Corrente Alternada. Circuitos Monofásicos Circuitos Trifásicos...Corrente Alternada. Circuitos...

Corrente Alternada. Circuitos Monofásicos Circuitos Trifásicos

Senóides

Período : T

Tempo necessário para se percorrer um ciclo

Freqüência: f = 1/T

Ciclos por segundo

Freqüência Angular: = 2 f

Amplitude: VM

)º90377cos(60)(

)º40377cos(100)(

2

1

-=

-=

ttV

ttV

Desfase:

º50)90(4021 =---=-= fff

V1(t) está adiantado em 50º de V2(t)

V2(t) está atrasado 50º de V1(t)

)301000cos(6)(

)601000(12)(

2

1

+-=

+=

ttI

tsentI

Primeiro vamos fazer I2 positiva

)º2101000cos(6)(

)180301000cos(6)(

2

2

+=

++-=

ttI

ttI

Exemplo

Exem. 2

AtsentI

tsentI

)º3001000(6)(

)º902101000(6)(

2

2

+=

++=

º2403006021 -=-=-= fff

ângulo positivo

º120º240º36021 =-=-= fff

I1(t) se adiantara 120º a I2(t)

I2(t) se atrasa 120º a I1(t)

FASORES

FASOR é um NÚMERO COMPLEXO que representa a amplitude e a fase de uma tensão ou corrente senoidal

q +tX M cos

q= MXX

Domínio Tempo

Domínio Freqüência

Impedância Complexa

A Impedância Complexa descreve a relação entre a tensão (expressa como Fasor) sobre um elemento R, L ou C e a corrente no elemento (expressa como Fasor)

A impedância é um número complexo

O valor da impedância normalmente depende da freqüência

Fasores e Impedâncias Complexas nos permitem utilizar a Lei de Ohm com números complexos para determinar tensões a partir de correntes e correntes a partir de tensões

Como?Melhor ver esses

Números Complexos...

Números Complexos

x é a parte real

y é a parte imaginária

z é a amplitude ou magnitude

q é a faseq

x

y

eixo real

eixo imaginário

Coordenadas Polares: A = z q

Coordenadas Retangulares: A = x + jy

qcoszx = qsenzy =

22 yxz +=x

y1tan -=q

PR

RP

Representando Formas de Onda Senoidais como Fasores

Fasor (domínio freqüencia) é um número complexo

X = z q = x + jy

Um sinal senoidal é uma função do tempo

x(t) = z cos (t + q)

Exemplo:Encontre a representação no domínio tempo para os seguinte fasores:

X = -1 + j2

V = 104V - j60V

A = -1mA - j3mA

Aritmética com Números Complexos

Para se determinar FASORES de Tensão ou Corrente é necessário que saibamos proceder operações aritméticas básicas com números complexos:

Soma

Subtração

Multiplicação

Divisão

Será que lembro disso?

É melhor dar uma olhada!

Soma e Subtração

Soma

A = x + jy

B = z + jw

A + B = (x + z) + j(y + w)

Subtração Subtração é mais facilmente

feita em coordenadas retangulares

A = x + jy

B = z + jw

A - B = (x - z) + j(y - w)

eixo real

eixo imag.

AB

A + B

eixo real.

eixo imag

.

ABA - B

(melhor na forma retangular)

eixo real

eixo imag.

A

B

A / B

Multiplicação e Divisão

Multiplicação Multiplicação é mais facilmente

feita em coordenadas polares

A = AM q

B = BM f

A B = (AM BM) (q + f)

Divisão Divisão é mais faclmente feita

em em coordenadas polares

A = AM q

B = BM f

A / B = (AM / BM) (q - f )

eixo real

eixo

imag.

A

BA B

(melhor na forma polar)

Exponencial Complexa

Uma senoide, função do tempo, pode ser representada como a parte real de uma exponencial complexa

Exponenciais Complexas nos propiciam a ligação entre asfunções senoidais do tempo e os fasores.

Exponenciais Complexas tornam a análise de um circuito RLC em regime permanente para excitação senoidal umproblema algébrico

Funções Senoidais

Exponenciais Complexas

FASORES


Um número complexo (FASOR) A = z q pode ser representado como:

A = z q = z ejq = z cos q + j z sen q

A exponencial complexa básica é:

ejt = cos t + j sen t

O que você obtêm ao multiplicar A por ejt e tomar a parte real deste produto?


Aejt = z ejq ejt = z ej(t+q

z ej(t+q = z cos (t+q + j z sen (t+q

Re[Aejt] = z cos (t+q

Senóides, Exponenciais Complexas e Fasores

Senóide:

z cos (t+q

Exponencial Complexa:

Aejt = z ej(t+q

Fasor:

A = z q

O que se ganha com

tudo isso???

z cos (t+q = Re{z ej(t+q}= Re{Aejt}

Dominio do tiempo Dominio da Frequencia

)cos( q tA

)( q tAsen

qA

2

q -A

Converter a fasores

Atsenti

Vttv

)120377(12)(

)º45377cos(24)(

+=

-=

º90º12012

º4524

-=

-=

I

V

Converter os fasores:

Exemplo

º7510

º2016

-=

=

I

V

No domínio da frequência al domínio do tempo, se f=1k Hz.

)º752000cos(10)(

)º202000cos(16)(

-=

+=

tti

ttv

2000

)2(1

=

= kHz

Relações entre os Fasores associados aos Bipolos de um Circuito

Os Fasores nos pertimem expressar a relação entre tensão e corrente em Indutores e Capacitores de forma bastante semelhante a que usamos para expressar a relação entre tensão e corrente em Resistores.

A exponencial complexa é a ferramenta matemáticautilizada para obter tais relações. COMO??

?

Relação V-I no Resistor

R v(t)

+

-

i(t)

)()( tRitv =

Representando na forma FASORIAL

qq == +

M

jtj

M IeIti I Re)(

IV Re)( ReRItv jtj

M == + qR

i(t)

+v(t)

-

I

+V-

R

A multiplicação por R na relação entre v(t) e i(t) torna-seuma multiplicação por I na relação entre V e I


qq == +

M

jtj

M VeVtv V Re)(

VI Re)( CjeCVjti jtjM q == +

C

i(t)

+v(t)

-

C

I

+V-

A derivada na relação entre i(t) e v(t) (capacitor) torna-se uma multiplicação por jV na relação entre I e V

Relação V-I no Capacitor

Exemplo

Sendo:

v(t) = 120V cos(377t + 30)

C = 2F

Qual é a representação Fasorial de v(t) e i(t) e a expressão de i(t)?

V=?

I=?

i(t)=?

Quantos graus v(t) está defasado de i(t)?

Quem está adiantado em relação a quem?

Relação V-I no Indutor

L v(t)

+

-

i(t)

dt

tdiLtv

)()( =

qq == +

M

jtj

M IeIti I Re)(

IV Re)( LjeLIjtv jtj

M q == +

i(t)

+v(t)

-

I

+V-

A derivada na relação entre v(t) e i(t) (indutor) torna-seuma multiplicação por jI na relação entre V e I

LL


Exemplo

Sendo:

i(t) = 1A cos(2 1012t + 30)

L = 1H

Qual é a representação Fasorial de i(t) e v(t) e a expressão de v(t)?

I=?

V=?

v(t)= ____cos(2 1012t + ____)

Quantos graus v(t) está defasado de i(t)?

Quem está adiantado em relação a quem?

Impedância

A análise de um circuito com excitação senoidal, emregime permanente, usando FASORES, nos permite expressar as relações entre corrente e tensão nos elementos R, L e C com uma fórmula similar a utilizada na lei de Ohm.

V = Z I

Z é chamada de IMPEDÂNCIA

Resistor

V=RI

Z=R

Indutor

V=jLI

Z= jL

Capacitor

V= I

Z=

jC

1

jC1

W= 3R

mHL 5

1000

=

=

Fc

125

1000

=

=

=

=

03

0

R

R

z

Rz

º905

º90

5

)5)(1000(

=

=

=

=

=

L

LL

L

L

L

z

Xz

Jz

mHJz

LJz

º908

º90

8

)125)(1000(

-=

-=

-=

-=

-=

C

CC

C

C

C

z

Xz

Jz

F

Jz

c

Jz

Exemplo

Reflexões sobre IMPEDÂNCIA

Impedância (geralmente) depende da freqüência

Impedância (geralmente) é um número complexo

Impedância NÃO É um FASOR (Porque?)

O conceito de Impedância e Fasor nos permite analisar circuitos RLC lineares com excitação senoidal, em regime permanente, com as mesmas técnicas empregadas para analisar circuitos puramente resistivos.

SERÁ mesmo que se pode?Para isso as leis de Kirchhoff

deveriam ser respeitadas na operação com FASORES. Será que são?

Exemplo

Sendo as correntes no Nó A i1(t), i2(t) e i3(t), onde

i1(t) = 1A cos(2 60 t + 30)

i2(t) = 3A cos(260 t + 60)

Qual é a representação Fasorial de i1(t), i2(t) e i3(t)?

I1=?

I2=?

I3= I1 + I2 = ?

Qual é a expressão de i3(t)?

i3(t)=____cos(2 60 t + ____)

i1(t) i3(t)

i2(t)

Diagrama Fasorial

Um diagrama fasorial é apenas um gráfico de vários fasores representados no plano complexo (usando os eixos real e imaginário)

Um diagrama fasorial nos ajuda a visualizar as relações entre tensões e correntes em um circuito (suas amplitudes e defasagens)

Exemplo:

V

I = 2mA 40

VR = 2V 40

VC = 5.31V -50

V = 5.67V -29.37

Eixo Real

Eixo Imaginário

VR

VC

V

VRI

-

1F VC

+

-

I=2mA 40

1kW VR

+

+

-

Fre

qü

ênci

a =

60H

z

Diagrama Fasorial

Análise de Circuitos RLC usando os conceitos de Fasor e Impedância

Obs.: Este método de análise somente é válido para excitações senoidais, estando o circuito em regime permanente

Exemplo - Determine vc(t) :

V1(t)=10 cos(377t)

+ vR(t) -

+vC(t)

-

+

-1uF

20k

+

-1uF

20k

V1= 100º

FASORES

IMPEDÂNCIAS

ZR= 20kW

ZC = 1/(j377.1.10-6)=-j2,65k W

100º -j2,65k

+VC

-

Divisor de Tensão

54720,17k

902,65k010

2,65k20k

2,65k010

,j

jC

-

-=

-

-=V

46,82377cosV31,1 46,8231,1 -=-= ttvCCV

Passar duma rede do domínio do tempo ao domínio da frequência

2

MÁXRMS

VV =

Exemplo:

RMSVV

VttV

º30120

)º301000cos(2120)(

=

+=VMÁX

Vídeos:

Assistir cada um dos vídeos Antes da Primeira Prova!:

https://www.youtube.com/watch?v=a_xlV--qhio&index=19&list=PL7OH7NGHbmLjAIQ6L6kMQzf2iZ3JGNdd4

Lembrando!!!

22 Operação Seno: (6 min.)

https://www.youtube.com/watch?v=KqovWMv7py8&list=PL7OH7NGHbmLjAIQ6L6kMQzf2iZ3JGNdd4&index=22

19 CAPACITOR (6 min.)

https://www.youtube.com/watch?v=a_xlV--qhio&index=19&list=PL7OH7NGHbmLjAIQ6L6kMQzf2iZ3JGNdd4

20 INDUCTOR (6 min.)

https://www.youtube.com/watch?v=UEXGz2HLlA4&index=20&list=PL7OH7NGHbmLjAIQ6L6kMQzf2iZ3JGNdd4

23 RLC, etc (6 min.)

https://www.youtube.com/watch?v=u5eF_88WXRo&index=23&list=PL7OH7NGHbmLjAIQ6L6kMQzf2iZ3JGNdd4

24 sigas as setas (6 min.)

https://www.youtube.com/watch?v=zuNuXSu_hqo&list=PL7OH7NGHbmLjAIQ6L6kMQzf2iZ3JGNdd4&index=24

25 Cosseno PHI (6 min.)

https://www.youtube.com/watch?v=b1c8TcESc5o&index=25&list=PL7OH7NGHbmLjAIQ6L6kMQzf2iZ3JGNdd4

Circuitos Trifásicos

Vídeo 5 (6 min.)

https://www.youtube.com/watch?v=vOd9imqTAps&index=6&list=PLTI_xX1p_3I8zFQ116PwPaJuNtnGb4Iv-

https://www.youtube.com/watch?v=ettHn5GRbgI

Por que precisamos estudar este tópico?

Atualmente o sistema trifásico é o padrão para a geração, transmissão edistribuição de energia elétrica em corrente alternada.

Aprender o cálculo e a relação existente entre as grandezas elétricas(tensão, corrente e potência) nos circuitos trifásicos.

Motivações

As primeiras linhas de transmissão de energia elétrica surgiram nofinal do século XIX.

Destinavam-se exclusivamente ao suprimento do sistema deiluminação, pequenos motores e sistema de tração (railway) eoperavam em corrente contínua a baixa magnitude de tensão.

A geração e transmissão usando os mesmos níveis de tensão dasdiferentes cargas restringiu a distância entre a planta de geração eos consumidores.

A tensão da geração em corrente contínua não podia serfacilmente aumentada para a transmissão a grandes distâncias.

Classes diferentes de cargas exigem diferentes níveis de tensões, ediferentes geradores e circuitos eram usados especificamente paracada conjunto de carga.

Introdução (1/3)

Ruas da cidade de New York em 1890. Além das linhas de telégrafo, múltiplas linhas elétricas foram exigidas para cada tipo de carga, que trabalhavam a diferentes níveis de tensões.

http://en.wikipedia.org/wiki/Electric_power_transmission

Introdução (2/3)

Para realizar uma transmissão de energia elétrica a grandesdistâncias era necessário um nível elevado de magnitude detensão, e essa tecnologia de conversão para corrente contínua nãoera viável naquela época.

A mudança da transmissão de corrente continua para correntealternada foi devido principalmente aos seguintes motivos:

O desenvolvimento e uso dos transformadores, permitindo a transmissão agrandes distâncias usando altos níveis de tensão, reduzindo as perdaselétricas dos sistemas e a queda de tensão;

A elevação/redução da magnitude de tensão é realizado com uma altaeficiência e a baixo custo através dos transformadores.

Surgimento de geradores e motores em corrente alternada,construtivamente mais simples, eficientes e baratos que as máquinas emcorrente contínua;

Introdução (3/3)

a

-a

Estator

Enrolamento de armadura

Caminho de fluxo

Eixo magnético do enrolamento de armaduraq

Se o enrolamento de campo é excitado por uma corrente continuae o rotor gira a uma velocidade constante, então a tensão induzida(e) será proporcional à magnitude da densidade de fluxo (B).

Desvantagem: um espaço significante não é utilizado no estator ea existência de uma potência pulsante.

Sugestão: usar sistemas polifásicos.

BB

q0 π 2π

e

t0

ea

Geração em corrente alternada (Monofásico)

Porque usar um sistema trifásico?

Um gerador trifásico aproveita melhor o espaço físico, resultando em umgerador de tamanho reduzido e mais barato, comparado com os geradoresmonofásicos de igual potência.

Um sistema monofásico precisa de dois condutores; e um sistema trifásico(perfeitamente balanceado) precisa de três condutores, porém conduz trêsvezes mais potência. Na prática, devido a pequenos desequilíbriosinevitáveis, os sistemas trifásicos contam com um quarto condutor, oneutro.

Duas alternativas de distribuição: monofásico e trifásico, permitindo ofornecimento a consumidores domiciliares e industriais.

Os motores trifásicos são superiores aos motores monofásicos emrendimento, tamanho, fator de potência e capacidade de sobrecarga.

Geração em corrente alternada

Três bobinas defasadas em 120 graus elétricos no espaço geramum conjunto de três tensões de mesmo valor máximo, defasadasde 120 graus elétricos no tempo.

As três tensões são conhecidas como FASES.

No caso de conexão em Y, há dois valores de tensões distintas:tensão de fase e tensão entre duas fases qualquer.

a

-a

Estator

Caminho de fluxo

Eixo magnético do enrolamento de armaduraq

Enrolamento de armadura

c

b

-c

-b

e

t0

ea eb ec

B

q0 π 2π

Geração em corrente alternada (Trifásico)


Denominação: os condutores a, b e c são as fases o condutorconectado no ponto n é o neutro.

n

ae

a

b

c

bece

a

b

c

cI

ceae

be

Tensões trifásicashttp://www.youtube.com/watch?v=22434JHXYjs

Sistemas de tensões trifásicas

Representação temporal Representação fasorial

)3

2cos(2)(

)3

2cos(2)(

)cos(2)(

+=

-=

=

tEte

tEte

tEte

c

b

a

oc

ob

a

EE

EE

EE

120

120

0

=

-=

=

Em que, ea(t), eb(t) e ec(t) são os valores instantâneos das tensõestrifásicas, E é o valor eficaz das tensões e ω é a freqüênciaangular; e

A tensão a é a origem (ou referência) das fases.

s. trifásica tensõesdas fasores os são e , cba EEE


Linha (ou rede) trifásica desequilibrada: Linha (ou rede) trifásicaem que não se verifica alguma das condições de equilíbrio ;

Carga trifásica equilibrada: Carga trifásica constituída por trêsimpedâncias iguais ligadas em estrela (Y) ou triângulo (Δ). ;

Carga trifásica desequilibrada: Carga trifásica em estrela (Y) outriângulo (Δ) em que não se verifica pelo menos umas dascondições de equilíbrio.

Definições

Nos sistemas trifásicos podem ocorrer dois tipos de ligações:

Ligação em triângulo (Δ)

Ligação em estrela (Υ)

Na carga trifásica é medida:

A potência trifásica.

As tensões de linha (entre duas fases) ou tensões de fases (entre uma fase e o neutro).

As correntes de linha (percorrendo a linha) ou corrente de fases (percorrendo a carga).

Gerador Trifásico

- Triangulo

- Estrela

a

b

c

A

B

C

n

Equilibrada

Desequilibrada

Quando a carga e o gerador estão conectados em estrela.

Carga Trifásica

- Triângulo

- Estrela

Rede Trifásica

Ligações triângulo e estrela

1. Tensão de fase: medida entre qualquer terminal do gerador oucarga e o centro-estrela;

2. Tensão de linha: medida entre quaisquer dois terminais dogerador ou da carga, nenhum deles sendo o centro-estrela;

3. Corrente de fase: corrente que percorre cada das bobinas dogerador ou da impedância da carga

4. Corrente de linha: corrente que percorre os condutores queconectam o gerador á carga, excetuado o neutro.

Definições

Ligação em Estrela Ligação em Triângulo

n é o neutro (centro-estrela) do gerador.

Para um sistema trifásico simétrico:

a

b

c

abV

bcVcaV

aI

bI

cI

abIcaI

bcIn

anV

bnV

cnV

a

b

c

abV

bcVcaV

aI

bI

cI

0=++

==

cba

cba

VVV

VVV

Ligações triângulo e estrela – Geração


n é o neutro (centro-estrela) da carga.

Para uma carga trifásica equilibrada:

CABCAB

CBA

ZZZ

ZZZ

==

==

N

ANV

CNV

BNV

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

BZ

AZ

CZ

CAIABI

BCI

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

ABZ

BCZ

CAZ

Ligações triângulo e estrela - Carga

Tensão de fase – tensão medida em cada um dos ramosmonofásicos de um sistema trifásico.


CAIABI

BCIN

ANV

CNV

BNV

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

BZ

AZ

CZ

ABZ

BCZ

CAZ

Relações entre os valores de fase e linha (1/12)

Tensão de linha – tensão medida entre dois condutores terminaisde fase.


CAIABI

BCIN

ANV

CNV

BNV

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

BZ

AZ

CZ

ABZ

BCZ

CAZ

Relações entre os valores de fase e linha

Corrente de fase – corrente que percorre cada ramo monofásico deum sistema trifásico.


CAIABI

BCIN

ANV

CNV

BNV

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

BZ

AZ

CZ

ABZ

BCZ

CAZ


Corrente de linha – corrente que percorre por cada condutor delinha.


CAIABI

BCIN

ANV

CNV

BNV

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

BZ

AZ

CZ

ABZ

BCZ

CAZ


Em uma ligação em estrela, as correntes de fase coincidem com ascorrentes de linha.

Em uma ligação em triângulo, as tensões de fase coincidem comas tensões de linha.


N

ANV

CNV

BNV

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

BZ

AZ

CZ

CAIABI

BCI

A

B

C

ABV

BCVCAV

AI

BI

CI

ABZ

BCZ

CAZ


Resumo

Seqüência positiva

Lig

ação

em

es

trel

aL

igaç

ão e

m

triâ

ngu

lo

faselinha II =

=

cn

bn

an

o

ca

bc

ab

V

V

V

V

V

V

303

faselinha VV =

-=

ca

bc

ab

o

c

b

a

I

I

I

I

I

I

303

Relações entre os valores de fase e linha (12/12)

Conexões Residenciais na Rede Elétricahttp://www.youtube.com/watch?v=ettHn5GRbgI

Nas áreas de concessão das empresas do estado de São Paulo,tem-se três tipos de atendimento:

Ligações domiciliarias (1/3)

Fase e Neutro



2 Fases e Neutro



3 Fases e Neutro

Com carga equilibrada

n

anV

bnVcnV

a

b

c

aI

bI

cI

N

ANV

CNV

BNV

A

B

C

aI

bI

cI

Z

Z

Z

LZ

LZ

LZ

nI

0=++= cban IIII

Os centros-estrelas n – N estão ao mesmo potencial.

A corrente pelo condutor neutro

Um circuito monofásico equivalente.

circuito monofásico equivalente

Sistemas trifásicos simétricos e equilibrados (1/3)

Com carga desequilibrada

n

anV

bnVcnV

a

b

c

aI

bI

cI

N

ANV

CNVBNV

A

B

C

aI

bI

cI

BNZ

ANZ

CNZ

LZ

LZ

LZ

nI

cban

NnCNLccn

NnBNLbbn

NnANLaan

IIII

ZIZZIV

ZIZZIV

ZIZZIV

++=

++=

++=

++=

)(

)(

)(

nZ

Um sistema de equações lineares

Sistemas trifásicos simétricos e desequilibrados (2/3)

Sistemas trifásicos simétricos e desequilibrados (3/3)

Carga Trifásica em Estrela Desequilibradahttp://www.youtube.com/watch?v=8cbQnWLZCxM

A potência aparente complexa monofásica e dada por:

Nos circuitos trifásico, a potência aparente toral é a soma daspotências aparente individual das três fases:

Esta expressão nos dá a potência trifásica em função dosvalores de fase

Em termos retangulares temos:

Potência em sistemas trifásicos (1/7)

= IVS

= FF IVS 33f

fff 333 QPS =

Em corrente alternada, definem-se as seguintes potências:

Potência aparente

Potência ativa

Potência reativa

Em termos retangulares temos:

)(3 VAIVS aan=

)(cos3 WIVP aan =

)(sin3 VArIVQ aan =


fff 333 QPS =

Usando os valores de tensão e corrente de linha.


sin3

cos3

3

3 ;

AAB

AAB

AAB

ABANAAN

IVQ

IVP

IVS

VVII

=

=

=

==

sin3

cos3

3

; 3

AAB

AAB

AAB

ABANA

AN

IVQ

IVP

IVS

VVI

I

=

=

=

==

Num sistema simétrico e equilibrado com carga equilibrada(qualquer que seja o tipo de ligação) as fórmulas de potênciaativa, reativa e aparente são as mesmas.

O fator de potência de uma carga trifásica equilibrada é o cossenodo ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente numa fase.


Corrente Alternada. Circuitos Monofásicos Circuitos Trifásicos...Corrente Alternada. Circuitos...

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