Corrección Actividad 2 Parte C
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ACTIVIDAD 2 PARTE C Grupo: Campetella, Conrado Pentassuglia, Adrian CONSIGNA Después de tanto buscar algo original, me topé con una revista de problemas de ingenio y rompecabezas, y mi sorpresa fue mayor cuando vi que muchos de esos problemas que no había querido encarar por demandar mucho tiempo (conocido también como fuerza bruta, ir probando hasta que se encuentra la solución) ahora se tornaban sencillos y sistemáticos. Tomé uno de los problemas y me puse a resolverlos, el problema dice así: Cada símbolo en el siguiente cuadrado tiene un valor. El total aparece junto a una hilera o debajo de una columna ¿qué número debe reemplazar a los signos de interrogación? @ # & $ ¿? $ $ $ & 45 # @ # @ 48 & $ # & 53 ¿? 46 59 41 Aunque no lo creas se resuelven planteando SEL. Lo primero que debemos hacer es asignar a cada símbolo una letra. a) Plantee el SEL que modeliza la situación. Previamente explicite datos conocidos y datos desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos conocidos y desconocidos que dan origen a cada EL.
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Corrección Actividad 2 Parte C, IUA, Mat 1
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ACTIVIDAD 2 PARTE CGrupo: Campetella, Conrado Pentassuglia, AdrianCONSIGNADespus de tanto buscar algo original, me top con una revista de problemas de ingenio y rompecabezas, y mi sorpresa fue mayor cuando vi que muchos de esos problemas que no haba querido encarar por demandar mucho tiempo (conocido tambin como fuerza bruta, ir probando hasta que se encuentra la solucin) ahora se tornaban sencillos y sistemticos. Tom uno de los problemas y me puse a resolverlos, el problema dice as:Cada smbolo en el siguiente cuadrado tiene un valor. El total aparece junto a una hilera o debajo de una columna qu nmero debe reemplazar a los signos de interrogacin?@# &$?
$$$&45
#@#@48
&$#&53
?465941
Aunque no lo creas se resuelven planteando SEL. Lo primero que debemos hacer es asignar a cada smbolo una letra.a)Plantee el SEL que modeliza la situacin. Previamente explicite datos conocidos y datos desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos conocidos y desconocidos que dan origen a cada EL.b)Resuelva el SEL por mtodo de Gauss-Jordan usando los paquetes informticos OnlineMSchool http://es.onlinemschool.com/math/assistance/, Wolfram Alpha, wiris https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=v2pmA6HmYRA y tambin http://www.wiris.net/demo/wiris/es/. Analice los resultados obtenidos.c)Construya el conjunto solucin. Verifique.d)Analice si es posible determinar grficamente la solucin. Explique sus conclusiones, grafique si es posible.Fase 1: comprender el problema
A partir de la informacin dada identificamos los datos:
Smbolos del cuadro: $, @, #, & Incgnitas: $, @, #, &, ? Total: fila1=? Total: columna1=? fila2=45 columna2=46 fila3=48 columna3=59 fila4=53 columna4=41 Comprensin del problema:Tenemos un cuadro de cinco filas y cinco columnas con smbolos, los cuales cada uno de ellos me debiera representar un valor numrico para que se cumpla la condicin de que sumando cada una de las hileras obtenga como resultado el valor de la ltima columna y sumando cada valor de cada columna obtenga como resultado el valor de la ltima hilera. Luego las incgnitas se relacionan segn la tabla y de ella obtenemos las siguientes relaciones:Horizontales:
Verticales:
Debido a que las incgnitas deben satisfacer simultneamente ms de una ecuacin lineal, concluimos que nos encontramos frente a un Sistema de Ecuaciones Lineales. Esperamos obtener valores dentro de los reales, en especial dentro de los enteros.Fase 2: idear un plan
Luego, simbolizamos matemticamenteComo primer paso le asignamos a cada smbolo una letra:
Reemplazamos en el cuadro original estos valores asignados y la tabla quedara de la siguiente forma:
45
48
53
465941
Reescribimos las ecuaciones que conectan las variables conforme se muestran en la tabla.Horizontales:
Verticales:
Completamos y ordenamos las ecuaciones para poder trabajar con la matriz ampliada del SEL.
Tenemos un sistema de 5 incgnitas y 7 ecuaciones. La matriz ampliada del mismo es la siguiente:
0013045
2200048
0121053
1102046
0211059
1021041
1111-10
Fase 3: ejecutar el plan
Para resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales utilizaremos calculadoras online.La calculadora de OnlineMSchool permite ingresar slo 5 ecuaciones para resolver un Sistema de 5 incgnitas utilizando el mtodo de Gauss-Jordan. Nuestro sistema es de 7 ecuaciones, esto quiere decir que algunas ecuaciones nos estn ofreciendo informacin redundante. Como slo la ltima ecuacin nos brinda informacin sobre s, sta debe estar incluida en las 5 ecuaciones a introducir en la calculadora. Luego, utilizando las ltimas 5 ecuaciones en OnlineMSchool obtenemos el siguiente desarrollo y resultado:
Reescribamos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan0121053
1102046
0211059
1021041
1111-10
cambiemos de lugares 1-simo y 2-simo1102046
0121053
0211059
1021041
1111-10
de 4; 5 filas sustraigamos la 1 lnea, multiplicada respectivamente por 1; 11102046
0121053
0211059
0-12-10-5
001-1-1-46
de 1; 3; 4 filas sustraigamos la 2 lnea, multiplicada respectivamente por 1; 2; -110-210-7
0121053
00-3-10-47
0040048
001-1-1-46
Dividamos 3-simo por -310-210-7
0121053
0011/3047/3
0040048
001-1-1-46
de 1; 2; 4; 5 filas sustraigamos la 3 lnea, multiplicada respectivamente por -2; 2; 4; 11005/3073/3
0101/3065/3
0011/3047/3
000-4/30-44/3
000-4/3-1-185/3
Dividamos 4-simo por -4/31005/3073/3
0101/3065/3
0011/3047/3
0001011
000-4/3-1-185/3
de 1; 2; 3; 5 filas sustraigamos la 4 lnea, multiplicada respectivamente por 5/3; 1/3; 1/3; -4/3100006
0100018
0010012
0001011
0000-1-47
Dividamos 5-simo por -1100006
0100018
0010012
0001011
0000147
Resultado:x1= 6
x2= 18
x3= 12
x4= 11
x5= 47
Utilizando Wolfram Alpha:
Utilizando Wiris:
Luego, el conjunto solucin es:
Lo que significa que la solucin del problema planteado es:
Fase 4: verificar los resultados
Para probar si los resultados son los correctos reemplazamos las incgnitas por los mismos. Luego:47
45
48
53
47465941
Vale decir que ? toma el valor de 47 lo cual satisface a la primer fila y a la primer columna.Como podemos apreciar, los resultados obtenidos resuelven el problema planteado.Debido a que el sistema es de 5 incgnitas no es posible obtener una solucin del mismo graficando.FIN.
APENDICE: RESOLUCION DEL SISTEMA COMPLETO CON GAUSS-JORDANCon el fin de poder observar que pasa con las ecuaciones que ofrecen informacin redundante en el sistema, introdujimos las 7 ecuaciones en la calculadora en lnea http://matrix.reshish.com/. El resultado fue el siguiente:Your matrixX1X2X3X4X5b
10013045
22200048
30121053
41102046
50211059
61021041
71111-10
Find the pivot in the 1st column and swap the 4th and the 1st rowsX1X2X3X4X5b
11102046
22200048
30121053
40013045
50211059
61021041
71111-10
Multiply the 1st row by 2X1X2X3X4X5b
12204092
22200048
30121053
40013045
50211059
61021041
71111-10
Subtract the 1st row from the 2nd row and restore itX1X2X3X4X5b
11102046
2000-40-44
30121053
40013045
50211059
61021041
71111-10
Subtract the 1st row from the 6thX1X2X3X4X5b
11102046
2000-40-44
30121053
40013045
50211059
60-12-10-5
71111-10
Subtract the 1st row from the 7thX1X2X3X4X5b
11102046
2000-40-44
30121053
40013045
50211059
60-12-10-5
7001-1-1-46
Find the pivot in the 2nd column and swap the 3rd and the 2nd rowsX1X2X3X4X5b
11102046
20121053
3000-40-44
40013045
50211059
60-12-10-5
7001-1-1-46
Subtract the 2nd row from the 1stX1X2X3X4X5b
110-210-7
20121053
3000-40-44
40013045
50211059
60-12-10-5
7001-1-1-46
Multiply the 2nd row by 2X1X2X3X4X5b
110-210-7
202420106
3000-40-44
40013045
50211059
60-12-10-5
7001-1-1-46
Subtract the 2nd row from the 5th row and restore itX1X2X3X4X5b
110-210-7
20121053
3000-40-44
40013045
500-3-10-47
60-12-10-5
7001-1-1-46
Multiply the 2nd row by -1X1X2X3X4X5b
110-210-7
20-1-2-10-53
3000-40-44
40013045
500-3-10-47
60-12-10-5
7001-1-1-46
Subtract the 2nd row from the 6th row and restore itX1X2X3X4X5b
110-210-7
20121053
3000-40-44
40013045
500-3-10-47
60040048
7001-1-1-46
Find the pivot in the 3rd column and swap the 4th and the 3rd rowsX1X2X3X4X5b
110-210-7
20121053
30013045
4000-40-44
500-3-10-47
60040048
7001-1-1-46
Multiply the 3rd row by -2X1X2X3X4X5b
110-210-7
20121053
300-2-60-90
4000-40-44
500-3-10-47
60040048
7001-1-1-46
Subtract the 3rd row from the 1stX1X2X3X4X5b
11007083
20121053
300-2-60-90
4000-40-44
500-3-10-47
60040048
7001-1-1-46
Multiply the 3rd row by -1X1X2X3X4X5b
11007083
20121053
30026090
4000-40-44
500-3-10-47
60040048
7001-1-1-46
Subtract the 3rd row from the 2nd row and restore itX1X2X3X4X5b
11007083
2010-50-37
30013045
4000-40-44
500-3-10-47
60040048
7001-1-1-46
Multiply the 3rd row by -3X1X2X3X4X5b
11007083
2010-50-37
300-3-90-135
4000-40-44
500-3-10-47
60040048
7001-1-1-46
Subtract the 3rd row from the 5th row and restore itX1X2X3X4X5b
11007083
2010-50-37
30013045
4000-40-44
50008088
60040048
7001-1-1-46
Multiply the 3rd row by 4X1X2X3X4X5b
11007083
2010-50-37
3004120180
4000-40-44
50008088
60040048
7001-1-1-46
Subtract the 3rd row from the 6th row and restore itX1X2X3X4X5b
11007083
2010-50-37
30013045
4000-40-44
50008088
6000-120-132
7001-1-1-46
Subtract the 3rd row from the 7thX1X2X3X4X5b
11007083
2010-50-37
30013045
4000-40-44
50008088
6000-120-132
7000-4-1-91
Make the pivot in the 4th column by dividing the 4th row by -4X1X2X3X4X5b
11007083
2010-50-37
30013045
40001011
50008088
6000-120-132
7000-4-1-91
Multiply the 4th row by 7X1X2X3X4X5b
11007083
2010-50-37
30013045
40007077
50008088
6000-120-132
7000-4-1-91
Subtract the 4th row from the 1st row and restore itX1X2X3X4X5b
1100006
2010-50-37
30013045
40001011
50008088
6000-120-132
7000-4-1-91
Multiply the 4th row by -5X1X2X3X4X5b
1100006
2010-50-37
30013045
4000-50-55
50008088
6000-120-132
7000-4-1-91
Subtract the 4th row from the 2nd row and restore itX1X2X3X4X5b
1100006
20100018
30013045
40001011
50008088
6000-120-132
7000-4-1-91
Multiply the 4th row by 3X1X2X3X4X5b
1100006
20100018
30013045
40003033
50008088
6000-120-132
7000-4-1-91
Subtract the 4th row from the 3rd row and restore itX1X2X3X4X5b
1100006
20100018
30010012
40001011
50008088
6000-120-132
7000-4-1-91
Multiply the 4th row by 8X1X2X3X4X5b
1100006
20100018
30010012
40008088
50008088
6000-120-132
7000-4-1-91
Subtract the 4th row from the 5th row and restore itX1X2X3X4X5b
1100006
20100018
30010012
40001011
5000000
6000-120-132
7000-4-1-91
Multiply the 4th row by -12X1X2X3X4X5b
1100006
20100018
30010012
4000-120-132
5000000
6000-120-132
7000-4-1-91
Subtract the 4th row from the 6th row and restore itX1X2X3X4X5b
1100006
20100018
30010012
40001011
5000000
6000000
7000-4-1-91
Multiply the 4th row by -4X1X2X3X4X5b
1100006
20100018
30010012
4000-40-44
5000000
6000000
7000-4-1-91
Subtract the 4th row from the 7th row and restore itX1X2X3X4X5b
1100006
20100018
30010012
40001011
5000000
6000000
70000-1-47
Find the pivot in the 5th column (inversing the sign in the whole row) and swap the 7th and the 5th rowsX1X2X3X4X5b
1100006
20100018
30010012
40001011
50000147
6000000
7000000
Como podemos ver, las ecuaciones que ofrecen informacin redundante son:
Por sta razn, las filas de stas ecuaciones se vuelven nulas en la resolucin por Gauss-Jordan.Conclusin: Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de n-incgnitas hace falta n-ecuaciones. Cambiar el orden de las ecuaciones introducidas en el paquete informtico no altera la solucin. En caso de disponer de m ecuaciones ms que incgnitas, al aplicar el mtodo de Gauss-Jordan, m filas se harn nulas.
