Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencias Departamento de Matemticas y Ciencias de la Computacin

MTODOS NUMRICOS PARA INGENIERA Control #1A Primer Semestre 2015

1.- Aproxime la solucin , = 1.035664, 0.527722 del sistema 2 + = , + = .

El sistema propuesto es:

, = 2 + = 0 , = + = 0 Usando el mtodo de NRG queda:

= !"#$"# "#" # = $"#

Con %& = '3 2 + sin 2 + 15+ , y $ %& = . 2 + + /

Lugo tomando convenientemente 0 = 110.52 las iteraciones quedan: = 11.0382066080.47181141 2 = 11.350639160.52734527 2

As una aproximacin es 12 = 11.350639160.52734527 2 con error en norma 1 5 < 0.058676551

2.- Considere la sucesin 0 = 7 , = 789 , , ; =

7 89< 89 = 2, aproxime = con 4 d.s. c. Qu ecuacin est resolviendo? Aproxime nuevamente = usando NR.

a. Dada las caractersticas de la sucesin el mtodo es:

? = 1> + As, si 0 = 7 => = 789 => =

7 89

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b. si > = 2 => = AB Partiendo con 0 = , las iteraciones son: 0 0.50000000 0.40000000 0.41666667 0.41379310 + 0.41428571 0.41420118 C 0.41421569 D 0.41421320 E 0.41421362 F 0.41421355 0 0.41421356

Si C = 0.41421569 = 0.41421569 100 (H = 0) es la aproximacin de = entonces una cota de error es: |C | = 0.00001451

|C | = 12 0.00002902|C | = 12 0.2902 10!+|C | < 12 10!+

Luego 0 J = 4 => J = 4

Por lo tanto = 0.41421569 con 4 d. s. c. = 7A => = > + => = + > 1 = 0 Es la ecuacin que estamos resolviendo. Con > = 2 queda = + 2 1 = 0 Usando el mtodo de NR queda: = ABLAB!AB Iterando 0 0.50000000 0.41666667 0.41421569 0.41421356

Luego = 0.41421356 con 5 < 0.00000213 5 < 10!

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3.- El dueo de una pequea tabaquera ha comprado Cigarrillos, Puros y Tabaco para pipa por un total de US$1000 (sin impuestos). El valor del Tabaco para pipa es US$60 menos que el de los Cigarrillos y de los Puros conjuntamente. Teniendo en cuenta que los cigarrillos deben pagar un impuesto del 6%, por los Puros del 12% y por el Tabaco para pipa del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de US$1184.8. Determine la cantidad invertida en cada producto.

a. Proponga un sistema lineal que tenga como solucin la cantidad invertida en cada producto. Identifique cada variable

b. Use eliminacin Gaussiana, para resolver el sistema propuesto. Indique el costo unitario de los artculos si se compr 33 cajas de Cigarrillos, 20 Puros y 47 paquetes de Tabaco para pipa

c. Aproxime la solucin del sistema usando el mtodo de Jacobi y un 0 conveniente. Indique el error en norma 1.

a. Las variables son:

C: Cantidad invertida en la Cigarrillos P: Cantidad invertida en el Puros T: Cantidad invertida en el Tabaco M + N + O = 1000M + N O = 600.06M + 0.12N + 0.3O = 184.8 => P

1 1 11 1 10.06 0.12 0.3QPMNOQ = P

100060184.8Q

b. Usando eliminacin Gaussiana la solucin del sistema es:

R S = P 1 1 11 1 10.06 0.12 0.3| 1000| 60| 184.8Q~P

1 1 10 0 20.06 0.12 0.3| 1000| 940| 184.8Q

~P 1 1 10.06 0.12 0.30 0 2| 1000| 184.8| 940Q~P

1 1 10 0.06 0.240 0 2| 1000| 124.8| 940Q = "V SW #

As las solucin del sistema es: PMNOQ = P330200470Q

y el costo unitario sin impuestos es: PMNOQ = P101010Q

c. El Mtodo de Jacobi es: = X!Y + V + X!S Con: X! = Z1 0 00 1 00 0 0 [ y Y + V = P

0 1 11 0 10.06 0.12 0 Q

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Luego

\] = P 0 1 11 0 10.2 0.4 0 Q y X!S = P100060616 Q

El mtodo para este sistema queda:

= P 0 1 11 0 10.2 0.4 0 Q + P100060616 Q

Lugo tomando convenientemente 0 = P330.1200.1470.1Q las iteraciones quedan: = P 329.8200469.94Q = P330.06200.14470.04Q

As una aproximacin es PYOMQ = P330.06200.14470.04Q con error en norma 1 5 < 0.5