10Universidad Politcnica Salesiana. Teora de Control II. Espacio de Estados.

(CONTROL PTIMOCarrin Vivar Gabriela Lissette, gcarrionv@est.ups.edu.ecVicua Egues Mara Vernica, mvicuna@est.ups.edu.ecUniversidad Politcnica Salesiana (Cuenca - Ecuador).

ResumenEn el presente documento se presenta la realizacin de un compendio de ejercicios sobre teora de control recopilados de los tres libros que se utilizan a lo largo de la asignatura. Se muestra el procedimiento, clculos, anlisis, scripts y conclusiones sobre cada uno de los ejercicios elegidos por los autores del presente documento.

ndice de Trminosfuncin de transferencia, sistemas en lazo cerrado, control ptimo. I. INTRODUCCINII. Control ptimo

III. Items propuestos para la eleccin y desarrollo de los ejercicios

1. Resolver los siguientes ejercicios:a. Ejercicios planteados de control ptimo: B-10-17

B-10-18

B-10-19

B-10-21b. Ejercicios de refuerzo

Ingeniera de control moderna. Katsuhiko Ogata

B7-1 a B7-1 b

Sistemas de control moderno. Richard C. Dorf y Robert H. Bishop

P8.4 P8.8

Sistemas de control automtico. Benjamn C. Kuo

9.2 d

9.2 f

9.2 g

9.7 9.8

NOTAS:

El desarrollo de los ejercicios deben contener, procedimientos, clculos, anlisis de respuestas, scripts y conclusiones.

La tarea la pueden resolver en grupos de hasta 2 estudiantes.

El trabajo debe ser subido en formato paper en pdf y los modelos-scripts en MATLAB, , hasta el 2 de junio, fecha en la cual se rendir el examen correspondiente al primer interciclo.

IV. Desarrollo de los ejerciciosB-10-17. Sea el sistema definido por:

Donde:

a=parmetro adjustable >0Determine el valor del parmetro a para minimizar el ndice de comportamiento siguiente:

Suponga que el estado inicial est dado por

DESARROLLO:

Considerando la ecuacin de Riccati, tenemos:

Donde:

De la funcin de costos, podemos definir Q:

Luego, reemplazando los valores en la ecuacin de Riccati, tenemos:

Resolviendo el lado izquierdo de este sistema, tenemos:

Luego, establecemos las ecuaciones para determinar los valores de P:

De lo cual resolviendo P, se tiene que:

Luego, se puede obtener el valor ptimo para el parmetro a que minimice el valor de J con la condicin inicial dada en x(0).

Para obtener J, sabemos:

Luego,

Para minimizar el valor de J se debe de determinar la derivada de J con respecto a a, con lo cual tenemos:

Despejando a, se obtiene:

Debido a que el enunciado del problema nos exige que el valor de a sea positivo, entonces tomamos el valor , dado que este valor cumple la condicin de que la segunda derivada de J con respecto a a sea mayor que cero, este es su valor ptimo.

CONCLUSIONES:Para este ejercicio nos damos cuenta que no podemos utilizar directamente MATLAB debido a que la resolucin de la matriz P mediante Ricatti es literal, por lo cual usamos una calculadora cientfica para resolver la primera parte del mismo. Observamos que la matriz Q podemos obtenerla directamente de la ecuacin general de la funcin de costos que nos da el problema, con esto la obtencin de los valores se nos simplifica de manera significativa. Teniendo la matriz A, nos damos cuenta inmediatamente que el valor del parmetro a debe ser mayor a cero para lograr que el sistema sea estable. B-10-18. Sea el sistema que se muestra en la Figura 10-62. Determine el valor de la ganancia K de modo que la razn de amortiguamiento del sistema en lazo cerrado sea igual a 0.5. A continuacin determine tambin la frecuencia natural no amortiguada del sistema en lazo cerrado. Suponiendo que y evale:

DESARROLLO:

Obtenemos la funcin de transferencia en lazo cerrado del sistema de control dado:

La funcin del sistema en lazo cerrado se define como:

Tomando los valores de la ecuacin caracterstica, obtenemos:

Despejando:

Una vez obtenidos los valores de y K, reemplazamos en la funcin en lazo cerrado y obtenemos:

Analizando la seal de error, se tiene:

Aplicando la transformada inversa de Laplace obtenemos esta ecuacin en funcin del tiempo:

Teniendo como dato , e igualando en la expresin anterior, se tiene:

Definimos nuestras variables de estado como:

y obtenemos nuestra matriz de estado e:

Determinando

Donde

Con nuestro nuevo sistema en lazo cerrado, tenemos la matriz de estado A:

Aplicamos la ecuacin de Riccati, para definir los valores de P:

Para determinar los valores de P, obtenemos las ecuaciones:

De esto obtenemos:

Finalmente, aplicando

Tenemos:

SCRIPT DE MATLABclear allclose allclcsyms p11 p12 p22;syms s ;syms k;

%% EJERCICIO B10-18%% Matrices de estadoA=[0 1;-2.25 -1.5];B= [0;1];%% Funcin de transferencia en lazo cerrado Gs=2.5/(s^2+1.5*s+0.5) Ms=simplify(Gs*k/(1+Gs*k));%% Matrices para Ricatti P=[p11 p12;p12 p22];Q=[1 0;0 0];simplify(A'*P+P*A+Q);eq1='1-(9*P12/2)=0';eq2='P11-(3/2)*P12-(9/4)*P22=0';eq3='2*P12-3*P22';[p11,p12, p22]=solve(eq1,eq2,eq3)P=[p11 p12;p12 p22]%% Determinacin de funcin de costo% Matriz de estado 'e' cuando t=0;e=[1;0];% Funcin de costeJ=e'*P*e

CONCLUSIONES:B-10-19. Determine la seal de control ptima u para el sistema definido por:

Donde:

tal que se minimice el ndice de comportamiento siguiente:

DESARROLLO: Se define la matriz del sistema como:

La ecuacin de Ricatti queda de la siguiente manera:

De la funcin de costo establecida, se definen los valores para Q y R como:

Obtenemos P como sigue:

Definimos las ecuaciones:

Establecemos P:

Definimos K como:

Por ltimo, tenemos u:

SCRIPT DE MATLAB

close allclear allclcsyms p11 p12 p22;syms k1 k2;%% EJERCICIO B 10-19% Matrices de estado A=[0 1;0 -1]; B=[0;1]; K=[k1 k2];% Ley de control u=-Kx Ahat=A-B*K;% Matrices para Ricatti P=[p11 p12; p12 p22]; Q=eye(2); R=1; simplify(A'*P+P*A-P*B*B'*P+Q) eq1='1-P12^2=0'; eq2='P11-p12-P12*P22=0'; eq3='2*P12+1-P22^2-2*P22=0'; [P11,P12,P22]=solve(eq1,eq2,eq3) p11=2; p12=1; p22=1; P=[p11 p12;p12 p22];%% Clculo de K K=B'*P

CONCLUSIONES:B-10-21. Sea el sistema del pndulo invertido que se muestra en la Figura 10-59. Se desea disear un sistema regulador que mantenga el pndulo invertido en una posicin vertical ante la presencia de perturbaciones en trminos del ngulo y/o velocidad angular . Se requiere que el sistema regulador regrese el carro a su posicin de referencia al final de cada proceso de control. (No hay una entrada de referencia para el carro).La ecuacin en el espacio de estados para el sistema est dada por:

Donde:

Se utilizar el esquema de control de realimentacin del estado:

Usando MATLAB, determine la matriz de ganancias de realimentacin del estado tal que el siguiente ndice de comportamiento J se minimice:

Donde:

A continuacin obtenga la respuesta del sistema a la condicin inicial siguiente:

Represente las curvas de respuesta respecto de , respecto de , respecto de y respecto de .DESARROLLO:Utilizando MATLAB determinamos la matriz de ganancia de realimentacin del estado K.

%Matriz de ganancia de realimentacin del estado KA=[0 1 0 0;20.601 0 0 0; 0 0 0 1;-0.4905 0 0 0];B=[0;-1;0;0.5];Q=[100 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1];R=1;K=lqr(A,B,Q,R)

A continuacin de esto debemos obtener la respuesta a las condiciones iniciales dadas.

Para ello sustituimos la ecuacin (1) en la ecuacin original en espacio de estados:

El programa de MATLAB que se presenta a continuacin da como resultado la respuesta a las condiciones iniciales dadas:

AA=A-B*K;BB=[0.1;0;0;0];[x,z,t]=step(AA,BB,AA,BB);x1=[1 0 0 0]*x';x2=[0 1 0 0]*x';x3=[0 0 1 0]*x';x4=[0 0 0 1]*x';

Cdigo de MATLAB para las grficas de respuesta

%Respuesta a la condicin inicialAA=A-B*K;BB=[0.1;0;0;0];[x,z,t]=step(AA,BB,AA,BB);x1=[1 0 0 0]*x';x2=[0 1 0 0]*x';x3=[0 0 1 0]*x';x4=[0 0 0 1]*x';%Grficas de respuestasubplot(2,2,1);plot(t,x1)title('Theta respecto a t')xlabel('t Seg')ylabel('x1=Theta')grid onsubplot(2,2,2);plot(t,x2)title('Theta punto respecto a t')xlabel('t Seg')ylabel('x2=Theta Punto')grid onsubplot(2,2,3);plot(t,x3);title('x respecto a t')xlabel('t Seg')ylabel('x3=x')grid onsubplot(2,2,4);plot(t,x4);title('x punto respecto de t')xlabel('t Seg')ylabel('x4=x punto')grid on

GRFICAS OBTENIDAS COMO RESPUESTA DEL PNDULO INVERTIDOTheta respecto a t.

Theta punto respecto a t.

x respecto a t.

x punto respecto a t.

CONCLUSIONES:V. TRABAJO DE REFUERZO INGENIERA DE CONTROL MODERNA

Katsuhiko Ogata B-7-1. Considere el sistema con realimentacin unitaria cuya funcin de transferencia en lazo abierto es

Obtenga la salida en estado estacionario del sistema cuando est sujeto a cada una de las entradas siguientes:

LITERAL ASe sustituye s por jw

En lazo cerrado tenemos:

Obtenemos el mdulo de la funcin como:

El ngulo de fase

La salida en estado estacionario es:

LITERAL BSe sustituye s por jw:

En lazo cerrado tenemos:

Obtenemos el mdulo de la funcin como:

El ngulo de fase

La salida en estado estacionario es:

CONCLUSIONES:SISTEMAS DE CONTROL MODERNO

Richard C. DorfRobert H. Bishop

P8-4. En la figura P8.4 se muestra un sistema para controlar la presin en una cmara cerrada. La funcin de transferencia para el elemento de medicin es

Y la funcin de transferencia para la vlvula es

La funcin de transferencia del controlador es

Obtener las caractersticas de la respuesta en frecuencia para la funcin de transferencia del lazo

DESARROLLO: Encontramos la funcin de transferencia en lazo cerrado:

Para las caractersticas de las respuestas en frecuencia, realizamos la grfica de Bode con lo cual obtenemos la magnitud y la fase en escala logartmica.

Reemplazando , obtenemos:

Luego:

Si obtenemos la grfica del mdulo de funcin en lazo cerrado, obtenemos los valores de Mr y BW:

Entonces:

CONCLUSIONES:P8-8. En la figura P8.8 se muestra un sistema de control con realimentacin. Las especificaciones para el sistema de lazo cerrado requieren que el sobrepaso para una entrada de escaln sea mayor que el 10%.

a. Determinar la especificacin correspondiente en el dominio de la frecuencia , para la funcin de transferencia de lazo cerrado

b. Determinar la frecuencia de resonancia,

c. Determinar el ancho de banda del sistema en lazo cerrado.

DESARROLLO:

La funcin de transferencia en lazo cerrado ser:

Luego, para determinar el valor del coeficiente de amortiguamiento relativo, tenemos:

Con un sobrepaso del 10% tenemos:

De la funcin en lazo cerrado tenemos:

Adems, podemos determinar el valor de K:

Con esto, nuestra funcin en lazo cerrado ser:

Luego, se define como:

La frecuencia de resonancia se establece:

Finalmente, definimos BW como:

close allclear allclcsyms K s ;syms z;%% EJERCICIO P8.8 BISHOP%Funcin de transferenciaG=K/(s*(s+2));T=simplify(G/(1+G))% Coeficiente de amortiguamiento relativo zz=solve(10-100*exp(-pi*z/(sqrt(1-z^2))))% Frecuencia naturalwn=5/(2*z)K=wn^2% MpwMpw=(2*z*sqrt(1-z^2))^(-1)% Frecuencia de resonanciawr=wn*sqrt(1-z^2)% Ancho de bandaWB=wn*sqrt((1-2*z^2)+sqrt(4*z^4-4*z^2+2))

CONCLUSIONES: SISTEMAS DE CONTROL AUTOMTICO

Benjamn C. Kuo 9.2 Las funciones de transferencia de la trayectoria directa de sistemas de control con realimentacin unitaria estn dados como sigue. Encuentre el pico de resonancia , la frecuencia de resonancia , y el ancho de banda BW de los sistemas en lazo cerrado. (Recordatorio: Asegrese de que el sistema sea estable)

DESARROLLO: La resolucin de estos ejercicios no se puede realizar en forma analtica, debido a la complejidad y extensin de los mismos, por lo tanto, usaremos Matlab para determinar en forma grfica los valores requeridos.

Determinamos la funcin en lazo cerrado:

Para realizar el anlisis en frecuencia de la funcin, reemplazamos en la funcin de lazo cerrado.

Finalmente, obtenemos el mdulo de la funcin de transferencia y graficamos con respecto a .

El punto donde , determina el ancho de banda de la funcin, y la coordenada del pico ms alto determina los valores para y . De este modo tenemos:

SCRIPT DE MATLABclear allclose allclcsyms s w;% EJERCICIO 9.2 a% Funcin en lazo abierto Gs= tf([10 10],[1 12 20 0])Gs1=10*(s+1)/(s*(s+2)*(s+10));Ms=simplify(Gs1/(1+Gs1))Mjw=10*(1+j*w)/((30*j*w)+10-(12*w^2)-(j*w^3));f=abs(Mjw);ezplot(w,f)axis([0 1 0.5 1.05 ]);xlabel('w (rad/s)')ylabel('|M(jw)|')title('Anlisis en frecuencia')grid onhold onplot(0.46,0.707,'X')hold onplot(0,1,'X')hold on

Para los puntos (b) y (c) el procedimiento a seguir es el mismo, de este modo tenemos:

Funcin de transferencia en lazo cerrado:

Reemplazamos en la funcin de lazo cerrado.

Se obtiene la grfica del mdulo:

Tenemos:

close allclear allclcsyms s w;% Ejercicio 9.2 Gs=100*exp(-s)/(s*(s^2+10*s+50));Ms=simplify(Gs/(1+Gs))Mjw=100/(10*(j*w)^2*exp(j*w) + (j*w)^3*exp(j*w) + 50*j*w*exp(j*w) + 100)f=abs(Mjw);ezplot(w,f)axis([0 4 0 3.5 ]);grid onxlabel('w (rad/s)')ylabel('|M(jw)|')title('Anlisis en frecuencia')grid onhold on

Funcin de transferencia en lazo cerrado:

Reemplazamos en la funcin de lazo cerrado.

Se obtiene la grfica del mdulo:

close allclear allclcsyms s w;% Ejercicio 9.2 gGs=100*exp(-s)/(s*(s^2+10*s+100));Ms=simplify(Gs/(1+Gs))Mjw=100/(10*(j*w)^2*exp(j*w) + (j*w)^3*exp(j*w) + 100*j*w*exp(j*w) + 100)f=abs(Mjw);ezplot(w,f)axis([0 4 0 3.5 ]);grid onxlabel('w (rad/s)')ylabel('|M(jw)|')title('Anlisis en frecuencia')grid onhold on

CONCLUSIONES:9.7 La funcin de transferencia de la trayectoria directa de un sistema de control con realimentacin unitaria es:

Encuentre los valores de BW y del sistema en lazo cerrado para T=0.05, 1, 2, 3, 4, y 5.Para cada valor de T tendremos una funcin G(s) diferente. Calculamos la funcin de transferencia en lazo cerrado para la funcin G(s)

Reemplazando en la funcin se tiene:

Para cada valor de T se tiene: TM(j)

0.05

1

2

3

4

5

Obteniendo el mdulo de estos valores, tenemos las grficas para cada caso, de donde observamos los valores requeridos:

T=0.05

T=1

T=2

T=3

T=4

T=5

SCRIPT DE MATLAB

clc;clear all;close allclc;%% EJERCICIO 9.7syms s w Gs T; Gs=((1/2)+((T/2)*s))/((s^3)+(s^2)+((s)*(1+(T/2)))+(1/2))figure(1)T=0.05;Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))f=abs(Mjw)ezplot(w,f)grid onaxis ([0 3 0 1.6])xlabel('w')ylabel('|Mjw|')title('Analisis en frecuencia')hold onfigure(2)T=1;Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))f=abs(Mjw)ezplot(w,f)grid onaxis ([0 2 0 1.2])xlabel('w')ylabel('|Mjw|')title('Analisis en frecuencia')hold onfigure(3)T=2;Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))f=abs(Mjw)ezplot(w,f)grid onaxis ([0 2 0 1.2])xlabel('w')ylabel('|Mjw|')title('Analisis en frecuencia')hold onfigure(4)T=3;Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))f=abs(Mjw)ezplot(w,f)grid onaxis ([0 2 0 1.4])xlabel('w')ylabel('|Mjw|')title('Analisis en frecuencia')hold onfigure(5)T=4;Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))f=abs(Mjw)ezplot(w,f)grid onaxis ([0 3 0 1.6])xlabel('w')ylabel('|Mjw|')title('Analisis en frecuencia')hold onfigure(6)T=5;Mjw=((1/2)+((T/2)*j*w))/((-j*w^3)-(w^2)+((j*w)*(1+(T/2)))+(1/2))f=abs(Mjw)ezplot(w,f)grid onaxis ([0 3 0 2])xlabel('w')ylabel('|Mjw|')title('Analisis en frecuencia')hold on

9.8 La funcin de transferencia de la trayectoria directa de un sistema de control con realimentacin unitaria es:

Encuentre los valores de BW y del sistema en lazo cerrado para T=0.05, 1, 2, 3, 4, y 5.

DESARROLLO:

De igual manera que el ejercicio anterior, procedemos a calcular la funcin de transferencia en lazo cerrado:

Al sustituir en la funcin de lazo cerrado, tenemos:

Para cada valor de T, tenemos una funcin M(j) diferente, como se indica en la tabla.

TM(j)

0.05

1

2

3

4

5

Obteniendo el mdulo de cada funcin, observamos los valores de Mr y BW que nos pide encontrar el ejercicio:

T=0.05

T=1

T=2

T=3

T=4

T=5

SCRIPT DE MATLAB

close allclear allclcsyms s w T;%% EJERCICIO KUO 9.8Gs=1/(2*s*(s^2+s+1)*(1+T*s));Ms=0.5/(T*s^4+(T+1)*s^3 +(T+1)*s^2+s+0.5);T=0.05;Mjw1=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)figure(1)M1=abs(Mjw1);ezplot(w,M1)grid onaxis([0 3 0 2])xlabel('w (rad/s)')ylabel('|M(jw)|')title('Anlisis en frecuencia')hold onT=1;Mjw2=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)figure(2)M2=abs(Mjw2);ezplot(w,M2)grid onaxis([0 2 0 3])xlabel('w (rad/s)')ylabel('|M(jw)|')title('Anlisis en frecuencia')hold onT=2;Mjw3=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)figure(3)M3=abs(Mjw3);ezplot(w,M3)grid onaxis([0 2 0 3])xlabel('w (rad/s)')ylabel('|M(jw)|')title('Anlisis en frecuencia')hold onT=3;Mjw4=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)figure(4)M4=abs(Mjw4);ezplot(w,M4)grid onaxis([0 2 0 3.5])xlabel('w (rad/s)')ylabel('|M(jw)|')title('Anlisis en frecuencia')hold onT=4;Mjw5=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)figure(5)M5=abs(Mjw5);ezplot(w,M5)grid onaxis([0 2 0 3.5])xlabel('w (rad/s)')ylabel('|M(jw)|')title('Anlisis en frecuencia')hold onT=5;Mjw6=0.5/(T*w^4-((j*w^3)*(T+1))-((T+1)*(w^2))+j*w+0.5)figure(6)M6=abs(Mjw6);ezplot(w,M6)grid onaxis([0 2.5 0 4])xlabel('w (rad/s)')ylabel('|M(jw)|')title('Anlisis en frecuencia')hold on

CONCLUSIONES:.

referencias

[1] Katsuhiko Ogata, Ingeniera de Control Moderna, 5 ta ed. vol. 1, Madrid, Ed. Pearson Education,S.A, 2010[2] Benjamin J. Kuo, Sistemas de control automtico,. 7ma ed, Mexico, Ed. PRENTICE-HALL HISPANOAMERICA SA. 1996[3] R. Dorf y R. Bishop, Sistemas de Control Moderno, 10ma ed. , Madrid, Ed. Pearson Education,S.A, 2005

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