Diseño de un Controlador y Observador Mediante ubicacion de Polos:

Sistema Ball and Beam I,II

Gregory Cardenas Ma,1

aEstudiante Ingenieria Civil Electronica, Universidad de La Frontera, Temuco, Chile .

Abstract

Este artículo corresponde al segundo presentado para la asignatura de Control Avanzado, en dondese pretende diseñar un controlador y un observador de orden completo por el método de asignaciónde polos, para el modelo lineal presentado en [4], el cual se pondrá a prueba con el modelo no-lineal,para observar la efeciencia de este en ambos sistemas.

También se discutirán ciertas curiosidades experimentadas durante el proceso de simulación,que no se tenían contempladas antes de comenzar el informe pero que resultan de importancia en eldiseño del controlador y del observador, por último se darán las conjeturas de por qué esto ocurrey se responderán las preguntas de estos problemas.

Keywords: Ball and Beam, Observador de Estados, Asignación de polos, MatLabPACS: MatLab, R2008a For Unix,

1. Introdución .

En la resolución de problemas de control, es importante saber si un sistema cumple con dospropiedades fundamentales, la primera consiste en poder llevar un sistema desde algún estado aotro estado dado. Esto nos lleva al concepto de controlabilidad [5], esta propiedad nos asegura queexiste un controlador capaz de estabilizar el sistema descrito en [4] En este artículo se utilizará elmétodo de asignación de polos para obtener la respuesta deseada del sistemas.

La segunda propiedad consiste en poder determinar el comportamiento de sus estados, desdeel comportamiento de la salida de este. Esto nos lleva al concepto de observabilidad [5], gracias aesta propiedad podremos diseñar un observador de estados para el sistema, el cual nos permitiráestimar los estados de este, para así poder obtener una ley de control, que presentara un error desalida muy reducido.

IFecha de entrega 2 de julio 2010.IIDocumento preparado para la asignatura de Control Avanzado, Departamento de Ingenieria Electrica, Universi-

dad de la Frontera.Email address: crash.root@gruluf.org (Gregory Cardenas M )URL: http://www.gliee.org (Gregory Cardenas M )

Preprint submitted to Example: Nuclear Physics B 2 de julio de 2010

2. Trabajo previo .

2.1. Nuevas consideraciones del modelo .

Como fue visto en la exposición pasada, es necesario agregar una nueva restrición holonómicaal modelos, la cual corresponde al largo de la barra, la que no fue tomada en cuenta en el artículoanterior, es por esto que la barra contará con un largo igual a L = 1 [m] por lo que el punto deequilibrio y donde se sitúa el servo se encontrará a L

2 = 0,5 [m] , esto se toma en cuenta para efectosde simulacion.

2.2. Observabilidad y controlabilidad .

Por lo visto y demostrado en [4], se puede concluir ante cualquier duda, que el sistema escontrolable y obserbable, siendo su matriz de controlabilidad :

M =

0 0 0 −79,830 0 −79,83 00 40,73 0 0

40,73 0 0 0

La cual denotaremos por M y que se comprobó en las demostraciones es de orden completo, y

siendo la matriz de observabilidad del sistema corresponde a:

O =

1 0 0 00 1 0 00 0 −1,96 00 0 0 −1,96

La que denotaremos por O y al igual que la anterior se comprobó ser de orden completo. Una

vez hechos estos alcances, podemos continuar con lo que es diseño del controlador pos asignaciónde polos y del observador de estados correspondiente.

3. Diseño del Controlador .

Para comenzar a diseñar el controlador, necesitamos establecer las condiciones de diseño re-querido por el sistema, que corresponde a lo que se necesita como respuesta del sistema:

3 Tiempo de asentamiento: 2[seg]⇒ $ = 4 [rad/seg] .

3 Coe�ciente de amortiguamiento del sistema:ξ = 0,3

Mediante esto se obtiene el polinomio característico del sistema, considerando los dos primerospolos, como los polos dominantes del sistema y con los cuales podemos establecerlos basados en larespuesta de sistemas de segundo orden y �nalmente los otros dos polos del sistema, los cuales losubicamos en una vecindad cercana al 65 para que no in�uyan de manera signi�cativa en la respuestadel sistema completo:

s2 + 2ξn$ns+$2n (1)

El polinomio característico para, un sistema de cuarto orden seria de la forma:

2

(s2 + 2ξn$ns+$2

n

)(s+ 65) (s+ 66) = 0 (2)

Como se dijo anteriormente, el sistema el cual necesitamos, es necesario que tenga los siguientespolos, para así poder cumplir con lo planteado en el diseño de esto, los polos dominantes sean losdel polinomio, elegido. Por lo que los polos son los siguientes:

P1 = −1,2 + 3,815iP2 = −1,2− 3,815iP3 = −65P4 = −66

Es necesario obtener los polos en lazo abierto de nuestro sistema (sistema inestable), por lo vistoen clase esto corresponde a.

|sI −A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣s

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−

0 1 0 00 0 −1,96 00 0 0 1

−39,47 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

|sI −A| = s4 − 77,361 (3)

Igualando esto a un polinomio de cuarto orden, de la forma:

s4 + φ1s3 + φ2s

2 + φ3s+ φ4 = 0

Se tieneque, los coe�cientes del polinomio corresponden a:

φ1 = 0;φ2 = 0;φ3 = 0;φ4 = −77,361 (4)

Usamos el polinomio deseado encontrado al comienzo, el cual tiene los polos que escogimos parael sistema:

(s+ (1,2 + 3,815i)) (s+ (1,2− 3,815i)) (s+ 65) (s+ 66) = 0 (5)

Desarrollando (5), se llega a:

s4 + 133s3 + 4620s2 + 12392s+ 68640

Al igual que el caso anterior igualamos el polinomio anterior a uno de grado cuatro, tendremosque los coe�cientes de este corresponden a:

ϕ1 = 133;ϕ2 = 4620;ϕ3 = 12312;ϕ4 = 68640

Donde la matriz de ganancias k está de�nida de la siguiente forma:

k =[ϕ4 − φ4 ϕ3 − φ3 ϕ2 − φ2 ϕ1 − φ1

]T 1

Con T una matriz de transformación que está de�nida por:

T =MW

3

Siendo M la matriz de controlabilidad del sistemas y W una matriz de�nida por las raíces delpolinomio deseado, para este caso W corresponde a :

W =

φ3 φ2 φ1 1φ2 φ1 1 0φ1 1 0 01 0 0 0

(6)

Remplazando los valores de (4) en (6), se obtiene la matriz W .

W =

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

Por esto la matriz T está de�nida por las siguientes entradas:

T =

−79,8 0 0 0

0 −79,8 0 00 0 −40,7 00 0 0 −40,7

Siendo su inversa:

T−1 =

−0,0125 0 0 0

0 −0,0125 0 00 0 0,0346 00 0 0 0,0346

El vector de estados realimentado k, para el caso del controlador buscado está dada por:

k =[−858,967 −154,9 114,732 3,2718

]El que corresponde exactamente al vector encontrado mediante el comando place () de MatLab

y que fue elegido con para controlar el sistema.

4. Diseño del Observador de Estados .

Para el diseño del observador de estados, este corresponde a una estimación de los estados delsistema, por lo que al igual que este, es necesario que sea de cuarto orden, por lo que se proponeun polinomio de este tipo, de la siguiente forma:

s4 + ψ4s3 + ψ3s

2 + ϕ2s+ ψ1

En donde los polos se consideraron dos veces más rápido, que el polo más rápidos del sistema acontrolar, esto se contempla de esta forma ya que si los polos del observador tienen una velocidadsimilar a la de los estados del sistema, al comienzo del proceso se generar un error inicial de ajusteentre ambos modelos, por lo que en teoría cuando más rápido son los polos del observador el error

4

disminuye , por lo que estos serán elegidos en una vecindad muy cercana a 130. Con esto, los polosdeseados para el observador corresponden a:

Po1 = −130Po2 = −131Po3 = −132Po4 = −133

El polinomio característico del observador corresponde a:

|sI −A+ koC| =

∣∣∣∣∣∣∣∣s

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

−

0 1 0 00 0 −1,96 00 0 0 1

−39,47 0 0 0

+

ko1ko2ko3ko4

[ 1 0 0 0]∣∣∣∣∣∣∣∣

A partir de esto el polinomio característico del observador de estados, el cual corresponde a:

s4 + ko1s3 + ko2s

2 − 1,96ko3s+ (77,36− 1,96k04)

Regresando al polinomio característico con los polos deseados para el observador:

s4 + 526s3 + 103751s2 + 9× 106s+ 2,9× 108

Igualando ambos polinomios se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones, desde donde se obtieneel vector columna ko:

ko1 = 526ko2 = 103751−1,969ko3 = 9× 106

77,36− 1,96ko4 = 2,9× 108

El vector columna ko esta dado por las siguientes entradas:

ko =

ko1ko2ko3ko4

=

526

103751−4,61× 106

−1,52× 108

Que corresponde exactamente al vector columna calculado por el comando place() de MatLab,

con esto se pueden comprobar ambos resultado .

5. Resultados.

5.1. Seguimiento de estados utilizando el observador de estados .

En primer lugar antes de comenzar a probar el controlador diseñado en las sección anterior,es necesario observar su desempeño siguiendo los estados de los sistemas, tanto el lineal como elno lineal, para esto fue necesario obtener todos los estados, para así ver que tan bien respondía elestado obtenido en relación a la estimación y así poder tener una referencia para poder comparar.

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A continuación se muestran cuatro gra�cas, en donde cada una corresponde a cada estado delsistema, donde la gra�ca de color rojo, corresponde al sistema Lineal, mientras que la gra�ca decolor azul corresponde al observador y la gra�ca de color magenta corresponde al sistema no-lineal.

Figura 1:

Respuesta del sistema frente a una exitación de tipo impulso, correspondiente al estado x1.

En la Figura 1, se muestra la respuesta del sistema correspondiente al estado x1 en lazo abierto,para una exitación de tipo impulso, de amplitud 1 y longitud 0,001 [s].

En la gra�ca se puede apreciar como el observador de estado y el sistema lineal se ajustan a laperfección, mientras que el sistema no-lineal dentro de una vecindad muy pequeña es muy similara los anteriores, pero al alejarse mas se puede apreciar que ambos modelos no tienen relación entresi .

Figura 2:

Respuesta del sistema frente a una exitación de tipo impulso, correspondiente al estado x2.

En la Figura 2, se muestra la respuesta del sistema correspondiente al estado x2 en lazo abierto,

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para una exitación de tipo impulso, de amplitud 1 y longitud 0,001 [s].

Al igual que en la gra�ca anterior se puede apreciar como el observador de estado y el sistemalineal se ajustan a la perfección, mientras que el sistema no-lineal al alejarce del punto de equilibriolos modelos no se relacionan.

Figura 3:

Respuesta del sistema frente a una exitacion de tipo impulso, correspondiente al estado x3.

En la Figura 3, se muestra la respuesta del sistema correspondiente al estado x3 en lazo abierto,para una exitación de tipo impulso, de amplitud 1 y longitud 0,001 [s].

Al igual que en las gra�cas anteriores, se puede apreciar como el observador de estado y elsistema lineal se ajustan a la perfección, mientras que el sistema no-lineal al alejarse del punto deequilibrio los modelos no se relacionan.

Figura 4:

Respuesta del sistema frente a una exitación de tipo impulso, correspondiente al estado x4.

En la Figura 3, se muestra la respuesta del sistema correspondiente al estado x4 en lazo abierto,para una exitación de tipo impulso, de amplitud 1 y longitud 0,001 [s].

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Al igual que en las gra�cas anteriores, se puede apreciar como el observador de estado y elsistema lineal se ajustan a la perfección, mientras que el sistema no-lineal al alejarce del punto deequilibrio los modelos no se relacionan.

Como el observador fue diseñado para el sistema lineal, el observador sigue a la perfección aeste, por este motivo no se pueden distinguir una de otra gra�ca. Es fácil ver como en una vecindadmuy cercana el observador sigue a ambos sistemas, pero al alejarse más, se pude apreciar que elobservador con respecto al sistema no-lineal no tienen relación alguna, no así para el caso del sistemalineal, el cual lo continua siguiendo hasta ∞.

5.2. Regulación del sistema lineal .

Para el caso del funcionamiento del controlador por asignación de polos, es necesario que esteactué como regulador del sistema Lineal, esto quiere decir que si sacamos el sistema del punto deequilibrio, el controlador debería ser capaz de llevarlo de vuelta a este punto mostrado en [4] elcorrespondía a

[0 0 0 0

], con la condición adicional que τ = 0 , por lo que las pruebas que

se realizaron variando los valores del punto de equilibrio a valores cercanos a este.

Figura 5:

Respuesta del sistema lineal utilizando el regulador, con condición inicial[0,001 0 0 0

].

En la Figura 5 se muestra la simulación con el sistema en el punto 0,001 [m] , el cual correspondedesplazar el balón en 0,01 [cm], desde el punto de equilibrio del sistema, hacia la derecha .

Como se puede ver el regulador funciona perfectamente bien, por lo que cumple con las indica-ciones de diseño pedidas, se muestra una de las simulaciones realizadas, mas adelante en la secciónde observaciones se discutirá más acerca de este tema.

5.3. Regulación del sistema no-lineal .

Al igual como se explico en el caso anterior, para este �n el controlador se usa como reguladordel sistema, esta vez con el sistema no-lineal, el cual se espera que funcione tal vez no de maneraoptima vista el sistema lineal pero se espera que al menos controle el sistema y lo pueda regresar asu condición de equilibrio sin mayores problemas.

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Figura 6:

Respuesta del sistema no-lineal, utilizando el regulador, con condición inicial[0,001 0 0 0

].

En la Figura 6 se muestra la simulación del sistema en el punto 0,001 [m] , que al igual que elcaso anterior corresponde a desplazar la bola en 0,1 [cm] , desde el punto de equilibrio del sistema,hacia la derecha .

Como se puede ver el regulador funciona, no tan bien como en el primer caso pero al menospuede mantener el sistema en régimen permanente estable, por lo que cumple las expectativas antesprevista.

6. Observaciones del sistema .

6.1. Sensibilidad estados del sistema .

Al comenzar a correr las simulaciones del sistema con diversas condiciones iníciales se observoque algunos estados son mas sensibles a otros, como el caso del estado correspondiente a la posición,después de realizar un barrido de diversas posiciones siempre disminuyendo en un orden de magni-tud, se encontro que el controlador servía solo para variaciones muy pequeña que de esta variable,del orden de 0,001 hacia abajo si se aumentaba por sobre esto, el sistema se convertía en inestable,ósea el controlador no era capas realizar su tarea .

Pero para el caso del la cuarta variable de estado, que corresponde a la velocidad angular delsistema, se encontró que esta toleraba variaciones del orden de mil veces superior a lo experimentadopor la posición.

Para buscar respuestas hay que recurrir al vector de ganancia, y efectivamente es fácil darsecuenta la ganancia que tiene esa variable del orden de mil veces mayor, por lo que se llego a laconclusión, que la variable que tiene un mayor costo de control es la variable refería a la posicióndel sistema, y la que tiene menos costo para el controlador es la velocidad angular.

6.2. Velocidad polos del observador .

Como se explico más arriba, los polos del observador tienen que ser mas rápidos que los polosmas rápidos del sistema, para así disminuir el error inicial en la estimación de los estados, es por

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esto que una de las ideas que se plantío era que si los polos del observador eran demasiado grandes,el error en el inicio del proceso tendería a cero, por lo que se probo esta teoría, pero se encontróque al hacer los polos tan solo tres veces más rápido, que los polos mas rápidos del sistema, elcontrolador no podía controlar el sistema.

Al igual que en el caso anterior de realizo un barrido con distintas vecindades de valores, muycercanos entre ellos avanzando de diez en diez, se observó que para valores cercanos en la vecindadde 160, el sistema deja de controlar, por lo que se supone este como el límite de la velocidad de lospolos para el observador de estados. Esto se produce por las grandes oscilaciones que el observadorde estados experimenta al comenzar a seguir el sistema, por lo que si la oscilación es demasiadaalta, el sistema se aleja demasiado del punto de equilibrio y el controlador no puede controlar.

Por este motivo se eligió una vecindad dos veces mayor al polo más rápido del sistema, que eneste caso corresponde a 65.

Figura 7:

Osilaciones producida por el observador de estado, al inicio del sistema .

En la Figura 7, se puede apreciar las oscilaciones producida por el observador de estado alintentar seguir al sistema Lineal, si estas oscilaciones son demasiado grande el controlador se alejamucho del punto de equilibrio y el sistema se desestabiliza.

7. Conclusiones.

En el informe a lo largo de la investigación que se realizo para poder llevar a cabo los resultadosesperados se encontraron una serie de observaciones en cuanto a lo que es control y a las propiedadesque tienen cada una de las matrices presentes dentro del sistema, por ejemplo como in�uyen en unsistema las direcciones y las ganancia de cada uno de los eigen-vectores de la matriz A, tambiénlas propiedades de las matrices de controlabilidad y reconstructibilidad que nos proporcionan grancantidad de información acerca del sistema.

Todos estas anotaciones se expresan en la sección 6 que corresponden a algunas observacionesque a juicio del autor son muy interesantes como para dejarlas pasar, y continuación se enumerande una forma un poco mas practica a modo de resumen general .

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3 Antes de comenzar el diseño de un controlador por asignación de polos o un observador deeste tipo, es necesario tener en cuenta las observaciones realizada en la sección numero seis,para no tener mayor inconvenientes en el proceso real.

3 El controlador se comporta bastante bien en el sistema no-lineal, no regula de la misma formaque en el sistema lineal cosa que ya se esperaba, pero cumple su función de volver el sistemaa sus punto de equilibro .

3 Es necesario dejar en claro que no todos los controladores posibles a diseñar con el sistemalineal sirven para el control del sistema no-lineal, en este artículo se realizo una busqueda deestos controladores .

3 Al diseñar un sistema de control es necesario tener en cuenta cuales variables tienen un mayorcosto de control, para así tener una referencia de cuanto se puede variar cada variable, sinque el sistema caiga en inestabilidad .

8. Referencias .

[1] Robert L. Williams,Douglas A. Lawren. �Linear state-space control systems �,pp 20-24 .2007.

[2] Yi Guo,David J. Hill,Zhong-Ping Jiang.�Global Nonlinear Control Of The Ball and Beam System� .The University of Sydney. Australia 2006 .

[3] Shamsher Ali Naz,Reza Katebi and Luisella Balbis. �Implementation of Kalman Filter On BallAnd Beam Experiment Using LabView �.Industrial Control Unit, Department of Electronics andElectrical Engineering University of Strathclyde, Glasgow, U.K.

[4] Gregory Cardenas M .�Modelamiento y Simulacion : Sistema Ball and Beam�. Universidad dela Frontera . Temuco-Chile .pp Anexo 1 y Anexo 2. 2010.

[5] Universidad Tecnica Federico Santa Maria.�Teoria moderna de control Lineal�. Valparaíso-Chile.2004

[6] � MatLab/Simulink 7.7.0 R2008b For Unix �. MathWorks Ins .

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