MODELADO MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DE CONTROL Unidad II

CONTROL ANALÓGICO I

Modelado de sistemas

Con la finalidad de diseñar y analizar el comportamiento dinámico de un sistema físico, es necesario obtener modelos matemáticos cuantitativos de ellos.

Ejemplos de sistemas mecánicos

Modelado Cont.

Ejemplos de sistemas

Modelado Cont.

La mayoría de los sistemas de interés en el área de control son de naturaleza dinámica, la forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es:

Donde: u es la entrada del sistema y es la salida del sistema

1 1

1 0 1 01 1

( ) ( ) ( ) ( )... ( ) .. ( )− −

− −− −+ + + = + + +n n m m

n n m mn n m m

d y t d y t d u t d u ta a a y t b b b u tdt dt dt dt

Representación

Además a0,a1,…,an y b0, b1,…,bm son constantes o

funciones del tiempo.

1 11 0 1 0... ...n n m m

n n m ma y a y a y b u b u b u− −− −+ + + = + + +

Tipos de sistemas

Para los sistemas físicos , además: Si los coeficientes son constantes, se trata de

sistemas lineales invariantes en el tiempo (SLIT), por ejemplo: redes eléctricas, sistemas de suspensión de automóviles, motores eléctricos, etc.

Si los coeficientes son variables, se les llama sistemas variantes en el tiempo (SLVT), como ejemplo tenemos: aviones, hornos, cohetes, etc.

n m≥

Ejemplos

Analice cada ecuación diferencial y determine tipo de sistema al que pertenece.

FUNCION DE TRANSFERENCIA

La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se

hacen igual a cero. =

L( ) ( )L( ) ( )

y Y su U s

Ec. Diferencial Ec. Algebraica

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

L

1−L

11 0

11 0

...( )( ) ...

m mm m

n nn n

b s b s bY s n mU s a s a s a

−−

−−

+ + += ≥

+ + +

De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.

Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

¿Por qué Transformada de Laplace?

Ejemplos: Obtención de función de transferencia Obtener la función de transferencia de

los siguientes sistemas así como los polos y ceros de la misma.

OBTENCIÓN DE F.T DE SISTEMAS

Considere un circuito eléctrico RC de la figura 2.3, aplique las leyes de voltajes de kirchhoff para obtener la ecuación diferencial que rige la dinámica del sistema y a partir de esta determine la función de transferencia del circuito

considerando como salida Vo(t) y como entrada Vi(t).

Vi (t) +

-

R

C i(t) Vo(t) +

-

Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff

0( ) ( ) ( ) 0iV t i t R V t− − =

Además

0

1( ) ( )V t i t dtC

= ∫ 0 ( )( ) dV ti t Cdt

=

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la primera

00

( )( ) ( ) 0− − =idV tV t RC V t

dt

00

( ) ( ) ( )+ = idV tRC V t V t

dt

Aplicando

0 0( ) ( ) ( )+ = iE s RCsE s E s

0 ( ) 1( ) 1i

E sE s RCs

=+

1sRC

= −

Factorizando y reacomodando

Obsérvese que el polo del sistema está localizado en .

L

Diagramas de bloques

Esta representación gráfica permite describir de manera clara el funcionamiento de un sistema real (amplificadores, control de motores, circuitos eléctricos, servomecanismo, hornos, etc.), debido a que muestra como se realiza el flujo de señales dentro del mismo.

Elementos básicos

Punto de suma: Indica la suma o resta de señales. Puntos de toma o derivación: Se emplea para indicar que alguna

señal sale a diferentes lugares.

+

-

+ G(s)

C(s) R(s)

R2(s)

R1(s)

R3(s)

C(s)=R1(s)+ R2(s)-R3(s) Y(s)

Y(s) Y(s)

Y(s)

a) b) c)

a) diagrama de bloque b) punto de suma c) punto de toma

Reglas para reducir diagramas de bloques Una regla para simplificar un diagrama de bloques

consiste en desplazar los puntos de toma hacia la salida y los puntos de suma hacia la entrada e ir reduciendo los lazos internos de retroalimentación aplicando las reglas de las tablas siguientes.

En toda simplificación de diagrama de bloques se deben

cumplir las siguientes reglas básicas. El producto de F.T. a lo largo de un trayecto desde la

entrada hasta la salida (siguiendo el sentido de las flechas) debe permanecer constante.

El producto de F.T. a lo largo de un lazo también debe permanecer constante.

Ejemplo

( )( )

Y sR s

Y(s)

R(s)

+

-

+

-

-

1( )G s 2 ( )G s 3 ( )G s

1( )H s

2 ( )H s

Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura y obtenga la función de transferencia

Usando regla 6

Y(s) R(s)

+

-

+

-

-

1

1( )G s

1( )G s

1( )H s

2 ( )G s 3 ( )G s

2 ( )H s

Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado

Y(s) R(s) +

- +

-

-

1

1

( )( )

H sG s

1 2( ) ( )G s G s3 ( )G s

2 ( )H s3

1( )G s

De igual forma usando la regla 4 al esquema de la figura obtenemos

Y(s) R(s) +

-

+

-

-

1

1

( )( )

H sG s

1 2 3( ) ( ) ( )G s G s G s

2

3

( )( )

H sG s

Por regla 13 y 2 aplicada a la figura obtenemos

Y(s) R(s) +

-

+ -

2

3

( )( )

H sG s

1 2 3

11 2 3

1

( ) ( ) ( )( )1 ( ) ( ) ( )( )

G s G s G sH sG s G s G sG s

+

Simplificando vía regla 13 el sistema de la figura llegamos al esquema mostrado

Y(s) R(s) +

-

1 2 3

2 3 1

1 2 3 2

2 3 1 3

( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( )

G s G s G sG s G s H s

G s G s G s H sG s G s H s G s

+ +

Simplificando

Y(s) R(s) 1 2 3

2 3 1 1 2 2 1 2 3

( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + +

G s G s G sG s G s H s G s G s H s G s G s G s

MATRIZ DE TRANSFERENCIA

1 1

2 2

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

= =

m r

y t u ty t u t

y t U t

y t u t

( ) ( ) ( )Y s G s U s=

Para un sistema MIMO, se tienen r entradas u1, u2,.., ur y m salidas y1, y2,…,ym definidos como

La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con la entrada U(s), o sea

Donde U(s) vector de entradas de orden r Y(s) vector de salida de orden m G(s) matriz de transferencia de orden mxr

EJEMPLO DE SISTEMA MIMO

SISTEMA DE SUSPENSION DE UN AUTOBUS

f(t)

x1(t)

fv

M1

M2 x2(t)

K1

K2

Auto

Sistema de suspensión

Elasticidad de la llanta

Masa de la suspensión

U(t)

Modelos matemáticos de sistemas físicos y conceptos de no linealidades

Durante el proceso de diseño de control hay que resolver la siguiente disyuntiva.

Simplicidad vs. Exactitud

Se debe establecer un compromiso entre la simplicidad y la exactitud en el resultado del análisis.

Al plantear un modelo matemático debemos decidir entre:

Lineal vs No lineal

f f

m m

x x

Kk Kk

K depende de x

a) b)

Ventajas de la linealidad

Aplicación del principio de superposición.

y(t) K

y(t)

u(t) u(t)

K u1(t)

K

K u2(t)

u2(t)

u1(t) y1(t)

y2(t)

y(t)=y1(t)+y2(t)

Ejemplo de no linealidades

y(t)

u(t)

u(t)

y(t) y(t)

u(t) u(t)

y(t)

a) Saturación

b) Saturación de amplificador

c) Zona muerta d) On- Off

Sistemas con parámetros concentrados vs distribuidos

f

m x

K

a) b)

f

m x

K mr

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo vs Sistemas Lineales Variantes en el Tiempo

SLIT SLVT

f

m

x

K

a) b)

f

m(t)

x

K

Clasificación de los sistemas de control

Incrementa la facilidad de análisis Incremento de realismo

Estocásticos Dinámicos

Estocásticos Determinísticos

Parámetros concentrados Parámetros distribuidos

Lineales No lineales

Coeficientes constantes Coeficientes variables

Continuo Discreto

Primer orden Segundo orden Orden n

Sistemas acoplados

SLIT SLVT

Modelado de Sistemas de nivel de líquido

1

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

i o

o

i

dh tq t q t Cdt

h tRq t

dh tq t h t CR dt

− =

=

− =

Sistemas de nível de líquido

1

1

1

11 1

Aplicando la transformada de Laplace

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

i

i

dh tq t h t CR dt

Qi s H s CsH sR

Qi s H s CsR

H s RQ s CRsCs

R

− =

− =

= +

= =++

Modelado de sistemas eléctricos

Las leyes básicas que rigen los circuitos eléctricos son las leyes de corriente y voltaje de kirchhoff. Los elementos de un circuito incluyen resistores, capacitares, inductores, fuentes de voltaje y de corriente. Para obtener la función de transferencia de los circuitos eléctricos es

conveniente tratar los elementos pasivos como impedancias complejas.

C

+ Vc - 0

1( ) ( )t

v t i t dtC

= ∫( )( ) dv ti t C

dt=

1Cs Cs

L iL ( )( ) di tV t Ldt

=0

1( ) ( )t

i t v t dtL

= ∫ Ls 1Ls

R ( ) ( )v t Ri t=

( )( ) v ti tR

= R 1 GR=

Componente Voltaje Corriente Impedancia Z(s)

Admitancia Y(s)

EJEMPLO DE MODELADO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Encontrar la función de transferencia para el circuito mostrado en la figura.

L iL R

Vi(t) +

- V0(t) + - C Vc

+ -

Transformando los elementos en impedancias complejas

Ls I(s)

Vi(s) +

- V0(s) + - Cs

R

1

0

1( )

1( )i

V s CsV s R Ls

Cs

=+ +

02

( ) 1( ) 1

=+ +i

V sV s LCs RCs

Simplificando

Sistemas mecánicos

Los sistemas mecánicos son aquellos que están compuestos por masas que al aplicárseles una fuerza se ponen en movimiento, dos elementos adicionales como son el resorte y el amortiguador, son empleados en estos sistemas para representar los efectos de torsión y la fricción que puede presentarse.

Algunos ejemplos de estos sistemas son: Grúas, Sistemas de suspensión de automóviles, Servomecanismos Brazos manipuladores

Sistemas de posición, etc.

Modelado de sistema mecánicos

Sistema de suspensión de un automóvil

2

2

( ) ( )( ) ( ) v

F ma

dx t d x tf t Kx t f mdt dt

=

− − =

∑

Modelado cont.

2

2

2

2

2

1

Aplicando la transformada de Laplace a cada término(considerando condiciones iniciales igual a cero)

=

=

= + +

=+ +

( ) ( )( ) - ( ) -

( ) - ( ) - ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

v

v

v

v

dx t d x tf t Kx t f mdt dt

F s KX s f sX s ms X s

F s X s ms f s K

X sF s ms f s K

Modelado usando impedancias mecánicas

En general los sistemas de control contienen componentes tanto mecánicos como eléctricos. Desde el punto de vista de su modelo matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos es análoga.

( )( )

F sX s

f(t)

x(t)

M

Masa

wMg

= 2

2( ) d xf t Mdt

= 2Ms

f(t)

K

Resorte

x(t) ( ) ( )f t Kx t= K

f(t)

x(t)

fv Amortiguador

( )( ) vdx tf t f

dt=

vf s

Impedancia

Es la propiedad que tiene un elemento para almacenar energía cinética debido a su movimiento de traslación.

Componente Definición Relación

Su análogo es la inductancia

Es un elemento que tiene la propiedad de almacenar energía potencial, su análogo es un capacitor.

Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre una fuerza aplicada y la velocidad.

Considera el sistema masa-resorte-fricción mostrado en la figura, donde K es la constante del resorte, fv la fricción viscosa y M la masa

del cuerpo. Obtenga la función de transferencia y . ( )( )

X sF s

( )( )

V sF s

K

M f(t)

x(t)

fv

v(t)

Aplicando el concepto de las impedancias mecánicas bajo la siguiente estructura:

[ ] ( ) [ ]Suma de impedancias mecanicas Suma de fuerzas aplicadasX s =

De aquí, tenemos:

Para el caso de dos grados de libertad:

1 1 2

1 2

Suma de impedancias mecánicas Suma de impedancias mecánica mutuas conectadas al movimiento de x entre x y x

Suma de impedancias mecánica mutuas Suma de impedancias meentre x y x

−

−

1

2

( )

( )1

22

Suma de fuerzasaplicadas a x

Suma de fuerzas cánicas aplicadas a xconectadas al movimiento de x

=

x s

x s

( )2( ) ( ) vF s X s Ms K f s= + +

2

( ) 1( ) v

X sF s Ms f s K

=+ +

Modelado de sistemas mecánicos rotacionales

En el caso de los sistemas mecánicos de rotación, los cuerpos experimentan un movimiento de rotación en lugar de uno de

traslación. Estos sistemas tienen como elementos los mostrados ( )( )

T ssθ

T( )t (t)θ

J Inercia

2

2

( )( ) d tT t Jdtθ

= 2Js

K

T( )t (t)θ

Resorte torsional

( ) ( )T t K tθ= K

( )( ) vd tT t f

dtθ

=vf s

Amortiguador

T( )t (t)θ

fv

Impedancia Componente Definición Relación

Es la propiedad que tiene un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación.

Es un elemento que representa la torsión de una varilla o eje cuando está sometido a un par aplicado.

Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre el par aplicado y la velocidad angular.

Modelado de sistemas mecánicos rotacionales

Una de las herramientas básicas que se utilizan para describir la dinámica de los sistemas mecánicos rotacionales son las leyes de Newton, la cual establece que: “La suma algebraica de los momentos o pares aplicados alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angular alrededor del eje”. Esto puede expresarse mediante la siguiente ecuación.

Donde J es la inercia es la aceleración angular

Pares =∑ Jα

α

Ejemplo

La figura muestra la representación de un motor que está sujeto a una flecha flexible, la fricción de los cojinetes se representa por medio de una constante.

Determinar la función de transferencia . T ( )m θ (t)mT

Cojinetes

Jm

( )( )

m

sT sθ

primero se realiza una representación esquemática del mismo, empleando los elementos de la tabla

fv

K Jm

T ( )m t (t)θ

Ejemplo

El análisis del sistema de la figura se realiza a partir del diagrama de cuerpo libre.

( )sθ

T ( )m s ( )2mJ s sθ

( )vf s sθ

( )K sθ

Jm

( ) ( ) 2( ) ( )m v mT s K s f s s J s sθ θ θ− − =

Aplicando suma de pares

( ) ( )2 ( )m v mJ s f s K s T sθ+ + =

Obteniendo la F.T.

( ) ( ) [ ]Suma de impedancias mecánicas

Suma de pares aplicadosconectadas al movimiento en s

θθ

=

s

Se observa que

Tren de engranes

Cuando se utilizan sistemas mecánicos rotacionales tales como motores o generadores, es común que se presente la necesidad de requerir un par diferente al que se genera para aplicarlo a la carga, en esta

situación suelen emplearse los trenes de engranes.

2 1 1

1 2 2

( )( )t r Nt r N

θθ

= =

2 1 2

1 2 1

( ) ( )( ) ( )

T t t NT t t N

θθ

= =

N2 N1

2 ( )T t1( )T tN1

N2 1( )tθ 2 ( )tθ

Modelado de un Motor de CD

Para un motor de CD controlado por armadura como el mostrado en la

figura.

(t)θT(t)

Jm

Ra La

+

-

+

-

Va(t) eb ia

fv

( )tω

( )tω

( )tφ

Considerando los siguientes parámetros para el motor: ia Corriente de armadura (Amp) Ra Resistencia de armadura (Ω) eb(t) Fuerza contraelectromotriz (Volts) T(t) Par del motor θ(t) Desplazamiento del Motor (Rad) Ka Constante del Par (N-m/Amp) La Inductancia de la armadura (Henrios) Va(t) Voltaje aplicado en la armadura (Volts) Kb(t) Constante de la fuerza electromotriz (V/rad/seg) Velocidad angular del motor (rad/seg)

Flujo magnético en el entrehierro (Webers) J Inercia del motor (Kg-m2) f Coeficiente de fricción viscosa (N-m-s/rad)

( )( ) ( ) ( ) 0aa a a a b

di tV t R i t L e tdt

− − − =

( )( ) ( ) ( )aa a a a b

di tV t R i t L e tdt

= + −

( ) ( )b be t K tω=

Modelado de la parte eléctrica. Por ley de voltajes de kirchhoff al circuito de armadura tenemos

Relación eléctrica-mecánica. La fuerza contraelectromotriz eb(t) se relaciona con la velocidad con la ecuación

( ) ( ) ( )t aT t K t i tφ=

( )a aT K i t=

el par desarrollado por el motor depende de la corriente de armadura y del flujo en el entrehierro.

Si consideramos que el flujo magnético es constante

2( ) ( )( ) d t d tT t f Jdt dtθ θ

= +

( )( ) d ttdtθω =

( )( ) ( ) d tT t f t Jdtωω= +

Modelado de la parte mecánica. En un motor de CD controlado por armadura el par producido está dado por

Si consideramos la velocidad como salida

entonces

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones

( ) ( ) ( ) ( )a a a a b aR I s L sI s E s V s+ + =

( ) ( )b bE s K s= Ω

( ) ( )a aT s K I s=

( ) ( ) ( )T s Js s f s= Ω + Ω

Ia(s)

Las+Ra

Va(s) 1

-

+

Eb(s)

Ka Ia(s) T(s)

T(s) Ω(s)

Js+f 1

Eb(s) Ω(s) Kb

Representación en diagrama de bloques

Ia(s) Va(s)

-

+

Eb(s)

Las+Ra 1

Kb

Ka T(s) Ω(s)

Js+f

1

Simplificando

( )( )( )( )

a

a a a a b

KsV s L s R Js f K KΩ

=+ + +

Función de transferencia de un servomecanismo Determinar la función de transferencia de un

motor de Cd con carga .

Calculando la impedancia mecánica equivalente vista en la armadura (eje fuente).

Sustituyendo valores

De la curva de velocidad-Par, determinamos las constantes.

Del modelo del motor de CD

Sustituyendo valores

Para encontrar la FT como Entonces Así

Referencias

1.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th Edition, 2004.

2.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª Edición, 2005.

3.- Navarro R, Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw Hill, 1ra Edición, 2004.

4.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª Edición, 2003.

5.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994. 6.- Lewis P. H. & Yang C., Sistemas de Control en Ingeniería,1ra

Edición, Prentice Hall, 1999. 7.- D´azzo J. J., Sistemas Retroalimentados de Control, 4a edición,

Paraninfo, 1989. 8.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Séptima Edición,

Prentice Hall, 1996. 9.- Phillips L. Ch., Harbor R. D., Feedback Control Systems, Third

Edition, Prentice Hall, 1996.