Continuidad y Funciones compuestas · 2018. 4. 3. · ELABORÓA MS.c EFRÉN GIRALDO T. 4/3/2018 2...
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Continuidad y Funciones compuestas
4/3/2018ELABORÓA MS.c EFRÉN GIRALDO T.
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MIS VALORES
Entrega
Transparencia
Simplicidad
y Persistencia
MI VISIÓN: Tender a ser un ser humano completo mediante la
entrega, la transparencia, la simplicidad y la persistencia.
MI MISIÓN: Entrega a la Voluntad Suprema.
Servir a las personas.
ELABORÓ MSc. EFRÉN GIRADLO T.
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FUNCIONES COMPUESTAS
Las siguientes diapositvas fueron tomadas directamente de la página web de
“KHAN ACDEMY”.
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https://es.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/function-composition/a/introduction-to-function-composition
4/3/2018
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https://es.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/function-composition/e/evaluate-composite-functions-from-graphs-and-tables
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https://es.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/function-composition/e/evaluate-composite-functions-from-graphs-and-tables
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https://es.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/function-composition/e/evaluate-composite-functions-from-graphs-and-tables
¿Existirá tal función?
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https://es.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/function-composition/e/evaluate-composite-functions-from-graphs-and-tables
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Evaluamos la segunda función con la primera función. Y no evitamos el paso intermedio.
C(a) M(c)
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= (M○C)(a)
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M( )= 0.9( ) ─ 50
Método del cajón
valor de entrada
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(al valorar la función M (x) con la otra función C (a) se halla la función compuesta (M○C) (a)
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Evita un paso en la conversión.
Hacer este problema
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Evaluación de funciones compuestas en gráficos.
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Evalúe g○h(2)=g(h(2))
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𝑔(ℎ(2))
ℎ 2 = −1
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-1
g(-1)
-1
𝑔(-1)= 4
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ℎ 2 = −1
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ℎ 𝑥 = −1
Continuidad de una función compuesta
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𝑥 = 𝑎
Continuidad de una función compuesta en un punto 𝑥= a.
Si se tiene una función continua 𝑔(𝑥), y se evalúa en un punto 𝑥= 𝑎, se tiene obviamente 𝑔 𝑎 . Esto da un cierto número por ejemplo 𝑏.
Si se averigua la continuidad de otra función 𝑓 (𝑥) en 𝑥 = 𝑏, y se ve que es continua, entonces la función compuesta 𝑓 ° 𝑔 también será continua en el punto 𝑥=a.
𝑓 ° 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥)
También será continua en el punto x=a.
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Si al evaluar la continuidad de 𝑓 𝑥 = 𝑥 en 𝑥= 6, se ve que también es continua,
entonces, 𝑓 ° 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥) = ( ) = 𝑥2 + 2 debe de ser continua en el punto 𝑥=2
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𝑔(2)= ( )2 + 2 = 22 + 2=6.
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
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Si el teorema anterior se aplica no solo a un punto sino a un intervalo
o a todos los puntos de la función 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) y cumple, la función
compuesta también será continua en el intervalo o en toda ella.
Continuidad de Funciones Compuestas en un Intervalo
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𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2
∞−∞∞
(𝑓.○ 𝑔) (𝑥)= ( ) = 𝑥2 + 2
𝑔(𝑥) en continua en todos los reales, al evaluar 𝑓 𝑥 con 𝑔 𝑥 que es continua
en solo los números positivos, la función f ○ 𝑔 será continua en todos los reales.
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El teorema establece que si una función 𝑓 es continua, entonces el límite de la
función 𝑓○ 𝑔, es la función 𝑓 evaluada con el límite de la segunda función 𝑔. Para
hallar el límite de una función compuesta, basta hallar el límite de la segunda
función y se evalúa con este valor la primera función.
= 𝒇(𝑳)
L
( )
Límites de funciones compuestas
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lim𝑥→𝑎
𝑓( 𝑔 𝑥 ) =𝑓( lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 )Note que:
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27Otra forma del límite de una Función Compuesta
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𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 4 𝑓 𝑥 = 𝑥
lim𝑥→0
(𝑓 ○ 𝑔)(𝑥)=lim𝑥→0
𝑓( 𝑔(𝑥 ) =𝑓(lim𝑥→0
𝑔 𝑥 ) 𝑠𝑖 lim𝑥→0
𝑔 𝑥 = 4
𝑓(4) = 4 =2
𝑓(4) = 2entonces
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lim𝑥→3
(𝑓 ○ 𝑔)(𝑥)=lim𝑥→3
𝑓( 𝑔(𝑥 ) =𝑓(lim𝑥→3
𝑔 𝑥 ) 𝑠𝑖
lim𝑥→3
𝑔 𝑥 ) = lim𝑥→3
2𝑥2 − 10 = 2 ∗ 32 −10 = 18 − 10 = 8
Por tanto 𝑓(lim𝑥→3
𝑔 𝑥 ) = 𝑓 8 = 2
𝑓(8)=38 = 2𝑓(𝑥)=3 𝑥𝑔 𝑥 = (2𝑥2 − 10)
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?
Hallar límites de funciones compuestas a partir de gráficos de las funciones originales
lim𝑥→3
(𝑔 ○ ℎ)(𝑥)=lim𝑥→3
𝑔( ℎ𝑥 ) =𝑔(lim𝑥→3
ℎ 𝑥 )
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31 lim𝑥→3
(𝑔 ○ ℎ)(𝑥) = lim𝑥→3
𝑔 ℎ 𝑥 = 𝑔(lim𝑥→3
ℎ 𝑥 )
1. Averiguo en la gráfica cuánto vale lim𝑥→3
ℎ 𝑥
lim𝑥→3
ℎ 𝑥 = 2
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Reemplazo en 𝑔(lim𝑥→3
ℎ 𝑥 ) el valor de lim𝑥→3
ℎ 𝑥 = 2 𝑔(lim𝑥→3
ℎ 𝑥 )
Obtengo 𝑔( 2)
Ahora voy a la gráfica de 𝑔(𝑥) y con el dato de entrada (en 𝑥) igual a 2
Averiguo cuánto vale 𝑔( 2), 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 0.
2
Este es el valor del límite pedido.
lim𝑥→3
(𝑔 ○ ℎ)(𝑥) = lim𝑥→3
𝑔 ℎ 𝑥 = 𝑔(lim𝑥→3
ℎ 𝑥 ) = 𝑔 2 = 0Resumiendo
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33 Hallar con las mismas gráficas cuánto vale el lim𝑥→2
( ℎ ○ 𝑔)(𝑥)=?
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=?
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https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-limits-continuity/ab-basic-limit-rules/v/limits-of-composite-functions
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