ConvoluciónDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

Convolución en un dispositivo óptico (microscopio de fluorescencia, corte longitudinal de una imagen 3D).

Convolución de dos Pulsos Cuadrados (La función resultante termina siendo un Pulso Triangular).

Convolución de un Pulso Cuadrado (como señal de entrada) con la respuesta al impulso de un condensador para obtener la señal de salida (respuesta del condensador a dicha señal).

En matemáticas y, en particular, análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de promedio móvil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la función característica de un intervalo.

Contenido

[ocultar]

1 Definición 2 Uso 3 Tipos de Convolución 4 Propiedades

o 4.1 Conmutatividad o 4.2 Asociatividad o 4.3 Distributividad o 4.4 Asociatividad con multiplicación escalar o 4.5 Regla de derivación o 4.6 Teorema de convolución

5 Matriz de convolución 6 Zero Padding 7 Convoluciones de grupos 8 Convoluciones con deltas de Dirac 9 Véase también

10 Enlaces externos

[editar] Definición

La convolución de y se denota . Se define como la integral del producto de ambas funciones después desplazada una distancia τ.

El rango de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones. En el caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas, periódicamente en ambas direcciones, tal que el término g(t-τ) no implique una violación en el rango. Cuando usamos estos dominios periódicos la convolución a veces se llama cíclica. Desde luego que también es posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los infinitos es el de convolución lineal, especialmente en el caso discreto que presentaremos abajo.

Si X e Y son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la suma X + Y vendrá dada por la convolución f * g.

Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución. Esto es:

Cuando multiplicamos dos polinomios, los coeficientes del producto están dados por la convolución de las sucesiones originales de coeficientes, en el sentido dado aquí (usando extensiones con ceros como hemos mencionado).

Generalizando los casos anteriores, la convolución puede ser definida para cualesquiera dos funciones cuadrado-integrables definidas sobre un grupo topológico localmente compacto. Una generalización diferente es la convolución de distribuciones.

[editar] Uso

La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.

En estadística, como un promedio móvil ponderado. En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos

variables aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.

En óptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.

En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan.

En ingeniería eléctrica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones).

En física, allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición", aparece una operación de convolución.

[editar] Tipos de Convolución

Convolucion Discreta

Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de señal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definición ya que solo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues, una aproximación numérica. Para realizar

la convolución entre dos señales, se evaluará el área de la función : . Para ello, disponemos de muestreos de ambas señales en los instantes de tiempo , que

llamaremos y (donde n y k son enteros).El área es, por tanto,

La convolución discreta se determina por un intervalo de muestreo t = 1 :

Convolución Circular

Cuando una función gT es periódica, con un periodo de T, entonces las funciones, f, tales como f*gT existentes, su convolución es también periódica i igual a:

Donde se escoge arbitrariamente. La suma es llamada como una extensión periodica de la función f.

Si gT es una extensión periodica de otra función, g, entonces f*gT se sabe que es circular, cíclica, o periodica de una convolución de f i g.

Mètodo para calcular la convolución circular:

Tenemos 2 circulos, uno exterior y otro interior. Vamos girando el círculo interior i sumando sus valores. Si los dos círculos tienen diferentes tamaños, entonces el más pequeño le añadimos "0" al inicio, al final o al inicio y final.

[L >= L1 + L2-1]

[editar] Propiedades

Las propiedades de los diferentes operadores de convolución son 12

[editar] Conmutatividad

Nota: esta propiedad se puede perder si no se pide que "demos la vuelta" a una función.

f1(t)*(f2(t)*f3(t))=(f1(t)*f2(t))*f3(t)

[editar] Asociatividad

[editar] Distributividad

[editar] Asociatividad con multiplicación escalar

para todo número complejo o real a.

[editar] Regla de derivación

donde Df denota la derivada de f o, en el caso discreto, el operador diferencia

.

[editar] Teorema de convolución

donde denota la Transformada de Fourier de f. Este teorema también se cumple con la Transformada de Laplace.

[editar] Matriz de convolución

A veces es útil ver a la convolución como un producto matricial, sea x[n] una función discreta de n elementos, sea h[n] un sistema discreto de n elementos y sea y la respuesta a la convolución de (2 * n) − 1 elementos, entonces y[m] = x[n] * h[n] se puede expresar por el siguiente producto matricial.

Ejemplo:

Sea x[n] = [4 5 1 7] y sea h[n] = [1 2 3 1]

entonces la matriz de convolución será

Podemos observar como se añaden ceros a ambos lados. Esto se hace para poder igualar y así poder hacer la convolución. Esta técnica es conocida como zero-padding.

[editar] Zero Padding

Consiste en añadir 0 en una convolución o en el espectro de una señal, en este último caso aumentamos el dominio frecuencial de la señal pero no se mejora la resolución.

[editar] Convoluciones de grupos

Si G es. cierto grupo dotado de una medida m (por ejemplo, un grupo topológico localmente compacto Hausdorff con la Medida de Haar) y si f y g son funciones real -o complejo- valuadas y m-integrables de G, entonces podemos definir su convolución como

En este caso también es posible dar, por ejemplo, un teorema de convolución, que sin embargo es mucho más difícil de presentar y que requiere de la teoría de la representación para estos tipos de grupos así como el Teorema de Peter-Weyl del Análisis armónico. Es muy difícil hacer dichos cálculos sin más estructura, y los grupos de Lie son los marcos donde se deben hacer las cosas.

[editar] Convoluciones con deltas de Dirac

[editar] Véase también

Motivación

La convolución nos ayuda a determinar el efecto que tiene el sistema en la señal de entrada. Puede ser visto que el sistema lineal de tiempo invariante es completamente caracterizado por su respuesta al impulso. A primera vista, esto puede parecer de pequeño uso, ya que las funciones de impulso no están bien definidas en aplicaciones reales. Sin embargo la propiedad de desplazamiento del impulso nos dice que una señal puede ser descompuesta en una suma infinita (integral) de impulsos escalados y desplazados. Conociendo como un sistema afecta un impulso simple, y entendiendo la manera en que una señal es abarcada por impulsos escaldos y sumados, suena razonable que sea posible escalar y sumar la respuesta al impulso a un sistema en para poder determinar que señal de salida resultara de una entrada en particular. Esto es precisamente lo que la convolución hace - la convolución determina la salida del sistema por medio conocimiento de la entrada y la respuesta al impulso del sistema.

En el resto de este modulo, vamos a examinar exactamente como la convolución es definida a partir del razonamiento anterior. Esto resultara en la integral de convolución (véase la siguiente sección) y sus propiedades. Estos conceptos son muy importantes en la Ingeniería Eléctrica y harán la vida de los ingenieros mas sencilla si se invierte el tiempo en entender que es lo que esta pasando.

Para poder entender completamente la convolución, será de utilidad también ver la convolución de tiempo discreto ). También será de gran ayuda experimentar con los applets disponibles en internet. Este recurso nos ofrecerá una aproximación mas crucial del concepto.

Integral de Convolución

Como mencionamos anteriormente, la integral de convolución nos da una manera matemática fácil de expresar la salida de un sistema LTI basado en una señal arbitraria, x(t)

,y la respuesta al impulso, h(t) . La integral de convolución es expresada como

y(t) =∫−∞∞x(τ) h(t−τ) dτ (1)

La convolución es una herramienta muy importante que es representada por el símbolo *, y puede ser escrita como y(t) =x(t) *h(t) (2)

Haciendo unos cambios simples en las variables de la integral de convolución, τ=t−τ, podemos ver que la convolución es conmutativa: x(t) *h(t) =h(t) *x(t) (3) Para más información de las características de la integral de convolución, léase sobre la Propiedades de la Convolución .

Ahora presentaremos dos aproximaciones distintas que se derivan de la integral de convolución. Estos procesos, junto con un ejemplo básico, nos ayudaran para construir una intuición sobre la convolución.

Proceso I: El método corto

Este proceso sigue de cerca el mencionado en la sección anterior en la Motivación. Para iniciar esto, es necesario establecer las asunciones que haremos. En este momento, la única obligada en nuestro sistema es que este sea lineal e invariante en el tiempo.

Breve descripción de los pasos de este Proceso:

1. Un impulso de entrada, nos da como salida una respuesta al impulso. 2. Un impulso desplazado nos da como salida una respuesta al impulso desplazada.

Esto es debido a la invariante en el tiempo del sistema 3. Podemos escalar el impulso de entrada para obtener como salida un impulso

escaldo. Esto es usando la propiedad de linealidad de la multiplicación escalar. 4. Podemos sumar un número infinito de estos impulsos escalados para obtener un

número infinito de sumas de respuestas al impulso escaladas. Esto es usando la cualidad de la aditividad de linealidad.

5. Ahora vemos que esta suma infinita no es mas que una integral, así que podemos convertir ambos lados en integrales.

6. Reconociendo que la entrada es la función f(t) , también reconocemos que la salida es exactamente la integral de convolución .

Figura 1: Empezamos con un sistema definido por su respuesta al impulso, h(t) .

Figura 2: Después consideramos una versión desplazada del impulso de entrada. Debido al tiempo invariante del sistema, obtenemos una

versión de una salida desplazada de la respuesta al impulso.

Figura 3: Ahora usamos la parte de escalado de linealidad, escalando el sistemas por un

valor, f(τ) , que es constante con respecto al sistema variable, t.

Figura 4: Ahora podemos usar el aspecto de aditividad de linealidad para sumar un

número infinito de estos, para cada posible τ. Como una suma infinita es exactamente una integral, terminamos con la integral conocida

como integral de convolución. Usando la propiedad de desplazamiento, podemos

reconocer el lado izquierdo como la entrada f(t) .

Proceso II: El método largo

Este método realmente no es muy diferente del anterior, sin embargo es un poco mas riguroso y mas largo. Esperanzadamente si no se comprendió bien el método de arriba, esto te ayudara para terminar de entender la convolución.

El primer paso en este método es definir una realización particular de la función de impulso unitario. Para esto usaremos δΔ(t) ={

1

Δ

if−( Δ

2

) <t< Δ

2

0otherwise

Figura 5: La realización de la función de impulso unitario que usaremos para esta

derivación.

Después de definir la realización de la unidad de respuesta al impulso, podemos obtener nuestra integral de convolución de los siguientes pasos que se encuentran en la siguiente tabla. Notemos que la columna de la izquierda representa la entrada y la columna de la derecha es la salida del sistema dada esa entrada.

Entrada   Salidalim<ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t) → h → limh(t) lim<ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t−nΔ) → h → limh(t−nΔ) limf(nΔ) <ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t−nΔ) Δ → h → limf(nΔ) h(t−nΔ) Δ lim∑(f(nΔ) <ci>δ</ci><ci>Δ</ci>(t−nΔ) Δ) → h → lim∑(f(nΔ) h(t−nΔ) Δ) ∫−∞

∞f(τ) δ(t−τ) dτ → h → ∫−∞∞f(τ) h(t−τ) dτ

f(t) → h → y(t) =∫−∞∞f(τ) h(t−τ) dτ

Tabla 1: Proceso II de la Integral de Convolución

Implementación de la Convolución

Tomando una visión mas cercana de la integral de convolución, encontramos que estamos multiplicando la señal de entrada por una respuesta al impulso invertida en tiempo e integrándola. Esto nos dará el valor de la salida de un valor dado de t. Si después nosotros cambiamos la respuesta al impulso invertida en tiempo por una pequeña cantidad, obtenemos la salida para otro valor de t. Repitiendo esto para cada posible valor de t, nos da la función total de salida. Nosotros nunca haremos este método a mano, nos proporciona información con algunas entradas de que es lo que esta pasando. Encontramos que esencialmente estamos revirtiendo la función de la respuesta al impulso y desplazándola a través de la función de entrada, integrándola como vamos. Este método, descrito como el metodo gráfico, nos proporciona una manera sencilla de resolver las salidas para señales sencillas, mientras tanto mejoraremos nuestra intuición para los casos mas complejos donde

confiaremos en las computadoras. De hecho las Texas Instruments se convierten en Procesamiento Digital de Señales las cuales tienen un conjunto especial para cómputos así como para la convolución.

Ejemplo 1

Esta demostración ilustrara el método gráfico para la convolución. Véase aquí para las instrucciones de cómo se usa este demo.

LabVIEW Example: (run) (source)

Ejemplos Básicos

Veamos ejemplos de la convolución básica de tiempo-continuo para poder expresar algunas ideas mencionadas anteriormente en el ejemplo corto. Vamos a convolver dos pulsos unitarios, x(t) y h(t) .

(a) (b)

Figura 6: Aqui hay dos señales básicas que usaremos para convolucionar juntas.

Reflejada y Desplazada

Ahora tomaremos una de las funciones y la reflejaremos a través del eje de las y. Después debemos desplazar la función, así como el origen, el punto de la función que originalmente estaba en el origen, esta marcada como el punto τ. Este paso se muestra en la siguiente figura, h(t−τ) . Como la convolución es conmutativa no importa que función es reflejada y desplazada, sin embargo conforme las funciones se vuelven mas complicadas reflejar y desplazar la “correcta” nos hará el problema mas sencillo.

Figura 7: El pulso unitario reflejado y desplazado.

Regiones de Integración

Ahora veremos la función y dividiremos su dominio en dos límites diferentes de integración. Estas dos regiones diferentes pueden ser entendidas pensando en como nos desplazamos h(t−τ) sobre la otra función. Si la función fuera mas complicada necesitaremos tener mas limites para que las partes sobrepuestas de las dos funciones puedan ser expresadas en una integral lineal sencilla. Para este problema tendremos las siguientes cuatro regiones. Compárense estos limites de integración con los de los bosquejos de h(t−τ) y x(t) para ver si se puede entender el por que tenemos cuatro regiones. Nótese que t en los limites de integración se refiere al lado derecho de la función h(t−τ) , marcada como t entre cero y uno en la gráfica.

Los cuatro limites de integración 1. t&lt;0 2. 0≤t&lt;1 3. 1≤t&lt;2 4. t≥2

Usando la Integral de Convolución

Finalmente estamos listos para unas pequeñas matemáticas. Usando la integral de convolución, integremos el producto de x(t) h(t−τ) . Para la primer y cuarta región es trivial pues siempre será, 0. La segunda región, 0≤t&lt;1, requiere las siguientes matemáticas:

y(t) = ∫0t<apply>1</apply>dτ

= t(4)

La tercer región, 1≤t&lt;2, Tomemos nota de los cambios en nuestra integración. Conforme movemos h(t−τ) a través de la otra función, la parte izquierda de la función, t−1, se convierte es nuestro limite inferior para la integral. Esto se muestra a través de la integral de convolución como y(t) = ∫t−1

1<apply>1</apply>dτ

= 1−(t−1) = 2−t

(5) Las formulas anteriores muestran el método para calcular la convolución; sin embargo no deje que la simplicidad de este ejemplo lo confunda cuando trabaje con otros problemas. El método será el mismo, solo se tendrá que tratar con mas matemáticas en integrales mas complicadas.

Resultados de la Convolución

Así, obtenemos los siguientes resultados para nuestras cuatro regiones:

y(t) =<apply>{ 0ift&lt;0 tif0≤t&lt;1 2−tif1≤t&lt;2 0ift≥2

</apply> (6) Ahora que encontramos el resultado para cada una de las cuatro regiones, podemos combinarlas y graficar la convolución de x(t) *h(t) .

Figura 8: Muestra la respuesta al impulso de la entrada, x(t) .

Content actions

Give Feedback:

E-mail the module authors | Rate module ( How does the rating system work ?)

Rating system

Ratings

Ratings allow you to judge the quality of modules. If other users have ranked the module then its average rating is displayed below. Ratings are calculated on a scale from one star (Poor) to five stars (Excellent).

How to rate a module

Hover over the star that corresponds to the rating you wish to assign. Click on the star to add your rating. Your rating should be based on the quality of the content. You must have an account and be logged in to rate content.

(0 ratings)

 

 

 

Convolución y transformadas

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la multiplicación ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto de las transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

 

   Definición [Convolución]

 

La función , donde es el conjunto de funciones

continuas en el intervalo dada por

se conoce como la convolución de y .  

 

La convolución tiene muchas de las propiedades de la multiplicación ordinaria, como veremos en el siguiente teorema.

 

   Teorema [Propiedades de la convolución]

 

Sean y funciones continuas en el intervalo , entonces

1. (ley conmutativa)

2. (ley distributiva)

3. (ley asociativa)

4.

 

Demostración

La demostración de estas propiedades es muy simple. Haremos la primera de ellas y dejamos las restantes al lector.

 

 

 

 

Observación: sin embargo, existen algunas propiedades de la multiplicación ordinaria que la convolución no tiene. Por ejemplo, no es cierto en general que

; para ver esto, note que

 

 

Ejemplo

Calcule la convolución de y .

SoluciónUsando la definición e integración por partes, tenemos que

 

 

Ejemplo

Calcule la convolución de las funciones y .

SoluciónUsando la definición e integración por partes

 

 

Observación: para calcular la integral

del ejemplo anterior, hemos usado la identidad

Otras identidades que pueden ser útiles en el cálculo de integrales similares son

El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teórica y práctica, como veremos.

 

   Teorema [Teorema de convolución]

 Si y existen para , entonces

 

Observación: La forma inversa del teorema de convolución

es muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el cálculo de fraciones parciales complejas.

Ejemplo Calcule

SoluciónUsando el teorema de convolución tenemos que

 

 

Observación: como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenido anteriormente

 

 

 

como obtuvimos en el ejemplo anterior.

Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolución para el cálculo de transformadas inversas.

Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa

SoluciónUsando el teorema de convolución

 

 

 

 

Observación: en este ejemplo el uso de fraciones parciales resulta viable, pues

 

 

Los siguientes ejemplos muestran situaciones donde el uso de fraciones parciales puede ser realmente complejo, comparado con el uso del teorema de convolución.

Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa

SoluciónUsando el teorema de convolución, tenemos

 

 

 

 

Observación: en este ejemplo la expansión en fraciones parciales no es tan simple

Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa

SoluciónUsando convolución

 

 

 

 

El siguiente corolario es útil en el cálculo de la transformada de una integral.

 

   Corolario

 

Tomando en el teorema de convolución tenemos que

donde  

Demostración

 

Ejemplo Calcule la siguiente transformada

SoluciónUsando el corolario anterior y el teorema de multiplicación por , tenemos que

 

 

 

 

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Transformada de Laplace y sus propiedades1. Contextualizar la transformada de Laplace 2. Definir transformada de Laplace y la transformada inversa de

Laplace. 3. Obtener una tabla de transformadas de Laplace para las

funciones o l , t, t^2, t^n, t^a o e^(at) , o Cos(wt) , Sen(wt), Cosh(wt), Senh(wt)

4. Enunciar e ilustrar el teorema de existencia de la transformada de Laplace. Ejercicios? Ir sin regreso

5. Enunciar, y demostrar solamente las 3 primeras de las siguientes propiedades de la transformada:

1. Linealidad 2. Traslación sobre el eje s . (1er. Teorema de traslación) 3. Transformada de la derivada de orden n de una función 4. Transformada de la Integral de una función. 5. Derivada de la transformada

Ejercicios? Ir sin regreso 6. Integral de la transformada 7. Transformada de la función escalón

8. Traslación en el eje t 9. Transformada de funciones periódicas 10. Teorema de Convolución

Ejercicios? Ir sin regreso 2. Obtener la transformada inversa de una función racional por el

método de fracciones parciales, sin recurrir al análisis complejo. Ejercicios? Ir sin regreso

3. Aplicaciones físicas. 1. Aplicar el método de la transformada de Laplace para

resolver ecuaciones diferenciales. Ejercicios? Ir sin regreso

2. Resolver algunos problemas físicos donde se ilustre la conveniencia de emplear la transformada de Laplace, como:

1. Vibraciones Mecánicos Ejercicios? Ir sin regreso

2. Circuitos eléctricos Ejercicios? Ir sin regreso

What we know is not much. What we do not know is immense.(Allegedly his last words.)

Quoted in A. De Morgan: Budget of Paradoxes.

Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son

1. Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la Física que van desde la gravitación, la mecánica de fluídos, el magnetismo y la física atómica.

2. Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa parte de las matemáticas. Como anecdota, el libro inicia con palabras que mas o menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es si no el sentido común reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado, en el cual usa

a discreción la transformada de laplace, las funciones generatrices, y muchas otras técnicas no triviales.

3. Tras la Revolución Francesa, el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor posición y un nuevo título.

4. Uno de los defectos principales que se le han atribuido en detrimento de su reputación es la omisión de toda referencia a los descubrimientos de sus predecesores y contemporaneos, dejando entrever que las ideas eran suyas del todo.

5. La ayuda prestada a los jovenes talentos científicos fue un gran acierto; entre esos jovenes se encuentan: el químico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el físico Poisson, y al joven Cauchy, que estaría destinado a convertirse en uno de los artífices principales de las matemáticas del siglo XIX

Algunos Links interesantes sobre Laplace: 1. Universidad de St Andrew, Escocia 2. En Francia

Ir a índice

Contexto

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.Ir a índice

Definición de la TransformadaSea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral convergeNotas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante

2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s

3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función: 1. De orden exponencial 2. Continua a trozos

Ir a índice

Definición de la Transformada Inversa La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir

si es que acaso

Esta definición obliga a que se cumpla:

y

Ir a índice

Tabla de Transformadas

1. Obtención

2. Obtención

3. Obtención

4. Obtención Para n entero

: 5. Obtención Para

Nota sobre la función Gamma. 6. Obtención Para s > a

7. Obtención

8. Obtención

9. Obtención

10. Obtención

Ir a índice

Existencia de la Transformada Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una función cualquiera:

1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo 2. Ser de orden exponencial

Ir a índice

Propiedades de la TransformadaEn las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace. Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications

1. Linealidad (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )

IdeaLa transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:

2. Primer Teorema de Traslación (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )

donde

IdeaLa transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

Versión para la inversa:

3. Teorema de la transformada de la derivada (Ejemplos, Demostracion, Ir a índice )

IdeaLa transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

4. Teorema de la transformada de la integral (Ejemplos,Ir a índice )

5. Teorema de la integral de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )

Siempre y cuando exista

6. Teorema de la derivada de la transformada (Ejemplos,Ir a índice )

7. Transformada de la función escalón (Ejemplos,Ir a índice )

Si representa la función escalón unitario entonces

8. Segundo teorema de Traslación (Ejemplos,Ir a índice )

9. Transformada de una función periódica (Ejemplos,Ir a índice )

Si f(t) es una función periódica con período T:

10. Teorema de la Convolución (Ejemplos, Ir a índice)

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

Ir a índice

Técnicas para la Transformada Inversa 1. Separación de Fracciones,ejemplos 2. Primer Teorema de Traslación,ejemplos 3. Fracciones Parciales,ejemplos 4. Segundo Teorema de Traslación,consulte este documento 5. Convolución,ejemplos

Mas ayuda? Ir a una pagina de transformadas inversas Ir a índice

Método de Solución A ED basado en Laplace Pasos

1. Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ED 2. Usar las propiedades de la transformada para tener una

expresión en L{y(t)}. Esta expresión se conoce como la Ecuacion Característica

3. Aplicar la transformada inversa de Laplace para despejar y(t)

Ejemplos Ir a índice

Sistemas Masa-Resorte EjemplosIr a índice

Circuitos RLC EjemplosIr a índice

DEDUCCIONES DE FÓRMULA

La razón principal por la cual las demostraciones de las pruebas son incluidas es que hacen uso del teorema de la transformada de la derivada, haciéndolas sencillas y breves.

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde :

Por tanto

Ir a índiceIr a la tabla de transformadas

Deduccion de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde y utilizando la obtención 1:

Por tanto

Ir a índiceIr a la tabla de transformadas

Deduccion de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde y utilizando la obtención 2 y la linealidad de la transformada:

Por tanto

Ir a índiceIr a la tabla de transformadas

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde y utilizando un razonamiento inductivo:

Por tanto

Ir a índiceIr a la tabla de transformadas

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde:

Por tanto y despejando :

Ir a índiceIr a la tabla de transformadas

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

de donde:

Por otro lado, si ahora utilizamos el mismo teorema de la transformada de la derivada pero usando la función

y por consiguiente

y al aplicar el teorema nos queda:

Si resolvemos este sistema de ecuaciones simultaneas en y obtenemos las fórmulas deseadas.

Ir a índiceIr a la tabla de transformadas

APENDICES

Apéndice: La Función Escalón Unitario La función Escalón Unitario en a es la función simbolizada como

ó y definida como:

Es decir, es una función que vale 0 y justo en después del instante t=a la función se activa y su valor cambia a uno. El efecto es el de un switch que está abierto y justo en el instante t=a se cierra.La gráfica de la función escalón queda de la siguiente forma:

La función puede ser combinada para construir funciones seccionadas como se ilustra en los ejemplos.

Ir a índiceIr a Teorema 7

Apéndice: Función Periódica Una función Periódica es una función que se repite. El período de la función es el mínimo intervalo de tiempo donde la función no se repite. Matemáticamente una función es periodica con período T es una función f(t) que cumple:

Dicho en terminos simples, lo que es o pasa con la función en el intervalo describe o determina totalmente a la función. Gráficamente una función periódica queda

Ir a índiceIr al Teorema 9

Apéndice: Convergencia de una Integral Una integral del tipo

es una Integral Impropia del tipo I, se dice que ella converge si existe el límite

Es decir se sustituye el infinito por una nueva variable; se calcula la integral definida, y al resultado se le aplica el límite cuando la variable nueva tiende al infinito. Ir a índiceIr a la tabla de transformadas

Apéndice: Continuidad a Pedazos Para motivos prácticos puede pensar a una función así como una función seccionada continua en cada una de las secciones pero que posiblemente no es continua en los puntos donde se unen dichas secciones. Los problemas que tiene la función son puntos aislados; no intervalos.Estas funciones tienen graficas similares a:

Ir a índiceIr a la tabla de transformadas

Apéndice: Función de Orden Exponencial Una función f(t) se dice de orden exponencial si acaso existe una constante positiva M y un número T que cumplan:

Lo que establece la condición es que la función f(t) no crece mas rápido que la función exponencial en el intervalo Ir a índiceIr a la definición de la transformada

Apéndice: Función Gama de EulerEsta función, que es una de las funciones mas importantes de la matemática, se define como:

Para enteros positivos se cumple que:

Por lo que esta función puede ser vista como la generalizcación de la función factorial. Ir a índiceIr a la tabla de transformadas

Apéndice: Convolución entre dos funcionesLa convolución entre las funciones f(t) y g(t) es una nueva función de t definida como :

Ir a índiceIr al teorema 10

Demostraciones

Teorema Sean f(t) y g(t) dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, y a y b dos constantes. Entonces

DemostraciónRecurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:

Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

Recordando la definición de la transformada para f(t) y para g(t):

Ir a: índice, Propiedades, Propiedad de Linealidad.

Teorema Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, y a una constante. Entonces para s > a:

Siendo

DemostraciónRecurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:

Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

Agrupando las funciones exponenciales:

Si ahora hacemos el cambio de variable S=s-a lo anterior queda:

Este segundo miembro coincide con la transformada de laplace de la función f(t) en la variable S siempre y cuando S > 0 , es decir siempre que s-a > 0, es decir s > a. Resumiendo

Donde

Si encadenamos esta serie de igualdades

Ir a: índice, Propiedades, Traslación eje s .

Teorema Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, cuya derivada también es así. Entonces

DemostraciónRecurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:

Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

Integrando por partes y tomando:

por tanto:

y la integral anterior nos queda:

Avanzando en los cálculos del segundo miembro:

Asi:

(Ec.I) Como la función f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial:

y además

Por tanto la ecuación (I) queda:

Y por consiguiente: