ContenidosProgramáticosCarreraMatemáticas

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Plan de estudios pregrado en Matemáticas

1° Semestre

Nombre de la asignatura: Fundamentos en matemáticas

Código: 2015168

Créditos: 4

Tipología: Fundamentación

Prerrequisito: (1000001) Matemáticas básicas.

Objetivos: Familiarizar al estudiante con los conceptos básicos de la matemática moderna, teoría

de conjuntos y elementos de lógica, métodos de demostración, relaciones y cardinalidad. Enfatizar

en las formas correctas de razonar y argumentar, así como en la manera adecuada de comunicar

por escrito dichos argumentos.

Metodología: Dos clases semanales magistrales con explicaciones, ilustraciones y propuestas de

ejercicios y problemas por parte del profesor y con la participación activa de los estudiantes. Se

dejarán talleres que el estudiante debe realizar fuera de clase para generar luego discusiones en

torno a los temas trabajados.

Contenidos:

1. Conceptos Básicos de Lógica

1.1. Cálculo proposicional: Proposiciones, conectivos, tablas de verdad, tautologías.

1.2. Implicación y equivalencia lógica, reglas de inferencia y cuantificadores.

1.3. Métodos de demostración: Pruebas directas, por contradicción, usando contrarecíproca.

Pruebas de proposiciones equivalentes y de proposiciones con cuantificadores.

2. Conceptos Básicos de Teoría de Conjuntos

2.1. Conjuntos: Determinación por extensión y por comprensión.

2.2. Conjuntos y relaciones: Contenencia e igualdad.

2.3. Operaciones entre conjuntos: Unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y

complemento. Propiedades de las operaciones. Conjunto de partes.

2.4. Familias indexadas: Unión, intersección. Familias disyuntas y dos a dos disyuntas.

Partición de un conjunto.

3. Relaciones y Funciones

3.1. Relaciones: Pareja ordenada. Producto cartesiano. Concepto de relación. Dominio y

Rango. Relación inversa. Composición de relaciones.

3.2. Funciones: Clases: Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Función inversa. Composición de

funciones. Imagen directa e inversa de un conjunto. Comportamiento de las imágenes

directa e inversa con las operaciones de conjuntos.

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3.3. Relaciones reflexivas, simétricas, antisimétricas y transitivas.

3.4. Relaciones de equivalencia. Clases de equivalencia. Conjunto cociente. Teorema

fundamental de las relaciones de equivalencia.

3.5. Relaciones de orden. Elementos maximales y minimales, mínimo, máximo, acotación,

supremo (sup.), ínfimo (inf.).

4. Cardinalidad

4.1. Equipotencia o similaridad.

4.2. Conjuntos finitos e infinitos. Cardinales.

4.3. Teoremas de Cantor.

4.4. Inyecciones entre conjuntos infinitos.

4.5. Tamaños de infinitud. Conjuntos enumerables.

4.6. Teorema de Schöder-Bernstein (enunciado y consecuencias para la equipotencia entre

conjuntos numéricos conocidos).

Bibliografía básica:

Autor (es) Título Editorial - País Año

Allendoefer C.B y Oakley

C.O

Fundamentos de Matemáticas

Universitarias

McGraw-Hill,

tercera edición. 1982

Bloch E. R. Proofs and Fundamentals Birkhauser, Boston 2000

Sheinerman E.R Matemáticas Discretas Thomson-Learning. 2004

Muñoz J.M Introducción a la teoría de conjuntos.

Universidad

Nacional de

Colombia. Cuarta

edición 2002

Zalamea F. Fundamentos de Matemáticas

Universidad

Nacional de

Colombia. Sede

Bogotá. 2007

Nombre de la asignatura: Cálculo diferencial en una variable

Código: 2016377

Créditos: 4


Prerrequisito: (1000001) Matemáticas básicas.

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Objetivos: Estudiar los conceptos de límite y derivada para funciones de una variable real y utilizar

estas ideas en la solución de problemas de optimización, trazado de curvas y razones de cambio.

Contenidos:

1. Funciones y modelos

1.1. Cuatro maneras de representar una función, definición de función, dominio, rango, gráfica

de una función, prueba de la recta vertical.

1.2. Funciones definidas a tramos, valor absoluto, simetría, función par, función impar,

funciones crecientes, decrecientes. Catálogo de funciones básicas: función lineal.

1.3. Catálogo de funciones básicas: Polinomios (grado, raíces, función cuadrática, función

cúbica), funciones de potencia, funciones racionales, funciones algebraicas y funciones

trigonométricas.

1.4. Transformaciones de funciones: Desplazamientos verticales y horizontales, alargamientos

verticales y horizontales.

1.5. Álgebra de funciones, composición de funciones.

1.6. Funciones exponenciales: Gráficas, leyes de los exponentes, modelación con funciones

exponenciales, el número e.

1.7. Función inversa: Función uno a uno, prueba de la recta horizontal, definición de función

inversa, gráfica de la función inversa.

1.8. Funciones logarítmicas: Definición, gráficas, leyes de los logaritmos, logaritmo natural,

fórmula para el cambio de base, gráfica de la función logaritmo natural.

1.9. Funciones trigonométricas inversas: Función seno inverso, función tangente inversa,

función coseno inverso.

2. Límites y derivadas

2.1. Límite de una función: Definición intuitiva, ejemplos gráficos, ejemplos con tablas de valores

límites laterales, ejemplos gráficos.

2.2. Cálculo de límites: Reglas básicas para el cálculo de límites, límites de funciones definidas

por tramos, teorema de compresión.

2.3. Continuidad: Definición, continuidad por la derecha y por la izquierda, teoremas básicos

sobre funciones continuas, teorema de sustitución para el cálculo de límites de funciones

compuestas, teorema de continuidad de funciones compuestas, teorema del valor

intermedio.

2.4. Límites que comprenden el infinito: Límites infinitos y asíntotas verticales, límites en el infinito

y asíntotas horizontales, límites infinitos en el infinito.

2.5. Tangentes, velocidades y otras razones de cambio.

2.6. Definición de derivada, interpretación de la derivada como la pendiente de una tangente,

interpretación de la derivada como una razón de cambio.

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2.7. La derivada como una función, notaciones de la derivada, relación entre diferenciabilidad y

continuidad, ¿Cómo deja de ser diferenciable una función? Derivadas superiores.

2.8. ¿Qué dice f’ acerca de f? ¿Qué dice f’’ acerca de f?

3. Reglas de derivación.

3.1. Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales. Las reglas del producto y del

cociente.

3.2. Derivación de funciones trigonométricas. La regla de la cadena.

3.3. Derivación implícita. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Derivadas de

funciones logarítmicas. Derivación logarítmica.

4. Aplicaciones de la derivación.

4.1. Razones de cambio de variables relacionadas.

4.2. Valores máximo y mínimo absolutos de una función. Extremos relativos de una función.

Teorema del valor extremo. Teorema de Fermat. Valores críticos de una función.

4.3. Derivadas y las formas de las curvas: Teorema del valor medio, prueba para determinar los

intervalos de crecimiento y decrecimiento, prueba de la primera derivada para extremos

relativos.

4.4. Definición de concavidad y puntos de inflexión. Prueba de concavidad, prueba de la segunda

derivada para extremos relativos.

4.5. Ejemplos de trazado de gráficas. Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital.

4.6. Problemas de optimización.

4.7. Antiderivadas: Definición, tabla de fórmulas de antiderivación, problemas de aplicación).



J. Stewart

Cálculo, Conceptos y

contextos Editorial Thomson, ediciones 2ª y 3ª 2006

Smith, R.T., Minton,

R.B. Cálculo, Tomo I Mc Graw Hill 2000

Finney, R. L Cálculo Prentice Hall 2000

Hughes-Hallet, D.,

Gleason, A. M. Calculus John Wiley & Sons 1994

Thomas, G. B.,

Finney, R. L. Cálculo en una variable

Addison Wesley Longman, novena

edición 1998

Stein, Sh.K.,

Barcellos, A.

Cálculo con Geometría

Analítica Prentice Hall Hispanoamericana 1996

5

Nombre de la asignatura: Geometría elemental

Código: 2015172

Créditos: 4


Prerrequisito: Ninguno

Pertinencia de la asignatura dentro del plan de estudios: Si bien es cierto que el ministerio de

educación contempla la geometría en los niveles escolares, consideramos que su enseñanza ha

sido descuidada, lo cual se evidencia en los resultados de los exámenes de admisión, y en los

primeros cursos de la universidad, como en los cursos de matemáticas básicas y de cálculo. En

particular se evidencia que los estudiantes presentan serios problemas de escritura y de

argumentación, esto se debe en parte a que los estudiantes no están muy habituados a leer y a

escribir. La asignatura de Geometría Elemental puede ser una excelente oportunidad para mejorar

todas estas fallas y al mismo tiempo brindar los elementos básicos que contribuyan a abordar de

una mejor manera los cursos superiores. De esta manera, consideramos importante el curso en el

plan de estudios de la carrera de matemáticas. En particular el curso pretende aproximar a los

estudiantes a un mejor conocimiento de la geometría, mostrando su importancia en la formación

matemática.

Objetivos del curso: Los objetivos señalados en el programa son claros, precisos y susceptibles

de ser verificados.

Metodología: Al respecto estamos de acuerdo con lo descrito en el documento que nos envían.

Resaltamos la importancia de hacer que los estudiantes escriban y argumenten sus resultados.

Se debe promover en ellos la participación, el hacer que sugieran soluciones y demostraciones a

problemas planteados y que propongan conjeturas; finalmente que trabajen como potenciales

matemáticos.

Evaluación: Se recomienda que los profesores en lo posible hagan un seguimiento continuo del

aprendizaje de los estudiantes, que revisen periódicamente la forma en que escriben, redactan y

argumentan.

Contenidos:

1. Geometría Plana: A. Primeros Axiomas y Postulados. B. Rectas, Segmentos y Planos.

C. Congruencia. D. Semejanza.

1.1. Espacio, planos, rectas.

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1.2. Axiomas de incidencia y orden.

1.3. Congruencia de segmentos, ángulos y triángulos.

1.4. Paralelismo. Semejanza de triángulos. Razones trigonométricas.

2. Geometría Plana: A. Circunferencia y Círculo. B. Regiones Poligonales y sus Áreas. C.

Construcciones con Regla y Compás. D. Colinealidad y Concurrencia.

2.1. Ángulos inscritos, semi-inscritos. Polígonos inscritos y circunscritos. Potencia de un punto a

una circunferencia. El eje radical, la recta de Simpson. El círculo de los nueve puntos. El

triángulo órtico. El triángulo pedal.

2.2. Perímetro y área de un polígono y de una circunferencia.

2.3. Algunas construcciones con regla y compás. La cuadratura del círculo. La trisección del

ángulo. La duplicación del cubo.

2.4. Algunos teoremas clásicos: Ceva, Menelao, Pappus, Desargues, Pascal.

3. Geometría Plana: A. Introducción a la Geometría Cartesiana. Geometría del Espacio: B.

Conceptos Básicos. C. Sólidos y Volúmenes. D.

4. Introducción al Estudio de las Transformaciones Geométricas.

4.1. Empleo de la geometría cartesiana para resolver problemas de la geometría elemental.

4.2. Rectas, planos, ángulos diedros, poliedros, los cinco poliedros regulares convexos.

4.3. El principio de Cavalieri. Volúmenes y áreas de prismas, pirámides, conos, cilindros y

esferas.

4.4. Translaciones, reflexiones, rotaciones y homotecias.



Moise E y Downs F. Geometría Moderna Addison Wesley 1986

Rincón G.

Un recorrido por la

Geometría

Publicación de la Universidad

Antonio Nariño. 1992

Thomas L. Heath

The thirteen books of

Euclid's Elements. Vol. I,

II, III

Dover publications, Inc. New

York 1956

Campos A.

Axiomática y Geometría

desde Euclides hasta

Hilbert y Bourbaki.

Universidad Nacional de

Colombia 1994

H.S.M Coxeter Introduction to geometry Wiley, ToroNto, Canadá 1961

Clemens Geometry Addison Wesley 1998

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2° Semestre

Nombre de la asignatura: Algebra lineal básica

Código: 2015555

Créditos: 4


Prerrequisito: (1000001) Matemáticas básicas

Descripción: El curso básico de álgebra lineal consta de dos partes. En una de ellas se estudian

los espacios vectoriales, las transformaciones lineales, el álgebra de las matrices, la teoría de

determinantes y la solución de sistemas de ecuaciones lineales. La otra parte del curso tiene que

ver con aspectos geométricos elementales del álgebra lineal y se estudian conceptos y técnicas

básicas de álgebra vectorial en R2, R3 y Rn. Se destacan la existencia de las bases, el teorema del

rango para transformaciones lineales, el teorema de representación de transformaciones lineales

por medio de matrices, el algoritmo de Gauss-Jordan para calcular rangos, nulidades,

determinantes, inversas de matrices y resolver sistemas de ecuaciones lineales. En la parte

geométrica se destacan el producto interno, la noción de distancia, la desigualdad triangular, la

desigualdad de Cauchy-Schwartz y método de ortogonalización de Gram-Schmidt.

Objetivos: Que el alumno al finalizar el curso esté en capacidad de reconocer y aplicar los

conceptos, resultados y técnicas fundamentales del álgebra lineal básica tales como los espacios

vectoriales, las transformaciones lineales, las matrices, los determinantes, el algoritmo de Gauss-

Jordan, la solución de sistemas de ecuaciones lineales y los aspectos básicos de la geometría

vectorial del plano, del espacio y de Rn. En particular, deberá poder aplicar la estructura euclidiana

usual en Rn a diversas situaciones geométricas y físicas, en lo referente a distancias,

perpendicularidad, paralelismo, etc.

Contenidos:

1. Vectores en R2 y R3

1.1. Combinaciones lineales y coordenadas.

1.2. Longitud y ángulo: El producto punto, longitud. Distancia. Ángulos.

1.3. Vectores ortogonales.

1.4. Proyecciones.

2. Sistema de Ecuaciones Lineales

2.1. Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales.

2.2. Resolución de un sistema de ecuaciones lineales.

2.3. Métodos directos para resolver sistemas lineales: Matrices y forma escalonada.

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2.4. Operaciones elementales entre filas.

3. Espacios vectoriales

3.1. Estructuras algebraicas básicas.

3.2. Espacios vectoriales.

3.3. Subespacios.

3.4. Bases.

3.5. Dimensión.

4. Transformaciones lineales.

4.1. Definición y ejemplos.

4.2. Núcleo e imagen.

4.3. Operaciones con transformaciones lineales.

4.4. Transformaciones lineales biyectivas.

4.5. Producto y suma directa de espacios vectoriales.

4.6. Suma directa interna de subespacios.

5. Matrices

5.1. Espacios vectoriales de matrices.

5.2. Transformaciones lineales y matrices.

5.3. Rango de una matriz.

5.4. Cambio de base.

5.5. Equivalencia y similaridad.

5.6. Matrices invertibles.

5.7. Transpuesta y propiedades.

6. Determinantes

6.1. Funciones multilineales.

6.2. La función determinante.

6.3. Propiedades.

6.4. Regla de Cramer.

6.5. Sistemas de ecuaciones lineales.

6.6. Algoritmo de Gauss-Jordan.

7. Producto interno

7.1. Espacios euclidianos.

7.2. Sistemas de vectores ortogonales.

7.3. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt.

7.4. Complemento ortogonal y proyecciones.

8. Polinomio característico

8.1. Valores y vectores propios.

8.2. Polinomio característico.

8.3. Matrices diagonalizables.

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Strang, G. Introduction to Linear Algebra

Wellesley-Cambridge

Press 2009

Roman, S. Advanced Linear Algebra Springer 1992

Fraleigh, B. and

Beauregard, R. Linear Algebra Addison-Wesley 1994

Hoffman, K. and Kunze, R. Álgebra Lineal Prentice-Hall 1971

Pool, David

Álgebra lineal: una introducción

moderna Cengage Learning 2004

Lay, David. Álgebra lineal y sus aplicaciones.

Prentice-Hall

segunda edición,

México. 2001

Kolman, Bernard y David

R. Hill Algebra Lineal.

Pearson-Prentice

Hall. Octava edición,

México 2006

Nakos, George y Jonier,

David Álgebra lineal con aplicaciones Cengage Learning 1999

Restrepo de Peláez,

Patricia; Franco Rosa y

Muñoz, Luz Elena Álgebra lineal con aplicaciones.

Universidad Nacional

de Colombia 2004

S.I. Grossman Álgebra Lineal Ed. McGraw Hill 1996

Nombre de la asignatura: Cálculo integral en una variable

Código: 2015556

Créditos: 4


Prerrequisito: (2016377) Cálculo diferencial en una variable

Objetivo: Estudiar los conceptos de límite y derivada para funciones de una variable real y utilizar

estas ideas en la solución de problemas de optimización, trazado de curvas y razones de cambio.

Contenidos:

1. Preliminares y funciones

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1.1. R y propiedades básicas, orden, acotación y completez.

1.2. Representación gráfica, valor absoluto, desigualdades.

1.3. Intervalos.

1.4. Coordenadas en el plano.

1.5. Ecuación de la recta.

1.6. Perpendicularidad y paralelismo.

1.7. Distancia entre dos puntos.

1.8. Relaciones en 2

R y sus gráficas.

1.9. Simetrías, traslaciones, expansiones y compresiones (relación entre ecuaciones y

gráficas).

1.10. Funciones.

1.11. Dominios y recorridos.

1.12. Gráfica de una función.

1.13. Funciones inyectivas, sobreyectivas, pares, impares y periódicas.

1.14. Funciones crecientes y decrecientes.

1.15. Álgebra de funciones.

1.16. Composición de funciones y función inversa.

1.17. Funciones polinómicas, racionales y algebraicas.

1.18. Funciones definidas a trozos, función parte entera y función valor absoluto.

1.19. Funciones trigonométricas.

1.20. Funciones exponencial y logarítmica.

1.21. Inversas de las funciones trigonométricas.

2. Límites y continuidad

2.1. Concepto y definición de límite.

2.2. Propiedades de los límites.

2.3. Teorema del emparedado.

2.4. Límites laterales.

2.5. Límites al infinito.

2.6. Límites infinitos.

2.7. Asíntotas.

2.8. Continuidad.

2.9. Diferentes tipos de discontinuidad.

2.10. Álgebra de funciones continúas.

2.11. Valores extremos y acotación de funciones continuas definidas en intervalos cerrados.

2.12. Teorema del valor intermedio.

3. Derivación

3.1. Tangentes, velocidades y otras razones de cambio.

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3.2. Definición de derivada.

3.3. Interpretación de la derivada como la pendiente de una tangente y como una razón de

cambio.

3.4. La derivada como una función.

3.5. Relación entre diferenciabilidad y continuidad.

3.6. Teoremas sobre derivación: regla del producto y regla del cociente.

3.7. Derivación de funciones algebraicas.

3.8. Derivación de funciones trigonométricas.

3.9. Regla de la cadena.

3.10. Derivación implícita.

3.11. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

3.12. Derivación logarítmica.

3.13. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

3.14. Derivadas de orden superior.

3.15. Antiderivadas.

4. Aplicaciones de las derivadas

4.1. Crecimiento, concavidad, puntos de inflexión, máximos y mínimos locales y globales.

4.2. Criterios de la primera y segunda derivada.

4.3. Trazado de curvas.

4.4. Teoremas de Rolle y del valor medio.

4.5. Formas indeterminadas y regla de L'Hôpital.

4.6. Problemas de razón de cambio y de valores extremos.



Thomas G, Finney Cálculo en una variable. 9 edición Pearson 2005

Edwards y Penney Cálculo con Geometría Analítica Prentice Hall 1997

Leithold l. C. Cálculo con Geometría Analítica Harla 1998

Stewart James Cálculo conceptos y contextos

Internacional

Thompson 2006

Purcell Cálculo. 8 edición Prentice Hall 2007

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Nombre de la asignatura: Sistemas numéricos

Código: 2015181

Créditos: 4


Prerrequisito: (2015168) Fundamentos en matemáticas

Objetivos: Revisar y complementar los conocimientos de los conjuntos numéricos que el

estudiante ha utilizado en sus estudios de educación media, desde los naturales hasta los

complejos, resaltando las similitudes y especificidades de cada uno de ellos. Detectar estructuras

algebraicas elementales. Abordar principios básicos de conteo. Estudiar los teoremas relacionados

con la búsqueda de raíces de polinomios.

Metodología: Dos clases semanales magistrales con explicaciones, ilustraciones y propuestas de

ejercicios y problemas por parte del profesor y con la participación activa de los estudiantes.

Contenidos:

1. Operaciones Binarias

1.1. Operaciones binarias.

1.2. Propiedades: Asociatividad y conmutatividad.

1.3. Existencia de elementos neutros e inversos laterales y bilaterales.

1.4. Ejemplos en Zn y otros conjuntos finitos con operaciones usuales y no usuales.

2. Números Naturales

2.1. Números naturales: Axiomas de Peano. Operaciones y propiedades.

2.2. Divisibilidad y orden.

2.3. Inducción, buen orden y recursión.

2.4. Nociones básicas de conteo, permutaciones, combinaciones y teorema del binomio.

3. Números Enteros

3.1. Construcción. Operaciones y sus propiedades.

3.2. Divisibilidad. Primos y compuestos. Algoritmo de la división.

3.3. Máximo Común Divisor y sus propiedades. Mínimo Común Múltiplo.

3.4. Algoritmo de Euclides. Congruencias.

3.5. Teorema fundamental de la Aritmética y sus consecuencias. Orden.

4. Números Racionales y Reales

4.1. Racionales: Expansión decimal. Operaciones y sus propiedades. Orden. Densidad.

Propiedad Arquimediana.

4.2. Reales: Expansión decimal. Operaciones y sus propiedades. Orden. Densidad. Propiedad

Arquimediana. Axioma de completez. Números algebraicos y trascendentes.

5. Números Complejos

5.1. Números Complejos: Definición, operaciones y sus propiedades.

5.2. Conjugado. Forma trigonométrica. Representación geométrica.

5.3. Teorema de Moivre. Raíces n-ésimas de números complejos.

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6. Polinomios.

6.1. Polinomios en una variable: Operaciones. Algoritmo de la división.

6.2. Teorema del residuo y teorema del factor. Factorización única. Mínimo Común Múltiplo y

Máximo Común Divisor.

6.3. Raíces: Raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros. Teorema fundamental

del álgebra. Factorización en los reales y en los complejos. Irreducibles y su

caracterización. Fracciones simples, fracciones parciales.

Observaciones: Se asumen dos horas de trabajo independiente por una hora presencial. Se

recomienda dejar talleres semanales para que el estudiante desarrolle y se generen discusiones en

clase sobre el trabajo realizado.



Allendoefer C.B y Oakley

C.O

Fundamentos de Matemáticas

Universitarias McGraw-Hill, tercera edición. 1982

Bloch E. R. Proofs and Fundamentals. Birkhauser, Boston 2000

Jiménez L.R., Gordillo E.,

y Rubiano G.N.

Teoría de números para

principiantes.


Colombia. Cuarta edición. 2002

Sheinerman E.R Matemáticas Discretas Thomson-Learning. 2004

Zalamea F. Fundamentos de Matemáticas


Colombia. 2007

Nombre de la asignatura: Programación y métodos numéricos

Código: 2015180

Créditos: 4


Correquisito: (2015555) Algebra lineal básica

Objetivos: 1. Adquirir conocimientos básicos sobre computadores e informática. 2. Suministrar los

conocimientos básicos de la programación de computadores en un lenguaje de programación (C,

C++, Fortran, o Pascal) en el contexto de los métodos numéricos. 3. Poner en práctica los

conocimientos sobre computadores, informática y lenguajes considerados en programas básicos

de métodos numéricos.

Contenidos:

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1. Introducción

1.1. Introducción a la plataforma de programación.

2. Variables, constantes, operadores y expresiones

2.1. Forma de un programa.

2.2. Edición del programa fuente, compilación y enlace, ejecución.

2.3. Nombres de identificadores.

2.4. Tipos de datos.

2.5. Modificadores de tipos.

2.6. Declaración de variables.

2.7. Variables locales y globales.

2.8. Sentencias de asignación.

2.9. Conversión de tipos.

2.10. Inicialización de variables.

2.11. Constantes.

2.12. Operadores aritméticos.

2.13. Incremento y decremento.

2.14. Operadores relacionales y lógicos.

2.15. Expresiones.

2.16. Conversión de tipos.

3. Comandos de control de flujo del programa

3.1. Sentencias if. Ifs anidados.

3.2. Sentencia switch.

3.3. Bucle for. Bucle while. Bucle do-while.

3.4. Ordenes exit, break.

4. Funciones

4.1. Forma de una función.

4.2. Valores devueltos.

4.3. Ámbito de una función.

4.4. Argumentos de una función.

4.5. Llamada por valor y llamada por referencia.

4.6. Recurrencia.

5. Arreglos

5.1. Arreglos unidimensionales.

5.2. Paso de arreglos unidimensionales en funciones.

5.3. Cadenas.

5.4. Arreglos bidimensionales.

5.5. Arreglos de cadenas.

5.6. Arreglos multidimensionales. Iniciación de arreglos.

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6. Apuntadores

6.1. Significado.

6.2. Variables apuntadores.

6.3. Operadores de apuntadores.

6.4. Expresiones, asignaciones, aritmética de apuntadores.

6.5. Comparación de apuntadores.

6.6. Apuntadores y arreglos.

6.7. Asignación dinámica.

6.8. Arreglos de apuntadores.

6.9. Apuntadores a apuntadores.

7. Archivos secuenciales

7.1. Lectura y escritura de la información sobre archivos.

8. Estructuras

8.1. Declaración, referencia a los elementos, arreglos de estructuras.

8.2. Paso de elementos de estructuras a funciones.

8.3. Paso de estructuras completas a funciones. (Uniones, enumeraciones).

9. Sistemas de ecuaciones lineales

9.1. El algoritmo de eliminación gaussiana sin pivoteo y con pivoteo parcial.

9.2. La factorización de Cholesky.

10. Calculo de los ceros de una función continua

10.1. El método de bisección.

10.2. El método de la regla falsa.

11. Métodos de interpolación.

11.1. El método de LaGrange.

11.2. El método de diferencias divididas.

12. Métodos de integración.

12.1. Regla del Trapecio y regla de Simpson.



H. Mora.

Introducción a C y a métodos

numéricos. Unibiblos, Bogotá 2004

H. Schildt Turbo C/C++, Manual de Referencia Osborne/McGraw-Hill, Madrid 1992

B. W. Kernighan & D.

M. Ritchie El Lenguaje de programación C.

Prentice-Hall

Hispanoamericana, México 1985

R. Glassey. Numerical Computation using C. Academic Press, Boston. 1993

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3° Semestre

Nombre: Introducción a la teoría de conjuntos

Código: 2025819

Créditos: 4

Prerrequisito: (2015168) Fundamentos en matemáticas

Descripción: Introducción al estudio de los axiomas en teoría de conjuntos. Proceso de organización del edificio de las matemáticas, precisando los cursos anteriores en esa línea (Fundamentos, Sistemas Numéricos). El manejo de axiomas básicos (pares, separación, uniones, partes, infinitud) permite introducir técnicamente las ideas básicas de uno-múltiple y corte-saturación (que llevan por ejemplo a los teoremas de la recursión en naturales). Los axiomas trascendentes (fundamentación, reemplazo, elección) permiten construir el esqueleto de los ordinales como reflejo infinitario del fragmento natural (con teoremas de recursión transfinita y consiguientes operaciones ordinales en todo el infinito). Los cardinales, como ordinales iniciales, codifican finalmente los tamaños de infinitud, con buenas operaciones de suma y multiplicación, y con una muy compleja operación de exponenciación que lleva a los primeros problemas indecidibles de la teoría de conjuntos (hipótesis del continuo, vía Gödel y Cohen).Como remedio parcial, la teoría de cofinalidades ayuda a manejar algunos fragmentos de la exponencial.

Contenidos:

1. Axiomas iniciales

1.1. Axioma de Pares.

1.2. Axioma de Uniones.

1.3. Axioma de Separación.

1.4. Axioma de Partes.

1.5. Reconstrucción de relaciones, funciones, equivalencias, órdenes.

1.6. Lo uno y lo múltiple en la definición de conjunto según Cantor.

1.7. Procesos generales de corte y saturación

2. Aritmética

2.1. Conjuntos inductivos.

2.2. Axioma de infinitud.

2.3. Aritmética de Peano.

2.4. Teorema de la Recursión.

2.5. Construcción de suma, multiplicación, exponenciación naturales.

3. Tamaño de Conjuntos

3.1. Finitud.

3.2. Enumerabilidad.

3.3. Teorema de Schröder-Bernstein.

3.4. Teorema de Cantor (crecimiento estricto de partes).

3.5. Operaciones cardinales.

4. Ordinales

4.1. Estructura (transitividad, linealidad).

4.2. Axioma de fundamentación.

4.3. Generación de ordinales.

17

4.4. Inducción transfinita.

4.5. Recursión transfinita.

4.6. Construcción de suma, multiplicación, exponenciación ordinales.

4.7. Axioma de reemplazo.

5. Cardinales y Alephs

5.1. Axioma de elección.

5.2. Teorema de buena ordenación.

5.3. Lema de Zorn.

5.4. Cardinales como ordinales iniciales.

5.5. Conjunto de Hartogs.

5.6. Construcción de la escala de los alephs-

5.7. Exponenciación.

5.8. Cofinalidades.

Bibliografía básica


A. Levy Basic Set Theory Springer 1979

K. Hrbacek, T. Jech Introduction to Set Theory

Dekker 1999

M. Foreman, A. Kanamori et.al.

Handbook of Set Theory

Springer 2010

K. Kuratowski Introducción a la teoría de conjuntos

Vicens Vives 1966

Nombre de la asignatura: Cálculo vectorial

Código: 2015162

Créditos: 4


Prerrequisito: (2015556) Cálculo integral en una variable

Objetivo: 1. Entender las nociones de derivación e integración al curso de funciones de varias

variables. 2. Estudiar los teoremas clásicos del cálculo vectorial.

Contenidos:

1. Cálculo diferencial de funciones de varias variables

1.1. Superficies cuádricas. Funciones escalares de varias variables.

1.2. Límites y continuidad.

1.3. Derivadas parciales, diferenciabilidad, planos tangentes.

1.4. Regla de la cadena.

1.5. Las derivadas direccionales y el vector gradiente.

1.6. Derivadas parciales de orden superior.

18

1.7. Valores máximos y mínimos de una función de varias variables.

1.8. Multiplicadores de LaGrange.

2. Integración múltiple

2.1. Integrales dobles sobre rectángulos. Integrales iteradas.

2.2. Integrales dobles sobre regiones generales.

2.3. Integrales dobles en coordenadas polares.

2.4. Aplicaciones de las integrales dobles.

2.5. Integrales triples.

2.6. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y

esféricas.

2.7. Cambio de variables en las integrales múltiples.

2.8. Aplicaciones de las integrales triples.

3. Elementos de cálculo vectorial

3.1. Funciones vectoriales y curvas en el espacio. Derivadas e integrales de funciones

vectoriales. Longitud de arco e integral escalar de línea.

3.2. Campos vectoriales. Integrales de línea.

3.3. El teorema fundamental de las integrales de línea.

3.4. Superficies paramétricas. Área de una superficie e integral escalar de una superficie.

3.5. Integrales de superficie.

3.6. El Divergente de un campo vectorial. Teorema de la divergencia de Gauss.

3.7. El rotacional de un campo vectorial. Teorema de Stokes.

3.8. Teorema de Green.



James Stewart Cálculo. Conceptos y contextos International Thomson Editores 1999

J. E. Marsden & A. J.

Tromba Cálculo vectorial. Cuarta edición. Adison Wesley Longman 1996

C. Pita Cálculo Vectorial Prentice Hall, 1ª edición 1995

S. K. Stein Cálculo y Geometría Analítica Mc Graw Hill, 5ª edición 1995

T. M. Apostol Calculus Reverté, 2ª edición 1982

19

Nombre de la asignatura: Mecánica Newtoniana

Código: 2015176

Créditos: 4


Correquisito: (2016377) Cálculo diferencial a una variable

Objetivos: Iniciar la formación del estudiante en el rigor propio de la física teórica. Presentar los

principios de la mecánica Newtoniana y a partir de ellos deducir formalmente los teoremas de la

mecánica Newtoniana. Aplicar la mecánica Newtoniana en ejemplos concretos.

Metodología: Se presentarán los principios o leyes fundamentales de la mecánica Newtoniana,

para a partir de éstos deducir las demás relaciones entre las cantidades mecánicas. Este curso se

debe entender como el primer curso de física teórica formal y por lo tanto es importante hacer

énfasis en el formalismo matemático de la mecánica de Newton.

Acompañamiento: Los estudiantes inscritos en la asignatura tendrán acompañamiento por parte

de un docente auxiliar o un tutor para la realización de sesiones de ejercicios asignará el docente

titular de la asignatura.

Contenidos:

1. Leyes de la mecánica newtoniana

1.1. Partícula, masa, espacio y tiempo como cantidades absolutas.

1.2. Ecuaciones de la cinemática en diferentes sistemas decoordenadas.

1.3. Primera y Segunda Ley de Newton: Sistemas inerciales de referencia, Interacciones

fundamentales y fuerzas, principio de superposición de fuerzas, fuerza resultante, ecuación

de movimiento. Ejemplos de leyes de fuerza: Ley de gravitación universal de Newton y Ley

de Coulomb.

2. Aplicaciones básicas de las leyes de Newton

2.1. Rango de validez de la mecánica newtoniana.

2.2. Solución de la ecuación de movimiento para fuerza constante, movimiento cerca de la

superficie terrestre, fuerza de fricción entre cuerpos sólidos.

2.3. Fuerza de fricción en fluidos.

2.4. Fuerzas de restitución y oscilador armónico libre.

3. Movimiento curvilíneo general

3.1. Componentes tangencial y normal de la fuerza.

20

3.2. Variables angulares, velocidad angular, movimiento circular, moméntum angular, torque,

ecuación de movimiento para el moméntum angular.

4. Trabajo y energía

4.1. Definición de trabajo y potencia.

4.2. Teorema del trabajo y la energía cinética.

4.3. Fuerzas conservativas.

4.4. Energía potencial.

4.5. Conservación de la energía mecánica.

4.6. Ejemplos de energía potencial para sistemas conservativos.

4.7. Discusión de curvas de energía potencial.

4.8. Fuerzas no-conservativas y disipación de energía.

5. Sistemas de partículas.

5.1. Moméntum para un sistema de muchas partículas.

5.2. Centro de masa.

5.3. Conceptos de fuerza externa e interna.

5.4. Teorema del centro de masa.

5.5. Leyes de conservación para el moméntum lineal y angular.

5.6. Sistemas de dos partículas: fuerza central, reducción del problema de dos curpos a un

cuerpo, introducción a teoría de colisiones.

6. Introducción a la dinámica del cuerpo rígido

6.1. Definición de cuerpo rígido.

6.2. Rotación de un cuerpo rígido con eje fijo: momento de inercia.

6.3. Análisis cualitativo del movimiento giroscópico.

7. Mecánica newtoniana en sistemas de coordenadas no-inerciales

7.1. Sistemas inerciales y acelerados.

7.2. Derivada relativa de un vector.

7.3. Dinámica del movimiento relativo.

7.4. Movimiento de una partícula referido a la tierra.



Kleppner D. And

Kolenkow R.

An Introduction to Mechanics. McGraw–Hill, International Student

Edition

1973

Greiner W. Theoretische Physik, Band 1: Mechanik I. Frankfurt am Main, Verlag Harri Deutsch 1977

Física, volumen I: Mecánica. Bogotá, Fondo Educativo

Interamericano 1971

Hertig R. R. Mecánica teórica. El Ateneo 1970

Simón K. R. Mechanics. Wesley 1960

Marion J. B. Classical Dynamics of Particles and

Systems.

Academic Press 1970

21

4° semestre

Nombre de la asignatura: Cálculo de ecuaciones diferenciales ordinarias

Código: 2016342

Créditos: 4


Prerrequisito: (2015555) Algebra lineal básica, (2015556) Cálculo integral en una variable

Objetivo: 1. Modelar por medio de ecuaciones diferenciales algunos sistemas simples y predecir

su comportamiento. 2. Comprender y utilizar las diferentes técnicas analíticas y cualitativas para

resolver ecuaciones diferenciales.

Metodología: Clases magistrales y talleres.

Contenidos:

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1. Preliminares: Orden, clasificación y soluciones de las ecuaciones diferenciales. Ejemplos de

sistemas reales modelados por medio de ecuaciones diferenciales: Variables

independientes, variables dependientes y parámetros. Técnicas para analizar ecuaciones

diferenciales (analíticas, cualitativas y numéricas).

1.2. Técnicas analíticas: Separación de variables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones exactas,

factor integrante y ecuaciones lineales.

1.3. Técnica cualitativa: Campo de pendientes. Técnica numérica: Método de Euler. Teorema de

existencia y unicidad de las soluciones. Ecuaciones autónomas y soluciones de equilibrio.

Línea de fase.

1.4. Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden (trayectorias ortogonales, mezclas,

enfriamiento y calentamiento de objetos, circuitos, movimientos en una dimensión con

fricción y modelos de poblaciones).

2. Ecuaciones de orden superior y sistemas

2.1. Preliminares: Ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas, problemas de valor inicial

y de valor en la frontera. Teorema de existencia y unicidad. Independencia lineal. El

Wronskiano. Reducción del orden para ecuaciones lineales de segundo orden. Ecuación

lineal homogénea con coeficientes constantes.

2.2. Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes. Algunas aplicaciones de la

ecuación ax’’+bx’+cx=f(t) (circuitos LRC, movimientos amortiguados forzados, resonancia).

22

2.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Ecuaciones lineales de orden superior como

sistemas. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden. Teoremas de existencia y

unicidad. Geometría de los sistemas autónomos: El campo vectorial. Soluciones de

equilibrios y soluciones periódicas. Retrato de fase de los sistemas autónomos en el plano.

2.4. Solución de un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes: La exponencial de

una matriz. Valores propios reales diferentes, valores propios complejos. Valores propios

repetidos. El plano traza-determinante para sistemas lineales homogéneos con coeficientes

constantes en el plano.

2.5. Solución particular para los sistemas no homogéneos: Coeficientes indeterminados y

variación de parámetros.

2.6. Método de Euler para sistemas autónomos. Sistemas no lineales: Linealización alrededor de

puntos de equilibrio. Isoclinas (nulclinales) y análisis cualitativo.

3. Transformada de LaPlace

3.1. Transformada de LaPlace. Transformada inversa. Teoremas de traslación y derivadas de

una transformada. Transformadas de derivadas, integrales y funciones periódicas.

3.2. Funciones delta y forzamiento de impulso. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y

sistemas.

4. Series de Potencias

4.1. Series de potencias. Ecuaciones lineales: Puntos ordinarios y singulares. Soluciones con

series de potencias en torno a puntos ordinarios.

4.2. Soluciones en torno a puntos singulares regulares (teoría de Frobenius).

4.3. Dos ejemplos: Ecuaciones de Bessel y Legendre.



Boyce, W.; Diprima, R

Ecuaciones diferenciales y problemas

con valores en la frontera

Paul, Blanchard; Devaney,

Robert and Hall, Glen Ecuaciones diferenciales Thomson Editores 1999

Zill, Dennis

Ecuaciones diferenciales con

aplicaciones de modelado. Sexta edición 1998

23

Nombre de la asignatura: Introducción al análisis real

Código: 2015155

Créditos: 4

Tipología: Disciplinar

Prerrequisito: (2015181) Sistemas numéricos

Descripción: El análisis es la rama de la matemática que proporciona métodos para la

investigación cuantitativa de los distintos procesos de cambio, movimiento y dependencia de una

magnitud respecto de otras. Surge así, de manera natural, en un período en el que el desarrollo de

la mecánica y la astronomía, nacidas de los problemas de la tecnología y la navegación, habían

proporcionado ya un cúmulo considerable de observaciones, medidas e hipótesis y estaban

impulsando a la ciencia hacia la investigación cuantitativa de las formas más sencillas de

movimiento. En otras palabras, el problema del análisis es el estudio de las funciones, esto es, de

la dependencia de una variable respecto de otra.

Objetivos: 1. Introducir al estudiante a los conceptos fundamentales de espacios métricos. 2.

Entender las propiedades de las funciones entre espacios métricos y en particular funciones reales.

Metodología: Consiste en clase magistral y listas de ejercicios.

Contenidos:

1. Números reales

1.1. Sistemas de números reales: Axiomas de cuerpo, axiomas de orden.

1.2. Existencia de raíces cuadradas y números irracionales.

2. Espacios métricos

2.1. Definición y ejemplos. Métricas equivalentes. Conjuntos abiertos y cerrados.

2.2. Sucesiones. Convergencia de sucesiones. Límite superior y límite inferior. Clausura, puntos

de acumulación y frontera.

2.3. Completez. Compacidad: Teorema de Bolzano-Weierstrass.

2.4. Conjuntos perfectos. Conexidad.

3. Funciones continuas entre Espacios Métricos

3.1. Funciones continuas sobre espacios métricos. Funciones continuas sobre espacios

métricos compactos. Homeomorfismos.

3.2. Sucesiones de funciones.

3.3. Continuidad y conexidad.

3.4. En la recta real: Funciones monótonas, límites infinitos y límites en el infinito.

24

4. Cálculo diferencial en la recta

4.1. Diferenciabilidad.

4.2. Teoremas de Rolle y del valor medio.

4.3. Regla de L'Hopital. Teorema de Taylor.

4.4. Derivadas de funciones vectoriales.

Observaciones: En este curso se debe hacer énfasis en compacidad y conexidad.



T. M. Apostol Análisis Matemático, 2a.Ed

Editorial Reverté

S.A. 1986

E. L. Lima Curso de análise. Vol. 1

Impa, Proyecto

Euclides 2000

L. Rendón Curso virtual de análisis UNAL - Colombia 2004

W. Rudin Principios de Análisis Matemático McGraw-Hill 1987

Nombre de la asignatura: Probabilidad

Código: 2015178

Créditos: 4


Prerrequisito: (2015556) Cálculo integral en una variable

Objetivos: Al final del curso el estudiante debe conocer, manejar e interpretar los axiomas y los

conceptos fundamentales de la teoría de la probabilidad y reconocer en casos específicos los

modelos probabilísticos más adecuados en la descripción de una situación real

Metodología: Exposición magistral. Elaboración de trabajos en grupo acerca de ejercicios

propuestos por el docente

Contenidos:

1. Conceptos básicos de probabilidad

1.1. Sigma-algebras.

1.2. Medida de probabilidad.

1.3. Espacio de probabilidad.

25

1.4. Espacios de probabilidad Laplacianos.

1.5. Probabilidad condicional.

1.6. Independencia de eventos.

1.7. Teorema de probabilidad total y regla de Bayes.

2. Variables aleatorias y sus distribuciones


2.2. Función de distribución.

2.3. Variables aleatorias discretas y continuas.

2.4. Distribución de una función de una variable aleatoria.

3. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria


3.2. Propiedades del valor esperado y de la varianza de una variable aleatoria.

3.3. Función generadora de momentos.

3.4. Función característica.

4. Distribuciones discretas de uso frecuente

4.1. Uniforme discreta.

4.2. Binomial.

4.3. Hipergeométrica.

4.4. Poisson.

4.5. Binomial negativa.

4.6. Binomial geométrica.

5. Distribuciones de tipo continuo de uso frecuente

5.1. Uniforme.

5.2. Normal.

5.3. Gamma.

5.4. Exponencial.

5.5. Chi-cuadrado.

5.6. Beta.

5.7. Log-normal.

5.8. Weibull.

5.9. Cauchy.

6. Distribución conjunta de variables aleatorias

6.1. Funciones de distribución conjunta.

6.2. Variables aleatorias independientes.

6.3. Covarianza y coeficiente de correlación.

6.4. Distribución de una función de un vector aleatorio.

6.5. Distribución de la suma, diferencia, producto y cociente de variables aleatorias.

6.6. Distribuciones F y T-Student.

26

6.7. Funciones generadora de momentos y características conjuntas. Distribución conjunta de

la media y la varianza muestral.

6.8. Distribución normal multivariada.

7. Distribución condicional y valor esperado condicional

7.1. Función de distribución condicional y valor esperado condicional: casos discreto y continuo.

7.2. Propiedades del valor esperado condicional.

7.3. Varianza condicional.

8. Varianza condicional.

8.1. Desigualdades de Markov, Chebyshev y Jensen.

8.2. Convergencia en probabilidad, casi siempre y en ley de sucesiones de variables aleatorias.

8.3. Las leyes débil y fuerte de los grandes números. Teorema central del límite.



Blanco, L. Probabilidad

Colección Textos. Facultad de

Ciencias. Universidad Nacional de

Colombia. 2004

Ross,S. A first course in Probability Prentice Hall. Sexta edición. 2002

Ash, R.

Probability and Measure

Theory Academic Press. 2000

Nombre de la asignatura: Fundamentos de electricidad y magnetismo

Código: 1000017

Créditos: 4


Prerrequisito: (2015176) Mecánica newtoniana, (20126377) Calculo diferencial a una variable

Objetivos: En general se pretende lograr el aprendizaje significativo de los conceptos de

electricidad y magnetismo por parte de los estudiantes. Esto significa básicamente que los

estudiantes desarrollen capacidad para enfrentar y resolver problemas en el campo de la

electricidad y magnetismo.

27

Los objetivos específicos son:

Calcular campos y/o potenciales eléctricos de configuraciones elementales.

Calcular campos magnéticos estáticos de configuraciones elementales.

Analizar circuitos resistivos y capacitivos de corriente directa.

Calcular la fuerza electromotriz inducida en situaciones electromagnéticas simples.

Sintetizar las leyes de Maxwell en forma diferencial e integral.

Aplicar los conceptos de campo y potencial a casos eléctricos y magnéticos elementales.

Metodología: Durante la semana habrán tres sesiones de 2 horas cada una, que se

corresponderán con: clase magistral, taller de ejercicios y práctica de laboratorio. La asistencia a

todas ellas es obligatoria. La pérdida del 10% de las clases sin justificación dará lugar a la

pérdida de la asignatura.

Contenidos:

1. Electrostática

1.1. Carga eléctrica y propiedades.

1.2. Ley de Coulomb.

1.3. Estructura eléctrica de la materia.

1.4. Campo eléctrico.

1.5. Potencial eléctrico.

1.6. Relaciones energéticas en un campo eléctrico.

1.7. Ley de Gauss. Problema de conductores en equilibrio.

1.8. Capacidad eléctrica.

2. Corriente y resistencia eléctrica

2.1. Ley de Ohm.

2.2. Circuitos de corriente directa.

2.3. Leyes de Kirchhoff.

2.4. Circuito RC.

3. Magnetostática

3.1. Fuerza magnética sobre una carga en movimiento.

3.2. Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica.

3.3. Torque magnético sobre una espira de corriente.

28

3.4. Campo magnético producido por una corriente.

3.5. Ley de Biot-Savart. Ley de Ampere.

4. Inducción electromagnética

4.1. Flujo magnético.

4.2. Ley de Faraday – Henry.

4.3. Inducción electromagnética.

4.4. Autoinducción magnética.

4.5. Energía del campo magnético.

4.6. Circuitos RL y RLC.

4.7. Ecuaciones de Maxwell.



Reitz, Milford, Christy. Fundamentos de la Teoría

Electromagnética, 4ª ed.,

Addison-Wesley, EEUU. 2000

Alonso Finn Física, vol. I y II. Addison-Wesley, EEUU. 1992

Sears, Zemansky. Física Universitaria, vol. I y II. Pearson 2005

Serway, Raymond. Física Universitaria, vol. II, 6ª

edición.

Thomson. 2006

Holliday, Resnick, Krane. Fundamentos de Física, vol. II. Editorial Continental. 1996

Gettys, Keller, Skove. Física clásica y moderna. Mc-Graw Hill. 1988

Ortiz, Bautista. Notas de Clase:

Electromagnetismo [Guías de

laboratorio para estudiantes de

ciencias e ingeniería]


Colombia

2003

29

5° Semestre

Nombre de la asignatura: Grupos y anillos

Código: 2015152

Créditos: 4


Prerrequisito: (2025819) Introducción a la Teoría de Conjuntos

Descripción: Curso básico del área de álgebra en el cual se introducen dos de las principales

estructuras algebraicas, a saber: los grupos y los anillos. En la parte de grupos se destacan los

siguientes tópicos: el teorema de Lagrange, los teoremas fundamentales de homomorfismo e

isomorfismo, los automorfismos, la teoría de Sylow y los grupos abelianos finitos. Conocer los

conceptos fundamentales de la teoría de grupos y la teoría de anillos.

Objetivos: Reconocer y aplicar los conceptos, resultados y técnicas fundamentales de la teoría de

grupos y la teoría de anillos. Desarrollar destrezas básicas en el estudio de estructuras

algebraicas.

Contenidos:

1. Grupos y subgrupos.

1.1. Grupos y subgrupos.

1.2. Grupos cíclicos.

1.3. Clases laterales y teorema de Lagrange.

1.4. Subgrupos normales y grupo cociente.

2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo

2.1. Homomorfismos e isomorfismos.

2.2. Teorema fundamental de homomorfismo.

2.3. Teorema de correspondencia.

2.4. Teoremas de isomorfismo.

2.5. Automorfismos.

2.6. Teorema de Cayley.

3. Grupos de permutaciones

3.1. Grupo simétrico.

3.2. Grupo alternante.

3.3. Grupo dihédrico.

3.4. Propiedades del grupo dihédrico.

4. Producto y suma directa

30

4.1. Producto cartesiano finito

4.2. Suma directa interna

4.3. Propiedades

5. Teoremas de Sylow

5.1. P-grupos

5.2. Teoremas de Sylow

5.3. Aplicaciones

6. Grupos abelianos finitos

7. Grupos abelianos finitos

7.1. Divisores elementales y sistema de invariantes

7.2. Grupos de orden < 16.

8. Teoría básica de anillos

8.1. Anillos y subanillos

8.2. Ideales

8.3. Anillo cociente y homomorfismos

8.4. Producto de anillos

8.5. Ideales primos y maximales

9. Dominios de integridad

9.1. Dominios euclidianos

9.2. Dominios de ideales principales

9.3. Dominios de Gauss

9.4. Cuerpo de fracciones

10. Anillos de polinomios

10.1. Construcción del anillo de polinomios

10.2. Propiedades básicas

10.3. Polinomios sobre cuerpos

10.4. Polinomios irreducibles

10.5. Teorema de Gauss



Fraleigh, J.B

A First Course in Abstract

Algebra

Pearson Addison-

Wesley 2002

Lang, S. Undergraduate Algebra Springer 1990

Dummit, D.S, y Foote, R. M Abstract Algebra Prentice Hall 1991

Herstein, I. N Algebra Abstracta Grupo Editorial 1998

31

Iberoamericano

Corry, L.

Modern Algebra and the Rise of

Mathematical Structures Springer 2003

Hungerford, T.W. Algebra Springer 2003

Cohn, P.M.

Basic Algebra: groups, rings and

fields Springer 2003

Hazewinkel, M. Gubareni, N.

and Kirichenko,

V.V.

Algebras, Rings and Modules,

Vol.1 Kluwer 2005

Nombre de la asignatura: Integración y series

Código: 2015153

Créditos: 4


Prerrequisito: (2015155) Introducción al análisis real

Descripción: El objetivo principal de este curso es la adquisición de destrezas por parte del

estudiante para resolver problemas de convergencia y de integrabilidad. Dichos problemas,

conducen al estudio de algunos espacios de dimensión infinita, lo que le da una buena base para

el curso de Análisis funcional.

Metodología: Clase magistral con la participación activa del estudiante.

Contenidos:

1. Integración

1.1. Integral de Riemann-Stieltjes. Propiedades, ejemplos.

1.2. Funciones de variación acotada.

1.3. Funciones monótonas. Teoremas del valor medio.

1.4. Reducción a una integral de Riemann. Criterio de Lebesgue para la integral de Riemann.

2. Series numéricas

2.1. Sucesiones numéricas y su convergencia.

2.2. Series. Criterios de convergencia: De comparación, de la raíz, del cociente.

2.3. Convergencia absoluta y condicional. Teorema de Riemann.

2.4. Criterios de Dirichlet y Abel. Series dobles y sumabilidad sobre un conjunto arbitrario de

índices. El producto de Cauchy. Productos infinitos.

32

3. Sucesiones de funciones

3.1. Convergencia puntual y uniforme. Criterio M de Weierstrass. Convergencia uniforme y

continuidad, convergencia uniforme e integración y Convergencia uniforme, derivación.

Convergencia en media. Series de potencias.

3.2. Los teoremas de aproximación de Weierstrass y el de Stone-Weierstrass.

3.3. El teorema de Arzela-Ascoli.

4. Introducción a las series de Fourier

4.1. Series de Fourier. El lema de Riemann-Lebesgue. Teorema de Fejer. Criterios de Dini y el

de Jordan-Dirichlet para la convergencia de la serie de Fourier de una función en L1.

Convergencia de la serie de Fourier de una función en L2 y la identidad de Parseval.



T. M. Apostol Análisis Matemático, 2a. Edición Addison-Wesley, Reading 1974

W. Rudin Principios de Análisis Matemático Mac-GrawHill 1980

J. Kitchen Cálculo Mac-GrawHill 1986

Nombre de la asignatura: Topología general

Código: 2015158

Créditos: 4



Descripción: El curso busca familiarizar al estudiante con las nociones y técnicas básicas de la

topología conjuntista, haciendo énfasis en las nociones de continuidad, compacidad, conexidad y

en las propiedades de separación. Se realizan clases magistrales y se busca la participación activa

de los estudiantes mediante exposiciones y resolución de problemas.

Contenidos:

1. Espacios métricos

1.1. Métricas y seudométricas.

33

1.2. Funciones continuas.

1.3. Topología de un espacio métrico.

2. Espacios topológicos

2.1. Bases para una topología - Conjuntos abiertos.

2.2. Espacios topológicos.

2.3. Vecindades.

2.4. Conjuntos cerrados.

2.5. Adherencia de un conjunto.

2.6. Puntos de acumulación.

2.7. Interior, exterior y frontera de un conjunto.

2.8. Subespacios.

3. Funciones continuas

3.1. Funciones continuas.

3.2. Homeomorfismos e inmersiones.

4. Topologías iniciales y topologías finales

4.1. Estructuras iniciales - Topología inicial.

4.2. Topología producto.

4.3. Productos arbitrarios.

4.4. Estructuras finales - Topología final.

4.5. Topología cociente.

5. Propiedades de separación y propiedades de enumerabilidad

5.1. Espacios T_0 y espacios T_1.

5.2. Espacios de Hausdorff - T_2.

5.3. Espacios regulares y espacios T_3.

5.4. Espacios completamente regulares y espacios de Tychonoff.

5.5. Adherencia de un conjunto.

5.6. Puntos de acumulación.

5.7. Espacios normales.

5.8. El Lema de Urysohn y el Axioma de extensión de Tietze. Teorema de metrizacion de

Urysohn.

5.9. Propiedades de enumerabilidad.

6. Espacios Compactos

6.1. Espacios compactos.

6.2. El Teorema de Tychonoff.

6.3. Espacios localmente compactos y la compactificación de Alexandroff. Compactificacion de

Stone-Cech.

6.4. Compacidad en espacios métricos.

6.5. Teorema de Baire.

34

7. Espacios Conexos

7.1. Espacios conexos.

7.2. Propiedades de los espacios conexos.

7.3. Componentes conexas.

7.4. Conexidad por arcos.

7.5. Espacios localmente conexos.



Clara Marina Neira U. Notas de clase 2006

Gustavo Rubiano O. Topología General

Universidad Nacional

de Colombia 2000

G. B. Simmons

Introduction to Topology and

Modern Analysis Mc Graw-Hill 1963

S. Willard General Topology Addison-Wesley 1970

Nombre de la asignatura: Análisis numérico

Código: 2015150

Créditos: 4



Descripción: La matemática ha mostrado ser clave en el estudio de los fenómenos y procesos que

ocurren en el mundo real. Sin embargo estos modelos matemáticos pueden llegar a ser tan

complejos que solo con la ayuda del computador pueden ser resueltos. Para cumplir con este

objetivo se deben proponer, desarrollar, analizar y aplicar métodos y algoritmos que solucionen de

manera efectiva y confiable el correspondiente problema matemático; el cual puede provenir de

diversas ramas de la matemática tales como el análisis, el algebra lineal, ecuaciones diferenciales,

optimización, teoría de la aproximación, etc. Es precisamente en todo lo anterior de lo que se trata

el análisis numérico.

35

En este curso los problemas que enfrentaremos son: Búsqueda de raíces de ecuaciones no

lineales, aproximación de funciones por polinomios, cálculo de derivadas e integrales,

resolveremos sistemas de ecuaciones lineales así como ecuaciones diferenciales ordinarias.

Objetivos generales: 1. Introducir la computación científica en el currículo de la carrera. 2.

Combinar nociones teóricas de análisis y álgebra para construir métodos numéricos.

Objetivos específicos:

1. Entender en profundidad: La matemática detrás de estos problemas, ¿qué hace que los

métodos numéricos funcionen y cuáles son sus limitaciones?

2. Resaltar el papel del análisis numérico en la solución de problemas aplicados.

3. Tener contacto directo con el computador en el trabajo con modelos numéricos.

4. Entender e interpretar los resultados obtenidos con el computador.

Contenidos:

1. Introducción

1.1. Teorema de Taylor.

1.2. Análisis de Error.

1.3. Orden de convergencia, notación O y o.

1.4. Conceptos de estabilidad, condicionamiento.

2. Ecuaciones no lineales en una variable

2.1. Método de Bisección.

2.2. Método de Newton.

2.3. Iteraciones de punto fijo y teorema de punto fijo de Banach.

2.4. Determinación de ceros de polinomios: Esquema de Horner, método de Muller, método de

Bairstow.

3. Algebra lineal numérica

3.1. Eliminación de Gauss, descomposiciones LU y Cholesky. Estrategias de Pivoteo.

3.2. Descomposición QR y rotaciones Givens.

3.3. Teoría de perturbación: Normas vectoriales y matriciales, estimaciones a priori del error.

3.4. Métodos iterativos para sistemas lineales: Forma básica, convergencia, método de Jacobi,

Gauss-Seidel, sobrerrelajación.

3.5. Otros tópicos de algebra lineal numérica.

4. Interpolación de funciones

4.1. Interpolación polinómica.

4.2. Diferencias divididas.

4.3. Interpolación de Hermite.

4.4. Interpolación Spline.

36

4.5. Concepto de mejor aproximación, teoría de Chebyshev.

5. Integración numérica

5.1. Fórmulas de Newton Cotes.

5.2. Cuadratura de Gauss-Legendre.

5.3. Extrapolación de Richardson e integración de Romberg.

6. Introducción a métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias

6.1. Problemas de valores iniciales: Métodos de Serie de Taylor y métodos Runge-Kutta para

ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.

6.2. Métodos multipaso.

Observaciones: Incentivar el uso de software matemático como MATLAB, Scilab, Octave, etc.



Kinkaid D y Cheney E. W

Numerical Analysis: mathematics of

scientific computing 3ª Edición Brooks Cole 2002

Dahlquist G, Bjorck A

Numerical methods in scientific computing

Vol 1 SIAM 2008

Mantilla I Análisis Numérico Unibiblos 2005

Burden R.L, J. D Faires Análisis Numérico 7 Edición Thomson 2002

Mathews J.H, Fink K.

Métodos numéricos con MATLAB, 3a

Edición Prentice Hall 2000

Stoer J, Bulirsch R

Introduction to Numerical Analysis, 2nd

Edition Springer Verlag 1993

37

6° Semestre

Nombre de la asignatura: Algebra multilineal y formas canónicas

Código: 2015149

Créditos: 4


Prerrequisito: (2015152) Grupos y anillos

Descripción: El curso consta de tres partes, a saber: la primera está dedicada al estudio de las

formas canónicas clásicas sobre cuerpos, es decir, la forma diagonal, la diagonal en bloques, la

forma canónica racional de Frobenius y la forma canónica de Jordan. La segunda parte está

dedicada a los espacios con producto interno, tanto reales como complejos. La generalización del

producto interno es estudiada a través de las formas bilineales y cuadráticas sobre cuerpos

arbitrarios. En la tercera parte se estudia el producto tensorial y exterior de espacios vectoriales y

las funciones multilinelaes y tensores.

Objetivos: Reconocer y aplicar los conceptos, resultados y técnicas avanzadas del álgebra lineal

tales como las formas canónicas, el producto interno, las formas bilineales y cuadráticas, el

producto tensorial de espacios vectoriales, el álgebra tensorial y el álgebra exterior de un espacio.

Contenidos:

1. Formas canónicas

1.1. Polinomio mínimo.

1.2. Forma canónica triangular.

1.3. Diagonalización en bloques.

1.4. Teorema de descomposición irreducible.

1.5. Teorema de descomposición cíclica.

1.6. Forma canónica racional de Frobenius.

1.7. Forma canónica de Jordan

2. Espacios duales

2.1. Dual de un espacio vectorial

2.2. Subespacio anulador

2.3. Doble dual

2.4. Transpuesta de una transformación lineal

3. Producto interno

3.1. Espacios unitarios.

38

3.2. Transformaciones y matrices adjuntas.

3.3. Transformaciones hermitianas y simétricas.

3.4. Diagonalización

3.5. Transformaciones unitarias y ortogonales

3.6. Transformaciones normales

4. Formas bilineales

4.1. Formas bilineales

4.2. Rango

4.3. Formas bilineales simétricas

4.4. Formas bilineales antisimétricas

4.5. Formas sesquilineales

4.6. Formas hermitianas

5. Formas cuadráticas

5.1. Formas cuadráticas

5.2. Suma de cuadrados

5.3. Formas cuadráticas y formas hermitianas

6. Producto tensorial

6.1. Producto tensorial de espacios vectoriales.

6.2. Producto tensorial de matrices

6.3. Álgebra tensorial de un espacio vectorial

6.4. Álgebra exterior de un espacio vectorial

6.5. Funciones multilineales y tensores

6.6. Tensores simétricos, antisimétricos y alternados

6.7. Álgebras y producto tensorial



Strang, G. Introduction to Linear Algebra Wellesley-Cambridge Press 2009

Roman, S., Advanced Linear Algebra Springer 1992

Fraleigh, B. and

Beauregard, R. Linear Algebra Addison-Wesley 1994

Dummit, D.S, y

Foote, R. M Abstract Algebra Prentice Hall 1991

Hoffman, K. and

Kunze, R. Algebra Lineal Prentice-Hall 1971

Hungerford T Algebra Springer-Verlag 1974

39

Herstein, I. N Topics in Algebra, 2ª ed. Xeros College Pub 1975

Lang, S. Algebra Springer 2002

Nombre de la asignatura: Análisis vectorial

Código: 2015151

Créditos: 4


Correquisito: (2015149) Algebra multilineal y formas canónicas

Descripción: En este curso se estudia en forma rigurosa los aspectos diferenciales e integrales de

las funciones de varias variables y se introducen estos mismos en el caso de las variedades.

Contenidos:

1. Funciones de varias variables en Rn. Diferenciación.

1.1. Derivación en Rn. Derivadas parciales, derivadas direccionales.

1.2. Diferenciablidad. Jacobiano. Regla de la cadena.

1.3. Teorema del valor medio. Intercambio del orden de integración. Derivadas de orden

superior. Formula de Taylor.

1.4. Funciones de clase C1. Teorema de la aplicación abierta. Teorema de la función inversa.

1.5. Teorema de la función implícita. Teorema del rango.

1.6. Problemas extremos. Extremos relativos. Teorema de multiplicadores de LaGrange.

2. Integración en Rn

2.1. Integración en Rn. Contenido zero. Sumas de Riemann. Criterio de Cauchy.

2.2. Teorema de integrabilidad. Conjuntos con contenido nulo. Propiedades de la integral.

2.3. Teorema del valor medio. Integrales iteradas.

2.4. Imágenes de conjuntos con contenido por aplicaciones C1. Transformaciones por

aplicaciones lineales. Transformaciones por aplicaciones no-lineales.

2.5. Teorema del Jacobiano. Teorema de cambio de variables.

3. Formas diferenciales. Integración en variedades. Teoremas clásicos

3.1. Formas diferenciales.

3.2. Integración en cadenas. Teorema de Stokes.

3.3. Integración en variedades.

3.4. Teoremas clásicos de Stokes, Gauss, Divergencia.

40



R. Bartle The elements of real analysis. John Wiley & Sons 1976

T. M. Apostol Análisis Matemático, 2a. Ed. Addison-Wesley, Reading 1974

M. Spivak Calculus on manifolds. Benjamin Inc. 1965

W. Rudin Principios de Análisis Matemático McGraw-Hill 1980

E. Lima Curso de analise. Projeto Euclides, IMPA 1989

Nombre de la asignatura: Lógica matemática

Código: c

Créditos: 4



Descripción: El curso pretende estudiar la formalización clásica del pensamiento y mostrar cómo

se usa el lenguaje formal para describir estructuras matemáticas.

Contenidos:

1. Introducción

1.1. ¿Hacia dónde va el curso?

1.2. Inducción.

1.3. El lenguaje del Cálculo proposicional.

1.4. Formulas bien formadas.

1.5. Descomposición única.

2. Inducción

2.1. Inducción y recursión.

2.2. Valuaciones.

2.3. Conectivos proposicionales.

3. Compacidad y efectividad.

4. Lógica de primer orden.

5. Lenguajes de primer orden.

6. Términos

6.1. Términos, fórmulas, sentencias.

6.2. Satisfacción y modelos.

41

6.3. Equivalencia elemental.

7. Definibles

7.1. Descomposición única.

7.2. Definibilidad en una estructura.

7.3. Clases definibles.

7.4. Homomorfismos.

8. Cálculo deductivo I.

9. Cálculo deductivo II.

10. Completitud y compacidad.

11. La demostración de Henkin.

12. Modelos no estándar de la aritmética.

13. Modelos y teoría

13.1. Modelos y teorías.

13.2. Löwenheim-Skolem.

13.3. Test de Los-Vaught.

14. Incompletitud



Martin Goldstern, Haim Judah.

The Incompleteness

Phenomenon

A.K Peters. Wellesley,

Massachusetts, USA 1995

Xavier Caicedo.

Elementos de Lógica y

Calculabilidad Ediciones Uniandes 1989

H. Enderton.

A Mathematical

Introduction to Logic

Academic Press, San

Diego, USA 2002

42

7° Semestre

Nombre de la asignatura: Teoría de cuerpos

Código: 2015157

Créditos: 4



Descripción: El problema central que motiva la teoría que se estudia en este curso es el problema

de la solubilidad de ecuaciones polinómicas, es decir, el problema de determinar condiciones

necesarias y suficientes para saber si una ecuación polinómica p(x) = 0, de grado n>0, y con

coeficientes en un cuerpo k, tiene raíces expresables por medio de radicales. Para ello es

necesario desarrollar la teoría de campos, estudiar sus extensiones y sus automorfismos. Una vez

se haya desarrollado la teoría de campos, se introduce la noción de grupo de Galois de una

extensión finita, normal y separable y se estudia la correspondencia que existe entre extensiones y

subgrupos del grupo de Galois, para llegar finalmente al teorema fundamental de la teoría de

Galois.

Objetivos: Reconocer y aplicar los conceptos, resultados y técnicas básicas de la teoría de

cuerpos, así como los elementos fundamentales de la correspondencia de Galois.

Contenidos:

1. Teoría de cuerpos

1.1. Extensiones algebraicas.

1.2. Extensiones finitas.

1.3. Construcciones con regla y compás.

1.4. Construcción de la clausura algebraica.

1.5. Automorfismos de cuerpos.

1.6. Extensión de automorfismos.

1.7. Extensiones separables y normales.

1.8. Cuerpos raíz.

1.9. Característica prima y cuerpos finitos.

2. Grupos Solubles

2.1. Series de Grupos. Teorema de Jordan-Hölder.

2.2. Grupos solubles y simples.

2.3. Polinomios simétricos

43

3. Teoría de Galois

3.1. Cuerpos fijos y grupos de Galois.

3.2. Grupo de Galois de un polinomio.

3.3. Teorema fundamental de Galois.

3.4. Solubilidad por radicales de ecuaciones polinómicas.

4. Aplicaciones

4.1. Ecuaciones de grado 3 y 4.

4.2. Ecuación general de grado mayor que 4.

4.3. Extensiones: Ciclotómicas, polígonos construibles y teorema de Gauss.



Dummit, D.S, y Foote, R. M Abstract Algebra Prentice Hall 1991

Fraleigh, J.B

A First Course in Abstract Algebra, 7ª

ed Addison-Wesley 2002

Hungerford T Algebra Springer-Verlag 1974

Herstein, I. N Topics in Algebra, 2ª ed. Xeros College Pub 1975

Lang, S. Algebra Addison-Wesley 1984

Steward I. Galois Theory Chapman and Hall 1989

Vinberg, E.B. A Course in Algebra AMS 2003

Nombre de la asignatura: Variable compleja

Código: 2015159

Créditos: 4


Prerrequisito: (2015153) Integración y series

Descripción: Este es un primer curso de Variable compleja, cuyo objetivo es estudiar la teoría

básica de Cauchy y explorar sus principales consecuencias.

Metodología: En el curso se emplea la clase magistral pero con amplia participación de los

estudiantes. La evaluación incluye exámenes y tareas. El objetivo de las tareas es fomentar en los

estudiantes la buena escritura matemática a través de la solución de problemas no triviales.

44

Contenidos:

1. Funciones Holomorfas

1.1. Derivada compleja, definición de función Holomorfa. Reglas de la diferenciación.

1.2. Ecuaciones de Cauchy Riemann. Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy Riemann.

1.3. Funciones holomorfas básicas: Función exponencial, funciones trigonométricas.

1.4. Ramas de las funciones inversas. Ramas de la raíz p-ésima. Ramas de la función

logaritmo. Ramas de la función potencia.

1.5. Comparación entre la diferenciación real y la diferenciación compleja (opcional).

1.6. Series de potencias.

1.7. Diferenciabilidad y unicidad de series de potencias.

2. Teorema de Cauchy y consecuencias

2.1. Caminos en el plano complejo. Integrales de línea complejas. Propiedades de las

integrales de línea. Primitivas.

2.2. Versión local del Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy.

2.3. Consecuencias de la fórmula integral de Cauchy: Analiticidad de las derivadas, Principio

del máximo, lema de Schwarz.

2.4. Existencia de ramas del logaritmo.

3. Sucesiones y Series de Funciones Analíticas

3.1. Convergencia uniforme y convergencia normal (convergencia uniforme en compactos).

3.2. Series de funciones analíticas. Series de Taylor y de Laurent.

3.3. Ceros de funciones analíticas. Teorema del factor para funciones analíticas. Principio de

identidad de funciones analíticas.

3.4. Singularidades aisladas. Clasificación de las singularidades aisladas. Funciones

Meromorfas. Teorema de Casorati-Weirstrass.

4. Teorema del residuo y consecuencias

4.1. Teorema del residuo.

4.2. Evaluación de integrales con el teorema del residuo.

4.3. Principio del argumento. Teorema de Rouché.

4.4. Comportamiento local de las funciones analíticas. Teorema de la función abierta. Teorema

de la función inversa.

5. Introducción a las transformaciones Conformes

5.1. Equivalencia conforme.

5.2. Transformaciones de Möbius.

5.3. Automorfismos del disco unitario y del semiplano superior.

5.4. Razón cruzada.

5.5. Teorema de la aplicación conforme de Riemann (sin prueba).

45



Bak, J. & Newman, D. Complex Analysis Springer-Verlag 1982

Charris, J.; Varela, J. & De

Castro, R.

Fundamentos de la teoría de funciones

de una variable compleja

Academia

Colombiana de

Ciencias exactas,

físicas y naturales 1999

Churchill, R. & Brown, J. Variable Compleja y Aplicaciones,

Quinta edición. McGraw-Hill 1980

Palka, B. An introduction to complex function

theory Springer-Verlag 1991

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