui la màxima potència a la càrrega )( *OL Γ=Γ . D’aquesta

manera el quadripol amplifica la màxima potència possible i l’entrega de la manera més eficient possible a la càrrega: no podem fer res millor. Si trobem aquests valors de gΓ i LΓ que ens asseguren que tenim MAG:

209

*11222

*22111

2211

2222

2222

2111

2

22

222

1

21

211

*0

*

11

24

24

)(

)(

SSCSSC

SSBSSB

CCBB

CCBB

L

g

gL

LIg

Δ−=Δ−=

Δ−−+=

Δ−−+=

−±=Γ

−±=Γ

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

ΓΓ=Γ

ΓΓ=Γ

En aquesta situació es compleix que PAT GGGMAG === . Per a sistemes potencialment inestables, gΓ i LΓ poden ser a les zones no estables o

tenir 1>Γ . Per al cas que el sistema sigui incondicionalment estable:

( )12

12

21 −−= KKSS

MAG

Màxim guany estable (MSG)

12

211K S

SMAGMSG ==

=

No és un guany físic, si no que es tracta d’un factor de mèrit. Sol donar-se en comptes de MAG quan el quadripol és potencialment inestable.

Guany de transferència unilateral (GTU)

Un quadripol és unilateral quan, a efectes de guany de transferència i adaptacions d’impedàncies, podem menysprear 2112SS (podem suposar només en els càlculs de guany i xarxes d’adaptació que 1|| 2112 <<SS ). Aquesta hipòtesi no l’hem d’aplicar mai en raonaments d’estabilitat, a menys que el quadripol sigui estrictament unilateral ( 012 ≡S ).

210

( ) ( )

( ) ( )2

22

22

212

11

2

2

2211

2221

2

1||

2

21122211

2221

2

1||

1

1

1

1

)1)(1(

1 1

)1)(1(

1 1

2112

2112

L

L

g

g

Lg

Lg

SSunilateralquadripolLgLg

Lg

SSunilateralquadripolTTU

SS

SSS

S

SSSS

SGG

Γ−

Γ−⋅⋅

Γ−

Γ−=

Γ−Γ−

Γ−Γ−=

=ΓΓ−Γ−Γ−

Γ−Γ−==

<<

<<

{4342143421)(

222

22

21

)(

2

11

2

1

1

1

1

0

LLgSG

L

L

G

G

g

gTU

SS

SG

ΓΓ

Γ−

Γ−⋅⋅

Γ−

Γ−=

=SG Guany per adaptació a l’entrada )( gf Γ=

=0G Guany intrínsec =LG Guany per adaptació a la sortida )( Lf Γ=

Criteris per a la unilateralitat

1. (Rigorós). Podem suposar unilateralitat quan la diferència entre TG i TUG sigui petita, és a dir, quan treballar amb TUG no signifiqui una pèrdua de precisió important. Es demostra:

unilateralmèrit deFactor )1)(1(

)1(1

)1(1

222

211

22112112

22

→−−

=

−<<

+

SS

SSSSU

UGG

U TU

T

2. (Lax). Suposem unilateralitat quan 1SS 2112 << . Aquest és el criteri d’unilateralitat que aplicarem durant el curs. Cal que tinguem present que aquest criteri d’unilateralitat el podrem aplicar a la fórmula de TG i a les fórmules de IΓ i 0Γ (cosa que és equivalent a fer 0S12 ≈ a aquestes fórmules), però que mai, basant-nos en aquest criteri, no podrem aproximar 0S12 ≡ en raonaments d’estabilitat.

211

Guany de transferència unilateral màxim ( TUMAXG )

0||

2112 ≅==

SSunilateralquadripol

MAXTUTUMAX MAGGG

Quan aconseguirem TUMAXG ?

Γg

ΓLQuadripolunilateral

| S |<<012S ·12

Γ =ΓΟ L*ΓΙ=Γg

*

Fig. 185. Condicions d’adaptació en un quadripol unilateral.

2211

2112220

1122

211211

1

1

SSSS

S

SSSSS

g

g

L

LI

≅Γ−

Γ+=Γ

≅Γ−Γ

+=Γ

Maximitzarem TUG quan entreguem màxima potència de generador a quadripol i de quadripol a càrrega. Per tant, caldran condicions d’adaptació conjugada per a generador i càrrega:

*22

*0

*11

*

S

S

L

Ig

=Γ=Γ

=Γ=Γ

Aquestes són expressions molt més senzilles que si no podem fer la hipòtesi d’unilateralitat.

{

11

11

1

1

1

1

1

1

1

1),(

222

2212

1122

22

2222

212211

211

2*2222

2*222

212*1111

2*11*

22*

11

0 4342143421LMAXSMAX G

G

G

LgTUTUMAX

SS

SS

SS

S

S

SS

SS

SS

SSSGG

−⋅⋅

−=

−

−⋅⋅

−

−=

=−

−⋅⋅

−

−==Γ=Γ=

{

11

11

222

2212

11 0 4342143421LMAXSMAX G

G

G

TUMAXS

SS

G−

⋅⋅−

=

212

=SMAXG Guany per adaptació a l’entrada màxim. =LMAXG Guany per adaptació a la sortida màxim.

5.4.2. Relació entre guany en un transistor i en un amplificador Per a fer un amplificador:

ΓgR

ΓLRA1 A2TRT

Γg ΓL

PIN PLPLRPav, gR

PINR

Thevenin

Γg

Pav, g

GPTRTGTTRT

GPAMPGTAMP

Fig. 186. Guanys en un transistor i en un amplificador.

A l’etapa de disseny, trobem gΓ i LΓ perquè el transistor presenti un guany adient

PTRTG i TTRTG . A l’etapa de síntesi, dissenyem A1 i A2 (són xarxes passives, recíproques i sense pèrdues) perquè el transistor vegi gΓ i LΓ en comptes de gRΓ i

LRΓ . Pregunta: Quin és el guany de l’amplificador total ( TAMPPAMP GG , )? Com que les xarxes A1 i A2 són passives i sense pèrdues, tota la potència que netament absorbeixen per un port l’han de treure per l’altre, perquè no poden quedar-se-la (no estaríem en RPS) ni amplificar-la (ja que les xarxes són passives), ni dissipar-la (són sense pèrdues).

LLR

ININR

PPPP

==

213

La potència disponible del conjunt generador (real) i A1:

ΓgR

A1Pav, gR

Γg

Pav, g><

Fig. 187. Equivalent de Thevenin de generador real i xarxa d’adaptació.

segur que no pot ser major que la del generador real: ΓgR

Pav, gR

Fig. 188. Generador real de l’amplificador.

perquè l’ha de treure del real, que com a molt pot donar gR,avΓ

Rgavgav PP ,, ≤ De fet, es pot demostrar que són iguals:

Rgavgav PP ,, =

Per tant:

TRT

R

R

AMP Tg,av

L

g,av

LT G

PP

PP

G ===

TRT

R

R

AMP PIN

L

IN

LP G

PP

PP

G ===

Les xarxes A1 i A2 no modifiquen les característiques de guany.

215

SESSIÓ 22 Nom: Cercles de guany Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS En aquesta sessió aprendrem com podem plasmar gràficament la informació que ens donen els diversos guanys definits a la sessió anterior.

CONTINGUTS Veurem els cercles de guany constant, de guany disponible constant, i de guany constant per adaptació a l’entrada i a la sortida.

5.4.3. Cercles de guany constant per adaptació a l’entrada/sortida Suposem un quadripol unilateral, això implicarà que IΓ no depèn de la sortida i viceversa, OΓ no dependrà de l’entrada, gΓ :

Γg

ΓL[S]

S 012

Fig. 189. Quadripol unilateral.

4342143421)(

222

22

21

)(

2

11

2

1

1

1

1

LLgSG

L

L

G

g

gTU

SS

SG

ΓΓ

Γ−

Γ−

Γ−

Γ−=

216

Coneixent gΓ , coneixem )( gSG Γ . Coneixent LΓ , coneixem )( LLG Γ . Podem fer el pas

contrari (coneixent SMAXS GG ≤ , podem conèixer gΓ , i coneixent LMAXL GG ≤ , podem

conèixer LΓ )? Es demostra que:

1. El lloc geomètric de tots els SMAXSOgSg GGG ≤=ΓΓ )(/ és una circumferència

de centre SC i radi SR , anomenada cercle de guany constant per adaptació a l’entrada.

211SO

*11SO

SSG1SGC

+

⋅=

*11

*11 ),()( SCSC

MAXSSO GGSS =∠=∠=

211SO

211SO

SSG1

)S1(G1R

+

−−= 0 =

= MAXSSO GGSR

Aquests cercles podem dibuixar-los al pla complex de gΓ (i per tant a la carta d’Smith).

Els diversos cercles que dibuixem ens donaran una representació “topogràfica” de SG en funció de gΓ (és a dir, cada cercle representarà el conjunt de gΓ ’s que tenen el

mateix SG ), tal com es mostra a la figura següent:

Re[ ]Γg

j

1

S11*

GSMAX

GS1GS2

GS3=1

^^

^

Tots els centres són sobre aquesta recta.

Im[ ]Γg

-1 (-j)

-1

perquè G ( = 0) = 1S g Γ

Fig. 190. Cercles de guany constant per adaptació a l’entrada.

2. El lloc geomètric de tots els LMAXLOLLL GGG ≤=ΓΓ )(/ , és una circumferència de centre LC i radi LR , anomenada cercle de guany constant, per adaptació a la sortida.

217

222LO

*22LO

LSG1SGC

+

⋅= *

22*22 ),()( SCSC

MAXLLO GGLL =∠=∠=

222LO

222LO

LSG1

)S1(G1R

+

−−= 0 =

= MAXLLO GGLR

De manera anàloga al cas anterior, aquests cercles podem dibuixar-los al pla complex de LΓ (i per tant a la carta d’Smith), obtenint una representació “topogràfica” de LG en funció de LΓ (és a dir, cada cercle representarà el conjunt de LΓ ’s que tenen el mateix

LG ):

Re[ ]ΓL

j

1

S22*

GLMAX

GL1

GL2

G =1L3

Tots els centres són sobre aquesta recta.

Im[ ]ΓL

-1 (-j)

-1

perquè G ( = 0) = 1L L Γ

^^

^ΓL = 0

Fig. 191. Cercles de guany constant per adaptació a la sortida.

5.4.4. Cercles de guany (de potència) PG constant

Γg

ΓL[S]

ΓI

PI PL

Fig. 192. Paràmetres per al càlcul del guany de potència.

Si no es compleix que 12112 <<SS (el quadripol no és unilateral), no podem utilitzar

),(G LgT ΓΓ de forma fàcil perquè té dependències simultànies de gΓ i LΓ

218

( IΓ dependrà de LΓ , i IΓ de l’entrada gΓ ). Podem utilitzar alternativament PG . En

aquest cas, el paràmetre de disseny serà LΓ (Pel fet de treballar amb PG , farem després (si es pot) que )(*

LIg ΓΓ=Γ ). :

)(1

1

11

222

22

212 L

L

L

I

P fS

SG Γ=Γ−

Γ−⋅⋅

Γ−=

Donat LΓ , és fàcil calcular )( LPG Γ . Podem fer el procés invers? La resposta és afirmativa: el lloc geomètric de tots els LΓ tals que POLP GG =Γ )( és una circumferència de centre PC i el radi PR , anomenada cercle de guany (de potència) constant:

( )2222

*2

1 Δ−+

⋅=

SgCgC

P

PP )( *

2CCP ∠=∠

( ) 1

2122

22

2212211221

Δ−+

+−=

Sg

gSSgSSKR

P

PPP

testabilitadfactorKSSSS

SSCSG

g POP

' ,

21122211

*112222

21

=−=Δ

Δ−==

Tots els cercles tenen centre sobre la recta que passa per 0 i *

2C . Podem dibuixar aquests cercles al pla complex, a la carta d’Smith. Cal distingir dos casos:

Cas 1. Quadripol incondicionalment estable

En aquest cas, ( )12

12

21 −−⋅==∃ KKSS

MAGGMAXP :

(veure figura més avall)

219

Re[ ]ΓL

j

1

MAGGSMAX

GP1GP2

GP3

^^

^

Im[ ]ΓL

-1 (-j)

-1

Fig. 193. Cercles de guany de potència constant per a un quadripol incondicionalment

estable.

Una possible metodologia de disseny fóra:

1. Escollim un valor adequat de LΓ per a PG i facilitat d’adaptació (que sigui

fàcil sintetitzar la xarxa A2, per a obtenir LO Γ=Γ * ):

A2 ΓLR

ΓL Fig. 194. Coeficient de reflexió de sortida de l’amplificador.

Com més allunyats estiguin els valors de LΓ i LRΓ a la carta d’Smith, més difícil de realitzar físicament serà la xarxa A2, i tindrà menys ample de banda.

2. Si podem, per consideracions de facilitat d’adaptació i soroll, escollim:

⇒=⇒ΓΓ=Γ gavILIg PP ,* )( T

gav

L

I

LP G

PP

PPG ===

,

3. Si no, ...

220

Cas 2. Quadripol potencialment inestable

PG pot valer infinit: a mesura que LΓ s’acosta al cercle d’estabilitat a l’entrada ( 1)(/ =ΓΓΓ LIL ):

∞→Γ−

Γ−⋅⋅

Γ−=⇔∞→

Γ−⇔→ΓΓ 2

22

22

2122 1

1

11

111)(

L

L

I

P

I

LIS

SG

Els cercles de PG constant prendran formes:

Re[ ]ΓL

j

1

GP2

GP3

^

Im[ ]ΓL

-1 (-j)

-1

GP1

^Zona no estable

ΓL / |Γ ΓI L( )| = 1 També és el cercle de guany constant per a G = P

|S |<111

Fig. 195. Cercles de guany de potència constant per a un transistor potencialment

inestable.

Quan el cercle d’estabilitat a l’entrada talla la carta d’Smith, tots els cercles de PG constant també la tallen en els mateixos punts. I just aquest cercle d’estabilitat també representa el cercle de guany ∞=PG .

221

Re[ ]ΓL

j

1

Im[ ]ΓL

-1 (-j)

-1

|S |<111

ΓL / |Γ ΓI L( )| = 1 També és el cercle de guany constant per a G = P

Gp1

Gp2Gp3

>>

Fig. 196. Cercles de guany de potència constant per a un transistor potencialment

inestable.

Quan el cercle d’estabilitat no talla la carta d’Smith, els cercles de PG constant tendeixen al cercle d’estabilitat a mesura que ∞→PG . És a dir, els cercles de PG estan inscrits dins del cercle d’estabilitat. A l’hora de dissenyar haurem d’exigir a més a més que LΓ estigui a la zona estable i no massa proper al cercle d’estabilitat a l’entrada (per a evitar que toleràncies de construcció no el moguin a la zona no estable) ⇒ usualment escollim MSGGP < com a criteri empíric de disseny. També haurem de vigilar que gΓ l’escollim a la zona estable (mirant el cercle d’estabilitat a la sortida).

5.4.5. Cercles de guany disponible ( AG ) constant

Γg

ΓL[S]

ΓO

PI PL

Pav,N

Pav,g

Fig. 197. Paràmetres rellevants per al càlcul de GA.

Igual que a l’apartat anterior, si no es compleix que 12112 <<SS (el quadripol no és

unilateral), no podem utilitzar ),( LgTG ΓΓ de forma fàcil perquè té dependències

222

simultànies de gΓ i LΓ ( IΓ dependrà de LΓ , i IΓ de l’entrada gΓ ). Podem utilitzar

alternativament AG . En aquest cas, el paràmetre de disseny serà gΓ (Pel fet de

treballar amb AG , farem després (si es pot) que )(*gOL ΓΓ=Γ ).

22

212

11

2

*

,

,

11

1

1))(()(

Og

ggOLTg

gav

NavA S

SGf

PP

GΓ−

⋅⋅Γ−

Γ−=ΓΓ=Γ=Γ==

Donat gΓ , és fàcil calcular )( gAG Γ . Podem fer el procés invers? La resposta és

afirmativa un altre cop: el lloc geomètric de tots els gΓ tals que AOgA GG =Γ )( és una

circumferència de centre AC i el radi AR , anomenada cercle de guany disponible constant:

( )2211

*1

1 Δ−+

⋅=

SgCgC

A

AA )( *

1CCA ∠=∠

( ) S g1

gSSgSSK21R

2211A

2A

21221A1221

AΔ−+

+−=

testabilitadfactorKSSSS

SSCSG

g AOA

' ,

21122211

*221112

21

=−=Δ

Δ−==

Tots els cercles tenen centre sobre la recta que passa per 0 i *

1C . Podem dibuixar aquests cercles en el pla complex, a la carta d’Smith. Cal distingir dos casos:

Cas 1. Quadripol incondicionalment estable

En aquest cas, ( )12

12

21 −−⋅==∃ KKSS

MAGGMAXA :

223

Re[ ]Γg

j

1

MAGGA1

GA2

GA3

^^

Im[ ]Γg

-1 (-j)

-1

Fig. 198. Cercles de guany disponible per a un transistor incondicionalment estable.

Una possible metodologia de disseny fóra:

1. Escollim un valor adequat de gΓ per a AG , soroll i facilitat d’adaptació.

2. Si podem, per consideracions de facilitat d’adaptació, escollim:

⇒=⇒ΓΓ=Γ NavLgL PP ,*0 )( T

gav

L

gav

NavA G

PP

PP

G ===,,

,

3. Si no...

Cas 2. Quadripol potencialment inestable

AG pot valer infinit a mesura que gΓ s’acosta al cercle d’estabilitat a la sortida

( 1)(/ =ΓΓΓ gOg ):

∞→Γ−

⋅⋅Γ−

Γ−=⇔∞→

Γ−⇔→ΓΓ 2

2212

11

2

2 11

1

1

111)(

Og

gA

OgO S

SG

224

Els cercles de AG constant prendran formes:

Re[ ]Γg

j

1

GA2

GA3

^

Im[ ]Γg

-1 (-j)

-1

GA1

^

Zona no estable

Γg / |Γ ΓO g( )| = 1 També és el cercle de guany constant per a G = A

|S |<122

Fig. 199. Cercles de guany disponible constant per a un transistor potencialment

inestable.

Quan el cercle d’estabilitat a l’entrada talla la carta d’Smith, tots els cercles de AG constant també la tallen en els mateixos punts. Just aquest cercle d’estabilitat també representa el cercle de guany ∞=AG .

Re[ ]Γg

j

1

Im[ ]Γg

-1 (-j)

-1

|S |<122

Γg / |Γ ΓO g( )| = 1 També és el cercle de guany constant per a G = A

GA1

GA2GA3

>>

Fig. 200. Cercles de guany disponible constant per a un transistor potencialment

inestable.

Quan el cercle d’estabilitat no talla la carta d’Smith, els cercles de AG constant tendeixen al d’estabilitat a mesura que ∞→AG . És a dir, els cercles de AG estan inscrits dins del cercle d’estabilitat.

225

A l’hora de dissenyar haurem d’exigir a més a més que gΓ estigui a la zona estable i no massa proper al cercle d’estabilitat de sortida (per a evitar que toleràncies de construcció no el moguin a la zona no estable). També haurem de vigilar que LΓ l’escollim a la zona estable.

227

SESSIÓ 23 Nom: Problema 5.7 Tipus: Problemes Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 2 hores Treball a lliurar: no

OBJECTIUS Aquest tema el dedicarem a realitzar problemes que consolidin els conceptes donats fins al moment.

CONTINGUTS En aquesta sessió realitzarem problemes sobre disseny d’amplificadors que conjuminin aspectes d’estabilitat i guany. En aquest problema veurem com podem aprofitar la informació que ens aporten cercles de guany i estabilitat per a realitzar dissenys d’amplificadors.

5.5. Problemes del Capítol 5 (i)

Problema

Es vol realitzar un amplificador de microones a 18 Ghz amb GTU=16dB seguint l’esquema micropista de la Fig. 239. Les característiques del transistor es troben a la Fig. 240.

mm78.24

mm60.22

mm42.31

32.12

44.11º4079.0º11154.1º45073.0º6394.0

===

==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⟨−⟨⟨⟨−=

l

l

l

efefS

εε

Fig. 201. Esquema d’un amplificador a 18 GHz.

228

Calculeu el valor d’λ3 i discutiu l’estabilitat del sistema. Pot funcionar de manera estable?

Fig. 202. Característiques del transistor del problema 5.7.

229

SESSIÓ 24 Nom: soroll en quadripols Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 2 hores Treball a lliurar: no Material:


OBJECTIUS L’objectiu d’aquesta sessió es descriure el comportament d’un quadripol pel que fa a soroll.

CONTINGUTS En aquesta sessió veurem com podem caracteritzar el comportament de soroll d’un quadripol, i com podem expressar la informació obtinguda de manera gràfica a partir de cercles de soroll constant. Finalment veurem quina relació hi ha entre el soroll que genera un transistor i el que genera l’amplificador total.

5.6. Soroll en transistors de microones

5.6.1. Tipus de sorolls 1) Tèrmic. Degut al moviment aleatori de càrregues elèctriques que es troben a

temperatures superiors als 0ºK. És proporcional a la temperatura.

2) Shot. Ja que la càrrega elèctrica és quantificada (arriba en quantitats diferents en instants de temps de temps diferents). in(t) és un corrent fluctuant de mitjana a zero (procés de Poisson aproximable a exponencial atès que el nombre de càrregues és molt gran).

)(tiIi n+=

1. Generació - Recombinació. Present en tots els semiconductors.

2. Allau. Present als díodes d’allau.

230

5.6.2. Factor de soroll Suposem un transistor sorollós entre un generador i una càrrega.

Γg

ΓLTRT

sorollós

Fig. 203. Transistor sorollós entre generador i càrrega.

Si fem l’equivalent de Thevenin del transistor sorollós (G és el seu guany de potència, Ni és la potència neta de soroll d’entrada, Si és la potència neta de senyal d’entrada, No és la potència neta de soroll de sortida i So és la potència de senyal de sortida):

Γg

ΓL

TRTno

sorollós

+Vn

In

Ni No

Si So

G Fig. 204. Model equivalent per a un transistor sorollós.

Definim el factor de soroll del quadripol com la relació entre el soroll que hi ha a la sortida del quadripol sorollós i el soroll que hi hauria a la sortida del mateix quadripol si no fos sorollós (que fóra el de l’entrada amplificat pel guany de potència), quan la temperatura equivalent de soroll del generador és de 290ºK. Alternativament el podem definir com la degradació que experimenta la relació senyal soroll entre l’entrada i la sortida del quadripol (amb les mateixes condicions de generador que a la definició precedent):

Kº290TTo

i

Kº290TTo

o

i

i

Kº290TTi

o

0eqGEN

0eqGEN

0eqGENSNRSNR

NS

GNGS

GNNF

==

==

==

===

Es demostra que:

[ ]20gg

20gg

g

nmin )BB()GG(

GRFF −+−+=

231

0

1TT

F eq+=

on:

minF : Factor de soroll mínim

nR : Resistència de soroll. No té sentit físic. Difícil de mesurar.

00 gg jBG + : Admitància de generador òptima 0gY (aquella que fa que minFF = ).

gg jBG + : Admitància de generador gY . Per tant, el factor de soroll F del transistor depèn del valor de l’admitància equivalent del generador gY i no depèn del valor de l’admitància equivalent de la càrrega LY .

5.6.3. Cercles de soroll constant

Γg

TRT

F = f ( )Γg Fig. 205. Paràmetres rellevants per al factor de soroll del transistor.

A partir de la fórmula per al factor de soroll F de l’apartat anterior, donat un valor de gΓ és trivial calcular el valor d’ F . També pot fer-se el procés invers: donat un

determinat valor de factor de soroll 0F , es poden trobar tots els valors de gΓ que fan

que 0)( FfF g =Γ= . Això ens serà útil quan no vulguem dissenyar per a soroll mínim sinó en combinació amb guany i estabilitat. Per a fer-ho, primerament, transformem l’expressió d’ F en una de més útil:

2

0

2

020

2

0

020

0

000

02

02

02

0

114

11

11

1111

)()(

gg

gg

g

g

g

g

g

gg

g

gg

gggggg

YY

YY

YYYYBBGG

Γ+Γ+

Γ−Γ==

Γ+

Γ−−

Γ+

Γ−=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

Γ+

Γ−=

Γ+

Γ−=

=+=−+−

L

232

2

2

0*

*0

0*

1

1

11

11

211

)(21

g

g

g

g

g

g

g

ggggg Y

YYYYYG

Γ+

Γ−==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Γ+

Γ−+

Γ+

Γ−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Γ+

Γ−==+= L

Substituint:

( ) ( ) 2

0

2

2

0min

02

0

2

2

0

0min

1 14

1 14

gg

ggn

nn

gg

ggn RFZR

RZR

FFΓ+Γ−

Γ−Γ+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==Γ+Γ−

Γ−Γ+=

A partir d’aquesta fórmula trobarem ara els Cg ∈Γ tals que obtenim un valor

determinat de 0)( FfF g =Γ= . Operant:

( ) ( ) NRFF

RFF

g

ggg

ngg

gg

n

=Γ−

Γ−Γ=Γ+

−→

Γ+Γ−

Γ−Γ=

−2

2

02

0min0

2

0

2

2

0min0

11

41 14

N és una constant que depèn dels 4 paràmetres de soroll:

( ) NRFF

Ng

ggg

n

=Γ−

Γ−Γ⇒Γ+

−= 2

2

02

0min0

11

4

Reescrivint:

0111

)()(

2

0*

0*02

22

0*

0*

0

2

2*0

*0

22

0

=+

−Γ+Γ

+

Γ−Γ

+

Γ−Γ

Γ−=Γ+ΓΓ−ΓΓ−Γ

Γ−=Γ−ΓΓ−Γ

Γ−=Γ−Γ

N

N

NN

NN

NN

NN

gg

gg

gg

ggggggg

ggggg

ggg

Aquesta és la equació d’una circumferència en el pla complex (tal com ja s’ha vist en parlar d’estabilitat), que anomenarem cercle de soroll constant, i que podem dibuixar a una carta d’Smith.

022**222=−+Γ−Γ−Γ⇔=−Γ NNgNgNgNNg RCCCRC

233

Igualant termes:

N1

C 0gN +

Γ= )()( 00

mingNgFFN CC Γ∠=∠Γ=⇒

=

( )

2

2

02

2

22

0

2

0

2

0

2

0

2

2

02

)1(

)1(1)1(

N

NNN

N

NNN

N

N

NR

g

gggggN

+

Γ−+=

=+

−Γ+−Γ−Γ=

+

−Γ−

+

Γ=

( ))1(

12

0

N

NNR

gN +

Γ−+= 0

min=⇒

=FFNR

Exemple d’ús

Suposem la següent situació en un transistor unilateral:

F = 2 dB

F = 2.5 dB

Γg0

( F = 1’6 dB)S*

11

G = 1’7 dBS

G = 1’5 dBS

G = 1 dBS

Cercles d’estabilitat a la sortida, suposem |S | <122

Cercles de soroll constantCercles de guany constant per adaptació a l’entrada

Valor de disseny de Γg

Fig. 206. Cercles de soroll, estabilitat a la sortida i guany constant per adaptació a l’entrada dibuixants en una mateixa carta d’Smith per a un transistor unilateral.

234

El valor escollit de disseny de gΓ compleix: Estabilitat (tot i que és perillosament a prop de la zona no estable: per a un disseny més realista, menys idealitzat, escolliríem un punt més allunyat del cercle d’estabilitat per a evitar que toleràncies als paràmetres S del transistor o a les xarxes d’adaptació del transistor final desplacessin el cercle d’estabilitat o el valor de gΓ una miqueta i el punt passés a ser a la zona no estable).

1. SG proper al màxim ( SG = 1’7 dB): és el guany “més gran” per adaptació a l’entrada que podem aconseguir si volem que el resultat final sigui estable ( TUMAXG és a la zona no estable per a gΓ i per tant no el podem escollir).

2. Soroll moderat (F = 2 dB).

Podríem haver escollit 0gg Γ=Γ , i amb això obtindríem: Estabilitat.

1. Soroll mínim (F = 1’6 dB) 2. Guany per adaptació a l’entrada molt pobre (entre 0 i 1 dB)

En funció dels cercles, i segons les nostres necessitats, escollim el valor de gΓ que ens convé.

Nota:

Si no fos unilateral, un altre candidat de cercles de guany serien els de AG , ja que aquests depenen també de gΓ .

Altres criteris

És útil en general escollir, si és possible i la resta de criteris ho permeten, gΓ similar

(proper a la carta d’Smith) a gRΓ real del generador. D’aquesta manera la xarxa d’adaptació A1 resultant tindrà un ample de banda més gran que no limitarà (o ho farà menys) l’ample de banda de l’amplificador.

5.6.4. Factor de soroll de l’amplificador total

Durant la fase de disseny, escollim SΓ , LΓ escollits segons les nostres necessitats de: Estabilitat Guany Soroll

235

Γg

ΓLTRTPI PL

Fig. 207. Transistor entre generador i càrregues equivalents.

Ens podem preguntar quina relació hi ha entre el factor de soroll del transistor a la fase de disseny ( TRTF ) i el factor de soroll que tindrà l’amplificador total després de completar la fase de síntesi ( TRTF ):

ΓgR

ΓLRA1 A2TRT

Γg ΓL

F , GTOT TOT

Ai = Xarxes d’adaptació passives, recíproques i sense pèrdues.

PI PI PL PL

Fadapt1 FTRT Fadapt2

G = P /P = 1adapt1 I I G = P /PTRT L I G = P /P = 1adapt2 L L

Fig. 208. Transistor a l’amplificador total.

El soroll va associat a elements resistius o actius ⇒ en teoria una xarxa passiva i sense pèrdues no hauria d’introduir soroll ⇒ 1=

iadaptF . Per tant, aplicant la formula de Friis:

TRTTRTadapt

adapt

adapt

TRTadaptTOT F

GGF

GFFF =

⋅

−+

−+=

1

2

1

1

11

TRTadaptTRTadaptTOT GGGGG =⋅⋅=21

És a dir, el factor de soroll del transistor i de l’amplificador total coincideixen, i per tant, podem passar les especificacions de soroll de l’amplificador total a les del transistor per a realitzar la fase de disseny.

237

SESSIÓ 25 Nom: Sessió de problemes Tipus: Problemes Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 2 hores Treball a lliurar: no

OBJECTIUS En aquesta sessió realitzarem problemes sobre disseny d’amplificadors que conjuminin aspectes d’estabilitat, guany i soroll.

CONTINGUTS En aquesta sessió realitzarem dos problemes per veure algunes de les aplicacions dels conceptes estudiats fins ara.

5.7. Problemes del Capítol 5 (ii) En aquesta sessió realitzarem problemes sobre disseny d’amplificadors que conjuminin aspectes d’estabilitat, guany i soroll.

Problema 5.1

En aquest problema veurem com podem aprofitar la informació que ens aporten cercles de guany, estabilitat i soroll per a realitzar dissenys d’amplificadors. Es vol dissenyar un amplificador de microones (Fig. 247) a 8 Ghz amb un transistor de S21=2.24133º, que queda caracteritzat a partir dels seus cercles d'estabilitat, guany constant i soroll (donats en la Fig. 248).

Discutiu quines són les zones estables i les inestables per a Γg i ΓL en la carta d'Smith. Si es desitja que l'amplificador, en funcionament estable, presenti F≤ 2.5 dB i GTU�10 dB, trobeu els valors de Zg i ZL que compleixen aquestes condicions. Raoneu la resposta. Dimensioneu les xarxes de polarització per tal que l'amplificador funcioni correctament. Expliqueu com polaritzaríeu el transistor de tal manera que no afectés el funcionament del sistema en RF, ni el generador ni la càrrega.

238

Si el generador presenta una tensió Vg = 0.5 Vpp, quina és la tensió pic a pic en la càrrega?

Fig. 209. Amplificador a 8 GHz

239

Fig. 210. Característiques del transistor del problema

Problema 5.12

En aquest problema reflexionarem sobre alguns aspectes de connexionat d’amplificadors monolítics comercials als circuits que els han de suportar. L’amplificador monolític CHA2194 d’UMS (Fig. 249) està dissenyat per a treballar a la banda de 36 a 44 GHz. Els seus paràmetres S, mesurats en els ports del xip, són els que mostra la Fig. 252.

240

Fig. 211. Esquema intern de l’amplificador CHA2194.

A una freqüència central de 40 GHz, podem considerar l’amplificador com un dispositiu unilateral? És incondicionalment estable? Quin és el guany màxim que podem aconseguir?

Aquest amplificador s’ha de connectar a la resta del circuit (micropista) mitjançant petits filaments conductors anomenats bond wires (Fig. 250), que es comporten bàsicament com inductàncies sèrie connectades en cascada entre l’amplificador i el generador i la càrrega (Fig. 251).

Fig. 212. Connexió de l’amplificador a pistes micropista de 50Ω.

CHA2194

Z =50

G

ΩZ =50

L

Ω

L=0.38nH L=0.38nH

Fig. 213. Circuit equivalent de la connexió de la Fig. 250

Quin és el guany de transferència que s’aconsegueix en aquest cas?

241

Fig. 214. Paràmetres de l’amplificador monolític CHA2194.

243



CONTINGUTS En aquesta sessió realitzarem dos problemes per a veure algunes de les aplicacions dels conceptes estudiats fins ara.

5.8. Problemes del Capítol 5 (iii) En aquesta sessió realitzarem problemes sobre disseny d’amplificadors que conjuminin aspectes d’estabilitat, guany i soroll.

Problema 5.11

En aquest problema veurem com podem aprofitar la informació que ens aporten cercles de estabilitat així com els paràmetres S per a realitzar dissenys d’amplificadors. Considereu l'amplificador monolític BGA2001 de Philips de la Fig. 253, del qual s'adjunta informació sobre el seu funcionament a la Fig. 254 ("unstable region source" correspon al cercle d'estabilitat a l'entrada (valors de ΓL tals que |ΓIN|=1), "unstable region load" correspon al cercle d'estabilitat a la sortida (valors de ΓG tals que |ΓOUT|=1.

244

Fig. 215. Amplificador monolític BGA2001 de Philips.

Suposant que volguéssiu utilitzar aquest amplificador a la freqüència de 1800 MHz, quin guany de transferència tindríeu si el connectàveu directament a un generador i a una càrrega de 50Ω (impedància de referència dels paràmetres S)? El disseny fóra estable? Si volguéssiu utilitzar aquest amplificador com amplificador de baix soroll a una freqüència de 1800 MHz, quin hauria de ser el coeficient de reflexió de generador que hauria de veure l'amplificador? El sistema fóra estable a la sortida? En aquestes condicions, i suposant que el transistor fos unilateral (que és suposar molt), quin coeficient de reflexió de càrrega hauria de veure l'amplificador per tal de maximitzar el guany de transferència de potència? Fóra estable el disseny?.

Discutiu el circuit de polarització proposat per a l'amplificador.

Fig. 216. Característiques de l’amplificador monolític BGA2001.

245

Problema 5.9

En aquest problema reflexionarem el sentit i utilitat del guany disponible, i dels seus cercles. Els paràmetres S i de soroll d’un FET utilitzat en l’amplificador de la Fig. 255 mesurats a un punt de treball per a funcionament en baix soroll (VDS=3V, IDS=20mA) a una freqüència f=4GHz són:

95.07.08.046.0311.07.0

0º55min

º70º75

º20º105 ===Γ=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∠

−∠∠

∠−∠

ZR

rdBFS nnopt

Els cercles de guany disponible i de soroll es donen a la carta d’Smith de la Fig. 256.

Discutiu l’estabilitat del transistor. Calculeu els coeficients de reflexió de generador i de càrrega que fan que el transistor presenti un factor de soroll mínim i un guany de transferència el major possible (compatible amb mínim soroll).

Calculeu el guany de transferència del sistema. Si es relaxa l’exigència de soroll a F=1.5 dB, és possible aconseguir un amplificador amb GT=12dB.

Proposeu una xarxa de polarització del BJT. Dissenyeu les xarxes d’adaptació A1 i A2 cap a un entorn de 50Ω.

Z0

Z0=50Ω

Z0A1

A2

TRT

ΓG ΓL

Fig. 217.Esquema d’un amplificador a 4 GHz.

246

Fig. 218. Paràmetres del transistor del problema 5.9.

247

BIBLIOGRAFIA BÀSICA

PROBLEMES

Problemes del Tema 2 Ribó, Miquel Barcelona, 2008 [Ribó2008]




249

BIBLIOGRAFIA COMPLIMENTÀRIA

LLIBRES

Microwave Engineering, 2nd edition Pozar, David M. John Wiley & Sons New York (USA), 2004 [Pozar2004]

Microwave Transistor Amplifier, 2nd edition Gonzalez, Guillermo Prentice Hall Upper Saddle River (USA), 1996 [Gonzalez1996]

251

GLOSSARI

Línia de transmissió Guia d’ones que propaga modes TEM (transversals electromagnètics) o quasi-TEM (els camps presenten una petita component en la direcció de propagació. Pel fet de propagar ones TEM o quasi-TEM, la propagació d’ones electromagnètiques en una línia de transmissió pot modelar-se de manera exacta (TEM) o pràcticament exacta (quasi-TEM) a partir de propagació d’ones de tensió i de corrent.

L.T. Línia de transmissió.

Creative Commons License Deed - salleurl.edu · En aquesta sessió repassarem de manera breu part...

Documents

Transcript of Creative Commons License Deed - salleurl.edu · En aquesta sessió repassarem de manera breu part...