Actividades sobre Distribución Normal

1.- Un profesor de matemáticas ha observado que las notas obtenidas por sus alumnos en los exámenes de Estadística siguen una distribución N (6; 2,5).

Se han presentado al último examen 32 alumnos, ¿cuántos sacaron al menos un 7?

FORMULA

X= nota obtenida por un alumno ~ N(6; 2,5)

P(X>7)= P(Z> (7-6)/2,5)= P(Z>0,4)= 1- P(Z<=0,4)= 1- 0,6554=0,3446

==> Se supone que el 34,46% de los alumnos sacaría al menos un 7 , como se presentan 32, entonces 11,02~11 alumnos obtendrían más de un 7.

  

Solución: 11 alumnos sacaron al menos un 7

2.  Una empresa lleva a cabo una prueba para seleccionar nuevos empleados. Por la experiencia de pruebas anteriores, se sabe que las puntuaciones siguen una distribución normal de media 80 y desviación típica 25.

¿Qué porcentaje de candidatos obtendrá entre 75 y 100 puntos?.

  

FORMULA

Para ello transformamos la variable X de la distribución dada en la variable Z de la D normal estandar mediante la ecuación Z = (X - M)/DE

Entonces

Z1 = 100 - 80 / 25 = 0.8

Z2 = 75-80/25 = -0.2

O sea que debo calcular la probabilidad de obtener valores de Z comprendidos entre -0.2 y 0.8. Para ello calculo mediante la tabla de la distribucion normal el % de valores menores que 0.8, el % de valores menores que -0.2 y los resto.

P(z < 0.8 ) = F(0.8) = 0.78814

P(z < -0.2) = F(-0.2) = 1 - F(0.2) = 1 - 0.57926 = 0.42074

P (-0.2 < z < 0.8 ) = 0.78814 - 0.42074 = 0.3674

Solución: 36,74 %

3.  El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye normalmente con una media de 500 kg y 45 kg de desviación típica. Si la ganadería tiene 2000 toros, calcular:

a)  Cuántos pesarán menos de 480 kg.

b)  Cuántos pesarán entre 490 y 510 kg.

  Soluciones:    a)   660 kg   b)   348 kg

FORMULA

X = peso de un toro,

μ = 500 Kg,

σ = 45 Kg

X ~ N( 500 Kg, 45 Kg)

n = 2000

- ¿Cuántos toros pesan más de 540 Kg?

Normalizando:

z = (x - μ) / σ

z = (540 Kg - 500 Kg) / 45 Kg

z = 40 Kg / 45 Kg

z = 0,89

Según la tabla de distribución normal (áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a z)

P(0 ≤ z ≤ 0,89) = 0,3133

por lo que la probabilidad de que un toro pese entre 500 Kg (la media) y 540 Kg es de aproximadamente el 31,33%. Así, la probabilidad de que un toro pese más de 540 Kg es de

0,5 - 0,3133 = 0,1867

aproximadamente el 18,67%. Sabemos que hay 2000 toros en la ganadería, entonces el 18,67% de 2000 toros es 373,4 toros, o sea que la respuesta a la pregunta es:

De los 2000 toros de la ganadería, aproximadamente 373 pesarán más de 540 Kg.

=====

- ¿Cuántos toros pesan menos de 480 Kg?

Normalizando:

z = (x - μ) / σ

z = (480 Kg - 500 Kg) / 45 Kg

z = -20 Kg / 45 Kg

z = -0,44

Según la tabla de distribución normal (áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a z)

P(-0,44 ≤ z ≤ 0) = P(0 ≤ z ≤ 0,44) = 0,1700

por lo que la probabilidad de que un toro pese entre 480 y 500 Kg es de aproximadamente el 17%. Así, la probabilidad de que un toro pese menos de 480 Kg es de

0,5 - 0,1700 = 0,33

El 33% de 2000 toros es 660, así que la respuesta es:

De los 2000 toros de la ganadería, 660 pesarán menos de 480 Kg.

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- ¿Cuántos toros pesan entre 490 y 510 Kg?

Normalizando para 490 Kg:

z = (x - μ) / σ

z = (490 Kg - 500 Kg) / 45 Kg

z = -10 Kg / 45 Kg

z = -0,22

Según la tabla de distribución normal (áreas bajo la curva normal tipificada de 0 a z)

P(-0,22 ≤ z ≤ 0) = P(0 ≤ z ≤ 0,22) = 0,0871

por lo que la probabilidad de que un toro pese entre 490 y 500 Kg es de aproximadamente el 8,71%.

Ahora normalizamos para 510 Kg:

z = (x - μ) / σ

z = (510 Kg - 500 Kg) / 45 Kg

z = 10 Kg / 45 Kg

z = 0,22

Nuevamente

P(0 ≤ z ≤ 0,22) = 0,0871

por lo que la probabilidad de que un toro pese entre 500 y 510 Kg es de aproximadamente el 8,71%.

Entonces, la probabilidad de que un toro pese entre 490 y 510 Kg es de 0,0871 + 0,0871 = 0,1742, que equivale a la suma de las probabilidades de los que están entre 490 y 500 Kg y los que están entre 500 y 510 Kg.

El 17,42% de 2000 toros es 348,4, así que la respuesta es:

De los 2000 toros de la ganadería, aproximadamente 348 pesarán entre 490 y 510 Kg.

4.  Una de las pruebas de acceso a la Universidad para mayores de 25 años consiste en un test con 100 preguntas, cada una de las cuales tiene 4 posibles respuestas y sólo una correcta. Para superar esta prueba deben obtenerse, al menos, 30 respuestas correctas.

Si una persona contesta al azar, ¿cuál es el número esperado de respuestas correctas?

¿Qué probabilidad tendrá de superar la prueba?.

Ayuda: utiliza la aproximación de la Binomial a través de la normal para la segunda pregunta.

U=np

ð = √npq

  Soluciones: 25 respuestas correctas, p = 0,1492

p = 1/4 = 0.25

q = 1 - p = 3/4 = 0.75

En forma explícita

.......i=100

P = ∑ C100,i p^i q^(100 - i)

.......i=30

Aproximamos la distribución binomial con

n = 100 ; p = 1/4

a una distribución normal con

Media

μ = n p = 100 * 0.25 = 25

Desviación estandar

σ = √(n p q) = √(100*(1/4)*(3/4)) = (5/2) √3 =4.33

Variable normalizada

Z = (30 - μ)/σ

Z = (30 - 25)/4.33

Z = 1.15

La probabilidad de contestar bien

30 ó más preguntas es

P(z > 1.15) = 0.5 - P(0<z<1.15)

P(z > 1.15) = 0.5 - 0.3749

P(z > Z) = 0.1251 = 12.51%

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5.  Después de realizar varios sondeos sobre una población con escasa cultura, se ha conseguido averiguar que únicamente el 15 % de la misma es favorable a los tratamientos de psicoterapia. Elegida al azar una muestra de 50 personas de dicha población, se desea saber:

a)  La probabilidad de que haya más de 5 personas favorables a dichos tratamientos.

b)  La probabilidad de que a lo sumo haya 6 personas favorables.

U=np

ð = √npq

  Soluciones:   a)   0,7852     b)  0,3446