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Dinámica-Cinemática de la particula

DERIVADA DEL VECTOR DE POSICIÓN EN REFERENCIALES EN ROTACIÓN

Velocidad absoluta y velocidad relativa de una partícula en movimiento con respecto a dos referenciales.

Cuando el movimiento de la partícula se describe a un sistema de referencia móvil (x,y,z) en rotación con respecto de un referencial fijo (X,Y,Z) con el que comparte el mismo origen, el vector de posición será el mismo en ambos referenciales y vendrá expresado por:

en el referencial móvil (x,y,z). Puesto que los versores cartesianos (i, j, k) son función del tiempo, al derivar el vector posición con respecto al tiempo aparecerán términos relacionados se obtiene:

Siendo la velocidad angular asociada a la rotación del referencial móvil con respecto al referencial fijo.En términos de la geometría diferencial los términos adicionales tienen que ver con la conexión asociada al sistema de coordenadas o referencia escogido:

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Dónde:

Son los símbolos de Christoffel que caracterizan la conexión.

Son las componentes de la velocidad.

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VELOCIDAD Y ACELERACION EN CORDENADAS CILINDRICAS

En este caso , las coordenadas que definen la posición son ( ρ ,θ , z ), siendo ρ la distancia desde un punto fijo ο ,θ el angulo que forma la proyección del radio vector sobre un plano fijo con una dirección dada del mismo , y z la altura del punto sobre dicho plano.

Las coordenadas cilíndricas estan definidas por las ecuaciones x=ρ sin θy=ρcos θz=z

O la inversaρ=2√x2+ y2

θ=tan−1 yx

z=z ,Como el caso de coordenadas polares planas definimos μρ

incrementando ρ y dejando z yθ fijos; μθ incrementando θ y

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dejando ρ y z fijos ;μz incrementando z y dejandoρ y θ fijos.

Los vectores μρ , μθ , μz forman una base ortonormal directa. Sus componentesCartesianas son:

μρ=cosθ i+sin θ j

μθ=−sin θi+cos θ j

μz=k

El vector posición de un punto P en coordenadas cilíndricas se expresa :

r=ρ μρ+z μzEl movimiento queda determinado al darse ρ (t ) , θ ( t ) , z (t )En particular la velocidad:

v=d rdt

= ρ μρ+ρd μρdtθ+ z μz

¿ ρ μρ+ ρθ μθ+ z μzY la aceleracion:

a=d vdt

= ρ μρ+ ρd μρdθθ+ ρ θ μθ+ρ θ μθ+ρ θ

2 d μθdθ

+ z μz

¿ ( ρ−ρ θ2 ) μρ+(ρ θ+2 ρ θ ) μθ+ z μz

ahora cuando el movimiento se restringe al plano z=0 la presente descripción coincide exactamente con la obtenida en coordenadas polares y planas.

VELOCIDAD Y ACELERACION EN COORDENADASESFÉRICAS

La posición de un punto queda ahora referida a las dos coordenadas angulares en una esfera de radio r: la longitud ϕ y la latitud θ (figura 2.9).

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El triedro físico es ahora (uϕ , uθ , ur ). La línea coordenada de longitud ϕ constante define el meridiano, al cual es tangente el versor uθ . Asimismo la línea de latitud θ constante define un paralelo, al cual es tangente el versor uϕ . Por último, el versor ur lleva la dirección y sentido del radio vector r.

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Proyectando sobre las direcciones del triedro cartesiano se obtienen las relaciones con los versores del mismo:

ur = cos θ cos ϕ i + cos θ sen ϕ j + sen θ kuθ = − sen θ cos ϕ i − sen θ sen ϕ j + cos θ k uϕ = uθ ∧ ur = − sen ϕ i + cos ϕ j

En este caso los tres versores son variables, función del punto. Para obte- ner sus derivadas temporales, expresaremos primero sus derivadas parciales respecto de las coordenadas:

Empleando estas relaciones, se obtiene

u˙ r =∂ ur

r˙ +∂r

∂ ur θ˙ +∂θ

∂ ur ˙∂ϕ

= θ˙ uθ + ˙ cos θ uϕ

u˙ θ = −ϕ˙ sen θ uϕ − θ˙

ur

u˙ ϕ =˙ sen θ uθ − ˙ cos θ

ur

Por último, utilizamos estas expresiones en las derivadas temporales de r, para obtener:

r˙ = r˙ur + rθ˙uθ + rϕ˙ cos θuϕ = v

r¨ = (r¨ − r˙ 2 cos2 θ − rθ˙2)ur + (2r˙θ˙ + r˙ 2 sen θ cos θ +

rθ¨)uθ

+ (2r˙˙ cos θ − 2rθ˙˙ sen θ + rϕ¨ cos

θ)uϕ = a

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BIBLIOGRAFÍA

http://books.google.com.pe/books?

id=Vq3HdDHRsz8C&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_

r&cad=0#v=onepage&q&f=false

ING .PEDRO OBANDO OYOLA

R.C HIBBELER

J.L MERIAM\ L.G.KRAIGE