Ingeniería Eléctrica. Teoría y problemas

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Señales de corriente alterna

Generación de Corriente Alterna

Si un conductor se coloca en un campo magnético y si el conductor se mueve dentro del campo o el campo magnético varia con el tiempo, se produce una fuerza electromotriz (FEM) o voltaje en el conductor. Esto se conoce como inducción electromagnética.

Principio de inducción de Faraday Cuando existe un movimiento relativo entre una bobina y un campo magnético, en los extremos de la bobina aparece una diferencia de potencial que produce una corriente eléctrica a través del alambre que forma la bobina. Formalmente la ley de inducción puede ser formulada como

BdΦε = -dt

(1.1)

donde BΦ es el flujo magnético a través de la bobina y se calcula mediante la

expresión BΦ = B da⋅∫ , donde la integral se hace sobre el área rodeada por la bobina. Si el circuito consiste de una bobina de N vueltas con la misma área y si el

flujo pasa por todas las vueltas de la bobina, entonces BdΦε = -Ndt

. Es decir

dε = -N B dadt

⋅∫ (1.2)

Suponiendo que el campo magnético es uniforme sobre una bobina de N vueltas y área A y que forma un ángulo θ con la perpendicular a la bobina, entonces el voltaje inducido puede expresarse como

dε = -N (BAcosθ)dt

(1.3)

De esta expresión se concluye que se puede inducir un voltaje mediante diferentes maneras: • La variación de B con respecto al tiempo. • El área del circuito puede cambiar con respecto al tiempo. • El ángulo θ entre el campo B y la perpendicular a la bobina puede cambiar con

respecto al tiempo. • Cualquier combinación de las anteriores.

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Frecuencia

Si la bobina en un generador hace una revolución completa en un segundo, el generador produce un ciclo completo de corriente alterna (ca) durante cada segundo. Si se aumenta el numero de revoluciones a dos por segundo, se producen dos ciclos completes de ca por segundo. El número de ciclos completes que se completan en una corriente o voltaje alterno cada segundo se conoce como la frecuencia. La frecuencia siempre se mide en ciclos por segundo o Hertz (Hz).

Periodo

Un ciclo completo de cualquier onda senoidal transcurre en una cantidad definida de tiempo. El tiempo requerido para completar un ciclo completo de una forma de onda se llama periodo. La relación entre el periodo (T) y la frecuencia (f) se indica en la formula

1T = f

(1.4)

o bien

1f = T

(1.5)

donde el periodo se mide en segundos y la frecuencia se mide en ciclos por segundo o Hertz (Hz). El periodo T de una onda senoidal es tal que si x(t) es una onda senoidal, se cumple que

x(t) = x(t + T) (1.6)

Vease la figura 1.

Frecuencia angular

La frecuencia angular se define como

2πw = 2πf = T

(1.7)

La frecuencia angular se mide en radianes por segundo. Es decir w =[rad/s].

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Figura 1

Cada ciclo de una onda senoidal consiste de dos pulsos de voltaje igualmente formados, uno positivo y otro negativo. El pulso positivo se conoce como variación positiva de la onda y el pulso negativo se conoce como variación negativa de la onda. En una onda senoidal, las dos variaciones son idénticas en tamaño y forma, pero tienen diferente polaridad.

Amplitud de la onda

La distancia desde cero hasta el valor máximo de cada pulso se llama la amplitud de la onda. La amplitud del pulso positivo y la amplitud del pulso negativo son iguales en magnitud, pero de signo opuesto.

Longitud de onda

El tiempo que transcurre para que una onda senoidal complete un ciclo completo se define como el periodo de la onda. La distancia recorrida por la onda senoidal durante un periodo se conoce como longitud de onda (wavelength) o bien es la distancia a lo largo de la onda desde un punto en un ciclo al mismo punto en el siguiente ciclo.

Descripción de señales de corriente alterna

En la descripción de corrientes o voltajes alternos, es necesario expresar sus valores en términos de sus valores efectivos, sus valores máximos o pico, valores promedio o valores instantáneos. Cada uno de esos valores tiene un significado diferente y se usan para describir diferentes cantidades de voltaje o de corriente alterna.

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El valor pico y el valor pico a pico

En la figura 2 se muestra el pulso positivo de una onda senoidal (medio ciclo de una señal de corriente alterna (ca) y una forma de onda de corriente directa (cd). Note que la señal de cd inicia y termina en los mismos instantes que lo hace la señal de ca y que ambas alcanzan el mismo valor máximo. Sin embargo, el valor de la señal de cd siempre es mayor que el valor de la señal de CA, excepto en el punto donde la señal de ca alcanza su valor máximo. En este punto las señales de ca y cd tienen el mismo valor. Este punto se conoce como el valor máximo o valor pico de la señal senoidal.

Figura 2

Durante cada ciclo completo de la señal de ca siempre hay dos valores máximos o valores pico, uno para el ciclo positivo y otro para la otra mitad, el ciclo negativo. La diferencia entre el valor pico positivo y el valor pico negativo se conoce como el valor pico a pico de la señal senoidal. Este valor es el doble del valor máximo o valor pico de la señal senoidal y usualmente se utiliza para mediciones de voltajes o corrientes de ca. En la figura 3 note la diferencia entre el valor pico y el valor pico a pico. Usualmente voltajes y corrientes de ca se expresan en términos del valor efectivo.

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Figura 3

El valor instantáneo

El valor instantáneo de un voltaje o una corriente alterna es el valor en un instante de tiempo determinado. Puede ser igual a cero, si el instante de tiempo es aquel para el cual la señal esta cambiando de polaridad. También puede ser igual al valor pico, si el instante de tiempo es aquel para el que la señal detiene su crecimiento e inicia su decrecimiento. De hecho hay un número infinito de valores de una señal de ca entre cero y el valor pico.

El valor promedio

El valor promedio de una corriente o voltaje alterno es el promedio de todos los valores instantáneos durante un pulso. Dado que el voltaje aumenta de cero a su valor pico y disminuye hasta cero durante medio ciclo, el valor promedio debe ser un valor entre esos dos límites. El promedio se puede determinar sumando todos los valores del voltaje de un pulso y dividiendo la suma entre el número de valores instantáneos usados. Este cálculo muestra que un pulso (positivo o negativo) de una señal de ca tiene un valor promedio de 0.636 veces el valor pico. Es decir

Eprom = 0.636 x Emax

En términos matemáticos, lo anterior se representa de la siguiente manera:

T2

prom m0

2E = E sen(wt)dtT ∫

Sin embargo, utilizando la ecuación (1.6) se tiene que 2πT = w

y entonces

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πw

prom m0

wE = E sen(wt)dtπ ∫

Haciendo la integral

( ]πw

m 0

w -1E = E coswtprom π w

Evaluando en los límites de integración

[ ]mprom

-EE = cos(π) - cos(0)π

Es decir

mprom m

2EE = = 0.636 × Eπ

(1.8)

donde Eprom es el valor promedio de medio pulso del voltaje, y Em es el valor pico o amplitud del voltaje.

Similarmente, la formula para la corriente promedio es

Iprom = 0.636 x Im

donde Iprom es la corriente promedio del medio pulso de corriente, e Im es el valor pico o la amplitud de la corriente.

No confundir la definición de arriba con el valor promedio de un ciclo completo. Porque el voltaje es positivo durante la mitad del ciclo completo y negativo en la otra mitad del ciclo de tal manera que el valor promedio durante un ciclo completo es cero.

El valor efectivo

Como ya sabemos, cuando la corriente fluye por una resistencia, se produce calor. Cuando fluye corriente directa la cantidad de potencia eléctrica convertida en calor es igual a I2R Watts. Sin embargo, dado que una corriente alterna que tiene un valor máximo de 1 Ampere, no mantiene un valor constante, la corriente alterna de 1 Ampere no produce tanto calor en la resistencia como lo hace la corriente de 1 Ampere de cd. La siguiente figura muestra la comparación del efecto de calentamiento de 1 Ampere de cd con 1 Ampere de ca.

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+

-

+

-R Ri = 1 A i = 1 A

(a) (b)

100oC70.70C

Figura 4

Comparando la vista en 4a con la vista en 4b, se observa que el calor (70.7° C) producido por 1 Ampere de ca (esto es, una ca con un valor máximo de 1 Ampere) es solamente 70.7 por ciento del calor (100° C) producido por 1 Ampere de cd. Matemáticamente,

o

o

Efecto de calentamiento de 1 Ampere de CD 70.7 C= = 0.707Efecto de calentamiento de 1 Ampere de CA 100 C

Una corriente alterna se dice que tiene un valor efectivo de 1 Ampere cuando produce calor en una resistencia a la misma razón como lo hace 1 Ampere de cd. Se puede calcular el valor efectivo de una onda senoidal de corriente mediante la raíz cuadrada del promedio de la suma de los valores instantáneos de la señal de ca en un periodo. Por esta razón, al valor efectivo también se le conoce como valor rms (Root Mean Square). Entonces

T

2efec

0

1I i dtT

= ∫ (1.9)

En el caso de una onda senoidal dada por mi(t) = I cos(wt + φ)

el valor efectivo de la corriente esta dado por

T

2 2m

0

1I = I cos (wt + φ)dtefec T ∫

Sin embargo, utilizando la ecuación (1.6) se tiene que 2πT = w

y entonces

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2πw

m0

w 1 1I = I + cos(2wt + 2φ) dtefec 2π 2 2 ∫

La integral del cos(2wt + 2φ) es cero, quedando que

[ ]2π/w mefec m m0

IwI = I t = = 0.707 × I2π 2

(1.10)

Similarmente, el valor efectivo de una de voltaje senoidal está dado por

mefec m

VV = = 0.707 × V2

(1.11)

Dicho en palabras, el valor efectivo o valor RMS de una onda senoidal es igual a 0.707 veces el valor máximo de la onda senoidal. Por otro lado, si se conoce el valor efectivo de una onda senoidal, su valor máximo se puede obtener mediante la relaciones

efecm efec

II = = 1.414 I0.707

× (1.12)

efecefec efec

VV = = 1.414 V0.707

× (1.13)

Así, dado que la energía eléctrica que nos vende la CFE con valor 120 Voltios, se refiere a un valor efectivo, dicha señal tiene un valor máximo de Vm = 1.414 x 120 = 169.7 voltios. La figura 5 muestra el valor efectivo y el valor promedio de medio pulso de una señal senoidal.

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Figura 5 La figura 6 muestra la relación entre los diferentes valores utilizados para describir una onda senoidal.

Figura 6

La diferencia de fase en las formas de onda

Cuando una onda senoidal se aplica a una resistencia, la corriente que pasa por la resistencia también es una onda senoidal. Esto está de acuerdo a la ley de Ohm que señala que la corriente que pasa por una resistencia es directamente proporcional al voltaje aplicado.

Ahora, examinando figura 7, donde se muestra un voltaje con una amplitud igual al doble de la amplitud que tiene la corriente. Primeramente, notamos que la onda senoidal de voltaje y la onda senoidal de corriente se cruzan el en eje temporal en los mismos instantes de tiempo. Nótese también que cuando el voltaje crece en la dirección positiva, la onda asociada a la corriente también aumenta. Cuando el

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voltaje cambia de dirección, la corriente también lo hace. Cuando dos ondas senoidales como las representadas en esta figura se siguen una a la otra, las ondas están en fase. Para estar en fase, dos ondas deben de ir a través de sus valores máximos y mínimos y cruzar el eje del tiempo en los mismos instantes de tiempo y en la misma dirección.

Figura 7

En los circuitos donde solo hay elementos resistivos las ondas senoidales de corriente que pasan por las resistencias están siempre en fase con las ondas de voltaje.

Cuando hay elementos que almacenan energía, como capacitores e inductores, las ondas de corriente que pasan por estos elementos ya no están en fase con el correspondiente voltaje que aparece entre sus terminales.

Ondas senoidales fuera de fase

En la figura 8, la onda de voltaje E1 inicia a 0°, y cuando alcanza su valor pico positivo, la onda del voltaje E 2 inicia su subida. En este caso las dos ondas están fuera de fase. De hecho existe una diferencia de fase de 90o entre las dos ondas.

Cuando dos ondas están fuera de fase, una de ellas esta adelantada con respecto a la otra y se dice que es la onda líder. La otra onda, se dice que esta retrasada. La cantidad que una onda esta adelante de otra se mide en grados. Observe que la onda E2 inicia 90° mas tarde en tiempo que la onda E1. Esto también se puede describir diciendo que E1 adelanta a la onda E 2 por 90°, o que la onda E2 esta retrasada de la onda E1 por 90°. Ambas maneras de describir el desfasamiento entre dos ondas senoidales es correcto. Cuando dos ondas están fuera de fase con un ángulo igual a 0° o 360°, de hecho las ondas están en fase.

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Figura 8

También es posible que una onda se adelante o retrase de otra por un ángulo diferente de 0° o 360° De hecho la diferencia de fase puede ser cualquier ángulo entre 0° y 360°. Dos ondas senoidales que están desfasadas en 45°, se muestran en la figura 9.

Figura 9

Una diferencia de fase que es muy común se ilustra en la figura 10. Las dos ondas están fuera de fase en 180°. Nótese que las ondas pasan por sus valores máximos y mínimos al mismo tiempo, pero sus valores instantáneos siempre tienen polaridad diferente. Si dos ondas de voltaje o de corriente con 180o de desfasamiento pasan simultáneamente por un elemento, se cancelan entre ellas mismas. Cuando tienen diferente amplitud, la onda resultante siempre tiene la misma polaridad que la onda más grande y su amplitud es igual a la diferencia de amplitud de las dos ondas.

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Figura 10

¿Cómo se mide la diferencia de fase entre dos ondas?

Para saber cuál es la diferencia de fase entre dos ondas senoidales, localice los puntos sobre el eje temporal donde las dos ondas cruzan el eje en la misma dirección. El número de grados entre los dos puntos donde cruzan el eje representa la diferencia de fase. La onda que cruza el eje en el tiempo posterior (el que está más a la derecha en el eje) se dice que esta retrasada.

Si se va a comparar la fase de ondas senoidales, entonces ambas deben de escribirse como ondas seno o ambas como ondas coseno; las dos ondas deben de escribirse con amplitud positiva y la frecuencia de las dos ondas debe de ser la misma.. También, es evidente que pueden sumarse o restarse múltiplos de 360o del argumento de cualquier función senoidal sin alterar el valor de la función. Por lo tanto, puede decirse que

V1 = Vm1sen(5t – 30o)

está atrasada con respecto a la señal V2 que está dada por

V2 = Vm2cos(5t + 10o)

= Vm2sen(5t + 10o + 90o )

= Vm2sen(5t + 100o )

La diferencia de fase entre V1 y V2 es 130o, y también es correcto decir que V1 va delante de V2 por 230o, ya que V2 puede escribirse como

V2 = Vm2 sen(5t + 100o - 360o) = Vm2 sen(5t – 260o)

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La diferencia de fase entre dos señales que tienen la misma frecuencia también puede medirse en función del tiempo. Para esto, considérese las dos funciones de voltaje y corriente que se muestran en la figura 11 y supóngase que están dadas por

mv(t) = V sen(wt + θ) (1.14)

mi(t) = I sen(wt + φ) (1.15)

Figura 11

Estas señales son iguales a cero en t1 y t2 respectivamente. Las funciones son iguales a cero si el argumento es igual a cero. Es decir, el voltaje es cero si

1wt + θ = 0 (1.16)

y la corriente es cero si

2wt + φ = 0 (1.17)

Restando estas dos ecuaciones se obtiene

1 2w(t - t ) - (φ - θ) = 0 (1.18)

Despejando t1 – t2 se obtiene la expresión de la diferencia de fase entre las señales eléctricas en función del tiempo dada por

1 2φ - θ∆t = t - t =

w (1.19)

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Problemas 1. ¿A cuantos grados es igual un ciclo completo de rotación? 2. ¿Cómo se produce un voltaje de ca por un generador de ca? 3. Defina frecuencia de una onda. 4. ¿Qué término se utiliza para indicar el tiempo de un ciclo completo de una forma de onda? 5. ¿Qué es un pulso positivo de una onda senoidal? 6. ¿Qué miden el periodo y la longitud de onda de una onda senoidal? 7. ¿Qué significa valor pico a pico de una señal de ca? 8. ¿Cuántas veces se alcanza el valor máximo o valor pico de un voltaje o una corriente de ca durante un ciclo completo? 9. Si cualquier punto de una onda senoidal se escoge al azar y el valor de la corriente o voltaje se mide en ese momento particular, ¿Qué valor se esta midiendo? 10. ¿Qué valor de la corriente o voltaje es calculado cuando se promedian todos los valores instantáneos durante el pulso negativo de una onda senoidal? 11. ¿Cuál es el valor promedio de una señal senoidal de voltaje o corriente durante un ciclo completo? 12. ¿Qué formula matemática se utiliza para encontrar el valor promedio de una corriente o un voltaje de onda senoidal? 13. Si Emax es 115 voltios, ¿Cuál es el valor de Eprom? 14. Si Iprom es 1.272 amperes, ¿Cuál es el valor de Imax ? 15. ¿Cuál es la base más conveniente para comparar corrientes y voltajes de cd con corrientes y voltajes de ca? 16. ¿Qué valor de una onda de ca se utiliza para compararlo con una onda de cd? 17. ¿Cuál es la formula para encontrar el valor efectivo de una corriente alterna? 18. ¿Si el valor pico de una onda senoidal es de 1,000 voltios, cuál es el valor efectivo de dicha onda?

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19. Si Iefec = 4.25 amperes, cuál es el valor de Imax ? 20. ¿Cuando se considera que una onda de voltaje y una onda de corriente están en fase? 21. ¿Cuándo dos ondas de voltaje se consideran fuera de fase? 22. ¿Cuál es la relación entre dos ondas de voltaje que están con una diferencia de fase de 360o? 23. ¿Cómo determina la diferencia se fase entre dos ondas que están dibujadas en la misma grafica? 24. Demuestre que V2 = Vm2cos(5t + 10o) también puede escribirse como v2 = Vm2sen(5t – 260o) 25. Obtenga el ángulo de retraso de i1 respecto a v1 si v1 = 120cos(120π t + 20o) e i1 es igual a (a) 2.5cos(120π t + 20o) A; (b) 1.4sen(120π t - 70o); (c) -0.8cos(120π t - 110o). 26. Encuentre A, B, C y φ si 40cos(100t – 40o) – 20sen(100t + 170o) = Acos100t + Bsen100t = Ccos(100t + φ) 27. Dadas dos funciones de onda, f(t) = -50cos(wt) – 30sen(wt) y g(t) = 55cos(wt) – 15sen(wt), encuentre (a) La magnitud de cada una de las funciones (b) El ángulo de fase que f(t) adelanta a g(t). 28. Un circuito en serie consiste de tres resistencias (R1 = 10W, R2 = 20W, R3 = 15W) y una fuente de voltaje de ca de 100 voltios. ¿Cuál es el valor efectivo de la corriente en el circuito? 29. Si la fuente de voltaje de ca en la pregunta anterior se cambia a una fuente de 200 voltios pico a pico, ¿Cuál es el valor de Iprom? 30. Si Eefect es 130 voltios e Iefect es 3 Amperes, ¿Cuál es la resistencia total (RT) en el circuito? 31. Cuando leemos que la CFE distribuye 110 voltios o 220 voltios, ¿a qué valor se esta refiriendo? 32. Las expresiones para el voltaje y la corriente en estado estable en las terminales de entrada de un circuito son Vg = 120 cos(5000t + 17.5o) V e Ig = 20 sen(5000t + 85o) A (a) ¿Cuál es la impedancia vista por la fuente de voltaje? (b) ¿Por cuántos microsegundos la corriente está fuera de fase con el voltaje?