Control Regimen Permanente

Ingeniería de automatización

MCAI 40 02 V00

CONTROL EN RÉGIMEN PERMANENTE

Actualizado al 18/09/2011

Automatización industrial Oscar Páez Rivera

Profesor Asociado

Departamento de Ingeniería Eléctrica

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE Departamento de Ingeniería Eléctrica

Sistemas de control en régimen permanente pagina 2

Oscar Páez Rivera Profesor Asociado del Departamento de Ingeniería Eléctrica

SISTEMAS DE CONTROL EN

RÉGIMEN PERMANENTE

1. Propósitos: El interés de esta monografía es el comportamiento en régimen permanente de los sistemas bajo control, lo que en primer lugar depende de la estabilidad del conjunto que forma la planta y el sistema de control y luego de la configuración que se tenga. En esta monografía se considera que el sistema bajo control se comporta como un sistema lineal.

Oscar Páez Rivera, Ingeniero Civil Electricista de la Universidad de Chile y Magister en Ingeniería Eléctrica de la misma casa de estudios. Profesor Asociado del Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Santiago de Chile y Director desde 1995 a 2010 de la carrera Ingeniería de Ejecución en Electricidad Mención automatización Industrial Modalidad Vespertina. Actualmente director del Departamento de Ingeniería Eléctrica .

Esta monografía se origina en las clases presenciales de la asignatura control de sistemas que dicta desde 1976.

2. Régimen Permanente y Transitorio.

Considérese un sistema lineal asintóticamente estable definido por su función de transferencia: A este sistema se le aplica una entrada regular y determinista, es decir, una señal tal que se pueda predecir su valor en un tiempo futuro. Tal entrada tiene una transformada de Laplace del tipo Este tipo de funciones incluye las señales estándar de prueba (escalón, rampa, sinusoide) y otras formas posibles tales como parábolas exponenciales, parábolas decrecientes, etc. La respuesta del sistema ante condiciones iniciales nulas queda dada por: Por simplicidad, supóngase que los polinomios D(s), Q(s) se factorizan de la siguiente manera: En verdad los ai, bi pueden ser números reales o números complejos; la simplificación consiste en suponer que no se contienen términos de segundo orden Separando en fracciones parciales y reordenando los términos, la salida puede escribirse como lo expresa la ecuación (e6:

N(s) Y(s)H(s) (e

D(s) U(s)= = 1

P(s)U(s) (e

Q(s)= 2

N(s) P(s)Y(s) (e

D(s) Q(s)= 3

i n

i

D(s) (s ai) (e=

=

= +∏1

4i m

i

Q(s) (s bi) (e=

=

= +∏1

5

n nAi Biy(s) (e

s ai s bi= +

+ +∑ ∑1 1

6



Si ahora se obtiene la transformada inversa de la ecuación (e6 se obtiene la expresión de la ecuación (e7

A la componente yt(t) se le llama la respuesta transitoria del sistema, esta componente yt(t) corresponde a la primera sumatoria de la ecuación (e6 (que incluye a las funciones fi(t)) y que es originada principalmente por los polos de la función de transferencia del sistema en estudio ; en esta componente están contenidas las funciones bases del sistema, y como este sistema es asintóticamente estable las funciones fi(t) resultantes se atenúan con el tiempo y por ello también se anula yt(t) .

A la componente yp(t) se le llama la respuesta sostenida del sistema. La componente yp(t) corresponde a la

segunda sumatoria de la ecuación (e6 y que es originada principalmente por los polos de la entrada al sistema en estudio En la segunda sumatoria están presentes “modos” generados por la entrada interactuando con el sistema, en la ecuación (e7 yp(t) corresponde a la sumatoria de las funciones gi(t) las que en general corresponden a respuestas sostenidas en el tiempo ( esto ocurre cuando la entrada se mantiene en el tiempo sin anularse).

En resumen, en un sistema asintóticamente estable solo persiste la respuesta generada por la entrada ya que la respuesta transitoria del sistema se torna despreciable después de cierto tiempo tr (que se llamará tiempo de respuesta).

Se llamará régimen transitorio al intervalo de tiempo (0, tr), en este lapso es significativa la contribución de la

respuesta propia del sistema a la respuesta total. Se llamará régimen permanente al intervalo de tiempo que parte en tr.

Tiempo de respuesta

Sea un sistema asintóticamente estable; cuando se aplica la entrada u(t), en su inicio (en t=0), la forma de la respuesta esta determinada por los modos transientes y los modos permanentes definidos por la ecuación (e7

Como se mencionó anteriormente, debido a la estabilidad asintótica, las funciones asociadas a la respuesta transitoria se anulan en la medida que transcurre el tiempo ; el tiempo de respuesta define hasta donde es significativa la respuesta propia del sistema cuando se le somete una entrada regular y determinista. Para la determinación del tiempo

de respuesta tr considérese el siguiente procedimiento.

1) En t=0 el sistema se somete a señales estándar de prueba (escalón, rampa o sinusoide).

2) Se determina yp ( la respuesta sostenida del sistema ante la entrada en cuestión).

3) Se construye un tubo F alrededor de la respuesta permanente yp(t)

4) Se determina el tiempo tr, tiempo en que la respuesta total entra a ese tubo y no vuelve a salir, ese instante

es el tiempo de respuesta. Si yp(t) representa la respuesta permanente, entonces el tubo en su alrededor es el siguiente conjunto de puntos

en el plano (t,y).

El factor εεεε define el porcentaje de ancho del tubo (salvo una definición explicita se asume que εεεε es 0.05 (5%) )

Como se verá más adelante, en los sistemas asintóticamente estables la respuesta permanente ante un escalón de entrada es otro escalón. En tal caso el tubo entorno de la respuesta permanente es una franja de ancho constante tal como muestra la Figura 1.

Cuando se aplica una entrada en rampa la respuesta permanente es otra rampa. En tal caso el tubo entorno de la respuesta permanente es un cono de ancho creciente tal como lo muestra la Figura 2

n m

t p i i

n m

t i p i

y(t) y (t) y (t) f (t) g (t) (e

y (t) f (t) y (t) g (t)

= + = +

= =

∑ ∑

∑ ∑

1 1

1 1

7

p pF {(t,y) talque ( )y y ( )y } (eε εε εε εε ε= − ≤ ≤ +1 1 8



Algunas respuestas sostenidas de sistemas asintóticamente estables Sea H(s) la función de transferencia de un sistema asintóticamente estable, interesa ver que respuesta presenta ante las señales estándar de entrada: escalón y rampa. Entrada en escalón: Considérese una entrada en escalón cuya expresión en Laplace es: La salida resulta ser: N’(s) es un nuevo polinomio que se genera al separar en fracciones parciales. El coeficiente A resulta ser:

La cantidad (b0/a0 ) se acostumbra a llamar ganancia estática de posición, y se designa por el símbolo Kp

Puesto que se trata de un sistema asintóticamente estable, el polinomio D(s) genera funciones que se atenúan en el tiempo, de modo que: “La respuesta sostenida de un sistema asintóticamente estable ante un escalón de entrada de monto M0, es otro

escalón de monto (Kp) M0, siendo Kp la ganancia estática de posición del sistema”. Este resultado es muy importante y se emplea para el diseño estático de los sistemas de control y también sirve para generar una definición restringida de estabilidad Definición restringida de estabilidad

MU ( s ) ( e

s=

01 0

'

MY(s) H(s) (e

s

A N (s)Y(s)

s D(s)

=

= +

011

s

bA lim sY(s) M (e

a→

= =

00

0 012

mm

nn

b b s b s ... b s N(s)H(s) (e

D(s)a a s a s ... a s

+ + + += =

+ + + +

20 1 2

20 1 2

9



Sea un sistema llamado AA que está sometido a una entrada constante de valor U0 y presenta una respuesta también constante Y0. Si ahora, la entrada cambia a un nuevo valor constante U1 y la respuesta se estabiliza en un valor

constante Y1, entonces el par (U0,Y0) es un punto estable de operación para el sistema AA Entrada en rampa: Considérese ahora la entrada en rampa con pendiente P0 La salida queda dada por Y(s):

P N(s)Y(s)

D(s)s

A B N'(s)Y(s) (e

D(s)s s

=

= + +

0

2

214

Los valores de A y B quedan dados por

s

s

A lims Y(s) (e

dB lim (s Y(s))

ds

→

→

=

=

2

0

2

0

15

Finalmente

pA K P (e

a b a bB

a

====

−−−−====

2

0

0 1 1 0

0

16

El término N’(s)/D(s) genera funciones que se atenúan con el tiempo debido a la estabilidad asintótica del sistema, por lo tanto, debido a la acción de la entrada se produce como respuesta permanente una rampa superpuesta a un escalón de altura B. En la Figura 3 se muestra esta situación. El punto de operación y variables incrementales

Los sistemas de control se diseñan para operar en ciertos valores de sus variables relevantes, se llama punto de operación al vector cuyas componentes son estos valores de operación.

Por definición un punto de operación es un punto de equilibrio, es decir, para cada variable V

involucrada en la operación se cumple

17e1n0dt

Vdn

n

(≥=

Variables incrementales Notación: considérese una variable equis entonces se usará la siguiente notación: X valor total de la variable equis X0 valor de operación de la variable equis x Valor incremental de la variable X en torno del operación. Entonces

xXX 0 +=

Banda proporcional

Y(t)

Yp(t)

U(t)

trt

Figura 2 respuesta a una rampa de un sistema asintóticamente estable

Yp(t)

B

U(t) variable de entrada

Y(t) variable de respuesta

PU(s) (e

s=0

213



3. Introducción al diseño de sistemas de control

Comportamiento de los sistemas de control de lazo cerrado Lo que se necesita de los sistemas de control es obediencia, se desea que el valor YA de la salida (valor actual) bajo control siga al valor YD (valor deseado); valor que corresponde a la evolución deseada para la variable bajo control; la clase de sistemas que se presta para esto es la clase de los sistemas asintóticamente estables, así la ley de diseño es: “Un buen sistema de control es por lo menos asintóticamente estable”

Considérese la Figura 3 que presenta una descripción funcional de un sistema de control industrial que está empleando la estrategia de lazo cerrado de control, en esta descripción se muestran los bloques que representan a los elementos físicos involucrados, ellos son los siguientes:

Sistema bajo control

Este bloque representa al proceso que ocurre en planta bajo control Con trazo grueso se representan a las variables de fuerza que están en juego en el sistema bajo control y que corresponden a X variable de actuación, L variable de carga (o perturbación) y a la variable bajo control Y. Sistema de control En la figura 3 se muestran los componentes funcionales del sistema de control, los que se describen a continuación Sistema de actuación

El Sistema de actuación es el gran amplificador que transforma los mili watts de la variable manipulada por el controlador (M) en la variable de actuación X que puede aportar una gran potencia al proceso (hasta mega watts). Sensor ( transmisor)

El sensor es el elemento que captura el valor de la variable bajo control (YA) y la transforma linealmente en una señal C la que debe ser comunicada al controlador (que se encuentra a cierta distancia) Controlador

El controlador esta construido para funcionar como lo muestra la figura 4, en ella las variables tienen el siguiente significado R referencia del controlador; C salida del sensor; M0 o Bias del controlador MI

Funcionalmente hablando, la HMI es una interfase entre el operador y el controlador, esta HMI puede ser un simple potenciómetro en la cara del controlador o bien un equipo complejo sustentado por un computador y con una pantalla que muestra mucha información del sistema de control . El operador selecciona el valor YD que desea para la variable bajo control y la HMI la transforma en la señal R de la misma naturaleza que la señal C (ya sea en modo remoto o modo local) Controlador

El controlador dispone de un par de switchs que permiten seleccionar la forma de funcionamiento del controlador Remoto / local

Con el switch local/ remoto se puede seleccionar la proveniencia de la referencia; al seleccionar remoto la señal debe provenir de otro instrumento, al seleccionar local la referencia debe ser seleccionada por un operador en el propio controlador. Por definición local está ubicado en el equipo.

Automático / manual

Con el switch Automático / manual se puede seleccionar el modo de funcionamiento del controlador. Con el switch en manual, el controlador queda en lazo abierto y la variable de salida M del controlador es manejada directamente por el operador mediante el bias M0. Con el switch en automático, el controlador queda en lazo cerrado y la variable de salida M del controlador es manejada por el algoritmo de control del filtro.



La referencia R debe ser de la misma naturaleza que la señal C que proviene del sensor. La filosofía de control de lazo cerrado empleada busca que R=C y con ello busca que el valor deseado YD =a se transforme en un valor actual YA del mismo valor numérico de la amplitud deseada YD. Esta filosofía de control se basa en lograr error cero en el controlador y con ello iguala la salida del sensor a la referencia, de allí en adelante es cosa de elegir bien al sensor.

C

CR

R

YD YD YA YA

Considere las curvas de la figura 5, en la figura 5 a se muestra que el rango de control deseado dado por

(YDmn, YDmx) se aplica en el rango de referencia (Rmn, Rmx), también en la figura 5b muestra que el rango de control obtenido dado por (YAmn, YAmx) se aplica en el rango de salida del sensor (Cmn, Cmx). Se observa que si Rmn=Cmn y si Rmx=Cmx y si el error E=R-C es nulo entonces el sistemas de control de lazo cerrado es capaz de obtener exactamente como salida YA el valor deseado YD

En la Figura 4 a se muestra como funciona el lazo cerrado de control, el lazo puede funcionar abierto (funcionamiento en manual) o puede funcionar cerrado (funcionamiento en automático).

En el funcionamiento en manual, mediante el valor constante M0 (BIAS) se inyecta un valor constante pero ajustable a la salida M del controlador con ello es posible ajustar que, en el valor de operación de la variable bajo control alcance el valor C0 deseado, una facilidad del controlador llamada autotraking permite que el valor de La referencia R siga al valor de C de modo se tenga C0=R0 al momento de cerrar el switch auto_man y se opere en automático. Cuando se opera en automático el valor YA de la variable bajo control sigue al valor de YD. Lo que es interesante es preguntarse: ¿que valor asume la variable bajo control cuando aparece un incremento r en la referencia? Esta pregunta se responde estudiando la exactitud de los sistemas de control en régimen permanente

Mirado como un bloque equivalente, el sistema bajo control admite tres

entradas (YD;M0;L) y da una salida YA (variable bajo control actual ). El parámetro dada por M0 no es relevante desde el punto de vista del cambio de la salida bajo control ya que es una señal de configuración en modo manual y que una vez definida permanece inalterada. La variable de fuerza L si puede alterar a YA, pero todo el sistema de control se ha diseñado para anular sus efectos.

En verdad el sistema de control se ha construido para que la amplitud de la variable bajo control que se designa por YA siga al dato YD que es el valor suministrado a la HMI y es el valor deseado para esta variable bajo control automático por el operador

Con frecuencia se considera para el análisis una versión simplificada del sistema bajo control que se muestra en la Figura 6 Exactitud a entrada constante

Considérese el sistema de control de la Figura 6a que acepta a la referencia R como entrada y que genera la variable C como salida. La primera cosa a resolver es la estabilidad asintótica del conjunto. Esto se relaciona con la naturaleza del sistema bajo control y la adecuada elección del controlador y la adecuada selección de sus parámetros (sintonía del controlador). Supóngase que este problema esencial está resuelto y que el conjunto es asintóticamente estable, entonces si existe un aumento r entorno de R0, existirá un aumento c entorno de C0



Considérese ahora la situación de la Figura 6 y sea R= r +R0 y sea C= c+ C0 puesto que el sistema es lineal la respuesta ante la entrada R es la suma de las respuestas ante R0 y r. Ya se sabe que la respuesta a R0 es C0 sea c la respuesta ante r. Es decir si R0 es un valor de operación c es la respuesta incremental ante el incremento en R.

Se ha visto que la respuesta sostenida ante un escalón rs=M0 en la entrada es otro escalón de monto cs=Kp(M0) en la salida, se define el índice epp llamado error permanente de posición como la diferencia sostenida en tanto por uno que presenta el sistema en régimen permanente. Este índice puede ser positivo o negativo, salvo otra indicación específica se considera como aceptable que epp asuma

hasta el valor de ± 0.05 (5% de error permanente de operación). Debe quedar claro que el usuario final esta interesado

realmente en el error absoluto denominado ea

. ea=YD- YA (e18a

Ejemplo Para ilustrar lo anterior supóngase que se desea controlar la temperatura de un horno en el rango de 40 a 200

°C . Se emplea instrumentación electrónica, por lo que las señales (R y C) se mueven en el rango de 4 a 20mA. Entonces para la HMI lo que se desea es que se cumpla la siguiente tabla de valores entre YD y R

Tabla1.1 de valores para la HMI

YD R 40 4

120 12

200 20

Con ello La ecuación que relaciona a R con YD es ( ecuación de la HMI)

410

40YR D ++++

−−−−====

Entonces para el sensor_ transmisor de temperatura lo que se desea es que se cumpla la siguiente tabla de valores entre YA y C Tabla1.2 de valores para la

HMI

YA C

40 4

120 12

200 20

la ecuación del sensor que relaciona YA con C es

410

40YC A ++++

−−−−====

Si se cumple la tabla 1.1 cuando YD=120 °C R es 12mA y cuando el valor real de la temperatura sea 120°C entonces se cumple C= 12mA (ver Figura 5)

Para este ejemplo se sabe que el sistema de control empleado permite operar en forma asintóticamente estable y que permite tener un epp=0.1.. Cuando el operador selecciona YA=120°C cuanto se obtiene en la variable bajo control? ¿Cual es el error absoluto desde el punto de vista del usuario? Respuesta: De la ecuación que relaciona YD con R se tiene que cuando YA=120 R=12; de la ecuación (e18 se concluye que C=10.8 mA y de la ecuación que relaciona YA con C se tiene que YA=108; entonces el error absoluto es 12 grados celcius

s spp

s

r ce (e

r

−−−−==== 18



Exactitud ante rampa de entrada

La respuesta es un sistema asintóticamente estable ante una rampa en la entrada resulta ser otra rampa superpuesta a un escalón, en tal caso tiene sentido comparar las pendientes. Se define epv error permanente de velocidad como el error en tanto por uno de las pendientes de entrada y salida (Pe,

Ps)

En el caso muy particular en que la salida presenta la misma pendiente que en la entrada, entonces tiene sentido definir un error en paralaje ep*, dado simplemente por la diferencia entre las dos señales en régimen permanente.

Una clasificación de los sistemas para el análisis de exactitud.

Lo que se pretende es desarrollar es una clasificación de los subsistemas que intervienen en los sistemas de control, basada en la forma de la función de transferencia.

Uno de los subsistemas más importante en la exactitud es el integrador cuya función de transferencia es:

La respuesta del integrador a una entrada tipo escalón es una rampa; en otras palabras, si la entrada pasa de

ser nula a una posición constante M0, entonces, la salida cambia con la velocidad constante dada por KvM0. Por tal razón la constante Kv se llama ganancia estática de velocidad. 4.51 Sistemas tipo cero

También son importantes los sistemas dados por la ecuación (e21 Estos sistemas se llaman sistemas tipo cero y se caracterizan porque no tienen polos en el origen, es decir a0 es distinto de cero.

Los sistemas tipo cero (ecuación (e21 están en correspondencia con la ecuación diferencial de (e22 y las variables señaladas en la Figura 7 Desde el punto de vista de la estabilidad, los sistemas tipo cero pueden ser asintóticamente estables o no. Independientemente de la estabilidad, cuando se aplica una entrada constante de monto Me [u(t)= Me ], entonces la función y(t) de valor constante [y(t)=Ms; Ms=( Me )(b0)/(a0) ] satisface la ecuación diferencial (e22.

En particular, como se vio anteriormente, cuando H0(s) es asintóticamente estable la respuesta en régimen permanente a un escalón de monto Me en la entrada es otro escalón de monto Ms

bMs Me Me(Kp) (e

a= == == == =0

0

23

e spv

e

P Pe (e

P

−= 19

*pe r(t) c(t) (e= − 20

2 m0 1 2 m

02 n

0 1 2 n

b b s b s ... b sH (s) (e21

a a s a s ... a s

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +====

+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +

n n

n nn n

m m

m mm m

d y d y d y d ya a .............a a a y

dtdt dt dt

d u d u d u d ub b .............b b b u (e

dtdt dt dt

−

− −

−

− −

+ + + + =

+ + + +

1 2

1 2 1 01 2

1 2

1 2 1 01 222

s

KvsH =)(



La posición de entrada es transformada en otra posición con una ganancia igual a Kp, por tal razón, en el régimen permanente, lo único interesante de un sistema asintóticamente estable es lo que se llama su ganancia estática de posición Kp.

En resumen un sistema tipo cero es aquel que se representa por

H (s) kpH(s) ; H( ) (e= == == == =0 0 1 24 Sistemas tipo uno

Se define como sistema tipo uno a uno que sea la conexión en cascada de un sistema tipo cero y un integrador; el sistema tipo uno se representa por

vKH (s) H (s) ; H( ) (e

s= == == == =1 0 0 1 25

Sistemas tipo N

Se define como sistema tipo N a uno que sea la conexión en cascada de un sistema tipo cero y N integradores; el sistema tipo N se representa por

Tratamiento en régimen permanente de sistemas oscilatorios o inestables. En este párrafo interesa considerar que ocurre en régimen permanente con sistemas de control que incluye subsistemas oscilatorios o claramente inestables en su estructura como el sistema de la figura 8 En tal caso G(s) representa un sistema inestable que satisface la siguiente ecuación diferencial. ¿Como se comporta el sistema total? Esa es una pregunta interesante ya que al menos una de las partes es inestable por si sola (en lazo abierto) La respuesta viene en el sentido de que ahora debido a la realimentación se ha estructurado un nuevo sistema cuya función de transferencia es: Este nuevo sistema es asintóticamente estable si kc>a, supóngase que se cumple esta condición. Cuando la referencia toma un valor constante, entonces, en el régimen permanente la salida también debe ser constante, la señal de error y la salida del amplificador también lo son, luego se encuentra que en el sistema inestable debe darse que tanto su entrada como su salida son fijas; ¿que ha ocurrido entonces con la dinámica del sistema inestable? En la ecuación diferencial (e27, se tiene la siguiente respuesta cuando su entrada es constante y de monto m0.

El modo inestable se anula si m0 = - c(0)a .

n

nn

KH (s) H (s) ; H( ) (e

s= =0 0 1 26

m matc(t) c( ) e (ea a

= + −= + −= + −= + −

0 00 29

c

c

c(s) k(e

r(s) s k a=

+ −28

G(s)S a

====−−−−

1

dcac m (e

dt− = 27



Se establece el siguiente principio que incluye componentes inestables u oscilatorios en los sistemas de control. Si todo el conjunto es asintóticamente estable, entonces un subsistema H(S)del conjunto que no contenga integraciones se comporta como un amplificador de ganancia H(0) cuando la entrada es un escalón. Este comportamiento es válido en el régimen permanente ya asegurado por la condición de estabilidad asintótica del conjunto.

Exactitud de los sistemas de control en lazo abierto. Sea H(s) la función de transferencia de un sistema de control en lazo abierto. La única posibilidad aceptable para H(s) es que sea asintóticamente estable; en consecuencia presenta una ganancia estática de posición kp, luego los índices epp, epv valen

Aparentemente basta hacer kp=1 para tener la mejor exactitud posible, pero esto no siempre es simple de lograr y mantener;

El valor de kp es en general un producto de las ganancias de todos los componentes del sistema (programador, actuador, planta, sensor), por una parte hay un problema de calibración y por otra las múltiples posibilidades de variación de ganancias ( en cada bloque ) debido al uso del sistema O variaciones de las fuentes de suministro al sistema bajo control .

El problema de calibración se hace patente cuando es necesario ajustar kp=1 ya sea moviendo un potenciómetro o una perilla de ajuste, es muy difícil ajustar un valor determinado. Exactitud de los sistemas de control realimentados. Sea el sistema AA dado por un proceso, el sistema de actuación y el sensor necesario, supóngase que además se incluye un controlador y sea KcH(s) la función de transferencia del conjunto de elementos recién señalado.

Para el análisis considérese la figura 9

En el controlador existe una ganancia ajustable que se designa por Kc, este parámetro es suficientemente importante como para declararlo explícitamente.

La función de transferencia del conjunto de la Figura 9 es:

F(s) representa a un nuevo sistema creado a partir de H(s) mediante la realimentación, sea NV este nuevo sistema

La estabilidad del sistema NV depende de la ubicación de los polos de F(s), específicamente la estabilidad

depende de la ubicación de las raíces de la ecuación algebraica.

Y puesto que kc es ajustable, su valor juega un papel muy importante en la estabilidad del sistema.

Cuando el sistema ha sido bien diseñado existe por lo menos un rango de valores para kc que asegura la

estabilidad asintótica del conjunto, por esto se efectúa la siguiente suposición para todos los desarrollos que siguen. Suposición esencial: Kc es tal que el sistema NV realimentado es asintóticamente estable

pp pv p (ee e k= = −= = −= = −= = − 301

c

c

c(s) k H(s)F(s) (e

r(s) k H(s)= == == == =

++++31

1

ckH(s) (e+ =+ =+ =+ =1 0 32



La exactitud del sistema NV dado por F(s) en la ecuación (Ec15 depende también de la naturaleza de H(s), por ello considera los casos cuando H(s) es de tipo cero, tipo uno y de mejor orden. H(s) tipo cero En tal caso función de transferencia H(s) puede escribirse: En esta definición un sistema tipo cero puede ser asintóticamente estable o no serlo, pero lo que es fácil de probar que todo sistema que sea asintóticamente estable es también un sistema tipo cero. Como kc esta dentro del rango que asegura la estabilidad asintótica entonces F(s) es también de tipo cero. Al aplicar un escalón r0 en la referencia, en el régimen permanente la salida se estabiliza también en un valor constante c0. El error e0 resultante de la comparación es amplificado kckp veces para dar la salida c0, luego es inmediato que: Por otra parte, cuando a este tipo de sistemas se aplica una rampa de pendiente Pe en la entrada, por la estabilidad asintótica del conjunto, en régimen permanente también aparece una rampa de pendiente Ps. La señal de error es otra rampa; como H(s) es de tipo cero, la pendiente de la rampa en el error es amplificada KpKc veces luego es inmediato que: H(s) de tipo uno Esto supone la presencia de un integrador en el lazo directo, la función de transferencia H(s) puede escribirse Recordando que todo el conjunto definido por la ecuación (e315 se comporta como un sistema tipo cero, luego cuando la referencia es de valor constante ro, en el régimen permanente la salida también es constante, supóngase que es de valor C0. Se tiene por tanto un error constante de valor: Si el error e0 es distinto de cero, entonces el integrador presente en el lazo genera una rampa, esto contradice el hecho de que el conjunto se comporta como un sistema tipo cero, luego se tiene el importante resultado Siguiendo un razonamiento análogo se puede concluir que: En este último caso: Siendo Pe la pendiente de la rampa de entrada

H(s) tipo n, para n ≥≥≥≥ 2 En tal situación el problema mas difícil es lograr la estabilidad asintóticamente ya que los índices de error epp, epv, ep* son todos nulos. Sensibilidad en los sistemas de control

pH(s) k G(s) ; G( ) (e= =0 1 33

ppc p

e (ek k

=+

134

1

pvc p

e (ek k

=+

136

1

vkH(s) G(s) ; G( ) (e

s= =0 1 37

000 cre −=

ppe (e≡≡≡≡0 38

0≡pve

vc

*p

kk

Pee =



Parámetro de un sistema es un atributo de él que permanece sin cambios apreciables en el tiempo, lo que se llama invariancia. Un parámetro puede cambiar en el tiempo según una ley propia que no tiene relación con el funcionamiento del sistema (por ejemplo el envejecimiento).

En ingeniería el concepto de parámetro se enriquece con la noción de condición de diseño, así en los sistemas de control, los parámetros son magnitudes cuyo valor es ajustable por el operador pero que una vez que se han definido permanecen constantes durante la operación del sistema.

La invariación en el tiempo es una condición deseada pero que no se puede asegurar en un cien por cien, todos los equipos son susceptibles de fallas. Estas fallas se traducen en cambios en los parámetros que se definen.

Un concepto útil para estudiar el efecto de cambios en los parámetros es el de sensibilidad. A continuación se define una notación

El valor de una variable se denota con una letra mayúscula; por ejemplo sea una variable equis entonces se

denota por X. El valor de operación de la variable se denota por X0. Una variación entorno de este valor se denota por

∆∆∆∆X; El valor de un parámetro se denota con una letra mayúscula; por ejemplo sea un parámetro ka entonces se

denota por K. El valor de operación del parámetro se denota por K0. Una variación entorno de este valor se denota por

∆∆∆∆k;

Sea T una variable de un sistema y sean {A1, A2,...,An} el conjunto de parámetros que tienen incidencia sobre T. Sea el valor T0 el valor de T antes del cambio en el parámetro a1 y sea { A10, A20,..., An0} el conjunto de valores que presentan los parámetros antes del cambio.

Supóngase que el parámetro Ai se incremente en ∆∆∆∆Ai, y que como consecuencia de ello la variable T presenta

una variación ∆∆∆∆T; se define la sensibilidad de T respecto de Ai alrededor del punto de trabajo 0 como el siguiente límite. La ecuación (e39 puede ser rescrita en la forma de la ecuación (e40 ;

∆∆∆∆

∆∆∆∆

∆∆∆∆→=

0 0

0

040

i

T

A iAi

i

T

Tlim [ ] (eA

A

s

En esta ecuación la sensibilidad puede entenderse al límite que tiende el cambio porcentual en la variable T cuando ocurre un pequeño cambio porcentual en el parámetro

Este análisis de sensibilidad busca inferir el efecto que tendrá en la variable T un pequeño cambio en el parámetro ai, para ello se usa la siguiente aproximación.

Esta expresión es semejante a la utilizada en la linealización de funciones.

La validez de la aproximación depende naturalmente de la suavidad de la curva, la sensibilidad al igual que la derivada tiene una validez local. Si el valor de la sensibilidad resulta próximo a cero, entonces, en ese punto de trabajo, la variable es “insensible” al parámetro.

∆∆∆∆

∆∆∆∆

∆∆∆∆→=

00

00

39i

iT

A Ai i

T Alim (e

A Ts

i

T i

A i

T A] (e

T A[s

∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆=

0

00

41

x)x(dx

dfy ∆=∆ 0



Si el valor de la sensibilidad (su magnitud) es del orden de la unidad o superior, entonces, la variable resulta “sensibles” al parámetro.

El análisis de sensibilidad es importante para la evaluación de diseño y dispositivo de la ingeniería. En general los diseños consideran condiciones ideales de funcionamiento. Un estudio de su sensibilidad puede arrojar luz acerca de los componentes que requieren un mayor control en su calidad.

Por otra parte cuando se requiere influir sobre la variable, se busca una gran sensibilidad. Tal es la situación en la calibración de equipos. Aplicaciones al control automático. a) Sea Entonces Si se considera un sistema de control en lazo abierto, entonces la salida Y0 en régimen permanente para una entrada fija R0 es. Así la sensibilidad de la salida respecto a cualquiera de las ganancias toma el valor unitario. Cualquier variación de una ganancia rebota en el mismo porcentaje de la salida.

b) Sea Y0 la salida de un sistema realimentado con entrada constante R0; sea K1 la ganancia total del lazo directo y sea K2 la ganancia del sensor en el lazo de realimentación entonces para un entrada constante R0 la expresión de salida es: Esta expresión valida en el régimen permanente no contiene al tiempo de modo que la sensibilidad puede calcularse a través de la derivada parcial de respecto de K1 o o respecto de K2 según sea el caso Se pueden encontrar los siguientes resultados.

El primer resultado dice que la sensibilidad de la salida respecto de una ganancia cualquiera del lazo directo es igual al error permanente de posición del sistema (epp). Si el sistema tiene un buen desempeño entonces epp es pequeño y por lo tanto las pequeñas variaciones de alguna de las ganancias en lazo directo no rebotan apreciablemente en la salida.

El segundo resultado dice que la sensibilidad de la salida Y0 respecto a la ganancia es igual a -(C0/R0). Si el sistema tiene buen desempeño en su exactitud entonces (C0/R0) tiende al valor uno.

i nT A A A ...A ....A (e= 1 2 3 42

i

iT

A

T A(e

Ai TS

∂== =

∂

0

1 43

nY G G G ...G R (e=0 01 2 3 44

(Ek

Y Rk k

=+

10 045

1 21

Y Y

k k

k k(E

k k k kS S= = −

+ +

0 0

1 2

1 2

1 2 1 2

146

1 1



Los sistemas de control, explícitamente las salidas de ellos son extraordinariamente sensibles respecto de la ganancia del sensor. Los controladores creen ciegamente en la salida del sensor, por ello es importante seleccionar cuidadosamente estos dispositivos en un proyecto de instrumentación.

Regulación de los sistemas de Control El problema que interesa ahora se refiere al efecto que puede tener en una variable Y del sistema la aparición de

otra variable ∆∆∆∆X que se suma a una variable X. En la Figura 11 se representa la situación de un sistema asintóticamente estable que ha alcanzado una condición estacionaria ante una entrada constante R0 La salida Y ha alcanzado un valor constante Y0 y al interior del sistema la variable X ha alcanzado el valor constante X0.

En la Figura 12 se representa la nueva condición estacionaria después que a la variable X se le ha adicionado

una perturbación ∆∆∆∆X como resultado de ello la salida se ha estabilizado en el nuevo valor Y0+∆∆∆∆Y.

Se define la regulación de Y frente a ∆∆∆∆x de la siguiente manera.

En esta expresión X0 es el valor de la variable x antes de ser perturbada; Y0 es el valor de la variable de interés antes de la perturbación.

El valor ∆∆∆∆X es el monto de la perturbación. El valor ∆∆∆∆Y representa el cambio sostenido en la variable Y debido a la perturbación

Claramente, las situaciones de antes y después suponen la existencia de régimen permanente.

La definición de regulación es muy semejante a la dada para la sensibilidad, también mide una razón entre cambios. Estos cambios también se expresan en tanto por unidad referidos a los valores anteriores al efecto de la

perturbación. Hay una diferencia notable en ambos casos: los incrementos ∆∆∆∆x no requieren ser diferenciales y no es necesario llevar a un límite la relación de cambios. La causa de estos reside en que una perturbación aditiva no cambia la estructura del sistema en si misma.

Una situación que es conveniente de considerar es la de la existencia de saturaciones en las variables del sistema; en tal caso, es posible perder la condición de linealidad y los cálculos deben realizarse en base a los valores de saturación que se hayan alcanzado.

Y

X X

Y xlim (eR x Y∆∆∆∆

∆∆∆∆

∆∆∆∆→=

0

00

47



A continuación se presenta la aplicación de este concepto a un sistema de control en lazo abierto y luego a uno en lazo cerrado.

La situación antes de la perturbación se caracteriza por Después que ocurre el cambios se tiene que Efectuando el cuociente entre ambas igualdades se concluye que En este resultado puede ser considerado como malo, en efecto, si se calcula el porcentaje de cambio en la salida debido a la perturbación según la expresión Se concluye que la salida sigue a la perturbación en el mismo porcentaje. Considérese ahora el caso de un sistema realimentado (Figura 14)

kkkk2222 kkkk1111

AntesAntesAntesAntes

kkkk2222

kkkk1111

DespuésDespuésDespuésDespués

++++

++++

Figura Figura Figura Figura 11114444 : : : : Perturbación Perturbación Perturbación Perturbación

en en en en Lazo Lazo Lazo Lazo cerradocerradocerradocerrado

RRRR0000

XXXX0000

YYYY0000

YYYY0000

XXXX0000

XXXX D

kkkk3333

kkkk3333

++++

----

RRRR0000

++++

----

Considérese ahora la situación de antes y después de ocurrida la perturbación en un sistema de control de lazo cerrado. En este caso, la situación de antes se caracteriza por

0( e 4 8

0Y k 2 X====

2c ' k x∆ = ∆∆ = ∆∆ = ∆∆ = ∆

Y

X1 ( e 4 9R ====

(((( ))))Y0 X 0

Y X(e50

Y xR

∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆====

2 (e510 0Y k X====



La situación de después se caracteriza por Así :

El término entre paréntesis es por una parte la regulación de Y respeto a ∆x, pero también es el error permanente de posición del sistema. Se puede concluir que el sistema realimentado presenta una buena regulación de la salida frente a las perturbaciones en el lazo directo.

2

1 2 3

kY X (e52

1 k k k∆ = ∆∆ = ∆∆ = ∆∆ = ∆

++++

2

01 2 3 0

Y k x

1 k k kY x

∆ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆ ====

++++

Y

X0 (e53R →→→→

Control Regimen Permanente

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