CONSTRUYENDO MATEMATICAS CON LA NSPIRE CAS Magister MANUEL ANTONIO MONTERO GAONA mantonio_montero@hotmail.com

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TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS CON LA TI NSPIRE CAS

Magister Manuel Antonio Montero Gaona Universidad Santo Tomas de Aquino Colombia En el taller de transformaciones geométricas resolvemos actividades correspondientes al movimiento o isometría de figuras en el plano, realización de teselaciones con el uso de translaciones, y construcción de fractales a través de las figuras simétricas. Se trabaja las rotaciones de figuras en el plano, para la creación de diseños teselados. Y la utilización de animación para la creación de fractales. En la primera parte trabajamos la isometría de figuras con el movimiento directo y movimiento inverso, en la translaciones trabajamos la definición de translación, en donde podemos trasladar un punto y hallar sus nuevas coordenadas, la translación de un circulo y de otros polígonos. Haremos la composición de translaciones para crear un diseño y utilizamos la animación que nos ofrece la calculadora para recrear nuestros trabajos. Todo lo que nos rodea son figuras geométricas, y es aquí donde nuestro taller se desarrolla, miramos alrededor y representamos lo que deseamos, por eso desarrollamos el arte de la geometría, nuestras figuras se basan en lo objetos reales, con los cuales descubrimos sus propiedades matemáticas, realizando así un aprendizaje significativo en el estudiante, no solo basta con aprender los conceptos geométricos si no que pretendemos que ese aprendizaje se convierta en compresión. El mundo de las matemáticas debe estar al alcance de todos no solo de algunos privilegiados. Todos los que queremos aprender algo debemos iniciarnos en el arte de la geometría, todo debemos demostrarlo, y construirlo, construir nuestros propios aprendizajes para llevar a los niveles complejos de la comprensión. Vemos una primera parte de este taller el arte con los círculos, en posteriores publicaciones seguiremos explorando el mundo de las transformaciones. TRANSFORMACIONES : los siguientes son los comandos que utilizaremos para la transformaciones ROTACION: Haga clic en la figura y en el centro de rotación y finalmente en el Angulo de rotación. SIMETRIA: Haga clic en la figura y luego en el punto de simetría. SIMETRIA AXIAL: Haga clic en la figura y luego en el eje de simetría. TRANSLACION: Haga clic en el objeto, luego en el vector de translación. HOMOTECIA: Haga clic en la figura, luego en el centro de homotecia, y finalmente en el numero de homotecia. Para colocar texto vaya al menú tome acciones y luego texto y de clic donde quiere colocar el texto. Para construir un vector tome menú de clic en puntos y rectas y luego en vector. Para construir un polígono regular haga clic en la posición en la que desea situar el centro después haga clic para definir el primer vértice, mueva el cursor para cambiar el número de lados y dar ENTER para finalizar el polígono.

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ACTIVIDADADES Realice las siguientes figuras utilizando transformaciones. Y llene todo el plano con ellas.

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ARTE CON CÍRCULO

Objetivo: el taller pretende crear figuras artísticas con el uso de figuras básicas como son los puntos, segmentos y círculos. Creamos un documento nuevo, como grafico y procedemos a ocultar los ejes y dejarlo listo como plantilla geométrica.

1. Construimos el segmento rq y el punto a

2. Con la herramienta compas del menú de

construcciones construimos el circulo C1 de centro a y radio rq

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3. Construimos el punto b en la C1 y

construimos la circunferencia con centro en b y radio rq.

4. Hallamos los puntos c y d con la intercepción de los dos círculos

5. Construimos el C3 con centro en c y radio

rp, y construimos el punto 𝑒𝑒 = 𝐶𝐶1 ∩ 𝐶𝐶3 Dando clic derecho obtenemos el menú y tomamos la opción reciente y el ítem que deseamos.

6 Construimos el C4 con centro en e y radio rp, y construimos el punto 𝑓𝑓 = 𝐶𝐶1 ∩ 𝐶𝐶4

7 Construimos el C5 con centro en f y radio

rp, y construimos el punto 𝑔𝑔 = 𝐶𝐶1 ∩ 𝐶𝐶5

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8 Construimos el C6 y C7 con centro en g y d , radio rp,

Obteniendo así una rosa de seis petalos.

9 Ahora procedemos a mover el punto r. y

anotamos lo que observamos

10 El siguiente procedimiento es dibujar el polígono que se forma uniendo los puntos de intersección del circulo 1 con los demás círculos. Es decir las puntas delos petalos de la rosa

11 Precedemos de la misma forma y creamos el polígono que nos da al unir los puntos de las intersecciones externas de los círculos

Lo rellenamos y vemos mejor las figuras resultantes. Movemos el punto r o el punto q, y observamos lo que pasa.

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METODOS CONSTRUCTIVISTAS EN LAS MATEMATICAS CON LA TI NSPIRE1

1 Magister Manuel Montero. mantonio_montero@hotmail.com Universidad Santo Tomas. Colombia.

Construir pensamiento matemático en el estudiante significa ver sus conocimientos previos, y desde dicho conocimiento se pueda construir una base solida en el mundo de las matemáticas. Pretendemos que el estudiante comprenda el significado de cada concepto, y a partir de esta comprensión vaya formado un pensamiento lógico. El aprendizaje puede facilitarse, porque cada persona reconstruye su propia experiencia interna, desde el constructivismo puede crearse un contexto favorable al aprendizaje, con un clima motivacional de cooperación, donde cada alumno reconstruye su aprendizaje con el resto del grupo. Vamos a comenzar construyendo a partir del concepto de multiplicación, el concepto de potenciación. Suponemos que nuestro estudiante conoce el proceso de multiplicación, es decir el puede desarrollar productos como 3x4, 5x10, o realizar operaciones más complejas como (3x+6x2-4)(3x-2), desde este conocimiento previo vamos a realizar una aserie de multiplicaciones para llegar al concepto de potenciación. Define u1(x)=x Ahora a partir de esta función u1 definimos el cuadrado de x. Define u2(x)=u1(x)*x Y ahora podemos x3 , define u3(x)=u2(x)*x Y en este momento que el estudiante comprende el significado de multiplicar x*x*x*x*x y veces podemos definir nuestra función potencia como. Define potencia(x,y)=xy. Podemos calcular potencia(2,3), potencia(4,5),potencia(x,4). Define pot(x,y)=func Local p,c 1→p For c,1,y P*x→p Endfor Return p Endfunc Otro ejemplo es la construcción de la función factorial.

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Define fac(n)=func Local p,c 1→p For c,1,n P*c→p Endfor Return p Endfunc Para colocar cada línea debemos digitar ↵ y para terminar la función debemos digitar la tecla ENTER≈ Probamos con fac(3), fac(5), fac(6), y arreglamos nuestra función fac para que no admita números negativos. Ahora estamos en condiciones de de definir programas con entradas del usuario, vamos a crear el programa área, el cual nos va a solicitar el radio de una circunferencia y dará como resultado el área de este. Define area()=prgm Request “Dame el radio del circulo”,r Disp “AREA= ”,pi*r*r Endprgm Podemos probar el área con un radio de 5 para esto digitamos area() y cuando nos solicite el radio digitamos 5. En este programa introducimos dos nuevos comandos: Request, que nos permite solicitar datos al usuario y almacenarlos en una variable en este caso la variable es r. y Disp, que nos permite imprimir en pantalla un mensaje y las variables que nosotros queramos. Si observamos los estudiantes con los conocimientos previos de matemáticas debe construir los nuevos conceptos matemáticos, en este momento el estudiante esta comprendiendo el concepto y está construyendo su pensamiento lógico en matemáticas. Para el siguiente taller necesitamos el método de solución de matrices utilizando Jordán Gauss, el cual utiliza las operaciones elementales entre filas.

1. Intercambio de filas : rowsawp(matriz,fila,fila a cambiar por) La matriz es el nombre de la matriz, la fila es al fila que intercambiamos, y fila cambiar por, es la fila que queremos remplazar. Rowsawp(a,1,2), cambiamos la fila 1 por la fila 2 en la matriz a.

2. Multiplicar una fila por un numero : mrow(valor,matriz,fila) El valor es el valor a multiplicar, la matriz es el nombre de la matriz, la fila es al fila que vamos a multiplicar por el valor. mRow(2,a,1),multiplicamos por 2 la fila 1 en la matriz a.

3. Sumamos dos filas : rowsadd(matriz,fila1,fila2) La matriz es el nombre de la matriz, la fila1 la cambia por la suma de la fila 1 y la fila 2. Rowadd(a, 1,2), cambiamos la fila 1 por la suma de la fila 1 y fila 2 en la matriz a.

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4. Multiplicar una fila por un valor y sumarla a otra fila : mrowadd(valor,matriz,fila1,fila2), el valor es el numero por el cual multiplicamos la fila2 y se la sumamos a la fila1. La matriz es el nombre de la matriz, la fila2 es la fila que multiplicamos por valor y se la sumamos a fila2. mRowadd(-4,a,2,1), Multiplique la fila 2 por -4 y súmela a la fila 1.

Con estas operaciones elementales entre filas ahora podemos realizar nuestro ejemplo.

TALLER DE MATRICES

Ejemplo: use matrices para resolver el sistema:

�2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = 4𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 1𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 = 5

�

Solución: la matriz ampliada para este sistema es:

2 5 4 4 1 4 3 1 1 -3 -2 5

El sistema tiene 3 ecuaciones y 3 variables, pero el proceso de reducción se aplica independientemente del tamaño del sistema. Ingresamos al menú y creamos un nuevo documento luego escogemos el menú para crear nuestra matriz

No olvidemos que debemos crear una nueva matriz en cada paso. (a:=)

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Objetivo(para cada paso) Operación de fila Operaciones en Nspire 1. Tener un 1 en la fila

1 columna 1. Intercambiamos la fila 1 y 2 b:=rowswap(a,1,2)

2. Usar la fila 1 solo

para obtener ceros en las otras entradas de la columna 1.

Multiplique la primera fila por -2 y súmela a la fila 2. Multiplique la primera fila por -1 y súmela a la fila 3 . c:=mRowAdd(−2,b,1,2)

3. Usar las filas de

debajo de la fila 1 para tener un 1 en la columna 2 fila 2

Multiplique la fila 2 por -1/3; y ponga el resultado en la fila 2. e:=mrow(-1/3,d,2)

4. Usar la fila 2 solo

para obtener ceros en los demás elementos en la columna 2.

Multiplique la fila 2 por -4 y súmela a la fila 1. Multiplique la fila 2 por 7 la fila 2 y súmela a la fila 3.

5. Usar las filas

debajo de la fila 2, para tener un 1 en la fila 3 columna 3.

Multiplique la fila 3 por -3; y ponga el resultado en la fila 3.

6. Usar la fila 3 solo

para obtener ceros en los demás elementos en la columna 3.

Multiplique la fila 3 por -1/3 y súmela a la fila 1. Multiplique la fila 3 por -2/3 la fila 3 y súmela a la fila 2.

7. Repetir el proceso

hasta que ya no se pueda continuar.

Todas las filas se usaron, la matriz está en su forma reducida. Y el resultado es:

�𝑥𝑥 + 0𝑦𝑦 + 0𝑧𝑧 = 3

0𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 0𝑧𝑧 = −20𝑥𝑥 + 0𝑦𝑦 + 1𝑧𝑧 = 2

�

Asi: x=3, y=-2, z=2.

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EJERCICIO PROPUESTO.

Solución

Invertir la matriz

Auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad

Solución