Materia: Matemática I

Profesor: Adriana Natividad Olmos

Alumno: Gómez Emanuel - Suarez Marcos

Actividad: 3 A B

Ejemplo 16:

C

SF

Conexiones directas entre ciudades:

NY P L BA C SFNY 3 2 0 0 0P 2 1 2 0 0L 1 1 1 0 0

BA 0 1 3 0 0C 0 0 1 0 1SF 0 0 0 1 1

La matriz A representa los vuelos directos de una ciudad a otra, esta matriz la denominamos matriz adyacencia. Los elementos a ij de la matriz representan la cantidad de vuelos que hay desde la ciudad i a la ciudad j.

A=|0 3 2 0 0 02 0 1 2 0 01 1 0 1 0 00 1 3 0 0 00 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0

|

Por ejemplo el elemento a12=3 representa la cantidad de vuelos directos que hay desde NY hacia P, que son 3.

Para establecer la cantidad de vuelos que llegan de una ciudad a otra pasando por una intermedia se debe formar una matriz B, tal que B=A . A=A2

A2=|0 3 2 0 0 02 0 1 2 0 01 1 0 1 0 00 1 3 0 0 00 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0

|x|0 3 2 0 0 02 0 1 2 0 01 1 0 1 0 00 1 3 0 0 00 0 1 0 0 10 0 0 1 1 0

|=(8 2 3 8 0 01 9 10 1 0 02 4 6 2 0 05 3 1 5 0 01 1 0 2 1 00 1 4 0 0 1

)Comprobación con Wiris:

Entonces decimos que la matriz B contiene la cantidad de viajes que salen desde una ciudad y llegan a otra pasando por un punto intermedio. Por lo tanto cada elemento b ij representa la cantidad de vuelos que salen desde la ciudad i hacia la ciudad j pasando por una ciudad intermedia.

Obtenga el número de caminos que pasando por uno intermedio:

a) unen P con NY;

Observando en la matriz anterior, deducimos que hay un solo vuelo que une P con NY pasando por un punto intermedio

b) unen BA con NY

Observando la matriz anterior decimos que hay 5 vuelos que unen BA con NY

B=(8 2 3 8 0 01 9 10 1 0 02 4 6 2 0 05 3 1 5 0 01 1 0 2 1 00 1 4 0 0 1

)

Por ejemplo el elemento b34=2 son la cantidad de vuelos que salen desde la ciudad L hacia la ciudad BA pasando por un punto intermedio.

Por último para establecer la cantidad de vuelos que salen desde una ciudad y llegan a otra pasando por 3 puntos intermedios tomamos una matriz C, tal que C=A4

A4=(112 70 70 112 0 042 126 154 42 0 042 70 84 42 0 070 56 56 70 0 020 18 15 21 1 09 26 38 9 0 1

)=C

Comprobación con Wiris:

Entonces decimos que la matriz C contiene la cantidad de viajes que salen desde una ciudad y llegan a otra pasando por 3 puntos intermedios. Por lo tanto cada elemento c ij representa la cantidad de vuelos que salen desde la ciudad i hacia la ciudad j pasando por 3 ciudades intermedias.

Por ejemplo el elemento c32=70 son la cantidad de vuelos que salen desde la ciudad L hacia la ciudad P, pasando por 3 puntos intermedios.

Analizando el problema planteado y teniendo en cuenta que los resultados dependen de operar con las potencias de la matriz A, deducimos que el requisito para este problema es que las matrices sean cuadradas, ya que al tener una potencia implica multiplicar la matriz por simisma, debido a la restricción del producto matricial, para una potencia es necesario que la matriz sea cuadrada.

¿Qué información nos da la potencia cuarta de A? ¿Y la quinta?

La potencia cuarta de A nos dice la cantidad de vuelos que hay entre un lugar i hacia un lugar j con 3 puntos intermedios, y la potencia quinta nos dice lo mismo pero con 4 puntos intermedios.

Corrección: Recrear ejercicio 17

Siete tenistas: Federer, Djokovic, Nadal, Murray, Wawrinka, Tsonga y Berdych compiten en un torneo con el sistema todos contra todos en el que cada jugador compite con todos los demás una vez. El dígrafo resume los resultados. Una arista dirigida del vértice i al vértice j significa que el jugador i venció al jugador j. La inicial de cada jugador simboliza los nodos. (Un dígrafo en el que existe exactamente una arista dirigida entre cada par de vértices se llama torneo.)

La matriz de adyacencia seria:

A (G)={0 0 1 0 1 0 11 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 1 00 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0

}¿Cómo fue el resultado de W contra T? (Wawrinka contra Tsonga)

La Fila 5 corresponde a W y la columna 6 a T. Entonces basándonos en A56 para ubicarlo en la matriz de adyacencia, podemos decir que W le gano a T.

¿Quién gano más partidos de manera directa?

Federer con tres victorias. A13 , A15 , A17 .

¿Quiénes siguen con más victorias?

Le siguen con dos victorias cada uno: Djokovic, Nadal y Wawrinka.

Suponiendo que Wawrinka puede argumentar que le gano a Djokovic y por ende obtiene más victorias indirectas, rompiendo el empate con los demás, como quedaría ahora el cuadro de victorias indirectas?

Para obtener información al respecto necesitamos aplicar la operación potencia sobre la matriz de adyacencia A(G) elevándola al cuadrado. Esto nos dará el cuadro de una victoria indirecta.

Entonces de esta manera vemos que Federer continúa primero 5 victorias indirectas al igual que Djokovic también con 5. Estos números se dan a través de un intermediario.

Y ahora, ¿cómo quedaría el total de Victorias directas e indirectas entre todos?

Para conocer estos números, necesitamos realizar la siguiente operación: A+ A2 que nos dará el total de victorias directas e indirectas.

A través de S=A+ A2 vemos que Federer posee 8 victorias, Djokovic 7 victorias.

Calcule la matriz que nos da información sobre cuatro victorias distintas

En este caso tenemos que elevar a la cuarta potencia a la matriz de adyacencia.Nos quedaría:

¿Cuál sería el número total de triunfos de cada jugador?

Aquí utilizamos el vector columna {1 1 1 1 1 1 1 }T y lo multiplicamos por S.

Quedaría:

{8743422}

Podemos observar que la matriz de adyacencia es una matriz de orden 7x7 por lo tanto es cuadrada. No es simétrica ya que no coincide A con AT .

Corrección: Ejercicio 18

Ejemplo 18: Se han agregado dos nodos y tres aristas.

En una empresa multinacional tenemos ocho trabajadores que ocupan diferentes puestos. Se nos ha pedido analizar el nivel de mando de cada uno. Les hemos dado valores desde X1 hasta X 8 para cada empleado y como vemos en la gráfica, tenemos los mandos directos para cada uno.

La Matriz de Adyacencia nos quedaría así:

D=[0 1 0 1 0 0 0 00 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 1 1 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

] Representando los mandos directos.

a) Interprete cada entrada de la segunda columna de D.x2 esdominado x1.

b) Interprete la información que condensa la cuarta fila de D. x4 solo tiene influencia directa con x7.

c) ¿Qué entrada indica si x5 es dominada por x4?la entrada D 45.

¿En este contexto, qué interpretación le daría a la suma de los elementos de una columna o equivalentemente a cada elemento de la matriz UT D?

UD=[ 1 1 1 1 1 1 1 1 ]T . [23211110

]= [2 3 2 1 1 1 1 0 ]T

En este contexto podemos observar el total de dominancia directa que poseen desde x1 hasta x8. Aquí podemos apreciar x2 es el que mayor dominio directo posee con 3, mientras que desde x4 a x7 dominan auna persona y x8 no domina a nadie con 0.

a) ¿A cuántos integrantes del grupo dominan respectivamente x2, x4, x5, x6? ¿De cuántas maneras? Describa cada una.b) ¿Cuál es la persona más dominada por el resto? ¿Alguna persona no recibe influencia del resto?c) La información dada por ( D+D2 ) U y por UT ( D+D 2)¿coinciden cualitativamente? Reflexione, haga cálculos y responda.

D2=[0 0 1 1 1 0 1 00 0 0 0 0 1 3 00 0 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

]

D+D2=[0 1 1 2 1 0 1 00 0 1 1 1 1 3 00 0 0 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

]

U ( D+D2 )=[ 6 7 4 2 2 1 1 0 ]T

UT ( D+D 2)=[ 0 1 2 3 2 2 7 6 ]

a) A través de U ( D+D2 ) podemos observar que x2domina a siete personas, x4 a dos

personas, x5 también a dos y x6 a uno. Las formas están dadas por cada elemento de U ( D+D2 ) y de manera directa e indirecta.

b) Las personas más dominadas por el resto son x7 y x8 . El que no es dominado es x1 y x2 solo por una persona es dominado.

c) No coinciden ya que el primero da una orden de dominación mientras que el segundo da un orden de sumisión.

a) D3 nos da información referida a influencias indirectas de ¿cuántas etapas?b) Interprete la matriz D3 U.c) Interprete D4.

a) D3=[0 0 0 0 0 1 3 10 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

]

Nos da información de tres etapas, dos influencias indirectas.

b) D3 U=[ 5 4 0 0 0 0 0 0 ]T

Denota la cantidad de dominaciones. x1 y x2 Son las que más dominan.

c) D4=[0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

]

Cuarta etapa de dominación, tres influencias indirectas. x1 es la mayor dominadora a través de puntos intermedios.

a) ¿Cuál es el desempeño de los integrantes restantes?b) ¿Qué información registra cada entrada de UT T ?

D5 esnula . Por lo tanto:

T=D+D2+D3+D4=[0 1 1 2 1 1 4 50 0 1 1 1 1 3 40 0 0 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0

]TU=[

1511422110

]

a) x1 Domina de 14 formas diferentes a 7 personas, x2 domina de 10 formas distintas a 6 personas distintas, x3 domina de 3 formas distintas a 3 personas, x4 y x5 de 2 maneras distintas a dos personas, x6 domina a una sola persona y las restantes dos no dominan a nadie.

b) UT T Da la sumisión de cada persona, quedando x7 y x8 como las más dominadas y x1 y x2 como las que no son dominadas.

Analizando el problema planteado y teniendo en cuenta que los resultados dependen de operar con las potencias de la matriz A, deducimos que el requisito para este problema es que las matrices sean cuadradas, ya que al tener una potencia implica multiplicar la matriz por si misma, debido a la restricción del producto matricial, para una potencia es necesario que la matriz sea cuadrada. No es simétrica porque D no es igual a su transpuesta

b)

1. Tenemos la matriz D que es la matriz de las coordenadas originales de la letra “N” que pre multiplicamos por la matriz de transformación T, para obtener una nueva matriz de coordenadas H.

D=(0 0.5 6 5.5 0.5 0 5.5 60 0 0 1.58 6.42 8 8 8)

T=(1 1 /20 1 )

H=T . D

H=(1 1/20 1 ) .(0 0.5 6 5.5 0.5 0 5.5 6

0 0 0 1.58 6.42 8 8 8)H=(0. 0.5 6. 6.29 3.71 4. 9.5 10.

0. 0. 0. 1.58 6.42 8. 8. 8. )

Comprobación con Wiris

Gráfico de la letra N con GeoGebra

Vemos como la letra “N” se inclina hacia la derecha, pero no cambia su altura (coordenadas “y”), ya que al pre multiplicar por la matriz transformación cambiamos las coordenadas “x” sumándole ½ de “y”.

Para obtener D a partir de la matriz nueva H, pre multiplicamos la inversa de T por H, así obtendremos D

D=T −1 . H

D=(1 1/20 1 )

−1

(0. 0.5 6. 6.29 3.71 4. 9.5 10.0. 0. 0. 1.58 6.42 8. 8. 8. )

D=(0 0.5 6 5.5 0.5 0 5.5 60 0 0 1.58 6.42 8 8 8)

Comprobación con Wiris:

2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llámela S, y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.

S=(0 11 0)

H=(0. 0.5 6. 6.29 3.71 4. 9.5 10.0. 0. 0. 1.58 6.42 8. 8. 8. )

J=S . H

J=(0 11 0) .(0. 0.5 6. 6.29 3.71 4. 9.5 10.

0. 0. 0. 1.58 6.42 8. 8. 8. )J=(0. 0. 0. 1.58 6.42 8. 8. 8.

0. 0.5 6. 6.29 3.71 4. 9.5 10.)

Comprobación con Wiris

Para obtener H a partir de la matriz nueva J, pre multiplicamos la inversa de S por J, así obtendremos H:

H=S−1 . J

H=(0 11 0)

−1

(0. 0. 0. 1.58 6.42 8. 8. 8.0. 0.5 6. 6.29 3.71 4. 9.5 10.)

Comprobación por Wiris

Gráfico con GeoGebra

Observamos en el gráfico que la letra N se refleja en el eje de las “y” ya que al pre multiplicar la matriz de coordenadas por la matriz transformación S, se crea un efecto de reflexión tal que las coordenadas “x” se transforman en coordenadas “y”.