UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

Decanato de Postgrado

Maestrıa en Matematicas

COTAS SUPERIORES PARA LA ENERGIA DE UN DIGRAFO

Trabajo de Grado presentado en la Universidad Simon Bolıvar por

Elıas Alfredo Gudino Rojas

Como requisito parcial para optar al grado de

Magister en Matematicas

Realizado con la asesorıa de los profesores

Juan Rada y Domingo Quiroz

Mayo, 2009

ii

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

Decanato de Postgrado

Maestrıa en Matematicas

Estudiante: Gudino Rojas Elıas Alfredo

Carnet: 0786047

Este Trabajo de Grado ha sido aprobado en nombre de la Universidad Simon Bolıvar

por el siguiente jurado examinador:

Mayo, 2009

iii

AGRADECIMIENTOS

A mis padres por estar a mi lado durante todos estos anos brindando el apoyo necesario

para poder lograr esta meta. Al Profesor Domingo Quiroz por su ayuda incondicional desde

que estaba en el pregrado. Finalmente al Profesor Juan Rada, sin su valiosa colaboracion

y arduo trabajo hubiese sido imposible la culminacion de este trabajo de grado.

iv

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

Decanato de Postgrado

Maestrıa en Matematicas

RESUMEN

COTAS SUPERIORES PARA LA ENERGIA DE UN DIGRAFO

Estudiante: Gudino Rojas Elıas Alfredo

Carnet: 0786047

Mayo de 2009

Sea D un digrafo de n vertices y λ1, λ2, ...λn los autovalores de la matriz de adyacencia

A(D) de D, se define la energıa de D como E(D) =n∑i=1

|Re(λi)|, donde Re(λi) es la

parte real de λi. Este concepto fue introducido por J. Rada [14] y es una generalizacion

del concepto de energıa de grafos introducido por I. Gutman [3], que es muy estudiado en

quımica, ya que es utilizado para aproximar la energıa π-electron total de hidrocarburos

no saturados. En este trabajo establecemos una cota para el radio espectral de un digrafo

para luego calcular una generalizacion a digrafos de la cota para la energıa de grafos

obtenida por J.H Koolen y V. Moulton en [10].

Palabras clave: energıa de digrafos, energıa de grafos, desigualdad de Koolen y

Moulton

v

INDICE GENERAL

Aprobacion del Jurado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I. Cotas Superiores para la Energıa de digrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II. La desigualdad de Koolen y Moulton para digrafos . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

INTRODUCCION

Un grafo simple G consiste de un conjunto finito V (G) de n elementos llamados vertices

y un conjunto E(G) de e pares no ordenados de vertices diferentes llamados lados. Si

(vi, vj) es un lado diremos que vi y vj son adyacentes. La matriz de adyacencia A(G) de

un grafo G, con conjunto de vertices v1, v2, ..., vn, es una matriz n× n cuyas entradas ai,j

estan definidas como

ai,j =

1 si (vi, vj) ∈ E(G)

0 en caso contrario

Sean µ1 ≥ µ2 ≥ ... ≥ µn los autovalores de la matriz de adyacencia (note que A(G)

es una matriz simetrica, por lo tanto todos los µi son numeros reales), se define la energıa

del grafo como

E(G) =n∑i=1

|µi|

Este concepto fue introducido por I. Gutman [3], con el fin de aproximar la energıa

π-electron total de moleculas de hidrocarburos no saturados, tomando a G como una

representacion de dicha molecula. Para mas detalles sobre esta teorıa recomendamos ver

[5].

El concepto de la energıa de un grafo ha sido ampliamente estudiado (para un resumen

de los resultados mas relevantes referimos al lector a [4]) en un principio por su aplicabil-

idad a la quımica y luego por su interes matematico. Se sabe muy bien que el espectro

de un grafo esta ıntimamente ligado a la estructura del mismo (para mas detalles ver [2]).

Uno de los problemas mas importantes dentro de la teorıa de la energıa es caracterizar

para un numero fijo n de vertices el grafo o la familia de grafos que tienen energıa maxima,

este problema aun se considera abierto. Ası que el estudio de las cotas superiores para la

2

energıa de un grafo es considerado de vital importancia para tratar de darle respuesta al

problema.

La primera cota que se conoce para E(G) fue propuesta por McClelland [12] en el ano

1971.

Teorema 0.1. [12] Sea G un grafo con n vertices y e lados

E(G) ≤√

2en

En un principio se creıa que los grafos con energıa maxima eran los grafos completos,

cuya energıa es E(Kn) = 2n− 2. Pero se han podido construir muchos ejemplos de grafos

con n vertices y E(G) > 2n−2. A estos grafos cuya energıa excede 2n−2 en la actualidad

se les denominan grafos hiperenergeticos. Podemos mencionar algunos ejemplos de grafos

hiperenergeticos:

(i) El grafo linea L(Kn) de un Kn con n ≥ 5 [17];

(ii) El grafo Kn − H que se obtiene quitando de Kn el ciclo hamiltoniano H para n

suficientemente grande [22];

(iii) La mayorıa de los grafos circulantes (grafos cuya matriz de adyacencia es una matriz

circulante) [22].

Para conocer mas resultados sobre grafos hiperenergeticos recomendamos ver los artıculos

[21, 18].

Existen muchas cotas para la energıa de grafos ([11, 23, 24]), de particular interes para

este trabajo es la cota construida por Koolen y Moulton [10] en 2001, ya que esta permite

construir una cota para E(G) en funcion del numeros de vertices de un grafo y ası dar

respuesta parcial al problema de los grafos con energıa maxima.

Un grafo no completo G es fuertemente regular con parametros (n, k, l,m) si tiene n

vertices, es k-regular, todo par de vertices adyacentes tienen l vecinos comunes y todo par

de vertices no adyacentes tienen m vecinos comunes. Un ejemplo de un grafo fuertemente

regular con parametros (10, 3, 0, 1) es el grafo de Petersen.

3

La desigualdad de Koolen y Moulton establece lo siguiente:

Teorema 0.2. [10] Sea G un grafo con n vertices y e lados, si 2e ≥ n, entonces

E(G) ≤ 2e

n+

√√√√(n− 1)

[2e−

(2e

n

)2]

(0.1)

la igualdad en 0.1 ocurre si, y solo si, G es uno de los siguientes grafos:

(i) n2

copias disjuntas de K2;

(ii) Kn;

(iii) Un grafo conexo fuertemente regular con dos autovalores no triviales, ambos con

valor absoluto

√2e−( 2e

n )2

n−1.

Si consideramos el lado derecho de (0.1) como una funcion de e, derivamos para encon-

trar los puntos crıticos y evaluamos en los extremos se puede construir la cota del siguiente

resultado.

Teorema 0.3. [10] Sea G un grafo con n vertices y e lados, si 2e ≥ n, entonces

E(G) ≤ n2(1 +

√n)

la igualdad se cumple si, y solo si, G es un grafo fuertemente regular con parametros(n, n+

√n

2, n+2

√n

4, n+2

√n

4

).

En este tipo de cotas la mayor dificultad se encuentra en conseguir las condiciones de

igualdad. Koolen y Moulton demuestran en su trabajo que es posible la construccion de

4

familias infinitas de estos grafos fuertemente regulares, para ciertos valores de n utilizando

argumentos de la teorıa de geometrıas semiparciales. Por lo tanto el problema de los grafos

con energıa maxima aun se considera abierto para un n arbitrario. Para los detalles sobre

las cotas de Koolen y Moulton recomendamos el trabajo [19].

El estudio del invariante E ha despertado tanto interes dentro de la teorıa espectral

de grafos que varios autores han propuesto conceptos alternativos de energıa, algunos con

motivacion en la quımica, otros con motivacion netamente matematica.

En [13] V. Nikiforov extiende el concepto de energıa de grafos a cualquier matriz

compleja m× n. Sean γ1 ≥ γ2 ≥ ... ≥ γn las raıces cuadradas de los autovalores de AA∗,

donde A∗ es la matriz transpuesta conjugada de A. Se define la energıa de A como

ε(A) =n∑i=1

γi

En su trabajo Nikiforov tambien generaliza la desigualdad de Koolen y Moulton (Teo-

rema 0.2) de la siguiente manera: si m ≤ n, A es una matriz m × n no negativa con

entrada maxima α y ‖A‖1 ≥ nα, entonces

ε(A) ≤ ‖A‖1mn

+

√(m− 1)(‖A‖2

2 −‖A‖21mn

)

donde ‖A‖21 =

m∑i=1

n∑j=i

aij y ‖A‖22 = tr(AA∗).

Consideremos ahora la matriz laplaciana L(G) de un grafo G de n vertices, esta es una

matriz n× n cuyas entradas li,j se definen como

li,j =

−1 si (vi, vj) ∈ E(G)

d(vi) si i = j

0 si no

En [6] I. Gutman y B. Zhou definen la energıa laplaciana de un grafo como

LE(G) =n∑i=1

∣∣∣∣µi − 2e

n

∣∣∣∣donde µ1, µ2, ..., µn son los autovalores de la matriz laplaciana de G.

5

Si G es un grafo regular se sabe que LE(G) = E(G) y si G es un grafo bipartito,

entonces E(G) ≤ LE(G). Si G es un grafo no regular, no bipartito se han construido

contra-ejemplos para demostrar que la desigualdad E(G) ≤ LE(G) es falsa en el caso

general.

Por otra parte, la matriz de distancia D(G) de un grafo G es una matriz n × n cuya

entrada di,j esta definida como la distancia de vi a vj. En [8] I. Gutman y G. Indulal

definen la energıa de distancia de un grafo G como

DE(G) =n∑i=1

|ρi|

donde ρ1, ρ2, ..., ρn son los autovalores de la matriz de D(G).

Es de nuestro particular interes la extension del concepto de energıa de un grafo a

digrafos propuesta por I. Pena y J. Rada en [14]. Un digrafo D consiste en un conjunto

finito V (D) de n elementos llamados vertices y un conjunto E(D) de a pares ordenados de

vertices diferentes llamados arcos. Si (vi, vj) es un arco diremos que vi y vj son adyacentes.

La matriz de adyacencia A(D) de un digrafo D, con conjunto de vertices v1, v2, ..., vn, es

una matriz n× n cuyas entradas ai,j estan definidas como

ai,j =

1 si (vi, vj) ∈ E(D)

0 en caso contrario

Note que en general, A(D) no es una matriz simetrica. Luego sus autovalores λ1, λ2, ..., λn

pueden ser numeros complejos.

Uno de los resultados fundamentales de la Teorıa de la energıa de grafos es la formula

integral de Coulson [5]. Si G es un grafo simple de n vertices y ΦA(G) el polinomio

caracteristico de A(G), entonces

E(G) = 1π

∫∞−∞

(n−

ixΦ′A(G)

(ix)

ΦA(G)(ix)

)dx

I. Pena y J. Rada en [14] demostraron que si D es un digrafo de n vertices y ΦA(D) es el

polinomio caracterıstico de A(D), entonces

1π

∫∞−∞

(n−

ixΦ′A(G)

(ix)

ΦA(G)(ix)

)dx =

n∑i=1

|Re(λi)|,

6

donde Re(λi) denota la parte real de λi. Por lo tanto, es natural extender el concepto de

energıa para digrafos [14] como

E(D) =n∑i=1

|Re(λi)|

Este concepto generaliza la energıa de un grafo introducido por Gutman. De hecho,

existe una correspondecia biunıvoca entre los grafos y los digrafos simetricos: si G es un

grafo, entonces definimos el digrafo simetrico asociado G∗ reemplazando cada lado de G

por un par de arcos simetricos. Es claro que G y G∗ tienen la misma matriz de adyacencia

y, en consecuencia, E(G∗) = E(G)

El objetivo de este trabajo es determinar cotas superiores de la energıa de digrafos,

en terminos de invariantes del digrafo, como pueden ser el numero de vertices, el numero

de arcos o el numero de recorridos cerrados de longitud 2. Comenzamos en el Capıtullo I

desarrollando detalladamente las cotas obtenidas por J. Rada en el artıculo “The McClel-

land inequality for the energy of a digraph” [15]. En este artıculo se caracterizan aquellos

digrafos que tienen energıa cero, estos resultaron ser los digrafos acıclicos (Teorema 1.3).

Luego, utilizando un Teorema que conecta informacion entre los autovalores de un digrafo

(parte real y parte imaginaria) con la estructura del mismo (Teorema 1.2), es posible vıa la

desigualdad de Cauchy-Schwarz obtener lo que se llamo la desigualdad de McClelland para

digrafos (Teorema 1.4): Si D es un digrafo con n vertices, a arcos y c2 recorridos cerrados

de longitud 2, entonces E(D) ≤√

n2(a+ c2). Ademas se determinan exactamente aquellos

digrafos que alcanzan la cota. Este resultado generaliza a digrafos la celebre desigualdad

de McClelland para grafos.

A partir de aquı se obtienen diferentes cotas superiores para la energıa en terminos solo

del numero de arcos (Teorema 1.4) o en terminos del numero de vertices y arcos (Corolario

1.1), que tambien generalizan resultados bien conocidos para grafos. Para mayores detalles

sobre las cotas de la energıa de un grafo referimos al lector al trabajo “Grafos con energıa

maxima” [19].

Surge entonces de manera natural la siguiente pregunta: ¿sera posible determinar cotas

superiores para la energıa de digrafos del tipo Koolen-Moulton?. En el caso de los grafos,

esta desigualdad se basa fuertemente en el hecho de que el radio espectral ρ(G) de un grafo

con n vertices y e lados es mayor o igual a 2en

[2, Teorema 3.8]. El problema en el caso de

digrafos es que la matriz de adyacencia no es necesariamente simetrica y, por lo tanto, no

es necesariamente diagonalizable. Sin embargo, utilizando la simetrizacion de matrices y

algunos resultados de la teorıa de matrices no negativas desarrollados por J. Schwenk [20]

7

y L. Kolotilina [9], en el Capıtulo II logramos extender la cota inferior del radio espectral

de un grafo a digrafos en general de la siguiente manera (Teorema 2.2): Si D es un digrafo

con n vertices y c2 recorridos cerrados de longitud 2, entonces ρ(D) ≥ c2n

. Ademas, la cota

se alcanza exactamente en digrafos simetricos c2n

regulares. Finalizamos con una aplicacion

de este Teorema obteniendo una cota superior de la energıa de un digrafo del tipo Koolen

y Moulton (Teorema 2.3).

Nuestra referencia a lo largo de este trabajo para aquellos temas dentro de la teorıa de

matrices es el libro “Matrix Analysis” de R. Horn y C. Johnson [7]. Todo lo relacionado

con la teorıa espectral de grafos se encuentra en el libro “Spectra of Graphs” por D.M

Cvetkovic, M. Doob y H. Sachs [2]

CAPITULO I

COTAS SUPERIORES PARA LA ENERGIA DE DIGRAFOS

Comenzamos recordando que un digrafo lineal es un digrafo en el que cada vertice tiene

grado de entrada y grado de salida igual a 1, es decir, un digrafo lineal consiste solo de

ciclos.

Teorema 1.1. [2, Teorema 1.2] Sea D un digrafo con polinomio caracterıstico

ΦD = xn + b1xn−1 + ...+ bn−1x+ bn.

Entonces

bk =∑L∈Λk

(−1)comp(L)

para todo k = 1, 2, ..., n, donde Λk son todos los subdigrafos lineales L de D con exacta-

mente k vertices; comp(L) denota el numero de componentes de L

El teorema anterior es un resultado fundamental de la teorıa espectral de digrafos, ya

que relaciona los coeficientes de ΦD con la estructura del digrafo.

Sea D un digrafo con autovalores λ1, λ2, ..., λn, se sabe que las entradas a(s)ij de As(D)

coinciden con la cantidad de recorridos de longitud s del vertice vi al vertice vj [2, Teorema

1.9]. Utilizando la triangularizacion unitaria de Schur [7, Teorema 2.3.1], tenemos que

A(D) = UTU∗ donde U es una matriz unitaria y T es una matriz triangular con los

autovalores λ1, λ2, ..., λn sobre la diagonal, por lo tanto As(D) = UT sU∗ y ası tr(As(D)) =n∑i=1

λsi . Luego si cs es la cantidad de recorridos cerrados de longitud s en D, entonces

n∑i=1

λsi = cs.

Teorema 1.2. [15] Sea D un digrafo de n vertices y a arcos. Si λ1, λ2, ..., λn son los

autovalores de A(D) entonces

9

(i)n∑i=1

Re2(λi)−n∑i=1

Im2(λi) = c2;

(ii)n∑i=1

Re2(λi) +n∑i=1

Im2(λi) ≤ a.

Demostracion. La parte (i) es cierta ya que

c2 =n∑i=1

λ2i =

n∑i=1

Re2(λi)−n∑i=1

Im2(λi) + 2in∑i=1

Re(λi)Im(λi)

note quen∑i=1

Re(λi)Im(λi) = 0, ya que c2 ∈ Z+.

Para la parte (ii) recordemos que A(D) es unitariamente equivalente a una matriz

triangular superior T tal que tii = λi para todo i = 1, 2, ..., n [7, Teorema 2.3.1], ası que

por [7, Teorema 2.2.2]n∑i=1

n∑j=1

a2ij =

n∑i=1

n∑j=1

|tij|2. Por el hecho de que A(D) es una matriz

de ceros y unos se deduce que

a =n∑i=1

n∑j=1

aij =n∑i=1

n∑j=1

a2ij =

n∑i=1

n∑j=1

|tij|2 ≥n∑i=1

|tii|2 =n∑i=1

|λi|2 =

n∑i=1

Re2(λi) +n∑i=1

Im2(λi)

El resultado anterior permite establecer relaciones entre propiedades estructurales de

un digrafo y su energıa, como veremos a continuacion.

Teorema 1.3. [15] Un digrafo D es acıclico si, y solo si, E(D) = 0.

Demostracion. Si D es un digrafo acıclico por el Teorema 1.1 su polinomio caracterıstico

es

ΦD = xn.

Por lo tanto A(D) tiene un solo autovalor λ = 0 de multiplicidad n. Ası que E(D) = 0.

Si E(D) = 0, entonces Re(λi) = 0 para todo i = 1, 2, ..., n. Como A(D) es una matriz

no negativa, por el Teorema de Perron-Frobenius existe un autovalor no negativo ρ tal

que |λi| ≤ ρ para todo i = 1, 2, ..., n. En nuestro caso ρ = 0 , ası que λi = 0 para todo

10

i = 1, 2, ..., n. Por lo tanto ΦD = xn. Veamos que esto implica que D es acıclico. De lo

contrario, sea g la longitud del menor ciclo que tiene D. Entonces por el Teorema 1.1, el

coeficiente bg de ΦD es distinto de cero, lo cual es una contradiccion.

Se obtiene del Teorema anterior que para digrafos la energıa mınima la alcanzan los

digrafos acıclicos. Lo cual motiva el estudio de digrafos con energıa maxima. Sin embargo,

recientemente J. Rada en [16] refina el Teorema anterior: Si D es un digrafo con c2

recorridos cerrados de longitud 2, entonces√

2c2 ≤ E(D). La igualdad se cumple si, y

solo si, D es acıclico o tiene tres autovalores −√

c22,√

c22

y 0 con multiplicidades 1, 1 y

n − 2 respectivamente, donde n es la cantidad de vertices de D. Este resultado extiende

la cota inferior para la energıa de un grafo obtenida por G. Caporossi et.al. [1]: Si G es

un grafo con e lados, entonces 2√e ≤ E(G). La igualdad se cumple si, y solo si, G es un

grafo completo bipartito mas algunos vertices aislados.

El siguiente teorema establece la primera cota superior para la energıa de un digrafo

en funcion de tres invariantes del mismo.

Teorema 1.4. [15] Si D es un digrafo con n vertices, a arcos y c2 recorridos cerrados de

longitud 2, entonces

E(D) ≤√

n2(a+ c2)

la igualdad se cumple si, y solo si, D es n2

copias de↔K2, el ciclo dirigido de longitud 2.

Demostracion. Consideremos los vectores (|Re(λ1)| , |Re(λ2)| , ..., |Re(λn)|) y (1, 1, ..., 1) de

Rn. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz y el Teorema 1.2 tenemos que

E(D) =

(n∑i=1

|Re(λi)|

)≤√n

n∑i=1

Re2(λi) =

√n(c2 +

n∑i=1

Im2(λi)) ≤√n(c2 + 1

2(a− c2)) =

√n2(a+ c2)

ya quen∑i=1

Im2(λi) ≤1

2(a− c2).

Si D es n2

copias de↔K2, entonces tiene n vertices, n arcos y n recorridos cerrados de

longitud 2. Utilizando el Teorema 1.1 es facil ver que su polinomio caracteristico es

ΦD = (x2 − 1)n2 .

11

Por lo tanto A(D) tiene dos autovalores λ1 = 1 y λ2 = −1, ambos con multiplicidadn2, ası que √

n2(n+ n) = n = E(n

2

↔K2)

Si E(D) =√

n2(a+ c2), entonces D no puede tener vertices aislados. En efecto, sea D∗

el digrafo que se obtiene de quitar los vertices aislados a D, entonces√n2(a+ c2) = E(D) = E(D∗) ≤

√n∗

2(a+ c2)

donde n∗ ≤ n es la cantidad de vertices de D∗. La desigualdad anterior implica que

n ≤ n∗, por lo tanto n = n∗ y ası D no tiene vertices aislados.

Por otro lado, las condiciones de igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz im-

plican que existe un r ∈ R tal que |Re(λi)| = r para todo i = 1, 2, ..., n. Como el radio

espectral ρ es un autovalor de A(D), entonces |Re(λi)| = ρ para todo i = 1, 2, ..., n, ası

que

ρ = |Re(λi)| ≤ |λi| ≤ ρ

es decir, |λi| = ρ para todo i = 1, 2, ..., n. Esto lleva a que

nρ = E(D) =√

n2(a+ c2)

y

c2 =n∑i=1

λ2i = nρ2.

Ası c2 = nρ2 = 12(a + c2), por lo tanto c2 = a. Esto implica que D es un digrafo

simetrico y E(D) =√na. Sea G el grafo subyacente de D de n vertice y e lados, es claro

que E(D) = E(G) =√

2en. Como G no tiene vertices aislados se sigue que 2e ≥ n y ası

por la desigualdad de Koolen y Moulton [10]

E(G) =√

2en si, y solo si, G es suma directa de n2

copias de K2.

Esto demuestra que D es n2

copias de↔K2.

Observacion 1.1. En [15] J. Rada prueba que esta cota es una generalizacion de la cota

de B.J. McClelland a digrafos. De hecho si G es un grafo simple con n vertices y e lados,

podemos construir su digrafo simetrico asociado G∗. Es facil ver que a = c2 = 2e, ası que

E(G) = E(G∗) ≤√

n2(2e+ 2e) =

√2en.

12

En el siguiente resultado se utiliza el teorema anterior para establecer una cota para la

energıa de un digrafo que dependa solamente del numero a de arcos de este. Recordemos

que un digrafo D es fuertemente conexo si para todo par de vertices v1 y v2, existe un

camino de v1 a v2 y un camino de v2 y v1. Por lo tanto, si D es un digrafo fuertemente

conexo con n vertices y a arcos, entonces d+(vi) ≥ 1 y d−(vi) ≥ 1 para todo i = 1, 2, ..., n.

Esto implica que a ≥ n, ya que a =n∑i=1

d+(vi) ≥ n.

Las componentes fuertemente conexas de un digrafo son los subdigrafos maximales

fuertemente conexos. Sean D1, D2, ..., Dt las componentes fuertemente conexas de un

digrafo D, entonces ΦD = ΦD1ΦD2 ...ΦDt [2, p. 55]. Por lo tanto, E(D) =t∑i=1

E(Di).

Teorema 1.5. [15] Si D es un digrafo con a arcos, entonces E(D) ≤ a. La igualdad se

cumple si, y solo si, D es a2

↔K2 mas algunos vertices aislados.

Demostracion. Si D es un digrafo fuertemente conexo, entonces por lo visto anteriormente

a ≥ n y claramente c2 ≤ a. Ası por el Teorema 1.4 se deduce que

E(D) ≤√n

2(a+ c2) ≤

√na ≤

√a2 ≤ a (1.1)

En el caso general, sean D1, D2, ..., Ds las componentes fuertemente conexas de D, es

facil ver que (para la demostracion ver [14])

E(D) =s∑i=1

E(Di).

Sea ai el numero de arcos de Di para cada i = 1, 2, ..., s. Entonces

E(D) =s∑i=1

E(Di) ≤s∑i=1

ai ≤ a (1.2)

Si D es a2

↔K2 mas algunos vertices aislados, entonces E(D) = a.

Si D es fuertemente conexo y E(D) = a, entonces por (1.1) na = a2, por lo tanto a = 0

o a = n. Si a = 0 entonces D es un vertice. Si a = n con n > 0, entonces por (1.1)

n2(a+ c2) = na

y, por lo tanto, c2 = a = n. Ası que D es un digrafo simetrico. Sea G el grafo subyacente

13

de D de n vertice y e lados, entonces n = 2e, por lo tanto G es K2, lo cual implica que D

es↔K2.

En el caso general por (1.2)

s∑i=1

E(Di) =s∑i=1

ai = a.

Como E(Di) ≤ ai, entonces E(Di) = ai para cada i = 1, 2, ..., s. Ası que Di es↔K2 o

un vertice, esto termina la prueba.

Observacion 1.2. En [15] J. Rada prueba que esta cota es una generalizacion de la cota

de G. Caporossi et.al. [1]: Si G es un grafo con e lados entonces E(G) ≤ 2e; la igualdad

se cumple si, y solo si, G es suma directa de e copias de K2 mas algunos vertices aislados.

Se desprende de la demostracion del teorema anterior el siguiente resultado.

Corolario 1.1. Sea D un digrafo con a arcos y n vertices. Entonces E(D) ≤√na. La

igualdad se cumple si, y solo si, D es a2

↔K2.

CAPITULO II

LA DESIGUALDAD DE KOOLEN Y MOULTON PARA DIGRAFOS

Comenzamos este Capıtulo recordando algunos conceptos de la teorıa de matrices. Una

matriz es no negativa cuando sus entradas aij son numeros no negativos. Escribimos en

este caso A ≥ 0. Si B es otra matriz, entonces A ≥ B cuando A−B ≥ 0.

Recordemos que el radio espectral de una matriz A con autovalores λ1, λ2, ..., λn es

denotado por ρ(A) y se define como

ρ(A) = max {|λi| : i = 1, 2, ..., n}.

Es bien conocido [7, Teorema 8.1.18] que si A ≥ B ≥ 0 entonces ρ(A) ≥ ρ(B).

Una matriz A es reducible si existe una matriz de permutacion P tal que P TAP tiene

la forma [B 0

C D

]

donde B y D son matrices cuadradas. En caso contrario, A es irreducible. Es bien

conocido que la matriz de adyacencia de un digrafo fuertemente conexo es irreducible [7,

Teorema 6.2.24]. Las propiedades espectrales de las matrices no negativas e irreducibles

estan descritas en el importante Teorema de Perron-Frobenius:

Teorema 2.1. [7, Teorema 8.4.4] Sea A una matriz n × n no negativa e irreducible,

entonces

(i) ρ(A) > 0;

(ii) ρ(A) es un autovalor de A;

(iii) existe un vector positivo x, tal que Ax = ρ(A)x;

15

(iv) ρ(A) es un autovalor simple de A.

Sea A ≥ 0 una matriz n× n con entradas aij. Definimos la matriz de simetrizacion de

A, denotada por S(A), como la matriz n× n cuyas entradas estan definidas como

sij = (aijaji)12

En el caso que A sea una matriz de ceros y unos, es claro que A ≥ S(A) ≥ 0 y, en

consecuencia

ρ(A) ≥ ρ(S(A)) (2.1)

En el caso general de matrices no negativas la desigualdad (2.1) es cierta, hecho es-

tablecido por J. Schwenk en [20]. Las condiciones necesarias y suficientes para que ocurra

la igualdad fueron demostradas por L. Yu. Kolotilina en [9].

Siguiendo algunas ideas de Kolotilina en el artıculo [9], vamos a encontrar una cota

inferior para el radio espectral de un digrafo en terminos del numero de vertices y del

numero de recorridos cerrados de longitud 2. Este resultado generaliza la cota inferior

para grafos [2, Teorema 3.8]: Si G es un grafo con n vertices y a arcos entonces ρ(G) ≥ 2en

.

La igualdad se cumple si, y solo si, G es un grafo 2en

-regular.

Recordemos que si D es un digrafo debilmente conexo, entonces D es fuertemente

conexo si, y solo si, todo arco de D pertenece a un ciclo.

Usaremos la desigualdad de la media geometrica-media aritmetica: Si x1, x2, ..., xn son

numeros reales no negativos, entonces x1 + x2 + ... + xn ≥ 2√x1x2...xn. La igualdad se

cumple si, y solo si, x1 = x2 = ... = xn.

Diremos que un digrafo es simetrico k-regular si es el digrafo simetrico asociado a un

grafo k-regular.

Sea D un digrafo simetrico k-regular con n vertices, a arcos y c2 recorridos cerrados

de longitud 2, entonces es claro que a = c2, k = c2n

y ρ(D) = k.

Teorema 2.2. Sea D un digrafo con n vertices, c2 recorridos cerrados de longitud 2 y

radio espectral ρ. Entonces

ρ ≥ c2

n

la igualdad se cumple si, y solo, D es un digrafo simetrico c2n

-regular mas algunos arcos

que no pertenecen a ciclos.

16

Demostracion. Sea A la matriz de adyacencia de D y S(A) la matriz de simetrizacion de

A. Claramente A ≥ S(A) ≥ 0. Luego por el teorema de Rayleigh-Ritz [7, Teorema 4.2.2]

ρ = ρ(A) ≥ ρ(S(A)) ≥ eTS(A)e

n=

n∑i=1

n∑j=1

sij

n=c2

n(2.2)

donde e = (1, 1, ..., 1)T .

Esto demuestra la primera parte. Para ver la segunda parte, supongamos que ρ = c2n

.

Entonces se deduce de (2.2) que

ρ = eTS(A)en

= ρ(S(A))

Consideremos tres casos:

(i) D es fuertemente conexo: en este caso A es irreducible, ası por el Teorema de Perron-

Frobenius (Teorema 2.1), existe 0 < v ∈ Rn tal que Av = ρv. Es decir,

ρ =n∑j=1

aijvjvi

para todo i = 1, 2, ..., n. Luego por la desigualdad de la media geometrica-media

aritmetica,

nρ =∑

1≤i<j≤n

(aijvjvi

+ ajivivj

) ≥ 2∑

1≤i<j≤n

√aijaji = eTS(A)e = nρ

y, en consecuencia ∑1≤i<j≤n

(aijvjvi

+ ajivivj

) = 2∑

1≤i<j≤n

√aijaji.

Por lo tanto

aijvjvi

= ajivivj

(2.3)

para todo i, j = 1, 2, ..., n.

Como A es una matriz de ceros y unos y v > 0, se deduce de (2.3) que aij = 0 si,

y solo si, aji = 0 para todo i, j = 1, 2, ..., n. Esto demuestra que A es simetrica, y

ası D es un digrafo simetrico. Si G es el grafo de n vertices y e lados asociado a

A, entonces 2e = a = c2. Es decir, ρ(G) = 2en

, lo que implica que G es un grafoc2n

-regular [2, Teorema 3.8].

17

(ii) D es la union disjunta de t componentes fuertemente conexas D1, D2, ..., Dt: entonces

A =

A1 0 ... 0

0 A2 ... 0

. . ... .

0 0 ... At

donde cada matriz bloque Ak de tamano nk × nk es la matriz (irreducible) de adya-

cencia de Dk. Claramentet∑

k=1

nk = n. Luego

eTS(A)e

n=

t∑k=1

eTnkS(Ak)enk

nk

nkn≤

t∑k=1

nkρ(Ak)

n≤ max

kρ(Ak) = ρ. (2.4)

Como ρ = eTS(A)en

se concluye de (2.4) que

ρ = ρ(Ak) =eTnkS(Ak)enk

nk

para todo k = 1, 2, ..., t. Ahora por el caso (i) concluimos que Dk es un digrafo

simetrico c2n

-regular para todo k = 1, 2, .., t.

(iii) En el caso general, sea D∗ el digrafo que se obtiene a partir de D quitando todos

los arcos de D que no pertenecen a ciclos. Es claro que D∗ es la union disjunta de

componentes fuertemente conexas y S(A) = S(A(D∗)). Mas aun, D y D∗ tienen el

mismo espectro por el Teorema 1.1. Esto implica que

ρ(D∗) = ρ =eTS(A(D∗))e

n.

Aplicando el caso (ii) a D∗, se deduce que D es un digrafo simetrico c2n

-regular mas

algunos arcos que no pertenecen a ciclos.

El Teorema anterior nos permite utilizar las ideas de la construccion de la desigualdad

de Koolen y Moulton (Teorema 0.2), para establecer una nueva cota para la energıa de un

digrafo.

Teorema 2.3. Sea D un digrafo con n vertices, a arcos y c2 recorridos cerrados de longitud

2. Si c2 ≥√na, entonces

18

E(D) ≤ c2n

+

√(n− 1)

[a−

(c2n

)2]

la igualdad se cumple si, y solo si, D es

(i) n2

↔K2 mas algunos arcos que no pertenecen a ciclos;

(ii)↔Kn;

(iii) Un digrafo simetrico c2n

-regular mas algunos arcos que no pertenecen a ciclos. Con

dos autovalores no triviales, ambos con valor absoluto

√a−( c2

n )2

n−1.

Demostracion. Sean λ1, λ2, ..., λn los autovalores de D. Aplicando la desigualdad de

Cauchy−Schwarz a los vectores (|Re(λ2)| , |Re(λ3)| , ..., |Re(λn)|) y (1, 1, ..., 1) de Rn−1

obtenemos (n∑i=2

|Re(λi)|

)2

≤ (n− 1)n∑i=2

Re2(λi).

Por el Teorema 1.2 sabemos quen∑i=1

Re2(λi) ≤ a, por lo tanto,

E(D) = λ1 +n∑i=2

|Re(λi)| ≤ λ1 +√

(n− 1) [a− λ21]

Consideremos la funcion

f(x) = x+√

(n− 1)(a− x2)

definida en el intervalo [−√a,√a].

Es facil ver que f es monotona decreciente en el intervalo[√

an,√a]. Ahora, por el

Teorema 2.2 sabemos que λ1 ≥ c2n

y por hipotesis c2 ≥√na. Ası√

an≤ c2

n≤ λ1 ≤

√a

y, en consecuencia,

E(D) ≤ f(λ1) ≤ f(c2

n

)=c2

n+

√(n− 1)

[a−

(c2

n

)2]. (2.5)

Esto demuestra la primera parte.

19

Si E(D) = c2n

+

√(n− 1)

[a−

(c2n

)2]

entonces se deduce de la desigualdad (2.5) que

f(λ1) = f(c2n

)y, como f es monotona decreciente en

[√an,√a], entonces λ1 = c2

n. De

nuevo por el Teorema 2.2 concluimos que D es un digrafo simetrico c2n

-regular mas algunos

arcos que no pertenecen a ciclos.

Si D∗ es el digrafo que se obtiene de quitar los arcos de D que no pertenecen a ciclos

y sea G el grafo subyacente de D∗, es claro que G es c2n

-regular con n vertices y E(G) =

2en

+

√(n− 1)

[2e−

(2en

)2]. Ademas 2e ≥ n, ya que G no tiene vertices aislados. El

resultado se deduce ahora del Teorema 0.2.

Observacion 2.1. El resultado anterior generaliza la desigualdad de Koolen y Moulton a

digrafos. En efecto, sea G un grafo con n vertices y e lados, donde 2e ≥ n. Consideremos

G el digrafo simetrico de n vertices y a arcos asociado a G. Es claro que a = 2e = c2.

Como 2e ≥ n, entonces 4e2 ≥ 2en y ası c2 = 2e ≥√

2en =√na. Luego

E(G) = E(G) ≤ c2n

+

√(n− 1)

[a−

(c2n

)2]

= 2en

+

√(n− 1)

[2e−

(2en

)2].

Observacion 2.2. Es bien conocido que para grafos la cota de Koolen y Moulton mejora la

cota de McClelland [10], por lo tanto, podemos afirmar lo mismo para digrafos simetricos.

En el caso general de digrafos para cada n fijo es posible calcular un c ∈ N, tal que si

c2 ≥ c entonces la cota de Koolen y Moulton para digrafos mejora la cota de Mc Clelland

para digrafos para todo a ∈ [c2, n(n− 1)]. El calculo de este c es sencillo pero sumamente

tedioso, es por ello que no entraremos en detalles y en la Tabla 2.1 presentamos una lista

de diversos valores de n, c2 y a para los que la cota de Koolen y Moulton para digrafos

mejora la cota de McClelland para digrafos.

En el caso de digrafos la desigualdad del tipo Koolen y Moulton del Teorema 2.3 no

depende de dos variables, por lo tanto no podemos derivar para construir una cota que

dependa de la cantidad de vertices del digrafo. Sin embargo, por el Corolario 1.1, si D es

un digrafo con n vertices y a arcos, entonces

E(D) ≤√na ≤ n

√n− 1 (2.6)

ya que a ≤ n(n− 1) para todo digrafo.

No consideramos que esta cota sea de mucha utilidad, ya que es facil ver que la igualdad

en (2.6) se alcanza solo cuando n = 1 o n = 2.

20

Tabla 2.1: Comparacion de las cotas

n c2 a K −M Mc

17 8,4 9,085 1618 8,77 9,21

19 8,51 9,611820 8,90 9,74

82 25.61 27.0110 6490 27.40 27.74

84 24.21 27.927289 25.48 28.37

259 54.84 71.9020 258300 63.28 74.69

322 58.48 78.74298366 67.20 81.48

89 46.39 47.0325 8892 47.23 47.43

222 68.30 73.82214260 75.50 76.97

1474 202.23 271.2950 14701559 213.89 275.18

1484 201.88 272.3014821515 206.23 273.72

6001 593.23 759.96100 55507024 680.34 792.90

5665 550.24 752.4956605700 553.73 753.65

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111.

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO

NOMBRE DEL ESTUDIANTE: Elías Alfredo Gudiño Rojas

TITULO DE LA TESIS: Cotas superiores para la energía de un digrafo

NOMBRE DEL ASESOR: Juan Rada y Domingo Quiroz

MIEMBROS DEL JURADO: Jose Palacios, José Renóm y Miguel Méndez

PALABRAS CLAVES: Energía de dígrafos, energía de grafos, desigualdad de Koolen y

Moulton

SOBRESALIENTE: Si GRADUADO CON HONORES: No

Nº DE PAGS: 24 FECHA DE GRADUACIÓN: Junio de 2009

MAESTRÍA EN: Matemáticas

RESUMEN Sea D un digrafo de n vértices y , , ..., los autovalores de la matriz de adyacencia A(D)

de D, se define la energía de D como E(D)= , donde Re( ) es la parte real de . Este concepto fue introducido por J. Rada (2008) y es una generalización del concepto de energía de grafos introducido por I. Gutman (1979), que es muy estudiado en química, ya que es utilizado para aproximar la energía π-electrón total de hidrocarburos no saturados. En este trabajo establecemos una cota para el radio espectral de un digrafo para luego calcular una generalización a digrafos de la cota para la energía de grafos obtenida por J.H Koolen y V. Moulton (2001).