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Jornadas de

Olimpiadas Matematicas 2013

Juan Neyra Faustino

Arreglos, Permutaciones y Combinaciones

1. Arreglos con repeticion

Se dan objetos que pertenecen a n formas distintas. A partir de estos se forman todas lasposibles distribuciones con k objetos en cada una o, como diremos en los sucesivo, para abreviar,las k-distribuciones. Ademas, en cada distribucion pueden figurar objetos de un mismo tipo, ydos distribuciones se consideran distintas, si se diferencian entre sı por el tipo de objetos quefiguran en estas, o por su orden.

Las distribuciones del tipo descrito se denominan k-arreglos con repeticion de elementos

de n tipos; el numero total de estos arreglos se denota mediante An

k . Por el Principio de laMultiplicacion, se puede comprobar que

An

k = nk.

A continuacion veamos algunos ejemplos.

1 ¿Cuantos enteros no negativos menores que 1000 existen?

2 ¿Cuantos subconjuntos tiene el conjunto {1, 2, . . . , n}?

3 ¿Cuantos numeros de cuatro dıgitos se pueden formar con el conjunto de dıgitos {3, 4, 5, 6, 7}?

2. Arreglos sin repeticion

Se tienen n objetos diferentes. ¿Cuantas k-distribuciones se pueden formar a partir de ellos?Aquı dos k-distribuciones se consideran diferentes, si se diferencian entre sı por lo menos en

un elemento, o estan formadas por los mismo elementos pero dispuestos en orden distinto.Estas distribuciones se denominan arreglos sin repeticion, y el numero de ellas se denota

mediante Ank . Al formar los k-arreglos sin repeticion de n objetos, debemos efectuar k elecciones.

En la primera etapa podemos escoger cualquiera de los n objetos disponibles. Si ya fue hechaesta eleccion, en la segunda etapa habra que escoger entre los (n−1) objetos restantes, pues no sepuede repetir la eleccion efectuada. De forma totalmente analoga, en la tercera etapa quedaransolo (n − 2) objetos libres para elegir, en la cuarta, (n − 3) objetos, ası sucesivamente, en lak-esima, (n − k + 1) objetos. Por esto, en virtud del Principio de la Multiplicacion, se obtieneque el numero de k-arreglos sin repeticion de n elementos se expresa como sigue

Ank = n(n− 1)(n − 2) · · · (n− k + 1).


1 Una sociedad cientıfica esta formada por 25 personas. Es necesario elegir al presidente dela sociedad, al vice-presidente, al secretario cientıfico y al tesorero. ¿De cuantas formas sepuede efectuar esta eleccion, si cada miembro de la sociedad puede ocupar solo un cargo?

2 ¿Cuantos numeros de 4 dıgitos no nulos cumplen que todos sus dıgitos son distintos?

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Editorial Binaria pagina 1

3. Permutaciones

Al formar arreglos sin repeticion de n elementos tomados de a k, obtuvimos distribucionesque se diferenciaban entre sı tanto en la composicion como en el orden de los elementos, perosi tomamos distribuciones en las que figuren todos los n elementos, estas podran diferenciarseentre sı solamente en le orden de los elementos que figuran en ellas. Tales distribuciones sonllamadas permutaciones de n elementos o, mas brevemente, n-permutaciones. El numero den-permutaciones se denota mediante Pn. Es facil deducir la siguiente formula

Pn = Ann = n(n− 1)(n − 2) · · · 2 · 1 = n!,

donde n! se lee factorial de n.Por conveniencia supondremos que 0! = 1.A continuacion veamos algunos ejemplos.

1 ¿De cuantas formas se pueden colocar en el tablero de ajedrez 8 torres de modo que no sepuedan atacar una a la otra?

2 Los linguistas, especialistas en idiomas vivos y muertos, deben adivinar con frecuenciaescrituras hechas en idiomas desconocidos. Supongamos que en sus manos cayo un textoescrito mediante 26 signos desconocidos. Estos sımbolos son letras que representan uno delos 26 sonidos del idioma. ¿De cuantas maneras se pueden hacer corresponder los sonidosa los signos del idioma?

3 Siete muchachas forman una ronda. ¿De cuantas maneras distintas se pueden colocar encırculo?

4. Permutaciones con repeticion

Hasta ahora hemos permutado objetos que eran diferentes por pares entre sı. Si, en cambio,algunos de los objetos permutados son iguales, se obtendran menos permutaciones: algunas deellas seran iguales entre sı. Por ejemplo, permutando las letras de la palabra mano, obtenemos24 permutaciones diferentes:

mano namo mona nomamaon moan naom noammnao nmao nmoa mnoaonam oman amon anomoanm aonm aomn oamnamno anmo onma omna

Si en lugar de la palabra mano tomamos la palabra mama, en todas las permutacionesescritas habra que sustituir la n por la m y la o por la a. En este caso, algunas de nuestras 24permutaciones resultaran iguales. Por ejemplo, las permutaciones mano, namo, mona, noma dela primera fila nos daran, al efectuar dicha sustitucion, la misma palabra mama. Analogamente,las cuatro permutaciones de la segunda fila daran la palabra maam. En general, todas las 24permutaciones se dividen en cuaternas, las que, al sustituir la n por la m y la o por la a nosdaran el mismo resultado. En la tabla, estas permutaciones se hallan en una misma fila. Poresto, el numero de permutaciones distintas que se pueden escribir de la palabra mama es iguala 24/4 = 6. Se muestran a continuacion:

mama maam mmaa amam aamm amma.



El problema general se enuncia como sigue: Se tienen objetos de k tipos diferentes. ¿Cuantaspermutaciones se pueden hacer tomando n1 elementos del primer tipo, n2 del segundo, . . ., nk

del k-esimo tipo? Este numero se denota con P (n1, n2, . . . , nk).Se puede comprobar la siguiente formula:

P (n1, n2, . . . , nk) =n!

n1!n2! · · · nk!,

siendo n = n1 + n2 + · · · + nk.A continuacion veamos algunos ejemplos.

1 ¿Cuantas permutaciones se pueden hacer de las letras de la palabra Missisipi?

2 ¿Cuantos numeros de seis dıgitos cumplen que dos de sus dıgitos son 2’s y cuatro de susdıgitos son 4’s?

3 ¿Cuantos numeros multiplos de tres de siete dıgitos cumplen que sus dıgitos se escogendel conjunto {1, 2}?

5. Combinaciones

No siempre nos interesa el orden en que se distribuyen los elementos. Por ejemplo, si en lasEliminatorias Copa Mundial 2014 participan 9 equipos, y al final clasifican 4, el orden dentrodel cuarteto no interesa: ¡aunque sea cuarto, con tal de clasificar al mundial!

En los casos en que no nos interesa el orden de los elementos en la distribucion, sino so-lamente su composicion, se dice que se trata de una combinacion. De este modo, se llamank-combinaciones de n elementos a las k-distribuciones posibles, formadas a partir de estos ele-mentos y que se diferencian entre sı por la composicion de los elementos, pero no por su orden.El numero de k-combinaciones que se pueden formar a partir de n elementos se denota medianteCnk .Se puede deducir facilmente la siguiente formula:

Cnk =

Ank

k!=

n!

(n − k)!k!.


1 ¿De cuantas formas se puede colocar en el tablero de ajedrez 8 torres?

2 ¿Cuantos subconjuntos de {1, 2, . . . , 9} tienen 3 elementos?

6. Combinaciones con repeticion

Se tienen objetos de n tipos diferentes. ¿Cuantas k-disposiciones se pueden formar a partirde estos, si no se tiene en cuenta el orden de los elementos en la disposicion (en otras palabras,distintas disposiciones deben diferenciarse por lo menos en un objeto)?

El numero de k-combinaciones con repeticion que se pueden formar a partir de n elementosse denota mediante C

n

k .Se puede deducir la siguiente formula:

Cn

k = Cn+k−1

k.




1 En una confiterıa se vendıan 4 tipos de pasteles: de crema, canones, polvorones y hojal-dradas. ¿De cuantas maneras se puede comprar 7 masas?

2 Un numero se dice que es especial si cumple que para cada dos dıgitos adyacentes se cumpleque el de la derecha es mayor o igual que el de la izquierda. Por ejemplo, los numeros 335y 14448 son especiales, mientras que el numero 1335637 no es especial, pues 6 no es menoro igual que 3. ¿Cuantos numeros de 6 dıgitos son especiales?

A continuacion, veamos varios problemas que se pueden resolver con estas formulas.

7. Problemas

1 En la siguiente figura se muestra un tablero de 6 × 6. ¿De cuantas maneras se puede irdesde A hasta B moviendose sobre las lıneas del tablero si no esta permitido pasar dosveces por el mismo lugar ni moverse a la izquierda?

A

B

2 ¿Cuantos numeros enteros impares entre 1 y 2013 inclusive hay tales que la suma de susdıgitos es multiplo de 5?

3 ¿Cuantos numeros enteros entre 1 y 2013 inclusive hay tales que la suma de sus dıgitos esmultiplo de 5?

4 Un numero natural se denomina actual si cada uno de sus dıgitos pertenece al conjunto{0, 2, 7} y es multiplo de 3. Por ejemplo 2007 es actual. ¿Cuantos numeros actuales sonmenores que 1000000 ?

5 ¿Cuantos numeros naturales de 5 dıgitos cumplen que el producto de sus cifras es 2000 ?

6 Una familia compuesta por un papa, una mama y 6 hijos va al cine ¿De cuantas formasse pueden ubicar en una fila de 8 asientos si entre los dos padres debe haber una cantidadpar de hijos?

Aclaracion: ten en cuenta que el cero es numero par.

7 En una fila escribimos los numeros del 1 al 24 inclusive en algun orden, de tal forma quesi m divide a n entonces el termino de lugar m divide al termino de lugar n ¿De cuantasformas distintas podemos hacer esto?

8 Se dice que un numero de tres cifras es isosceles si sus dıgitos representan los lados deun triangulo isosceles. Por ejemplo 331 es isosceles pero 229 no lo es. ¿Cuantos numerosisosceles de tres cifras hay?

Aclaracion: considere que los numeros de la forma aaa tambien son isosceles.

9 ¿Cuantos numeros que tienen todas sus cifras pares hay entre 2007 y 7002? (recuerda queel cero es par).



10 Sea P uno de los vertices de un decagono regular, ¿cuantas diagonales de dicho decagonono pasan por P?

11 ¿Cuantos numeros multiplos de 15, de 6 cifras estan formados unicamente con los dıgitos5 y 8 ?

Aclaracion: El numero puede tener todos sus dıgitos iguales.

12 ¿Cuantos numeros naturales menores que 10000 tienen mas dıgitos impares que pares?

13 Considere los 120 numeros que se obtienen al reordenar los dıgitos del numero 12345,¿cuantos de esos numeros son multiplos de 4?

14 ¿Cuantos numeros de 4 dıgitos empiezan con 1 y tienen exactamente una pareja de dıgitosiguales? (Por ejemplo: 1132, 1030, 1321.)

15 ¿Cuantos numeros de cuatro dıgitos no nulos abcd cumplen que abcd > dcba?

16 Se dice que un numero de cuatro dıgitos es peroba si posee por lo menos dos dıgitosconsecutivos vecinos con la misma paridad. ¿Cuantos numeros perobas existen?

17 ¿Cuantos numeros de tres dıgitos poseen un dıgito que es la media aritmetica de los otrosdos?

18 Cada una de las ocho casillas de un tablero de 2 × 4 es pintada con uno de tres coloresdisponibles. Una columna es llamada de corte si sus dos casillas son del mismo color. ¿Decuantas maneras es posible pintar el tablero de modo que haya exactamente una columnade corte?

19 ¿Cuantas permutaciones de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tienen la propiedad de que, para todo1 ≤ i ≤ 8, los numeros que aparecen entre i e i+1 (donde i puede aparecer tanto antes comodespues de i + 1) son todos menores que i? Por ejemplo, 976412358 es una permutacioncon esta propiedad.

20 Determine la cantidad de numeros n = a1a2a3a4a5a6, de seis dıgitos distintos, que podemosformar utilizando los dıgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de modo que las siguientes condicionesse satisfagan simultaneamente:

(i) a1 + a6 = a2 + a5 = a3 + a4;

(ii) n es divisible por 9.

21 Dado un tablero de 8×8. Se debe colorear cada una de sus 64 casillas o bien blanco o biennegro. Se dice que una coloracion es buena si cada cuadrado de 2 × 2 tiene una cantidadpar de casillas negras. Halle el numero de coloraciones buenas.

22 En cada uno de los lados de un cuadrado ABCD se marcan 7 puntos rojos. ¿De cuantasformas se puede escoger tres puntos rojos que formen un triangulo?

23 En un salon de clases hay 3 hombres y 5 mujeres. Antes de que los alumnos entren a claseel profesor quiere formar una fila con todos los 8 alumnos, uno detras de otro, de tal formaque los hombres esten ordenados segun su altura, del mas alto al mas bajo, y las mujeresesten ordenadas segun su altura, de la mas baja a la mas alta. ¿De cuantas formas elprofesor puede ordenar a los alumnos en la fila?

Aclaracion: considere que todos los alumnos son de distintas alturas.



24 Antonio, Ederd, Francisco, Julio, Marilu y Valentın son 6 alumnos que participaron enel II Concurso de Matematica, Binaria 2012. Se sabe que ellos dieron el mismo exameny sacaron diferentes puntajes. Si Ederd obtuvo mas puntaje que Francisco, ¿de cuantasformas se pueden ordenar los puntajes de esos 6 alumnos?

25 Quince puntos P1, P2, . . . , P15 son dibujados en el plano de tal forma que, a parte de lospuntos P1, P2, P3, P4, P5 que son colineales, no hay otros 3 puntos que sean colineales.Halle:

a) El numero de rectas que pasan por al menos dos puntos de los 15 considerados.

b) El numero de triangulos que tienen sus vertices en 3 de los puntos considerados.

26 ¿De cuantas formas se puede ordenar los dıgitos del numero 7773333333, si no puede haberdos dıgitos 7 que esten juntos?

27 Nacho hizo la lista de todos los multiplos de 15 que tienen 15 dıgitos, que utilizan exclu-sivamente los dıgitos 1 y 5 y que no tienen dos dıgitos 5 adyacentes. Determina cuantosnumeros tiene la lista de Nacho.

28 Halle la cantidad de numeros de la forma abcd tales que a > b > c > d.

29 ¿Cuantos numeros de tres dıgitos cumplen que la suma del dıgito de las unidades mas eldıgito de las centenas es igual al dıgito de las decenas?

30 Leandro hizo la lista de todos los numeros enteros positivos menores que 20022003 queutilizan exclusivamente los dıgitos 0, 1, 2, 3. Halla la cantidad de numeros que tiene la listade Leandro.

31 Denominamos cruz a una pieza de 5 casillas que se obtiene de un cuadrado de 3 × 3 alquitarle las cuatro casillas de las esquinas. Las casillas de un tablero de 2010×2010 se debencolorear con 5 colores distintos de modo que las 5 casillas de cualquier cruz contenida en eltablero tengan colores diferentes. ¿De cuantas maneras se puede hacer? Dos coloracionesson diferentes si hay una casilla con un color en una coloracion y un color distinto en laotra.

32 Diremos que un numero natural es travieso si su desarrollo binario tiene un cantidad imparde dıgitos 1. Por ejemplo, 4 es travieso por que su desarrollo binario es 100, que tiene unacantidad impar de dıgitos 1; 6 no es travieso porque su desarrollo binario es 110 que tieneun cantidad par de dıgitos 1.

Determinar la cantidad de numeros traviesos que son menores o iguales que 1997.

33 En un campamento participan 15 chicos, todos de diferentes alturas. El ultimo dıa, los 15deben formarse en una fila de manera tal que al comienzo de la fila esten ordenados demas bajo a mas alto y, a partir de un punto, los restantes esten ordenados de mas alto amas bajo. ¿De cuantas maneras se puede formar la fila?

Aclaracion: El primero de la fila no es necesariamente el mas bajo de los 15 chicos.

34 Consideramos el conjunto A de los dıgitos 1, 2, . . . , 9. Se pregunta:



(a) ¿De cuantas maneras pueden agruparse los elementos de A en 3 subconjuntos de 3elementos cada uno?

(b) ¿De cuantas maneras pueden disponerse los elementos de A en las 9 casillas del tableromostrado, si en cada fila los numeros deben aparecer en forma creciente?

35 ¿En cuantas de las permutaciones del numero 23 814 425 los dıgitos impares aparecen, deizquierda a derecha, en forma creciente?

36 Dados los conjuntos A = {1, 2, . . . , 6} y B = {1, 2, . . . , 10}, se pregunta:

(a) ¿Cuantas funciones estrictamente crecientes f : A → B pueden definirse?

(b) ¿Cuantas de las funciones anteriores satisfacen la condicion f(4) = 7?

Aclaracion: f se dice escrictamente creciente si

a < b ⇒ f(a) < f(b).

37 En la clase del profesor Juan, existen cinco chicos y nueve chicas. Al final de la clase, el

quiere tomar una foto de la clase entera. El quiere que todos los estudiantes esten en unafila, con los chicos estando en orden decreciente de acuerdo a su estatura (asumiendo queellos tienen estaturas diferentes) de izquierda a derecha y con las chicas estando en ordencreciente de acuerdo a su estatura (asumiendo que ellas tienen estaturas diferentes) deizquierda a derecha. ¿De cuantas maneras puede esto hacerse? (Los chicos no estan juntosnecesariamente y las chicas no estan juntas necesariamente.)

38 La figura muestra un arreglo de puntos, cada uno de los cuales esta una unidad alejadode sus vecinos mas cercanos. Determine el numero de triangulos no degenerados (esto es,triangulos con area positiva) cuyos vertices son puntos del arreglo.

39 Un granjero quiere plantar tres arces, cuatro robles, y cinco abedules en una fila, de talmanera que no hayan dos abedules juntos, ¿de cuantas formas lo puede hacer?

40 Sea n un entero con n ≥ 3 y sea P1P2 . . . Pn un polıgono regular de n lados. ¿Cuantostriangulos PiPjPk son obtusangulos, donde i, j, k son enteros distintos entre 1 y n, inclu-sive?

41 Suponer que 7 chicos y 13 chicas estan alineados en una fila. Sea S el numero de luga-res en la fila donde un chico y una chica estan sentados juntos. Por ejemplo, para la filaAOOAAAOAOAAAOAOAAOAA tenemos S = 12 (donde A simboliza chica y O simbo-liza chico). Halle el valor promedio de S (si todos los posibles alineamientos de esas 20personas son consideradas).



42 Sea n = 231319. ¿Cuantos divisores enteros positivos de n2 son menores que n pero nodividen a n?

43 Sea la suma de un conjunto de numeros la suma de sus elementos. Sea S un conjunto deenteros positivos, no mayores que 15. Suponer que no hay dos subconjuntos disjuntos deS que tengan la misma suma. ¿Cual es la mayor suma de un conjunto S puede tener conesas propiedades?

44 Se arrojan simultaneamente 5 dados identicos. De todos los resultados posibles que pode-mos obtener con la tirada, ¿en cuantas aparece por lo menos un tres?

45 Un florista prepara para la venta ramos de 12 claveles, pudiendo estos ser rojos, blancoso rosados. Por razones comerciales, nunca coloca en un ramo mas de 6 claveles rojos.¿Cuantos ramos distintos puede ofrecer?

46 ¿Cuantos numeros naturales menores que un millon tienen la suma de sus cifras igual a12?

47 En un quiosco se venden caramelos sueltos de 4 gustos diferentes: anana, frutilla, menta ynaranja. Un chico quiere comprar 10 caramelos, ¿de cuantas maneras puede hacerlo?

Juan Neyra Faustino

[email protected]

Lima, agosto de 2013.



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