Cpm Pert Copia

Universidad Católica del Norte Facultad de Ingeniería y Ciencias Geológicas Departamento de Ingeniería de Sistemas y Computación

Profesor: Raúl Carrasco Cea Carrera de Ingeniería Civil Industrial Apuntes de Investigación de Operaciones I, 2000 Programación y Control de Proyectos

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4.- Programación de Proyectos con PERT-CPM. Un proyecto define una combinación de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en un cierto orden antes que el trabajo completo pueda terminarse. Las actividades están interrelacionadas en una secuencia lógica en el sentido de que algunas de ellas no pueden comenzar hasta que otras se hayan terminado. Una actividad, en un proyecto generalmente se ve como un trabajo que requiere tiempo y recursos para su terminación. En general, un proyecto es un esfuerzo de un solo período; esto es, la misma sucesión de actividades puede no repetirse en el futuro. En el pasado la programación de un proyecto (en el tiempo) se hizo con poca planeación. La mejor herramienta conocida de “planeación” era el diagrama de barras de Gantt, el cual especifica los tiempos de inicio y término de cada actividad en una escala de tiempo horizontal. Su desventaja es que la interdependencia entre las diferentes actividades (la cual controla principalmente el progreso del proyecto) no puede determinarse a partir del gráfico de barras. Las complejidades crecientes de los proyectos actuales han exigido técnicas de planeación más sistemáticas y más efectivas con el objeto de optimizar la eficiencia en la ejecución del proyecto. Aquí la eficiencia implica efectuar la mayor reducción en el tiempo requerido para terminar el proyecto, mientras se toma en cuenta la factibilidad económica de la utilización de los recursos disponibles. La administración de proyectos ha evolucionado como un nuevo campo con el desarrollo de dos técnicas analíticas para la planeación, programación y control de proyectos. Tales son el Método de Ruta Crítica (CMP) y la Técnica de Evaluación y Revisión de Proyectos (PERT). Las dos técnicas fueron desarrolladas por dos grupos diferentes casi simultáneamente (1956-1958). El CMP (Critical Path Method) fue desarrollado primero por E. I. du Pont de Nemours & Company como una aplicación a los proyectos de construcción y, posteriormente, se extendió a un estado más avanzado por Mauchly Associates. El PERT (Project Evaluation and Review Technique), por otra parte, fue desarrollado para la marina de Estados Unidos, por una organización consultora, con el fin de programar las actividades de investigación y desarrollo para el programa de misiles Polaris. Los método PERT y CPM están básicamente orientados en el tiempo, en el sentido que ambos llevan a la determinación de un programa de tiempo. Aunque los dos métodos fueron desarrollados casi independientemente , ambos son asombrosamente similares. Quizá la diferencia más importante es que originalmente las estimaciones en el tiempo para las actividades se supusieron determinantes en CPM y probables en PERT. Ahora CPM y PERT comprenden realmente una técnica y las diferencias, si existe alguna, son únicamente históricas. En adelante, ambas se denominarán técnicas de “programación de proyectos”.



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La programación de proyectos por CPM-PERT consiste en tres fases básicas: planeación, programación y control. La fase de planeación se inicia descomponiendo el proyecto en actividades distintas. Las estimaciones de tiempo para estas actividades se determinan luego, y se construye un diagrama de red (o de flechas), donde cada uno de sus arcos (flechas) representa una actividad. El diagrama de flechas completo da una representación gráfica de las interdependencias entre las actividades del proyecto. La construcción del diagrama de flechas como una fase de planeación, tiene la ventaja de estudiar las diferentes trabajos en detalle, surgiendo quizá mejoras antes de que el proyecto realmente se ejecute. Será más importante su uso en el desarrollo de un programa para el proyecto. El último objetivo para la fase de programación es construir un diagrama de tiempo que muestre los tiempo de iniciación y terminación para cada actividad, así como su relación con otras actividades del proyecto. Además, el programa debe señalar las actividades críticas (en función del tiempo) que requieren atención especial si el proyecto se debe terminar oportunamente. Para las actividades no críticas, el programa debe mostrar los tiempos de holgura que pueden utilizarse cuando tales actividades se demoran, o cuando se deben utilizar eficientemente recursos limitados. La fase final en la administración de proyectos es la de control. Esto incluye el uso del diagrama de flechas y la gráfica de tiempo para hacer reportes periódicos del progreso. Las red puede, por consiguiente, actualizarse y analizarse si es necesario determinar un nuevo programa para la parte restante del proyecto. Representaciones con Diagramas de Flechas (RED) El diagrama de flecha representa las interdependencias y relaciones de precedencia entre las actividades del proyecto. Se utiliza comúnmente una flecha para representar una actividad, y la punta indica el sentido de avance del proyecto. La relación de precedencia entre las actividades se especifica utilizando evento. Un evento representa un punto en el tiempo y significa la terminación de algunas actividades y el comienzo de nuevas. Los puntos inicial y final de una actividad, por consiguiente, están descritos por dos eventos generalmente conocidos como evento de inicio y evento terminal. Las actividades que originan un cierto evento no pueden comenzar hasta que las actividades que concluyen en el mismo evento hayan terminado. En la terminología de teoría de redes cada actividad está representada por un arco dirigido y cada evento está simbolizado por un nodo. La longitud del arco no necesita ser proporcional a la duración de la actividad ni tiene que dibujarse como una línea recta. La figura 1(a) muestra un ejemplo de una representación común de una actividad (i, j) con su evento de inicio i y su evento terminal j. La figura 1(b) muestra otro ejemplo donde las actividades (1, 3) y (2, 3) deben terminarse antes



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de que pueda comenzar la actividad (3, 4). La dirección de avance de cada actividad se especifica asignando un número más grande al evento terminal comparado con el número de su evento de inicio. Este procedimiento es especialmente para cálculos automáticos y es el que se adoptará de aquí en adelante.

Figura 1. Las reglas para construir el diagrama de flechas se resumirán ahora. Regla 1. Cada actividad está representada por una y sólo una flecha en la red . Ninguna actividad puede representarse dos veces en la red. Esto es distinto del caso donde una actividad se descompone en segmentos; en este caso cada segmento puede estar representado por una flecha separada. Por ejemplo, al tender una tubería, este trabajo puede realizarse en secciones y no como un solo trabajo. Regla 2. Dos actividades diferentes no pueden identificarse por los mismos eventos terminal y de inicio . Una situación como ésta puede surgir cuando dos o más actividades deben ejecutarse simultáneamente. En la figura 2(a) se muestra un ejemplo donde las actividades A y B tienen los mismos eventos finales. El procedimiento es introducir una actividad ficticia, ya sea entre A y uno de los eventos finales, o entre B y uno de los eventos finales. Las representaciones modificadas, después de introducir la actividad ficticia D se muestra en la figura 2(b). Como un resultado de usar D, las actividades A y B ahora pueden identificarse por eventos finales únicos. Debe notarse que una actividad ficticia no consume tiempo o recursos.



118

Figura 2. Las actividades ficticias también son útiles al establecer relaciones lógicas en el diagrama de flechas, las cuales de otra manera, no pueden representarse correctamente. Suponga que en cierto proyecto los trabajos A y B deben preceder a C. Por otra parte, el trabajo E está precedido por el trabajo B solamente. La figura 3(a) muestra la forma incorrecta, ya que aunque la relación de A, B y C es correcta, el diagrama implica que E debe estar precedida tanto por A como B. La representación correcta usando D ficticia se muestra en la figura 3(b). Ya que D no consume tiempo (o recursos) están satisfechas las relaciones de precedencia indicadas.

(b)(a)

A

B

C

E

A

B

C

D

E

Figura 3.

A

B

3

1

3

2

1

2

1

2

3

1

1

2

3

(a) (b)

A

B B

A

B

A A

B

D D

D D



119

Regla 3. A fin de asegurar la relación de precedencia correcta en el diagrama de flechas, las siguientes preguntas deben responderse cuando se agrega cada actividad a la red : (a) ¿Qué actividades deben terminarse inmediatamente antes de que esta actividad pueda comenzar? (b) ¿Qué actividades deben seguir a esta actividad? (c) ¿Qué actividades deben efectuarse simultáneamente con esta actividad? Esta regla se explica por sí misma. Realmente permite verificar (y volver a verificar) las relaciones de precedencia cuando se avanza en el desarrollo de la red. Ejemplo 1 : Construya el diagrama de flechas que comprenda las actividades A,B,C,... y L que satisfagan las siguientes relaciones : 1.- A, B y C, son las actividades iniciales del proyecto y comienzan simultáneamente. 2.- A y B preceden a D. 3.- B precede a E, F y H. 4.- F y C preceden a G. 5.- E y H preceden a I y J. 6.- C, D, F y J preceden a K. 7.- K precede a L. 8.- I, G y L son las actividades finales del proyecto.

1 2

3

4

5

6

78

9

1D

2D

3DA

B

D

CF

A L

K

G

E I



120

Cálculos de ruta crítica La aplicación de PERT-CPM deberá proporcionar un programa, especificando las fechas de inicio y terminación de cada actividad. El diagrama de flechas constituye el primer paso hacia el logro de esa meta. Debido a la interacción de las diferentes actividades, la determinación de los tiempos de inicio y terminación, requiere de cálculos especiales. Estos cálculos se realizan directamente en el diagrama de flechas usando aritmética simple. El resultado final es clasificar las actividades de los proyectos como críticas o no críticas. Se dice que una actividad es crítica si una demora en su comienzo causará una demora en la fecha de terminación del proyecto completo. Una actividad no crítica es tal que el tiempo entre su comienzo de inicio más próximo y de terminación más tardío (como lo permita el proyecto) es más grande que su duración real. En este caso, se dice que la actividad no crítica tiene un tiempo de holgura. Determinación de la ruta crítica Una ruta crítica define una cadena de actividades críticas, las cuales conectan los eventos inicial y final del diagrama de flechas. En otras palabras, la ruta crítica identifica todas las actividades críticas del proyecto. El método para determinar la ruta se ilustrará con el siguiente ejemplo. Ejemplo 2 :

Considere la red de la figura 4, la cual comienza en el nodo 0 y termina en el nodo 6. El tiempo requerido para ejecutar cada actividad se indica en las flechas.

0 6

4

5

3

2

1

2

4

6

6

19

6

13

19

6

13

3

3

0

0

inicio terminación3

2

2

2

3 3

2

6

57

Figura 4.



121

Los cálculos de ruta crítica incluyen dos fases. La primera fase se llama cálculos hacia adelante, donde los cálculos comienzan desde el nodo “inicio” y se mueven al nodo de “terminación”. En cada nodo se calcula un número que representa el tiempo de ocurrencia más próximo del evento correspondiente. Estos números se muestran en la figura 4 dentro de cuadrados. En la segunda fase, llamada cálculos hacia atrás, comienzan los cálculos desde el nodo de “terminación” y se avanza hacia el nodo de “inicio”. El número calculado en cada nodo (mostrado dentro de un triángulo) representa el tiempo de ocurrencia más tardío del evento correspondiente. El cálculo hacia adelante se presentará a continuación.

Sea TIPi el Tiempo de Inicio más Próximo de todas las actividades que se originan en el evento i. Por consiguiente, TIPi representa el tiempo de ocurrencia más próximo del evento i. Si i = 0 es el evento de “inicio”, entonces convencionalmente, para los cálculos de ruta crítica, TIP0 = 0. Sea Dij la duración de la actividad (i,j). Los cálculos hacia adelante, por consiguiente, se obtienen de la fórmula :

TIPj = máx{TIPi + Dij}, para todas las actividades (i,j) definidas.

donde TIP0 = 0. Por consiguiente, a fin de calcular TIPj para el evento j, deben calcularse primero los eventos de terminación de todas las actividades (i,j) que entran y los TIPi.

Los cálculos hacia adelante aplicados a la figura 4 proporcionan TIP0 = 0 como se muestra en el cuadro sobre el evento 0. Ya que existe solamente una actividad que entra (0,1) al evento 1 con D01 = 2,

TIP1 = TIP0 + D01 = 0 + 2 = 2

esto se anota en el cuadro asociado al evento 1. El siguiente evento que se va a considerar es el 2 .(Note que el evento 3 no puede considerarse en este punto, ya que TIP2 (evento 2) todavía no se conoce). Por consiguiente

TIP2 = TIP0 + D02 = 0 + 3 = 3

que se anota en el cuadro del evento 2. El siguiente evento que se considerará es el 3. Como hay dos actividades que entran (1,3) y (2,3), tenemos

TIP3 = máx{TIPi + Di3} = máx{2 + 2, 3 + 3} = 6 , i =1,2

que una vez más se anota en el cuadro del evento 3. El procedimiento continúa de la misma manera hasta que TIPj se calcula para toda j.



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Los cálculos hacia atrás comienzan desde el evento de “terminación”. El objetivo de esta fase es calcular TTTi , el Tiempo de Terminación más Tardío, para todas las actividades que están en el evento i. Por consiguiente, si i = n es el evento de “terminación”, TTTn = TIPn inicia el cálculo hacia atrás en general para cualquier nodo i, TTTi = mín{TTTj - Dij}, para todas las actividades (i,j) definidas (mín. en j). así tenemos para los valores de los triángulos

TTT6 = TIP6 = 19 TTT5 = TIP6 - D56 = 19 - 6 = 13 TTT4 = mín{TTTj - D4j} = mín{13 - 7, 19 - 5} = 6

TTT3 = mín{TTTj - D3j} = mín{6-0, 13-3, 19-2} = 6 TTT2 = mín{TTTj - D2j} = mín{6-3, 6-2} = 3 TTT1 = TTT3 - D13 = 6-2 = 4 TTT0 = mín{TTTj - D0j} = mín{4-2, 3-3} = 0

esto completa los cálculos hacia atrás. Ahora pueden identificarse las actividades de ruta crítica usando los resultados de los cálculos hacia adelante y hacia atrás. Una actividad (i,j) está en la ruta crítica si satisface las tres condiciones siguientes:

TIPi = TTTi (1) TIPj = TTTj (2) TIPj - TIPi = TTTj - TTTi = Dij (3)

Estas condiciones realmente indican que no existe tiempo de holgura entre el inicio más próximo y el inicio más tardío de la actividad. Las actividades (0,2), (2,3), (3,4), (4,5) y (5,6) definen la ruta crítica en la figura 4. Este es realmente el tiempo más corto posible para terminar el proyecto. Note que las actividades (2,4), (3,5), (3,6) y (4,6) satisfacen las condiciones (1) y (2) para actividades críticas, pero no la condición (3). Por lo tanto, éstas no son críticas. Observe también que la ruta crítica debe formar una cadena de actividades conectadas, la cual abarca la red desde el “inicio” hasta la “terminación”.



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Determinación de las holguras Siguiendo la determinación de la ruta crítica, deben calcularse las holguras de las actividades no críticas. Naturalmente, una actividad crítica debe tener una holgura cero. De hecho, esta es la principal razón para que sea crítica. Antes de mostrar cómo se determinan las holguras, es necesario definir dos nuevos tiempos, los cuales están asociados con cada actividad. Estos son el Tiempo de Inicio más Tardío (TIT) y el tiempo de Terminación más Próximo (TTP), los cuales están definidos para la actividad (i, j) por : TITij = TTTj - Dij TTPij = TIPi + Dij Existen dos tipos importantes de holguras: holgura total (HT) y holgura libre (HL). La holgura total HTij para la actividad (i, j) es la diferencia entre el máximo tiempo disponible para realizar la actividad (= TTTj - TIPi) y su duración (= Dij); esto es ;

HTij = TTTj - TIPi - Dij = TTTj - TTPij = TITij - TIPi La holgura libre se define suponiendo que todas las actividades comienzan tan pronto como sea posible. En este caso, HLij para la actividad (i, j) es el exceso de tiempo disponible (= TIPj - TIPi) sobre su duración (= Dij); esto es ;

HLij = TIPj - TIPi - Dij

Los cálculos de ruta crítica junto con las holguras para las actividades no críticas pueden resumirse en la forma conveniente mostrada en la tabla 1. La tabla 1 da un resumen típico de los cálculos de la ruta crítica. Incluye toda la información necesaria para construir el diagrama de tiempos. Note que una y sólo una actividad crítica, debe tener una holgura total cero. La holgura libre debe también ser cero cuando la holgura total es cero. La inversa no es cierta, sin embargo, en el sentido de que una actividad no crítica puede tener una holgura libre cero. Por ejemplo, en la tabla 1, la actividad no crítica (0,1) tiene una holgura libre cero.



124

Tabla 1.

Más próximo Más tardío

Inicio Terminación Inicio Terminación

Actividad Duración ∆ Holgura total

Holguralibre

( i, j ) Dij TIPi TTPij TITij TTTj HTij HLij (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

(0,1) 2 0 2 2 4 2 0 (0,2) 3 0 3 0 3 0a 0 (1,3) 2 2 4 4 6 2 2 (2,3) 3 3 6 3 6 0a 0 (2,4) 2 3 5 4 6 1 1 (3,4) 0 6 6 6 6 0a 0 (3,5) 3 6 9 10 13 4 4 (3,6) 2 6 8 17 19 11 11 (4,5) 7 6 13 6 13 0a 0 (4,6) 5 6 11 14 19 8 8 (5,6) 6 13 19 13 19 0a 0

0a Actividad crítica



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Construcción del diagrama de tiempo y nivelación de recursos El producto final de los cálculos de la red es la construcción del diagrama (o programa) de tiempo. Este diagrama de tiempo puede convertirse fácilmente en un programa calendario apropiado para el uso del personal que ejecutará el proyecto. La construcción del diagrama de tiempo debe hacerse dentro de las limitaciones de los recursos disponibles, ya que no es posible realizar actividades simultáneas debido a las limitaciones de personal y equipo. Aquí es donde las holguras totales para las actividades no críticas llegan a ser útiles. Cambiando una actividad no crítica (hacia atrás y hacia adelante) entre sus límites máximos permisibles, se pueden abatir los requisitos máximos de recursos. En cualquier caso, aun en ausencia de recursos limitados, es práctica común usar las holguras totales para nivelar los recursos sobre la duración del proyecto completo. En esencia, esto significaría una fuerza de trabajo más estable comparada con el caso donde la fuerza de trabajo (y equipo) variará drásticamente de un día a otro. El procedimiento para construir el diagrama de tiempo se ilustrará con el ejemplo 3. El ejemplo 3 mostrará entonces cómo puede efectuarse la nivelación de recursos para el mismo proyecto. Ejemplo 3 En este ejemplo se construirá el diagrama de tiempos para el proyecto dado en el ejemplo 2. La información necesaria para construir el diagrama de tiempo se resume en la tabla 1. El primer paso es considerar el programa de las actividades críticas. Después se consideran las actividades no críticas indicando sus límites de tiempo TIP y TTT en el diagrama. Las actividades críticas se indican con líneas llenas. Los límites de tiempo para las actividades no críticas se muestran con líneas punteadas, indicando que tales actividades pueden programarse donde sea dentro de esos intervalos, siempre y cuando no se alteren las relaciones de precedencia. La figura 5 muestra el diagrama de tiempo correspondiente al ejemplo 2. La actividad ficticia (3,4) no consume tiempo y, por lo tanto, se muestra como una línea vertical. Los números mostrados con las actividades no críticas, representan sus duraciones. La funciones de las holguras total y libre en la programación de actividades no críticas se explican en términos de dos reglas generales :



126

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Tiempo Transcurrido

0

23

4

1

0 1

3

2

53

3 6

4

4 6

5 6

Actividades Criticas

Actividades NoCriticas

2

2

3

2

2

5

Figura 5 1. Si la holgura total es igual a la holgura libre, la actividad no crítica se puede programar en cualquier parte entre los tiempos de inicio más próximo (TIP) y de terminación más tardío, TTT (extensiones de tiempo punteadas de la figura 5). 2. Si la holgura libre (HL) es menor que la holgura total (HT), el inicio de la actividad no crítica se puede demora en relación con su tiempo de inicio más próximo (TIP), en una cantidad no mayor que el monto de su holgura libre (HL), sin afectar la programación de sus actividades inmediatamente sucesivas. En nuestro ejemplo, la regla 2 se aplica a la actividad ( 0,1 ) únicamente, mientras que todas las demás se programan según la regla 1. La razón es que la actividad ( 0,1 ) tiene una holgura libre (HL) cero. Por lo tanto, si el tiempo inicial para ( 0,1 ) no es demorado más allá de su tiempo de inicio más próximo (TIP) (t = 0), la actividad inmediatamente sucesiva ( 1,3 ) se puede programar en cualquier momento entre su tiempo de inicio más próximo (t = 2) y su tiempo de terminación más tardío (t = 6). Por otra parte, si el tiempo de inicio de ( 0,1 ) se demora más allá de t = 0, el tiempo de inicio más próximo de ( 1,3 ) deberá retrasarse relativo a su tiempo de inicio más próximo cuando menos en la misma cantidad. Por ejemplo, si ( 0,1 ) comienza en t = 1, termina en t = 3 y luego ( 1,3 ) se puede programar en cualquier parte entre t = 3 y t = 6. Este tipo de restricción no se aplica a ninguna de las actividades no críticas restantes porque todas ellas tienen holguras total y libre iguales. También podemos observar este resultado en la figura 5, ya que ( 0,1 ) y ( 1,3 ) son las únicas dos actividades sucesivas cuyas extensiones de tiempo permisibles se superponen.



127

En esencia, tener la holgura libre menor que la holgura total nos da una advertencia de que la programación de la actividad no deberá terminarse sin antes verificar su efecto en los tiempos de inicio de las actividades inmediatamente sucesivas. Esta valiosa información sólo puede asegurarse a través del uso de cálculos de ruta crítica. Ejercicio : Los casos que siguen representan las holguras total y libre (HT y HL) de una actividad no crítica. Indique la demora máxima en el tiempo de inicio de la actividad relativa a su tiempo de inicio más próximo que hará posible que todas las actividades inmediatamente sucesivas sean programadas en cualquier momento entre sus tiempos de terminación más próximo y más tardío. a) HT = 10, HL = 10, D = 4, Resp: Demora = 10 b) HT = 10, HL = 5, D = 4, Resp: Demora = 5 c) HT = 10, HL = 0 D = 4, Resp: Demora = 0 d) HT = 10, HL = 3, D = 4, Resp: Demora = 3 Ejemplo 4. En el ejemplo 3, supóngase que se especifican los siguientes requisitos de trabajadores para las diferentes actividades. Se necesita elaborar un programa de tiempo que nivelará los requisitos de trabajadores mientras dure el proyecto. [ Nótese que las actividades ( 0,1 ) y ( 1,3 ) no requieren labor manual (o mano de obra), lo que se indica asignando un número cero de hombres a cada actividad. Como resultado, la programación de ( 0,1 ) y ( 1,3 ) puede hacerse en forma independiente del procedimiento de nivelación de recursos ].

Actividad Nº de Trabajadores Actividad Nº de Trabajadores 0,1 0 3,5 2 0,2 5 3,6 1 1,3 0 4,5 2 2,3 7 4,6 5 2,4 3 5,6 6



128


0

23

4

1

0 1

3

2

53

3 6

4

4 6

5 6



Figura 6 La Figura Nº 6 (a) muestra las necesidades de personal sobre el tiempo si las actividades no críticas se programan tan pronto como sea posible, mientras que la Figura 6 (b) muestra los requerimientos si estas actividades se programan tan tarde como sea posible. La línea punteada señala las necesidades para las actividades críticas que deben satisfacerse si el proyecto debe terminarse a tiempo. [ Nótese que las actividades (0, 1) y (1, 3) no requieren recursos].


10

8

6

4

2

Num

ero

de T

raba

jado

res

(0, 2)

(2, 4)

(2, 3)

(3, 5)

(3, 6)

(4, 6)

(4, 5)

(5, 6)

(a)Programacion mas

Proxima de actividadesno Criticas



129


10

8

6

4

2

Num

ero

de T

raba

jado

res

12

(0, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(4, 5)

(3, 5) (5, 6)

(4, 6)

(3, 6)(b)Programacion mas tardiade actividades no criticas

Figuras 6 a y 6 b El proyecto necesita 7 hombres cuando menos como lo indican las necesidades de la actividad crítica (2, 3). La programación más próxima de las actividades no críticas se traduce en una necesidad máxima de 10 personas, mientras que la programación más tardía de las mismas actividades necesitaría un máximo de 12 hombres. Esto ilustra que las necesidades máximas dependen de cómo se utilicen las holguras totales de las actividades no críticas. En la figura 6, sin embargo, independientemente de cómo se localicen las holguras, la necesidad máxima no puede ser menor de 10 hombres, puesto que el intervalo para la actividad (2, 4) coincide con el tiempo para la actividad crítica (2, 3). Las necesidades de personal que utiliza la programación más próxima puede mejorarse volviendo a programar la actividad (3, 5) en su tiempo más tardío posible, y la actividad (3, 6) inmediatamente después de que la actividad (4, 6) se termine. Este nuevo requisito se muestra en la figura 7. El nuevo programa resultante, es una asignación más uniforme de los recursos.



130


0

23

4

1

0 1

3

2

5

3

36

4

4 6

56



Figura 7 En algunos proyectos, el objetivo puede ser mantener la utilización máxima de los recursos abajo de un cierto límite en lugar de simplemente nivelar los recursos. Si esto no puede lograrse volviendo a programar las actividades no críticas, será necesario ampliar el tiempo de algunas de las actividades críticas, con lo cual se reducirá el nivel diario requerido del recurso.


10

8

6

4

2

Num

ero

de T

raba

jado

res

Debido a la complejidad matemática, no se ha desarrollado aun ninguna técnica que proporcione la solución óptima al problema de nivelación de recursos; esto es, la minimización de los recursos máximos necesarios para el proyecto en cualquier punto en el tiempo. En lugar de esto, se utilizan actualmente programas heurísticos similares a los que se han mencionado con anterioridad. Estos programas se valen de las diferentes holguras para las actividades no críticas.



131

Consideraciones de Probabilidad y Costos en la Programación de Proyectos El análisis de las secciones anteriores no toma en cuenta el caso donde las estimaciones de tiempo son probabilísticas para las diferentes actividades, tampoco se considera explícitamente el costo de los programas. Es por esto, entonces, que en esta sección se presentará tanto los aspectos de probabilidad como los de costos en la programación de proyectos. Consideraciones de Probabilidad en la Programación de Proyectos Las consideraciones de probabilidad están incorporadas en la programación de proyectos, suponiendo que la estimación de tiempo para cada actividad está basada en tres valores diferentes :

a = tiempo optimista, el cual se necesitará si la ejecución va extremadamente bien.

b = tiempo pesimista, que se requerirá si todo va muy mal. m = tiempo más probable, el cual se necesitará si la ejecución es normal.

La amplitud o “rango” especificado por las estimaciones optimista y pesimista (a y b, respectivamente) por supuesto debe encerrar toda estimación posible de la duración de la actividad. La estimación más probable m no necesita coincidir con el punto medio (a+b)/2, y puede encontrarse a su izquierda o a su derecha. Debido a estas propiedades, es intuitivamente justificado que la duración para cada actividad pueda seguir una distribución beta con su punto unimodal en m y sus puntos extremos en a y b. La figura 8 muestra los tres casos de la distribución beta que son (a) simétrica, (b) sesgada hacia la derecha y (c) sesgada hacia la izquierda.

(a) (a)(a)(b) (b) (b)(m)(m) (m)(a) Simetrica (b) Sesgada hacia la derecha (b) Sesgada hacia la izquierda

Figura 8



132

Las expresiones para la mediana D y la varianza V de la distribución beta se obtienen de la manera siguiente. El punto medio (a+b)/2 se supone que tiene

una ponderación de la mitad de la del punto m más probable. Por consiguiente, D es la media aritmética de (a+b)/2 y 2m ; esto es,

D La amplitud o “rango” (a,b) se supone que abarca alrededor de 6 desviaciones estándares de la distribución, ya que alrededor de 90% o más de cualquier función densidad de probabilidad, está dentro de tres desviaciones estándares de su media. Por consiguiente

V = b a−

6

2

Los cálculos de la red en las secciones anteriores ahora pueden aplicarse

directamente con D reemplazando la estimación D. Ahora es posible estimar la probabilidad de ocurrencia de cada evento en la red. Sea µi el tiempo de ocurrencia más próximo del evento i. Ya que los tiempos de las actividades que se suman hasta i son variables aleatorias, µi es también una variable aleatoria. Suponiendo que todas las actividades en red son estadísticamente independientes, se obtiene la media y la varianza de µi como sigue. Si existe únicamente una ruta que lleva desde el evento de “inicio” al evento i, entonces E { µi } está dado por la suma de las duraciones esperadas D para las actividades a lo largo de esta ruta y var { µi } es la suma de las varianzas de las mismas actividades. Las complicaciones surgen, sin embargo, donde más de una ruta lleva al mismo evento. En este caso, si se van a calcular los valores exactos de E { µi } y var { µi } se debe desarrollar primero la distribución estadística para la más larga de las rutas (esto es, la distribución del máximo de varias variables aleatorias) y encontrar su valor esperado y su varianza. Esto es más difícil en general y se introduce una hipótesis simplificatoria, la cual permite calcular E { µi } y var { µi } como iguales a las de la ruta que lleva el evento i y que tenga la suma más grande de duraciones esperadas de las actividades. Si dos o más rutas tienen la misma E { µi } se elige aquella con la var { µi } más grande ya que refleja mayor incertidumbre y, por lo tanto, resultados más conservadores.

(a+b)/2 + 2m 3

=a + b + 4m

6 =



133

Para resumir, E { µi } y var { µi } están dados para las rutas seleccionadas como :

E { µi } = ESi

var { µi } = Vkk∑

donde k define las actividades a lo largo de las rutas más larga que lleva a i.

La idea es que µi es la suma de variables aleatorias independientes y, por lo tanto, de acuerdo con el teorema de límite central, µi es casi normalmente distribuida con media E { µi } y varianza var { µi }. Ya que µi representa el tiempo de ocurrencia más próximo, el evento i va a satisfacer un cierto tiempo programado TPi (especificado por el analista) con probabilidad

{ } { }{ }

{ }{ }

{ }P TP PE TP E

P z Ki ii i

i

i i

i

iµµ µ

µ

µ

µ≤ =

−≤

−

= ≤

var var

donde z es la distribución normal estándar con media 0 y varianza 1 y

{ }{ }

KTP E

ii i

i

=− µ

µvar

Es práctica común calcular la probabilidad de que el evento i ocurrirá no más tarde que su TTTi. Tales probabilidades representarán, por consiguiente, la posibilidad que los siguientes eventos ocurran dentro de la duración (TIPi, TTTi).

Ejemplo 5

Considere el proyecto del ejemplo 2. Para evitar repetir los cálculos de la ruta crítica, los valores de a, b y m mostrados en la tabla 2 se han elegido de tal manera, que tendrá el mismo valor que su correspondiente Dij en el ejemplo 2.



134

0 6

4

5

3

2

1

2

4

6

6

19

6

13

19

6

13

3

3

0

0

inicioterminación

3

2

2

2

3 3

2

6

57

La media ijD y la varianza Vij de las diferentes actividades están dadas en la tabla 3.

Actividad (i,j)

Tiempos Estimados (a, b, m)

Actividad

Tiempos Estimados (a, b, m)

(0, 1) (1, 3, 2) (3, 5) (1, 7, 2.5) (0, 2) (2, 8, 2) (3, 6) (1, 3, 2) (1, 3) (1, 3, 2) (4, 5) (6, 8, 7) (2, 3) (1, 11, 1.5) (4, 6) (3, 11, 4) (2, 4) (0.5, 7.5, 1) (5, 6) (4, 8, 6) Actividad ijD Vij Actividad ijD Vij

(0, 1) 2 0.11 (3, 5) 3 1.00 (0, 2) 3 1.00 (3, 6) 2 0.11 (1, 3) 2 0.11 (4, 5) 7 0.11 (2, 3) 3 2.78 (4, 6) 5 1.78 (2, 4) 2 1.36 (5, 6) 6 0.44



135

Evento Ruta E { µi } var { µi } TPi Ki { }P z Ki≤

1 (0, 1) 2 0.11 4 6.03 1.000 2 (0, 2) 3 1.00 2 -1.000 0.159 3 (0, 2, 3) 6 3.78 5 -0.514 0.304 4 (0, 2, 3, 4) 6 3.78 6 0.000 0.500 5 (0, 2, 3, 4, 5) 13 3.89 17 2.028 0.987 6 (0, 2, 3, 4, 5, 6) 19 4.33 20 0.480 0.684 La información contenida en la columna TPi es parte de los datos de entrada. Los valores de TPi pueden sustituirse por TTTi, a fin de obtener las pobabilidades de que ninguna de las actividades se demorará mas allá de su tiempo de ocurrencia más tardío. La información ubicada en la columna de la ruta se obtiene directamente de la red, y define la ruta más larga del evento 0 al evento i.

Después de determinar E { µi } y var { µi }, los cálculos de Ki y { }P z Ki≤ son directos. Las probabilidades asociadas con la realización de cada evento pueden obtenerse después de esto. Estas probabilidades ofrecen información acerca de dónde se necesitan recursos con mayor urgencia , a fin de reducir la probabilidad de que ocurran demoras en la ejecución del proyecto. Consideraciones de Costo en la Programación de Proyectos . EL aspecto costo está incluido en la programación de proyectos al definir la relación duración-costo para cada actividad. Los costos se definen para incluir elementos directos solamente. Los costos indirectos no pueden incluirse. Sin embargo, su efecto se incluirá en el análisis final. La figura 9(a) muestra una relación típica de línea recta utilizada con la mayoría de los proyectos. El punto (Dn, Cn) representa la duración Dn y su costo asociado Cn si la actividad se ejecuta en condiciones normales. La duración Dn puede disminuirse aumentando los recursos asignados y, por lo tanto, aumentando los costos directos. Existe un límite llamado tiempo de duración mínima, más allá del cual, ninguna reducción adicional puede efectuarse en la duración. En este punto cualquier aumento en recursos aumentará únicamente los costos, sin reducir la duración. El punto de duración mínima se indica en la figura 9(a) por el punto (Dc, Cc).



136

Costo

Cc

Cn

Dc Dn

Punto deduración mínima

Punto normal

Duración

Costo

DuraciónDc Dn

Cc

Cn

(a) (b)

Figura 9 La relación lineal se usa principalmente por conveniencia, ya que puede ser determinada para cada actividad a partir del conocimiento de los puntos de duración normal y mínima únicamente; esto es (Dn, Cn) y (Dc, Cc). Una relación no lineal complicaría los cálculos. Existe un caso excepcional, sin embargo, donde las relaciones no lineales pueden ser aproximadas por un conjunto de segmentos lineales, como se muestra en la figura 9(b). En tales condiciones, la actividad puede ser descompuesta en un número de subactividades, cada una correspondiendo a uno de los segmentos. Note las pendientes crecientes de los segmentos de recta cuando se va desde el punto de duración normal hasta el punto de duración mínima. Si esta condición no se satisface, la aproximación no es válida. Después de definir las relaciones tiempo-costo, se asignan sus duraciones normales a las actividades del proyecto. Se calcula luego la ruta crítica correspondiente y se registran los costos directos asociados. El paso siguiente es considerar la reducción en la duración del proyecto. Ya que tal reducción puede efectuarse únicamente si disminuye la duración de una actividad crítica, la atención debe centrarse en tales actividades. A fin de lograr una reducción en la duración al mínimo costo posible, se debe comprimir tanto como sea posible la actividad crítica que tenga la pendiente tiempo-costo más pequeña. El grado en el cual una actividad puede reducirse, está limitado por su tiempo a duración mínima. Sin embargo, deben tomarse en cuenta otros límites antes de que pueda determinarse la reducción exacta. El resultado de reducir una actividad es un programa nuevo, quizá con una nueva ruta crítica. El costo asociado al nuevo programa debe ser mayor que el del inmediato anterior. El nuevo programa debe considerarse ahora para reducción, seleccionando la actividad crítica (si duración mínima) con la mínima pendiente. El procedimiento se repite hasta que todas las actividades críticas estén en sus tiempos de duración mínima. El resultado final de los cálculos anteriores es una curva de tiempo-costo para los diferentes programas y sus costos correspondientes. Una curva característica se muestra con línea continua en la



137

figura 10. Esta, como se indicó anteriormente, representa solamente los costos directos.

Programa decosto mínimo

Programanormal

Costoindirecto

Costototal

Costodirecto

Programadeduraciónmínima

Tiempo transcurrido

Costo

Figura 10

Es lógico suponer que cuando aumenta la duración del proyecto, los costos

indirectos deben aumentar también como se muestra en la figura 10 con línea punteada. La suma de estos dos costos (directo + indirecto) da el costo total del proyecto. El programa óptimo corresponde al costo total mínimo. Ejemplo 6 Considere la red de la figura 11. Los puntos normal y de duración mínima para cada actividad están dados en la tabla siguiente. Se requiere calcular los diferentes programas de costo mínimo, que pueden ocurrir entre los tiempos a duración normal y a duración mínima. El análisis de este problema depende principalmente de las pendientes costo-tiempo para las diferentes actividades, éstas se calculan utilizando la fórmula:

PendienteC CD D

c n

n c

=−−



138

1 5

4

2

3

18

10

10

18

4

15

8

8

0

0

inicioterminación

8

4

5

10

2

3

HL=0

HL=0

HL=1

HL=5

Costo = 580Tiempo = 18

Figura 11 Las pendientes para las actividades de la red anterior se resumen en las tablas siguientes.

Actividad Normal Mínima (i, j) Duración Costo Duración Costo

(1, 2) 8 100 6 200 (1, 3) 4 150 2 350 (2, 4) 2 50 1 90 (2, 5) 10 100 5 400 (3, 4) 5 100 1 200 (4, 5) 3 80 1 100

Actividad Pendiente (1, 2) 50 (1, 3) 100 (2, 4) 40 (2, 5) 60 (3, 4) 25 (4, 5) 10

El primer paso en el procedimiento de cálculo es suponer que todas las actividades ocurren en tiempos normales. La red de la figura 11 muestra los



139

cálculos de ruta crítica en condiciones normales. La actividades (1, 2) y (2, 5) constituyen la ruta crítica. El tiempo del proyecto es 18 y su costo (normal) asociado es 580. El segundo paso es reducir el tiempo del proyecto disminuyendo (tanto como sea posible) la actividad crítica con la mínima pendiente. En la red de la figura 11 existen únicamente dos actividades críticas (1, 2) y (2, 5). La actividad (1, 2) se selecciona para reducirse, ya que tiene la pendiente más pequeña. Acorde a la curva costo-tiempo esta actividad puede reducirse en dos unidades de tiempo, límite que está especificado por su punto a duración mínima (que de aquí en adelante se llamará límite a duración mínima). Sin embargo, el reducir una actividad crítica a su punto de duración mínima no necesariamente significa que la duración del proyecto completo se reducirá en una cantidad equivalente. Esto es así porque, cuando la actividad crítica se reduce, puede desarrollarse una nueva ruta crítica. En este punto debe descartarse la anterior actividad crítica y darle atención a las actividades de la nueva ruta crítica. Una forma de predecir si una nueva ruta crítica se desarrollará antes de llegar a los puntos de duración mínima, es considerar las holguras libres para las actividades no críticas. Por definición, estas holguras libres son independientes de los tiempos de inicio de otras actividades. Por consiguiente, si durante la reducción de una actividad crítica, una holgura libre positiva llega a ser cero, esta actividad crítica no debe reducirse sin verificación adicional, ya que existe una posibilidad de que esta actividad de holgura libre cero pueda llegar a ser crítica. Esto significa que además del límite a duración mínima también debe considerarse el límite de holgura libre. Para determinar el límite de holgura libre, primero se necesita reducir la duración de la actividad crítica seleccionada para reducción en una unidad de tiempo. Luego, volviendo a calcular las holguras libres para todas las actividades no críticas, se notará cuáles de estas actividades han reducido sus holguras libres positivas en una unidad de tiempo. La holgura libre más pequeña (antes de la reducción) de tales actividades determina el límite de holgura libre necesario. Aplicando esto a la red de la figura 11, las holguras libres (HL) se muestran sobre las actividades respectivas. Una reducción de la actividad (1, 2) en una unidad de tiempo hará que caiga de uno a cero la holgura libre de la actividad (3, 4). La holgura libre de la actividad (4, 5) permanecerá sin cambio en 5. Por consiguiente, límite HL = 1. Ya que el límite de ruptura para (1, 2) es 2, su límite de reducción es igual al mínimo de su límite de ruptura y su límite HL, esto es

{ }Min 2 1 1= . El nuevo programa se muestra en la figura 12. El tiempo de proyecto correspondiente es 17 y su costo asociado es igual al del programa anterior más el costo adicional del tiempo reducido, esto es, 580 + (18 -17) x 50 = 630. Aunque la holgura libre determina el límite de reducción, la ruta crítica permanece siendo



140

la misma. Esto ilustra que no es siempre cierto que una nueva ruta crítica surgirá cuando el límite de reducción está especificado por el límite HL.

1 5

4

2

3

17

9

9

17

4

14

7

7

0

0

inicioterminación

8

4

5

10

2

3

HL=0

HL=0

HL=0

HL=5


7

Figura 12 Ya que la actividad (1, 2) todavía es el mejor candidato para reducirse, se calculan sus correspondientes límites HL y de duración mínima. Sin embargo, ya que el límite HL a duración mínima para la actividad (1, 2) es igual a 1, no es necesario calcular el límite HL porque cualquier HL positiva es, al menos igual a 1. Consecuentemente, la actividad (1, 2) se reduce en una unidad, llegando así a su límite de duración mínima. Los cálculos resultantes se muestran en la figura 13, la cual también muestra que la ruta crítica permanece sin cambio. El tiempo del proyecto es 16 y su costo asociado es: 630 + (17 - 16) x 50 = 680.



141

1 5

4

2

3

16

8

9

16

4

13

6

6

0

0

inicioterminación

8

4

5

10

2

3

HL=1

HL=0

HL=0

HL=4


76*

Figura 13 * ; Significa que la actividad ha llegado a su limite a duración minima. La actividad (1, 2) ya no puede reducirse más. Por lo tanto, se elige la actividad (2, 5) para reducirse más. Ahora bien Límite a duración mínima = 10 - 5 = 5 Límite HL = 4, correspondiente a la actividad (4, 5)

Límite de reducción = { }Min 5 4 4=

Los cálculos resultantes se muestran en la figura 14. Existen dos rutas críticas ahora: (1, 2, 5) y (1, 3, 4, 5). El tiempo para el nuevo proyecto es 12, y su costo es 680 + (16 - 12) x 60 = 920.



142

1 5

4

2

3

12

4

9

12

4

9

6

6

0

0

inicioterminación

8

4

5

10

2

3

HL=1


76*

6

Figura 14 La aparición de dos rutas críticas indica que, a fin de reducirse el tiempo del proyecto, será necesario reducir el tiempo de las dos rutas críticas simultáneamente. La regla anterior para elegir las actividades comunes que se van a reducir se aplica aquí todavía. Para la ruta (1, 2, 5), la actividad (2, 5) puede reducirse en una unidad de tiempo. Para la ruta (1, 3, 4, 5), la actividad (4, 5) tiene la mínima pendiente y su límite de duración mínima es 2. Por consiguiente, el límite a duración mínima para las dos rutas es igual a

{ }Min 1 2 1= . El límite HL esta determinado para este caso tomando el mínimo de los límites HL obtenidos considerando cada ruta crítica de manera separada. Sin embargo, como el límite de duración mínima es igual a 1, el límite HL no necesita calcularse. El nuevo programa se muestra en la figura 15. Su tiempo es 11, y su costo es 920 + (12 - 11) x (10 + 60) = 990. Las dos rutas críticas del proyecto permanecen iguales. Puesto que todas las actividades sobre la ruta crítica (1, 2, 5) están en el tiempo de duración mínima, ya no es posible reducir el tiempo del proyecto. El programa de la figura 15 da, por consiguiente, el programa de duración mínima.



143

1 5

4

2

3

11

4

9

11

4

9

6

6

0

0

inicioterminación

8

4

5

10

2

3

HL=1


76*

65*

2

Figura 15 Un resumen de los cálculos anteriores está dado en la figura 16, que representa el costo directo del proyecto. Sumando los costos indirectos correspondientes a cada programa, se puede calcular el programa de costo mínimo ( u óptimo).

Puntonormal

Costo directo

Punto de duración mínima

Duración

Cos

to

10 12 14 16 18 20

600

800

1200

1000

Figura 16



144

1 4

3

2

inicio terminación

5

10

25

20

58

Figura 17 El ejemplo desarrollado, resume todas la reglas para reducir actividades en las condiciones dadas. Existen casos, sin embargo, donde uno puede tener que aumentar una actividad ya reducida antes que la duración del proyecto completo pueda reducirse. La figura 17 ilustra un caso característico. Existen tres rutas críticas, a saber (1, 2, 3, 4), (1, 2, 4) y (1, 3, 4). La actividad (2, 3) ha sido reducida de su tiempo normal 8 a su tiempo actual 5. La duración del proyecto dado puede reducirse, disminuyendo simultáneamente una de las actividades sobre cada una de las rutas críticas (1, 2, 4) y (1, 3, 4), o reduciendo las actividades (1, 2) y (3, 4) y expandiendo la actividad (2, 3). Se elige la alternativa con la suma neta más pequeña de pendientes. Note que si las actividades (1, 2) y (3, 4) se reducen y la actividad (2, 3) se expande, la suma neta de pendientes es la suma de las pendientes para las actividades (1, 2) y (3, 4) menos la pendiente para la actividad (2, 3). En todos los otros casos donde no existan actividades que se puedan ampliar, la suma neta es igual a la suma de las pendientes de las actividades reducidas. Si la expansión es necesaria, entonces, además del límite a duración mínima y el límite HL, el límite de expansión también debe ser tomado en cuenta. Este es igual al tiempo normal de la actividad menos su tiempo presente de reducción. El límite de reducción, por consiguiente, es el mínimo del límite a duración mínima, el límite HL y el límite de expansión.



145

Control del Proyecto Existe la tendencia entre algunos usuarios PERT-CPM a pensar que el diagrama de flechas puede descartarse tan pronto se haya desarrollado el programa de tiempo. Esto no es así. En efecto, un uso importante del diagrama de flechas ocurre durante la fase de ejecución del proyecto. Raras veces sucede que la fase de planeación desarrollará un programa de tiempos que pueda seguirse exactamente durante la fase de ejecución. Muy a menudo algunos de los trabajos se demoran o se aceleran. Esto, naturalmente, depende de las condiciones reales de trabajo. Tan pronto como tales disturbios ocurren en el plan original, se hace necesario desarrollar un nuevo programa de tiempos para la parte restante del proyecto. Esta sección delinea un procedimiento para monitoreo y control del proyecto durante la fase de ejecución. Es importante seguir el progreso del proyecto en el diagrama de flechas, más que en el programa de tiempos solamente. El programa de tiempo se utiliza principalmente para verificar si cada actividad está en tiempo. El efecto de una demora en cierta actividad sobre la parte restante del proyecto, puede visualizarse mejor sobre el diagrama de flechas. Suponga que en cuanto el proyecto progresa en el tiempo, se descubriera que la demora de algunas actividades, hace necesario desarrollar un programa totalmente nuevo. ¿Cómo puede efectuarse esto usando el presente diagrama de flechas ? la necesidad inmediata es actualizar el diagrama de flechas asignando valores cero a las duraciones de las actividades que se han terminado. A las actividades parcialmente terminadas se les asignan tiempos equivalentes a sus partes no terminadas. También deben hacerse los cambios en el diagrama de flecha, tales como añadir o desechar cualquier actividad futura. Repitiendo los cálculos usuales sobre el diagrama de flechas con sus nuevos elementos de tiempo, se puede determinar el nuevo programa de tiempos y cambios posibles en la duración del proyecto. Tal información se utiliza hasta que es necesario actualizar el programa de tiempos nuevamente. En situaciones reales se requieren normalmente muchas revisiones del programa de tiempos en las primeras etapas de la fase de ejecución. Sigue luego un periodo estable, en el cual se requiere poca revisión del programa actual.



146

Resumen Los cálculos de ruta crítica son bastantes simples, no obstante que proporcionan valiosa información que simplifica la programación de proyectos complejos. El resultado es que las técnicas PERT-CPM gozan de una enorme popularidad entre los usuarios en la práctica. La utilidad de la técnica se ve aún más acrecentada por la disponibilidad de sistemas de computación especializados para ejecutar, analizar y controlar proyectos de redes.



147

Problemas Propuestos 1.- Determine la ruta critica para el proyecto reflejado en la siguiente red : Considerando las necesidades de personal para este proyecto indicadas en la tabla siguiente, encuentre el número mínimo de personas (en función del tiempo del proyecto) necesario durante la programación del proyecto. Por medio de la nivelación de recursos, estime el número máximo de hombres que se necesita.

Actividad Número de Obreros Actividad Número de Obreros 1,2 5 3,6 9 1,4 4 4,6 1 1,5 3 4,7 10 2,3 1 5,7 4 2,5 2 5,7 5 2,6 3 6,7 2 3,4 7

71

5

2

3

4

6

8

3

9

5

10

10

4

5 4

8

7

1

3



148

2.- Considere el siguiente proyecto. Suponga que las estimaciones (a, b, m) están dadas como se muestra en la sguiente tabla :

Actividad (a, b, m) Actividad (a, b, m) 1, 2 (4, 8, 6) 3, 4 (2, 20, 9) 1, 4 (2, 4, 3) 3, 6 (3, 5, 4) 1, 5 (2, 6, 4) 4, 6 (6, 10, 8) 2, 3 (4, 6, 5) 4, 7 (4, 8, 6) 2, 5 (6, 14, 7) 5, 6 (8, 18, 10) 2, 6 (8, 16, 9) 5, 7 (4, 8, 6) 6,7 (3, 5, 4)

En cuántos días el proyecto podría quedar terminado si todo funciona bien ?. Determine la rura crítica Calcule las probabilidades de que los diferentes eventos ocurran sin demora, en el sentido que no pueden ocurrir más allá de un cierto tiempo dado (Evento, Tiempo) : (2, 8) ; (3, 10) ; (4, 15) ; (5, 20) ; (6, 25) ; (7, 32).

1 2

3

4

6 7

5



149

3.- Un supervisor planificando las atividades de un proyecto dado por la red siguiente, deja el trabajo en un estado intermedio. Se dan los datos de costos directos en relación a la duración mínima y normal de cada actividad. Su supervisor tratando de buscar el óptimo Costo-Tiempo, inició el proceso de determinar los diferentes programas de costo mínimo entre los puntos de duración normal y mínima. Una interrupción lo obligó a dejar el trabajo en la mitad y le dejó como antecedente : la tabla y la red en donde el tiempo ya lo redujo a 20 a un costo total de 1226,7. La red contiene los datos calculados por él. Se pide que usted continue hasta el final.

Actividad Normal Mínima (i, j) Duración Costo Duración Costo (1, 2) 5 100 2 200 (1, 4) 2 50 1 80 (1, 5) 2 150 1 180 (2, 3) 7 200 5 250 (2, 5) 5 20 2 40 (2, 6) 4 20 2 40 (3, 4) 3 60 1 80 (3, 6) 10 30 6 60 (4, 6) 5 10 2 20 (4, 7) 9 70 5 90 (5, 6) 4 100 1 130 (5, 7) 3 140 1 160 (6, 7) 3 200 1 240

Ttt

Tip

1 2

3

4

6 7

5

00 5

5

1014

1818

2020

1212

1515

25

2

2

3

4

4 2

7

3

3 5

6

HL=8 HL=0

HL=9

HL=4

HL=7

HL=13

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