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Coordenadas de un vector v en E con respecto a una base B

Si 1 2{ , , ..., }nB v v v es una base para un espacio vectorial E de dimensión n y

1 2 1{ , ,..., }nB v v v es otra base para E, se podría decir que B y 1B son iguales. Sin

embargo, aquí vamos a tratar algunos conceptos donde el orden de los vectores en una

base es de mucha importancia y desde ese punto de vista B y 1B no son iguales.

Definicion: Sea B una base ordenada para un espacio vectorial E de dimensión n,

entonces cada vector v en E se puede expresar de forma única como

1 1 2 2 ... n nv c v c v c v , donde 1 2, , ... , nc c c son números reales. Entonces al vector

1 2, , ..., nc c c

de n

R se le llama vector de coordenadas de v con respecto a la base

ordenada B y se escribe 1 2, , ..., nBc c cv .

Si cambiamos el orden de los vectores de la base B el vector de coordenadas Bv

puede cambiar.

Ejemplo:

Sea 1 2 3 4{ , , , }B v v v v una base para R4, tal que 1 2(1,1,0,0), (2,0,1,0),v v

3 4(0,1,2, 1), (0,1, 1,0) (1,2, 6,2)v v v . Determinar B

v

Solución: Para determinar B

v se deben encontrar los escalares 1 2 3 4, , ,c c c c tales que

1 1 2 2 3 3 4 4c v c v c v c v v . Esto es:

1 2 3 4(1,1,0,0) (2,0,1,0) (0,1,2, 1) (0,1, 1,0) (1,2, 6,2)c c c c .

Esto nos genera un sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada es:

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: 10 01 2

: 201 1 1

0 : 61 2 1

: 20 0 01

y su forma escalonada reducida nos queda

: 30 0 01

0 0 0 : 11

0 0 0 : 21

: 10 0 0 1

.

Por lo que el vector de coordenadas v en la base B es 3, 1, 2, 1B

v .

Propiedades:

1) B B B

u v u v . Es decir, el vector de coordenadas de la suma de vectores es

igual a la suma de los vectores de coordenadas.

2) BB

kkv v . Siendo k un escalar.

3) Resumiendo las dos propiedades anteriores:

1 1 2 2 1 1 2 2... ...n n n nB B BBk k kk v k v k v v v v . Es decir, el vector de

coordenadas de una combinación lineal es igual a la combinación lineal de los vectores

de coordenadas individuales.

Otros ejemplos:

1) Sea 1 2 3 4

1 0 1 1 1 2 1 1, , ,

2 1 0 3 1 0 1 1B A A A A

una base

ordenada para 2M , determine el vector de coordenadas de

3 5

2 7A

respecto a la

base B.

Solución: Para determinar B

A se deben encontrar los escalares 1 2 3 4, , ,c c c c tales que

1 1 2 2 3 3 4 4c A c CA c A c A A . Esto es:

1 2 3 4

1 0 1 1 1 2 1 1 3 5

2 1 0 3 1 0 1 1 2 7c c c c

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Esto nos genera un sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada es:

1 1 1 1 3 1 0 0 0 0

0 1 2 1 5 0 1 0 0 1/

2 0 1 1 2 0 0 1 0 8

1 3 0 1 7 0 0 0 1 10

A B

Por lo que el vector de coordenadas A en la base B es 0, 1, 8, 10B

A .

2) Sea 2 2 2

1 2 3( ) 2 ; ( ) 1 3 ; ( ) 3B f x x x f x x f x x x

una base ordenada para

2P , determine el vector de coordenadas de 2( ) 3 5 2f x x x respecto a la base B.

Solución: Para determinar ( )B

f x se deben encontrar los escalares 1 2 3, ,c c c tales que

1 1 2 2 3 3 4 4c A c CA c A c A A . Esto es:

2 2 2 2

1 2 32 1 3 3 3 5 2c x x c x c x x x x

Esto nos genera un sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada es:

191 0 0

2 1 3 3 5

/ 1 0 1 5 0 1 0 1

1 3 1 2 60 0 1

5

A B

Por lo que el vector de coordenadas A en la base B es , 119 6

,5 5

( )B

f x

.