coordenadas cilindricas y esfericas
1
ALGUNAS EXPRESIONES EN COORDENADAS CIL ´ INDRICAS Y ESF ´ ERICAS Consideremos un sistema de coordenadas cil´ ındricas (r, θ, z), donde r es la coordenada radial, θ la angular y z la axial. Consideremos tambi´ en un sistema de coordenadas esf´ ericas (r, θ, ϕ), donde r es la coordenada radial, θ la polar y ϕ la azimutal. En esta nota se proporcionan algunas expresiones relevantes, utilizando estos dos sistemas de coordenadas. 1. L´ ıneas de corriente En coordenadas cil´ ındricas, las ecuaciones de una l´ ınea de corriente son dv r v r = r dθ v θ = dz v z , (1) mientras que en coordenadas esf´ ericas es dv r v r = r dθ v θ = r senθ dϕ v ϕ . (2) 2. Derivada sustancial La derivada sustancial en coordenadas cil´ ındricas es d dt = ∂ ∂t + v r ∂ ∂r + v θ r ∂ ∂θ + v z ∂ ∂z , (3) mientras que en coordenadas esf´ ericas es d dt = ∂ ∂t + v r ∂ ∂r + v θ r ∂ ∂θ + v ϕ r senθ ∂ ∂ϕ . (4) 3. Aceleraci´ on de una part´ ıcula fluida En coordenadas cil´ ındricas, la aceleraci´on de una part´ ıcula fluida es a = ( dv r dt − v 2 θ r ) u r + ( dv θ dt + v r v θ r ) u θ + dv z dt u z , (5) donde la derivada sustancial viene dada por la relaci´on (3). En coordenadas esf´ ericas, la aceleraci´on es a = ( dv r dt − v 2 θ + v 2 ϕ r ) u r + ( dv θ dt + v r v θ r − v 2 ϕ cotθ r ) u θ + ( dv ϕ dt + v r v ϕ r + v θ v ϕ cotθ r ) u ϕ , (6) donde la derivada sustancial viene dada por la relaci´on (4). 4. Divergencia En coordenadas cil´ ındricas, la divergencia es ∇· v = 1 r ∂ (rv r ) ∂r + 1 r ∂v θ ∂θ + ∂v z ∂z , (7) mientras que en coordenadas esf´ ericas es ∇· v = 1 r 2 ∂ (r 2 v r ) ∂r + 1 r sen θ ∂ ∂θ (v θ sen θ)+ 1 r sen θ ∂v ϕ ∂ϕ . (8) 5. Operador Laplaciano En coordenadas cil´ ındricas, el operador laplaciano es ∇ 2 = 1 r ∂ ∂r ( r ∂ ∂r ) + 1 r 2 ∂ 2 ∂θ 2 + ∂ 2 ∂z 2 , (9) mientras que en coordenadas esf´ ericas es ∇ 2 = 1 r 2 ∂ ∂r ( r 2 ∂ ∂r ) + 1 r 2 sen θ ∂ ∂θ ( sen θ ∂ ∂θ ) + 1 r 2 sen 2 θ ∂ 2 ∂ϕ 2 . (10)
-
Upload
lucy-lopez -
Category
Documents
-
view
8 -
download
0
description
algunas ecuaciones en coordenadas cilíndricas y esféricas
Transcript of coordenadas cilindricas y esfericas
ALGUNAS EXPRESIONES EN COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS
Consideremos un sistema de coordenadas cilındricas (r, θ, z), donde r es la coordenada radial, θ la angular y z la axial.Consideremos tambien un sistema de coordenadas esfericas (r, θ, ϕ), donde r es la coordenada radial, θ la polar y ϕ laazimutal. En esta nota se proporcionan algunas expresiones relevantes, utilizando estos dos sistemas de coordenadas.
1. Lıneas de corriente
En coordenadas cilındricas, las ecuaciones de una lınea de corriente son
dvrvr
= rdθ
vθ=
dz
vz, (1)
mientras que en coordenadas esfericas esdvrvr
= rdθ
vθ= r senθ
dϕ
vϕ. (2)
2. Derivada sustancial
La derivada sustancial en coordenadas cilındricas es
d
dt=
∂
∂t+ vr
∂
∂r+
vθr
∂
∂θ+ vz
∂
∂z, (3)
mientras que en coordenadas esfericas es
d
dt=
∂
∂t+ vr
∂
∂r+
vθr
∂
∂θ+
vϕr senθ
∂
∂ϕ. (4)
3. Aceleracion de una partıcula fluida
En coordenadas cilındricas, la aceleracion de una partıcula fluida es
a =
(dvrdt
− v2θr
)ur +
(dvθdt
+vrvθr
)uθ +
dvzdt
uz, (5)
donde la derivada sustancial viene dada por la relacion (3). En coordenadas esfericas, la aceleracion es
a =
(dvrdt
−v2θ + v2ϕ
r
)ur +
(dvθdt
+vrvθr
−v2ϕ cotθ
r
)uθ +
(dvϕdt
+vrvϕr
+vθvϕ cotθ
r
)uϕ, (6)
donde la derivada sustancial viene dada por la relacion (4).
4. Divergencia
En coordenadas cilındricas, la divergencia es
∇ · v =1
r
∂(rvr)
∂r+
1
r
∂vθ∂θ
+∂vz∂z
, (7)
mientras que en coordenadas esfericas es
∇ · v =1
r2∂(r2vr)
∂r+
1
r sen θ
∂
∂θ(vθ sen θ) +
1
r sen θ
∂vϕ∂ϕ
. (8)
5. Operador Laplaciano
En coordenadas cilındricas, el operador laplaciano es
∇2 =1
r
∂
∂r
(r∂
∂r
)+
1
r2∂2
∂θ2+
∂2
∂z2, (9)
mientras que en coordenadas esfericas es
∇2 =1
r2∂
∂r
(r2
∂
∂r
)+
1
r2 sen θ
∂
∂θ
(sen θ
∂
∂θ
)+
1
r2 sen2 θ
∂2
∂ϕ2. (10)
