Control Avanzadotttt

CONTROL AVANZADO

Dise~no y Apliaiones en Tiempo Real

ARTURO ROJAS-MORENO, Ph.D.

Universidad Naional de Ingeniera, Peru

Control

Optimo

Control Adaptivo

Control Preditivo

Control Robusto

Control No Lineal

Programas en MATLAB y C/C++

ii

Control Avanzado

Dise~no y Apliaiones en Tiempo Real

Copyright

2001 Arturo Rojas-Moreno. Reservados todos los derehos.

ISBN 9972{9318{0{3

Ni todo el libro ni parte de esta publiaion puede ser reproduida, arhivada,

transmitida o distribuida en forma alguna o mediante algun medio eletronio,

meanio, o de otra ndole, sin que exista previamente y por esrito el permiso de

autorizaion del autor.

Dediatoria

A mi Familia

A mi Alma Mater

Indie General

Dediatoria iii

Prefaio xi

1 Matematia Asistida on Computadora 1

1.1 Calulo Matriial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Operaiones y Tipos de Matries . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Determinantes y Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Derivadas e Integrales on Matries y Vetores . . . . 14

1.2 Analisis Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Independenia, Ortonormalidad y Normas . . . . . . . 15

1.2.2 Rango de una Matriz, Eigenvalores y Eigenvetores . . 18

1.2.3 Diagonalizaion de Matries . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.4 Formas Cuadratias y Bilineales . . . . . . . . . . . . 20

1.3 La Transformada de Laplae . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Sistemas Disretos 29

2.1 Dise~no de Sistemas de Control Digital . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Conepto de Estado y Variables de Estado . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 Linealizaion de Proesos . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Fundamentos de Sistemas Disretos . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1 Muestreo y Reonstru

ion . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.2 La Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.3 La Transformada Z Inversa . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.4 Funion de Transferenia de Pulso . . . . . . . . . . . 51

2.3.5 El Espaio de Estado Disreto . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.6 Controlabilidad y Observabilidad . . . . . . . . . . . . 64

vi

INDICE GENERAL

3 Modelado de Proesos 69

3.1 Modelo del Proeso Pendulo Invertido . . . . . . . . . . . . . 69

3.1.1 Modelo del Subsistema Carro-Pendulo . . . . . . . . . 70

3.1.2 Modelo del Subsistema Motor-Polea . . . . . . . . . . 72

3.1.3 Representaion en el Espaio de Estado . . . . . . . . 74

3.1.4 Obtenion del Modelo Lineal . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1.5 El Modelo en el Espaio de Estado Disreto . . . . . . 76

3.2 Modelo del Proeso Grua-Puente . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.1 Modelo del Subsistema Carro-Varilla . . . . . . . . . . 77

3.2.2 Modelo del Subsistema Motor-Polea . . . . . . . . . . 79

3.2.3 Representaion en el Espaio de Estado . . . . . . . . 79

3.2.4 Obtenion del Modelo Lineal . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2.5 El Modelo en el Espaio de Estado Disreto . . . . . . 80

3.2.6 Resumen de Variables y Parametros . . . . . . . . . . 81

3.2.7 Identiaion de la Zona Muerta del Servomotor . . . 81

3.3 Modelo del Servomotor D.C. No Lineal . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.1 El Subsistema Meanio . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.2 El Subsistema Eletrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3.3 Conversion de Energa Eletria en Meania . . . . . 87

3.3.4 Modelo y Compensaion de no Linealidades . . . . . . 89

3.3.5 Linealizaion y Disretizaion del Proeso . . . . . . . 90

3.4 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.5 Problemas Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4 Control

Optimo 123

4.1 Introdu

ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2 Control

Optimo Cuadratio No Estaionario . . . . . . . . . . 125

4.3 Control

Optimo Cuadratio Estaionario . . . . . . . . . . . . 127

4.4 El Regulador

Optimo Proporional . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.5 Sele

ion de las Matries de Ponderaion . . . . . . . . . . . . 130

4.6 Dise~no del Observador

Optimo Cuadratio . . . . . . . . . . . 136

4.7 El Regulador

Optimo Proporional Integral . . . . . . . . . . 139

4.8 Proedimiento de Dise~no e Implementaion . . . . . . . . . . 145

4.9 Control

Optimo Cuadratio del Pendulo Invertido . . . . . . 145

4.9.1 Formulaion del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.9.2 El Modelo del Proeso a Controlar . . . . . . . . . . . 146

4.9.3 Calulo de la Matriz de Ganania del Controlador . . 147

4.9.4 Calulo la Matriz de Ganania del Observador . . . . 149

INDICE GENERAL vii

4.9.5 Simulaion del Sistema de Control

Optimo . . . . . . 150

4.9.6 El Hardware del Sistema de Control . . . . . . . . . . 153

4.9.7 Implementaion del Software de Control . . . . . . . . 160

4.9.8 Resultados Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.10 Control

Optimo Cuadratio de la Grua-Puente . . . . . . . . 179


4.10.2 Simulaion del Sistema Controlado . . . . . . . . . . . 180

4.10.3 El Hardware y el Software del Sistema de Control . . 185

4.10.4 Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . 185



5 Control Adaptivo 205

5.1 Introdu

ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

5.2 Modelando Proesos No Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.3 Proedimientos de Estimaion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.3.1 El Metodo de los Mnimos Cuadrados Reursivo . . . 208

5.3.2 Mnimos Cuadrados Reursivo Mejorado . . . . . . . . 211

5.3.3 Estimaion de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5.4 La Ley de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5.5 Proedimiento de Dise~no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5.6 Control Adaptivo de un Servomotor No Lineal . . . . . . . . 222


5.6.2 El Modelo del Proeso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.6.3 Estimaion de Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . 223

5.6.4 Estimaion de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.6.5 La Ley de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5.6.6 La Ley de Control Residual . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.6.7 Simulaion del Sistema de Control Adaptivo . . . . . . 225

5.6.8 Implementaion del Hardware . . . . . . . . . . . . . . 229

5.6.9 Implementaion del Software de Control . . . . . . . . 235




6 Control Preditivo 283

6.1 Control Preditivo Basado en Modelos . . . . . . . . . . . . . 283

6.2 Prinipios del Control Preditivo Basado en Modelos . . . . . 284

6.3 El Modelo del Proeso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

viii

INDICE GENERAL

6.4 El Modelo del Preditor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

6.4.1 Predi

ion de y(t+ k=t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

6.4.2 Predi

ion de n(t+ k=t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

6.5 El Controlador Preditivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

6.5.1 Objetivo del Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . 296

6.5.2 Respuesta Libre y Respuesta Forzada . . . . . . . . . 297

6.5.3 La Ley de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301


6.7 Control de Posiion de un Servomotor . . . . . . . . . . . . . 304


6.7.2 Respuesta Libre del Proeso . . . . . . . . . . . . . . . 305

6.7.3 Respuesta del Proeso al Esalon . . . . . . . . . . . . 306

6.7.4 La Ley de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

6.7.5 Simulaion del Sistema de Control Preditivo . . . . . 306


6.7.7 El Software de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312




7 Control Robusto 347

7.1 Estrutura del Control on Modelo Interno . . . . . . . . . . 347

7.2 Formulaion del Problema CMI . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

7.2.1 El Modelo del Proeso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

7.2.2 Desripion de Inertidumbres del Modelo . . . . . . . 353

7.3 Control Robusto para Proesos Estables . . . . . . . . . . . . 356

7.3.1 Rendimiento Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

7.3.2 El Filtro Disreto CMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

7.3.3 Estabilidad Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

7.3.4 Rendimiento Robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

7.4 Control Robusto para Proesos Inestables . . . . . . . . . . . 368

7.4.1 Rendimiento Nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

7.4.2 El Filtro Disreto CMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

7.4.3 Estabilidad y Rendimiento Robustos . . . . . . . . . . 372


7.6 Control Robusto de un Servomotor No Lineal . . . . . . . . . 374


7.6.2 Dise~no del Sistema de Control Robusto . . . . . . . . 374

INDICE GENERAL ix

7.6.3 Simulaion del Sistema de Control Robusto . . . . . . 374


7.6.5 Implementaion del Software . . . . . . . . . . . . . . 376




8 Control No Lineal 405

8.1 Herramientas Matematias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

8.1.1 Derivadas y Corhetes de Lie . . . . . . . . . . . . . . 406

8.1.2 Difeomorsmo y Transformaion de Estados . . . . . . 408

8.1.3 Transformaion no Lineal de Estados . . . . . . . . . . 409

8.1.4 El Teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . 410

8.2 Grado Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

8.3 Forma Normal de Proesos No lineales . . . . . . . . . . . . . 413

8.4 Linealizaion Exata y la Ley de Control . . . . . . . . . . . . 414

8.5 Observadores No Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418


8.7 Control No Lineal de un Servosistema . . . . . . . . . . . . . 422


8.7.2 Modelo del Proeso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

8.7.3 Determinaion del Grado Relativo . . . . . . . . . . . 424

8.7.4 Comprobar Linealizaion Exata . . . . . . . . . . . . 424

8.7.5 La Forma Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

8.7.6 La ley de Control No Lineal . . . . . . . . . . . . . . . 427

8.7.7 Dise~no del Observador No Lineal de Estados . . . . . 430

8.7.8 Simulaion del Sistema de Control No Lineal . . . . . 431


8.7.10 Implementaion del Software . . . . . . . . . . . . . . 440




Bibliografa 453

Indie de Materias 456

Prefaio

Fundamentos

A nadie esapa el heho de que estamos preseniando un dramatio y per-

manente desarrollo de dispositivos y equipos basados en tenia digital, tales

omo miroontroladores, tarjetas de desarrollo para proesamiento digital

de se~nales, sistemas enapsulados, omputadoras industriales, sistemas de

adquisiion de datos, entre otros. Tales dispositivos y equipos, que ada vez

son mas peque~nos y de menor osto, pero paradojiamente mas potentes,

han provoado que atualmente la gran mayora de los sistemas de ontrol

se dise~nen basados en tenias digitales.

Con respeto a las tenias empleadas en el dise~no de los sistemas de on-

trol, podemos observar en la industria que ada vez son mas las apliaiones

basadas en tenias no tradiionales, las uales denominaremos tenias de

ontrol avanzado. En este ontexto, las tenias de ontrol avanzado que

han logrado mayor aeptaion son las siguientes: ontrol preditivo, ontrol

no lineal, ontrol robusto, ontrol adaptivo, ontrol optimo, entre otras. La

literatura tenia y las publiaiones para ada una de ellas, es de heho

abundante pero lamentablemente esparida, de modo que el tratamiento

aislado de ada tenia puede onsumir gran antidad de tiempo y esfuerzo.

Esta publiaion integra en un solo volumen, los fundamentos y los pro-

edimientos enaminados al dise~no de sistemas de ontrol avanzado y su

orrespondiente implementaion en tiempo real. El material desarrollado

basa sus fundamentos en la representaion de los sistemas de ontrol en el

espaio de estado disreto. Sin embargo, no se deja de menionar y de tratar

el punto de vista tradiional, uando sea neesario.

He sido muy uidadoso en ubrir on amplitud y on la laridad del aso,

empleando muhas vees ejemplos expliativos, aquellos oneptos funda-

mentales requeridos para un mejor entendimiento del material presentado.

Las apliaiones en tiempo real desarrolladas para validar los metodos de

xii Prefaio

dise~no presentados en los aptulos del uatro al oho, onstituyeron proye-

tos de investigaion realizados en la Se

ion de Postgrado de la Faultad de

Ingeniera Eletria y Eletronia de la Universidad Naional de Ingeniera

(http://ee.uni.edu.pe), asa de estudios de la ual soy doente.

Herramientas Computaionales

La gran mayora de los ejeriios y problemas formulados en este libro se de-

sarrollan on el auxilio de la omputadora personal. Espeamente, para

el desarrollo de los ejemplos y problemas, y para la simulaion de las aplia-

iones, se emplea el software \MATLAB" (version 4.2) on sus herramientas

\Control Systems", \Signal Proessing" y \SIMULINK". El software para

las apliaiones en tiempo real esta esrito en C/C++ de \Borland", version

4.52. Evidentemente, los programas elaborados tambien pueden ejeutarse

en versiones de software mas atualizadas. Los programas fuente se pueden

desargar de mi pagina web: http:/ee.uni.edu.pe/728681F. Antes de

emplear tales programas, leer el arhivo README.TXT.

Sistema de Unidades y Aentuaion en Programas Fuente

Esta publiaion emplea el Sistema Internaional (SI) de unidades. Para se-

parar la parte entera de la parte deimal de los numeros deimales, seguire-

mos usando el punto (.) en lugar de la oma (,), debido a que los paquetes

de software MATLAB y Borland C/C++ solo permiten emplear el pun-

to (.) para expresar numeros deimales. Como tales paquetes de software

no emplean el aento ortograo, en los listados de los programas fuente

presindiremos de tal aentuaion.

Sobre el Contenido de los Captulos

Captulo 1: Matematia Asistida on Computadora. Desribe

en forma suinta algunos topios de matematias apliadas (basiamente

analisis matriial y vetorial) neesarios para el desarrollo de los aptulos

posteriores. La mayora de los ejemplos se desarrollan on el auxilio del

software MATLAB. De all la razon del nombre del aptulo.

Captulo 2: Sistemas Disretos. Presenta los oneptos fundamen-

tales aera de los sistemas de ontrol realimentados operando en el tiempo

disreto, y la representaion de los mismos en el espaio de estado.

Captulo 3: Modelaion de Proesos. En este aptulo se desarrolla

la modelaion de los tres proesos, uyos sistemas de ontrol avanzado van a

xiii

ser implementados en tiempo real. Tales proesos son: el pendulo invertido,

la grua-puente y el servomotor D.C. (\Diret Current") sujeto a argas no

lineales. En su se

ion problemas, el aptulo presenta la modelaion de

diversos proesos tpios.

Captulo 4: Control

Optimo. Desarrolla los fundamentos del ontrol

optimo uadratio disreto y dos apliaiones en tiempo real: ontrol optimo

de posiion del pendulo invertido y ontrol optimo de posiion de la grua-

puente. En su se

ion problemas, el aptulo desarrolla dise~nos de sistemas

de ontrol optimo uadratio para varios proesos tpios.

Captulo 5: Control Adaptivo. Disute brevemente aera de los

prinipales sistemas de ontrol adaptivo, para luego presentar en detalle

el proedimiento de dise~no de un sistema de ontrol adaptivo on autosin-

tonizaion. El proedimiento desarrollado se aplia para implementar en

tiempo real el ontrol adaptivo on autosintonizaion de la posiion de un

servomotor D.C. operando on arga no lineal y variable. En su se

ion

problemas, el aptulo presenta dise~nos de sistemas de ontrol adaptivo on

autosintonizaion para varios proesos tpios.

Captulo 6: Control Preditivo. Presenta los fundamentos del on-

trol preditivo basado en modelos y desarrolla una apliaion en tiempo real:

ontrol preditivo de la posiion de un servomotor D.C. sujeto a argas no

lineales empleando el algoritmo de la matriz dinamia de ontrol. En su

se

ion problemas, el aptulo desarrolla dise~nos de sistemas de ontrol pre-

ditivo para diversos proesos tpios, naturalmente, empleando el algoritmo

de la matriz dinamia de ontrol.

Captulo 7: Control Robusto. Trata los fundamentos del ontrol

robusto basado en la tenia de ontrol on modelo interno. A ontinuaion,

diha tenia se aplia para el ontrol robusto en tiempo real de la posiion de

un servomotor D.C. modelado on inertidumbres. Tambien, en su se

ion

problemas, el aptulo desarrolla dise~nos de sistemas de ontrol robusto para

diversos proesos tpios, empleando el algoritmo de ontrol on modelo

interno.

Captulo 8: Control No Lineal. Desarrolla los fundamentos rela-

ionados on el ontrol no lineal de proesos empleando la tenia deno-

minada linealizaion por realimentaion. Para validar los fundamentos de

diha tenia, se desarrolla el dise~no e implementaion del sistema de on-

trol por linealizaion de la realimentaion de la posiion de un servomotor

D.C. no lineal. En su se

ion problemas, el aptulo desarrolla dise~nos de

sistemas de ontrol no lineal para diversos proesos tpios.

xiv Prefaio

Pre-requisitos y Conguraion de Cursos

Por su ontenido y su presentaion, este volumen puede ser usado omo libro-

texto en las espeialidades de Ingeniera Eletria, Eletronia, Meania

y/o Meatronia, para el ditado de un urso semestral, tanto de antegrado

(a llevarse en los ultimos semestres) omo de postgrado. Para un urso

de antegrado se sugiere desarrollar los aptulos 1, 2, 3, 4 y 6, y tratar

suintamente los aptulos 5, 7 y 8. Para un urso de postgrado se sugiere

ubrir los aptulos 3 al 8, quedando los aptulos 1 y 2 omo medio de

onsulta.

Por su arater apliativo, por el tratamiento laro y failmente om-

prensible del material presentado y graias a la gran antidad de ejemplos,

problemas y apliaiones desarrollados, este libro puede ser empleado tam-

bien por la gran audienia de ingenieros y tenios espeializados que ejeren

en la industria y por los investigadores de otras areas (fsios, matematios,

entre otros) que deseen familiarizarse on las tenias digitales para dise~nar

e implementar en tiempo real sistemas de ontrol avanzado.

Agradeimientos

La publiaion de este libro fue naniada en parte por el Instituto General

de Investigaion de la UNI. Mi agradeimiento a su Diretor, Dr. Guillermo

Lira. Mi gratitud espeial a mis alumnos que olaboraron on esta publi-

aion: Leonardo Gushiken (aptulos 3 y 4), Omar Tupayahi (aptulos 3

y 8) y Raul Benitez (aptulos 6 y 7). Luis Leina (alumno de la Universidad

Politenia de Catalu~na) olaboro on el aptulo 5. La revision de todo lo

esrito estuvo a argo de mi alumna Claudia Cordova, mientras que Rommel

Romero (mi futuro alumno) se enargo de todo lo relativo a la impresion del

libro.

Arturo Rojas Moreno, Ph.D.

arojasmviabp.om

arojasuni.edu.pe

http://ee.uni.edu.pe/728681F

Captulo 1

Matematia Asistida on

Computadora

Este aptulo es una breve exposiion de los fundamentos matematios relaiona-

dos on el analisis matriial, el analisis vetorial y la transformada de Laplae. El

material sele

ionado esta estrehamente relaionado on el material a desarro-

llarse en los aptulos siguientes. Para mayores detalles del material ubierto se

reomienda onsultar las referenias [18, [19, [20, [21, [22, [14 y el apendie

A de [3. Los alulos, en su gran mayora, se realizan on el auxilio del paquete

MATLAB. Todos los arhivos orrespondientes a los ejeriios desarrolados se

pueden desargar del sitio: http://ee.uni.edu.pe/728681F.

1.1 Calulo Matriial

1.1.1 Operaiones y Tipos de Matries

Nomenlatura

La nomenlatura que se explia a ontinuaion no esta libre de exepiones

a la regla. Tales exepiones seran alaradas onforme aparezan.

Una matriz A de orden (o dimension) n m, la ual sera denotada

siempre on letra mayusula, es un arreglo retangular on sus elementos

a

ij

dispuestos en n las y m olumnas. Es deir:

A = [a

ij

=

2

6

4

a

11

: : : a

1m

.

.

.

.

.

.

a

n1

: : : a

nm

3

7

5

; i = 1; : : : ; n; j = 1; : : : ;m

2 Matematia Asistida on Computadora

Los elementos de una matriz pueden ser numeros (reales o omplejos),

funiones, otras matries, et. Cuando n = 1, A se onvierte en un vetor

la. Cuando m = 1, A toma la forma de un vetor olumna. Sin embargo,

los vetores seran denotados en negrita. Por ejemplo, el vetor olumna x(t)

de orden n se representa omo:

x(t) =

2

6

4

x

1

(t)

.

.

.

x

n

(t)

3

7

5

El vetor la orrespondiente es:

x

T

(t) =

x

1

(t) x

n

(t)

; x(t) =

x

1

(t) x

n

(t)

T

donde el superndie T india transpuesta.

El ambio de dominio (o de argumento) de una matriz o vetor debido a

una transformaion solo afeta al dominio. Por ejemplo, las transformadas

de Laplae de A(t), x(t) e Y(t) (subse

ion 1.3) se representan omo A(s),

x(s) e Y(s) respetivamente.

La relaion entre la salida y(:) y la entrada u(:) de un sistema, depen-

diendo del argumento, se designa omo:

y(t) = g(t) u(t); y(s) = G(s)u(s)

y(k) = g(k) u(k); y(z) = G(z)u(z)

donde el asteriso denota la operaion onvoluion, t y k son los tiempos

ontinuo y disreto, s y z son las variables laplaiana y zeta, G(s) y G(z)

son funiones de transferenia y, g(t) y g(k) son las respuestas del sistema a

un impulso unitario. Mas adelante veremos que el asteriso tambien denota

la operaion onjugada en expresiones omplejas.

Estados de equilibrio de matries y vetores variantes on el tiempo

ontinuo t o disreto k se denotan on una barra sobre la letra empleada.

Por ejemplo, los estados de equilibrio de A(k) e Y(k) son

A(k) e

Y(k)

respetivamente. En muy ontados asos, la barra sobre una variable tiene

el signiado de se~nal reonstruida por un dispositivo de retenion.

En el aso de vetores variantes on el tiempo (ontinuo o disreto),

y uando sea neesario, emplearemos variables reduidas (esritas on le-

tra minusula), las uales tambien se denominan variables de desviaion o

perturbaionales. Por ejemplo, la variable reduida de Y(k) es:

y(k) = Y(k)

Y(k)

1.1 Calulo Matriial 3

Las formas estimadas de A(:), x(:) e Y(:) (para ualquier argumento) se

representan omo

^

A(:),

^

x(:) e

^

Y(:), respetivamente.

Operaiones on Matries

Una matriz A on todos sus elementos a

ij

iguales a ero se denomina matriz

ero o nula y se denota omo A = 0. Dos matries A = [a

ij

y B = [b

ij

son

iguales si son del mismo orden y ademas [a

ij

= [b

ij

.

La suma de dos matries, denotada omo C = AB, solo es posible si

A y B son del mismo orden:

C = [

ij

= AB = [a

ij

b

ij

La multipliaion de dos matries, denotada omo C = AB, solo es

posible si el numero de olumnas de A es igual al numero de las de B. Si

A es de orden nm y B es de orden m r, entones C debe ser de orden

n r. Los elementos de C se determinan omo sigue:

ij

=

m

X

k=1

a

ik

b

kj

; i = 1; 2; : : : ; n; j = 1; 2; : : : ;m

Por ejemplo:

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

2

4

b

11

b

21

b

31

3

5

=

11

21

=

a

11

b

11

+ a

12

b

21

+ a

13

b

31

a

21

b

11

+ a

22

b

21

+ a

23

b

31

Si es un esalar, entones A resulta una matriz en donde ada elemento

queda multipliado por . Es deir:

A = [a

ij

= [a

ij

La multipliaion es asoiativa:

ABCD = (AB)(CD) = A(BCD) = (ABC)D

y distributiva:

(A+B)(C +D) = AC +AD +BC +BD

Cuando AB = BA, se die que A y B son matries que onmutan. Sin

embargo, en general, la multipliaion no es onmutativa:

AB 6= BA


Si AB = 0, implia que A = 0 o B = 0, o que A y B sean singulares

(euaion (1.1)). Si AB = AC, no neesariamente implia que B = C.

La matriz transpuesta, denotada omo A

T

, es la matriz A on sus las y

olumnas interambiadas. Por onsiguiente:

(A

T

)

T

= A; (A+B)

T

= A

T

+B

T

; (AB)

T

= B

T

A

T

Un numero omplejo se designa omo s = + j!, donde j =

p

1 es la

unidad de los numeros imaginarios y tanto omo ! son numeros reales.

La operaion onjugada, denotada omo A

, toma la onjugada a todos los

elementos omplejos de A. Para la operaion onjugada se umple:

(A

)

= A; (A+B)

= A

+B

; (AB)

= A

B

La operaion hermitiana, denotada omo A

H

, toma la onjugada y luego

la transpuesta (o toma la transpuesta y luego la onjugada) de la matriz A.

Es deir:

A

H

= (A

)

T

= (A

T

)

Por onsiguiente:

(A

H

)

H

= A; (A+B)

H

= A

H

+B

H

; (AB)

H

= B

H

A

H

Tipos de Matries

Si el orden de una matrizA es nn, entones la matriz se denomina uadrada

de orden n. Esta matriz posee una diagonal prinipal, o simplemente una

diagonal on elementos a

ii

. La traza de una matriz uadrada se dene omo:

traza(A) = a

11

+ + a

nn

Una matriz uadrada se denomina matriz diagonal uando los elementos que

no perteneen a su diagonal son todos eros:

D = [d

ii

=

2

6

6

6

4

d

11

0 0 : : : 0

0 d

22

0 : : : 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0 : : : d

nn

3

7

7

7

5

Una matriz uadrada se denomina triangular superior si los elementos debajo

de su diagonal son todos eros. Si los elementos enima de de su diagonal

son todos eros, entones la matriz es triangular inferior.


La matriz identidad I, denotada tambien omo I

n

(n es el orden de la

matriz), es una matriz diagonal que solo posee unos. Si A es uadrada,

AI = IA, y en general se umple que:

A es simetria si: A

T

= A

A es antisimetria si: A

T

= A

A es ortogonal si: AA

T

= A

T

A = I

A es periodia si: A

+1

= A; es un entero positivo

A es nilpotente si: A

= 0; es un entero positivo

A es hermitiana si: (A

T

)

= (A

)

T

= A

H

= A

A es antihermitiana si: A

H

= A

A es unitaria si: AA

H

= A

H

A = I

A es normal si: AA

H

= A

H

A

A

1

es inversa de A si: AA

1

= A

1

A = I

A es singular si: det(A) = 0 (1.1)

donde det(A) denota el determinante de A, punto que se trata en la siguiente

subse

ion.

Una matriz uadrada A on elementos omplejos puede ser esrita o-

mo la suma de una matriz hermitiana B =

1

2

(A + A

H

) mas una matriz

antihermitiana C =

1

2

(AA

H

). Es deir:

A = B + C =

1

2

(A+A

H

) +

1

2

(AA

H

)

1.1.2 Determinantes y Matriz Inversa

Determinantes

El determinante de la matriz A = [a

ij

de orden 2 es:

det

a

11

a

12

a

21

a

22

= a

11

a

22

a

12

a

21

(1.2)

Para obtener el determinante de una matriz de orden n > 2 podemos

emplear el metodo de la expansion. Si tomamos omo base la primera la,

el determinante de una matriz A se obtiene de:

det(A) =

n

X

j=1

(1)

1+j

a

1j

det(A

1j

) = (1)

1+1

a

11

det(A

11

)+(1)

1+2

a

12

det(A

12

)+


donde A

1j

, j = 1; : : : ; n es la matriz que resulta luego de eliminar la la 1

y la olumna j de A. Por ejemplo, el determinante de una matriz de orden

n = 3 se alula omo:

det

0

2

4

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33

3

5

1

A

= (1)

1+1

a

11

det

a

22

a

23

a

32

a

33

+

(1)

1+2

a

12

det

a

21

a

23

a

31

a

33

+ (1)

1+3

a

13

det

a

21

a

22

a

31

a

32

(1.3)

Con relaion a dos matries uadradas A y B de orden n:

1. Si ada elemento de una la o olumna de A es ero, det(A) = 0.

2. det(A) = det(A

T

).

3. Si multiplia una la o olumna de A, entones el det(A) queda

multipliado por .

4. Si B se obtiene interambiando dos las o olumnas de A, entones

det(B) = det(A).

5. Si dos las o olumnas de A son iguales, entones det(A) = 0.

6. Si sumamos un multiplo de una la o olumna de A a ualquiera de

sus las o olumnas, el valor del det(A) no ambia.

7. det(AB) = det(BA) = det(A)det(B)

8. Si los eigenvalores de A son

1

;

2

; : : : ;

n

, det(A) =

1

2

: : :

n

.

La determinaion de eigenvalores se trata en la subse

ion 1.2.2.

Matriz Inversa

Si A y B son dos matries no singulares; es deir, si det(A) 6= 0 y det(B) 6= 0,

entones:

(AB)

1

= B

1

A

1

; (A

T

)

1

= (A

1

)

T

((A

)

T

)

1

= ((A

1

)

)

T

; det(A

1

) =

1

det(A)

Si A es una matriz no singular de orden 2, vale reordar que:

A =

a b

d

; A

1

=

1

ad b

d b

a

(1.4)


Si A es una matriz no singular de orden 3:

A =

2

4

a b

d e f

g h i

3

5

A

1

=

1

det(A)

2

6

6

6

6

6

6

4

det

e f

h i

det

b

h i

det

b

e f

det

d f

g i

det

a

g i

det

a

d f

det

d e

g h

det

a b

g h

det

a b

d e

3

7

7

7

7

7

7

5

det(A) = aei+ gbf + dh ge ahf idb (1.5)

Lema de Inversion de Matries. Si A, B, C y D son matries no

singulares de orden nn, nm, mn y nn respetivamente, entones:

(A+BDC)

1

= A

1

A

1

B(D

1

+ CA

1

B)

1

CA

1

(1.6)

Este lema se demuestra pre-multipliando ada miembro de la euaion (1.6)

por (A+BDC). Luego, efetuar las operaiones matriiales resultantes:

(A+BDC)(A +BDC)

1

= I

(A+BDC)[A

1

A

1

B(D

1

+ CA

1

B)

1

CA

1

=

I+BDCA

1

B(D

1

+CA

1

B)

1

CA

1

BDCA

1

B(D

1

+CA

1

B)

1

CA

1

=

I +BDCA

1

(BDD

1

+BDCA

1

B)(D

1

+ CA

1

B)

1

CA

1

=

I +BDCA

1

BD(D

1

+ CA

1

B)(D

1

+ CA

1

B)

1

CA

1

=

I +BDCA

1

BDCA

1

= I

Valor Absoluto. Si g = g

r

+ jg

i

es un numero o una funion real o

ompleja, su valor absoluto, onoido tambien omo modulo o magnitud y

denotado omo jgj, es un numero real positivo o ero. El angulo de g en rad

se denota omo \g. Si


Si G es una matriz ompleja on elementos g

ij

, entones las operaiones

anteriores se ejeutan elemento por elemento; es deir:


Tabla 1.1: Comandos para omputo matriial

Operaion Codigo MATLAB

Suma A+B A + B

Resta AB A - B

Multipliaion AB A*B

Multipliaion A; : omplejo kappa*A

Conjugada A

onj(A)

Transpuesta (A real) A

T

A'

Transpuesta (A ompleja) A

T

onj(A'); A.'

Hermitiana A

H

A'

Potenia A

n

A^n

Determinante det(A) det(A)

Inversa A

1

inv(A)

Division izquierda A*X = B; X = A\B

Division dereha X*A = B; X = B/A

Valor absoluto jAj abs(A)

Angulo \A angle(A)

Parte real


Soluion: Las matries pedidas son:

B =

1

2

(A+A

H

); C =

1

2

(AA

H

)

y se puede omprobar que B = B

H

y C = C

H

. Ver programa ejem1 2.m.

% ejem1_2.m MATRICES HERMITIANAS

lear all

A = [1-j 2-j 3-j

4j -2 3+5j

6-j 7-j 8+3j;

B = (A + A')/2; C = (A - A')/2;

ZB = B - B'; % ZB RESULTA LA MATRIZ CERO

ZC = C + C'; % ZC RESULTA LA MATRIZ CERO

Ejemplo 1.3

Multipliaion on Partiion de Matries.- Dos matries A

nm

y B

mp

(los subndies indian las dimensiones) pueden ser partiionadas omo sigue:

A =

2

6

4

A

n

1

m

1

A

n

1

m

m

.

.

.

.

.

.

A

n

n

m

1

A

n

n

m

m

3

7

5

; B =

2

6

4

B

m

1

p

1

B

m

1

p

p

.

.

.

.

.

.

B

m

m

p

1

B

m

m

p

p

3

7

5

La ondiion neesaria para realizar el produto C

np

= A

nm

B

mp

empleando

partiiones, es que las olumnas de A y las las de B sean partiionadas

en la misma forma. Por tanto, n = n

1

+ + n

n

, m = m

1

+ +m

m

y

p = p

1

+ + p

p

. Determinar si el produto siguiente es valido y si lo es,

obtener C = AB.

AB =

2

4

A

22

A

23

A

21

A

32

A

33

A

31

A

42

A

43

A

41

3

5

2

4

B

22

B

23

B

32

B

33

B

12

B

13

3

5

Soluion: Podemos notar que para A: n = 2+3+4 = 9, m = 2+3+1 = 6,

y para B: m = 2+3+1 = 6 y p = 2+3 = 5. Por onsiguiente, la partiion

es orreta. La multipliaion ahora es direta:

C =

2

4

A

22

B

22

+A

23

B

32

+A

21

B

12

A

22

B

23

+A

23

B

33

+A

21

B

13

A

32

B

22

+A

33

B

32

+A

31

B

12

A

32

B

23

+A

33

B

33

+A

31

B

13

A

42

B

22

+A

43

B

32

+A

41

B

12

A

42

B

23

+A

43

B

33

+A

41

B

13

3

5

En notaion MATLAB, onoiendo las matries partiionadas, el produto

resulta:


C = [A22*B22+A23*B32+A21*B12 A22*B23+A23*B33+A21*B13

A32*B22+A33*B32+A31*B12 A32*B23+A33*B33+A31*B13

A42*B22+A43*B32+A41*B12 A42*B23+A43*B33+A41*B13;

Ejemplo 1.4

Matriz Aumentada.- Si los vetores x, y, v y w son de orden n, m, p y

q respetivamente, obtener una euaion que reemplae a las dos euaiones

difereniales siguientes:

dx

dt

= Ax+Bv;

dy

dt

= Cy+Dw

Soluion: Las matries A on C y B on D forman matries aumentadas

omo sigue:

dx

dt

dy

dt

=

A 0

0 C

x

y

+

B 0

0 D

v

w

Ejemplo 1.5

Si los

i

son los eigenvalores de la matrizA de orden n, omprobar numeriamente

que:

det(A) =

1

2

: : :

n

; i = 1; : : : ; n

Soluion: Ver el programa ejem1 5.m.

% ejem1_5.m COMPRUEBA QUE det(A)=L(1)L(2)L(3)L(4)

lear all

A = [1-j 2-j 3-j -3+8j

4j -2 3+5j 4-2j

6-j 7-j 8+3j 3+j

2 -1 j 0;

L = eig(A); % DETERMINA LOS EIGENVALORES DE A

detA = det(A); P = L(1)*L(2)*L(3)*L(4);

% SE DEBE CUMPLIR QUE: P = detA

Ejemplo 1.6

Conoidas las matriesA

nn

, B

nm

, C

mn

yD

mm

on det(A) 6= 0 y det(D) 6= 0,

y deniendo:

E =

A B

0 D

; G =

A 0

C D

; H =

A B

C D


demuestre numeriamente que:

det(E) = det(G) = det(A)det(D)

det(H) = det(A)det(D CA

1

B) = det(D)det(A BD

1

C)

Soluion: El siguiente programa demuestra numeriamente lo pedido.

% ejem1_6.m DETERMINANTE DE MATRICES PARTICIONADAS

lear all

% MATRICES DATOS CON n=2 Y m=3:

A = [-3+j 4-2j

5-8j -7-2j;

B = [ j -1+3j 2-5j

4+7j 6 3+8j;

C = [ 2-j j

1+j -5j

-3-7j 8;

D = [2+j -3-j 4j

1+3j 0 -7j

1+j -9-2j -5;

% CONDICION: det(A) Y det(D) DISTINTOS DE 0

% zeros(m,n) CREA UNA MATRIZ DE CEROS DE ORDEN (m,n)

E = [A B

zeros(3,2) D;

G = [A zeros(2,3)

C D;

M = det(A)*det(D);

% SE DEBE CUMPLIR: det(E) = det(G) = M DISTINTO DE 0

H = [A B

C D;

J = det(A)*det(D-C*inv(A)*B);

K = det(D)*det(A-B*inv(D)*C);

% SE DEBE CUMPLIR: det(H) = det(J) = K

Ejemplo 1.7

Demostrar numeriamente que:

A B

0 D

1

=

A

1

A

1

BD

1

0 D

1

A 0

C D

1

=

A

1

0

D

1

CA

1

D

1



% ejem1_7.m INVERSION DE MATRICES PARTICIONADAS

lear all


A = [-3+j 4-2j

5-8j -7-2j;

B = [ j -1+3j 2-5j

4+7j 6 3+8j;

C = [ 2-j j

1+j -5j

-3-7j 8;

D = [2+j -3-j 4j

1+3j 0 -7j

1+j -9-2j -5;

% CONDICION: det(A) y det(D) DISTINTOS DE 0

% LA MATRIZ CERO DEBE SER DE ORDEN (m,n)

Z1 = zeros(3,2);

E = [A B

Z1 D;

G = [inv(A) -inv(A)*B*inv(D)

Z1 inv(D);

% LA MATRIZ CERO DEBE SER DE ORDEN (m,n):

Z2 = zeros(2,3);

F = [A Z2

C D;

H = [inv(A) Z2

-inv(D)*C*inv(A) inv(D);

% E*G, G*E, F*H y H*F DEBEN RESULTAR MATRICES IDENTIDAD

Ejemplo 1.8

Demostrar numeriamente que:

A B

C D

1

=

A

1

+A

1

B(D CA

1

B)

1

CA

1

A

1

B(D CA

1

B)

1

(D CA

1

B)

1

(D CA

1

B)

1

A B

C D

1

=

(ABD

1

C)

1

(ABD

1

C)

1

BD

1

D

1

C(ABD

1

C)

1

D

1

C(ABD

1

C)

1

BD

1

+D

1

Soluion: Ver en el siguiente programa la demostraion pedida.

% ejem1_8.m INVERSION DE MATRICES PARTICIONADAS

lear all


A = [-3+j 4-2j


5-8j -7-2j;

B = [ j -1+3j 2-5j

4+7j 6 3+8j;

C = [ 2-j j

1+j -5j

-3-7j 8;

D = [2+j -3-j 4j

1+3j 0 -7j

1+j -9-2j -5;

% CONDICION: det(D) Y det(D-C*inv(A)*B) DISTINTOS DE 0

E = [A B;C D;

G11 = inv(A) + inv(A)*B*inv(D-C*inv(A)*B)*C*inv(A);

G12 = -inv(A)*B*inv(D-C*inv(A)*B);

G21 = -inv(D-C*inv(A)*B)*C*inv(A);

G22 = inv(D-C*inv(A)*B);

G = [G11 G12;G21 G22;

% CONDICION: det(D) Y det(A-B*inv(D)*C) DISTINTOS DE 0

H11 = inv(A-B*inv(D)*C);

H12 = -inv(A-B*inv(D)*C)*B*inv(D);

H21 = -inv(D)*C*inv(A-B*inv(D)*C);

H22 = inv(D)*C*inv(A-B*inv(D)*C)*B*inv(D)+inv(D);

H = [H11 H12;H21 H22;

% E*G, E*H, G*E y H*E DEBEN RESULTAR MATRICES IDENTIDAD

1.1.3 Derivadas e Integrales on Matries y Vetores

Derivada e integral de una matriz A(t) = [a

ij

(t) de orden nm:

d

dt

A(t) =

2

6

4

d

dt

a

11

(t)

d

dt

a

1m

(t)

.

.

.

.

.

.

d

dt

a

n1

(t)

d

dt

a

nm

(t)

3

7

5

;

Z

A(t) =

2

6

4

R

a

11

(t)

R

a

1m

(t)

.

.

.

.

.

.

R

a

n1

(t)

R

a

nm

(t)

3

7

5

(1.7)

Derivada e integral de un vetor x(t) = [x

1

: : : x

n

T

:

d

dt

x(t) =

2

6

4

d

dt

x

1

(t)

.

.

.

d

dt

x

n

(t)

3

7

5

;

Z

x(t) =

2

6

4

R

x

1

(t)

.

.

.

R

x

n

(t)

3

7

5

(1.8)

Cuando las matries A y B y el esalar son funiones de t, se umple:

d

dt

[A+B =

d

dt

A+

d

dt

B;

d

dt

[AB =

dA

dt

B +A

dB

dt

d

dt

[Ak =

dA

dt

k +A

dk

dt

;

d

dt

A

1

= A

1

dA

A

1

(1.9)

1.2 Analisis Vetorial 15

Derivada parial de una funion esalar J(x) de variable vetorial:

J

x

=

2

6

4

J

x

1

.

.

.

J

x

n

3

7

5

;

2

J

x

2

=

2

6

6

4

2

J

x

2

1

2

J

x

1

x

2

2

J

x

1

x

n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2

J

x

n

x

1

2

J

x

n

x

2

2

J

x

2

n

3

7

7

5

(1.10)

Derivada total de una funion esalar V (x(t)) de variable vetorial:

d

dt

V (x(t)) =

V

x

T

dx

dt

(1.11)

Jaobiano de una funion vetorial f(x) de ordenm on argumento vetorial

de orden n:

f

x

=

2

6

6

6

6

4

f

1

x

1

f

2

x

1

f

m

x

1

f

1

x

2

f

2

x

2

f

m

x

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

f

1

x

n

f

2

x

n

f

m

x

n

3

7

7

7

7

5

(1.12)

Si la matriz uadrada A y los vetores x e y son reales y de orden n se

umple:

x

x

T

Ax = Ax+A

T

x

x

x

T

Ay = Ay;

y

x

T

Ay = A

T

x (1.13)

Si A es una matriz hermitiana de orden n y x e y son vetores omplejos de

orden n, se umple:

x

x

H

Ax = Ax

x

x

H

Ay = Ay;

y

x

H

Ay = A

T

x

(1.14)

1.2 Analisis Vetorial

1.2.1 Independenia, Ortonormalidad y Normas

Independenia de Vetores

Se die que los vetores x

i

, i = 1; : : : ; n son linealmente independientes si:

n

X

i=1

i

x

i

= 0


La euaion anterior implia que las onstantes

i

= 0, i = 1; : : : ; n, o que

det([x

1

: : : x

n

) 6= 0.

Operaion on Vetores Complejos y Reales

Si x e y son vetores omplejos de orden n:

x

H

y = (y

H

x)

= y

T

x

=

n

X

i=1

x

i

y

i

x

H

x =

n

X

i=1

x

i

x

i

=

n

X

i=1

jx

i

j

2

xx

H

=

2

6

4

x

1

x

1

x

1

x

2

: : : x

1

x

n

: : :

.

.

.

.

.

.

x

n

x

1

x

n

x

2

: : : x

n

x

n

3

7

5

(1.15)

Si x e y son vetores reales de orden n:

x

T

y = y

T

x =

n

X

i=1

x

i

y

i

; x

T

x =

n

X

i=1

x

2

i

xx

T

=

2

6

4

x

2

1

x

1

x

2

: : : x

1

x

n

: : :

.

.

.

.

.

.

x

n

x

1

x

n

x

2

: : : x

2

n

3

7

5

(1.16)

Vetores Ortonormales

Los vetores reales x

1

; x

2

; : : : son ortonormales si x

T

i

x

j

= 0 uando i 6= j y

x

T

i

x

j

6= 0 uando i = j.

Normas de Vetores y Matries

Norma de un Vetor

En general, una norma es una medida del tama~no de un vetor o matriz. La

ejeuion de la norma resulta en un esalar positivo. La norma de un vetor

denotada omo k x k posee las propiedades siguientes:

k x k 0 para todo x 6= 0


k x k= 0 si y solo si x = 0

k x k=k kk x k es un esalar

Desigualdad triangular: k x+ y kk x k + k y k

Desigualdad de Shwarz: jx

H

yj k x kk y k

La norma mas empleada es la Eulidiana:

k x k

2

= (x

H

x)

1=2

=

p

jx

1

j

2

+ jx

2

j

2

+ + jx

n

j

2

(1.17)

que es un aso partiular de la siguiente norma:

k x k=

q

(Px)

H

(Px) =

p

x

H

P

H

Px =

q

x

H

Qx) 0; Q = P

H

P = Q

H

Otras normas pueden ser denidas omo:

k x k=

n

X

i=1

jx

i

j; k x k

1

= max

i

jx

i

j; k x k

1

= min

i

jx

i

j

k x k

p

=

n

X

i=1

jx

i

j

p

!

1=p

Norma de una Matriz

La norma de una matriz A de orden n es el menor valor de tal que:

k A k k A k

Tal norma umple las propiedades de la norma de un vetor. En adiion,

tambien umple:

k A k=k A

H

k; k A k=k A

T

k; k Ax kk A kk x k

k A k

2

= max

x

[x

H

A

H

Ax; si x

H

x = 1

jj k A k; si es un eigenvalor de A

Otras normas para una matriz A de orden n son:

k A k=

n

X

i=1

n

X

j=1

ja

ij

j; k A k

F

=

0

n

X

i=1

n

X

j=1

ja

ij

j

2

1

A

1=2


k A k

1

= max

j

m

X

i=1

ja

ij

j

!

; k A k

1

= max

i

0

n

X

j=1

ja

ij

j

1

A

k A k

2

= max

i

q

i

(A

H

A)

1.2.2 Rango de una Matriz, Eigenvalores y Eigenvetores

Rango de una Matriz

Si A es una matriz de orden nm, su rango, denotado omo rango(A), es

igual al numero maximo r de sus vetores olumnas linealmente indepen-

dientes. Si A es una matriz de orden nm y B es de orden m k:

rango(AB) = rango(A

H

) = rango(A

H

A) = rango(AA

H

)

rango(AB) = rango(A

T

) = rango(A

T

A) = rango(AA

T

)

rango(AB) rango(A); rango(AB) rango(B)

rango(AB) = rango(A); si A y B son no singulares

rango(AB) = rango(B); si A y B son no singulares

Si A es una matriz de orden n y det(A) 6= 0, entones:

rango(A) = n

Eigenvalores y Eigenvetores

Un eigenvalor de una matriz de orden n, onoido tambien omo valor pro-

pio, modo, \eigenvalue", valor o raz araterstia, es un esalar que

permite una soluion no trivial de la euaion:

Ax = x x 0 (1.18)

Fatorizando x obtenemos la euaion araterstia de A:

det(I A) (1.19)

Asoiado on ada eigenvalor

i

existe un eigenvetor e

i

de magnitud arbi-

traria que es soluion de Ae

i

= e

i

. Para un eigenvetor normalizado

^

e, su

norma Eulidiana es uno: k

^

e k= 1.


1.2.3 Diagonalizaion de Matries

Matries Similares

Se die que dos matries A y B de orden n son similares si existe una matriz

P no singular tal que P

1

AP = B y B = PAP

1

.

Sea A una matriz de orden n que posee n eigenvalores distintos. Sea

E = [e

1

: : : e

n

una matriz formada on los eigenvetores de A y sea

una matriz diagonal uyos elementos son los eigenvalores de A. Entones se

die que A y son similares porque:

E

1

AE = =

2

6

6

6

4

1

0 : : : 0

0

2

: : : 0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 : : :

n

3

7

7

7

5

; EE

1

= A (1.20)

Forma Canonia de Jordan

Si una matriz A de orden n posee r eigenvetores linealmente independientes,

la forma de Jordan es una matriz J que posee n r unos sobre la diagonal,

on todos los demas elementos iguales a ero. Por ejemplo, si los valores

propios de A de orden n = 5 son

1

;

1

;

1

;

2

;

3

, entones son posibles

varias formas de J (se muestran uatro):

J

1

=

2

6

6

6

6

4

1

1 0 0 0

0

1

1 0 0

0 0

1

0 0

0 0 0

2

0

0 0 0 0

3

3

7

7

7

7

5

J

2

=

2

6

6

6

6

4

1

1 0 0 0

0

1

0 0 0

0 0

1

0 0

0 0 0

2

0

0 0 0 0

3

3

7

7

7

7

5

J

3

=

2

6

6

6

6

4

1

0 0 0 0

0

1

0 0 0

0 0

1

0 0

0 0 0

2

0

0 0 0 0

3

3

7

7

7

7

5

J

4

=

2

6

6

6

6

4

1

0 0 0 0

0

2

0 0 0

0 0

1

1 0

0 0 0

1

1

0 0 0 0

3

3

7

7

7

7

5

Notar que J

1

y J

4

deben poseer tres eigenvetores linealmente independien-

tes, la matriz diagonal J

3

ino y J

2

uatro. Para un problema espeo, la

forma orreta de la matriz J se determina de auerdo a las reglas siguientes:

1. Si una matriz uadrada A de orden k posee k eigenvalores multiples,

y si el rango de [I A es k s, donde 1 s k, entones exis-


ten s eigenvetores linealmente independientes asoiados on . Por

onsiguiente, existen s bloques de Jordan.

2. La suma de los ordenes de los bloques de Jordan derivados on la regla

anterior debe ser igual a la multipliidad k (ver ejemplo 1.14).

1.2.4 Formas Cuadratias y Bilineales

Formas Cuadratias

Una forma uadratia es un polinomio real que ontiene terminos de la forma

a

ij

x

i

x

j

. Si A = [a

ij

= A

H

es una matriz hermitiana de orden n y x es un

vetor omplejo de orden n, entones:

x

H

Ax =

n

X

i=1

n

X

j=1

a

ij

x

i

x

j

; a

ji

= a

ij

Si A = [a

ij

= A

T

es una matriz real y simetria de orden n y x es un vetor

real de orden n:

x

T

Ax =

n

X

i=1

n

X

j=1

a

ij

x

i

x

j

; a

ji

= a

ij

Formas Bilineales

Una forma bilineal es un polinomio real que ontiene terminos de la forma

a

ij

x

i

y

j

. Si A = [a

ij

es una matriz ompleja de orden n, y si los vetores

omplejos x e y son de orden n y m respetivamente, entones:

x

H

Ay =

n

X

i=1

m

X

j=1

a

ij

x

i

y

j

Si A = [a

ij

es real de orden n, y si los vetores reales x e y son de orden n

y m respetivamente, entones:

x

T

Ay =

n

X

i=1

m

X

j=1

a

ij

x

i

y

j


Deniion y Semideniion de Matries

Para una matriz A de orden n, las expresiones A > 0, A 0, A < 0 y

A 0 denotan que A es denida positiva, semidenida positiva, denida

negativa y semidenida negativa respetivamente. Hemos visto que la forma

uadratia x

H

Ax esta asoiada on la matriz hermitiana A, as omo x

T

Ax

lo esta on la matriz real y simetria A.

Una matriz A de orden n es denida positiva si su forma uadratia

asoiada es siempre positiva, exepto uando x = 0. Si todos los eigenvalores

de A son positivos, entones A > 0.

Una matriz A de orden n es semidenida positiva si su forma uadratia

asoiada es mayor o igual a ero uando x 6= 0. Si los eigenvalores de A son

positivos o nulos, entones A 0.

Una matriz A de orden n es denida negativa si su forma uadratia aso-

iada es siempre negativa, exepto uando x = 0. Si todos los eigenvalores

de A son negativos, entones A < 0.

Una matriz A de orden n es semidenida negativa si su forma uadratia

asoiada es menor o igual a ero uando x 6= 0. Si los eigenvalores de A son

negativos o nulos, entones A 0.

Si la matriz A posee eigenvalores positivos y negativos, entones A es

indenida.

La tabla 1.2 muestra los omandos para ejeutar otras operaiones ma-

triiales y vetoriales empleando MATLAB.

Ejemplo 1.9

Resolver el siguiente sistema (mas inognitas que euaiones):

(5 j)x

1

+ (2 + 3j)x

2

+ (3 j)x

3

+ (1 + 4j)x

4

+ (6 + j)x

5

= 2 9j

4jx

1

2x

2

+ (3 + 5j)x

3

7jx

4

+ (8 2j)x

5

= 4 j

(6 j)x

1

+ (7 j)x

2

+ (8 3j)x

3

+ (3 j)x

4

+ (1 + 4j)x

5

= 3 + j


% ejem1_9.m SISTEMA DE ECUACIONES: MAS INCOGNITAS QUE ECUACIONES

lear all

A = [5-j 2+3j 3-j -1+4j -6+j

4j -2 3+5j -7j 8-2j

6-j 7-j 8-3j 3-j 1+4j;


Tabla 1.2: Comandos para omputo matriial y vetorial

Operaion Codigo MATLAB

Produto interno omplejo x

H

y x'*y

Produto interno real x

T

y x'*y

Produto por elemento a

ij

b

ij

A.*B

Division por elemento a

ij

=b

ij

A.\B; A./B

Potenia por elemento (a

ij

)

b

ij

A.^B

Norma matriial k A k

1

= max

j

P

m

i=1

ja

ij

j norm(A,1)


2

= max

i

p

i

(A

H

A) norm(A,2)


1

= max

i

P

n

j=1

ja

ij

j norm(A,inf)


F

=

P

ij

ja

ij

j

2

1=2

norm(A,'fro')

Norma vetorial k x k

p

= (

P

n

i=1

jx

i

j

p

)

1=p

norm(x,p)


2

=

p

x

H

x norm(x)


1

= max

i

jx

i

j norm(x,inf)


1

= min

i

jx

i

j norm(x,-inf)

Rango rank(A)

Eigenvalores

i

eig(A)

Eigenvetores E = [e

1

: : : e

n

[E,D=eig(A)


B = [2-9j;4-j;3+j;

X = A\B; %

% X =

% 3.5719 - 3.4126i --> x1;

% 0 --> x2

% -2.8535 + 1.6221i --> x3

% 0 --> x4

% 0.9991 - 0.4860i --> x5

Ejemplo 1.10

Resolver el siguiente sistema (menos inognitas que euaiones):

(5 j)x

1

+ (2 + 3j)x

2

+ (3 j)x

3

= 2 9j

4jx

1

2x

2

+ (3 + 5j)x

3

= 4 j

(6 j)x

1

+ (7 j)x

2

+ (8 3j)x

3

= 3 + j

(1 + 4j)x

1

+ (6 + j)x

2

+ (3 j)x

3

= 3 + 7j

7jx

1

+ (8 2j)x

2

+ (1 + 4j)x

3

= 9


% ejem1_10.m SISTEMA DE ECUACIONES: MENOS INCOGNITAS QUE ECUACIONES

lear all

A = [5-j 2+3j 3-j

4j -2 3+5j

6-j 7-j 8-3j

-1+4j -6+j 3-j

-7j 8-2j 1+4j;

B = [2-9j;4-j;3+j;-3+7j;-9;

X = A\B;

% X =

% 1.2270 - 2.1969i --> x1

% 0.6871 + 1.2202i --> x2

% -0.9472 + 0.4153i --> x3

Ejemplo 1.11

Comprobar numeriamente que:

x

H

y = (y

H

x)

= y

T

x



% ejem1_11.m CALCULO VECTORIAL

lear all

% VECTORES DATOS

x = [-1+j;3-5j;-5+6j;8-9j;4-2j;-1+j;

y = [-5+j;-3+j;-8+9j;5-6j;2+7j;-3-j;

% COMPROBAR QUE x'*y = onj(y'*x) = onj(y')*onj(x)

p = x'*y; q = onj(y'*x); r = onj(y')*onj(x);

[p q r % p, q y r DEBEN SER IGUALES

Ejemplo 1.12

En el siguiente programa se alulan diferentes normas matriiales y veto-

riales.

% ejem1_12.m NORMAS

lear all

% VECTOR DATO

x = [-1+j;3-5j;-5+6j;8-9j;4-2j;-1+j;

a = norm(x,5); % NORMA p = 5 (a = 12.3798)

b = norm(x,2); % NORMA EUCLIDIANA (b = 16.2481)

= norm(x,inf); % NORMA INFINITO ( = 12.0416)

d = norm(x,-inf); % NORMA -INFINITO (d = 1.4142)

% MATRIZ DATO

A = [1-j 2-j 3-j -4-j

4j -2 3+5j 2-8j

6-j 7-j 8+3j -7+3j

3+5j 2-8j 1-j 2-9j;

e = norm(A); % MAXIMO EIGENVALOR DE A: e = 18.7269

f = norm(A,2); % LO MISMO QUE norm(A): e = f = 18.7269

g = norm(A,1); % max(sum(abs(A)))): g = 29.2046

h = norm(A,inf); % max(sum(abs(A'))): h = 29.3136

k = norm(A,'inf'); % IGUAL QUE norm(A,inf): k = h = 29.3136

m = norm(A,'fro'); % sqrt(sum(diag(A'*A))): m = 23.7276

p = 'fro'; % p DEBE SER 1, 2, inf o 'fro'

n = norm(A,2); % NORMA p: n = 18.7269

Ejemplo 1.13

Sean las matries A

nm

, B

mp

y C

mm

. Demostrar numeriamente las siguien-

tes propiedades del rango: rango(A) min(n;m); rango(A) = rango(A

H

);

rango(AB) min(rango(A); rango(B)); rango(CB) = rango(B).

Soluion: El siguiente programa presenta las demostraiones pedidas.


% ejem1_13.m PROPIEDADES DEL RANGO

lear all

% MATRICES DATO

A = [-1+j 3-5j -5+6j -2+5j

8-9j 4-2j -1+j -4

-2+3j 4-6j -2-5j 7j; % ORDEN (3,4)

B = [1+j -3-5j

8+9j -4+2j

-2+3j -4-6j

-5-6j -2+5j; % ORDEN (4,2)

C = [-1+j -2+j 3-j -5-7j

4-2j -1+j -4 2

4-6j -2-5j 7j -j

7j -1 9j 4j; % ORDEN (4,4)

rA = rank(A); rAH = rank(A'); rB = rank(B);

rAB = rank(A*B); rCB = rank(C*B);

% SE DEBE CUMPLIR: rA MENOR O IGUAL QUE min(3,4);

% rA = rAH

% rAB MENOR O IGUAL QUE min(rA,rB)

% rCB = rB

Ejemplo 1.14

El siguiente programa determina la forma de Jordan para la matriz:

A =

2

6

6

4

0 1 0 3

0 1 1 1

0 0 0 1

0 0 1 2

3

7

7

5

% ejem1_14.m FORMA CANONICA DE JORDAN

lear all

A = [0 1 0 3;0 -1 1 1;0 0 0 1;0 0 -1 -2; % ORDEN 4

[E D = eig(A);

% E = % MATRIZ DE EIGENVECTORES

% 1.0000 -0.7071 0.9045 0.7068

% 0 0.7071 0 -0.7074

% 0 0 0.3015 -0.0002

% 0 0 -0.3015 0.0002

% D = % LOS EIGENVALORES DE A FORMAN LA DIAGONAL DE D

% 0 0 0 0

% 0 -1 0 0


% 0 0 -1 0

% 0 0 0 -1

rank((-1)*eye(4)-A); % RESULTA 2 => 2 BLOQUES DE JORDAN

% ASOCIADOS CON LA RAIZ TRIPLE (-1)

% FORMA DE JORDAN: 0 0 0 0

% 0 -1 1 0

% 0 0 -1 0

% 0 0 0 -1

Ejemplo 1.15

Determinar la deniion de las matries siguientes:

A =

2

4

2 2 2

2 6 0

1 0 2

3

5

; B =

2

4

1 2 1

2 4 2

3 6 0

3

5


% ejem1_15.m DEFINICION DE MATRICES

lear all

A = [2 2 -2;2 6 0;-1 0 2;

EigA = eig(A); % EIGENVALORES DE A: 0.1996, 6.8922, 2.9083

% A > 0 DADO QUE TODOS SUS EIGENVALORES SON POSITIVOS

B = [1 2 1;2 4 2;3 6 0;

EigB = eig(B); % EIGENVALORES DE B: 0, 7.1098, -2.1098

% B ES INDEFINIDA PUES UN EIGENVALOR ES > 0 Y EL OTRO ES < 0

1.3 La Transformada de Laplae

La transformada de Laplae de una funion g(t) se dene omo:

g(s) = L[g(t) =

Z

1

0

g(t)e

st

dt (1.21)

donde s es la variable laplaiana. La transformada de Laplae es util para

modelar sistemas lineales invariantes on el tiempo. Su transformada inversa

se designa omo:

g(t) = L

1

[g(s) (1.22)

Como ejemplo, la transformada de Laplae de la funion g(t) = e

at

, donde

a es real, se determina omo sigue:

L[e

at

=

Z

1

0

e

at

e

st

dt =

"

e

(s+a)t

s+ a

#

1

0

=

1

s+ a

1.3 La Transformada de Laplae 27

La tabla 1.3 muestra la transformada de Laplae de algunas funiones. Al-

gunas de sus propiedades se muestran en la tabla 1.4.

Tabla 1.3: Transformadas de Laplae

Desripion g(t) g(s)

Impulso unitario (t) 1

Esalon unitario

1

s

Rampa unitaria t

1

s

2

Rampa de orden n t

n

n!

s

n+1

; n! = n(n 1) : : :

Exponenial e

at

1

s+a

Seno sen!t

!

s

2

+!

2

Coseno os!t

s

s

2

+!

2

Seno amortiguado e

at

sen!t

!

(s+a)

2

+!

2

Coseno amortiguado e

at

os!t

s+a

(s+a)

2

+!

2

Tabla 1.4: Propiedades de la transformada de Laplae

Desripion Propiedad

Derivaion L

h

dg

dt

i

= sg(s) g(0), g(0) = [g(t)

t=0

Derivaion de orden n L

h

d

n

g

dt

n

i

= s

n

g(s) s

n1

g(0) g

n1

(0)

g

n1

(0) =

h

d

n1

dt

n1

g(t)

i

t=0

Integral L

h

R

t

0

g(t)dt

i

=

g(s)

s

Desplazamiento en tiempo L[g(t t

0

)(t t

0

) = e

t

0

s

g(s)

Desplazam. en freuenia L[e

at

g(t) = g(s+ a)

Valor iniial lim

t!0

g(t) = lim

s!1

sg(s)

Valor nal lim

t!1

g(t) = lim

s!0

sg(s)

Ejemplo 1.16

La gura 1.1 muestra un arro de masa m = 1000 kg desplazandose on una

veloidad v graias a la a

ion de la fuerza u produida por su motor. Si se


despreia la ineria de las ruedas y se asume que la fuerza de fri

ion bv es

lo unio que se opone al movimiento, donde b= 50 N-s/m es el oeiente

de fri

ion, entones la dinamia del proeso puede modelarse omo:

m _v(t) + bv(t) = u(t); _v =

dv

dt

Determinar la funion de transferenia del proeso y su respuesta a un es-

alon de 1 m/s, sabiendo que la entrada es u y la salida es v.

ubvfriccion

v velocidad

m

Figura 1.1: Movil en movimiento.

Soluion: La funion de transferenia del proeso se obtiene apliando la

propiedad de derivaion de orden n (tabla 1.4), on todas las ondiiones

iniiales iguales a ero:

msv(s) + bv(s) = u(s);

v(s)

u(s)

=

1

ms+ b

Dado que la entrada es un esalon, u(s) =

1

s

. La salida se determina de:

v(t) = L

1

[v(s) = L

1

1

s(ms+ b)

=

1

b

L

1

"

1

s

1

s+

b

m

#

y empleando la tabla 1.3 obtenemos:

v(t) =

1

b

(1 e

bt=m

)

Ejemplo 1.17

Empleando las propiedades del valor iniial y del valor nal, determinar

tales valores para la veloidad del movil del problema anterior.

Soluion: El valor iniial se determina de: lim

t!0

v(t) = lim

s!1

sv(s) = 0.

El valor nal se obtiene de: lim

t!1

v(t) = lim

s!0

sv(s) =

1

b

.

Captulo 2

Sistemas Disretos

En este aptulo se exponen los oneptos de variables de estado, muestreo y

reonstru

ion de se~nales en los proesos a ontrolar. Tambien se trata la dis-

retizaion direta de proesos ontinuos, la transformada Z omo herramienta

de disretizaion, las formas anonias de los proesos en el espaio de es-

tado disreto y los oneptos de ontrolabilidad y observabilidad. El material

expuesto pretende dar una base solida aera de los sistemas de ontrol en el do-

minio disreto. Todos los arhivos orrespondientes a los ejeriios desarrollados

en este aptulo se pueden desargar del sitio: http://ee.uni.edu.pe/728681F.

2.1 Dise~no de Sistemas de Control Digital

La gura 2.1 muestra la estrutura de un sistema de ontrol digital, uyo

objetivo de ontrol es lograr que la se~nal de salida Y del proeso (de arater

ontinuo, omo en la mayora de los asos) siga a la se~nal de referenia r

umpliendo determinadas espeiaiones de dise~no, tales omo: mnimo

tiempo de estabilizaion, mnimo sobreimpulso y/o error en estado esta-

ionario nulo en Y . En otras palabras, el algoritmo de ontrol implementa-

do, en este aso digitalmente, debe ser apaz de rear una se~nal de ontrol

U (la variable manipulada), la ual atuando sobre el proeso a traves de un

atuador, minimie la se~nal de error e. El bloque de ltraje es util para eli-

minar las omponentes ontaminantes de alta freuenia de la se~nal de ruido

de mediion n. El ltro de ruido puede ser analogio o digital y su inlusion

depende de la magnitud del ruido y su relevania dentro del funionamiento

del sistema de ontrol.

30 Sistemas Disretos

Muestreadory y

Proceso

ActuadorD/Ay

RetencionDigital

Computadora

MedicionFiltraje

n

Disturbios

er U Y

A/D

Figura 2.1: Estrutura de un sistema de ontrol digital.

En la estrutura de ontrol desrita en el parrafo anterior, el algorit-

mo de ontrol se implementa en un dispositivo digital que puede ser una

omputadora personal, una omputadora de proesos (on apaidad para

manejar varios lazos de ontrol), un miroontrolador o una tarjeta PDS

(Proesamiento Digital de Se~nales). El proesamiento digital del algorit-

mo de ontrol requiere de la presenia de los dispositivos de adquisiion de

datos: muestreadores, onversores de se~nal A/D (analogio a digital) y D/A

(digital a analogio) y retenedores (reonstrutores) de se~nal.

La onguraion mostrada en la gura 2.1 no es unia. Por ejemplo, dado

el aso, la se~nal de referenia y la omparaion de se~nales pueden ser gene-

radas dentro de la omputadora digital. En otros asos, si el atuador y los

dispositivos de mediion son apaes de proesar se~nales digitales, entones

tales dispositivos pueden atuar diretamente sobre el proeso, dando lugar

a nuevas onguraiones. En las apliaiones desritas en este libro, el dispo-

sitivo de proesamiento digital es una omputadora personal, los sensores de

se~nal son deodiadores eletronios de pulsos (\enoders"), mientras que

el atuador es una ombinaion de un servomotor D.C. (de orriente onti-

nua) on un ampliador eletronio PWM (\Pulse Wide Modulation").

El empleo del proesamiento digital permite la realizaion de algoritmos

de ontrol sostiados existentes en la teora de ontrol moderna, pero tam-

bien refuerza la interrogante sobre que algoritmo de ontrol es adeuado para

determinada apliaion. Una respuesta a esta interrogante solo es posible

si se tiene onoimiento suiente del modelo de la dinamia del proeso a

ontrolar y de sus se~nales. Tal onoimiento va a permitir la sele

ion ade-

uada de un algoritmo de ontrol que sea apaz de haer umplir el objetivo

de ontrol on el menor gasto (omputaional, por ejemplo) y on el mayor

rendimiento (satisfa

ion de las espeiaiones de dise~no).

2.2 Conepto de Estado y Variables de Estado 31

2.2 Conepto de Estado y Variables de Estado

La dinamia de un proeso multivariable, es deir, un proeso que posee

multiples entradas y multiples salidas, puede ser representada en el espaio

de estado mediante dos onjuntos de euaiones difereniales ordinarias de

primer orden, denominadas las euaiones de estado y de salida, omo sigue:

_

X = f(X;U;v; t)

Y = h(X;U;w; t) (2.1)

donde f y h son funiones vetoriales de variable vetorial de orden n y r

respetivamente, X es el vetor de estado de orden n, U es el vetor de

ontrol de orden m, Y es el vetor de salida de orden r, v es el vetor de

disturbios (de orden n) en los estados, y w es el vetor de disturbios (de

orden r) en las salidas. El tiempo t se inluye omo parte del argumento

para indiar que pueden existir parametros variantes on el tiempo. En este

punto es onveniente denir el onepto de estado:

El vetor de estado X = [X

1

: : : X

n

T

de un proeso (donde el su-

perndie T india transpuesta) es el mnimo onjunto de variables, las va-

riables de estado X

1

: : : X

n

, las uales ontienen informaion suiente

aera de la historia pasada del proeso. Esta informaion permite om-

putar todos los futuros estados del proeso, asumiendo por supuesto, que

todas las futuras entradas U son tambien onoidas, omo del mismo modo

lo son las euaiones dinamias que desriben diho sistema. El numero n

de variables de estado dene el orden o la dimension del sistema.

El espaio de estado es el espaio n-dimensional de todos los estados.

Cuando el sistema es de orden n = 2, el espaio de estado es onoido omo

el plano de fase on oordenadas X

1

y X

2

. Los puntos de equilibrio en el

espaio de estado para el proeso desrito en (2.1) se determinan uando el

estado del proeso no ambia graias a la a

ion de una fuerza de entrada

U. Por tanto, los puntos de equilibrio (

X) se determinan de:

_

X = f(

X;

U) = 0 (2.2)

2.2.1 Linealizaion de Proesos

La representaion linealizada en el espaio de estado de (2.1), sin la presenia

de parametros variantes on el tiempo, es la siguiente:

_

x = Ax+Bu+Ev


y = Cx+Du+ Fw (2.3)

donde A es la matriz de estado, B es la matriz de ontrol, E es la matriz

de disturbios en los estados, C es la matriz de salida de los estados, D es

la matriz de salida de las entradas y F es la matriz de disturbios en las

salidas. Las dimensiones de dihas matries son: A

nn

, B

nm

, E

nn

, C

rn

, D

rm

y E

rr

, donde el primer subndie es el numero de las de la matriz y el

segundo, el numero de olumnas. Es importante notar que en (2.3) estamos

empleando las variables residuales (tambien llamadas variables de desviaion

o perturbaionales) siguientes:

x = X

X

u = U

U

Sin la presenia de disturbios (v = w = 0), y para la operaion del

proeso alrededor del estado de equilibrio (

X,

U), las matries A, B, C y D

pueden ser determinadas evaluando las siguientes matries jaobianas:

A =

2

6

4

f

1

X

1

f

1

X

n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

f

n

X

1

f

n

X

n

3

7

5

(

X;

U)

B =

2

6

4

f

1

U

1

f

1

U

m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

f

n

U

1

f

n

U

m

3

7

5

(

X;

U)

C =

2

6

4

h

1

X

1

h

1

X

n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

h

r

X

1

h

r

X

n

3

7

5

(

X;

U)

D =

2

6

4

h

1

U

1

h

1

U

m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

h

r

U

1

h

r

U

m

3

7

5

(

X;

U)

(2.4)

La matriz de transferenia para proesos multivariables lineales se de-

termina empleando la euaion matriial siguiente:

Y(s) = [C(sI A)

1

B +DU(s) (2.5)

donde s es la variable laplaiana e I es la matriz identidad. Cuando las

se~nales Y y U son unidimensionales, la euaion anterior se onvierte en la

euaion de transferenia de un proeso univariable. La euaion ara-

terstia del proeso se obtiene de:

det(sI A) = 0 (2.6)

donde det es la operaion determinante. Las raes de (2.6) son tambien

onoidas omo raes araterstias, eigenvalores, valores propios, modos,


entre otras denominaiones. Los eigenvalores determinan la estabilidad del

proeso alrededor de un punto de equilibrio

X en el espaio de estado omo

sigue:

El proeso desrito por la euaion (2.3) es estable, siempre que todos los

eigenvalores de su euaion araterstia (2.6) posean parte real negativa.

Cuando al menos uno de tales eigenvalores posea parte real positiva o ero,

entones el proeso es inestable.

De auerdo a la euaion (2.2), el proeso desrito por (2.3) on u y v

nulos posee un solo punto de equilibrio: el origen. Empleando este heho,

la estabilidad del proeso desrito en (2.3) tambien puede ser formulada

empleando el onepto de estado, omo sigue:

El proeso desrito por la euaion (2.3) es estable, uando no siendo

forzado (es deir, uando u = v = 0), el estado del proeso tiende a ero

para ualquier estado iniial nito x

0

.

Ejemplo 2.1

La gura 2.2 muestra dos tanques identios oloados en asada. La se

ion

horizontal S=9 m

2

de ada tanque es onstante. El objetivo de ontrol es

estabilizar (ontrolar) la altura H

2

empleando omo fuerza de ontrol el

ujo de alimentaion Q

o

. Determinar el modelo linealizado de este proeso

hidraulio.

Tanque1

Tanque2

H

H

Q

Q

Q

p

1

2

0

0

1

2

p

p

p0

1

2

g

Figura 2.2: Proeso hidraulio.

Soluion: Los ujos de salida Q

1

y Q

2

de los tanques se pueden modelar


omo:

Q

1

=

p

P

1

P

0

; Q

2

=

p

P

2

P

0

donde P

1

, P

2

y P

0

son las presiones en el fondo de los tanques y en el exterior

respetivamente, y =0.4 es una onstante que depende de la geometra del

oriio. Si =1.23 kg/m

3

es la densidad del lquido y g=9.81 m/s

2

es la

aeleraion de la gravedad:

P

1

P

0

= gH

1

; P

2

P

0

= gH

2

El ujo aumulado en ada tanque es:

Q

0

Q

1

= S

dH

1

dt

; Q

1

Q

2

= S

dH

2

dt

Resolviendo las euaiones anteriores para las alturas, obtenemos:

_

H

1

=

1

S

Q

0

p

g

S

p

H

1

= f

1

_

H

2

=

p

g

S

[

p

H

1

p

H

2

= f

2

y su orrespondiente euaion de salida:

Y = [0 1

H

1

H

2

Denamos las siguientes variables residuales: h

1

= H

1

H

1

, h

2

= H

2

H

2

,

q

0

= Q

0

Q

0

. Conoiendo

Q

0

= 3 m

3

/s, el estado de equilibrio del proeso

se puede obtener de:

_

H

1

=

1

S

Q

0

p

g

S

p

H

1

= 0

_

H

2

=

p

g

S

[

p

H

1

p

H

2

= 0

lo que resulta en:

H

1

=

H

2

=

Q

2

0

2

g

Apliando el jaobiano, el proeso linealizado resulta:

_

h = Ah+B q

0

; y = h

2

= C h


donde:

h =

h

1

h

2

; A =

"

f

1

H

1

f

1

H

2

f

2

H

1

f

2

H

2

#

(

H

1

;

H

2

)

=

2

4

p

g

2S

p

H

1

0

p

g

2S

p

H

1

p

g

2S

p

H

2

3

5

B =

"

f

1

Q

0

f

2

Q

0

#

Q

0

=

1

0

; C = [0 1; D = [0

Ejemplo 2.2

El proeso pendulo no lineal mostrado en la gura 2.3 puede rotar libre-

mente alrededor del pivote graias a la a

ion de un torque externo U . En

diha gura B

p

=1.3366 N-m/rad/s es la fri

ion visosa rotaional en el

punto pivote, L

o

=1.6350 m es la longitud de la varilla de peso despreia-

ble, M

o

=0.5 kg es la masa de la esfera y g=9.81 m/s

2

es la aeleraion

de la gravedad. La salida de interes es la posiion angular del pendulo.

Para las situaiones mostradas en las guras 2.3(a) y 2.3(b) determine: las

euaiones no lineales de estado y de salida, los puntos de equilibrio, las

euaiones linealizadas de estado y de salida, las funiones de transferenia,

las euaiones araterstias, y la estabilidad del proeso.

L o

oM

B p oM

B p(a) (b)

L o

UU

Figura 2.3: Pendulo no lineal en posiion de equilibrio estable (gura (a)) y

en posiion de equilibrio inestable (gura (b)).

Soluion: El proeso en estudio es univariable; es deir, una sola entrada U

atuando sobre el proeso, y una sola salida: la posiion angular. Primero

analizaremos la situaion mostrada en la gura 2.3(a). El torque resultante

alrededor del pivote es:

U =M

o

L

2

o

+B

p

_

+M

o

gL

o

sen (2.7)


Notar que (2.7) es no lineal debido al sen. Sele

ionando en (2.7) omo

variables de estado X

1

= , X

2

=

_

y omo salida Y = X

1

se obtiene:

_

X

1

= X

2

_

X

2

=

g

L

o

senX

1

B

p

M

o

L

2

o

X

2

+

1

M

o

L

2

o

U

Y = X

1

(2.8)

uya representaion ompata (euaion (2.1) on v = w = 0) resulta:

_

X = f; Y = X

1

= h

donde:

X =

X

1

X

2

; f =

f

1

f

2

=

"

X

2

g

L

o

senX

1

B

p

M

o

L

2

o

x

2

+

1

M

o

L

2

o

U

#

(2.9)

Notar en (2.9) que n = 2, m = 1, r = 1. Empleando (2.2), los estados de

equilibrio se obtienen de:

_

X

1

=

X

2

= 0

_

X

2

=

g

L

o

sen

X

1

B

p

M

o

L

2

o

X

2

+

1

M

o

L

2

o

U = 0

y = X

1

X

1

(2.10)

uya soluion, on

U = 0, es:

X

2

= 0 y

X

1

= 2k; k = 0;1; : : : Por

onsiguiente, los estados de equilibrio son (0[2; 0) para la gura 2.3(a) y

([3; 0) para la gura 2.3(b). Empleando (2.4), la linealizaion de (2.9)

alrededor del estado de equilibrio (

X

1

;

X

2

;

U) = (0; 0; 0) resulta:

_

x = Ax+Bu; y = Cx+Du

donde:

A =

"

f

1

X

1

f

1

X

2

f

2

X

1

f

2

X

2

#

(0;0)

=

"

0 1

g

L

o

B

p

M

o

L

2

o

#

B =

f

1

U

f

2

U

0

=

"

0

1

M

o

L

2

o

#

C =

h

h

X

1

h

X

2

i

(0;0)

=

1 0

D =

h

U

0

= [0 (2.11)


La funion de transferenia del proeso se puede determinar de:

Y (s)

U(s)

= C(sI A)

1

B

= [1 0

"

s 1

g

L

o

B

p

M

o

L

2

o

+ s

#

1

"

0

1

M

o

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