CONTROL MODERNO Y

SUS APLICACIONES Tercer evaluacin.-Exposicin de la resolucin del problema B

12.9

Pndulo invertido

Integrantes:

Carrasco Lpez Abigail

Carreo Ramrez Pablo

Cruz Velzquez Marco A.

De la Luz Gonzlez Eder

ESTUDIO DEL PNDULO INVERTIDO Un pndulo es uno de los juguetes ms bsicos para experimentar los conceptos de periodo y gravedad. Qu sucede si la masa se une a una barra rgida y se pone al revs? Entonces se obtiene un pndulo invertido, un sistema aparentemente inestable que es un ejemplo clsico para el control automtico.

Una de las claves del pndulo invertido es intentar controlar el movimiento de la masa moviendo el otro extremo de la barra. En el ejemplo del carrito se demuestra que la barra se puede mantener en posicin vertical para una perturbacin dada lo suficientemente pequea.

Existe otra posibilidad, la de mantener la barra en posicin vertical moviendo la base del pndulo tambin con una trayectoria vertical como se muestra en la figura siguiente

Esquema de un pndulo invertido con

movimiento vertical.

En este caso, la masa tiene la siguiente posicin:

, +

Y la siguiente velocidad:

( , + )

La lagrangiana del sistema es entonces:

=1

2( 2 + 2 + ^2^2) ( + )

Y la ecuacin del movimiento:

El paso siguiente es suponer que el ngulo se mantiene

pequeo en cualquier instante.

Supuesto un movimiento armnico de la base del pndulo

,obtener el valor del parmetro para el que el pndulo deja

de ser estable.

Nota

Las condiciones iniciales del problema son importantes.

Este sistema se encuentra en una posicin de equilibrio

inestable en , esto significa que si el sistema no se

perturba en absoluto seguir indefinidamente en dicha

posicin. En este caso cualquier perturbacin, tanto en

velocidad como en desplazamiento, ser suficiente para

sacar el sistema de su equilibrio pero podra suceder que

fuera tan pequea que no lo notara.

El sistema puede atenuar, mantener o amplificar la

perturbacin dependiendo de su propia naturaleza pero

debemos tener muy en cuenta que la solucin final

depender de las condiciones iniciales y de la perturbacin

elegida.

SISTEMAS MECNICOS

PROBLEMA B-12.9

Sea el sistema del pndulo invertido que se muestra. Suponga que

M= 2kg m=0.5kg l=1m

Defina las variables de estado como

x1 =0, x2 = , x3 =x, x4 = Y las variables de salida como:

y1 =0=x1 , y2 =x =x3

Obtenga las ecuaciones en el espacio de estados para este sistema.

Se quiere tener polos en lazo cerrado en:

S=-4+j4, s=-4-j4, s=-20, s=-20

Determine la matriz de ganancias de realimentacin del estado K.

Usando la matriz de ganancias de realimentacin del estado K determinada de este modo, examine el comportamiento del sistema mediante una simulacin en computador. Escriba el programa en MATLAB para obtener la respuesta del sistema a una condicin inicial arbitraria.

Obtenga las curvas de respuesta x1 (t) respecto a t,x2 (t) respecto de t,x3 (t) respecto de t y x4 (t) respecto a t para el siguiente conjunto de condiciones iniciales:

x1(0)=0, x2 (0)=0, x3 (0)=0, x4 (0)=1m/s

La ley fundamental que controla los sistemas mecnicos

es la segunda ley de Newton(F=ma),que se aplica a cualquier

sistema mecnico.

Considere el sistema de control del pndulo invertido. En este

ejemplo se est interesado en los movimientos del pndulo y en

el movimiento del carro en el plano de la pgina.

Se desea mantener el pndulo invertido lo ms cercano posible

a la vertical y al mismo tiempo controlar la posicin del carro; por

ejemplo, moverlo sbitamente de un punto a otro.

Para controlar la posicin del carro es necesario construir

un servosistema de tipo 1.El sistema del pndulo invertido

montado en un carro no tiene un integrador. Por lo tanto

,se realimenta la seal de posicin y ( que indica la

posicin del carro) a la entrada y se inserta un integrador

en el camino directo.

Las ecuaciones del

movimiento para el

sistema

Simplificando se

obtiene

Tomando la

transformad

a de Laplace

con C.I

nulas

Si se resuelve la ecuacin. Para x1

se obtiene

De donde

se sigue:

Funcin de transferencia

X1

De las ecuaciones

anteriores se obtiene

Funcin de transferencia

X2

RESOLUCIN

Se supone que el ngulo del pndulo y la velocidad

angular son pequeos, por lo que

Cos 1

^2 0

Tambin se supondr que los valores numricos para M,m

y l estn dados por:

M=2kg, m=0.5kg, L=1m

RESOLUCIN

Ecuacin 1 umlxmM )(

Ecuacin 2 mglxmlml 2

lgx

ml

mlmglx

mlmglxml

mglxmlml

2

2

2Despejamos ecuacin 2

Sustituimos en 1

Ml

ugmM

ugmMMl

gmMuMl

uMlgmM

uMlmgMg

umlmlMlmgMg

umllgmM

umlxmM

)(

)(

)(

)(

))((

)(

Sustituimos nuevamente en 2

M

mgux

M

mgMguMgx

M

gmMuMgx

M

gmMugx

M

ugmMgx

Ml

ugmMlgx

)(

)(

)(

)(

Acomodamos en la ecuacin caracterstica tal que las matrices estn en su

forma cannica controlable

4

3

2

1

2

1

1

1

4

3

2

1

4

3

2

1

0100

0001

0

0

00081.9

1000

00081.9

0010

x

x

x

x

y

y

u

x

x

x

x

x

x

x

x

BuAxx

M

Ml

Mm

mlmM

Sustituimos los valores de las masas, la longitud y la gravedad

4

3

2

1

2

1

21

)1)(5.0(1

4

3

2

1

25.0

)1)(5.0(5.02

4

3

2

1

0100

0001

0

0

000

1000

000

0010

x

x

x

x

y

y

u

x

x

x

x

g

g

x

x

x

x

BuAxx

4

3

2

1

2

1

21

)1)(2(1

4

3

2

1

25.0

)1)(2(5.02

4

3

2

1

0100

0001

0

0

00081.9

1000

00081.9

0010

x

x

x

x

y

y

u

x

x

x

x

x

x

x

x

BuAxx

ux

x

x

x

x

x

x

x

5.0

0

5.0

0

0004525.2

1000

0002625.12

0010

4

3

2

1

4

3

2

1

Por lo tanto obtenemos las matrices A y B de la siguiente manera

5.0

0

5.0

0

0004525.2

1000

0002625.12

0010

B

A

Ahora obtenemos la matriz de ganancias K a partir de los polos deseados

utilizando el siguiente programa en matlab

A=[0 1 0 0; 12.2625 0 0 0; 0 0 0 1; -2.4525 0 0 0];

B=[0; -0.5; 0; 0.5];

J=[-4+j*4 -4-j*4 -20 -20];

K = acker(A,B,J)

Obtenemos K

K =

1.0e+03 *

-4.1381 -1.0094 -2.6096 -0.9134

Para obtener la respuesta del sistema, debemos obtener

Kxu

De la siguiente manera

4567.03048.15047.03835.0

0000

4567.03048.15047.01935.10

0010

4567.03048.15047.00690.2

1000

4567.03048.15047.00690.2

0000

0004525.2

1000

0002625.12

0010

9134.06096.20094.11381.4

5.0

0

5.0

0

0004525.2

1000

0002625.12

0010

)(

x

x

x

xBKAx

BuAxx

% Respuesta a condicin inicial

% este programa obtiene las respuestas del sistema

% dot = (Ahat)x da la condicin inicial x(0)

%88 ingresamos las matrices A,B and K to produce matrix

A = [0 1 0 0; 12.2625 0 0 0;0 0 0 1;-2.4525 0 0 0];

B = [0; -0.5; 0; 0.5];

K = [-4138.1 -1009.4 -2609.6 -913.4];

AA = A-B*K;

% ingresamos la condicin inicial de la matriz BB = Bhat

BB = [0; 0; 0; 1];

[x,y,t] = step(AA, BB, AA, BB);

x1 = [1 0 0 0]*x';

x2 = [0 1 0 0]*x';

x3 = [0 0 1 0]*x';

x4 = [0 0 0 1]*x';

% plot respuesta a curvas x1 contra t , x2 contra t , x3

a t y x4 a t en un diagrama

subplot (2,2,1);

plot(t,x1);grid

title('x1(theta) contra tiempo')

xlabel('t sec')

ylabel('x1 = theta')

subplot(2,2,2);

plot(t,x2);grid

title('x2(theta punto) contra tiempo')

xlabel('t Sec')

ylabel('x2 = Theta punto')

subplot(2,2,3);

plot(t,x3);grid

title('x3 (theta punto) contra tiempo')

xlabel('t Sec')

ylabel('x3 = Desplazamiento del carro')

subplot(2,2,4);

plot(t,x4);grid

title('x4(Velocidad de carro) contra tiempo')

xlabel('t Sec')

ylabel('x4 = Velocidad de carro')

G r a c i a s p o r s u a t e n c i n