CS sistemas control regimen permanente - Bienvenida · Si el sistema se deja en x(0) = xe, entonces...

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Eléctrica

S I S T E M A S D E

C O N T R O L E N

R É G I M E N P E R M A N E N T E

P r o f e s o r

Oscar Páez Rivera

S I S T E M A S D E C O N T R O L E N R É G I M E N P E R M A N E N T E

Propósitos :

Sistemas de control en régimen permanente

Oscar Páez Rivera Profesor Asociado del Departamento de Ingeniería Eléctrica pagina 2

El interés de este texto es el comportamiento en régimen permanente de los sistemas

bajo control, lo que en primer lugar depende de la estabilidad del conjunto que forma la

planta y el sistema de control y luego de la configuración que se tenga.

Es necesario revisar la estabilidad para lograr definir el régimen permanente, a

continuación, se debe precisar como medir la exactitud del conjunto y mas adelante ver

como se comporta el sistema bajo control, frente a cambios de parámetros o efecto de

las perturbaciones.

Finalmente se debe desarrollar el concepto de diseño de un sistema de control en

régimen permanente.

Definiciones de estabilidad:

Existen muchos criterios para estudiar la estabilidad de un sistema, en este caso

se considera a Lyapunov, cuya formulación se basa en la descripción de variable s de

estado.

Sea un sistema descrito por:

x : estado; u : entrada; y : Salida

El sistema tiene una evolución autónoma cuando la entrada es nula (la trayectoria es

originada esencialmente por la condición inicial X0). Sea F(x) = f(x,0), entonces, se dirá

que el sistema tiene un estado de equilibrio xe si se cumple :

F(xe) = 0

Si el sistema se deja en x(0) = xe, entonces el sistema no evoluciona.

La estabilidad en el sentido de Lyapunov se refiere al comportamiento del sistema

autónomo cuando su condición esta en un entorno del estado de equilibrio xe. Para

)u,x(gy

)u,x(fx.

=

=



ilustrar eso considérese un sistema de una sola dimensión en el estado y trácese las

trayectorias posibles a partir de x0 cercano a xe.

En la trayectoria de línea gruesa, el sistema se aleja del punto de equilibrio, tal

comportamiento define un estado de equilibrio inestable en xe

Si la trayectoria que se origina a partir de x0 fuera como la punteada, de modo que se

mantiene cerca de xe, entonces el sistema presenta un punto de equilibrio estable en xe

Finalmente si resultara que la trayectoria que se origina a partir de x0 converge hacia xe,

entonces, el punto de equilibrio resulta ser asintóticamente estable.

La generalización de estos conceptos a sistemas n-dimensionales en su estado,

requiere el concepto de vecindades en el espacio de estado.

Vecindad de origen

Sea Ni (δ) una vecindad de radio δ, centrada en el punto de equilibrio xe, en dicha

vecindad se originarán las trayectorias que se requieren para probar la estabilidad al

rededor

Vecindad final

Sea Nf (ε) una vecindad de radio ε , centrada en el punto de equilibrio xe.

Fig esc.1: Trayectorias a partir de X0

Xe

Inestabilidad

Estabilidad

Estabilidad Asintótica t

X0



Dicha vecindad se define de modo que contenga en su interior las trayectorias que se

originan en Ni(δ).

Punto de equilibrio estable

El punto de equilibrio xe del sistema descrito por x = F(x), se dirá estable, si para

cualquier ε>0 ( no importando cuan pequeño sea), existe un δ>0 tal que todas las

trayectorias que nacen en Ni(δ) no abandonan Nf(ε)

Estabilidad Asintótica

Un punto de equilibrio se dirá asintóticamente estable si además para todas las

trayectorias que nacen Ni(δ) en se cumple:

Punto de equilibrio inestable

El punto de equilibrio xe se dice inestable, si para algún ε0 y para cualquier δ no importa

cuan pequeño sea siempre existe un x0 en Ni(δ) tal que la trayectoria que se origina en x0

abandona Nf(ε).

Comentario a las definiciones de estabilidad:

En el sentido de Lyapunov, la estabilidad es una propiedad del sistema, algo que no

depende de la entrada.

Esta propiedad es la manera de como se comporta el sistema alrededor de los puntos

de equilibrio, es por tanto una propiedad de carácter local validado en las cercanías de

los puntos de equilibrio.

El sentido profundo de la estabilidad, reside en una suerte de docilidad del sistema, es

estable si se logra reducir la amplitud de la evolución con el hecho de reducir el radio de

la vecindad de condiciones iniciales.

.

∞→= txe)t(xlim



Estabilidad y energía

La estabilidad o inestabilidad se manifiesta en “movimiento”, “fluctuaciones” o cambio en

el sistema. Estos cambios no son posibles sin un consumo o liberación de energía. Las

condiciones iniciales definen un cierto nivel de energía, esta energía puede mantenerse,

disminuir hasta un mínimo o incrementar indefinidamente. El siguiente ejemplo ilustra

esta situación

En el circuito serie de la figura, al cerrarse el interruptor en t=0, el condensador se

encuentra con una carga q0 y por la bobina circula una corriente i0.

Las ecuaciones de estado para el sistema son:

La energía del sistema está dada por E:

q R

L t=0

C

i

Fig. esc2: Circuito RLC autónomo

Ridtdi

LCq

idtdq

+=

−=

22

i2L

C2q

E +=

dtdi

Lidtdq

Cq

dtdE

+=



y reemplazando el valor de las derivadas se tiene:

En este sistema mientras existe corriente, la energía está disminuyendo ya que es

disipada en la resistencia R. Sea cual sea el valor del estado inicial (q0,i0), la energía

disminuye hasta el punto de equilibrio (0,0).

En los puntos de equilibrio asintóticamente estables, la energía del sistema disminuye

hasta un mínimo relativo. En los puntos de equilibrio inestables la energía se incrementa

indefinidamente cuando el sistema es sacado de su equilibrio esto a expensas de alguna

fuente de energía.

En los procesos industriales la energía proviene de las redes de alimentación, por ello es

muy importante la capacidad de interrumpir el flujo de energía en el caso de

inestabilidad.

Estabilidad de sistemas lineales

Un sistema lineal puede ser descrito a través de su ecuación diferencial o a través

de su función de transferencia.

Ecuación de Estado

Ecuación Diferencial

Función de transferencia

Las dos primeras expresiones se prestan mas para visualizar la estabilidad (haciendo

u=0).

DuCxyBuAx.x +=+=

dtd

pu)p(My)p(L ==

)s(L)s(M

)s(H)s(U)s(Y

==

2RidtdE

−=



En la ecuación de estado, para el sistema autónomo se tiene que:

En la forma diferencial, la respuesta autónoma queda dada por

son las raíces simples de la ecuación algebraica dada por:

Si x1 tiene multiplicidad l, entonces:

Lo importante resulta ser que, la respuesta autónoma del sistema lineal es una

combinación lineal de funciones exponenciales complejas (ki,exp( λit)), los λ i pueden

ser reales y/o complejos), de donde pueden originarse las siguientes funciones reales.

Las funciones del tipo F1 corresponden a raíces simples de la ecuación característica y

la exponencial será decreciente si λ<0 o creciente si λ>0. El caso λ=0 genera una

función del tipo constante de tiempo.

{ }nn

At

At

xc...xcxc)t(y

)AsI(L)t(e

)(xe)t(x

+++=−==

=−−

2211

11

0

φ

ntn

tt ek...ekek)t(y λλλ +++= 22

11

n,...,λλ1

ntn

tll

tl

tltl ek...ekek...etketk)t(y λλλλλ ++++++= ++

−− 11

1122

111

0=)(L λ

)wtcos(eKtF

)wtcos(KeF

)wtcos(KtF

)wtcos(KFeKtF

KeF

tn

t

n

tn

t

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

λ

λ

λ

λ

+=

+=

+=

+==

=

6

5

4

3

2

1

=exponencial =(exponencial)*(potencia) =sinusoide =(sinusoide)*(potencia) =(exponencial)*(sinusoide) =(potencia)*(exponencial)* (sinusoide)



• Las funciones del tipo F2 corresponden a raíces reales de la ecuación característica,

estas funciones se atenúan si λ<0 y son crecientes si λ>0.

• Las funciones del tipo F3 se obtienen a partir de raíces imaginarias puras.

• Las funciones del tipo F4 corresponden a raíces imaginarias puras múltiples, estas

funciones toman valores cada vez mayores (invirtiendo su polaridad) a medida que

transcurre el tiempo.

• Las funciones del tipo F5 se obtienen a partir de raíces complejas conjugadas

simples, y se atenúan solo si λ<0.

• Las funciones del tipo F6 corresponden a raíces complejas conjugadas múltiples, y se

atenúan solo si λ<0.

Un resultado interesante de la teoría de variables de estado es el siguiente.

Si un sistema lineal en su forma diferencial:

Se expresa en variables de estado en la forma:

Entonces, en el caso autónomo el estado de X(t) resulta ser:

La matriz φ(t) llamada matriz de transición de estado contiene funciones que a su vez

pueden expresar como una combinación de las que genera la ecuación característica.

Es decir funciones del tipo F1; F2; F6; así a partir de L(λ) = 0, se genera un conjunto de

funciones que permiten describir el comportamiento autónomo (o propio) del sistema.

dtd

pu)p(My)p(L ==

DuCxyBuAx.x +=+=

)(x)t()t(x 0φ=



Para un mismo sistema lineal, su respuesta autónoma depende de los valores propios o

las raíces de la ecuación característica o los polos de la función de transferencia,

dependiendo si se encuentra expresado en variables de estado, ecuación diferencial o

función de transferencia, así la solución de las siguientes ecuaciones.

Dan los mismos resultados para un mismo sistema. A estos resultados se les llama las

raíces del sistema.

Las condiciones de estabilidad para un sistema lineal puede enunciarse así:

Estabilidad asintótica

Un sistema lineal tiene un comportamiento asintóticamente estable en torno del estado

cero si todas sus raíces se encuentran en el semiplano izquierdo abierto.

Inestabilidad :

Un sistema lineal tiene un comportamiento inestable en torno del estado en torno del

estado cero si se da cualquiera de las siguientes condiciones.

1. Alguna de sus raíces está en el semiplano derecho abierto

2. Alguna de sus raíces está en el eje jw y es múltiple

Estabilidad :

Un sistema lineal tiene un comportamiento estable en torno del estado cero si se

cumplen las dos siguientes condiciones :

No es inestable.

Algunas de sus raíces están en el eje jw y no son múltiples.

[ ]

00

0

==

=−

)s(L)(L

AIdetλ

λ

= valores propios

= ecuación característica.

=polos del sistema.



Estabilidad y el criterio de routh

El criterio de routh permite saber la ubicación en los semiplanos de las raíces de la

ecuación polinomial

Este criterio se aplica al denominador de la función de transferencia en estudio

Las condiciones de estabilidad se establecen según la ecuación ER 1, y el arreglo que

genera el algoritmo de routh ; en especial la primera columna

Para que el sistema sea asintóticamente estable es necesario que:

• Todos los coeficientes p i de (1) sean positivos y no nulos

• Para que el sistema sea asintóticamente estable es necesario y suficiente que todos

los coeficientes de la 1ª columna sean positivos y no nulos

• El nº de polos en el semiplano derecho es igual al nº de cambios de signo de la

primera columna

0012

21

1 =+++++ −− PsPsP...sPsP n

nn

n

ER 1



Algoritmo de Routh

Los coeficientes del polinomio se “reparte” en las dos primeras filas de la tabla

siguiente. Después se obtienen, a partir de éstos los demás coeficientes.

sn a1 a2 a3 a4 a5 a6

sn-1 b1 b2 b3 b4 b5 b6

sn-2 c1 c2 c3 c4 c5 c6

sn-3 d1 d2 d3 d4 d5 d6

sn-4 e1 e2 e3 e4 e5 e6

s j1

1 k1

Teorema: Es posible multiplicar una línea por un coeficiente positivo sin afectar las

conclusiones relativas a la primera columna.

0011

1 =++++ −− PsP...sPsP n

nn

n

...pbpbpb

...papapa

nnn

nnn

533211

43221

−−−

−−

===

===

)bcbc(c

d)abab(b

c

)bcbc(c

d)abab(b

c

)bcbc(c

d)abab(b

c

14411

314411

3

13311

213311

2

12211

112211

1

11

11

11

−=−=

−=−=

−=−=



Algoritmo de Routh: Casos especiales.

1. Valor cero en la primera columna

• Se interrumpe el algoritmo

• Multiplíquese P(s) por (s+a) con a>0

• Aplicar de nuevo el algoritmo

2. Toda la fila toma el valor cero. Significa que existen:

• Raíces reales de signo opuesto

• Raíces imaginarias puras conjugadas

• Juego de raíces complejas conjugadas y de signos opuestos (formando un cuadrado)

Para resolver esta situación, formular la ecuación auxiliar considerando los

coeficientes de la fila inmediatamente superior a la fila nula. Después, reemplazar

los ceros por los coeficientes correspondientes a la derivada de la ecuación auxiliar.

Ejemplo:

01

00

022

011

231

023

2

3

4

234

s

s

s

s

ssss

−

−

−

=+−−+

Ecuación auxiliar: 4

222

−=

=+−

ds)s(dEC

)s(ECs

21

04

022

011

231

023

2

3

4

234

−

−

−

−

=+−−+

s

s

s

s

ssss

Dos cambios de signo ⇒ 2 raíces en el S.P.D.

( de la ecuación auxiliar s=±1)



Estabilidad y Realimentación

La estabilidad del sistema bajo realiimentación está dada por la ubicación de los polos

definidos por :

Aplicando routh es posible determinar los rangos de estabilidad asintótica en los que

puede operar el sistema bajo control.

Ejemplos :

1)

Resolviendo para determinar polinomio de los polos de realimentación:

Condiciones

)s(NK)s(D)s(NK

)s(r)s(c

c

c

+= c

)s(D)s(N

Kr c →→→

+

-

0 1 0 1 0= + + + + + +a s a s a K b s b s bnn

c mm... ( . .. )

)s)(s()s(

K)s(D)s(N

K cc 531++

+=

01582 =++++= cc Ks)K(s)s(P

01508>+

>+

c

c

KK

El sistema es asintóticamente estable para todo kc>0



2)

Condiciones

El sistema es asintóticamente estable si

Ejemplos

1)

2)

2401

008322102405870

08862

240721

152101

02401527210

2

3

4

5

2345

.s.s

s

s

s

sssss

−−

=+++++

Inestable : dos raíces en el semiplano derecho

)ss)(s(s)s(

Kc 5252

2 ++++

0225157 234 =+++++= cc Ks)K(sss)s(P

014

080

982580080

>

>−

−−−>−

c

c

ccc

c

K

KK)K)(K(

K

1280 .KC <<

1010436

0107

051

1032

010532

2

3

4

234

.ss

s

s

ssss

−

=++++

Inestable : dos raíces en el semiplano derecho



3)

Régimen Permanente y Transitorio

Considerese un sistema lineal asintóticamente estable definido por su función de

transferencia :

A este sistema se le aplica una entrada regular y determinista, es decir una señal tal que

se pueda predecir su valor en un tiempo futuro.

Tal entrada tendrá una transformada de Laplace del tipo

Este tipo de funciones incluye las señales estándar de prueba (escalón, rampa,

sinusoide) y otras formas posibles tales como parábolas exponenciales decrecientes,

etc.

La respuesta del sistema ante condiciones iniciales nulas queda dada por:

00061

000

004

0064

0000

0431

0431

4721

044732

350

232

3

3

4

5

6

23456

−

−

−−

−

−−

−−

−−−

=−−−−−+

s

s

s

s

s

s

s

ssssss

ss

)s(Qss

64

0433

24

−

==−−

Un cambio de signo ∴ una raíz en s.p.d. ∴ inestable

jss ±=±= 2

Satisfacen P(s) y Q(s)

)s(U)s(Y

)s(D)s(N

)s(H ==

)s(Q)s(P

)s(U =



Por simplicidad, supóngase que los polinomios D(s), Q(s) se factorizan de la siguiente

manera:

Separando las fracciones parciales y reordenando los términos, las salida puede

escribirse como :

En la primera sumatoria están contenidas las funciones bases del sistema, y como este

es asintóticamente estable, al invertir en el sentido de Laplace las funciones resultantes

se atenúan con el tiempo.

En la segunda sumatoria están presentes “modos” generados por la entrada, al ser

invertidos en el sentido de Laplace pueden dar origen a respuestas sostenidas en el

tiempo ( esto ocurre cuando la entrada se mantiene en el tiempo sin anularse).

En resumen, en un sistema asintóticamente estable solo persiste la respuesta generada

por la entrada ya que la respuesta autónoma del sistema se torna despreciable después

de cierto tiempo tr (que se llamara tiempo de respuesta).

Se llamará régimen transitorio al intervalo de tiempo (0, tr), en este lapso es significativa

la contribución de la respuesta propia del sistema a la respuesta total.

Llamaremos régimen permanente al intervalo de tiempo que parte en tr el valor de la

salida en este intervalo genera la respuesta sostenida del sistema ante la entrada cuya

función de transferencia es la citada anteriormente.

)s(Q)s(P

)s(D)s(N

)s(Y =

∏

∏

=

=

+=

+=

m

i

i

n

i

i

)bs()s(Q

)as()s(D

1

1

∑∑== +

++

=m

i i

in

i i

i

bsB

asA

)s(y11



Tiempo de respuesta

Como se definió anteriormente, el tiempo de respuesta define hasta donde es

significativa la respuesta propia del sistema cuando se le somete una entrada regular y

determinista. Para la determinación considérese el siguiente procedimiento.

El sistema se somete a señales estándar de prueba (escalón, rampa o sinusoide).

Se determina la respuesta sostenida del sistema ante la entrada en cuestión.

Se construye un tubo alrededor de esta función, si yp(t) representa la respuesta

sostenida, entonces el tubo en el conjunto siguiente de puntos en el plano (t,y).

Se determina el tiempo en que la respuesta total entra a ese tub o y no vuelve a salir, ese

instante es el tiempo de respuesta

Algunas respuestas sostenidas de sistemas asintóticamente estables

Sea H(s) la función de transferencia de un sistema asintóticamente estable, interesa ver

que respuesta presenta ante las señales estándar escalón y rampa.

Considérese una entrada en escalón cuya expresión en Laplace es:

La salida resulta ser:

{ })t(y)()t(y~)t(y)()y~,t(F pp εε +≤≤−= 11

)s(D)s(N

sa...sasaasb...sbsbb)s(H

nn

mm =

++++++++=

2210

2210

sM

)s(U0

=



)s(D)s(N

sA

)s(Y

)s(Hs

M)s(Y

'

+=

=0

N’(s) es un nuevo polinomio que se genera al separar en fracciones parciales. El

coeficiente A resulta ser:

La cantidad b0/a0 se acostumbra a llamar ganancia estática de posición, y se designa por

el símbolo Kp

Puesto que se trata de un sistema asintóticamente estable, el polinomio D(s) genera

funciones que se atenúan en el tiempo, de modo que:

“La respuesta sostenida de un sistema asintóticamente estable ante un escalón de

entrada de monto M0, es otro escalón de monto M0, siendo Kp la ganancia estática de

posición del sistema”.

Considérese ahora la entrada en rampa con pendiente P0

La salida queda dada por :

2

0

sP

)s(U =

==

→ 0

00

0 ab

M)s(sYlimAs

))s(Ys(dsd

limB

)s(YslimA

)s(D)s('N

sB

sA

)s(Y

)s(D)s(N

sP

)s(Y

s

s

2

0

2

0

2

2

0

→

→

=

=

++=

=



Donde resulta que:

El término genera funciones que se atenúan con

el tiempo debido a la estabilidad asintótica del sistema, por lo tanto, debido a la acción

de la entrada se produce como respuesta permanente una rampa superpuesta a un

escalón de altura B.

Indices de error

Lo que se espera de los sistemas de control es obediencia, se desea que la salida siga

a la entrada; la clase de sistemas que se presta para esto es la de los sistemas

asintóticamente estables, así la ley de diseño es:

“Un buen sistema de control es asintóticamente estable”

Aparte de estabilidad asintótica (AE) los sistemas de control cumplen con presentar una

salida de la misma naturaleza de la entrada y de la misma escala.

En los sistemas industriales el controlador trabaja en base a las señales de referencia y

variable controlada, ambas señales están realizadas físicamente en corriente

(controladores electrónicos) en el rango de 4 a 20 mA, o bien en presión (

instrumentación neumática) en el rango de 3 a 15 psi.

Pero en realidad lo que interesa controlar es una variable física dentro de un rango

definido, por tanto hay un problema de diseño previo en el que es necesario hacer

corresponder el rango de salida del sensor con el rango de la variable a ser controlada.

20

0110

0

ababa

B

MKA p

−=

=

)s(D)s('N



En lo que sigue del curso se supone que este problema está resuelto, así se trabaja con

las variables r como entrada y c como salida del sistema de control.

Se ha visto que la respuesta sostenida ante un escalón r0 en la entrada es otro escalón

de monto c0 en la salida, se define el índice epp error permanente de posición como la

diferencia sostenida en tanto por uno que presenta el sistema en régimen permanente.

Este índice puede ser positivo o negativo, salvo otra indicación específica se acepta que

epp asuma el valor de ± 0.05 (5% de error sostenido).

Por otra parte, la respuesta es un sistema AE ante una rampa en la entrada resulta ser

otra rampa superpuesta a un escalón, en tal caso tiene sentido comparar las pendientes.

Se define epv error permanente de velocidad como el error en tanto por uno de las

pendientes de entrada y salida (Pe, Ps)

En el caso muy particular en que la salida presenta la misma pendiente que en la

entrada, entonces tiene sentido definir un error en paralaje ep*, dado simplemente por la

diferencia entre las dos señales en régimen permanente.

Una clasificación de los sistemas para el análisis de exactitud.

Lo que se pretende es desarrollar es una clasificación de los subsistemas que

intervienen en los sistemas de control, basada en la forma de la función de transferencia.

0

00

rcr

epp−

=

e

sepv

PPP

e−

=

)t(c)t(re *p −=



Uno de los subsistemas más importante en las exactitud es el integrador cuya función de

transferencia es :

La respuesta al escalón de entrada es una rampa; en otras palabras, si la entrada pasa

de ser nula a una posición constante M0, entonces, la salida cambia con la velocidad

constante dada por KvM0. Por tal razón la constante Kv se llama ganancia estática de

velocidad.

También son importantes los sistemas AE dados por:

Tal como se vio anteriormente, la respuesta en régimen permanente a un escalón

de monto Mo en la entrada es otro escalón de monto

La posición de entrada es transformada en otra posición con una ganancia igual a la

anterior pero dividida por la constante M0, por tal razón, en el régimen permanente, lo

único interesante de un sistema AE es lo que se llama su ganancia estática de posición

Kp.

Se define como sistema tipo cero a uno que sea AE y se representa por

Se esta ahora en condiciones de definir una clase de sistemas dados por la

interconexión en cascada de un sistema tipo cero y n integradores ; a tales sistemas se

les llamara sistemas tipo n y se representan por :

Tratamiento en régimen permanente de sistemas oscilatorios o inestables.

0

00

ab

M

1)0(H;)s(HK)s(H p0 ==

1)0(H;)s(Hs

K)s(H 0

n

nn ==

sK

)s(Iv

=

nn

mm

sa...sasaasb...sbsbb)s(H

++++++++= 2

210

2210

0



Un sistema de tipo cero es AE por definición, un sistema de tipo uno es solamente

estable, a partir de n=2 estos

sistemas son inestables, en este párrafo nos interesa considerar que ocurre en régimen

permanente con sis temas de control que incluye subsistemas oscilatorios o claramente

inestables en su estructura como el sistema de la figura

En tal caso H(s) representa un sistema inestable que satisface la siguiente ecuación

diferencial.

¿Como se comporta el sistema total?. Esa es una pregunta interesante ya que al menos

una de las partes es inestable por si sola.

La respuesta viene en el sentido de que ahora se ha estructurado un nuevo sistema

cuya función de transferencia es:

Este nuevo sistema es asintóticamente estable si kc>a, supongase que se cumple esta

condición.

Cuando la referencia toma un valor constante, entonces, en el régimen permanente la

salida también debe ser constante, la señal de error y la salida del amplificador también

lo son, luego se encuentra que en el sistema inestable debe darse que tanto su entrada

como su salida son fijas; ¿que ha ocurrido entonces con la dinámica del sistema

inestable?

+ - Kc

r

c

as −1

x e

H(s)

Fig. esc 3: Sistemas de control con componente inestable

xacdtdc =−

aksk

)s(r)s(c

c

c

−+=



En la ecuación diferencial anterior, se tiene la siguiente respuesta cuando su entrada es

constante y de monto X0.

De modo inestable se anula si es decir si la condición inicial es igual a

la respuesta particular de la DE.

Se establece el siguiente principio que incluye componentes inestables u oscilatorios en

los sistemas de control.

Si todo el conjunto es AE, entonces un subsistema H(S) que no contenga integraciones

se comporta como un amplificador de ganancia H(0) cuando la entrada es un escalón.

Este comportamiento es válido en el régimen permanente ya asegurado por la condición

de estabilidad asintótica del conjunto.

Exactitud de los sistemas de control en lazo abierto.

Sea H(s) la función de transferencia de un sistema de control en lazo abierto. La única

posibilidad aceptable para H(s) es que sea AE; en consecuencia presenta una ganancia

estática de posición kp, luego los índices epp, epv valen

Aparentemente basta hacer kp=1 para tener la mejor exactitud posible, pero esto no es

simple de lograr y mantener;

el valor de kp es en general un producto de las ganancias de todos los componentes del

sistema (programador, actuador, planta, sensor), por una parte hay un problema de

calibración y por otra las múltiples posibilidades de variación de ganancias ( en cada

bloque ) con el funcionamiento del sistema.

ax

eax

)(c)t(c at 000 −

+=

cxa

( )00

= −

ppvpp kee −== 1



El problema de calibración se hace patente cuando es necesario ajustar kp=1 ya sea

moviendo un potenciómetro o una perilla de ajuste, es muy difícil ajustar un valor

determinado.

Exactitud de los sistemas de control realimentados.

Para el análisis considérese el sistema de la figura esc 4

KcH(s) es la función de transferencia del conjunto actuador-planta-sensor y además del

controlador. En el controlador existe una ganancia ajustable que se designa por Kc este

parámetro es suficientemente importante como para declararlo explícitamente.

La función de transferencia del conjunto es:

Como se recordará, la estabilidad del sistema depende de la ubicación de los polos, en

este caso la estabilidad depende de las soluciones de la ecuación algebraica.

De modo que kc juega un papel muy importante en la estabilidad del sistema.

Cuando el sistema ha sido bien diseñado existe por lo menos un rango de valores para

kc que asegura la estabilidad asintótica del conjunto, por esto se efectúa la siguiente

suposición para todos los desarrollos que siguen.

)s(Hk)s(Hk

)s(r)s(c

c

c

+=

1

01 =+ )s(Hkc

- KcH(s) r

c

Fig esc 4 Sistema de control realimentado



Suposición : Kc es tal que el sistema realimentado es AE

La exactitud del sistema depende también de la naturaleza de H(s), por ello considera

los casos cuando H(s) es de tipo cero, tipo uno y de mejor orden.

H(s) tipo cero

En tal caso función de transferencia puede escribirse:

Como kc esta dentro del rango que asegura la estabilidad asintótica entonces es

también de tipo cero.

Al aplicar un escalón r0 en la referencia, en el régimen permanente la salida se estabiliza

también en un valor constante c0. El error e0 resultante de la comparación es

amplificado kckp veces para dar la salida c0, luego es inmediato que:

Por otra parte, cuando a este tipo de sistemas se aplica una rampa de pendiente Pe en

la entrada, por la estabilidad asintótica del conjunto, en régimen permanente también

aparece una rampa de pendiente Ps. La señal de error es otra rampa ; como H(s) es de

tipo cero, la pendiente de la rampa en el error es amplificada KpKc veces luego es

inmediato que:

Como un comentario general podemos decir que estos sistemas trabajen con un error

sostenido en régimen permanente, es por su construcción que se tiene este

comportamiento.

10 == )(G;)s(Gk)s(H p

pcpp

kke

+=

11

pcpv

kke

+=

11



H(s) de tipo uno

Esto supone la presencia de un integrador en el lazo directo, la función de transferencia

H(s) puede escribirse

Recordemos que todo el conjunto se comporta como un sistema tipo cero, luego cuando

la referencia es de valor constante ro, en el régimen permanente la salida también es

constante, supongase que es de valor C0. Se tiene por tanto un error constante de valor:

Si el error e0 es distinto de cero, entonces el integrador presente en el lazo genera una

rampa, esto contradice el hecho de que el conjunto se comporta como un sistema tipo

cero, luego se tiene el importante resultado

Siguiendo un razonamiento análogo se puede concluir que:

En este último caso:

Siendo Pe la pendiente de la rampa de entrada

H(s) tipo n, para n ≥ 2

En tal situación el problema mas difícil es lograr la estabilidad asintóticamente ya que los

índices de error epp, epv, ep* son todos nulos.

Sensibilidad en los sistemas de control

10 == )(G;)s(Gsk

)s(Hv

000 cre −=

0≡ppe

0≡pve

vc

*p

kkPe

e =



Entenderemos por parámetro de un sistema a un atributo de él que permanece sin

cambios apreciables en el tiempo. En ingeniería el concepto de parámetro se enriquece

con la noción de condición de diseño, así en los sistemas de control, los parámetros son

magnitudes que están fijas o son seleccionables por el operador pero que una vez se

han definido permanecen constantes durante la operación del sistema.

La invariación en el tiempo es una condición deseada pero que no se puede asegurar en

un cien por cien, todos los equipos son susceptibles de fallas. Estas fallas se traducen

en cambios en los parámetros que se definen.

Un concepto útil para estudiar el efecto de cambios en los parámetros es el de

sensibilidad.

Sea T una variable de un sistema y sean (a1, a2,...,an) el conjunto de parámetros que

tienen incidencia sobre T. Sea el valor T0 el valor de T antes del cambio en el

parámetro a1 y

sea (a10, a20,...,an0) el conjunto de valores que presentan los parámetros antes del

cambio.

Supóngase que el parámetro a se incremente en ∆a, y que como consecuencia de ello la

variable T presenta una variación ∆T; definimos la sensibilidad de T respecto de ai

alrededor del punto de trabajo 0 como el siguiente límite.

En esta definición los cuocientes ;

representan los cambios siginficativos de ai también significan cambios en la estructura

del sistema. Esto puede verse en los casos extremos (ai llevado a cero o ai llevado al

infinito).

0

0

0

0

Ta

aT

limi

iai

T

as i ∆∆

=→∆

0i

i

aa∆

0TT∆



Este análisis de sensibilidad busca inferir el efecto que tendrá en la variable T un

pequeño cambio en el parámetro ai, para ello se usa la siguiente aproximación.

Esta expresión es semejante a la utilizada en la linealización de funciones.

La validez de la aproximación depende naturalmente de la suavidad de la curva, la

sensibilidad al igual que la derivada tiene una validez local.

Si el valor de la sensibilidad resulta próximo a cero, entonces, en ese punto de trabajo, la

variable es “insensible” al parámetro.

Si el valor de la sensibilidad (su magnitud) es del orden de la unidad o superior,

entonces, la variable resulta “sensibles” al parámetro.

El análisis de sensibilidad es importante para la evaluación de diseño y dispositivo de la

ingeniería. En general los diseños consideran condiciones ideales de funcionamiento.

Un estudio de su sensibilidad puede arrojar luz acerca de los componentes que

requieren un mayor control en su calidad.

Por otra parte cuando se requiere influir sobre la variable, se busca una gran

sensibilidad. Tal es la situación en la calibración de equipos.

Aplicaciones al control automático.

Veremos algunos casos y su interpretación desde el punto de vista del control

automático

a) Sea

Entonces

na...aaaT 321=

1==Ta

aT i

i

T

as i ∂∂

( )0

0

0 i

iT

a aa

TT

s i

∆=∆

x)x(dxdf

y ∆=∆ 0



Si se considera un sistema de control en lazo abierto, entonces la salida en régimen

permanente para una entrada fija es.

Así la sensibilidad de la salida respecto a cualquiera de las ganancias toma el valor

unitario. Cualquier variación de una ganancia rebota en el mismo porcentaje de la

salida.

b) Consideremos la salida de un sistema realimentado, sea K1 la ganancia total del

lazo directo y sea K2 la ganancia del sensor en el lazo de realimentación entonces para

un entrada constante ro la expresión de salida es:

Esta expresión valida en el régimen permanente no contiene al tiempo de modo que la

sensibilidad puede calcularse a través de la derivada parcial de C’ respecto de K1 o

Kesc Se pueden encontrar los siguientes resultados.

El primer resultado nos dice que la sensibilidad de la salida respecto de una ganancia

cualquiera del lazo directo es igual al error permanente de posición del sistema. Si el

sistema tiene un buen desempeño entonces epp es pequeño y por lo tanto las pequeñas

variaciones de alguna de las ganancias en lazo directo no rebotan en la salida.

El segundo resultado dice que la sensibilidad de la salida respecto a la ganancia es igual

a -(c/r). Si el sistema tiene buen desempeño en su exactitud entonces (c/r) tiende al

valor uno.

Los sistemas de control, explícitamente las salidas de ellos son extraordinariamente

sensibles respecto de la ganancia del sensor. Los controladores creen ciegamente en la

onrk...kkk'c 321=

021

1

1r

kkk

'c+

=

21

21

21 111

21 kkkk

kk SS'c

k

'c

k +−=

+=



salida del sensor, por ello es importante seleccionar cuidadosamente estos dispositivos

en un proyecto de instrumentación.

Regulación de los sistemas de Control

El problema que abordaremos se refiere al efecto que puede tener en una variable Y del

sistema la aparición de otra variable P que se suma a una variable X. Esto se entiende

mas con la figura anterior.

Este análisis se efectúa en régimen permanente (supone la estabilidad asintótica) y

considera una situación de antes y otra de después de la aparición de la perturbación de

un escalón de perturbación P=∆x. Por efecto de ∆x se genera una ∆y en la variable de

interés.

Definimos la regulación de y frente a ∆x de la siguiente manera.

En esta expresión X0 es el valor de la variable x antes de ser perturbada; y0 es el valor

de la variable de nuestro interés antes de la perturbación.

El valor ∆x es el monto de la perturbación. El valor ∆y representa el cambio sostenido

en la variable y..

Claramente, las situaciones de antes y después suponen la existencia de régimen

permanente.

X0

r0 y0

Antes

r0 y0+∆y

Después

P=∆x

+

+

Fig. esc5: Efecto de una perturbación aditiva en un sistema

0

0

0 yx

xy

limR ai

y

ai ∆∆=

→∆



La definición de regulación es muy semejante a la dada para la sensibilidad, también

mide una razón entre cambios. Estos cambios también se expresan en tanto por unidad

referidos a los valores anteriores al efecto de la perturbación. Hay una diferencia

notable en ambos casos: los incrementos ∆x no requieren ser diferenciales y no es

necesario llevar a un límite la relación de cambios. La causa de estos reside en que una

perturbación aditiva no cambia la estructura del sistema en si misma.

Una situación que es conveniente de considerar es la de la existencia de saturaciones

en las variables del sistema; en tal caso, es posible perder la condición de linealidad y

los cálculos deben realizarse en base a los valores de saturación que se hayan

alcanzado.

Vemos la aplicación de este concepto a un sistema de control en lazo abierto y luego a

uno en lazo cerrado.

La situación antes de la perturbación se caracteriza por

Después que ocurre el cambios se tiene que

Efectuando el cuociente entre ambas igualdades se concluye que

r0 k2 k1

C’0

X0

Antes

r0 k2 k1 C’0

∆X

Después

+ +

Fig esc6: Lazo Abierto

020 kk'c =

xk'c ∆=∆ 2

1=∆R

'c

x



En este resultado puede ser considerado como malo, en efecto, si se calcula el

porcentaje de cambio en la salida debido a la perturbación según la expresión

Se concluye que la salida sigue a la perturbación en el mismo porcentaje.

Considérese ahora el caso de un sistema realimentado

En este caso, la situación de antes se caracteriza por

La situación de después se caracteriza por

Así :

El término entre paréntesis es por una parte la regulación de c’ respeto a ∆x, pero

también es el error permanente de posición del sistema. Podemos concluir que el

sistema realimentado presenta una buena regulación ( ) de la salida frente a

las perturbaciones en el lazo directo.

( )00 xx

'c'c

R'c

x

∆=

∆∆

020 kk'c =

xkkk1

k'c

321

2∆

+=∆

Fig esc7: Lazo Cerrado

r0 k2 k1 C’0

X0

Antes

-

+

k3

r0 k2

k1

C’0

∆x

Después

+ +

k3

-

+

0321

2

0 xx

kkk1k

'c'c ∆

+

=∆

0R'c

x→

∆



Diseño estático de controladores

Este párrafo se dedica al diseño en régimen permanente de un lazo de control

realimentado. Se supone que el sistema se mantiene en una condición de equilibrio

asintóticamente estable, aunque esto debe comprobarse con las ecuaciones del

sistema.

El procedimiento seguido es uno de los posibles métodos válidos para cumplir con las

especificaciones de régimen permanente.

Revisaremos algunos de estos conceptos necesarios para establecer el método.

• Rango de la referencia (r): en cualquier realización física existe un mínimo y un

máximo para la referencia, esto define su rango constituyendo un dato de entrada

para el diseño.

• Rango de la variable controlada (c): Se refiere al intervalo de la salida del sensor,

debe coincidir con el rango de la referencia.

• Rango de control (c’): Se refiere al rango deseado para la salida de la planta;

constituye un dato de entrada al proceso de diseño.

• Rango de la planta (z): Está definido por los valores que permiten alcanzar el rango

de control. Este rango se calcula.

• Rango de la perturbación o carga (L): Es un rango definido por los valores más

probables de la perturbación o bien por los valores extremos que asume la carga.

También puede entenderse como el intervalo para la perturbación o carga tal que

puede asegurarse un comportamiento razonable del sistema de control. Es un dato

de entrada.

• Rango de salida del actuador (x): El valor superior de este rango determina en

algún sentido la cap acidad o potencia instalada para manejar la planta. Es usual que

en el cálculo del rango del actuador se considere lo necesario para llevar la planta

desde su salida mínima hasta su salida máxima aun en presencia de los valores

extremos de perturbación. Este rango se calcula.

• Rango de la variable manipulada (m): La salida del controlador usualmente se

satura por arriba y por debajo. Es una dato de entrada al diseño.

• Bias: Con esta palabra los ingleses designan una señal constante inyectada en

algún punto del sistema. Se refiere naturalmente a una señal débil que podemos

manejar totalmente. Para efectos de este diseño pueden ser consideradas como una



señal base que se suma a la referencia, a la variable controlada o a la variable

manipulada.

Confieren grados de libertad al diseño y se requieren para alcanzar puntos de trabajo o

para compatibilizar rangos.

Sistema Típico

En la figura esc8 aparece un sistema típico con la perturbación aditiva a la salida de la

planta (por ejemplo el efecto de la temperatura exterior en un sistema de calefacción).

Sin embargo, la perturbación podría sumarse o bien afectar internamente la planta; en

tal caso, esta no podría representarse simplemente por una ganancia kp, si no, debería

explictarse la estructura.

En este sistema podrían ser necesarios “bias” en c, r, m. No siempre son posibles de

agregar, depende mucho del Hardware del sistema de control.

Aquí se ha explicitado la saturación del actuador, pero podrían existir mas saturaciones

afectando a la salida de la planta o al error. Los rangos definidos antes podría llevar en

si mismo la inclusión de una saturación.

Fig esc 8 Diseño de un Sistema de Control en régimen permanente

+ -

kc kp r

c

B

0

α

+ +

Z

L C’

m X Controlador Actuador Planta

Sensor

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