Control Predictivo basado en Modelos (MPC)

Prof. Cesar de Prada Dpto. Ingenieria de Sistemas y Automática

Universidad de Valladolid, España

e-mail: prada@autom.uva.esweb:http//www.isa.cie.uva.es

Tendencias en la industria Exigencias crecientes de optimización de costos, mejor

calidad, productividad, seguridad, respeto al medio ambiente,funcionamiento de las plantas en un amplio rango decondiciones de operación,..

Requiere una mejora de los sistemas de control para cumplirespecificaciones.

Necesidad de racionalizar las decisiones de nivel superior consignificado económico y de integrar todas las decisiones adiversos niveles.

El lazo de control

ProcesoControladoruw y

SP CV

v

MV

DV

El regulador PID

regulador basado en señal, no incorporaconocimiento explícito del proceso

3 parámetros de sintonia Kp, Ti, Td diversas modificaciones

e t w t y t

u t K e tT

e d T dedtp

id

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= −

= + +

∫

1τ τ

Regulación automática convencional

Reactor

FT

FC

TT

TempConcentración.

Refrigerante

Producto

TC

FT

FC

AT

AC

Materia prima

Problemas de control

En la industria de procesos, los reguladores PID solucionanbien la mayoría de los problemas de control monovariable(caudal, presión,...)

Sin embargo pueden no tener un buen comportamiento enlazos de dinámica difícil (retardos, fase no mínima, etc.)

La calidad del control influye en el rendimiento económico En sistemas más complejos con interacción entre variables,

(control de una unidad de proceso,...) la interacción entrelazos puede empeorar seriamente el control.

Control y optimización

•La reducción de varianza permite mover la referenciay respetar los límites de la variable.

•La mejora del control permite la optimización.

ConsignaSP

Consigna SP

Límite superior

HogarSecadero

aire

Gas

pulpa

Pulpa seca

gases

MC MT

w

Un mejor control permite la optimización del punto de trabajo

límite

W1 W2

Humedad de pulpa seca

SP

Control y Optimizacion

minimizar varianza permite mover la consigna mas cerca de los límites de operación óptimos– necesidad de un mejor control– operar cerca de las restricciones

limite

W1 W2

Reactor: Interacción

Refrigerante

Productos

u1u2

Materia prima

wTwc

La interacción entre los lazos puedeimpedir un funcionamientoadecuado

Reactor

FT

FC

TT

TC

FT

FC

AT

AC

Interacción

MPC

El control multivariable tiene en cuenta la interacción entre lasvariables y trata de controlar la unidad de proceso como un todo

Refrigerante

Productos

u1u2

Materia prima

wT wc

Reactor

FT

FC

TT

FT

FC

AT

Procesos multivariables (MIMO)

En procesos multivariablesla interacción crea problemas de control. Además cuando hay restricciones en las variables, perturbaciones, etc. las llamadas estructuras decontrol no siempre dan buenos resultados y son difíciles de mantener.En consecuencia, a menudo launidad se regula manualmentepor un operario.

Control Multivariable

El control multivariable, y en particular el MPC, tiene encuenta la interacción entre lasvariables, sus restricciones,las perturbaciones, etc. ypermite realizar un controleficiente de forma automática,abriendo las puertas a la optimización de su punto de operación.

LC

LT

FT FC

Vapor

PT PC

LT LC

DFC FT

Alimentación F

V

B

R

TT

TT

Refrigerante

FT

MPC

wTC wTF

Puede coexistir con lazos de control convencional. Sueleactuar en cascada. Se suele formular a nivelde unidad de proceso

Pirámide de control

Instrumentación

Regulación convencional

MPC

Optimización local

PID, DCS,..

Válvulas, Transmisores

Control Predictivo

El control avanzado opera sobre el control convencional, aplicado al funcionamiento de una unidad de proceso y añadenuevas fucionalidades teniendoen cuenta la interacción entre las variables, las restricciones y la optimización continua de suoperación.

JERARQUIA DE CONTROL

Para poder abordar problemasde un nivel, los niveles inferioreshan de funcionar correctamente

En particular, la optimización económica exige que el nivelde control funcione adecuadamente

nivel 0Instrumentación

de Campo

Nivel 1Control Convencional

PID, DCS

Nivel 2Control Avanzado

Nivel 3Optimización

Interes económico

estrategia de control basada en el uso explícito de un modelo del proceso para predecir el comportamiento futuro de la variable controlada sobre un horizonte temporal

es factible por los cambios tecnológicos en computadores, técnicas de modelado, métodos numéricos,...

Diversos algoritmos: DMC, GPC, …..

ProcesoOptimizador uw yv

Predictory(t+j)

Control Predictivo MPC

u(t)u(t+k|t)

y(t+k|t)^

t t+1 t+2 ...

tiempo

pasado futuro

tiempo

Señal de referencia

Predicción de la salida:CV

MV

SP

Control Predictivo

Modelou y

MPC, Optimización

ProcesoOptimizador uw yv

Predictory(t+j)

[ ] [ ]∑ ∑=

−

=++∆β++−+=

2N

1Nj

1Nu

0j

22

),..1t(u),t(u)jt(u)jt(w)jt(yJmin

y(t+j) están relacionados con u(t), u(t+1)… a través de las ecuaciones de predicción calculadas con el modelo del proceso

Control predictivo

MPCPID

Características del MPC

Maneja problemas de control multivariable con distinto numero de CV y MV

Compensa perturbaciones medibles

Permite trabajar con procesos de dinámica compleja: retardos, respuesta inversa, ....

Permite trabajar con restricciones en las variables manipuladas o controladas

Fácil de entender

Abre las puertas a la optimización económica del proceso

Diseño de controladores

Sin Modelo

Sintoníadel

controlador

Con Modelo Especificarcontrol

Modelado

Identificación

Análisisdel proceso

...pero necesita un modelo dinámico

Principales elementos

Modelo interno usado para efectuarpredicciones del comportamiento futuro

Señal de Referencia Estructuración de la ley de control Cálculo de las señales de control que

proporcionan un mejor escenario futuro Estrategia de horizonte movil

Implementación: Horizonte movil

u(t)u(t+j)

y(t+j|t)^

t t+1 t+2 ...

tiempo

pasado futuro

time

Set point

Predicción de la salidaCV

MV

SP

En el instante t, u(t) se aplica al proceso, pero….

…en el siguiente period de muestreo en t +1, todo el proceso se repiteincorporando la nueva información disponible

Política de horizontemovilRolling horizon

Modelos discretos

ProcesoOrdenador A/D

D/Ay(kT)

u(kT)

modelos discretos la salida en t = kT depende de las entradas y salidas

en instantes de tiempo (k-j)T anteriores

Modelos Lineales

la salida actual depende linealmente de las entradas ysalidas en instantes de tiempo anteriores

las variables u e y son perturbaciones sobreun punto de operación en que se ha obtenido el modelo

y t Y Yu t U U

( )( )

= −= −

0

0

y(t) = -a1 y(t-1) - … - an y(t-n) + b1 u(t-1) +…..+bm u(t-m)

t = kT tiempo discretoT periodo de muestreo

Modelo respuesta salto

y t g u t jj

j

( ) ( )= −=

∞

∑1

∆

•No requiere conocer la estructura del modelo•Puede describir dinámicas no usuales•Predicción simple y poco sensible a errores

•Limitado a sistemas estables•Contiene muchos parámetros

Matriz Dinámica

t

y yy t

t

t

y

t

y

t

y

u1

u2

y1 y2 y3

respuesta salto entre cada par entrada/salida

DMC Dynamic Matrix Control

Modelo: respuesta salto + perturbación

)t(n)it(ug)t(y1i

i +−∆= ∑∞

=

Predicciones: )jt(n)ijt(ug)ijt(ug)jt(y1ji

i

j

1ii ++−+∆+−+∆=+ ∑∑

∞

+==

n t j n t y t g u t ip ii

( ) ( ) ( ) ( )+ = = − −=

∞

∑ ∆1

Modelo de perturbación:

∑

∑∑∞

=

∞

+==

−∆−+

+−+∆+−+∆=+

1iip

1jii

j

1ii

)it(ug)t(y

)ijt(ug)ijt(ug)jt(yPredicciones:

gi

)1t(z)t(z)t(z −−=∆

DMC, Dynamic Matrix Control

∑∑∑∞

=

∞

+==

−∆−+−+∆+−+∆=+1i

ip1ji

i

j

1ii )it(ug)t(y)ijt(ug)ijt(ug)jt(y

∑

∑∑

∞

=+

++

∞

=

∞

+=

−∆−+=

−−∆−−∆−+−∆+−∆+=

=−∆−−+∆+=

1iiijpj

212j1jp

1ii

1jiipj

)it(u)gg()t(yp

....)2t(ug)1t(ug...)2t(ug)1t(ug)t(y

)it(ug)ijt(ug)t(yp

In asymptotically stable systems:

∑=

+ −∆−+=N

1iiijpj )it(u)gg()t(yp Free response of the system

at time t

gi

gj+i – gi ≅ 0 , i > N, j = N1,… N2

DMC, Dynamic Matrix Control

( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆

G q g q g qj jj( ) ......− − −= + +1

11

p respuesta libre

∑=

+ −∆−+=N

1iiijpj )it(u)gg()t(yp

p

u(t-1)

j

j

1ii p)ijt(ug)jt(y +−+∆=+ ∑

=

Predicciones: Respuesta forzada + libre

DMC, elección óptima de u

w

y(t+j)

N2

Horizonte de Predicción

ttime

u(t-1) u(t)

NuHorizonte de Control

ttime

N1

∆u(t+j) = 0 j ≥ NuNu control horizon

Min : [ ] [ ]J ( ) ( ) ( )= + − + + +∑∑=

−

=y t j w t j u t j

j

Nu

j N

N 2 2

0

1

1

2β∆

Estructura del control:

( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆

DMC

G =

+

− +

g gg g g

g g

N

N

N N Nu

1 1

1 1 2 1

2 2 1

0 00 0

0

... ...

... ...... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

Puede formularse en forma matricial:

[ ]∆ ∆ ∆ ∆u( )' ( ), ( ),..., ( )t u t u t u t Nu= + + −1 1

min∆u(t), ∆u(t+1),..

[ ]2N11N1N0 p)2Nt(w,...,p)11Nt(w,p)1Nt(w' −+−++−+= +e

[ ] [ ]J ( ) ( ) ( )= + − + + +∑∑=

−

=y t j w t j u t j

j

Nu

j N

N 2 2

0

1

1

2β∆

( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆

[ ] 000 ')t('2)t(')t('J eeuGeuIGGu +∆−∆β+∆=

DMC

[ ] 000 ')t('2)t(')t('J eeuGeuIGGu +∆−∆β+∆=

[ ] 0eGuGG

0u

0 =′−∆β+′

=∆∂∂

2I2

J

[ ] 01 '')t( eGIGGu −β+=∆

Si no hay restricciones:

[ ] )('')t( j1 pwGIGGu −β+=∆ −

Acción Integral

Compensación de retardos

Sintonía: Horizontes, β

Sistemas estables en lazo abierto

DMC offset

( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆

p

pss

N

1iiijpj

yy

yp)it(u)gg()t(yp

=⇒

=⇒−∆−+= ∑=

+

En estado estacionario:

DMC predicciones:

y como

sspy =

Las predicciones del estado estacionario son no sesgadas y, si la optimización lleva las predicciones del modelo a w, entonces la salida del proceso yp será igual a la referencia w, proporcionando error estacionario nulo

wy(t+j)

N1 N2horizonte depredicción

ttiempo

u(t-1)u(t)

Nuhorizontede control

ttiempo

horizonte de coincidencia

[ ] [ ]∑ ∑=

−

=+∆

+∆β++−+=2N

1Nj

1Nu

0j

22

)jt(u)jt(u)jt(w)jt(yJmin

Parámetros DMC

β Factor de peso

Movesupressionfactor

∆u control moves

Mínimo Nu

u

y

y

y

u

u

Nu = 1

Nu = 2

Nu = 3

Nu ≥ númerode integradores

Perturbaciones medibles

y t g u t i d v t i n tii

ii

( ) ( ) ( ) ( )= − + − +=

∞

=

∞

∑ ∑∆ ∆1 1

+u

v

n

variable manipulada

perturbación medible

perturbaciónes no medibles

y

variable controlada

Modelo DMC:

Predicciones (DMC) con perturbaciones conocidas

)jt(n)ijt(vd)ijt(vd

)ijt(ug)ijt(ug)jt(y

1jii

j

1ii

1jii

j

1ii

++−+∆+−+∆+

+−+∆+−+∆=+

∑∑

∑∑∞

+==

∞

+==

∑∑∞

=

∞

=

−∆−−∆−==+1i

i1i

ip )it(vd)it(ug)t(y)t(n)jt(n

∑∑∑∑

∑∑∞

=

∞

=

∞

+==

∞

+==

−∆−−∆−+−+∆+−+∆+

+−+∆+−+∆=+

1ii

1iip

1jii

j

1ii

1jii

j

1ii

)it(vd)it(ug)t(y)ijt(vd)ijt(vd

)ijt(ug)ijt(ug)jt(y

Predicción:

Hipótesis:

Separar términos que dependen del futuro y del pasado

DMC: Respuesta libre

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

=

∞

=+

∞

=+

=

∞

=

∞

+=

∞

=

∞

+=

−+∆+−∆−+−∆−+=

−+∆+−∆−−+∆+

+−∆−−+∆+=

j

1ii

1iiij

1iiijpj

j

1ii

1ii

1jii

1ii

1jiipj

)ijt(vd)it(v)dd()it(u)gg()t(yp

es esto

)ijt(vd)it(vd)ijt(vd

)it(ug)ijt(ug)t(yp

∑∑∑==

+=

+ −+∆++−∆−+−∆−+=j

1ii

N

1iiij

N

1iiijpj )ijt(vd)it(v)dd()it(u)gg()t(yp

2N,....,1Nj ,Ni 0dd 0gg iijiij =>≅−≅− ++En procesos estables:

se necesita una hipótesis sobre la evolución futura de v, usualmente v(t+j) = v(t) + horizonte móvil

Corrección feedforward automatica

( ) ( ) ( )y t j G q u t j pj j+ = + +−1 ∆

y(t+j)

u(t+j)t

)jt(yp fj +=

Respuesta forzada:

Respuesta libre:

)jt(u)q(G 1j +∆−

Formalmente la misma expresión.El efecto de la perturbación esta incluido en la respuesta libre

Restricciones

Las restricciones en los valores que pueden tomar las variables aparecen de forma natural en la formulación de los problemas de control:– Limitaciones físicas de las variables– Límites de seguridad– Requisitos de calidad, etc.

Restricciones

Mm L)jt(yL ≤+≤

Lmax

Lmin

v∆u

Mm D)jt(uD ≤+∆≤

Mm U)jt(uU ≤+≤Rango de las señalesde control

Velocidad de cambiode u:

Rango de lasvariables controladas:

Deben ser añadidas a la formulación del problema de optimización

DMC con restricciones

L y t j g u t k j p t j L

j N

m kk

j

M≤ + = − + + + ≤

==

∑ ( ) ( ) ( )

, . . . . ,

∆1

1 2

D u t j D

U u t u t j U

j Nu

m M

m Mi

j

≤ + ≤

≤ − + + ≤

==∑

∆

∆

( )

( ) ( )

, . . . ,

1

00

[ ] [ ]∑ ∑=

−

=

+∆β++−+=∆

2N

1Nj

1Nu

0j

22 )jt(u)jt(w)jt(yu

Jmin

u

Programación cuadrática QP

QP

∆u(t)

∆u(t+1)0x

bAx

xQ

≥≤

⋅⋅+⋅ '

x 21 min xxc

Software numéricoeficiente

Ha de resolverse un problema QP en línea cadaperiodo de muestreo

Posiblesproblemas de factibilidad

Región factible

Formulación Multivariable

Se necesita un modeloque relacione lasvariables controladascon las manipuladas y perturbaciones medibles

y ty t

y t

M MM M

M M

u tu t

u t

n tn t

n tn

m

m

n n nm m n

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1

2

( )( )

....( )

...

( )( )

...( )

( )( )

...( )

=

+

M ... M ...

M ...

Reactor

FT

FC

FC

TT AT

MPC

Comp.

RefrigeranteProducto

u1u2

Alimentación

Temp TT

SP Temp SP Comp.

FT

DMC Multivariable

y t g u t i g u t i g v t i n t

y t g u t i g u t i g v t i n t

y t g u t i g u t i g v t i n

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

ii

1 11 11

12 21

131

1

2 21 11

22 21

231

2

3 31 11

32 21

331

3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (

= − + − + − +

= − + − + − +

= − + − + − +

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ t)

u1

u2

y1

y2

y3

v

modelo interno

Modelointerno

t

y yy t

t

t

y

t

y

t

y

y1

y2

u1 u2 v

Matriz dinámica

DMC Multivariable

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

y t j g u t i j g u t i j p t j

y t j g u t i j g u t i j p t j

y t j g u t i j g u t i j p t j

ii

j

ii

j

ii

j

ii

j

ii

j

ii

j

1 11 11

12 21

1

2 21 11

22 21

2

3 31 11

32 21

3

+ = − +∑ + − +∑ + +

+ = − +∑ + − +∑ + +

+ = − +∑ + − +∑ + +

= =

= =

= =

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

Predicciones:

Min funcionde costo:

γ Equal concern errors , factores de peso (y normalización)

Con restricciones lineales: problema QP

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]∑∑∑

∑∑−

=

−

==

==

+∆β++∆β++−+γ+

++−+γ++−+γ=∆

1Nu

0j

222

1Nu

0j

211

2N

1Nj

2333

2N

1Nj

2222

2N

1Nj

2111

21

)jt(u)jt(u)jt(w)jt(y

)jt(w)jt(y)jt(w)jt(yu

Jmin

MPC Multivariable

( ) ( )∑ ∑ ∑∑= =

−

==+∆+∆

+∆β++−+γ=N

1k

2N

1Nj

1Nu

0j

2kk

M

1K

2kkk)jt(u)jt(u

k

k

k

kk

)jt(u)jt(w)jt(yminJmin

con:

Dmk< ∆uk(t+j)< DMk

Umk< uk(t+j)< UMk

Lmk< yk(t+j)< LMk

)jt(p)ijt(ug)jt(y k

j

1isiks

n

1sk ++−+∆=+ ∑∑

==

Resuelto como un problema de Programación cuadrática cada periodo de muestreo

Optimización Económica

Reactor

FT

FC

FC

TT AT

MPC

Comp.

RefrigeranteProducto

u1u2

Alimentación

Temp TT

w Temp w Comp.¿Cual es el mejor punto de trabajo?

¿Como ajustar las referencias wTemp, wComp a ese punto?

FT

Reactor

FT

FC

FC

TT AT

MPC

Comp.

RefrigeranteProducto

u1u2

Alimentación

Temp TT

w Temp w Comp.

FT

Optimización Económica

Función de costo economica:

(Producto*concentración*precio-

– materia prima*precio –

-Flujo refrigerante*precio)*

tiempo

Max Beneficio

Con las restricciones y el mismomodelo que el MPC

Optimizador Económico (RTO)

Optimización de consignas

MBPC

w

y

SP

DCS Proceso

Optimizacióneconómica

LP La mayor parte de los sistemas incorporan una capa deOptimización en linea del punto de trabajo con criterios económicos

Tendencia: Combinar las dos capas en un solo MPC donde el criterio es directamente económico

OptimoEconómico

Optimización con restricciones

Apertura válvula

Temperatura

Velocidad Turbina

∆ P en columnaPresión

Composición

Región deOperación

Preferida porel Operador

Región deOperacióndel Controlador

Reguladores predictivoscomerciales

DMC Plus (Aspec Tech.)Process Perfecter (Pavillion Tech.)3dMPC (ABB)Profit RMPC (Honeywell)Delta V Predict (Emerson)Pavillion8 (Rockwell)SMOC (Yokogawa)…

Aceptación industrial

HITO

HITO módulos funcionales

Gestión de restricciones

ControladorPredictivo

Optimizadoreconómico

Interface conel operador

Interface conel proceso Proceso

Reconfiguraciónde estructura

Configuración

MPC en espacio de estados

[ ] [ ]∑ ∑=

−

=

+∆β++−+=+∆

2N

1Nj

1Nu

0j

22 )jt(u)jt(w)jt(y)jt(u

Jmin

)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)1t(x

=+=+

21Mm N,....,NjL)jt(yL =≤+≤

1N,....,0jD)jt(uD uMm −=≤+∆≤

1N,..,0jU)kt(u)1t(uUU)jt(uU uM

j

0kmMm −=≤+∆+−≤⇒≤+≤ ∑

=

uNj0)jt(u ≥=+∆

Para calcular J es necesario calcular las predicciones de la salida y(t+j)

Process model

Función de coste

Cálculo de las predicciones

)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)1t(x

=+=+

∑

∑

=

−

=

−

−++=+

−++=+

+++++=+++=+

+++=+++=+

+=+

j

1k

kjj

j

1k

kjj

23

2

)1kt(BuCA)t(xCA)jt(y

)1kt(BuA)t(xA)jt(x

....)2t(Bu)1t(ABu)t(BuA)t(xA)2t(Bu)2t(Ax)3t(x

)1t(Bu)t(ABu)t(xA)1t(Bu)1t(Ax)2t(x)t(Bu)t(Ax)1t(x

Pero el estado x(t) puede no ser medible

Estimador (u observador) de estados

)t(Cx)t(y)t(Bu)t(Ax)1t(x

=+=+ Como el estado x(t) puede no ser medible, se

necesita un estimador de estados

)t(xC)t(y))]1t(Bu)1t(xA(C)t(y[L)1t(Bu)1t(xA)t(x p

=

−+−−+−+−=

yp representa la salida medida del proceso

∑=

− −++=+j

1k

kjj )1kt(BuCA)t(xCA)jt(y

Las predicciones de la salida se calculan reemplazando el estado en t por su estimación :

In steady state: Bu)A....AI(CxCABuCAxCA)jt(y 1jjj

1k

kjj −

=

− ++++=+=+ ∑

)(ˆ tx

Diseño del observador de estado (en forma de filtro)

))]1t(Bu)1t(xA(C)t(y[L)1t(Ae)t(e)t(x)t(x)t(e

])1tt(xC)t(y[L)1tt(x)t(x)1t(Bu)1t(xA)1tt(x

−+−−+−=−=

−−+−=

−+−=−

)t(Cx)t(y)1t(Bu)1t(Ax)t(x

=−+−=

Model output is given by: )1t(CBu)1t(CAx)t(Cx)t(y −+−==

)1t(e)LCAA()t(e)1t(LCAe)1t(Ae)]1t(xCA)1t(CAx[L)1t(Ae)t(e

−+=−+−=−−−+−=

L puede escogerse de modo que los autovalores de (A+ LCA) sean estables y proporcione la adecuada velocidad de convergencia a cero del error de estimación

Predictor

Corrector

Estimar los estados x(t) con información hasta (t-1) mas y(t)

Error de estimación

Evolución temporal del error de estimación

Error estacionario del MPC

Esta formulación (MPC + Observador) no garantiza que, en estado estacionario, la salida del proceso yp sea igual a la referencia w (aún con w factible)

)]BuxA(Cy[LBuxAx p +−++=

El motivo es que el observador en estado estacionario verifica:

Pero esto no implica que)BuxA(Cy

BuxAx

p +=+=

p1jj yBu)A....AI(CxCA)jt(y ≠++++=+ −

Por ello, las predicciones de la salida serán en general diferentes del valor real de la salida del proceso.

Y el controlador llevará al proceso a un objetivo erróneo, por lo que aparecerá un error estacionario. Para eliminarlo, se requiere incorporar un término de perturbaciones en el modelo u otras técnicas.

El modelo no es perfecto!